Grafik pengendali T2 Hotelling untuk pemantauan dan pengendalian mutu dalam proses produksi - USD Repository

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

GRAFIK PENGENDALI T2 HOTELLING UNTUK
PEMANTAUAN DAN PENGENDALIAN MUTU
DALAM PROSES PRODUKSI
SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika

Oleh:
Ratna Sari
103114013

PROGRAM STUDI MATEMATIKA, JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2014

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

GRAFIK PENGENDALI T2 HOTELLING UNTUK
PEMANTAUAN DAN PENGENDALIAN MUTU
DALAM PROSES PRODUKSI
SKRIPSI

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika

Oleh :
Ratna Sari
103114013
PROGRAM STUDI MATEMATIKA, JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2014

i

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

ii

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

iii

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

iv

PLAGIAT

PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

MOTTO DAN PERSEMBAHAN

“No GAIN without PAIN”

Skripsi ini aku persembahkan untuk:


Bapak dan ibu tercinta



Kakakku Bagus Saputro, adikku Adi Saputro, dan keponakanku
Denisa



Seluruh anggota keluarga besarku



Febri Ariwibawa yang kusayang



Semua sahabat-sahabatku yang selalu menemani dan mendukung
setiap langkahku

v

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI

TERPUJI

vi

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur kehadirat Allah SWT atas limpahan rahmat, taufik dan
hidayah-Nya sehingga penyusunan skripsi ini dapat berjalan lancar. Sholawat dan
salam senantiasa tercurahkan kepada Nabi Muhammad SAW beserta keluarga dan
para sahabatnya, Amin.
Penulis menyadari bahwa dalam penulisan skripsi ini tidak lepas dari
hambatan dan kesulitan, namun berkat bantuan dari berbagai pihak maka
penyusunan skripsi ini dapat berjalan dengan baik. Untuk itu penulis

mengucapkan terima kasih yang sebesar-besarnya kepada:
1. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., yang dengan penuh kesabaran dan
keikhlasan dalam membimbing, mengarahkan dan selalu memotivasi saya
dalam menyelesaikan skripsi ini.
2. Bapak dan Ibu dosen Program Studi Matematika Universitas Sanata
Dharma.
3. Teman-teman Prodi Matematika angkatan 2010 yang bersama-sama
berjuang demi sebuah kelulusan.
4. Kedua orang tuaku yang selalu sabar menghadapi tingkah laku putrinya.
5. Adikku si gendut Adi Saputro yang selalu menyayangiku.
6. Febriku sayang yang telah sabar membantu dan memberikan semangat.
7. Semua sahabat-sahabatku yang sedang berjuang bersama-sama meraih
cita-cita.
8. Semua pihak yang tidak dapat penulis sebutkan satu per satu.

vii

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN

TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

Segala kesempurnaan hanyalah milik Allah SWT,

semoga penulisan

skripsi ini dapat memberikan tambahan pengetahuan bagi pembaca, mohon maaf
atas segala kekurangan, Terima kasih.

Yogyakarta, 12 Agustus 2014
Penulis

Ratna Sari

viii

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN

MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

DAFTAR ISI

HALAMAN JUDUL ........................................................................................... i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .................................................... ii
HALAMAN PENGESAHAN ............................................................................. iii
HALAMAN PERNYATAAN PUBLIKASI........................................................ iv
HALAMAN MOTTO DAN PERSEMBAHAN ................................................... v
HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA TULIS .............................. vi
HALAMAN KATA PENGANTAR ................................................................... vii
HALAMAN DAFTAR ISI.................................................................................. ix
HALAMAN DAFTAR LAMPIRAN ................................................................. xii
ABSTRAK ...................................................................................................... xiii
ABSTRACT .................................................................................................... xiv
BAB I

PENDAHULUAN ........................................................................ 1
A. Latar Belakang Masalah .......................................................... 1
B. Rumusan Masalah ................................................................... 5
C. Batasan Masalah .................................................................... 5
D. Tujuan Penulisan .................................................................... 5
E. Manfaat Penulisan ................................................................... 6
F. Metode Penulisan .................................................................... 6
G. Sistematika Penulisan ............................................................. 6

BAB II

LANDASAN TEORI .................................................................... 9
A. Grafik Pengendali ................................................................... 9
1. Grafik Pengendali Variabel............................................ 13
2. Grafik Pengendali

dan S ............................................ 14

B. Nilai Eigen dan Vektor Eigen ............................................... 19
C. Konsep-Konsep Penting dalam Statistika Univariat .............. 22

1. Nilai Harapan Variabel Random .................................... 22
2. Variansi Variabel Random ............................................. 22

ix

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

3. Kovariansi Dari Dua Variabel Random ........................ 22
4. Independensi Variabel Random ..................................... 23
5. Sifat-Sifat Nilai Harapan dan Kovariansi Dalam Statistika
Univariat ....................................................................... 24
D. Konsep-Konsep Penting dalam Statistika Multivariat .......... 27
1. Vektor Random dan Matriks Random ............................ 27
2. Vektor Rata-Rata dan Matriks Kovariansi ..................... 28
3. Menyekat Matriks Kovariansi ........................................ 31
4. Vektor Rata-Rata dan Matriks Kovariansi untuk
Kombinasi Linear Variabel Random ............................. 33
5. Menyekat Vektor Rata-Rata Sampel dan Matriks
Kovariansi Sampel ........................................................ 36
6. Sampel Random dan Nilai Harapan dari Rata-Rata dan
Matriks Kovariansi Sampel ........................................... 38
7. Variansi yang Diperumum ............................................. 43
8. Distribusi Normal Multivariat ....................................... 44
9. Fungsi Densitas Normal Bivariat .................................. 46
E. Metode Fungsi Pembangkit Momen ..................................... 48
F. Distribusi Sampling yang Berhubungan dengan Distribusi
Normal ................................................................................ 53
BAB III

T2 HOTELLING ........................................................................ 58
A. Distribusi T2 Hotelling ........................................................ 58
B. Daerah Kepercayaan Elips ................................................... 59
C. Grafik Pengendali T2 Hotelling ............................................ 64

BAB IV

APLIKASI GRAFIK PENGENDALI T2 HOTELLING ............. 71
A. Gambaran Umum Perusahaan............................................... 71
B. Proses Produksi ................................................................... 72
C. Penerapan Pengendalian Mutu Perusahaan ........................... 73
D. Analisis Grafik Pengendali .................................................. 75
1. Grafik Pengendali pH dan Kekeruhan Air ..................... 75
2. Grafik Pengendali Kekeruhan Air dan TDS ................... 77

