SNFP UM 2016 ATSNAITA YASRINA
SEMINAR NASIONAL JURUSAN FISIKA FMIPA UM 2016
Perumusan Rapat Arus Empat Untuk Bintang Neutron Yang Berotasi
Cepat Dalam Kerangka ZAMO (Zero Angular Momentum Observers)
ATSNAITA YASRINA
Jurusan Pendidikan Fisika Universitas Negeri Malang. Jl. Semarang 5 Malang
E-mail: atsnaita.yasrina.fmipa@um.ac.id
Tel: 081915564835
ABSTRAK: Telah dirumuskan persamaan rapat arus empat dengan basis dari metrik bintang
neutron yang berotasi cepat. Rapat arus yang diperoleh dirumuskan dalam kerangka ZAMO
(Zero Angular Momentum Observers). Rapat arus empat digunakan sebagai perumusan
persamaan kedua Maxwell relativistik dan merumuskan persamaan dinamika medan magnet
relativistik di bintang neutron berotasi cepat yang mengakresi dalam kerangka ZAMO.
Persamaan rapat arus empat yang diperoleh merupakan fungsi medan elektromagnetik,
konduktivitas listrik, dan rapat muatan sejati.
Kata Kunci: rapat arus empat, bintang neutron, berotasi cepat, ZAMO.
PENDAHULUAN
Selain katai putih dan lubang hitam, bintang Neutron adalah salah jasad bintang
yang telah mati. Bintang neutron adalah jasad dari bintang yang massanya
6-8
(Camenzind, 2007). Bintang tersebut mengakhiri proses pembakaran inti atom di inti
bintang dan kemudian melakukan supernova. Bagian inti bintang yang telah
melakukan supernova kemudian runtuh yang menyebabkan proton dan elektron
membentuk neutron maka akan terbentuk bintang neutron.
Bintang neutron memiliki massa 1,25-1,44
dengan diamater 20 km. Artinya bintang
neutron memiliki medan gravitasi di permukaanya sebesar 2 x 1011 kali gravitasi Bumi
(Camenzind, 2007). Massa dan jari-jari bintang neutron dapat digunakan untuk
menujukkan bahwa bintang neutron adalah bintang masif/ kompak sehingga harus
dikaji dengan teori relativitas umum. Parameter yang menunjukkan bintang neutron
harus dikaji dengan relativitas umum ditentukan oleh besarnya parameter kekompakan
( ) yang besarnya adalah
=
,
(1)
dengan
=2
2,95
,
(2)
dengan adalah jari-jari Schawzchild, konstatanta gravitasi, dan adalah kecepatan
cahaya. Jika besarnya massa dan jejari bintang neutron dimasukkan ke persamaan (1)
dan (2), maka diperoleh
= 0,3. Kekompakan bintang neutron juga ditunjukkan oleh
kerapatannya yaitu sebesar 2,8 x 1014 g/cm3 atau dua sampai tiga kali kerapatan inti
atom (Haensel, 2007).
Besaran fisis yang menarik selain besaran yang menunjukkan kerapatan bintang
neutron adalah besarnya medan magnet di bintang neutron. Potekhin tahun 2011 dalam
artikelnya menyebutkan medan magnet bintang neutron dapat mencapai 1018 G.
Besarnya medan magnet ini menurut Potekhin adalah medan magnet terbesar yang
dimiliki oleh benda di alam semesta ini.
Akan tetapi sebelumnya Zhang dalam artikelnya tahun 2007 menyatakan bahwa
besarnya medan magnet di bintang neutron adalah 1012 G. Zhang menambahkan
besarnya medan magnet tersebut dapat menurun menjadi ~ 108 G dalam skala waktu
5 x 106 tahun. Fenomena ini disebut penurunan medan magnet. Kajian tentang
ISBN 978-602-71279-1-9
FA-1
SEMINAR NASIONAL JURUSAN FISIKA FMIPA UM 2016
penurunan medan magnet apada akhirnya banyak dikaji oleh para astrofisikawan.
Batacharya dalam artikelnya tahun 2002 menyatakan bahwa penurunan medan magnet
terjadi di sistem ganda. Sistem ganda menunjukkan bahwa bintang neutron melakuak
proses akresi ke bintang pasangannya. Pernytaan ini juga dikuatkan oleh para
asrofisiskawan. Kesimpulannya bahwa akresi dinggap salah satu penyebab penurunan
medan magnet di bintang neutron (Anzer dkk., 1979, Konar dkk., 1996; Cumming dkk.,
2001; Melatos dkk., 2001; Choudhuri dkk., 2002; Lovelace dkk., 2005; Ho, 2011).
