Materi Ekonometrika untuk S1
Ekonometrika
Program Studi Statistika, semester Ganjil
2012/2013
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Autocorrelation
Terjadi ketika kovarians dan korelasi antar galat ≠ tidak sama
dengan nol.
Salah satu pelanggaran asumsi
cov ut , us 0, untuk beberapa t s
Paling sering terjadi pada data deret waktu
Karena urutan pengamatan mempunyai makna
Galat pada satu periode mempengaruhi galat pada periode berikutnya
Terutama pada periode dengan jarak pendek (mis: harian)
Pada data cross section jarang terjadi
Karena urutan pengamatan tidak penting
Penyebab Autokorelasi
Ommited important variable
Misspecification of the model
Systematic errors in measurement
Omitted variable
Misalkan Yt dipengaruhi oleh X2t dan X3t
Akan tetapi X3t tidak disertakan di dalam model.
Yt 1 1 X 2 t ut
ut X 3t vt
Sifat data time series:
X3t berhubungan dengan X3,t-1, X3,t-2
Sehingga ut berhubungan dengan ut-1, ut-2
Misspecification of the model
Misalkan Yt dipengaruhi oleh X2t secara kuadratik
Yt 1 2 X 2 t 3 X 22t ut
Akan tetapi suku kuadratik X2t tidak disertakan di dalam
model.
Yt 1 2 X 2 t vt
vt 3 X 22t ut
Jika X2t naik atau turun seiring waktu maka vt juga akan naik
atau turun seiring waktu
Systematic Errors in Measurement
Pengukuran yang dilakukan pada waktu
tertentu
Misalkan tingkat sediaan pada waktu t
Terjadi kesalahan dalam pengukuran tersebut
Jika variabel bersifat akumulatif, maka
kesalahan pengukuran juga akan
terakumulatif
Error di pengamatan t dipengaruhi oleh error
pada waktu sebelumnya
Jenis autokorelasi
Yang paling sering terjadi adalah first order serial
autocorrelation: AR(1)
Yt 1 2 X 2 t 3 X 3t k X kt ut
ut ut 1 t
ρ menyatakan hubungan fungsional antar galat ut
Koefisien dari first order autocorrelation ,
Bernilai di antara -1 s/d 1
Dan εt adalah galat yang iid
ρ=0, tidak ada autokorelasi
ρ→1, positif korelasi serial, galat waktu
sebelumnya sangat mempengaruhi galat saat
ini.
Galat waktu t-1 yang (-) diikuti oleh galat waktu t
yang juga (-)
Galat waktu t-1 yang (+) diikuti oleh galat waktu t
yang juga (+)
ρ→-1, negatif korelasi serial, galat waktu
sebelumnya sangat mempengaruhi galat saat
ini.
Galat waktu t-1 yang (-) diikuti oleh galat waktu t
yang (+)
Galat waktu t-1 yang (+) diikuti oleh galat waktu t
yang (-)
Positive Autocorrelation
+
ût
ût
-
+
+
uˆt 1
Time
-
-
Autokorelasi positif, ditunjukkan oleh pola siklus dari galat seiring waktu.
Negative Autocorrelation
û t
+
ût
+
-
+
Time
uˆt 1
-
-
Autokorelasi negatif, ditunjukkan dari pola yang ‘alternating’ dari galat seiring
waktu
No pattern in residuals –
No autocorrelation
û t
+
+
ût
-
+
Time
uˆt 1
-
-
Tidak ada pola dari galat, tidak ada autokorelasi
Efek dari Autokorelasi
Penduga OLS untuk koefisien regresi tetap tidak bias akan tetap tidak
lagi efisien (ragam besar)
Penduga ragam bagi koefisien regresi menjadi bias dan tidak konsisten
Tidak lagi BLUE
Uji hipotesis tidak lagi valid
Tidak mencerminkan hal yang sebenarnya
Overestimated R2:
Lebih besar dari yang sebenarnya
Model lebih sering dinyatakan ‘a good fit’ daripada hubungan yang
sebenarnya
Uji t juga lebih sering dinyatakan nyata
Efek matematis terhadap ragam penduga
koefisien
Ragam peragam penduga koefisien OLS tanpa autokorelasi:
1
1
ˆ
var β X' X X' E uu' X X' X
1
1
var βˆ X' X X' 2IX X' X
1
1
1
var βˆ 2 X' X X' X X' X 2 X' X
Jika terdapat autokorelasi, maka:
E ut , ut E ut , ut 1
1
E uu' 2 2
n 1
1
2
2
1
n 2
n 3
E ut , ut 2
n 1
n 2
n 3 Ω
1
Ragam peragam penduga koefisien OLS dengan autokorelasi:
var βˆ
X' X X' E uu' X X' X X' X 1 X' ΩX X' X 1
1
AR 1
1
Detecting Autocorrelation:The Durbin
Watson Test
Uji Durbin-Watson (DW):
- Uji untuk first order autocorrelation AR (1)
ut = ut-1 + vt
dengan
vt N(0, v2).
