Disktrit II Pertemuan V dan VI

OS - 2006 1

MATEMATIKA DISKRIT

II

( 2 SKS)

Rabu, 18.50 – 20.20 Ruang Hard Disk

PERTEMUAN V & VI

RELASI

Dosen

Lie Jasa

Relasi dan Fungsi

Oerip S. Santoso

OS - 2006 3

Relasi

• Definisi. Relasi biner R antara A dan B adalah himpunan bagian dari A x B.

• Notasi :

R ⊆ (AxB), dengan A x B = {(a,b) | a ∈A dan b ∈B} • Jika (a,b) ∈ R, maka notasi a R b yang artinya a

dihubungkan dengan b oleh R, dan jika (a,b) ∉R digunakan notasi a R b yang artinya a tidak

dihubungkan oleh b oleh relasi R. Himpunan A disebut daerah asal (domain)dari R dan himpunan B disebut daerah hasil (range) dari R.

• Definisi. Relasi pada himpunan A adalah relasi dari AxA. • Contoh 1 :

Misalkan R adalah relasi pada A = {2,3,4,5,9} yang didefinisikan oleh (x,y) ∈R jika x adalah faktor prima dari y. Maka R={(2,6), (2,4), (2,8), (3,3), (3,9)}

Contoh Relasi

• Contoh 2 :

Misalkan

A= {Amir, Budi, Deni}, B= {IF221, IF251, IF342, IF323}

A×B= {(Amir, IF221), (Amir, IF251), (Amir, IF342), (Amir, IF323), (Budi, IF221), (Budi, IF251),

(Budi, IF342), (Budi, IF323), (Deni, IF221), (Deni, IF251), (Deni, IF342), (Deni, IF323) }

MisalkanRadalah relasi yang menyatakan mata kuliah yang diambil oleh mahasiswa pada Semester Ganjil, yaitu

R= {(Amir, IF251), (Amir, IF323), (Budi, IF221), (Budi, IF251), (Deni, IF323) }

- Dapat dilihat bahwaR⊆ (A×B),

- Aadalah daerah asalR, danBadalah daerah hasilR. - (Amir, IF251) ∈R atau AmirR IF251

OS - 2006 5

Contoh Relasi

• Contoh 3 :

– MisalkanP= {2, 3, 4} danQ= {2, 4, 8, 9, 15}. Jika kita definisikan relasiRdari P keQ dengan

(p, q) ∈R jikap habis membagiq

maka kita peroleh

R = {(2, 2), (2, 4), (4, 4), (2, 8), (4, 8), (3, 9), (3, 15) }

– Relasi pada sebuah himpunan adalah relasi yang khusus

– Relasi pada himpunanAadalah relasi dari A×A.

– Relasi pada himpunanAadalah himpunan bagian dari A×A.

1. Representasi Relasi dengan Diagram Panah

• Misalkan R adalah relasi dari himpunan A

ke himpunan B.

• Contoh Diagram panah :

Amir Budi

Deni

IF221 IF251 IF342 IF323

2 3 4

2 4 8 9 15

2 3 4 8 9

2 3 4 8 9

A B

P

Q

OS - 2006 7

2. Representasi Relasi dengan Tabel

• Jika relasi direpresentasikan dengan tabel, maka kolom

pertama tabel menyatakan daerah asal, sedangkan kolom kedua menyatakan daerah hasil.

15 3 9 3 3 3 8 4 IF323 Deni 3 3 8 2 IF251 Budi 8 2 4 4 IF221 Budi 4 2 4 2 IF323 Amir 2 2 2 2 IF251 Amir A A Q P B A

Tabel 1 Tabel 2 Tabel 3

3. Representasi Relasi dengan Matriks

• Misalkan R adalah relasi dari A = {a₁,

a₂ ,…, a_m} dan B = {b₁, b₂ ,…, b_n }. Relasi R dapat disajikan dengan matriks M=[m_ij ], yang dalam hal ini

Dengan kata lain, elemen matriks pada posisi (i,j) bernilai 1 jika a_i

dihubungkan dengan b_jdan bernilai 0 jika a_itidak dihubungkan dengan b_j. • Matriks representasi relasi merupakan

contoh matrikszero-one







∉

∈

=

R

b

a

R

b

a

m

j i j i ij

)

,

(

,

0

)

,

(

,

1

            mn m m n n

m m m m

m m m m m m a a a L M M M M L L M 2 1 2 22 21 1 12 11 2 1 M =

OS - 2006 9

Contoh

• RelasiRpada Contoh 2 dapat dinyatakan dengan matriks

• dalam hal ini, a1 = Amir, a2 = Budi, a3 = Deni, danb1 = IF221,

• b2 = IF251, b3 = IF342, danb4 = IF323.