Secara teoretik dibutuhkan persamaan yang menunjukkan penurunan medan
magnet di bintang neutron yang mengakresi. Cumming, dkk dalam artielnya tahun
2001 telah menghasilkan persamaan penurunan medan magnet di bintang neutron yang
mengakresi dengan kajian non-relativistik. Seperti telah disebutkan sebelumnya bahwa
Anderson dan Cohen pada tahun 1970 mengkajian elektromagnetik bintang dengan
relativistik. Kajian mereka tentang medan elektromagnet yang stasioner dengan metrik
Schwarzschild. Metrik Schwarzchild juga digunakan Sengupta (1995) untuk mengkaji
medan listrik di bintang neutron. Pada tahun 1997 artikel Sengupta menjelaskan
kecepatan peluruhan Ohmic di ruang waktu Schwarschild. Geppert, Page, dan Zannias
(2000) menunjukkan lebih singkatnya waktu penyusutan medan magnet dibanding jika
dikaji dalam ruang waktu yang datar.
Metrik Schwarschild digunakan untuk mengkaji bintang yang diasumsikan tidak
berotasi. Sementara kajian bintang neutron yang berotasi dan relativistik telah dikaji
oleh Muslimov dan Tsygan (1992) dengan kajian bintang neutron berotasi lambat.
Kajian tentang solusi persamaan Maxwell di ruang waktu bintang neutron berotasi
lambat dengan di sekitar bintang neutron tidak terdapat materi atau bintang neutron
tidak mengakresi juga telah dikaji Rezolla, Ahmedov, dan Miller. Kajian dalam artikel
tersebut memuat bintang neutron berotasi lambat yang diukur oleh pengamat ZAMO
(Zero Angular Momentum Observers). Jika mengkajian bintang yang berotasi atau
menggunakan metrik untuk bintang berotasi membutuhkan kajian dengan ZAMO
(Rezzolla dkk, 2004a) (Camenzind, 2007). Sebelumnya juga telah dihasilkan persamaan
dinamika medan magnet untuk bintang neutron berotasi lambat dan terdapat materi di
sekitar bintang neutron (Atsnaita, dkk, 2013). Kajian persamaan dinamika medan
magnet di bintang neutron membutuhkan perumusan persamaan Maxwell relativistik
yang diawali dengan perumusan tensor kovarian dan kotravarian di bintang neutron
yang berotasi cepat. Perumusan persamaan pertama Maxwell relativistik telah
diperoleh. Sementara untuk persamaan kedua Maxwell relativistik membutuhkan
persamaan rapat arus empat dalam kerangka ZAMO.
METODE PENELITIAN
Penelitian yang dilakukan merupakan suatu telaah teoretis-matematis secara
analitik. Oleh karena itu metode penelitian ini merupakan tinjauan pustaka. Prosedur
penelitian untuk mendapatkan perumusan rapat arus empat ditunjukkan Gambar (2.1).
=
=
+
=
=
+
Basis
=
= Γ (1,
)
=
ISBN 978-602-71279-1-9
FA-2
SEMINAR NASIONAL JURUSAN FISIKA FMIPA UM 2016
Gambar 2.1 Prosedur penelitian untuk mendapatkan perumusan
rapat arus empat
HASIL DAN PEMBAHASAN
Persamaan kedua Maxwell relativistik adalah
,
(3)
; = 4
dengan rapat arus empat
adalah jumlahan dari arus konveksi dan konduksi yaitu
=
+ ;
≡ 0,
(4)
dengan
kecepatan empat konduktor, dan
rapat muatan yang sebenarnya. Jika
arus konduksi
dibawa oleh elektron dengan konduktivitas listrik , hukum Ohm
dapat dituliskan
=
.
(5)
Oleh karena itu untuk mendapat merumuskan persmaan kedua Maxwell dibutuhkan
persamaan rapat arus empat terlebih dahulu.
Metrik, Basis, dan Vektor Kecepatan Empat
Sesuai Gambar (2.1), maka untuk mednapatakan rapat arus empat yang pertama
harsulah tau metrik bintang neutron berotasi cepat. Metrik bintang neutron berotasi
cepat dalam sistem koordinat bola ct , r , θ , ϕ adalah
) +
(
),
= −
+
sin (
−
+
(6)
dengan ( ) adalah kecepatan angular dari kerangka acuan inersia. Besraan , , ,
adalah fungsi yang bergantung pada
dan
(Gregory, dkk., 1994). Komponen metrik
bintang neutron berotasi cepat adalah
−(
−
sin
)
0
0 −
sin
0
0
0
=
.