Hipotesis uji:
H0 : =0 and H1 : 0
T
Statistik uji
ut ut 1 2
DW t 2 T
ut 2
t 2
The DurbinWatson Test: Critical Values
Dengan penyederhanaan:DW 21 ̂
̂ : penduga koefisien korelasi pada AR(1)
1 ˆ 1
Sehingga:
0 DW 4
ˆ 0 : DW 2
Untuk DW → 2, tidak akan ada cukup bukti untuk adanya
autokorelasi
Terdapat dua nilai kritis bagi DW,
Upper critical value (du)
Lower critical value (dL)
Terdapat pula daerah yang ‘inconclusive’
The DurbinWatson Test: Interpretasi
hasil uji
Syarat agar uji dapat dilakukan secara sah:
1. Ada suku konstan pada model regresi
2. Peubah eksogen non stokastik (fixed)
3. Tidak ada lag pada peubah eksogen
Uji BreuschGodfrey
Dapat dilakukan untuk menguji autokorelasi sampai derajat
ke r
ut 1ut 1 2ut 2 3ut 3 r ut r vt
vt ~ N 0, v2
Dengan mengkombinasikan sifat galat tsb dan model regresi:
Yt 1 2 X 2 t k X kt 1ut 1 2ut 2 r ur 1 vt
Hipotesis nol dan hipotesis alternatif:
H0 : 1 = 0 dan 2 = 0 dan ... dan r = 0
H1 : 1 0 atau 2 0 atau ... atau r 0
Langkahlangkah uji BreuschGodfrey
Langkah 1: Dapatkan penduga bagi model regresi
Yt 1 2 X 2 t 3 X 3t k X kt ut
Langkah 2: Dapatkan penduga galat
uˆt Yt Yˆt
Langkah 3: Dapatkan penduga auxiliary regression bagi
penduga galat sebagai fungsi dari seluruh peubah eksogen dan
galat sejumlah lag yang ingin diuji
uˆt 0 1 X 2t k X kt k 1uˆt 1 k puˆt p
Langkah 4: Dapatkan statistik uji berdasarkan
koefisien determinasi dari auxiliary regression R2
LM n r R 2 ~ r2
Langkah 5: Tolak H0 jika ada bukti yang nyata dari
statistik uji
Penentuan r tergantung dari periode data (bulanan,
mingguan dsb) dan sifat siklusnya.
Cara Mengatasi Autokorelasi
Berdasarkan pengetahuan tentang ρ diketahui
ρ diketahui atau
ρ tidak diketahui
Mengatasi autokorelasi ketika ρ diketahui
ρ diketahui dan diasumsikan autokorelasi terjadi seusai
AR(1) model.
Yt 1 2 X 2 t 3 X 3t k X kt ut
(1)
ut ut 1 t
Model yang sama berlaku pada waktu ke t-1
Yt 1 1 2 X 2 t 1 3 X 3t 1 k X kt 1 ut 1
Model pada t-1 dikalikan dengan ρ
Yt 1 1 2 X 2 t 1 3X 3t 1 k X kt 1 ut 1
(2)
Persamaan (1) dikurangi dengan persamaan (2)
Yt 1 2 X 2 t 3 X 3t k X kt ut
Yt 1 1 2 X 2 t 1 3X 3t 1 k X kt 1 ut 1
Yt Yt 1 1 1 2 X 2t X 2t 1 k X kt 1 X kt 1 ut ut 1
Yt* 1* 2 X 2*t k X 3*t t
Akibat pembedaan, pengamatan berkurang 1
Pengamatan pertama digantikan dengan:
Y1* Y1 1 2 , X i*1 X i1 1 2
Mengatasi autokorelasi ketika ρ tidak diketahui:
CochraneOrcutt Iterative Procedure
Langkah 1: duga model regresi dan dapatkan penduga
galat
Langkah 2: duga koefisien korelasi serial orde 1
dengan metode OLS dari:
uˆt uˆt 1 t
Langkah 3: Lakukan transformasi untuk peubah
peubah yang dipakai dengan hubungan berikut:
Yt* Yt ˆYt 1 , 1* 1 1 ˆ , X it* X it ˆX it 1
Y1* Y1 1 ˆ 2 , X i*1 X i1 1 ˆ 2
Langkah 4: Dapatkan penduga regresi dan penduga
galat untuk persamaan berikut:
Yt* t* 2 X 2*t k X 3*t t
Ulangi lagi langkah 2 sampai dengan 4 sampai
dipenuhi kriteria berikut:
ˆ iterasi ke j ˆ iterasi ke j 1 0
Program Studi Statistika, semester Ganjil
2012/2013
Dr. Rahma Fitriani, S.Si., M.Sc
Autocorrelation
Terjadi ketika kovarians dan korelasi antar galat ≠ tidak sama
dengan nol.