BAB IV

KESIMPULAN DAN SARAN .................................................. 80

x

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

A. Kesimpulan .......................................................................... 80
B. Saran ............................................................................. 81
DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................ 82
LAMPIRAN ...................................................................................................... 83

xi

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

DAFTAR LAMPIRAN

Lampiran 1. Faktor-Faktor untuk Menentukan Grafik Pengendali Variabel ....... 83
Lampiran 2. Distribusi, Fungsi Probabilitas, Rata-Rata, Variansi dan Fungsi
Pembangkit Momen ...................................................................... 84
Lampiran 3. Titik Presentase Distribusi F ......................................................... 86
Lampiran 4. Total pemakaian air dan total produksiAMDK pada bulan Januari
hingga April 2006 ......................................................................... 91
Lampiran 5. Proses Produksi AMDK PT. SBQUA ............................................ 92
Lampiran 6. Tabel Perhitungan pH dan Kekeruhan Air ..................................... 93
Lampiran 7. Tabel Perhitungan Kekeruhan Air dan TDS ................................... 94
Lampiran 8. Program MATLAB untuk Daerah Kepercayaan Elips .................... 95

xii

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

ABSTRAK
GRAFIK PENGENDALI T2 HOTELLING UNTUK PEMANTAUAN DAN
PENGENDALIAN MUTU DALAM PROSES PRODUKSI
Ratna Sari
103114013
Universitas Sanata Dharma
Yogyakarta
2014
Tujuan dari penelitian ini adalah untuk mengetahui landasan teori matematis
dari grafik pengendali T2 Hotelling dan mengaplikasikan metode T2 Hotelling
pada produk yang terdiri dari dua karakteristik mutu. Untuk memahami grafik
pengendali T2 Hotelling diperlukan pemahaman tentang aljabar linear yaitu nilai
dan vektor eigen, nilai harapan dan variansi dalam statistika univariat dan
multivariat, distribusi sampling yang berhubungan dengan distribusi normal, dan
distribusi T2 Hotelling.
Grafik pengendali T2 Hotelling dapat digunakan untuk menganalisis apakah
suatu proses terkendali atau tidak berdasarkan variabel bivariat yang relevan.
Berdasarkan hasil analisis yang diperoleh pada PT. Sinar Bogor QUA (PT.
SBQUA), dapat disimpulkan bahwa aplikasi grafik pengendali T2 Hotelling
Bivariat untuk karakteristik mutu pH dan kekeruhan air dalam tank penampungan
bahan baku menunjukkan proses yang tidak terkendali karena sampel ke 5, 14,
dan 16 berada diluar batas pengendali. Sedangkan pada grafik pengendali untuk
karakteristik mutu kekeruhan air dan TDS dalam tank penampungan bahan baku
menunjukkan proses yang tidak terkendali karena sampel ke 3, 4, dan 13 berada
diluar batas pengendali.

xiii

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

ABSTRACT
T2 HOTELLING CONTROL CHART FOR MONITORING AND
QUALITY CONTROL IN THE PRODUCTION PROCESS
Ratna Sari
103114013
Universitas Sanata Dharma
Yogyakarta
2014
This research aims to understand and apply the foundations of
mathematical theory of T2 Hotelling Control Chart on the product consists of two
quality characteristics. To understand the T2 Hotelling Control Chart it need linear
algebra, eigenvectors and eigenvalues, expectations and variance in univariate and
multivariate statistics, sampling distributions related to the normal distribution,
and the distribution of T2 Hotelling. T2 Hotelling control chart can be used to
analyze whether a process is under control or not based on the relevant variables
bivariat. Based on the data analysis at PT. Sinar Bogor QUA (PT. SBQUA), it can
be concluded that the application of T2 Hotelling Control Chart Bivariate quality
characteristics for pH and turbidity of the water in the tank raw material shelter
indicate uncontrolled process due to sample number 5, 14, and 16 which are
outside of the control limit. While the characteristics of the quality of water
turbidity and TDS in tanks raw material shelter indicate uncontrolled process
because the sample number 3, 4, and 13 are outside of the control limit.

xiv

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

BAB I
PENDAHULUAN

I.

LATAR BELAKANG MASALAH
Dewasa ini orang mengenal barang-barang dan jasa yang beraneka ragam

macamnya untuk memenuhi kebutuhannya. Barang dan jasa tersebut dibuat atau di
produksi untuk kebutuhan manusia. Produksi barang dan jasa tersebut menggunakan
faktor-faktor produksi alam, tenaga kerja, modal dan teknologi. Pada hakekatnya
produksi merupakan penciptaan atau penambahan faedah bentuk, waktu dan tempat
atas faktor-faktor produksi sehingga lebih bermanfaat bagi pemenuhan kebutuhan
manusia. Proses perubahan bentuk dan faktor-faktor produksi tersebut disebut proses
produksi.
Dalam era modern seperti saat ini, persaingan dalam dunia industri sangatlah
ketat. Perkembangan teknologi canggih dari tahun ketahun menuntut suatu hasil
produksi dari suatu perusahaan dalam hal ketelitian pekerjaan, ketepatan waktu
produksi, standar produksi, dan persaingan di pasar internasional. Oleh sebab itu
masalah mutu menjadi hal yang penting untuk diperhatikan oleh perusahaan.
Mutu merupakan suatu unsur yang sangat mutlak pada setiap produk atau jasa
yang dihasilkan oleh suatu perusahaan untuk menghasilkan suatu produksi yang
maksimal dengan mutu yang tinggi serta terjangkau oleh konsumen. Pada
kenyataannya masih banyak terdapat produk atau jasa yang tidak memenuhi standar

