BAB 11 TRANSFORMASI LINIER - Matriks – BAB 11 Transformasi Linier 1
BAB 11
TRANSFORMASI LINIER
11.1 TRANSFORMASI LINIER
DEFINISI
Pandang 2 buah himpunan
A dan B. Kemudian dengan suatu aturan/cara
tertentu f, kitta mengaitkan atau menggandengkan atau mengkawankan setiap x є
A dengan satu dan hanya satu y є B. Dikatakan : terdapat suatu fungsi f : A →
B.
Contoh 1 :
Misalkan
A = {x1, x2, x3}
B = {y1, y2}
A
X1
B
Y1
X2
X3
X1
X2
X3
f
f
f
Y2
Y2
Y2
Y1
Terlihat bahwa setiap x є A mempunyai satu pasangan y є B. Jadi f adalah fungsi
A → B.
Contoh 2 :
Misalkan
A = {x1, x2, x3}
B = {y1, y2}
A
B
X1
Y1
X2
X3
Terlihat bahwa tidak semua
Y2
x є A
mempunyai pasangan. Jadi bukan fungsi.
mempunyai
pasangan, di sini X 2 tidak
Contoh 3 :
Misalkan
A = {x1, x2, x3}
B = {y1, y2}
A
X1
B
Y1
X2
X3
Y2
Terlihat bahwa terdapat x є A di sini X 1 mempunyai lebih dari satu pasangan, Y 1 dan
Y2 є B. Jadi juga bukan fungsi.
Catatan 1 :
Apabila himpunan A dan B di atas merupakan himpunan bilangan riil R 1 (atau
kompleks C1) atau himpunan bagiannya, cara/aturan pengaitan umumnya
dapat dirumuskan dalam suatu hubungan matematis.
Catatan 2 :
Fungsi f : R1 → R1 dimana setiap x є R1 dikaitkan dengan kuadratnya є R 1
atau x є x2 atau f(x) = x2 untuk setiap x bilangan riil atau juga y = x2.
Catatan 3 :
Himpunan A di atas disebut
DOMAIN Dan himpunan B di atas disebut
CODOMAIN dari fungsi f tersebut.
Yang menjadi pokok pembicaraan
di dalam bab ini adalah fungsi-fungsi dimana
DOMAIN Dan CODOMAIN nya merupakan RUANG VEKTOR, pada khususnya adalah
Rn, ruang vektor yang anggota-anggotanya n-tupel berurutan bilangan riil (tetapi
sedikit-sedikit disinggung pula Cn atau ruang vektor lain. Untuk ini, kita memilih
menggunakan perkataan lain yaitu TRANSFORMASI atau MAPPING atau PEMETAAN
sebagai penganti perkataan fungsi .
Contoh 4 :
Diketahui suatu transformasi T : R 3 → R3 dengan rumus transformasi T[x 1, x2, x3] =
[2x1 – x2, x2+x3, x32], untuk setiap x = [x1, x2, x3] є R3. Vektor [2,1,-1] akan
ditransfomasikan oleh T menjadi : T[2,1,-1] = [2.2-1, 1-1, (-1) 2] = [3,0,1]
Kita katakan : vektor [3,0,1] adalah peta dari vektor [2,1,-1], sebaliknya : vektor
[2,1,-1] adalah prapeta dari vektor [3,0,1].
Contoh lain :
T[1,2,3] = [0,5,9]
T[4,-1,7] = [9,6,49]……….dst.
11.2 TRANSFORMASI VEKTOR LINIER
DEFINISI
T : V → W suatu transformasi dari ruang vektor V ke ruang vektor W.
Tranformasi T disebut transformasi vektor linier bila terpenuhi :
1) Untuk setiap v1, v2 є V T(v1)+ T(v2) = T(v1+v2), Dan
2) Untuk setiap v є V dan λ skalar berlaku λT(v) = T(λv)
Contoh :
Diketahui T : R3 → R3 dimana :
T’[x1,x2,x3] = [2x1+x2, x2, x3+1] untuk setiap [x1,x2,x3] є R3.