(7)
0
0
0
−
sin
0
0
sin
=
Berdasarkan metrik bintang neutron berotasi cepat, maka diperoleh basis
dalam kerangka ZAMO adalah
, ̂, ,
(1,0,0, ),
=
(0,1,0,0),
̂ =
(0,0,1,0),
=
(Yasrina, 2015).
Sementara form-1
= (
=
,
̂
,
−
(8)
(0,0,0,1)
=
) dalam kerangka ZAMO adalah
,
(1,0,0,0),
sin
=
=
̂
=
(0,1,0,0),
(0,0,1,0),
sin ( − , 0,0,1)
(Yasrina, 2015)
Berdasarkan metrik persamaan (6) diperoleh juga vektor kecepatan empat adalah
=
dengan
=
sin
(Ω −
(1,0,0, ) ;
√
= −
) +
(9)
(1,0,0,0) ,
√
(
) +
(10)
(11)
Vektor Kecepatan Empat Konduktor
Vektor kecepatan empat konduktor dapat diperoleh dari persamaan (12) yaitu
≡
,
(12)
ISBN 978-602-71279-1-9
FA-3
SEMINAR NASIONAL JURUSAN FISIKA FMIPA UM 2016
dengan
menunjukkan adanya ganguan Eulerian (Rezzolla dkk, 2004b). Nilai tiap
komponen dari kecepatan yang mewakili gangguan tersebut adalah
= Γ 1,
,
(13)
dengan
=
.
(14)
Menggunakan basis persamaan (8) dan persamaan (14), maka persamaan (13) diperoleh
kecepatan empat konduktor adalah
= Γ
1,
= Γ
̂
1,
,
,
=
(15)
.
Besaran Γ adalah
Γ = −
(16)
1+
(Rezzolla dkk, 2004b). Jika gangguan dianggap lemah, maka
untuk
=
bernilai kecil sekali. Mengingat komponen metrik pada persamaan (7) ada nilainya jika
= , maka persamaan (16) menjadi
[−
Γ ≈
]
≈
−
.
sin
(17)
Rapat Arus Empat
Sesuai persamaan (5), maka perumusannya membutuhkan tensor kovarian
medan elektromagnetik yaitu
=
=
=
= 0,
1
̂
−
sin
,
= −
= −
√1 −
1
̂
= −
=
−
+
sin
,
√1 −
sin
/
= −
= −
−
+
sin
,
√1 −
1
/
−
+
sin
,
= −
= −
√1 −
1
= −
= −
sin
,
√1 −
̂
sin
.
(18)
= −
= −
(Yasrina, 2015). Oleh karena itu menggunakan persamaan (5), (15) dan (18) diperoleh
untuk arus konduksi komponen kovarian adalah
√
=
̂
−
√1 −
−
+ −
+
− −
=
̂
√1 −
− −
=
−
√1 −
=
√1 −
−
+
+
Γ − −
+
sin
Γ e
̂
sin
+
sin
Γ
Γ
Γ
,
+
sin
̂
Γ
,
+
sin
Sementara arus konduksi komponen kontravarian adalah
ISBN 978-602-71279-1-9
,
sin
Γ e
sin
Γ
+
Γ + −
̂
sin
̂
sin
sin
̂
Γ
sin
−
+
− −
sin
Γ
̂
+
sin
Γ
.
(19)
FA-4
SEMINAR NASIONAL JURUSAN FISIKA FMIPA UM 2016
= −
+
=
,
,
=
= −
,
+
(20)
.
Persamaan (4) dan (20) menghasilkan rapat arus empat yaitu
= Γ + ,
̂
= Γ
+ ,
= Γ
+ ,
(21)
Hubungan antara rapat arus empat dengan rapat arus empat dalam kerangka ZAMO
dinyatakan seperti pada persamaan (22) yaitu
= ̂ ̂,
(22)
dengan ̂ adalah basis yang dinyatakan dalam persamaan (8). Persamaan (8), (21), (22)
menghasilkan rapat arus empat dalam kerangka ZAMO untuk bintang neutron yang
berotasi cepat, dengan persamaanya adalah
=
Γ −
−
,
̂
̂
= Γ
+
,
= Γ
+
,
=
=
dengan
Γ
−
, , , dan
KESIMPULAN
Γ
+
+
.
,
(23)
dinyatakan dalam persamaaan (19).
