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‚« ¤¨ª ¢ª §áª¨© ¬ â¥¬ â¨ç¥áª¨© ¦ãà­ «
€¯à¥«ì{¨î­ì, 2000, ’®¬ 2, ‚ë¯ã᪠2

“„Š

žp¨î ‹¥®­¨¤®¢¨çã …à订ã
ª ¥£® è¥á⨤¥áï⨫¥â¨î

512.552.32+514.146.7

Ž Ž…Š’ˆ‚›• ‹Ž‘ŠŽ‘’Ÿ• €„
‘‹€Ž-„ˆ‘’ˆ“’ˆ‚›Œˆ ’…‹€Œˆ ˆ

IP0 V W -‘ˆ‘’…Œ€Œˆ

ˆ. €. •ã¡¥¦âë
‚ à ¡®â¥ ¯à¥¤áâ ¢«¥­ ®¡§®à १ã«ìâ â®¢ ¯®«ã祭­ëå  ¢â®à®¬ ¢ [3{7] ® áãé¥á⢮¢ ­¨¨
á« ¡®-¤¨áâਡã⨢­ëå  «£¥¡à, ¯®çâ¨- «£¥¡à, ⥫,
饭¨©.

IP0 V W -á¨á⥬

¨ ¨å ­¥ª®â®àëå ®¡®¡-

®«ã祭­ë¥ १ã«ìâ âë 㪠§ë¢ îâ ­  áãé¥á⢮¢ ­¨¥ ­®¢®© ®¡« á⨠¨áá«¥¤®-

¢ ­¨© ¢ ⥮ਨ  «£¥¡à ¨ç¥áª¨å á¨á⥬.

‘­ ç «  ¯à¨¢¥¤¥¬ ä®à¬ã«¨à®¢ª¨ ⥮६ •®««  ¨ •®««  | – áᥭå ã§ .

€. ’¥®à¥¬  •®««  [1].

f (z ) =
, rz , s | ¬­®£®ç«¥­, ­¥¯à¨¢®¤¨¬ë© ­ ¤ F . ’®£¤  ¬­®¦¥á⢮ B = fa + bu j
a; b 2 F; u 62 F g á®áâ ¢«ï¥â V W -á¨á⥬㠮⭮á¨â¥«ì­® á«¥¤ãîé¨å ®¯¥à æ¨©:
(1) z  w = z + w; z = z1 + z2 u; w = w1 + w2 u (z1 ; z2 ; w1 ; w2 2 F; u 62 F ),
(2) (a + bz )q = q (a + bz ) = qa + qbz (q; a; b 2 F; z 62 F ),
(3) (c + dz )  z = ds + z (c + dr ) (c; d; r; s 2 F; z 62 F ).
B. ’¥®à¥¬ 
•®««  |2 – áᥭå ã§  [1, 2]. ãáâì F | ¯®«¥, ®â«¨ç­®¥
k

®â ¯®«ï GF (2 ), ¨ f (z ) = z , rz , s | ­¥¯à¨¢®¤¨¬ ­ ¤ F . ’®£¤  ¬­®¦¥á⢮
M = fa + b j a; b 2 F;  62 F g ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ᯥ樠«ì­ãî ¯à ¢ãî V W -á¨á⥬ã
z2

ãáâì

F

| ¯®«¥ ¤¥©á⢨⥫ì­ëå ç¨á¥«,

®â­®á¨â¥«ì­® á«¥¤ãîé¨å ®¯¥à æ¨©:

(1) (a1 + b1 ) + (a2 + b2 ) = (a1 + a2 ) + (b1 + b2 ) (ai ; bi
(2) q (z + w ) = qz + qw = (z + w )q; q
F (zw F ),
(3) (a + b)(c + d) = (ad
bc + rc) + bd a,1 c(b2 br

,

2

,

62

2 F)

,

, , s ):

¥à¥©¤¥¬ ⥯¥àì ª à áªàëâ¨î ⥬ë.

1. Ž ­¥ª®â®àëå á« ¡®-¤¨áâਡã⨢­ëå  «£¥¡à å
¨ ¯®çâ¨- «£¥¡à å

1. Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥ [3]. €«£¥¡à ¨ç¥áªãî á¨á⥬ã B(+;
), ®¯¥à æ¨¨ ª®â®à®©

㤮¢«¥â¢®àïîâ ãá«®¢¨ï¬

(1)

B (+) |  ¡¥«¥¢  £à㯯 ,

c 2000 •ã¡¥¦âë ˆ. €.

2{47

Ž ¯à®¥ªâ¨¢­ëå ¯«®áª®áâïå ­ ¤ á« ¡®-¤¨áâਡã⨢­ë¬¨ ⥫ ¬¨

B (
) | £à㯯®¨¤ á ¥¤¨­¨æ¥© e,
(3) a(e + b) = a + ab (8a; b),
(4) (a + e)b = ab + b (8a; b), ­ §®¢¥¬
(2)

á« ¡®-¤¨áâਡã⨢­ë¬ ª®«ì殬 ( 

¥á«¨ ¢ë¯®«­¥­­® ⮫쪮 ®¤­® ¨§ ãá«®¢¨© (3) ¨«¨ (4), â® á« ¡®-¤¨áâਡã⨢­ë¬
¯®çâ¨-ª®«ì殬).
2.

Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥. ‹¨­¥©­®¥ ¯à®áâà ­á⢮, ®á­ é¥­­®¥ áâàãªâãன á« ¡®-

¤¨áâਡã⨢­®£® ª®«ìæ , ­ §®¢¥¬ á« ¡®-¤¨áâਡã⨢­®©  «£¥¡à®©.