T adalah transformasi vektor yang tidak linier karena syarat 1), misalnya tak
terpenuhi. Ambil v1 = [1,0,0], v2 = [1,0,1] maka T(v1) + T(v2) = [2,0,1] + [2,0,2]
= [4,0,3], sedang T(v1+v2) =T[2,0,1]=[4,0,2].
Jadi T(v1) + T(v2) ≠ T(v1+v2).
11.2.1
MATRIKS DAN TRANSFORMASI VEKTOR LINIER
Pandang T : Rn → Rm suatu transformasi vektor linier.
{ei}, i = 1,2, …, n, basis natural dari Rn
{εi}, i = 1,2, …, m, basis natural dari R m
T(e1) , T(e2) , …, T(en) adalah vektor-vektor di Rm sehingga merupakan kombinasi
linier dari {εi}
Misalnya
:
T(e1) = a11 ε1 + a21 ε2 + … + am1 εm
T(e2) = a12 ε1 + a22 ε2 + … + am2 εm
(*)
T(en) = a1n ε1 + a2n ε2 + … + amn εm
DEFINISI
Transpose dari matriks koefisien di atas :
a11
a12
….
a22
….
a1n
[T]e
a21
berukuran (mxn)
a2n
..
..
….
..
Disebut MATRIKS REPRESENTASI dari transformasi linier T, singkatnya matriks
transformasi dari T, relatif terhadap basis-basis natural {e i} dan {εi}.
Contoh :
T : R3 → R3 ssuatu transformasi linier dimana T[x 1, x2, x3] = [x1, 2x2, x1+x3].
Mencari matriks transformasi tak lain daripada mencari peta dari vektor-vektor basis.
(Bila tak disebutkan apa-apa selalu dimaksudkan relatif terhadap basis natural).
T(e1) = T[1,0,0] = [1,0,1] = 1e1 + 0e2 + 1e3
T(e2) = T[0,1,0] = [0,2,0] = 0e1 + 2e2 + 0e3
T(e3) = T[0,0,1] = [0,0,1] = 0e1 + 0e2 + 1e3
1
[T]ee =
0
1
0
2
0
1
Peta dari [2,3,1] :
0
1
0
0
2
3
2
1
3
=
6
3
, atau
[3,6,3]
Catatan :
Suatu sifat transformasi linier yang penting adalah bahwa suatu transformasi
linier ditentukan (tertentu) secara natural tunggal oleh peta dari vektor-vektor
basis. Jadi jika peta dari vektor-vektor basis diketahui maka peta dari
sebarang vektor yang lain dapat ditentukan.
Contoh :
T : R2 → R2 dimana diketahui :
T
[2,1] → [5,-2]
T
[-1,1] → [-1,1]
maka untuk menentukan
transformasi
T tersebut kita mencari matriks
transformasi, kita tulis :
T[2,1] = [5,-2] → 2T[1,0] + 1T[0,1] = [5,-2]…….(**)
T[-1,1] = [-1,1] → -1T[1,0] + 1T[0,1] = [-1,1]
3T[1,0]
= [6,-3]
Jadi T[1,0] = [2,-1], dan dari (**) diperoleh T[0,1] = [1,0]
Jadi matriks [T]ee =
2
1
-1
Dan rumus transformasinya :
T
X1
X2
= [T]ee
X1
X2
=
2
1
-1
atau : T[x1,x2] = [2x1 +x2, -x1].
X1
X2
=
2x1 +
x2
-x1
11.2.2
RUANG PETA DAN RUANG NOL
T : Rn → Rm suatu transformasi linier, belum tentu semua vektor di R m
menjadi peta dari vektor di Rn.
Contoh :
T : R2 → R3 dimana T[x1,x2] = [x2,0,x1].
Maka vektor [1,1,1] є R3 bukan peta dari vektor manapun di R 2. Kalau terjadi
demikian, kita katakan transformasi tersebut tidak onto.