Persamaan rapat arus empat untuk bintang neutron yang berotasi cepat dalam
kerangka ZAMO ditunjukan pada persamaan (23). Persamaan tersebut menjadi dasar
bagi perumusan persamaan kedua Maxwelll relativistik yang dapat digunakan dalam
merumsukan persamaan dinamika medan magnet di bintang neutron yang berotasi
cepat dalam kerangka ZAMO.
DAFTAR RUJUKAN
Anderson, J. L., Cohen, J.M., 1970. Gravitational Collapse of Magnetic Neutron Stars.
Astropys. Space Science. 9, 146.
Anzer, U., Börner, G., 1979, Accretion by Neutron Stars: Accretion Disk and Rotating
Magnetic Field, Astron. Astrophysics, 133-139
Bhattacharya, D., 2002. Evolution of Neutron Stars Magnetic Fields. Jurnal
Astrophysics, The Astrophysical Jurnal. Astr, 67-72.
Camenzind, M., 2007. Compact Objects in Astrophysics White Dwarfs, Neutron Stars,
and Black Hole., Verlag Berlin Heidelberg: Springer.
Choundhuri A. R., Konar S., 2002, Diamagnetic Screening of the Magnetic Field in
Accreting Neuyron stars, http://www.arXiv.astro-ph/0108229, 27 January 2002
Cumming, A., Zweibel, E., Bildsten, L., 2001. Magnetic Screening in Accreting Neutron
Stars, http://www.arXiv.astro-ph/0102178, 9 February 2001
Geppert, U., Page, D., Zannias, T., 2000. General Relativitic Treatment Of The Thermal,
Magnetic, And Rotational Evolution of Isolated Neutron Stars With Crustal Magnetic
Fields. Astron-Astrophys. 2-1066.
Gregory, B., Cook, Stuart,L., Shapiro, Saul, A., Teukolsky, 1994, Rapidly Rotating
Neutron Stars in General Relativity: Realistic Equations of State, The American
Astronomical Society: Astrophysical Journal, 424: 828-845.
ISBN 978-602-71279-1-9
FA-5
SEMINAR NASIONAL JURUSAN FISIKA FMIPA UM 2016
Haensel, P., Potekhin, A.Y., Yakovlev, D.G., 2007. Neutron Stars 1 Equation of State and
Structure. New York: Springer.
Ho,Wynn. C. G., 2011, Evolution of a Burried Magnetic Field in The Central Compact
Object Neutron Stars, http://www.arXiv.astro-ph 11024870v1, 23 February 2011
Konar, S., Bhattacharya, D., 1996, Magnetic Field Evolution of Accreting Neutron Stars,
R. Astron. Soc. 284, 311-317
Lovelace R. V. E., Romanova M. M., 2005, Sreening of The Magnetic Field of Disk
Accreting Stars, The Astrophysical Jurnal, 625:957-965
Melatos A., dkk, 2001, Hydromagnetic Structure of a Neutron Stars Accreting at Its
Polar Caps, Astron Soc Aust 421-430
Muslinov, A., Tsygan, A.I., 1992. General Relativistic Electric Potential Drops Above
Pulsar Polar Caps, MNRAS. 255, 61.
Potekhin, A.Y., 2011. The Physics Of Neutron Stars. astro-ph. SR, 1235-1256.
Rezzolla L., dkk, 2004a. General Relativitic Elektromagnetic Fields of a Slowly Rotating
Magnetized Neutron Stars I. Formulation of the Equation. MNRAS. 1-19.
Rezzola L., dkkb. Electromagnetic Fields in the Exterior of an Oscillating Relativistic StaI. General Expressions and Application to A Rotating Magnetic Dipole. MNAR. 1-21
Sengupta, S., 1995. General Relativistic Effect on The Induced Electric Field Exterior To
Pulsar. ApJ. 449, 224.
Sengupta, S., 1997, General Relativistic Effect on The Ohmic Decay Of Crustal Magnetic
Fields in Neutron Stars, ApJ, 479, L133
Yasrina, A., Rosyid, M.F., 2013. Tentang Medan Elektromegnetik Relativistik di Bintang
Neutron yang Berotasi Lambat. Tesis tidak diterbitkan. Jurusan Fisika Universitas
Gadjah Mada.
Yasrina, A., 2015. Tensor Elektromagnetik Bintang Neutron yang Berotasi Cepat Diukur
oleh Pengamat ZAMO (Zero Angular Momentum Observers), ISBN 978-602-71273-1-9,
A-1-A-5.