1

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
2

atau mengalami kegagalan dalam proses produksinya. Penting bagi setiap perusahaan
untuk memperhatikan produksi mulai dari pengadaan bahan sampai dengan proses
produksi selesai.
Pengendalian mutu berfungsi untuk menjaga agar suatu sistem tetap efektif
dalam memperbaiki mutu produk atau jasa yang dihasilkan oleh perusahaan, sehingga
produksi dan pemasaran dapat berada pada tingkat yang paling ekonomis, dengan
demikian pelanggan selalu mendapatkan kepuasan. Untuk mengidentifikasi mutu
yang ingin dicapai dan untuk melihat tingkat kepuasan konsumen terhadap barang
yang dihasilkan, maka statistika pengendalian mutu sangat penting dipelajari untuk
melihat perkembangan mutu barang yang diproduksi. Dengan demikian, perusahaan
dapat meningkatkan mutu suatu barang dengan lebih baik lagi.
PT. I merupakan salah satu perusahaan yang memproduksi kertas dengan
orientasi mutu ekspor. Oleh sebab itu, mutu produk menjadi perhatian utama
perusahaan untuk menjaga loyalitas konsumen terhadap perusahaan dan dengan
demikian meningkatkan dominasi pasar. Salah satu produk yang dihasilkan oleh PT. I
adalah kertas memo. Mutu kertas memo ditentukan oleh beberapa karakteristik,
diantaranya yaitu ketebalan kertas, penyebaran warna, dan kerapatan kertas.
Perusahaan telah menentukan batas spesifikasi untuk masing-masing karakteristik
tersebut. Produk dianggap cacat atau tidak memenuhi standar apabila terdapat
setidaknya satu dari karakteristik tersebut tidak berada dalam interval sepesifikasi
yang telah ditentukan perusahaan.

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
3

Setiap produk memiliki sejumlah unsur yang menggambarkan pikiran pengguna
tentang mutu. Unsur-unsur ini biasanya disebut karakteristik mutu. Terkadang disebut
juga critical-to-quality (CTQ) characteristics. Karakteristik mutu terdiri dari
beberapa jenis, yaitu:
1. Fisik: panjang, berat, tegangan, kekentalan
2. Indera: ras, penampilan, warna
3. Orientasi waktu: tahan uji, daya tahan, berguna
Mutu keteknikan adalah kumpulan cara kerja, managerial, dan aktivitas
keteknikan yang perusahaan gunakan untuk memastikan karakteristik mutu dari
produk berada pada interval yang ditentukan dan faktor-faktor lain yang ada disekitar
produk tersebut berada pada tingkat yang minimal.
Statistika adalah kumpulan teknik pengambilan keputusan tentang proses atau
populasi berdasarkan pada suatu analisis informasi yang terkandung dalam suatu
sampel dari populasi tersebut. Metode statistika juga memainkan peranan penting
dalam pengendalian dan peningkatan mutu. Metode statistika memberikan cara-cara
pokok dalam pengambilan sampel produk, pengujian serta evaluasinya, dan informasi
dalam data itu digunakan untuk mengendalikan dan meningkatkan proses pembuatan.
Salah satu teknik utama dalam pengendalian statistis adalah grafik pengendali
(control chart). Grafik pengendali adalah teknik pengendali proses pada jalur yang
digunakan secara luas yang biasanya digunakan untuk menduga parameter suatu

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
4

proses produksi dan informasi tersebut digunakan untuk menentukan kemampuan
proses.
Berdasarkan banyaknya karakteristik mutu yang diukur, grafik pengendali
dibedakan menjadi 2 jenis yaitu grafik pengendali univariat dan grafik pengendali
multivariat. Grafik pengendali univariat digunakan jika hanya ada satu karakteristik
mutu yang diukur, sedangkan grafik pengendali multivariat digunakan untuk
mengukur dua atau lebih karakteristik mutu.
Secara umum grafik pengendali dibedakan menjadi 2 macam, yaitu grafik
pengendali untuk variabel dan grafik pengendali untuk atribut. Salah satu pendekatan
yang digunakan dalam memantau mutu produk pada kasus multivariat adalah dengan
menggunakan metode grafik pengendali T2 Hotelling. Sebagai contoh jika kita akan
menguji salah satu produk dari PT. I yaitu kertas memo, ada tiga karakteristik yang
harus dipenuhi, yaitu ketebalan kertas ( x 1 ), penyebaran warna ( x 2 ), dan kerapatan
 x1 
kertas ( x 3 ) maka X   x 2  dapat dijadikan sebagai statistik uji. Statistik T 2 disebut
 x 3 
T

2

Hotelling untuk menghormati Harold Hotelling, seorang pelopor analisis

multivariat yang pertama kali menghasilkan distribusi sampling.

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
5

Pada tugas akhir ini akan dibahas bagaimana menggunakan grafik pengendali T 2
Hotelling untuk pemantauan dan pengendalian mutu dalam proses produksi.

II.

RUMUSAN MASALAH
Berdasarkan latar belakang tersebut, maka dapat dirumuskan permasalahan:

1. Bagaimana landasan matematis dari grafik pengendali T 2 Hotelling ?
2. Bagaimana mengaplikasikan grafik pengendali T2 Hotelling untuk mengendalikan
mutu produk yang terdiri dari beberapa karakteristik mutu?

III.

BATASAN MASALAH
Batasan permasalahnya yaitu:

1.

Grafik pengendali yang digunakan adalah Grafik pengendali variabel X dan R

2.

Grafik pengendali T2 Hotelling digunakan untuk mengendalikan produk yang
terdiri dari dua karakteristik mutu.

3.

Dasar-dasar teori yang dibahas hanya materi-materi yang berkaitan langsung
dengan grafik pengendali T2 Hotelling.

IV.

TUJUAN PENULISAN

1. Mengetahui landasan teori matematis dari grafik pengendali T 2 Hotelling.
2. Mengaplikasikan metode T2 Hotelling pada produk yang terdiri dari dua
karakteristik mutu.

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
6

V.

MANFAAT PENULISAN
Tugas akhir ini diharapkan dapat bermanfaat bagi:

1. Penulis
Penelitian ini merupakan kesempatan yang sangat bermanfaat untuk menambah
pengetahuan dan pengalaman yang berharga dalam menerapkan teori-teori yang
pernah didapatkan ketika kuliah ke dalam kondisi yang nyata.
2. Perusahaan
Penelitian ini diharapkan dapat digunakan oleh perusahaan-perusahaan sebagai
referensi tambahan pada evaluasi proses pemantauan dan pengendalian mutu yang
selanjutnya dapat dipergunakan untuk mengambil tindak lanjut.
3. Universitas Sanata Dharma
Penelitian ini diharapkan dapat memberikan sumbangan pengetahuan dan
informasi bagi peneliti lain.

VI.

METODE PENULISAN
Pada penelitian ini akan digunakan metode studi pustaka.

VII.