DEFINISI
T : Rn → Rm suatu transformasi linier, maka Im(T) = {w | w = T(v), v є R n},
suatu himpunan bagian dari R m, disebut RUANG PETA (IMAGE) dari
transformasi linier T.
Ternyata bahwa Im(T) adalah suatu ruang vektor bagian dari R m.
Catatan 1 :
Dapat terjadi bahwa 2 vektor atau lebih mempunyai peta yang sama. Bila
terjadi demikian, kita katakan bahwa transformasi tersebut “tidak satu-satu”
(one-one).
Contoh :
T : R2 → R2 dimana T[x1, x2] = [x1+2x2, 2x1+4x2], terlihat bahwa :
T[0, 0]
= [0, 0]
T[2,-1]
= [0, 0]
T[-8, 4]
= [0, 0]
dan lain-lain vektor lagi yang mempunyai peta [0, 0]. Jadi T tidak one-one.
DEFINISI KERNEL
T : Rn → Rm suatu transformasi linier, maka Ker(T) = {v | v є R n, T(v) = 0},
suatu himpunan bagian dari R n, disebut RUANG NOL (KERNEL) dari
transformasi linier T.
Ternyata bahwa Ker(T) adalah suatu ruang vektor bagian dari R n.
Catatan 1 :
Dibedakan antara ruang nol dengan ruang berdimensi nol (yaitu ruang vektor
yang anggotanya hanya vektor nol). Anggota ruang nol, selain 0 mungkin
juga vektor ≠ 0.
Catatan 2 :
Kalau
T
:
R n → Rn
mempunyai matriks transformasi A (matriks bujur
sangkar) yang singular, T dikatakan transformasi
singular, transformasi dikatakan nonsingular.
yang singular. Kalau A
Catatan 3 :
Kalau A adalah matriks transformasi dari T, maka dimensi IM(T) =
rank(A). Hal ini jelas karena kolom-kolom dari A adalah T(e 1), T(e2), . . .,
T(en) yang membentuk ruang kolom dari A. Dengan perkataan lain Im(T) = L
{T(e1), T(e2), . . . , T(en)}, berarti dimensi Im(T) = dimensi L{T(e 1),
T(e2), . . ., T(en)} = rank(A).
Catatan 4 :
Dimensi Ker(T) = n – rank(A).
Mudah dilihat bahwa bila v є Ker(T) maka T(v) = Av = 0.
Susunan persamaan linier homogen Av=0
mempunyai ruang jawab yang
berdimensi n – rank(A). Dengan perkataan lain : mencari Ker(T) tak lain daripada
mencari jawab susunan persamaan linier homogeny Av = 0.
Contoh :
Diketahui
T : R3 → R3 dimana :
T[x,y,z] = [x+2y+z, 2x+3z, 3x+2y+4z]
Tentukan basis dan dimensi ruang peta dan ruang nol !
Jawab :
Pertama kita tentukan dulu matriks transformasi A :
T[1,0,0] = [1, 2, 3]
T[0,1,0] = [2, 0, 2]
T[0,0,1] = [1, 3, 4]
1
A = [T]ee =
2
1
2
0
3
Rank matriks A (secara kolom) :
1
2
1
2
3
1
K
0
(-2)
21
0
K31(-1)
2
0
1
K
(4)
23
-4
1
0
0
2
0
1
Rank(A)= 2. Jadi dimensi Im(T) = 2 dan basisnya dapat diambil {[1,2,3], [0,1,1]}.
T di atas adalah transformasi yang singular.
Untuk mencari Ker(T) :
Misalkan v = [v1, v2, v3] є Ker(T), maka Av = 0 atau :
1
2
1
2
3
V1
V2
0
V3
0
=
0
, dimensi Ker(T) = n – rank(A) = 3 – 2 = 1
0
Kita menghitung jawab susunan persamaan linier homogen di atas :
cukup diambil 2 persamaan yang bebas :
v1 + 2v2 + v3 = 0
2v1 + 0v2 + 3v3 = 0
Ambil 1 parameter, misalnya v2 = λ, maka v1 = -6λ, v3 = 4λ.