‘« ¡®-

ax =
b; yc = a; az = bz + c ¨ ta = tb + c; a 6= b, ®¤­®§­ ç­® à §à¥è¨¬ë ®â­®á¨â¥«ì­®
x; y; z ¨ t, ­ §®¢¥¬ á« ¡®-¤¨áâਡã⨢­ë¬ ⥫®¬.
2k+1 ) ¨ f (z ) =
3. ’¥®à¥¬  [3]. ãáâì ¢ ãá«®¢¨ïå â¥®à¥¬ë •®««  F = GF (2
z 2 + z + 1. ’®£¤  á¨á⥬  B1 = fa + buj a; b 2 F; u 2= F g á® á«¥¤ãî騬¨
¤¨áâਡã⨢­ãî  «£¥¡àã á ®¡à â¨¬ë¬ 㬭®¦¥­¨¥¬, ¢ ª®â®à®© ãà ¢­¥­¨ï

®¯¥à æ¨ï¬¨ á«®¦¥­¨ï ¨ 㬭®¦¥­¨ï:

(1) (a1 + a2 u) + (b1 + b2 u) = (a1 + b1 ) + (a2 + b2 ),

zq + wq = g (z + w) (q 2 F ),

(3) (c + dz )  z = 1 + z (c + d) (c; d 2 F )
(2) (z + w )q =

¡ã¤¥â á« ¡®-¤¨áâਡã⨢­®©  «£¥¡à®©.

4.

à¨¬¥ç ­¨¥.

à®á⥩訬 ¯à¨¬¥à®¬ á« ¡®-¤¨áâਡã⨢­®£® ª®«ìæ 

á«ã¦¨â ª®«ìæ® æ¥«ëå ç¨á¥«.
5.

Ž¯à¥¤¥«¥­¨¥

[4].

‹¨­¥©­®¥

¯à®áâà ­á⢮,

®á­ é¥­­®¥

âãன «¥¢®£® (¯à ¢®£®) á« ¡®-¤¨áâਡã⨢­®£® ¯®çâ¨-ª®«ìæ ,

áâàãª-

­ §®¢¥¬ «¥-

¢®© (¯à ¢®©) á« ¡®-¤¨áâਡã⨢­®© ¯®çâ¨- «£¥¡à®©. ‘« ¡®-¤¨áâਡã⨢­ãî

ax = b, ya = c, az = bz + c,
ta = tb + c, a 6= b, ®¤­®§­ ç­® à §à¥è¨¬ë ®â­®á¨â¥«ì­® x, y , z , t, ­ §®¢¥¬ á« ¡®-

¯®çâ¨- «£¥¡àã á ¥¤¨­¨æ¥©, ¢ ª®â®à®© ãà ¢­¥­¨ï

¤¨áâਡã⨢­ë¬ «¥¢ë¬ (¯à ¢ë¬) ⥫®¬ ¨«¨ á« ¡®-¤¨áâਡã⨢­®© «¥¢®©

(¯à ¢®©)

IP0 V W -á¨á⥬®©.

®áâந¬ ¯à¨¬¥àë á« ¡®-¤¨áâਡã⨢­®© «¥¢®© ¯®çâ¨- «£¥¡àë (⥮६ 
6) ¨ á« ¡®-¤¨áâਡã⨢­®©  «£¥¡àë (⥮६  7).

f (z ) = z 2 , rz , s ­¥¯à¨¢®¤¨¬
­ ¤ ¯®«¥¬ F 6
¨ ¢® ¬­®¦¥á⢥ B2 = fa + bu ja; b 2 F; u 2
= F g 㬭®¦¥­¨¥
í«¥¬¥­â®¢ ®¯à¥¤¥«¥­® á«¥¤ãî騬 ®¡à §®¬: !  z = (c + dz )  z = s + z (c + dr ),
⮣¤  B2 (+; ) ¡ã¤¥â á« ¡®-¤¨áâਡã⨢­®© «¥¢®© ¯®çâ¨- «£¥¡à®©.
6. ’¥®à¥¬ 

[1, 4].

7. ’¥®à¥¬ 

[4].

= GF (2k )

p p

 «£¥¡à¥ ­ ¤ ¯®«¥¬

F

ãáâì ¢ ⥮६¥ •®«« 

…᫨ ¢ ª®¬¬ãâ â¨¢­®© ­¥ «ìâ¥à­ â¨¢­®©

=

GF (2k )

®¯à¥¤¥«¨âì

í« áâ¨ç­®©

­®¢®¥ 㬭®¦¥­¨¥ ¯® ¯à ¢¨«ã:

x  y = xy x, â® ®­  ¡ã¤¥â ¯à¥¤áâ ¢«ïâì ­¥ª®¬¬ãâ â¨¢­ãî ¨ ­¥í« áâ¨ç­ãî
¯à ¢ãî ¯®çâ¨- «£¥¡àã B3 (+; ) ¢ ª®â®à®© (y + 1)  x = y  x + x:

2{48

ˆ. €. •ã¡¥¦âë

2. Ž ­¥ª®â®àëå á« ¡®-¤¨áâਡã⨢­ëå ⥫ å

IP0V W -á¨á⥬ å
„®ª ¦¥¬ áãé¥á⢮¢ ­¨¥ IP -á¯à ¢  «¥¢®© IP0 V W -á¨á⥬ë B5 (+; ), ¢ ª®â®à®© a(b + 1) = ab + a ¨ ab b = a bb:
8. ’¥®à¥¬  [4].
F = GF (22 +1)
f (z ) = z 2 + z + 1
F
M = a + bu a; b F; u = F
¨

k

„«ï

¯à¨¢®¤¨¬®£® ­ ¤
®¯¥à æ¨©

VW

(+)

¨

, ¬­®¦¥á⢮

(),

¨ âà¥åç«¥­ 

f

j

, ­¥-

2

2

g ®â­®á¨â¥«ì­®

®¯à¥¤¥«¥­­ëå ¢ ä®à¬ã«¨à®¢ª¥ â¥®à¥¬ë •®«« , á®áâ ¢«ï¥â

-á¨á⥬ã, ¢ ª®â®à®© ¨¬¥îâ ¬¥áâ® ãá«®¢¨ï:

z (1 + t) = z + z t;
z z,1 = z,1 z = 1; z = 0;
(2) (! z ) z = !0 (z z ) ( !; z );
(3) (! z ) z ,1 = !; z = 0;
(4) z ,1 (z z ) = z ( z = 0):
9. „«ï ¯®áâ஥­¨ï ¯à¨¬¥à  IP -á«¥¢  ¯à ¢®© IP0 V W -á¨á⥬ë B6 , ¢ ª®â®à®© (a + 1)b = ab + b ¤«ï «î¡ëå a; b ¨ a ab = aa b; ¬ë ¢®á¯®«ì§ã¥¬áï ⥮६®©
(0)



(1)









6











8

6



8

6







•®««  | – áᥭå ã§ .
10. ’¥®à¥¬  [5].

ãáâì ¢ ãá«®¢¨ïå â¥®à¥¬ë •®««  | – áᥭå ã§ 

F

=

GF (22k+1 ); f (x) = x2 +x+1: ’®£¤  B (+; ) ¡ã¤¥â ¯à¥¤áâ ¢«ïâì IP -á«¥¢  ¯à ¢ãî
IP0 V W -á¨á⥬ã, ¢ ª®â®à®© (1 + b)  c = c + b  c ¨ a  (a  b) = (a  a)  b, â. ¥.
á¨á⥬ã B6 (+; ).
11. ’¥®à¥¬  [5]. ¥ ¢® ¢á类© «¥¢®© (¯à ¢®©) IP0 V W -á¨á⥬¥ B0 (+;
) ¨§

a(b + 1) = ab + a á«¥¤ã¥â ⮦¤¥á⢮ a(b + c) = ab + ac (ᮮ⢥âá⢥­­®
¨§ (1 + a)b = b + ab á«¥¤ã¥â (a + b)c = ac + bc).
C „®ª § â¥«ìá⢮ ⥮६ë 11 á«¥¤ã¥â ¨§ áãé¥á⢮¢ ­¨ï ⥫ B5(+; ) ¨
B6 (+; ), á¬. 8 ¨ 10. B

⮦¤¥á⢠







ˆ§ 8, 10 ¨ 11 á«¥¤ã¥â, çâ® áãé¥áâ¢ãî⠯ࠢ®- «ìâ¥à­ â¨¢­ë¥ á« ¡®-

¤¨áâਡã⨢­ë¥ ⥫ , ­¥ ïî騥áï «¥¢®- «ìâ¥à­ â¨¢­ë¬¨ á« ¡®-¤¨áâਡã⨢­ë¬¨ ⥫ ¬¨.
Ž áãé¥á⢮¢ ­¨¨ á« ¡®-¤¨áâਡã⨢­ëå  «£¥¡à ¨ ¯®çâ¨- «£¥¡à, ¢ ª®â®àëå
¢ë¯®«­ïîâáï ãá«®¢¨ï

a,1a = aa,1 = 1; a aa = aa a; a = a,1 aa = aa a,1



a = 0), £« á¨â á«¥¤ãîé ï

(8

6

12. ’¥®à¥¬  [4]. (1)

‘¨á⥬ 

a

b ab + b

(2)

IP0 V W

‘¨á⥬ 
-á¨á⥬ã

B5 A
B8


k , £¤¥

, ¢ ª®â®à®©

Žç¥¢¨¤­  á«¥¤ãîé ï

¨




B5 B6 = (x ; y ); x
B7


áâ ¢«ï¥â á« ¡®{¤¨áâਡã⨢­ãî  «£¥¡àã

( + 1) =




f

i

i

i 2

B5 ; y

i 2




B6

g ¯à¥¤-

, ¢ ª®â®à®© ¨¬¥îâ ¬¥áâ® à ¢¥­á⢠

a(b + 1) = ab + a

A
a(b + 1) = ab + a

a; b):

(8

k | ⥫® Š«¥©­¥à¬ ­ , ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â «¥¢ãî
.

2{49

Ž ¯à®¥ªâ¨¢­ëå ¯«®áª®áâïå ­ ¤ á« ¡®-¤¨áâਡã⨢­ë¬¨ ⥫ ¬¨

13. ’¥®à¥¬ .

‚á类¥ «¥¢®¥

(¯à ¢®¥) á« ¡®-¤¨áâਡã⨢­®¥ ¯®çâ¨-⥫®

¥áâì «¥¢®¥ (¯à ¢®¥) ¯®çâ¨-⥫®. ‚á类¥ á« ¡®-¤¨áâਡã⨢­®¥  áá®æ¨ â¨¢­®¥
⥫® ¥áâì  áá®æ¨ â¨¢­®¥ ⥫®.
14.