SISTEMATIKA PENULISAN
BAB I

: PENDAHULUAN
A. Latar Belakang Masalah
B. Rumusan Masalah
C. Batasan Masalah

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
7

D. Tujuan Penulisan
E. Manfaat Penulisan
F. Metode Penulisan
G. Sistematika Penulisan
H. Daftar Pustaka
BAB II

: LANDASAN TEORI
A. Grafik Pengendali
1. Grafik Pengendali Variabel
2. Grafik Pengendali X dan S
B. Nilai Eigen dan Vektor Eigen
C. Konsep-Konsep Penting dalam Statistika Univariat
1. Nilai Harapan Variabel Random
2. Variansi Variabel Random
3. Kovariansi Dari Dua Variabel Random
4. Independensi Variabel Random
5. Sifat-Sifat Nilai Harapan dan Kovariansi dalam Statistika
Univariat
D. Konsep-Konsep Penting dalam Statistika Multivariat
1. Vektor dan Matriks Random
2. Vektor Rata-Rata dan Matriks Kovariansi
3. Menyekat Matriks Kovariansi

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
8

4. Vektor Rata-Rata dan Matriks Kovariansi untuk Kombinasi
Linear Variabel Random
5. Menyekat Vektor Rata-Rata Sampel dan Matriks Kovariansi
Sampel
6. Sampel Random dan Nilai Harapan dari Rata-Rata dan Matriks
Kovariansi Sampel
7. Variansi yang Diperumum
8. Distribusi Normal Multivariat
9. Fungsi Densitas Normal Bivariat
E. Metode Fungsi Pembangkit Momen
F. Distribusi Sampling yang Berhubungan dengan Distribusi Normal
BAB III

: T2 HOTELLING
A. Distribusi T2 Hotelling
B. Grafik Pengendali T2 Hotelling

BAB IV

: APLIKASI GRAFIK PENGENDALI T 2 HOTELLING

BAB V

: KESIMPULAN DAN SARAN

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI

BAB II
LANDASAN TEORI

2.1 Grafik Pengendali
Salah satu teknik utama dalam pengendalian statistis adalah grafik
pengendali (control chart). Grafik pengendali adalah teknik pengendali proses
pada jalur yang digunakan secara luas yang biasanya digunakan untuk menduga
parameter suatu proses produksi dan informasi tersebut digunakan untuk
menentukan kemampuan proses.

Gambar 2.1. Grafik pengendali
Bentuk dasar grafik pengendali pada Gambar 2.1 berupa grafik karakteristik
mutu yang telah diukur terhadap nomor atau waktu sampling. Grafik tersebut
memuat garis tengah yang merupakan nilai rata-rata karakteristik mutu, Batas

9

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
10

Pengendali Atas (BPA), dan Batas Pengendali Bawah (BPB). Proses dianggap
terkendali apabila semua titik-titik sampel berada diantara batas pengendali dan
tidak diperlukan tindakan apapun, namun apabila ada satu titik terletak di luar
batas pengendali maka proses tersebut dikatakan tidak terkendali dan diperlukan
tindakan penyidikan dan perbaikan untuk mendapatkan kemudian menyingkirkan
sebab atau sebab dugaan yang menyebabkan proses tersebut tidak terkendali.
Proses juga dikatakan tidak terkendali apabila titik-titik sampel tersebut
berpola secara sistematik atau tak random meskipun semua titik terletak di dalam
batas pengendali. Misalnya apabila 13 dari 15 titik terakhir terletak diantara garis
tengah dan BPA dan hanya dua dari titik-titik ini terletak di antara garis tengah
dan BPB, maka diduga bahwa ada sesuatu yang tidak terkendali. Proses tersebut
terkendali apabila semua titik-titik pada grafik memiliki pola yang pada dasarnya
random. Namun metode melihat pola ini tidak dapat diterapkan sebagai penolong
dalam menyidik keadaan yang tidak terkendali. Biasanya ada alasan mengapa pola
tak random tertentu tampak dalam grafik pengendali.
Buku pedoman Western Electric (1956) mengusulkan sekumpulan aturan
pengambilan keputusan untuk penyidikan pola tak random pada grafik
pengendali. Buku tersebut mengusulkan bahwa proses tak terkendali apabila
memenuhi salah satu dari hal-hal berikut:
1. Satu titik jatuh di luar batas pengendali 3-sigma.
2. Dua dari tiga titik yang berurutan jatuh di luar batas peringatan 2-sigma.

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
11

3. Empat dari lima titik yang berurutan jatuh pada jarak 1-sigma atau lebih jauh
dari garis tengah.
4. Delapan titik yang berurutan jatuh pada satu sisi dari garis tengah.

Aturan-aturan tersebut berlaku pada satu sisi antara garis tengah dan batas
pengendali pada satu waktu. Aturan-aturan ini sangat efektif dalam praktek untuk
mempertinggi kepekaan grafik pengendali. Terdapat juga beberapa kriteria yang
digunakan secara luas dalam praktek, ketika kita memeriksa grafik pengendali dan
menyimpulkan bahwa proses tersebut tidak terkendali apabila dipenuhi salah satu
atau beberapa kriteria dibawah.
1. Satu atau beberapa titik berada di luar batas pengendali.
2. Suatu siklus dengan paling sedikit tujuh atau delapan titik, dengan macam
siklus dapat berbentuk siklus naik atau turun, siklus di atas atau di bawah garis
tengah, atau siklus di atas atau dibawah median.
3. Dua atau tiga titik yang berurutan berada di luar batas peringatan 2-sigma,
tetapi masih di dalam batas pengendali.
4. Empat atau lima titik yang berurutan berada di luar batas 1-sigma.
5. Pola tak biasa atau tak random dalam data.
6. Satu atau beberapa titik berada di dekat satu batas peringatan atau pengendali.
Misalkan w adalah statistik sampel yang mengukur suatu karakteristik mutu,
dan

adalah rata-rata w dan

grafik pengendali adalah

standar deviasi w, maka model umum untuk

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
12

BPA

  w  k

w

Garis Tengah   w
BPB

dengan k

(2.1)