Zhang, C. M., 1997, Accretion Induced Crust Screening For The Magnetic Filed Decay of
Neutron Stars, Astron. Astropys, 1995-200
ISBN 978-602-71279-1-9
FA-6
Perumusan Rapat Arus Empat Untuk Bintang Neutron Yang Berotasi
Cepat Dalam Kerangka ZAMO (Zero Angular Momentum Observers)
ATSNAITA YASRINA
Jurusan Pendidikan Fisika Universitas Negeri Malang. Jl. Semarang 5 Malang
E-mail: atsnaita.yasrina.fmipa@um.ac.id
Tel: 081915564835
ABSTRAK: Telah dirumuskan persamaan rapat arus empat dengan basis dari metrik bintang
neutron yang berotasi cepat. Rapat arus yang diperoleh dirumuskan dalam kerangka ZAMO
(Zero Angular Momentum Observers). Rapat arus empat digunakan sebagai perumusan
persamaan kedua Maxwell relativistik dan merumuskan persamaan dinamika medan magnet
relativistik di bintang neutron berotasi cepat yang mengakresi dalam kerangka ZAMO.
Persamaan rapat arus empat yang diperoleh merupakan fungsi medan elektromagnetik,
konduktivitas listrik, dan rapat muatan sejati.
Kata Kunci: rapat arus empat, bintang neutron, berotasi cepat, ZAMO.
PENDAHULUAN
Selain katai putih dan lubang hitam, bintang Neutron adalah salah jasad bintang
yang telah mati. Bintang neutron adalah jasad dari bintang yang massanya
6-8
(Camenzind, 2007). Bintang tersebut mengakhiri proses pembakaran inti atom di inti
bintang dan kemudian melakukan supernova. Bagian inti bintang yang telah
melakukan supernova kemudian runtuh yang menyebabkan proton dan elektron
membentuk neutron maka akan terbentuk bintang neutron.
Bintang neutron memiliki massa 1,25-1,44
dengan diamater 20 km. Artinya bintang
neutron memiliki medan gravitasi di permukaanya sebesar 2 x 1011 kali gravitasi Bumi
(Camenzind, 2007). Massa dan jari-jari bintang neutron dapat digunakan untuk
menujukkan bahwa bintang neutron adalah bintang masif/ kompak sehingga harus
dikaji dengan teori relativitas umum. Parameter yang menunjukkan bintang neutron
harus dikaji dengan relativitas umum ditentukan oleh besarnya parameter kekompakan
( ) yang besarnya adalah
=
,
(1)
dengan
=2
2,95
,
(2)
dengan adalah jari-jari Schawzchild, konstatanta gravitasi, dan adalah kecepatan
cahaya. Jika besarnya massa dan jejari bintang neutron dimasukkan ke persamaan (1)
dan (2), maka diperoleh
= 0,3. Kekompakan bintang neutron juga ditunjukkan oleh
kerapatannya yaitu sebesar 2,8 x 1014 g/cm3 atau dua sampai tiga kali kerapatan inti
atom (Haensel, 2007).
Besaran fisis yang menarik selain besaran yang menunjukkan kerapatan bintang
neutron adalah besarnya medan magnet di bintang neutron. Potekhin tahun 2011 dalam
artikelnya menyebutkan medan magnet bintang neutron dapat mencapai 1018 G.
Besarnya medan magnet ini menurut Potekhin adalah medan magnet terbesar yang
dimiliki oleh benda di alam semesta ini.
Akan tetapi sebelumnya Zhang dalam artikelnya tahun 2007 menyatakan bahwa
besarnya medan magnet di bintang neutron adalah 1012 G. Zhang menambahkan
besarnya medan magnet tersebut dapat menurun menjadi ~ 108 G dalam skala waktu
5 x 106 tahun. Fenomena ini disebut penurunan medan magnet. Kajian tentang
ISBN 978-602-71279-1-9
FA-1
SEMINAR NASIONAL JURUSAN FISIKA FMIPA UM 2016
penurunan medan magnet apada akhirnya banyak dikaji oleh para astrofisikawan.
Batacharya dalam artikelnya tahun 2002 menyatakan bahwa penurunan medan magnet
terjadi di sistem ganda. Sistem ganda menunjukkan bahwa bintang neutron melakuak
proses akresi ke bintang pasangannya. Pernytaan ini juga dikuatkan oleh para
asrofisiskawan. Kesimpulannya bahwa akresi dinggap salah satu penyebab penurunan
medan magnet di bintang neutron (Anzer dkk., 1979, Konar dkk., 1996; Cumming dkk.,
2001; Melatos dkk., 2001; Choudhuri dkk., 2002; Lovelace dkk., 2005; Ho, 2011).