Jadi v = λ[-6,1,4] ; Ker(T) mempunyai basis (-6, 1, 4)
Atau Ker(T) = L {[-6, 1, 4]}.
11.2.3
PRODUK TRANSFORMASI
Pandang 2 buah transformasi linier :
T : Vn → Wr
S : Wr → Um
dengan matriks transformasi berturut-turut A Dan B.
(dimensi Vn = n, dimensi Wr = r, dimensi Um = m)
Setiap vektor v є Vn oleh transformasi T dipetakan menjadi w = Av, kemudian
hasilnya w є Wr oleh transformasi S dipetakan menjadi u = Bw = B(Av) = (BA)v.
v є Vn
T
→
T
w є Wr →
u є Um
ST
v → u dapat dipandang sebagai suatu transformasi baru ST, dengan matriks
transformasi BA.
ST disebut produk transformasi dari S dan T.
Contoh :
T : R3 → R3 dengan T[x1,x2, x3] = [2x2+x3, 3x1+x2+x3, x2] dan
S : R3 → R3 dengan S[x1, x2, x3] = [2x1+x2+x3, x1+x3, 2x1+x2+2x3]
Maka produk transformasi ST mempunyai rumus :
(ST)
[x1,
x2,
x3]
=
S(T[x1,
x2,
x3])
=
S[2x2+x3,
3x1+x2+x3,
x2]
[2(2x2+x3)+1(3x1+x2+x3)+1(x2), 1(2x2+x3)+1(x2), 2(2x2+x3)+1(3x1+x2+x3)+2(x2)]=
[3x1+6x2+3x3, 3x2+x3, 3x1+7x2+3x3] dan matriks transformasinya :
3
[ST]ee =
6
3
0
3
1
2
Jelas [S]ee = B =
1
1
1
0
1
0
[T]ee = A =
2
1
3
1
1
dan [ST]ee = [S]ee[T]ee = BA.
Peta dari vektor v = [1, 0, 2] adalah ST[1, 0, 2] = [9, 2, 9]
=
11.3
LATIHAN
DAN
TUGAS
TRANSFORMASI LINIER
11.1 TRANSFORMASI LINIER
DEFINISI
Pandang 2 buah himpunan
A dan B. Kemudian dengan suatu aturan/cara
tertentu f, kitta mengaitkan atau menggandengkan atau mengkawankan setiap x є
A dengan satu dan hanya satu y є B. Dikatakan : terdapat suatu fungsi f : A →
B.
Contoh 1 :
Misalkan
A = {x1, x2, x3}
B = {y1, y2}
A
X1
B
Y1
X2
X3
X1
X2
X3
f
f
f
Y2
Y2
Y2
Y1
Terlihat bahwa setiap x є A mempunyai satu pasangan y є B. Jadi f adalah fungsi
A → B.
Contoh 2 :
Misalkan
A = {x1, x2, x3}
B = {y1, y2}
A
B
X1
Y1
X2
X3
Terlihat bahwa tidak semua
Y2
x є A
mempunyai pasangan. Jadi bukan fungsi.
mempunyai
pasangan, di sini X 2 tidak
Contoh 3 :
Misalkan
A = {x1, x2, x3}
B = {y1, y2}
A
X1
B
Y1
X2
X3
Y2
Terlihat bahwa terdapat x є A di sini X 1 mempunyai lebih dari satu pasangan, Y 1 dan
Y2 є B. Jadi juga bukan fungsi.
Catatan 1 :
Apabila himpunan A dan B di atas merupakan himpunan bilangan riil R 1 (atau
kompleks C1) atau himpunan bagiannya, cara/aturan pengaitan umumnya
dapat dirumuskan dalam suatu hubungan matematis.
Catatan 2 :
Fungsi f : R1 → R1 dimana setiap x є R1 dikaitkan dengan kuadratnya є R 1
atau x є x2 atau f(x) = x2 untuk setiap x bilangan riil atau juga y = x2.
Catatan 3 :
Himpunan A di atas disebut
DOMAIN Dan himpunan B di atas disebut
CODOMAIN dari fungsi f tersebut.