Salah satu pelanggaran asumsi
cov ut , us 0, untuk beberapa t s
Paling sering terjadi pada data deret waktu
Karena urutan pengamatan mempunyai makna
Galat pada satu periode mempengaruhi galat pada periode berikutnya
Terutama pada periode dengan jarak pendek (mis: harian)
Pada data cross section jarang terjadi
Karena urutan pengamatan tidak penting
Penyebab Autokorelasi
Ommited important variable
Misspecification of the model
Systematic errors in measurement
Omitted variable
Misalkan Yt dipengaruhi oleh X2t dan X3t
Akan tetapi X3t tidak disertakan di dalam model.
Yt 1 1 X 2 t ut
ut X 3t vt
Sifat data time series:
X3t berhubungan dengan X3,t-1, X3,t-2
Sehingga ut berhubungan dengan ut-1, ut-2
Misspecification of the model
Misalkan Yt dipengaruhi oleh X2t secara kuadratik
Yt 1 2 X 2 t 3 X 22t ut
Akan tetapi suku kuadratik X2t tidak disertakan di dalam
model.
Yt 1 2 X 2 t vt
vt 3 X 22t ut
Jika X2t naik atau turun seiring waktu maka vt juga akan naik
atau turun seiring waktu
Systematic Errors in Measurement
Pengukuran yang dilakukan pada waktu
tertentu
Misalkan tingkat sediaan pada waktu t
Terjadi kesalahan dalam pengukuran tersebut
Jika variabel bersifat akumulatif, maka
kesalahan pengukuran juga akan
terakumulatif
Error di pengamatan t dipengaruhi oleh error
pada waktu sebelumnya
Jenis autokorelasi
Yang paling sering terjadi adalah first order serial
autocorrelation: AR(1)
Yt 1 2 X 2 t 3 X 3t k X kt ut
ut ut 1 t
ρ menyatakan hubungan fungsional antar galat ut
Koefisien dari first order autocorrelation ,
Bernilai di antara -1 s/d 1
Dan εt adalah galat yang iid
ρ=0, tidak ada autokorelasi
ρ→1, positif korelasi serial, galat waktu
sebelumnya sangat mempengaruhi galat saat
ini.
Galat waktu t-1 yang (-) diikuti oleh galat waktu t
yang juga (-)
Galat waktu t-1 yang (+) diikuti oleh galat waktu t
yang juga (+)
ρ→-1, negatif korelasi serial, galat waktu
sebelumnya sangat mempengaruhi galat saat
ini.
Galat waktu t-1 yang (-) diikuti oleh galat waktu t
yang (+)
Galat waktu t-1 yang (+) diikuti oleh galat waktu t
yang (-)
Positive Autocorrelation
+
ût
ût
-
+
+
uˆt 1
Time
-
-
Autokorelasi positif, ditunjukkan oleh pola siklus dari galat seiring waktu.
Negative Autocorrelation
û t
+
ût
+
-
+
Time
uˆt 1
-
-
Autokorelasi negatif, ditunjukkan dari pola yang ‘alternating’ dari galat seiring
waktu
No pattern in residuals –
No autocorrelation
û t
+
+
ût
-
+
Time
uˆt 1
-
-
Tidak ada pola dari galat, tidak ada autokorelasi
Efek dari Autokorelasi
Penduga OLS untuk koefisien regresi tetap tidak bias akan tetap tidak
lagi efisien (ragam besar)
Penduga ragam bagi koefisien regresi menjadi bias dan tidak konsisten
Tidak lagi BLUE
Uji hipotesis tidak lagi valid
Tidak mencerminkan hal yang sebenarnya
Overestimated R2:
Lebih besar dari yang sebenarnya
Model lebih sering dinyatakan ‘a good fit’ daripada hubungan yang
sebenarnya
Uji t juga lebih sering dinyatakan nyata
Efek matematis terhadap ragam penduga
koefisien
Ragam peragam penduga koefisien OLS tanpa autokorelasi:
1
1
ˆ
var β X' X X' E uu' X X' X
1
1
var βˆ X' X X' 2IX X' X
1
1
1
var βˆ 2 X' X X' X X' X 2 X' X
Jika terdapat autokorelasi, maka:
E ut , ut E ut , ut 1
1
E uu' 2 2
n 1
1
2
2
1
n 2
n 3
E ut , ut 2
n 1
n 2
n 3 Ω
1
Ragam peragam penduga koefisien OLS dengan autokorelasi:
var βˆ
X' X X' E uu' X X' X X' X 1 X' ΩX X' X 1
1
AR 1
1
Detecting Autocorrelation:The Durbin
Watson Test
Uji Durbin-Watson (DW):
- Uji untuk first order autocorrelation AR (1)
ut = ut-1 + vt
dengan
vt N(0, v2).