Secara teoretik dibutuhkan persamaan yang menunjukkan penurunan medan
magnet di bintang neutron yang mengakresi. Cumming, dkk dalam artielnya tahun
2001 telah menghasilkan persamaan penurunan medan magnet di bintang neutron yang
mengakresi dengan kajian non-relativistik. Seperti telah disebutkan sebelumnya bahwa
Anderson dan Cohen pada tahun 1970 mengkajian elektromagnetik bintang dengan
relativistik. Kajian mereka tentang medan elektromagnet yang stasioner dengan metrik
Schwarzschild. Metrik Schwarzchild juga digunakan Sengupta (1995) untuk mengkaji
medan listrik di bintang neutron. Pada tahun 1997 artikel Sengupta menjelaskan
kecepatan peluruhan Ohmic di ruang waktu Schwarschild. Geppert, Page, dan Zannias
(2000) menunjukkan lebih singkatnya waktu penyusutan medan magnet dibanding jika
dikaji dalam ruang waktu yang datar.
Metrik Schwarschild digunakan untuk mengkaji bintang yang diasumsikan tidak
berotasi. Sementara kajian bintang neutron yang berotasi dan relativistik telah dikaji
oleh Muslimov dan Tsygan (1992) dengan kajian bintang neutron berotasi lambat.
Kajian tentang solusi persamaan Maxwell di ruang waktu bintang neutron berotasi
lambat dengan di sekitar bintang neutron tidak terdapat materi atau bintang neutron
tidak mengakresi juga telah dikaji Rezolla, Ahmedov, dan Miller. Kajian dalam artikel
tersebut memuat bintang neutron berotasi lambat yang diukur oleh pengamat ZAMO
(Zero Angular Momentum Observers). Jika mengkajian bintang yang berotasi atau
menggunakan metrik untuk bintang berotasi membutuhkan kajian dengan ZAMO
(Rezzolla dkk, 2004a) (Camenzind, 2007). Sebelumnya juga telah dihasilkan persamaan
dinamika medan magnet untuk bintang neutron berotasi lambat dan terdapat materi di
sekitar bintang neutron (Atsnaita, dkk, 2013). Kajian persamaan dinamika medan
magnet di bintang neutron membutuhkan perumusan persamaan Maxwell relativistik
yang diawali dengan perumusan tensor kovarian dan kotravarian di bintang neutron
yang berotasi cepat. Perumusan persamaan pertama Maxwell relativistik telah
diperoleh. Sementara untuk persamaan kedua Maxwell relativistik membutuhkan
persamaan rapat arus empat dalam kerangka ZAMO.
METODE PENELITIAN
Penelitian yang dilakukan merupakan suatu telaah teoretis-matematis secara
analitik. Oleh karena itu metode penelitian ini merupakan tinjauan pustaka. Prosedur
penelitian untuk mendapatkan perumusan rapat arus empat ditunjukkan Gambar (2.1).
=
=
+
=
=
+
Basis
=
= Γ (1,
)
=
ISBN 978-602-71279-1-9
FA-2
SEMINAR NASIONAL JURUSAN FISIKA FMIPA UM 2016
Gambar 2.1 Prosedur penelitian untuk mendapatkan perumusan
rapat arus empat
HASIL DAN PEMBAHASAN
Persamaan kedua Maxwell relativistik adalah
,
(3)
; = 4
dengan rapat arus empat
adalah jumlahan dari arus konveksi dan konduksi yaitu
=
+ ;
≡ 0,
(4)
dengan
kecepatan empat konduktor, dan
rapat muatan yang sebenarnya. Jika
arus konduksi
dibawa oleh elektron dengan konduktivitas listrik , hukum Ohm
dapat dituliskan
=
.
(5)
Oleh karena itu untuk mendapat merumuskan persmaan kedua Maxwell dibutuhkan
persamaan rapat arus empat terlebih dahulu.
Metrik, Basis, dan Vektor Kecepatan Empat
Sesuai Gambar (2.1), maka untuk mednapatakan rapat arus empat yang pertama
harsulah tau metrik bintang neutron berotasi cepat. Metrik bintang neutron berotasi
cepat dalam sistem koordinat bola ct , r , θ , ϕ adalah
) +
(
),
= −
+
sin (
−
+
(6)
dengan ( ) adalah kecepatan angular dari kerangka acuan inersia. Besraan , , ,
adalah fungsi yang bergantung pada
dan
(Gregory, dkk., 1994). Komponen metrik
bintang neutron berotasi cepat adalah
−(
−
sin
)
0
0 −
sin
0
0
0
=
.