Yang menjadi pokok pembicaraan
di dalam bab ini adalah fungsi-fungsi dimana
DOMAIN Dan CODOMAIN nya merupakan RUANG VEKTOR, pada khususnya adalah
Rn, ruang vektor yang anggota-anggotanya n-tupel berurutan bilangan riil (tetapi
sedikit-sedikit disinggung pula Cn atau ruang vektor lain. Untuk ini, kita memilih
menggunakan perkataan lain yaitu TRANSFORMASI atau MAPPING atau PEMETAAN
sebagai penganti perkataan fungsi .
Contoh 4 :
Diketahui suatu transformasi T : R 3 → R3 dengan rumus transformasi T[x 1, x2, x3] =
[2x1 – x2, x2+x3, x32], untuk setiap x = [x1, x2, x3] є R3. Vektor [2,1,-1] akan
ditransfomasikan oleh T menjadi : T[2,1,-1] = [2.2-1, 1-1, (-1) 2] = [3,0,1]
Kita katakan : vektor [3,0,1] adalah peta dari vektor [2,1,-1], sebaliknya : vektor
[2,1,-1] adalah prapeta dari vektor [3,0,1].
Contoh lain :
T[1,2,3] = [0,5,9]
T[4,-1,7] = [9,6,49]……….dst.
11.2 TRANSFORMASI VEKTOR LINIER
DEFINISI
T : V → W suatu transformasi dari ruang vektor V ke ruang vektor W.
Tranformasi T disebut transformasi vektor linier bila terpenuhi :
1) Untuk setiap v1, v2 є V T(v1)+ T(v2) = T(v1+v2), Dan
2) Untuk setiap v є V dan λ skalar berlaku λT(v) = T(λv)
Contoh :
Diketahui T : R3 → R3 dimana :
T’[x1,x2,x3] = [2x1+x2, x2, x3+1] untuk setiap [x1,x2,x3] є R3.
T adalah transformasi vektor yang tidak linier karena syarat 1), misalnya tak
terpenuhi. Ambil v1 = [1,0,0], v2 = [1,0,1] maka T(v1) + T(v2) = [2,0,1] + [2,0,2]
= [4,0,3], sedang T(v1+v2) =T[2,0,1]=[4,0,2].
Jadi T(v1) + T(v2) ≠ T(v1+v2).
11.2.1
MATRIKS DAN TRANSFORMASI VEKTOR LINIER
Pandang T : Rn → Rm suatu transformasi vektor linier.
{ei}, i = 1,2, …, n, basis natural dari Rn
{εi}, i = 1,2, …, m, basis natural dari R m
T(e1) , T(e2) , …, T(en) adalah vektor-vektor di Rm sehingga merupakan kombinasi
linier dari {εi}
Misalnya
:
T(e1) = a11 ε1 + a21 ε2 + … + am1 εm
T(e2) = a12 ε1 + a22 ε2 + … + am2 εm
(*)
T(en) = a1n ε1 + a2n ε2 + … + amn εm
DEFINISI
Transpose dari matriks koefisien di atas :
a11
a12
….
a22
….
a1n
[T]e
a21
berukuran (mxn)
a2n
..
..
….
..
Disebut MATRIKS REPRESENTASI dari transformasi linier T, singkatnya matriks
transformasi dari T, relatif terhadap basis-basis natural {e i} dan {εi}.
Contoh :
T : R3 → R3 ssuatu transformasi linier dimana T[x 1, x2, x3] = [x1, 2x2, x1+x3].
Mencari matriks transformasi tak lain daripada mencari peta dari vektor-vektor basis.
(Bila tak disebutkan apa-apa selalu dimaksudkan relatif terhadap basis natural).
