Distribusi weibull : sifat-sifat dan aplikasinya dalam analisis data waktu hidup dan pengendalian mutu - USD Repository

  

DISTRIBUSI WEIBULL: SIFAT-SIFAT DAN APLIKASINYA DALAM

ANALISIS DATA WAKTU HIDUP DAN PENGENDALIAN MUTU

  Skripsi Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat

  Memperoleh Gelar Sarjana Program Studi Matematika Oleh:

  Cecilia Novianti Salsinha NIM: 083114015

  

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA

FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI

UNIVERSITAS SANATA DHARMA

YOGYAKARTA

2012

  

WEIBULL DISTRIBUTION: CHARACTERISTICS AND ITS

APPLICATIONS IN LIFETIME DATA ANALYSIS AND

QUALITY CONTROL

  Thesis Presented as Partial Fulfillment of the Requirements to Obtain the Sarjana Sains Degree in Mathematics

  By: Cecilia Novianti Salsinha

  Student Number: 083114015

  

MATHEMATICS STUDY PROGRAM, MATHEMATICS DEPARTMENT

FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

  

2012

HALAMAN PERSEMBAHAN

  )

  ! "#$% " # & "'( MOTTO

• , ) - .
• ) )

  

ABSTRAK

Distribusi Weibull merupakan salah satu distribusi probabilitas kontinu.

  Sama halnya dengan distribusi lainnya, distribusi Weibull pun dicirikan dengan Mean, Variansi dan Fungsi Pembangkit Momen. Kelebihan distribusi ini dibandingkan dengan distribusi lainnya adalah fleksibilitasnya, yaitu distribusi ini dapat berubah menjadi distribusi lain seperti distribusi eksponensial tergantung pada nilai parameter distribusi yang dipilih yaitu parameter skala dan parameter bentuk. Jika dilihat dari grafik distribusinya maka akan tampak sangat jelas fleksibilitas tersebut.

  Salah satu aplikasi dari distribusi Weibull yaitu dapat digunakan dalam analisis data waktu hidup. Distribusi ini merupakan distribusi yang paling baik jika dibandingkan dengan distribusi lainnya seperti distribusi Eksponensial yang mengasumsikan tingkat kegagalan komponen konstan. Distribusi Weibull cukup mendeskripsikan waktu kegagalan dari komponen ketika tingkat kegagalan dari komponen tersebut meningkat atau menurun seiring dengan bertambahnya waktu. Selain dalam analisis data waktu hidup, distribusi ini juga dapat digunakan dalam pengendalian proses statistik. Oleh karena tidak semua data berdistribusi normal maka grafik pengendali Shewhart tidak dapat digunakan. Salah satu cara menyelesaikan masalah tersebut adalah data dianalisis dengan grafik pengendali Weibull dengan memanfaatkan kuantil-kuantil yaitu 0,00135, 0,5 dan 0,99865. Kuantil 0,00135 adalah kuantil bawah yang digunakan untuk membentuk Batas Pengendali Bawah, Garis Tengah adalah median dari data yaitu 0,5 yang menggantikan rata-rata dan untuk membentuk Batas Pengendali Atas digunakan kuantil atas yaitu 0,99865. Kata kunci: distribusi Weibull, kertas peluang Weibull, analisis data waktu hidup, pengendalian mutu, grafik pengendali, rata-rata kegagalan komponen.

  

ABSTRACT

Weibull distribution is one of the continous probability density

  function. Similar to other distributions, Weibull distribution also characterized by mean, variance and moment generating function. The goodness of this distribution compared to other distributions is its flexibility, that is the distribution can be transformed into other distribution such as exponential distribution depends on the parameter selected. The flexibility obviously can be seen from the graph.

  One of the applications of Weibull distribution is the distribution can be used in a lifetime data analysis. This distribution is the best distribution compared to other distributions such as Exponential distribution, which assumes a constant failure rate of component. Weibull distribution is sufficient to describe a failure of the component when the failure rate is increases or decreases in time. In addition to the lifetime data analysis, this distribution can also be used in statistical process control. Because not all of data follows normal distribution so Shewhart control chart can’t be applied. To solve this problem we can use Weibull control chart to analyze the data by using 0,00135, 0,5 and 0,99865 as quantiles. 0,00135 quantile is the lower quantile used to construct Lower Specification Limit, the Center Line is the median of data that is 0,5 which replaces mean and to construct Upper Specification Limit, upper quantile that is 0,99865 quantile is used. Keywords: Weibull distribution, Weibull probability paper, lifetime data

  analysis, quality control based on Weibull distribution, control charts, the average of failure component.