  w  k

w

adalah “jarak” batas-batas pengendali dari garis tengah yang

dinyatakan dalam unit standar deviasi. Teori ini pertama kali ditemukan oleh Dr.
Walter A. Shewhart, dan grafik pengendali yang dikembangkan menurut asas-asas
ini seringkali dinamakan Grafik Pengendali Shewhart.
Berdasarkan banyaknya karakteristik mutu yang diukur, grafik pengendali
dibedakan menjadi 2 jenis yaitu grafik pengendali univariat dan grafik pengendali
multivariat. Grafik pengendali univariat digunakan jika hanya ada satu
karakteristik mutu yang diukur, sedangkan grafik pengendali multivariat
digunakan untuk mengukur dua atau lebih karakteristik mutu.
Grafik pengendali dapat diklasifikasikan ke dalam dua tipe umum. Apabila
karakteristik mutu dapat diukur dan dinyatakan dalam suatu bilangan, grafik
pengendalinya dinamakan grafik pengendali variabel. Dalam hal seperti itu, tepat
sekali menggambarkan karakteristik mutu dengan ukuran tengah dan ukuran
variabilitas. Grafik pengendali untuk nilai tengah dan variabilitas bersama-sama
dinamakan grafik pengendali variabel. Grafik

merupakan grafik yang paling

luas digunakan untuk pengendalian nilai tengah, sedangkan grafik yang
berdasarkan rentang sampel atau standar deviasi sampel digunakan untuk
mengendalikan variabilitas proses. Banyak karakteristik mutu tidak dapat tepat
digambarkan

secara

numerik.

Dalam

beberapa

kasus,

kita

biasanya

menggolongkan setiap produk untuk memeriksanya apakah sesuai atau tidak

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
13

dengan spesifikasi karakeristik mutu. Istilah “cacat” atau “tidak cacat” sering
digunakan untuk mengidentifikasi kedua klasifikasi produk tersebut. Kedua istilah
tersebut dapat diklasifikasikan ke dalam variabel khusus yang biner. Grafik untuk
karakteristik mutu seperti ini dinamakan grafik pengendali sifat (atribut).

2.1.1 Grafik Pengendali Variabel
Banyak karakteristik mutu yang dapat dinyatakan dalam suatu bilangan.
Misalnya, diameter ban dapat diukur dengan mikrometer dan dinyatakan dalam
centimeter. Suatu karakteristik mutu yang dapat diukur seperti dimensi, berat, atau
volume, dinamakan variabel.
Apabila yang diukur adalah karakteristik mutu (variabel), maka perlu
mengendalikan nilai rata-rata karakteristik mutu dan variabilitasnya. Pengendalian
rata-rata tingkat mutu biasanya dengan grafik pengendali rata-rata atau grafik

.

Variabilitas atau pemencaran proses dapat dikendalikan dengan grafik pengendali
untuk standar deviasi, yaitu grafik S, atau grafik pengendali untuk rentang, yaitu
grafik R.
Sangat penting untuk memelihara pengendalian rata-rata dan variabilitas
proses, Gambar 2.2 menunjukkan hasil suatu proses produksi. Dalam Gambar
2.2(a) rata-rata

dan standar deviasi

terkendali pada nilai nominalnya (

dan

), karena itu kebanyakan proses jatuh dalam batas spesifikasi. Namun dalam
Gambar 2.2(b)

telah bergeser ke nilai

, mengakibatkan produk yang

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
14

tidak sesuai lebih tinggi. Dalam Gambar 2.2(c) standar deviasi proses telah
bergeser ke suatu nilai

. Hal ini mengakibatkan proses yang tidak

terkendali lebih tinggi, meskipun

masih pada nilai nominal.

(a)

(b)

(c)

Gambar 2.2 Perlunya mengendalikan rata-rata proses dan variabilitas proses

2.1.2 Grafik Pengendali

dan S

Andaikan karakteristik mutu berdistribusi Normal dengan rata-rata
standar deviasi

yang diketahui. Jika

n, maka rata-rata sampelnya adalah

dan

merupakan sampel berukuran

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
15

X 

x1  x 2    x n
n

menurut Dennis D.Wackerly, William Mendenhall III, dan Richard L. Scheaffer
(2008) bahwa

X

berdistribusi Normal dengan rata-rata

dan standar deviasi

. Setiap rata-rata sampel akan berada di antara

  Z  / 2 x    Z  / 2



(2.2a)

n

dan

  Z  / 2 x    Z  / 2

dengan probabilitas

1

Dengan demikian, jika



(2.2b)

n

.
dan

diketahui, persamaan (2-2a) dan (2-2b) dapat

digunakan sebagai BPA dan BPB pada grafik pengendali rata-rata sampel. Nilai
Z  / 2 diganti dengan 3, sehingga digunakan batas 3-sigma. Jika suatu rata-rata

sampel berada di luar batas ini, maka rata-rata proses tidak lagi sama dengan .
Dalam praktek, biasanya

dan

tidak diketahui. Oleh karena itu nilai-nilai

tersebut harus diduga dari sampel-sampel pendahuluan yang diambil ketika proses
tersebut diduga terkendali. Dugaan ini harus didasarkan pada paling sedikit 20
sampai 25 sampel. Misalkan tersedia m sampel, masing-masing memuat n
observasi pada karakteristik mutu tersebut dan misalkan

adalah rata-

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
16

rata tiap sampel. Maka penduga terbaik untuk rata-rata proses

adalah rata-rata

keseluruhan, yaitu

X 

x1  x 2    x m

(2.3)

m

Jadi

X

akan digunakan sebagai garis tengah grafik x itu.

Jika

adalah variansi dari distribusi probabilitas yang tidak diketahui,

maka penduga tak bias untuk

adalah variansi sampel
n

 (x
S

2



i

 x)

2

i 1

n 1

namun, standar deviasi sampel S bukan penduga tak bias untuk . Jika distribusi
yang melandasi adalah Normal, sebenarnya S menduga

c 4

dengan

c4

adalah

suatu konstanta yang bergantung pada ukuran sampel n. Selanjutnya menurut
Douglas C. Montgomery, bahwa dalam Pengantar Pengendalian Mutu Statistik
(1990), standar deviasi S adalah  1  c 42 dengan c 4 
dapat digunakan untuk membuat grafik pengendali
Karena E(S)=

c 4

4 ( n  1)
4n  3

. Informasi ini

dan S.