[3].

’¥®à¥¬ 

¯®«­ïîâáï

ãá«®¢¨ï

‘« ¡®-¤¨áâਡã⨢­®¥

= 1; (y

aa

,1
ab = b = ba
a,1 , ¥áâì ¯®«¥.

a

C ‚ ᨫã (
c(x

‚ ᨫã
B (+;

a + 1)c

=




zy )x

ac + c; a(b + 1)

=

= (yz
ab + a,

⥫®




y )x

B (+;

=


)

y (z

,




¢

ª®â®à®¬

yx)

á¯à ¢¥¤«¨¢ëå ¢

(

8

B (+;

¢ë-

x; y; z )

¨


), ¨¬¥¥¬:

,1 + 1)y ) = c((xy ,1 + 1)
ct) = (c(xy ,1 + 1)
c)t
,1 + c)c)t = (((c
xy ,1 )c + 1)
c)t = ((c
xy ,1 )c + 1)t
= ((c
xy
,1
,1
ct = c(xy ,1
ct) + t = c(xy ,1
y ) + c
ct
= ((c
xy )c)t + c

+ y ) = c((xy

ba

=

cx

d

=

=

+ cy:

)

=

a

,1

bd, da


) ¢ë¯®«­ï¥âáï à ¢¥­á⢮ (

¢ë¯®«­ï¥âáï aa

[4].

=1

b

=

a + b)c

†¥¢« ª®¢  [8], ï¥âáï ¯®«¥¬.
15. ’¥®à¥¬ 

=

B

=

da

)

=

ac + bc

a

=

db

)

=

db

=

bd

8

(

a; b; d)

¢

¨ ¯®í⮬㠮­ , ¢ ᨫã ⥮६ë

‘« ¡®-¤¨áâਡã⨢­ ï «¥¢ ï I P V W -á¨á⥬ , ¢ ª®â®à®©

¤«ï ¢á¥å a, ¥áâì ­¥ áá®æ¨ â¨¢­®¥ ¨ ª®¬¬ãâ â¨¢­®¥ á« ¡®-

¤¨áâਡã⨢­®¥ ⥫®.

‚ á«¥¤ãî饩 ⥮६¥ ãáâ ­ ¢«¨¢ îâáï ­¥ª®â®àë¥ ¤®áâ â®ç­ë¥ ãá«®¢¨ï,
¯à¨ ª®â®àëå «¥¢ ï á« ¡®-¤¨áâਡã⨢­ ï

I P0 V W -á¨á⥬ 

ï¥âáï á« ¡®-

¤¨áâਡã⨢­ë¬ ⥫®¬.
16. ’¥®à¥¬ .
à ªâ¥à¨á⨪¨ p

,1
ab = b;

a

6= 2

‘« ¡®-¤¨áâਡã⨢­ ï «¥¢ ï I P0 V W -á¨á⥬  B (+;


)

å -

, ¢ ª®â®à®© ¨¬¥îâ ¬¥áâ® ãá«®¢¨ï

,1 2

C (B0 )

\

K (B0 ); a

,1 (ab , a + 1) = b , 1 + a,1

(

8 6= 0)
a

;

¥áâì á« ¡®-¤¨áâਡã⨢­®¥ ⥫®.

„®ª § â¥«ìá⢮ ®¯¨à ¥âáï ­  ⥮६ë (C ) ¨ (D ). à¨¢¥¤¥¬ ä®à¬ã«¨à®¢ª¨
íâ¨å ⥮६.
C. ’¥®à¥¬ 

[5].

(0) 1 + 1 = 0,
(1) a,1 ab =

b

(2)

a(1




6

+ b) =

a

‹¥¢ ï I P0 V W -á¨á⥬ , ¢ ª®â®à®© ¢ë¯®«­ïîâáï ãá«®¢¨ï

(

8 6= 0
(8
a

; b),

+ ab

a; b),

ï¥âáï  «ìâ¥à­ â¨¢­ë¬ ⥫®¬.

D. ’¥®à¥¬ 

[5].

‚ «¥¢®© I P0 V W -á¨á⥬¥ X1 , ¢ ª®â®à®© ¢ë¯®«­ïîâáï

ãá«®¢¨ï

(0) 1 + 1 = 0,
,1 ab =
a

(1)




b

(

8 6= 0
a

; b),

2{50

ˆ. €. •ã¡¥¦âë

a(b + 1) = ab + a (8a; b),
¢ë¯®«­ï¥âáï â ª¦¥ a(b + c) = ab + ac (8a; b; c).
(2)

IP0V W -á¨á⥬ ïîâáï:
B5  X7 = B10; £¤¥ X7 | ¯à ¢ ï IP0 V W -á¨á⥬ ;
2) B6  Ak = B9 ;
3) B5  Ak = B8 ¨ â. ¤.
à¨¬¥à ¬¨ ¤à㣨å á« ¡®-¤¨áâਡã⨢­ëå

1)

3. Š®««¨­¥ æ¨¨ ¢ ¯«®áª®áâïå ­ ¤ ­¥ª®â®à묨
á« ¡®-¤¨áâਡã⨢­ë¬¨ ⥫ ¬¨ ¨

IP0V W -á¨á⥬ ¬¨

‹¥£ª® ¯®ª § âì, çâ® ¢ ¨­æ¨¤¥­â­®áâ­®© áâàãªâãॠ­ ¤ á« ¡®-¤¨áâਡã⨢­®©  «£¥¡à®©

B , áãé¥áâ¢ãîâ:

(1) ç¥âëॠâ®çª¨ ®¡é¥£® ¯®«®¦¥­¨ï;

(2) ­¥ ᮥ¤¨­ï¥¬ë¥ â®çª¨ ([(a1 ; b1 ) (a2 ; b2 )] = [y = xm + t] () b1 , b2 =
a1 m , a2m ­¥ ¢á¥£¤  à §à¥è¨¬® ®â­®á¨â¥«ì­® m);
(3) ¯ à  ­¥¯¥à¥á¥ª îé¨åáï ¯àï¬ëå (â®çª  [y = b] \ [y = xm] ¬®¦¥â ­¥
áãé¥á⢮¢ âì, ¨¡® xm = b ¬®¦¥â ­¥ ¨¬¥âì à¥è¥­¨ï);
(4) 3-⪠­ì ¯àï¬ëå f[y = bj ]g; f[x = aj ]g; f[y = x + bj , aj ]g ¯ã窮¢ á
業âà ¬¨ (0); (1) ¨ (1) ᮮ⢥âá⢥­­®.
17. ’¥®à¥¬  [6]. ‚ ¨­æ¨¤¥­â­®áâ­®© áâàãªâãॠ­ ¤ B1 (á¬. ⥮६ã 3)
¡¥§ ¤¥«¨â¥«¥© ­ã«ï ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï (¯à¨ a
m  t = am + t):
(1) (a; c) ! (a + 1; c); (m) ! (m);
(2) (a; c) ! (a; c + a); (m) ! (m + 1);
(3) (x; y ) ! (x + 1; yb + d); (m) ! (mb); £¤¥ b 2 K (B1 )
ïîâáï ᮮ⢥âá⢥­­® ((0); l1 )-í« æ¨¥©, ((1); [x = 0])-í« æ¨¥©, ¨ ­¥æ¥­âà «ì­®© ª®««¨­¥ æ¨¥©.

Ž ª®««¨­¥ æ¨ïå ¢ ¯à®¥ªâ¨¢­ëå ¯«®áª®áâïå ­ ¤ á« ¡®-¤¨áâਡã⨢­ë¬¨

IP0V W -á¨á⥬ ¬¨, £« áïâ ⥮६ë 18{26.
18. ’¥®à¥¬  [7]. ‚ ¯«®áª®á⨠B  ­ ¤ ¯à ¢®© IP0 V W -á¨á⥬®© B (+;
), ¢
ª®â®à®© (1 + a)b = b + ab, ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ (x; y ) ! (sxa + c; syb + d + (sxa + c)d),
(m) ! (a,1
mb + d) ï¥âáï ª®««¨­¥ æ¨¥© ¯à¨ s 2 K (B ); a 2 N (B ); c =
1 +


+ 1; b 2 K (b) ¨ «î¡®¬ d.
19. ’¥®à¥¬ . ‚ ¯«®áª®á⨠B  ­ ¤ á« ¡®-¤¨áâਡã⨢­®© «¥¢®© IP0 V W á¨á⥬®© B (+;
) ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï
(0) (x; y ) ! (x + 1; y + b);
(1) (x; y ) ! (,x; ,y ); (m) ! (m);
(2) (x; y ) ! (xa; yb); (m) ! (a,1
mb); a 2 N (B ); b 2 K (B )

⥫ ¬¨ ¨

ïîâáï ª®««¨­¥ æ¨ï¬¨.

x; y) ! (x; xk + y , yk), (m) ! (m +
k , mk) ¢ ¯«®áª®á⨠­ ¤ ¯à ¢®© á« ¡®-¤¨áâਡã⨢­®© IP0V W -á¨á⥬®© B
ï¥âáï ª®««¨­¥ æ¨¥© ¯à¨ k = 1 +


+ 1 2 K (B ) \ C (B ).
20. ’¥®à¥¬  [7]. à¥®¡à §®¢ ­¨¥ (

Ž ¯à®¥ªâ¨¢­ëå ¯«®áª®áâïå ­ ¤ á« ¡®-¤¨áâਡã⨢­ë¬¨ ⥫ ¬¨

21. ’¥®à¥¬ . ‚ ¯«®áª®áâ¨

B5

2{51

¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï:

a; c) ! (a + k; c + d); (m) ! (m);
(2) (a; c) ! (a; c + a); (m) ! (m + 1);
(3) (a; c) $ (c; a); (m) $ (m,1 ); (1) $ (0);
(4) (x; y ) ! (syb + d; sxa + syb + d); (m) ! (b,1
m,1 a + 1); a; b 2 N (B ); s 2
K (B ); 8d
(5) (a; c) ! (ya,1 ; xa); (m) ! (am,1
a); a 2 N (B5 )
(1) (

,

ïîâáï ª®««¨­¥ æ¨ï¬¨.