KATA PENGANTAR

  Puji dan syukur penulis haturkan ke hadirat Tuhan Yang Maha Kuasa atas segala berkat dan penyertaanNya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan baik. Skripsi yang berjudul “Distribusi Weibull: Sifat-Sifat dan Aplikasinya

  Dalam Analisis Data Waktu Hidup dan Pengendalian Mutu” ini adalah salah satu syarat untuk memperoleh gelar sarjana Matematika pada Fakultas Sains dan Teknologi. Dalam penulisan skripsi ini, tentunya penulis telah menerima bantuan baik secara moril maupun materil dari berbagai pihak. Oleh karena itu penulis ingin menyampaikan ucapan terima kasih kepada: 1.

  Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko,M.Sc selaku dosen pembimbing yang dengan penuh kesabaran telah memberikan bimbingan, nasihat dan arahan kepada penulis.

  2. Ibu Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si. selaku Ketua Program Studi Matematika beserta Ibu Ch. Enny Murwaningtyas, S.Si., M.Si yang telah memberikan banyak bimbingan dalam hal akademik dan perkuliahan.

  3. Seluruh bapak dan ibu dosen yang telah memberikan banyak ilmu pengetahuan kepada penulis selama menjalani perkuliahan di Universitas Sanata Dharma.

  4. Mas Susilo selaku laboran yang telah banyak membantu penulis dalam perkuliahan, terutama dalam penulisan skripsi ini.

  5. Perpustakaan Universitas Sanata Dharma dan staf sekretariat Fakultas Sains dan Teknologi yang telah memberikan fasilitas dan kemudahan pembelajaran, serta administrasi bagi penulis selama masa perkuliahan.

  6. Ayahanda yang penulis banggakan dan Ibundaku tercinta serta adik- adikku Yustina Salsinha dan Thomas Salsinha yang telah banyak memberikan dukungan dan pengorbanan sehingga penulis dapat menyelesaikan studi dengan baik.

  7. Kakak Oktovianus Koa atas perhatian dan kasih sayangnya serta telah memberikan dukungan, nasihat dan semangat kepada penulis dalam perkuliahan terlebih dalam penyusunan skripsi ini.

  8. Teman-teman angkatan 2008 Program Studi Matematika yaitu Yudith, Hilary, Amel, Marcel, Fenny, Ethus, Moyo dan Widi yang telah memberikan dukungan dan semangat dalam perkuliahan terlebih dalam penyusunan skripsi ini.

  9. Teman-teman Kos Putri Aulia: K Merlyn Kris, Kakatua, Awo, Sende, Elpir, Wiwi, Tere, Asri dan Tesa serta Pipot yang selalu memberikan semangat dan dukungan dalam perkuliahan dan dalam penyelesaian skripsi ini.

  10. Teman-teman KKN XLII Kelompok 33: Ermen, Ulin, Susan, Adel, Arum, Abet dan Aben.

  11. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu yang telah banyak memberikan bantuan, dorongan dan motivasi sehingga skripsi ini dapat terselesaikan. Penulis menyadari bahwa skripsi ini masih jauh dari kesempurnaan, maka saran dan kritik yang konstruktif dari semua pihak sangat diharapkan demi penyempurnaan selanjutnya. Semoga skripsi ini dapat bermanfaat bagi semua pihak, khususnya bagi penulis dan para pembaca pada umumnya.

  Yogyakarta, April 2012 Penulis

  Cecilia Novianti Salsinha

  

DAFTAR ISI

  Halaman HALAMAN JUDUL ........................................................................................ i HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS ..................................... ii HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .............................................. iii HALAMAN PENGESAHAN .......................................................................... iv HALAMAN PERSEMBAHAN ...................................................................... v HALAMAN PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ..................................... vi HALAMAN ABSTRAK .................................................................................. vii HALAMAN ABSTRACT ............................................................................... viii LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI........................... ix KATA PENGANTAR ..................................................................................... x DAFTAR ISI .................................................................................................... xii DAFTAR TABEL ............................................................................................ xvii

  DAFTAR GAMBAR ...................................................................................... xviii

  BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah............................................................................ 1 B. Rumusan Masalah ..................................................................................... 4 C. Pembatasan Masalah ................................................................................. 4 D. Tujuan Penulisan ....................................................................................... 5 E.

  F.

  Metode Penulisan ...................................................................................... 5 G.

  Sistematika Penulisan ............................................................................... 6

  BAB II LANDASAN TEORI A. Distribusi Probabilitas ................................................................................. 10 1. Variabel Random ................................................................................... 10 2. Fungsi Probabilitas ................................................................................. 11 a. Distribusi Probabilitas Diskret ........................................................... 11 b. Distribusi Probabilitas Kontinu ......................................................... 12 3. Fungsi Distribusi Kumulatif ................................................................... 12 4. Karakteristik Distribusi Probabilitas....................................................... 13 a. Mean .................................................................................................. 13 b. Variansi .............................................................................................. 13 c. Momen ............................................................................................... 14 d. Fungsi Pembangkit Momen ............................................................... 14 B. Distribusi Eksponensial ............................................................................... 15 1. Fungsi Probabilitas ................................................................................. 15 2. Sifat-sifat Distribusi Eksponensial ......................................................... 15 a. Fungsi Pembangkit Momen ............................................................... 15

  b.