, garis tengah grafik tersebut adalah

c 4

. Batas

pengendali 3-sigma bagi S adalah
BPA  c 4   3

1  c4

BPB  c 4   3

1  c4

2

2

(2.4)

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
17

didefinisikan konstanta untuk
B 5  c 4   3 1  c 4

2

(2.5a)

B 6  c 4   3 1  c 4

(2.5b)

dan

2

dengan demikian batas pengendali untuk grafik S menjadi
BPA  B 6 
Garis tengah  c 4 

(2.6)

BPB  B 5 

Nilai-nilai c 4 , B 5 , dan B 6 ditabelkan dalam Tabel Lampiran 1 untuk berbagai
himpunan bagian. Parameter grafik

x

adalah

BPA    A 
Garis tengah  

(2.7)

BPB    A 

dengan A = 3 / n .
Jika nilai standar bagi  tidak diberikan, maka diduga dengan data yang
lalu. Andaikan ada m sampel awal masing-masing berukuran n, dan misalkan S i
adalah standar deviasi sampel ke-i. Rata-rata m standar deviasi tersebut adalah

S 

1
m

m

S
i 1

i

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
18

Statistik S / c 4 adalah penduga tak bias untuk  . Dengan demikian, parameter
grafik S menjadi

BPA  S  3

S

1  c4

2

c4
Garis tengah  S
BPB  S  3

(2.8)
S

1  c4

2

c4

Biasanya didefinisikan konstanta

B3  1 

3
c4

1  c4

2

(2.9a)

1  c4

(2.9b)

dan

B4  1 

3
c4

2

Dengan demikian parameter grafik S dapat ditulis sebagai
BPA  B 4 S
Garis tengah  S

(2.10)

BPB  B 3 S

Perhatikan bahwa B 4  B 6 / c 4 dan B 3  B 5 / c 4 .
Apabila S / c 4 digunakan untuk menduga  , batas pengendali grafik
dapat didefinisikan sebagai

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
19

BPA  x 

3S
c4

n

Garis tengah  x
BPB  x 

(2.11)
3S
c4

n

Andaikan konstanta A3  3 /( c 4 n ) . Maka parameter grafik

menjadi

BPA  x  A 3 S
Garis tengah  x

(2.12)

BPB  x  A 3 S

2.2 Nilai Eigen dan Vektor Eigen
Definisi 2.2.1 (Nilai Eigen dan Vektor Eigen)
matriks yang berukuran

Andaikan A adalah suatu

. Skalar  disebut sebagai nilai eigen atau nilai

karakteristik dari A jika terdapat suatu vektor taknol x, sehingga Ax =  x . Vektor
x disebut vektor eigen atau vektor karakteristik dari A yang bersesuaian dengan 
.
Contoh 2.2.1
4

Andaikan A  
1

 2
2
 dan x   
1 
1 

Karena
4
Ax  
1

 2

1 

2  6 
2


3
   
   3x
1  3 
1 

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
20

dari persamaan terlihat bahwa 

 3

adalah nilai eigen dari A dan

x  [ 2 ,1 ]'

adalah vektor eigen dari  . Sebarang kelipatan taknol dari x akan menjadi vektor
eigen, karena
A ( x )   A x    x   ( x )

Jadi, sebagai contoh, [4,2]’ juga merupakan vektor eigen dari 
4

1

 3.

 2   4  12 
4
       3 
1  2  6 
2

Persamaan Ax =  x dapat dituliskan dalam bentuk

 A   I x

 0

(2.13)

Jadi  adalah nilai eigen dari A jika hanya jika (2.13) memiliki penyelesaian tak
trivial. Persamaan (2.13) akan memiliki peyelesaian tak trivial jika hanya jika

 A   I  singular atau
det  A   I   0

(2.14)

Jika determinan pada (2.14) diuraikan, akan didapatkan suatu polinom berderajat
ke-n dalam peubah  .
p (  )  det  A   I 

Polinom ini disebut polinom karakteristik dan (2.14) disebut persamaan
karakteristik untuk matriks A. Akar dari polinom karakteristik adalah nilai eigen
dari A.

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
21

Contoh 2.2.2
Carilah nilai-nilai eigen dan vektor eigen yang bersesuaian dari matriks
3
A 
3

2 

 2

Persamaan karakteristiknya adalah
3

2

3

2

Nilai-nilai eigen dari A adalah  1
dari  1

 4,

 0

atau

 4

dan  2

    12  0
2

 3 .

harus ditentukan kernel (ruang nol) dari
 1
A  4I  
 3

Dengan menyelesaikan  A  4 I x

 0

Untuk mencari vektor eigen
A  4I

.

2 

 6

, didapatkan


x  2 x 2 ,x 2 

Jadi semua kelipatan taknol dari [2,1]’ adalah vektor eigen dari  1 . Dengan cara
yang sama, untuk mendapatkan vektor eigen dari  2 harus diselesaikan

 A  3 I x

 0.

Vektor eigen dari  2 adalah semua kelipatan taknol dari [-1,3]’.

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
22

2.3 Konsep-Konsep Penting dalam Statistika Univariat
2.3.1 Nilai Harapan Variabel Random
Definisi 2.3.1 Nilai harapan suatu variabel random X didefinisikan oleh

  x f ( x ) dx
  
E(X )  

 x p ( x)
  x

jika X variabel random kontinu
dengan fungsi densitas

f (x)

(2.15)
jika X variabel random diskret
dengan fungsi probabilit as p ( x )

2.3.2 Variansi Variabel Random
Definisi 2.3.2 Variansi dari suatu variabel random X dengan E(X) = μ adalah
nilai harapan dari  X    . Yaitu
2



Var ( X )  E  X   

2



(2.16)

2.3.3 Kovariansi Dari Dua Variabel Random
Definisi 2.3.3 Jika X dan Y adalah variabel random dengan distribusi
probabilitas bersama f (x,y), Kovariansi dari X dan Y adalah





Cov ( X , Y )  E  X   x Y   y 

dengan  x  E ( X ) dan  y  E (Y ) .

(2.17)

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
23

2.3.4 Independensi Variabel Random
Definisi 2.3.4.1 Independen Secara Statistis Jika probabilitas bersama
P [ X i  x i dan X k  x k ] dapat ditulis sebagai perkalian probabilitas marginal,

sedemikian sehingga
P [ X i  x i dan X k  x k ]  P [ X i  x i ] P [ X k  x k ]

(2.18)

Untuk semua nilai pasangan x i , x k , maka X i dan X k dikatakan independen secara
statistis.

Jika X i dan X k adalah variabel random kontinu dengan fungsi densitas
bersama f ik ( x i , x k ) dan densitas marginal f i ( x i ) dan f k ( x k ) , maka
f ik ( x i , x k )  f i ( x i ) f k ( x k )

(2.19)

Untuk semua pasangan ( x i , x k ) .