T(e1) = T[1,0,0] = [1,0,1] = 1e1 + 0e2 + 1e3
T(e2) = T[0,1,0] = [0,2,0] = 0e1 + 2e2 + 0e3
T(e3) = T[0,0,1] = [0,0,1] = 0e1 + 0e2 + 1e3
1
[T]ee =
0
1
0
2
0
1
Peta dari [2,3,1] :
0
1
0
0
2
3
2
1
3
=
6
3
, atau
[3,6,3]
Catatan :
Suatu sifat transformasi linier yang penting adalah bahwa suatu transformasi
linier ditentukan (tertentu) secara natural tunggal oleh peta dari vektor-vektor
basis. Jadi jika peta dari vektor-vektor basis diketahui maka peta dari
sebarang vektor yang lain dapat ditentukan.
Contoh :
T : R2 → R2 dimana diketahui :
T
[2,1] → [5,-2]
T
[-1,1] → [-1,1]
maka untuk menentukan
transformasi
T tersebut kita mencari matriks
transformasi, kita tulis :
T[2,1] = [5,-2] → 2T[1,0] + 1T[0,1] = [5,-2]…….(**)
T[-1,1] = [-1,1] → -1T[1,0] + 1T[0,1] = [-1,1]
3T[1,0]
= [6,-3]
Jadi T[1,0] = [2,-1], dan dari (**) diperoleh T[0,1] = [1,0]
Jadi matriks [T]ee =
2
1
-1
Dan rumus transformasinya :
T
X1
X2
= [T]ee
X1
X2
=
2
1
-1
atau : T[x1,x2] = [2x1 +x2, -x1].
X1
X2
=
2x1 +
x2
-x1
11.2.2
RUANG PETA DAN RUANG NOL
T : Rn → Rm suatu transformasi linier, belum tentu semua vektor di R m
menjadi peta dari vektor di Rn.
Contoh :
T : R2 → R3 dimana T[x1,x2] = [x2,0,x1].
Maka vektor [1,1,1] є R3 bukan peta dari vektor manapun di R 2. Kalau terjadi
demikian, kita katakan transformasi tersebut tidak onto.
DEFINISI
T : Rn → Rm suatu transformasi linier, maka Im(T) = {w | w = T(v), v є R n},
suatu himpunan bagian dari R m, disebut RUANG PETA (IMAGE) dari
transformasi linier T.
Ternyata bahwa Im(T) adalah suatu ruang vektor bagian dari R m.
Catatan 1 :
Dapat terjadi bahwa 2 vektor atau lebih mempunyai peta yang sama. Bila
terjadi demikian, kita katakan bahwa transformasi tersebut “tidak satu-satu”
(one-one).
Contoh :
T : R2 → R2 dimana T[x1, x2] = [x1+2x2, 2x1+4x2], terlihat bahwa :
T[0, 0]
= [0, 0]
T[2,-1]
= [0, 0]
T[-8, 4]
= [0, 0]
dan lain-lain vektor lagi yang mempunyai peta [0, 0]. Jadi T tidak one-one.
DEFINISI KERNEL
T : Rn → Rm suatu transformasi linier, maka Ker(T) = {v | v є R n, T(v) = 0},
suatu himpunan bagian dari R n, disebut RUANG NOL (KERNEL) dari
transformasi linier T.
Ternyata bahwa Ker(T) adalah suatu ruang vektor bagian dari R n.
Catatan 1 :
Dibedakan antara ruang nol dengan ruang berdimensi nol (yaitu ruang vektor
yang anggotanya hanya vektor nol). Anggota ruang nol, selain 0 mungkin
juga vektor ≠ 0.
Catatan 2 :
Kalau
T
:
R n → Rn
mempunyai matriks transformasi A (matriks bujur
sangkar) yang singular, T dikatakan transformasi
singular, transformasi dikatakan nonsingular.
yang singular. Kalau A
Catatan 3 :
Kalau A adalah matriks transformasi dari T, maka dimensi IM(T) =
rank(A). Hal ini jelas karena kolom-kolom dari A adalah T(e 1), T(e2), . . .,
T(en) yang membentuk ruang kolom dari A. Dengan perkataan lain Im(T) = L
{T(e1), T(e2), . . . , T(en)}, berarti dimensi Im(T) = dimensi L{T(e 1),
T(e2), . . ., T(en)} = rank(A).