  Mean .................................................................................................. 16 c. Variansi .............................................................................................. 17 C. Distribusi Gamma ........................................................................................ 18 1.

  Fungsi Probabilitas ................................................................................. 18 2. Sifat-sifat Distribusi Gamma .................................................................. 19 a.

  Fungsi Pembangkit Momen ............................................................... 19 b.

  Mean .................................................................................................. 20 c. Variansi .............................................................................................. 21 D. Teorema Nilai Rata-rata Untuk Turunan ..................................................... 23 E. Deret Taylor ................................................................................................ 25 F.

  Metode Maksimum Likelihood ................................................................... 29 G.

  Pengendalian Proses Statistik ...................................................................... 31 1.

  Grafik Pengendali ................................................................................... 32 2. Analisis Kemampuan Proses .................................................................. 34

  BAB III DISTRIBUSI WEIBULL A. Fungsi Probabilitas .................................................................................... 39 B. Grafik Distribusi ....................................................................................... 41 C. Fungsi Distribusi Kumulatif ..................................................................... 44

  D.

  Sifat-sifat Distribusi Weibull .................................................................... 45 1.

  Mean .................................................................................................. 45 2. Variansi .............................................................................................. 46 3. Fungsi Pembangkit Momen ............................................................... 48 E. Kertas Peluang Weibull ............................................................................ 52 1.

  Grafik Probabilitas Weibull ............................................................... 52 2. Skala Dalam Kertas Peluang Weibull ................................................ 55 a.

  Kertas Peluang Weibull Jenis Pertama (1 cycle ) ............... 59 b.

  Kertas Peluang Weibull Jenis Kedua (2 cycle ) .................. 60 c.

  Kertas Peluang Weibull Jenis Ketiga (3 cycle ) .................. 61 F.

  Pendugaan Parameter Distribusi ............................................................... 61

  BAB IV APLIKASI DISTRIBUSI WEIBULL A. Aplikasi Dalam Analisis Data Waktu Hidup ............................................ 68 1. Reliabilitas ......................................................................................... 68 b. Sistem Seri .................................................................................. 70 c. Sistem Paralel ............................................................................. 73 2. Distribusi Waktu Kegagalan .............................................................. 76 3. Model Waktu Hidup Weibull............................................................. 84

  B.

  Aplikasi Dalam Pengendalian Mutu ......................................................... 89 1.

  Grafik Pengendali .............................................................................. 89 2. Perbandingan Kemampuan Proses ..................................................... 91

  BAB V PENUTUP A. Kesimpulan ................................................................................................. 100 B. Saran ............................................................................................................ 101 DAFTAR PUSTAKA ...................................................................................... 102 LAMPIRAN ..................................................................................................... 105

  

DAFTAR TABEL

  Halaman

Tabel 2.1 ........................................................................................................... 10Tabel 3.1 ........................................................................................................... 55

  

DAFTAR GAMBAR

  Halaman

Gambar 2.1 ....................................................................................................... 23Gambar 2.2 ....................................................................................................... 41Gambar 2.3 ....................................................................................................... 33Gambar 2.4 ....................................................................................................... 37Gambar 2.5 ....................................................................................................... 37Gambar 3.1 ....................................................................................................... 42Gambar 3.2 ....................................................................................................... 43Gambar 3.3 ....................................................................................................... 58Gambar 3.4 ....................................................................................................... 59Gambar 3.5 ....................................................................................................... 60Gambar 3.6 ....................................................................................................... 61Gambar 3.7 ....................................................................................................... 62Gambar 3.8 ....................................................................................................... 66Gambar 4.1 ....................................................................................................... 71Gambar 4.2 ....................................................................................................... 74Gambar 4.3 ....................................................................................................... 81Gambar 4.4 ....................................................................................................... 86Gambar 4.5 ....................................................................................................... 87Gambar 4.6 ....................................................................................................... 88Gambar 4.7 ....................................................................................................... 88Gambar 4.8 ....................................................................................................... 94Gambar 4.9 ....................................................................................................... 96Gambar 4.10 ..................................................................................................... 97Gambar 4.11 ..................................................................................................... 99

  BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah Distribusi Weibull dikembangkan antara tahun 1922 dan 1943. Distribusi ini menggunakan nama seorang ahli mesin dari Swedia, Waloddi Weibull. Hal ini disebabkan karena dialah yang mempublikasikan distribusi ini sehingga dikenal oleh dunia internasional. Awalnya distribusi ini digunakan oleh Rosin, Rammler dan Sperling pada tahun 1933 dalam proses penghancuran material padat. Selanjutnya pada tahun 1939 digunakan oleh Weibull untuk mengukur kekuatan material.