‘¯à ¢¥¤«¨¢  ¨ á«¥¤ãîé ï ª« áá¨ä¨ª æ¨®­­ ï
22. ’¥®à¥¬ . à®¥ªâ¨¢­ ï ¯«®áª®áâì

B

­ ¤ â¥à­ à­ë¬ ª®«ì殬 á ãá«®-

aa,1 = a,1 a = 1
(1) (x; y ) ! (x + a; y + b) (m) ! (m)
(2) (x; y ) ! (x; y + x); (m) ! (m + 1);
(3) (x; y ) $ (x; y ); (m) $ (m,1 ); (1) $ (0);
(4) (x; y ) ! (x; yb); (m) ! (mb); 8b
B5
C ®áª®«ìªã ¨§ áãé¥á⢮¢ ­¨ï (1) ¢ B  á«¥¤ã¥â ¢ë¯®«­¥­¨¥ ¢á¥å  ªá¨®¬ «¥¢®© IP0 V W -á¨á⥬ë,   ¨§ áãé¥á⢮¢ ­¨ï (2), (3) ¨ (4) ᮮ⢥âá⢥­­® á«¥¤ãîâ ⮦¤¥á⢠ a(b + 1) = ab + a, 8a; b; ba
a,1 = b, 8a 6= 0; b ¨
ca
b = c
ab ) cb
b = c
bb, ⮠⥮६  ¤®ª § ­ . B
23. ’¥®à¥¬ .
B6
¢¨ï¬¨:

1+1=0

¨

, ¢ ª®â®à®© áãé¥áâ¢ãîâ ª®««¨­¥ æ¨¨:

,

,

,

¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ¯«®áª®áâì

.

‚ ¯«®áª®áâ¨

á«¥¤ãî騥 ¯à¥®¡à §®¢ ­¨ï ïîâáï ª®«-

«¨­¥ æ¨ï¬¨:

1 : (x; y) ! (ax; a,1y); (m) ! (a,1
a,1 m); a 2 N (B6) \ C (B6);
2 : (x; y) ! (x; y + xk); (m) ! (m + k); 8k;
3 : (x; y) ! (x; xk + y , yk); k 2 Nr \ K (B6);
24. à¨¬¥ç ­¨¥.
B6
(3)
(3) , fba
a,1 = b; (a + b)c =
ac + bcg
B6 ba
a,1 = b
«®áª®áâì

áãé¥áâ¢ã¥â ª®««¨­¥ æ¨ï
,   á¨á⥬ 

á

å à ªâ¥à¨á⨪¨ 2 ¤¥§ à£®¢ , ¥á«¨ ¢ ­¥©

¢ ⥮६¥ 22, ¨¡®

, ¥áâì  «ìâ¥à­ â¨¢­®¥ ⥫® ¢ ᨫã á«¥¤ãî饩

â¥®à¥¬ë Œ «ì楢 :

E. ’¥®à¥¬ 

[10].

Š®«ìæ® á ¥¤¨­¨æ¥©, ¢ ª®â®à®¬

a,1
ab = b = ba
a,1

, ¥áâì

 «ìâ¥à­ â¨¢­®¥ ⥫®.

‘«¥¤®¢ â¥«ì­®, ®­® ¡ã¤¥â  áá®æ¨ â¨¢­ë¬ ⥫®¬ å à ªâ¥à¨á⨪¨ 2, ¢ ᨫã
â¥®à¥¬ë ‹¨­­¨ª :
F. ’¥®à¥¬ 

[9].

€«ìâ¥à­ â¨¢­®¥ ⥫® å à ªâ¥à¨á⨪¨ 2  áá®æ¨ â¨¢­®.

B8 ¯à¥®¡à §®¢ ­¨¥ () : (x; y) !
,
1
(x + p; p (y + 1)), p 2 C (B8 ) \ K (B8 ), ï¥âáï ­¥æ¥­âà «ì­®© ª®««¨­¥ æ¨¥©.
25. ’¥®à¥¬ . ‚ ¯à®¥ªâ¨¢­®© ¯«®áª®áâ¨

2{52

ˆ. €. •ã¡¥¦âë
4. Ž ª®­ä¨£ãà æ¨®­­ëå ᢮©áâ¢ å ¯«®áª®á⥩
­ ¤ ­¥ª®â®à묨 á« ¡®-¤¨áâਡã⨢­ë¬¨ ⥫ ¬¨

‡¤¥áì ãáâ ­®¢«¥­ë ­¥ª®â®àë¥ ¤®áâ â®ç­ë¥ ãá«®¢¨ï ¬ãä ­£®¢®á⨠¨«¨ ¤¥§ à£®¢®á⨠¨«¨ ¦¥ ¯ ¯¯®¢®á⨠­¥ª®â®àëå á« ¡®-¤¨áâਡã⨢­ëå ¯«®áª®á⥩.
26. ’¥®à¥¬ . …᫨ ¢ ¯«®áª®á⨠B8 ¨¬¥¥â ¬¥áâ® «®ª «ì­®¥ ¢ë¯®«­¥­¨¥
⥮६ë D10 [11], ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ª¢ §¨â®¦¤¥áâ¢ã a,1 ab = b, â® ®­  ¬ãä ­


£®¢ .

C „®ª § â¥«ìá⢮ ᮮ⭮襭¨ï D10 a,1 ab = b ¯à¨¢®¤¨âáï ¢ [1]. ’¥à­ à
¦¥ B8 á a,1 ab = b, ¢ ᨫã (C ) ¥áâì  «ìâ¥à­ â¨¢­®¥ ⥫®. B
27. ’¥®à¥¬ . …᫨ ¢ ¯«®áª®á⨠B  ­ ¤ «¥¢®© IP0 V W {á¨á⥬®© B (+; )
å à ªâ¥à¨á⨪¨ 2, ¢ ª®â®à®© a(b + 1) = ab + a, a; b, ¨¬¥îâ ¬¥áâ®:
(1) «®ª «ì­®¥ ¢ë¯®«­¥­¨¥ D10 , ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ᮮ⭮襭¨î a,1 ab = b;
(2) «®ª «ì­®¥ ¢ë¯®«­¥­¨¥ â¥®à¥¬ë  ¯¯   [11], ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 á¨á⥬¥
®¡à §ãîé¨å â®ç¥ª 
1 = ( ), 2 = (a; a), 3 = (1; a), 4 = (0; 0), 5 = (1; b), 6 = (b; b),
,