Definisi 2.3.4.2 Variabel Random Kontinu yang Independen Secara Statistis
Variabel random kontinu X 1 , X 2 ,  , X

p

dikatakan saling independen secara

statistis jika fungsi densitas bersamanya dapat difaktorkan sebagai
f 12  p ( x 1 , x k ,  , x p )  f 1 ( x 1 ) f 2 ( x 2 k )  f p ( x p )

(2.20)

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
24

Untuk semua

p

-tuple ( x1 , x 2 ,  x p ) .

2.3.5 Sifat-Sifat Nilai Harapan dan Kovariansi Dalam Statistika Univariat
Teorema 2.3.5.1 Andaikan X dan Y adalah variabel random yang independen,
dan c adalah konstanta, maka
1 . E ( X  Y )  E ( X )  E (Y )
2 . E ( XY )  E ( X ) E (Y )
3 . E ( cX )  cE ( X )
4 . Var ( cX )  c Var ( X )
2

Bukti
Jika X dan Y adalah variabel random kontinu, maka
1. E ( X  Y ) 


 ( x 
 xf

y ) f ( x , y ) dx dy

( x ) dx 

 yf ( y ) dy

 E ( X )  E (Y )

2 . E ( XY ) 


 ( xy ) f ( x , y ) dx dy

 x f ( x ) dx  y f ( y ) dy 

 E ( X ) E (Y )

3.

E (c X ) 

 ( c x ) dx

 c  ( x ) dx
 c E(X )

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
25

4.



Var ( cX )  E cx  c  


 E c  x

2



 E ( cx )  ( c  )  2 c x 
2

2

2

2





 2 x

2

 E (c ) E x  
2



2

 c E (x   )
2

2

2

2



 2 x







 c Var ( X )
2

Bukti untuk X dan Y adalah variabel random diskret dapat diselesaikan secara
analog.

Teorema 2.3.5.2 Jika X dan Y merupakan variabel random independen, maka
Cov ( X , Y )  0

(2.21)

Bukti:
Cov ( X , Y )  E  X  E ( X ) Y  E (Y ) 
 E  XY  YE ( X )  XE (Y )  E ( X ) E (Y ) 
 E ( XY )  E (Y ) E ( X )  E ( X ) E (Y )  E ( X ) E (Y )
 E ( XY )  E (Y ) E ( X )
 E ( XY )  E ( XY )
 0

Teorema tersebut tidak berlaku sebaliknya, ada situasi dimana Cov ( X , Y )  0
namun

X dan Y

tidak independen.

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
26

Teorema 2.3.5.3 Kovariansi dari dua variabel random independen X dan Y
dengan E ( X )   x dan E (Y )   y , secara berturut-turut adalah
Cov ( X , Y )  E ( X Y )   x  y

.

(2.22)

Bukti:



 E  XY     Y    X      
 E  XY   E   Y   E  X     

Cov ( X , Y )  E  X   x Y   y 
x

y

x

x

y

y

x

y

 E  XY    x  y   x  y   x  y
 E  XY    x  y

Teorema 2.3.5.4 (Kovariansi dari Kombinasi Linear Variabel Random) Jika
X dan Y adalah variabel random dan

a dan b

adalah konstanta, maka

Cov ( X , Y )  ab  12

Dari kombinasi linear

aX  bY

didapatkan

E ( aX  bY )  a  1  b  2
Var ( aX  bY )  a  11  b 
2

2

22

 2 ab  12

(2.23)

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
27

Bukti
Cov ( aX , bY )  E ( aX  a  1 )( bY  b  2 )
 abE ( X   1 )( Y   2 )
 abCov ( X , Y )
 ab  12

E ( aX  bY )  aE ( X )  bE (Y )  a  1  b  2
Var ( aX  bY )  E ( aX  bY )  ( a  1  b  2 ) 
 E a ( X   1 )  b ( Y   2 ) 



2

2

 E a ( X   1 )  b (Y   2 )  2 ab ( X   1 )( Y   2 )
2

2

2

2



 a Var ( X )  b Var (Y )  2 abCov ( X , Y )
2

2

 a  11  b 
2

2

22

 2 ab  12

2.4 Konsep-Konsep Penting dalam Statistika Multivariat
2.4.1 Vektor Random dan Matriks Random
Definisi 2.4.1.1 (Vektor Random) Vektor random adalah vektor yang elemenelemennya merupakan variabel random, dan matriks random adalah matriks yang
elemen-elemennya adalah variabel random

Contoh 2.4.1.1 (Vektor dan Matriks Random)
Vektor random X yang elemen-elemennya merupakan p variabel random dapat
ditulis sebagai

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
28

 X1 


X2


X 
  


 X p 

sedangkan matriks random X yang berukuran p

q yang elemen-elemennya

merupakan variabel random dapat ditulis sebagai
 X 11

X 21
X  
 

 X p 1

X 12



X



22


X

p2




X 1q 

X 2q

 

X pq 

2.4.2 Vektor Rata-rata dan Matriks Kovariansi
Definisi 2.4.2.1 Rata-rata vektor random

X

yang berukuran

p 1

didefinisikan sebagai
 E ( X 1 )   1 

 

2
E(X 2)




μ  E (X ) 


   


 

 E ( X p )    p 

(2.24)

Definisi 2.4.2.2 Matriks kovariansi dari dua vektor random X dan Y adalah



Cov ( X , Y )  E ( X  μ x )( Y  μ y )'



(2.25)

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
29

Definisi 2.4.2.3 Andaikan terdapat dua vektor random X dan Y, dengan X=Y
maka Cov(X,X) dapat ditulis sebagai

Σ  Cov ( X )

, yang disebut sebagai matriks

dispersi (variansi-kovariansi) dari X.
Σ  E ( X  μ )( X  μ )' 

2

E ( X 1  1 )

E ( X 2   2 )( X 1   1 )
 



 E ( X p   p )( X 1   1 )

E ( X 1   1 )( X 2   2 )
E(X 2  2)

2




E(X

p





  p )( X 2   2 )



 p)

E ( X 2   2 )( X p   p ) 



2
E(X p   p )

E ( X 1   1 )( X

p

Atau
  11

 21
Σ  Cov ( X )  
 

 p 1

 12



 1p 

 22



 2p







p2





 

 pp 

(2.26)

Karena  ik  E ( X i   i )( X k   k )   ki , maka
  11

 21
Σ  E ( X  μ )( X  μ )'  
 

 p 1

 12



 1p 

 22



 2p







p2





 

 pp 

(2.27)

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
30

Teorema 2.4.2.1

X

dimensi yang sama,

dan

Y

A dan B

adalah matriks random yang independen dengan
adalah matriks konstanta yang sesuai. Maka,

1.