  Lebih dari setengah abad distribusi Weibull telah menarik perhatian ahli statistik yang mempelajari teori dan metode dalam berbagai bidang aplikasi statistika. Ratusan bahkan ribuan dokumen menuliskan distribusi ini. Distribusi ini menjadi orientasi dari ahli statistika karena kelebihannya yakni dapat digunakan dalam berbagai bidang mulai dari da- ta uji hidup sampai data cuaca atau observasi antara lain dalam bidang ekonomi, hidrologi dan biologi.

  Distribusi Weibull termasuk dalam keluarga dari distribusi eksponensial. Fungsi densitas dari distribusi eksponensial adalah

  , = {

  , dengan adalah parameter distribusi. Distribusi eksponensial merupakan distribusi yang sering digunakan dalam analisis data waktu hidup. Pada umumnya data uji hidup tidak berdistribusi normal sehingga tidak dapat diselesaikan dengan prosedur statistik standar dalam menganalisis data.

  Dalam penerapan tersebut distribusi eksponensial diasumsikan sebagai distribusi dari waktu kegagalan. Misalkan adalah fungsi densitas dari waktu kegagalan komponen sehingga probabilitas komponen tersebut akan gagal antara sampai

• adalah ∙ . Jadi probabilitas komponen tersebut akan gagal pada interval antara 0 sampat t adalah

  = dan fungsi reliabilitas yang memperlihatkan bahwa komponen tersebut bertahan sampai waktu t adalah

  = 1 − = 1 − #

  Karena distribusi dari waktu kegagalan diasumsikan berdistribusi

  %

  Eksponensial maka = 1 − # $

  %

  = 1 − 1 − $

  % = $

  dengan adalah tingkat kegagalan dan adalah lamanya komponen tersebut bertahan.

  Distribusi eksponensial memiliki kelemahan. Distribusi ini hanya dapat digunakan jika tingkat kegagalan komponen diasumsikan konstan, padahal dalam banyak kasus tingkat kegagalan komponen tidak selalu konstan (Johnson, 2005). Dalam beberapa kasus, waktu kegagalan komponen juga mungkin akan sangat panjang sepanjang periode pengujian. Oleh karena itu model eksponensial tidak dapat digunakan, dan sebagai solusi untuk masalah tingkat kegagalan komponen yang tidak konstan digunakan distribusi Weibull.

  Secara umum fungsi densitas dari distribusi Weibull adalah

  ( ) * (

&' , + ,+- ,& ,'

  (1.1)

  = { ,

  Dapat dilihat bahwa jika pada persamaan (1.1) = 1 maka fungsi distribusi di atas menjadi fungsi eksponensial dengan = .. Salah satu kelebihan dari distribusi Weibull adalah dapat digunakan jika tingkat kegagalannya menurun atau meningkat sesuai dengan peningkatan waktu.

  Sesuai dengan uraian di atas maka penulis ingin mempelajari lebih jauh tentang distribusi Weibull khususnya sifat - sifat dan aplikasinya dalam analisis data waktu hidup (lifetime data) dan pengendalian mutu.

  Salah satu alat yang digunakan dalam pengendalian mutu adalah grafik pengendali (control charts). Grafik pengendali adalah perangkat statistik grafis yang digunakan untuk mengontrol suatu proses berulang. Grafik pengendali sangat berguna dalam menetapkan standar pencapaian dari sebuah proses, membantu mencapai standar tersebut dan mempertimbangkan standar mana yang sudah tercapai.

  Grafik pengendali yang biasanya digunakan dalam praktik didasarkan pada analisis distribusi normal yaitu dengan rata-rata Shewhart

  

σ

  3 (standar deviasi). Namun demikian dan kisaran grafik pengendali tidak semua data berdistribusi normal. Jika data tak berdistribusi normal dan tetap dianalisis dengan grafik pengendali tersebut dengan mengasumsikan bahwa data berdistribusi normal maka error yang besar akan terjadi (Samanta, 2004).

  Dalam skripsi ini akan dibahas salah satu distribusi yang memiliki sifat lebih fleksibel yaitu distribusi Weibull. Aplikasi distribusi Weibull yang dibahas adalah grafik pengendali dan analisis data waktu hidup.

  B.

  Rumusan Masalah Adapun rumusan masalah dalam tulisan ini adalah sebagai berikut : 1.

  Apa saja sifat – sifat dari distribusi Weibull? 2. Bagaimana aplikasi dari distribusi Weibull dalam analisis data waktu hidup dan pengendalian mutu?

  C.

  Pembatasan Masalah Adapun beberapa hal yang dibatasi penulis dalam tulisan ini adalah sebagai berikut :

1. Penulis tidak mengkaji semua hal yang berhubungan dengan analisis data waktu hidup.

  2. Pada mengaplikasikan distribusi Weibull dalam pengendalian mutu, penulis hanya menganalisis grafik pengendali.

  3. Tidak semua teorema dalam bidang kalkulus yang digunakan dalam skripsi ini dibuktikan.

  4. Dalam mengestimasi parameter distribusi, penulis tidak menjelaskan lebih rinci tentang metode Newton-Raphson.

  D.