(7)
0
0
0
−
sin
0
0
sin
=
Berdasarkan metrik bintang neutron berotasi cepat, maka diperoleh basis
dalam kerangka ZAMO adalah
, ̂, ,
(1,0,0, ),
=
(0,1,0,0),
̂ =
(0,0,1,0),
=
(Yasrina, 2015).
Sementara form-1
= (
=
,
̂
,
−
(8)
(0,0,0,1)
=
) dalam kerangka ZAMO adalah
,
(1,0,0,0),
sin
=
=
̂
=
(0,1,0,0),
(0,0,1,0),
sin ( − , 0,0,1)
(Yasrina, 2015)
Berdasarkan metrik persamaan (6) diperoleh juga vektor kecepatan empat adalah
=
dengan
=
sin
(Ω −
(1,0,0, ) ;
√
= −
) +
(9)
(1,0,0,0) ,
√
(
) +
(10)
(11)
Vektor Kecepatan Empat Konduktor
Vektor kecepatan empat konduktor dapat diperoleh dari persamaan (12) yaitu
≡
,
(12)
ISBN 978-602-71279-1-9
FA-3
SEMINAR NASIONAL JURUSAN FISIKA FMIPA UM 2016
dengan
menunjukkan adanya ganguan Eulerian (Rezzolla dkk, 2004b). Nilai tiap
komponen dari kecepatan yang mewakili gangguan tersebut adalah
= Γ 1,
,
(13)
dengan
=
.
(14)
Menggunakan basis persamaan (8) dan persamaan (14), maka persamaan (13) diperoleh
kecepatan empat konduktor adalah
= Γ
1,
= Γ
̂
1,
,
,
=
(15)
.
Besaran Γ adalah
Γ = −
(16)
1+
(Rezzolla dkk, 2004b). Jika gangguan dianggap lemah, maka
untuk
=
bernilai kecil sekali. Mengingat komponen metrik pada persamaan (7) ada nilainya jika
= , maka persamaan (16) menjadi
[−
Γ ≈
]
≈
−
.
sin
(17)
Rapat Arus Empat
Sesuai persamaan (5), maka perumusannya membutuhkan tensor kovarian
medan elektromagnetik yaitu
=
=
=
= 0,
1
̂
−
sin
,
= −
= −
√1 −
1
̂
= −
=
−
+
sin
,
√1 −
sin
/
= −
= −
−
+
sin
,
√1 −
1
/
−
+
sin
,
= −
= −
√1 −
1
= −
= −
sin
,
√1 −
̂
sin
.
(18)
= −
= −
(Yasrina, 2015). Oleh karena itu menggunakan persamaan (5), (15) dan (18) diperoleh
untuk arus konduksi komponen kovarian adalah
√
=
̂
−
√1 −
−
+ −
+
− −
=
̂
√1 −
− −
=
−
√1 −
=
√1 −
−
+
+
Γ − −
+
sin
Γ e
̂
sin
+
sin
Γ
Γ
Γ
,
+
sin
̂
Γ
,
+
sin
Sementara arus konduksi komponen kontravarian adalah
ISBN 978-602-71279-1-9
,
sin
Γ e
sin
Γ
+
Γ + −
̂
sin
̂
sin
sin
̂
Γ
sin
−
+
− −
sin
Γ
̂
+
sin
Γ
.
(19)
FA-4
SEMINAR NASIONAL JURUSAN FISIKA FMIPA UM 2016
= −
+
=
,
,
=
= −
,
+
(20)
.
Persamaan (4) dan (20) menghasilkan rapat arus empat yaitu
= Γ + ,
̂
= Γ
+ ,
= Γ
+ ,
(21)
Hubungan antara rapat arus empat dengan rapat arus empat dalam kerangka ZAMO
dinyatakan seperti pada persamaan (22) yaitu
= ̂ ̂,
(22)
dengan ̂ adalah basis yang dinyatakan dalam persamaan (8). Persamaan (8), (21), (22)
menghasilkan rapat arus empat dalam kerangka ZAMO untuk bintang neutron yang
berotasi cepat, dengan persamaanya adalah
=
Γ −
−
,
̂
̂
= Γ
+
,
= Γ
+
,
=
=
dengan
Γ
−
, , , dan
KESIMPULAN
Γ
+
+
.
,
(23)
dinyatakan dalam persamaaan (19).