E (X  Y )  E (X )  E (Y )

2.

E ( AXB )  A E ( X ) B

.

Bukti:
1. Jika

X

dan

Y

adalah matriks variabel random yang diskret, maka
E ( X  Y )  E ( X ij  Y ij )

  (x  y ) p
   x p (x ) 
  x p (x )  


ij

ij

ij

ij

ij

ij

ij

ij

ij

( x ij , y ij )
y ij p ij ( y ij )
y ij p ij ( y ij )

 E (X )  E (Y )

2.

E ( AXB )  A E ( X)B


 n n
E ( AXB )  E    A ik X k  B  j 

 k 1  1
n



n



A ik E ( X k  ) B  j

k 1  1

 A E ( X )B

Bukti untuk X dan Y adalah matriks variabel random kontinu dapat dikerjakan
secara analog.

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
31

2.4.3 Menyekat Matriks Kovariansi
Sebanyak p buah karakteristik yang termuat dalam vektor random X yang
berukuran
q

p 1

dapat disekat menjadi, misalnya, dua kelompok yang berukuran

p  q

dan

 X1 





 Xq 


X     
X

q 1


  
 X 
p 


 1 







q

  q   μ (1 ) 
 X (1 ) 


 




      dan μ  E ( X )            


  μ (2) 
 X (2) 

q 1




 
pq





  
p 


(2.28)

Dengan definisi perkalian dan transpose matriks didapatkan

(X

(1 )

μ

 X1

X2
 


 X q

(1 )

)( X

 1 

 2
 X



  q 



(2)

μ

q 1

(2)

)'

  q 1, X

 ( X 1   1 )( X q  1   q  1 )

( X 2   2 )( X q  1   q  1 )
 



 ( X q   q )( X q  1   q  1 )

q2

  q 2,  , X

p

p



( X 1   1 )( X

q2

  q 2, )



( X 1   1 )( X

p

  2 )( X

q2

  q  2, )



(X

  2 )( X

p

(X

2


(X

q

2



  q )( X

q2

  q  2, )




(X

q

  q )( X

p

 p)

 p)



  p ) 

(1 )
(1 )
(2)
(2)
Nilai harapan dari matriks ( X  μ )( X  μ )' adalah

E (( X

(1 )

μ

(1 )

)( X

(2)

  1, q 1

 2 , q 1
(2)
 μ )' )  
 

 q , q  1

 1, q  2



 1p 

 2 ,q  2



 2p





 q ,q  2




  Σ
12
 

 qp 

(2.29)

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
32

Semua kovariansi  ij , i  1, 2 ,  , q , j  q  1, q  2 ,  , p . Matriks

Σ 12

tidak selalu

simetris walaupun persegi.
Menyekat matriks dapat dilakukan secara
 ( X (1 )  μ (1 ) ) ( X (1 )  μ (1 ) )'
( q 1 )
(1 q )
( X  μ )( X  μ )'  
 ( X ( 2 )  μ ( 2 ) ) ( X (1 )  μ (1 ) )'
(( p  q ) 1 )
(1 q )


(X
(X

(1 )

μ

( q 1 )
(2)

μ

(1 )

(2)

) (X

(2)

) (X

(( p  q ) 1 )

μ

(2)

(1 ( p  q ))
(2)
(2)

μ

(( p  q ) 1 )

)' 

)' 


(2.30)
Akibatnya,
pq

q
q

Σ  E ( X  μ )( X  μ )' 

( p p )

pq

 Σ 11

 Σ 21

Σ 12 

Σ 22 






  qp 


  q 1, p 





 pp 

( p p )

  11



  q1

 
  q  1 ,1



  p1


Didapatkan



 1q

 1, q 1









 qq

 q , q 1



 q 1, q

 q 1, q 1











Σ 12  Σ 21 ,

elemen-elemen

X

(1 )



pq

p , q 1



 1p

(2.31)

kovariansi matriks X (1) adalah

dan X

(2)

adalah

Σ 12

atau

Σ 21

Σ 11

dan X ( 2 ) adalah

Σ 22

(1 )
(2)
, maka Cov ( X , X )  Σ 12

adalah matriks dengan elemen semua kovariansi antara

X

(1 )

dan X

(2)

.

,

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
33

2..4.4 Vektor Rata-Rata dan Matriks Kovariansi untuk Kombinasi Linear
Variabel random
Diketahui

c'  [ a , b ], aX

 bX

1

2

dapat ditulis sebagai berikut

X1
b 
  c' X
X 2

a

Jika

E ( aX

1

 bX 2 )  a  1  b  2 ,

maka
 1 
b     c' μ
 2 

a



Apabila Σ   11
 21

 12 

 dijadikan matriks variansi-kovariansi dari X , maka

 22 

persamaannya menjadi
Var ( aX

1

 bX 2 )  Var ( c' X )  c' Σc

(2.32)

Karena

c' Σc  [ a

  11
b] 
 21

 12   a 
 22

    a  11  2 ab  12  b  22 .
 b 
2

2

Hasil diatas dapat diperluas ke dalam kombinasi linear dari p variabel random.

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
34

Teorema 2.4.4.1 Kombinasi linear c' X  c 1 X 1    c p 1 X 1 p mempunyai
Rata  Rata  E ( c' X )  c' μ
Variansi

Dengan

 Var ( c' X )  c' Σc

μ  E ( X ) dan Σ  Cov ( X ) .

Bukti:
E ( c' X )  E ( c1 X 1    c p X p )
 c1 E ( X 1 )    c p E ( X p )
 c1  1    c p  p



 c1  c p

 1 


  
 p 





 c μ

Var ( c' X )  Var ( c 1 X 1    c p X p )
 Var ( c 1 X 1 )    Var ( c p X p )
 c 1 Var ( X 1 )    c p Var ( X p )
2

2

 c 1 c 1 1     c p c p 
 c 1 1 c 1    c p 

p

p

c



p

 c1 
 
  c1 1     c p  p    
c p 
 





 1 


 c1  c p   
 p 





 c' Σc



 c1 
 
  
c p 
 

(2.33)

PLAGIAT
PLAGIATMERUPAKAN
MERUPAKANTINDAKAN
TINDAKANTIDAK
TIDAKTERPUJI
TERPUJI
35

Secara umum, q kombinasi linear dari p variabel random ada