  Tujuan Penulisan Tujuan dari penulisan ini adalah untuk mengetahui sifat-sifat dari distribusi Weibull serta aplikasinya dalam dalam analisis data waktu hidup dan pengendalian mutu.

  E.

  Manfaat Penulisan Manfaat yang akan diperoleh setelah mempelajari topik ini adalah dapat memahami sifat-sifat distribusi Weibull serta dapat mengaplikasikannya dalam analisis data waktu hidup dan pengendalian mutu.

  F.

  Metode Penulisan Metode yang digunakan penulis adalah metode studi pustaka yaitu dengan mempelajari buku-buku yang berkaitan dengan topik distribusi

  Weibull serta aplikasinya dalam dalam analisis data waktu hidup dan pengendalian mutu. G.

  Sistematika Penulisan

BAB I PENDAHULUAN A. Latar Belakang Masalah B. Rumusan Masalah C. Pembatasan Masalah D. Tujuan Penulisan E. Manfaat Penulisan F. Metode Penulisan G. Sistematika Penulisan BAB II LANDASAN TEORI A. Distribusi Probabilitas 1. Variabel Random 2. Fungsi Probabilitas a. Distribusi Probabilitas Diskret b. Distribusi Probabilitas Kontinu 3. Fungsi Distribusi Kumulatif 4. Karakteristik Distribusi Probabilitas a. Mean b. Variansi c. Momen d. Fungsi Pembangkit Momen B. Distribusi Eksponensial 1. Fungsi Probabilitas

2. Sifat-sifat Distribusi Eksponensial a.

  Fungsi Pembangkit Momen b. Mean c. Variansi C. Distribusi Gamma 1.

  Fungsi Probabilitas 2. Sifat-sifat Distribusi Gamma a.

  Fungsi Pembangkit Momen b. Mean c. Variansi D. Teorema Nilai Rata-rata Untuk Turunan E. Deret Taylor F. Metode Maksimum Likelihood G.

  Pengendalian Proses Statistik 1.

  Grafik Pengendali 2. Analisis Kemampuan Proses

BAB III DISTRIBUSI WEIBULL A. Fungsi Probabilitas B. Grafik Distribusi C. Fungsi Distribusi Kumulatif D. Sifat-sifat Distribusi Weibull 1. Mean

2. Variansi 3.

  Fungsi Pembangkit Momen E. Kertas Peluang Weibull 1.

  Grafik Probabilitas Weibull 2. Skala Dalam Kertas Peluang Weibull a.

  Kertas peluang Weibull Jenis Pertama (1 cycle log

  2

  ) b. Kertas peluang Weibull Jenis Kedua (2 cycle log

  2

  ) c. Kertas peluang Weibull Jenis Ketiga (3 cycle log

  2

  ) F. Pendugaan Parameter Distribusi

BAB IV APLIKASI DISTRIBUSI WEIBULL A. Aplikasi Dalam Analisis Data Waktu Hidup 1. Reliabilitas a. Sistem Seri b. Sistem Paralel 2. Distribusi Waktu Kegagalan 3. Model Waktu Hidup Weibull B. Aplikasi Dalam Pengendalian Mutu 1. Grafik Pengendali 2. Perbandingan Kemampuan Proses BAB V PENUTUP A. Kesimpulan B. Saran

  BAB II LANDASAN TEORI A. Distribusi Probabilitas 1. Variabel Random Definisi 2.1 Variabel random adalah fungsi bernilai real yang didefinisikan pada ruang sampel. Variabel random biasanya dinotasikan dengan huruf kapital seperti X, Y, Z dan sebagainya. Sedangkan huruf kecil misalnya x , y dan z menyatakan nilai tertentu dari X, Y dan Z.

  Contoh 2.1 Dalam percobaan pelemparan dua koin akan diamati hasilnya.

  Misalkan X menunjukkan banyaknya angka yang muncul. Tentukan probabilitas dari masing-masing nilai X.

  Penyelesaian Misalkan A dan G adalah lambang munculnya angka dan gambar secara berturut-turut; Ruang sampel dari percobaan di atas adalah

  = GG, AG, GA, AA . Oleh karena X menunjukkan banyaknya angka yang muncul maka nilai dari X bergantung pada banyaknya angka yang muncul. Berdasarkan hasil percobaan di atas maka terdapat 3 nilai dari X, yaitu X = 0, 1 dan 2.

  Selanjutnya dapat ditentukan probabilitas hasil yang mungkin. Berdasarkan contoh di atas terdapat empat kejadian yaitu GG : kejadian muncul gambar semua pada pelemparan dua koin.

  AG : kejadian muncul angka pada pelemparan pertama dan gambar pada pelemparan kedua.

  GA : kejadian muncul gambar pada pelemparan pertama dan angka pada pelemparan kedua.