8




1

B  ¡ã¤¥â ¯ ¯¯®¢®©. …᫨ ¦¥ ¢ ­¥© ¨¬¥îâ ¬¥áâ®: (1) ¨
(3) «®ª «ì­®¥ ¢ë¯®«­¥­¨¥ D10, ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 ª¢ §¨â®¦¤¥áâ¢ã ba a,1 =
b, a = 0; b, â® ¯«®áª®áâì B  ¡ã¤¥â ¤¥§ à£®¢®©.
C I. ˆ§ D10 á«¥¤ã¥â a,1 ab = b (á¬. [1]) ¢ â¥à­ à­®¬ ª®«ìæ¥.
à¨ 㪠§ ­­®© á¨á⥬¥ ®¡à §ãîé¨å â®ç¥ª  (á¬. [11]) á¯à ¢¥¤«¨¢® ý
ab = baþ.
‚ ᨫã â¥®à¥¬ë †¥¢« ª®¢  [8], ¢ ãá«®¢¨ïå ⥮६ë â¥à­ à­®¥ ª®«ìæ® ¯«®áª®á⨠B  ï¥âáï ¯®«¥¬. ¥à¢ ï ç áâì â¥®à¥¬ë ¤®ª § ­ .
II. ‚ ãá«®¢¨ïå ⥮६ë, ¨§ «®ª «ì­ëå ¢ë¯®«­¥­¨© D10 á«¥¤ã¥â a,1 ab = b
¨ ba a,1 = b ¢ â¥à­ à­®¬ ª®«ìæ¥.
‚ ᨫã ⥮६ë D ¢ â¥à­ à¥ ¡ã¤¥â ¢ë¯®«­ïâìáï a(b + c) = ab + ac ¨ ¯®í⮬㠮­ ¡ã¤¥â ¯à¥¤áâ ¢«ïâì ª®«ìæ® á ¢¯®«­¥ ®¡à â¨¬ë¬¨ í«¥¬¥­â ¬¨. ‚ ᨫã
⥮६ Œ «ì楢  E ¨ ‹¨­­¨ª  F, â ª®© â¥à­ à ¡ã¤¥â  áá®æ¨ â¨¢­ë¬ ⥫®¬
å à ªâ¥à¨á⨪¨ 2. «®áª®áâì ¦¥ ­ ¤ í⨬ â¥à­ à®¬ ¤¥§ à£®¢ . ‚â®à ï ç áâì
⥮६ë 27 ¤®ª § ­ . B
Žç¥¢¨¤­  ¨ á«¥¤ãîé ï
28. ’¥®à¥¬ . …᫨ ¢ ¯à®¥ªâ¨¢­®© ¯«®áª®á⨠­ ¤ á« ¡®{¤¨áâਡã⨢­ë¬
⥫®¬ B å à ªâ¥à¨á⨪¨ 2 ¨¬¥îâ ¬¥áâ® «®ª «ì­ë¥ ¢ë¯®«­¥­¨ï ãá«®¢¨© (3) ¨
(4) ¨§ ⥮६ë 27, â® ¯«®áª®áâì B  ¤¥§ à£®¢ .
‘¯à ¢¥¤«¨¢  á«¥¤ãîé ï
29. ’¥®à¥¬  [4, 5]. ‚ ¯«®áª®á⨠M  ­ ¤ á« ¡®-¤¨áâਡã⨢­ë¬ ⥫®¬ ¨¬¥îâ ¬¥áâ® «®ª «ì­ë¥ ¢ë¯®«­¥­¨ï ⥮६ë L10 ¨ ®«  B [12], ᮮ⢥âáâ¢ãî騥
á«¥¤ãî騬 á¨á⥬ ¬ ¨å ®¡à §ãîé¨å â®ç¥ª: 4 = (0); 20 = (1; m); 
7 = ( ); 3 =
(1 + b; 1); 1 = (0; 0) ¨ E1 = (0; ac); Q2 = (b; bc); A = (1); E2 = (a; ac); Q1 =
(0; bc); B = (0; 0); C = (0) :
â® ¯«®áª®áâì




8

6




)







f

g

f

g

1

2{53

Ž ¯à®¥ªâ¨¢­ëå ¯«®áª®áâïå ­ ¤ á« ¡®-¤¨áâਡã⨢­ë¬¨ ⥫ ¬¨

C „®ª § â¥«ìá⢮ á«¥¤ã¥â ¨§ ᮮ⭮襭¨©: ýL10 ) (1 + b)m = m + bmþ [4]
¨ ýB ) b(1 , c) = b , bcþ [31]. B
‚ ᨫã à ¡®â €à£ã­®¢  [11] ¨ ‘ª®à­ïª®¢  [12] «¥£ª® ¤®ª §ë¢ ¥âáï
30. ’¥®à¥¬  [4, 5].
B7
(1)
‚ ¯«®áª®áâ¨

¨¬¥îâ ¬¥áâ®:

«®ª «ì­®¥ ¢ë¯®«­¥­¨¥ â¥®à¥¬ë ®« , ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 á¨á⥬¥ ®¡à -