Catatan 4 :
Dimensi Ker(T) = n – rank(A).
Mudah dilihat bahwa bila v є Ker(T) maka T(v) = Av = 0.
Susunan persamaan linier homogen Av=0
mempunyai ruang jawab yang
berdimensi n – rank(A). Dengan perkataan lain : mencari Ker(T) tak lain daripada
mencari jawab susunan persamaan linier homogeny Av = 0.
Contoh :
Diketahui
T : R3 → R3 dimana :
T[x,y,z] = [x+2y+z, 2x+3z, 3x+2y+4z]
Tentukan basis dan dimensi ruang peta dan ruang nol !
Jawab :
Pertama kita tentukan dulu matriks transformasi A :
T[1,0,0] = [1, 2, 3]
T[0,1,0] = [2, 0, 2]
T[0,0,1] = [1, 3, 4]
1
A = [T]ee =
2
1
2
0
3
Rank matriks A (secara kolom) :
1
2
1
2
3
1
K
0
(-2)
21
0
K31(-1)
2
0
1
K
(4)
23
-4
1
0
0
2
0
1
Rank(A)= 2. Jadi dimensi Im(T) = 2 dan basisnya dapat diambil {[1,2,3], [0,1,1]}.
T di atas adalah transformasi yang singular.
Untuk mencari Ker(T) :
Misalkan v = [v1, v2, v3] є Ker(T), maka Av = 0 atau :
1
2
1
2
3
V1
V2
0
V3
0
=
0
, dimensi Ker(T) = n – rank(A) = 3 – 2 = 1
0
Kita menghitung jawab susunan persamaan linier homogen di atas :
cukup diambil 2 persamaan yang bebas :
v1 + 2v2 + v3 = 0
2v1 + 0v2 + 3v3 = 0
Ambil 1 parameter, misalnya v2 = λ, maka v1 = -6λ, v3 = 4λ.
Jadi v = λ[-6,1,4] ; Ker(T) mempunyai basis (-6, 1, 4)
Atau Ker(T) = L {[-6, 1, 4]}.
11.2.3
PRODUK TRANSFORMASI
Pandang 2 buah transformasi linier :
T : Vn → Wr
S : Wr → Um
dengan matriks transformasi berturut-turut A Dan B.
(dimensi Vn = n, dimensi Wr = r, dimensi Um = m)
Setiap vektor v є Vn oleh transformasi T dipetakan menjadi w = Av, kemudian
hasilnya w є Wr oleh transformasi S dipetakan menjadi u = Bw = B(Av) = (BA)v.
v є Vn
T
→
T
w є Wr →
u є Um
ST
v → u dapat dipandang sebagai suatu transformasi baru ST, dengan matriks
transformasi BA.
ST disebut produk transformasi dari S dan T.
Contoh :
T : R3 → R3 dengan T[x1,x2, x3] = [2x2+x3, 3x1+x2+x3, x2] dan
S : R3 → R3 dengan S[x1, x2, x3] = [2x1+x2+x3, x1+x3, 2x1+x2+2x3]
Maka produk transformasi ST mempunyai rumus :
(ST)
[x1,
x2,
x3]
=
S(T[x1,
x2,
x3])
=
S[2x2+x3,
3x1+x2+x3,
x2]
[2(2x2+x3)+1(3x1+x2+x3)+1(x2), 1(2x2+x3)+1(x2), 2(2x2+x3)+1(3x1+x2+x3)+2(x2)]=
[3x1+6x2+3x3, 3x2+x3, 3x1+7x2+3x3] dan matriks transformasinya :
3
[ST]ee =
6
3
0
3
1
2
Jelas [S]ee = B =
1
1
1
0
1
0
[T]ee = A =
2
1
3
1
1
dan [ST]ee = [S]ee[T]ee = BA.
Peta dari vektor v = [1, 0, 2] adalah ST[1, 0, 2] = [9, 2, 9]
=
11.3
LATIHAN
DAN
TUGAS