  AA : kejadian muncul angka semua pada pelemparan dua koin. Oleh karena X adalah variabel random yang menunjukkan banyaknya angka yang muncul maka dapat dicari hubungan antara variabel random dan kejadian dalam tabel sebagai berikut.

  Tabel 2.1

  Tabel hubungan antara variabel random dengan kejadian

  Banyaknya angka yang Probabilitas Hasil muncul percobaan x P(x)

  GG 0,25 AG atau GA 1 0,50

  AA 2 0,25

P(S)

  1 Berdasarkan Tabel 2.1 di atas maka

  P 0 = P 2 = 0,25 dan P 1 = 0,5. Probabilitas dari kemungkinan nilai yang berbeda dari X disebut sebagai distribusi probabilitas. Sebuah distribusi probabilitas

  P (x) memberikan kemungkinan pada tiap nilai x yang mungkin dari sebuah variabel random X.

  Variabel random dibagi menjadi dua macam yaitu variabel random diskret dan varibel random kontinu.

  Definisi 2.2

  Variabel random dikatakan diskret jika nilai-nilainya membentuk himpunan berhingga (finite) atau tak berhingga terbilang (Countably

  infinite ). Variabel random yang tidak memenuhi definisi di atas disebut variabel random kontinu.

2. Fungsi Probabilitas

  Fungsi distribusi probabilitas atau sering disebut fungsi probabilitas dibagi menjadi dua yaitu: a.

  Distribusi Probabilitas Diskret

  Definisi 2.3

  Fungsi probabilitas variabel random diskret X adalah fungsi yang memetakan himpunan nilai variabel random diskret X ke himpunan bilangan real yang merupakan nilai probabilitasnya. Fungsi p(x) disebut fungsi probabilitas diskret bila memenuhi syarat: 1 0 ≤ ≤ 1 2 = 1

  ∀ Contoh dari distribusi probabilitas diskret yaitu distribusi Binomial, distribusi Seragam, distribusi Poisson, distribusi Bernoulli, dan distribusi Hipergeometrik.

  b.

  Distribusi Probabilitas Kontinu

  Definisi 2.4

  Fungsi probabilitas variabel random kontinu X adalah fungsi yang memetakan himpunan nilai variabel random kontinu X ke himpunan bilangan real yang merupakan nilai probabilitasnya. Fungsi f(x) disebut fungsi probabilitas variabel random kontinu X bila memenuhi syarat: 1 ≥ 0 2 = 1 Contohnya distribusi Normal, distribusi Exponential, distribusi Gamma, distribusi Chi-Square dan distribusi Weibull.

3. Fungsi Distribusi Kumulatif

  Definisi 2.5

  Fungsi distribusi kumulatif dari variabel random diskret dan kontinu didefinisikan sebagai berikut.

  , &'() diskret ! "

  ∀ #$%

  9 = ≤ = 1 2 2 , bila kontinu

4. Karakteritik Distribusi Probabilitas

  Adapun karakteristik dari sebuah distribusi probabilitas adalah sebagai berikut: a.

  Mean

  Definisi 2.6

  Mean atau ekspektasi matematik (expected value) dari variabel random diskret dan kontinu adalah sebagai berikut.

  , bila diskret ! "

  ∀

%

  9 : = 1 , bila kontinu b.

  Variansi

  Definisi 2.7

  Jika X suatu variabel random, maka variansi dari X, ditulis Var(X) atau V(X), didefinisikan

  2 Var(X) = E(X – E(X)) Teorema 2.8

  2

  2 Var(X) = E(X ) – (E(X)) Bukti:

2 Var(X) = E(X – E(X))

  2

  2

  = E[X – 2XE(X) + (E(X)) ]

  2

  2

  = E(X ) – 2E(X)E(X) + (E(X))

  2

  2

  = E(X ) – (E(X)) ∎ c.

  Momen

  Definisi 2.9 <

  Nilai harapan dari yang menyatakan momen nol ke-r dari variabel random X adalah

  <

  (2.1) = = :

  <

  Secara umum, r adalah sebarang bilangan real, tetapi untuk banyak kasus, r adalah bilangan bulat non-negatif.

  d.

  Fungsi Pembangkit Momen

  Definisi 2.10

  Fungsi pembangkit momen (moment generating function, MGF) dari X, ditulis M (t) dari variabel random diskret dan kontinu

  X didefinisikan sebagai berikut.

  A?

  > 2 = : @

  ? A

  , bila diskret ! " @

  ∀ %

  9 =

  A

  1 @ , bila kontinu B.

  Distribusi Eksponensial Pada subbab ini akan sedikit dibahas tentang distribusi Eksponensial. Hal- hal yang berkaitan dengan distribusi Eksponensial antara lain sebagai berikut.