Hipotesis uji:
H0 : =0 and H1 : 0
T
Statistik uji
ut ut 1 2
DW t 2 T
ut 2
t 2
The DurbinWatson Test: Critical Values
Dengan penyederhanaan:DW 21 ̂
̂ : penduga koefisien korelasi pada AR(1)
1 ˆ 1
Sehingga:
0 DW 4
ˆ 0 : DW 2
Untuk DW → 2, tidak akan ada cukup bukti untuk adanya
autokorelasi
Terdapat dua nilai kritis bagi DW,
Upper critical value (du)
Lower critical value (dL)
Terdapat pula daerah yang ‘inconclusive’
The DurbinWatson Test: Interpretasi
hasil uji
Syarat agar uji dapat dilakukan secara sah:
1. Ada suku konstan pada model regresi
2. Peubah eksogen non stokastik (fixed)
3. Tidak ada lag pada peubah eksogen
Uji BreuschGodfrey
Dapat dilakukan untuk menguji autokorelasi sampai derajat
ke r
ut 1ut 1 2ut 2 3ut 3 r ut r vt
vt ~ N 0, v2
Dengan mengkombinasikan sifat galat tsb dan model regresi:
Yt 1 2 X 2 t k X kt 1ut 1 2ut 2 r ur 1 vt
Hipotesis nol dan hipotesis alternatif:
H0 : 1 = 0 dan 2 = 0 dan ... dan r = 0
H1 : 1 0 atau 2 0 atau ... atau r 0
Langkahlangkah uji BreuschGodfrey
Langkah 1: Dapatkan penduga bagi model regresi
Yt 1 2 X 2 t 3 X 3t k X kt ut
Langkah 2: Dapatkan penduga galat
uˆt Yt Yˆt
Langkah 3: Dapatkan penduga auxiliary regression bagi
penduga galat sebagai fungsi dari seluruh peubah eksogen dan
galat sejumlah lag yang ingin diuji
uˆt 0 1 X 2t k X kt k 1uˆt 1 k puˆt p
Langkah 4: Dapatkan statistik uji berdasarkan
koefisien determinasi dari auxiliary regression R2
LM n r R 2 ~ r2
Langkah 5: Tolak H0 jika ada bukti yang nyata dari
statistik uji
Penentuan r tergantung dari periode data (bulanan,
mingguan dsb) dan sifat siklusnya.
Cara Mengatasi Autokorelasi
Berdasarkan pengetahuan tentang ρ diketahui
ρ diketahui atau
ρ tidak diketahui
Mengatasi autokorelasi ketika ρ diketahui
ρ diketahui dan diasumsikan autokorelasi terjadi seusai
AR(1) model.
Yt 1 2 X 2 t 3 X 3t k X kt ut
(1)
ut ut 1 t
Model yang sama berlaku pada waktu ke t-1
Yt 1 1 2 X 2 t 1 3 X 3t 1 k X kt 1 ut 1
Model pada t-1 dikalikan dengan ρ
Yt 1 1 2 X 2 t 1 3X 3t 1 k X kt 1 ut 1
(2)
Persamaan (1) dikurangi dengan persamaan (2)
Yt 1 2 X 2 t 3 X 3t k X kt ut
Yt 1 1 2 X 2 t 1 3X 3t 1 k X kt 1 ut 1
Yt Yt 1 1 1 2 X 2t X 2t 1 k X kt 1 X kt 1 ut ut 1
Yt* 1* 2 X 2*t k X 3*t t
Akibat pembedaan, pengamatan berkurang 1
Pengamatan pertama digantikan dengan:
Y1* Y1 1 2 , X i*1 X i1 1 2
Mengatasi autokorelasi ketika ρ tidak diketahui:
CochraneOrcutt Iterative Procedure
Langkah 1: duga model regresi dan dapatkan penduga
galat
Langkah 2: duga koefisien korelasi serial orde 1
dengan metode OLS dari:
uˆt uˆt 1 t
Langkah 3: Lakukan transformasi untuk peubah
peubah yang dipakai dengan hubungan berikut:
Yt* Yt ˆYt 1 , 1* 1 1 ˆ , X it* X it ˆX it 1
Y1* Y1 1 ˆ 2 , X i*1 X i1 1 ˆ 2
Langkah 4: Dapatkan penduga regresi dan penduga
galat untuk persamaan berikut:
Yt* t* 2 X 2*t k X 3*t t
Ulangi lagi langkah 2 sampai dengan 4 sampai
dipenuhi kriteria berikut:
ˆ iterasi ke j ˆ iterasi ke j 1 0