Persamaan rapat arus empat untuk bintang neutron yang berotasi cepat dalam
kerangka ZAMO ditunjukan pada persamaan (23). Persamaan tersebut menjadi dasar
bagi perumusan persamaan kedua Maxwelll relativistik yang dapat digunakan dalam
merumsukan persamaan dinamika medan magnet di bintang neutron yang berotasi
cepat dalam kerangka ZAMO.
DAFTAR RUJUKAN
Anderson, J. L., Cohen, J.M., 1970. Gravitational Collapse of Magnetic Neutron Stars.
Astropys. Space Science. 9, 146.
Anzer, U., Börner, G., 1979, Accretion by Neutron Stars: Accretion Disk and Rotating
Magnetic Field, Astron. Astrophysics, 133-139
Bhattacharya, D., 2002. Evolution of Neutron Stars Magnetic Fields. Jurnal
Astrophysics, The Astrophysical Jurnal. Astr, 67-72.
Camenzind, M., 2007. Compact Objects in Astrophysics White Dwarfs, Neutron Stars,
and Black Hole., Verlag Berlin Heidelberg: Springer.
Choundhuri A. R., Konar S., 2002, Diamagnetic Screening of the Magnetic Field in
Accreting Neuyron stars, http://www.arXiv.astro-ph/0108229, 27 January 2002
Cumming, A., Zweibel, E., Bildsten, L., 2001. Magnetic Screening in Accreting Neutron
Stars, http://www.arXiv.astro-ph/0102178, 9 February 2001
Geppert, U., Page, D., Zannias, T., 2000. General Relativitic Treatment Of The Thermal,
Magnetic, And Rotational Evolution of Isolated Neutron Stars With Crustal Magnetic
Fields. Astron-Astrophys. 2-1066.
Gregory, B., Cook, Stuart,L., Shapiro, Saul, A., Teukolsky, 1994, Rapidly Rotating
Neutron Stars in General Relativity: Realistic Equations of State, The American
Astronomical Society: Astrophysical Journal, 424: 828-845.
ISBN 978-602-71279-1-9
FA-5
SEMINAR NASIONAL JURUSAN FISIKA FMIPA UM 2016
Haensel, P., Potekhin, A.Y., Yakovlev, D.G., 2007. Neutron Stars 1 Equation of State and
Structure. New York: Springer.
Ho,Wynn. C. G., 2011, Evolution of a Burried Magnetic Field in The Central Compact
Object Neutron Stars, http://www.arXiv.astro-ph 11024870v1, 23 February 2011
Konar, S., Bhattacharya, D., 1996, Magnetic Field Evolution of Accreting Neutron Stars,
R. Astron. Soc. 284, 311-317
Lovelace R. V. E., Romanova M. M., 2005, Sreening of The Magnetic Field of Disk
Accreting Stars, The Astrophysical Jurnal, 625:957-965
Melatos A., dkk, 2001, Hydromagnetic Structure of a Neutron Stars Accreting at Its
Polar Caps, Astron Soc Aust 421-430
Muslinov, A., Tsygan, A.I., 1992. General Relativistic Electric Potential Drops Above
Pulsar Polar Caps, MNRAS. 255, 61.
Potekhin, A.Y., 2011. The Physics Of Neutron Stars. astro-ph. SR, 1235-1256.
Rezzolla L., dkk, 2004a. General Relativitic Elektromagnetic Fields of a Slowly Rotating
Magnetized Neutron Stars I. Formulation of the Equation. MNRAS. 1-19.
Rezzola L., dkkb. Electromagnetic Fields in the Exterior of an Oscillating Relativistic StaI. General Expressions and Application to A Rotating Magnetic Dipole. MNAR. 1-21
Sengupta, S., 1995. General Relativistic Effect on The Induced Electric Field Exterior To
Pulsar. ApJ. 449, 224.
Sengupta, S., 1997, General Relativistic Effect on The Ohmic Decay Of Crustal Magnetic
Fields in Neutron Stars, ApJ, 479, L133
Yasrina, A., Rosyid, M.F., 2013. Tentang Medan Elektromegnetik Relativistik di Bintang
Neutron yang Berotasi Lambat. Tesis tidak diterbitkan. Jurusan Fisika Universitas
Gadjah Mada.
Yasrina, A., 2015. Tensor Elektromagnetik Bintang Neutron yang Berotasi Cepat Diukur
oleh Pengamat ZAMO (Zero Angular Momentum Observers), ISBN 978-602-71273-1-9,
A-1-A-5.
Zhang, C. M., 1997, Accretion Induced Crust Screening For The Magnetic Filed Decay of
Neutron Stars, Astron. Astropys, 1995-200
ISBN 978-602-71279-1-9
FA-6