1. Fungsi Probabilitas

  Definisi 2.11

  Variabel random X dikatakan berdistribusi Eksponensial apabila fungsi probabilitasnya sebagai berikut

  

LM%

JK , NB,JNB

  (2.2)

  = B ,CDEFGHHIF 2.

  Sifat-sifat Distribusi Eksponensial Sifat-sifat dari distribusi eksponensial antara lain mean, variansi dan fungsi pembangkit momen. Untuk mendapatkan mean dan variansi terlebih dahulu akan dicari Fungsi Pembangkit Momen sebagai berikut.

  a.

  Fungsi Pembangkit Momen Berdasarkan Definisi 2.10 maka Fungsi pembangkit Momen dari distribusi Eksponensial yaitu _{∞ tx}

  M X (t) = e f ( x ) dx _{− ∞} A J

  = 1 @ O@

  B

  A J

  = O 1 @ @

  B J A

  = O 1 @

  B J A

  @ = O P

  − O − 2 R

  B J A

  @ = O P 2 − O R

  B B T

  = O S U

  A J

  O =

  O − 2 Jadi, Fungsi Pembangkit Momen dari distribusi eksponensial adalah

  O > 2 =

  ?

  O − 2 b. Mean

  Mean dapat dicari dengan mencari turunan pertama dari Fungsi Pembangkit Momen kemudian diaplikasikan pada saat t = 0.

  O :

  = 2V O − 2W O −1

  = − X Z

  Y

  O − 2 O

  =

  Y

  O − 2

  T

  Pada s aat t = 0 maka : =

  J

  T J adi, m ean dari dist ri busi Eks ponensi al adal ah .

  : =

  J c.

  Variansi Berdasarkan Teorema 2.8, variansi dari sebuah fungsi densitas adalah sebagai berikut.

  Y Y

  [)\ = : − :

  Y Y

  Dari definisi di atas maka nilai dari dan adalah : :

  O

  Y

  : Z

  Y

  = 2X O − 2 O ∙ 2 O − 2 ∙ −1

  = −

  ^

  O − 2

  2O O − 2 =

  ^

  O − 2

  _ YJ

Y

  Pada saat t = 0 maka : =

  ` J

  2 =

  Y

  O

2 Nilai dari adalah sebagai berikut.

  :

  2

  1

  2

  : = S U

  J

  1 =

  2 O Y Y

  [)\ = : − :

  2

  1 = −

  Y Y

  O O

  1 =

  Y

  O Jadi, variansi dari distribusi eksponensial adalah

  1 [)\ =

  Y

  O C. Distribusi Gamma

  Pada subbab ini akan sedikit dibahas tentang distribusi Gamma. Hal-hal yang berkaitan dengan distribusi Gamma antara lain sebagai berikut.

1. Fungsi Probabilitas

  Definisi 2.12

  Variabel random X dikatakan berdistribusi Gamma jika dan hanya jika fungsi probabilitasnya sebagai berikut

  1

  b T d

  = @ , > 0, a > 0, c > 0

  b

  a c dimana c merupakan nilai dari fungsi gamma yang didefinisikan sebagai berikut

  Definisi 2.13

  Definisi fungsi gamma yaitu

  b T

  c = 1 @

  B Fungsi gamma ini sangat bermanfaat terutama dalam membantu mencari mean, variansi dan fungsi pembangkit momen yang melibatkan integral yang rumit.

2. Sifat-sifat Distribusi Gamma

  1 1 − 2a

  1 a

  b

  c

  b T

  @

  T Ad d B

  =

  b

  STd AU B

  1 1 − 2a

  b

  a

  

b

  c

  b T

  @

  T Ad d B

  = 1

  Sama halnya dengan distribusi Eksponensial, distribusi Gamma pun mempunyai sifat-sifat antara lain mean, variansi dan fungsi pembangkit momen yaitu sebagai berikut a.

  Fungsi Pembangkit Momen Berdasarkan Definisi 2.10 maka fungsi pembangkit momen dari distribusi Gamma adalah sebagai berikut.

  1 a

  >

  ?

  2 = : @

  A?

  = 1 @

  A B

  = 1 @

  A

  b

  b T b

  c

  

b T

  @

  d B

  = 1

  1 a

  b

  c

  @

  S1 − 2a

  1 ST Ad a U b T

  d U

  = 1 @

  

b

  1 − 2a c

  B

  Menggunakan fakta bahwa

  f

  &

  f T g

  1 @ = 1 , ∀) > 0, & > 0 )

  B

  maka, fungsi pembangkit momen dari distribusi gamma adalah

  1 > 2 =

  

?

b

  1 − 2a b.