§ãîé¨å â®ç¥ª, 㪠§ ­­ëå ¢ ⥮६¥ 29;

(2)

«®ª «ì­®¥ ¢ë¯®«­¥­¨¥

L10;

ᮮ⢥âáâ¢ãî饥 á¨á⥬¥ ®¡à §ãîé¨å â®-

祪, 㪠§ ­­ëå ¢ ⥮६¥ 29;

(3)

«®ª «ì­ë¥ ¢ë¯®«­¥­¨ï ¢â®à®© ¬ «®© â¥®à¥¬ë  ¯¯ 

(2)

ᮮ⢥âáâ-

¢ãî騥 á«¥¤ãî騬 ­ ¡®à ¬ ¥¥ ®¡à §ãîé¨å â®ç¥ª:

a) 1 = (a; a); 2 = (0; 0); 3 = (1; 1); 4 = (0); 5 = (1);
b) 6 = (0; 0); 5 = (1; a); 7 = (a; a); 8 = (0); 0 = (1);
c) 5 = (a; aa); 6 = (1); 7 = (1; aa); 8 = (0); 0 = (0; 0);
d) 5 = (a; a); 6 = (0); 7 = (1; 1); 8 = (0; 0); 0 = (1);
a,1 a = 1 a
aa = aa
a
aa
a,1 = a = a,1
aa
Žç¥¢¨¤­®, çâ® ¢ ¯«®áª®á⨠B5 ⥮६  L10 ¢ë¯®«­ï¥âáï  ä䨭­® ­  ¯àאַ© l1 ¨ ¨¬¥¥â «®ª «ì­ë¥ ¢ë¯®«­¥­¨ï ­  ¯àאַ© [x = 0], ¨¡® B5 ¥áâì «¥¢ ï
V W -á¨á⥬ , ¢ ª®â®à®© aa,1 = 1 = a,1a, ba
a,1 = b ¨ a(b + 1) = ab + a, çâ®
¢ B5 ⥮६  73 ¨¬¥¥â «®ª «ì­®¥ ¢ë¯®«­¥­¨¥ á ª¢ §¨â®¦¤¥á⢮¬ 1 + 1 = 0 ¨,
çâ® ¯«®áª®áâì B5 ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ­¥ª®â®à®¥ ®¡®¡é¥­¨¥ ¬ãä ­£®¢®© ¯«®áª®áâ¨.
—â® ¦¥ ª á ¥âáï ¯«®áª®á⨠B6, â® ®­  ¯à¥¤áâ ¢«ï¥â ¯à ¢ãî V W {
¯«®áª®áâì, ¢ â¥à­ à­®¬ ª®«ìæ¥, ¢ ª®â®à®©: aa,1 = 1 = a,1a, a,1
ab = b,
(1 + a)b = b + ab ¨ 1 + 1 = 0, â. ¥. ®­  ¤¢®©á⢥­­  ¯«®áª®á⨠B5 . ‚ ­¥© L10
¨¬¥¥â «®ª «ì­ë¥ ¢ë¯®«­¥­¨ï ­  L1 , [x = 0] ¨ [y = 0].
€­ «®£¨ç­ë¬ ®¡à §®¬ ¨§ãç îâáï ª®­ä¨£ãà æ¨®­­ë¥ ᢮©á⢠ ¯«®áª®á⥩
­ ¤ ¤à㣨¬¨ á« ¡®-¤¨áâਡã⨢­ë¬¨ ⥫ ¬¨ ¨ IP0 V W -á¨á⥬ ¬¨.
31. à¨¬¥ç ­¨¥. ë«® ¡ë ¨­â¥à¥á­ë¬ ¨§ã祭¨¥ á« ¡®-¤¨áâਡã⨢­ëå
 «£¥¡à, ¯®çâ¨- «£¥¡à, ⥫, IP0V W -á¨á⥬ ¨ ¨å ®¡®¡é¥­¨© ¨ ¯à¨¬¥­¥­¨¥ ¨å ª
¤ «ì­¥©è¥¬ã ®¯¨á ­¨î ¨­æ¨¤¥­â­®áâ­ëå áâàãªâãà B  .
¢«¥ªã騬 §  ᮡ®î, ᮮ⢥âá⢥­­®, ª¢ §¨â®¦¤¥á⢠

;

;

.

i

‹¨â¥à âãà 

1.
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•ã¡¥¦âë ˆ. €.

•ã¡¥¦âë ˆ. €.

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ˆ. €. •ã¡¥¦âë

5. •ã¡¥¦âë ˆ. €. Ž ­¥ª®â®àëå ¯®çâ¨- «£¡¥à å á ®¡à â¨¬ë¬ 㬭®¦¥­¨¥¬ //
„¥¯. ¢ ‚ˆˆ’ˆ.|1993.|1357{‚93.
6. •ã¡¥¦âë ˆ. €. Ž ª®««¨­¥ æ¨ïå ¢ ᢥàåá« ¡ëå

IP0 V W -¯«®ª®áâïå

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¤ã­ à. ­ ãç. ª®­ä. ¯®  «£¥¡à¥. ‘¡. ⥧¨á®¢, Šà á­®ïàáª.|1993.
7. •ã¡¥¦âë

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®¡®¡é¥­¨ïå.|

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­ ãª.|1951.|

’. VI, ‚ë¯. 6.|‘. 112{154.

£. ‚« ¤¨ª ¢ª §

‘â âìï ¯®áâ㯨«  30 ¨î«ï 2000 £.