  Mean Berdasarkan Definisi 2.6 maka mean dari distribusi Gamma adalah sebagai berikut

  : = 1

  B b T d

  @

  b

  = 1 a c

  B

  1

  b

d

  = @

  b

  a c 1

  B

  Misalkan maka h = = ah

  d

  = a h

  T b j

  maka : = ah @ a h

  1

  b b j

  = h @ a h

  b

  a c 1 a

  B

  a

  

b j

  = @ h c 1 h

  B

  Berdasarkan Definisi 2.13, maka a : = c Γ c + 1 a

  = c c Γ c = ca c. Variansi

  Berdasarkan Teorema 2.8 maka variansi dari sebuah fungsi densitas adalah sebagai berikut

  Y Y

  Var = : − :

  Y Y

  Dari definisi di atas maka nilai dari dan adalah : :

  Y Y

  : = 1

  B Y b T d

  = 1 @

  b

  a c

  B

  1

  = @

  bnT d

  b

  a c 1

  B

  Misalkan maka h = = ah

  d

  T Y bnT j

  maka : = ah @ a h

  i d b B

  1

  bnT bnT j

  = h @ a h

  b

  a c 1 a

  B bnY

  a

  bnT j

  = @ h

  b

  a c 1 h

  B Y

  a

  bnT j

  = @ h c 1 h

  B

  Berdasarkan Definisi 2.13, maka

  Y

  a

  Y

  : = c Γ c + 2

  Y

  a = c c + 1 Γ c + 1

  Y

  a = c c + 1 c Γ c

  Y

  = c c + 1 a

2.3 Y Nilai dari adalah sebagai berikut.

  :

  Y Y

  : = ca

  Y Y

  = c a

2.4 Berdasarkan persamaan (2.3) dan (2.4) di atas maka

  Y Y

  Var = : − :

  Y Y Y

  = rc c + 1 a a s − c

  Y Y Y Y Y

  Y

  = ca

  Y

  Jadi, Var = ca D.

  Teorema Nilai Rata-rata Untuk Turunan

  Teorema 2.15: Jika f kontinu pada selang tertutup

  r), &s dan terdiferensialkan pada titik-titik dalam dari ), & maka terdapat paling sedikit satu bilangan t dalam ), & dengan

  & − ) = t

  & − ) atau sama dengan & − ) = t & − )

Gambar 2.1 Skema dari fungsi

  u = − v

  Bukti:

  Pembuktian teorema di atas didasarkan pada analisis seksama dari fungsi u = − v , yang diperkenalkan pada Gambar 2.1 Pada gambar tersebut w = v adalah persamaan garis yang melalui ), ) dan rx g x f s

  dan &, & . Oleh karena garis ini mempunyai kemiringan

  g f

  melalui titik ), ) , bentuk kemiringan titik untuk persamaannya adalah

  & − ) v − ) = − ) & − )

  Persamaan ini kemudian menghasilkan rumus untuk u , yaitu: & − ) u = − v = − ) − − )

  & − ) Jelas bahwa u & = u ) = 0 dan untuk dalam ), &

  & − ) u = − & − )

  Sampailah pada suatu pengamatan penting, jika diketahui bahwa terdapat suatu bilangan t dalam ), & yang memenuhi u t = 0, maka bukti akan selesai. Persamaan terakhir mengatakan bahwa

  & − ) 0 = − & − ) yang setara dengan kesimpulan dari teorema tersebut.

  Untuk melihat bahwa u t = 0 untuk suatu t dalam ), & , alasannya adalah sebagai berikut. Jelas bahwa u kontinu pada r), &s karena merupakan selisih dua fungsi kontinu. Jadi menurut Teorema Keberadaan Maks-Min, u harus mencapai baik nilai maksimum maupun nilai minimum pada r), &s. Jika kedua nilai ini kebetulan adalah 0, maka u secara identik adalah 0 pada r), &s, akibatnya u = 0 untuk semua dalam

  ), & , jauh lebih banyak daripada yang diperlukan. Jika satu nilai maksimum atau nilai minimum berlainan dengan 0, maka nilai tersebut dicapai pada sebuah titik dalam t, karena u ) = u & = 0. Sekarang u mempunyai turunan disetiap titik dari ), & , sehingga dengan Teorema Titik Kritis, u t = 0. ∎

  E.

  Deret Taylor Sebuah deret disebut deret Taylor jika deret tersebut dapat direpresentasikan dalam x-a. Pertanyaan yang berkembang dalam deret pangkat adalah: Jika diketahui sebuah fungsi f misalnya fungsi sin x, dapatkah fungsi tersebut direpresentasikan dalam x-a? Dua teorema berikut akan menjawab pertanyaan tersebut.

  

Teorema 2.16: Rumus Taylor dengan Suku Sisa (Ekspansi Taylor)

  Misalkan f adalah fungsi dimana turunan ke-(n+1)-nya

  ynT ada untuk setiap x pada selang terbuka I yang mengandung a.

  Jadi, untuk setiap x dalam I, )

  Y

  = ) + ) − ) + − ) + ⋯ 2!

  | x f y

• − ) + }

  y y!

  dimana sisanya (atau kesalahannya) } dinyatakan dengan rumus

  y

ynT

  t

  ynT

  } = − )

  y