• RelasiRpada Contoh 3 dapat dinyatakan dengan matriks

• yang dalam hal ini, a1 = 2, a2 = 3, a3 = 4, danb1 = 2, b2 = 4,

b3 = 8, b4 = 9, b5 = 15.

     

   

1 0 0 0

0 0 1 1

1 0 1 0

     

   

0 0 1 1 0

1 1 0 0 0

0 0 1 1 1

Representasi Relasi dengan

Graf Bearah(

directed graph

atau

digraph)

• Graf berarah tidak didefinisikan untuk

merepresentasikan relasi dari suatu himpunan ke himpunan lain.

• Tiap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (simpul atauvertex) dan tiap pasangan terurut

dinyatakan dengan busur (arc) yang arahnya dinyatakan denga sebuah panah.

• Jika (a,b)

∈

R, maka sebuah busur dibuat dari simpul a ke simpul b. Simpul a disebul simpul asal(initial vertex),

simpul b disebut simpul tujuan (terminal vertex) • Pasangan simpul (a,a) dinyatakan dengan busur dari

simpul a ke simpul a sendiri. Busur ini disebut gelang atau kalang (loop)

OS - 2006 11

Contoh representasi graf

• Representasi graf untuk R

={(a,a), (a,b), (b,a), (b,c),

(b,d), (c,a), (c,d), (d,b)}

• Representasi graf untuk R

={(2,2), (2,4), (2,8), (3,3),

(3,9)}

a b

c d

Sifat-sifat Relasi Biner

1. Refleksif (reflexive)

– Definisi: Relasi R pada himpunan A disebut refleksifjika (a,a)

∈

R untuk setiap a

∈

A

– RelasiRpada himpunanAtidak refleksif jika ada

a∈Asedemikian sehingga (a, a) ∉R.

– Contoh 1:

Misalkan A = (1,2,3,4), dan relasi R di bawah ini didefinisikan pada himpunan A, maka

a) RelasiR= {(1,1),(1,3),(2,1),(2,2),(3,3),(4,2),(4,3),(4,4)} bersifat refleksif karena terdapat elemen relasi yang berbentuk (a,a), yaitu (1,1), (2,2), (3,3), dan (4,4). b) RelasiR= {(1,1), (2,2), (2,3), (4,2), (4,3), (4,4)} tidak

OS - 2006 13

Contoh Refleksif

• Contoh 2.Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat positif bersifat refleksif karena setiap bilangan bulat positif habis dibagi dengan dirinya sendiri, sehingga (a, a)∈Runtuk setiapa∈A.

• Contoh 3.Tiga buah relasi di bawah ini menyatakan relasi pada himpunan bilangan bulat positifN.

R: xlebih besar dariy, S: x + y= 5, T: 3x+ y= 10

– Tidak satupun dari ketiga relasi di atas yang refleksif karena, misalkan (2, 2) bukan anggotaR, S, maupunT.

• Relasi yang bersifat refleksif mempunyai matriks yang elemen diagonal utamanya semua bernilai 1, ataumii= 1, untuki= 1, 2, …, n,

     

 

     

 

1 1 1 1

O

• Graf berarah dari relasi yang bersifat refleksif dicirikan adanya gelang pada setiap simpulnya.

2. Setangkup (symmetric) dan tak

setangkup (antisymmetric)

• RelasiRpada himpunanAdisebutsetangkupjika untuk

semuaa, b∈A, jika (a, b) ∈R, maka (b, a) ∈R.

• RelasiRpada himpunanAtidak setangkup jika (a, b) ∈R

sedemikian sehingga (b, a) ∉R.

• RelasiRpada himpunanAdisebuttolak-setangkupjika

untuk semuaa, b∈A, (a, b) ∈R dan (b, a) ∈R hanya jikaa

= b.

• RelasiRpada himpunanAtidak tolak-setangkup jika ada

elemen berbedaa danbsedemikian sehingga (a, b) ∈Rdan

(b, a) ∈R.

• Perhatikanlah bahwa istilah setangkup dan tolak-setangkup tidaklah berlawanan, karena suatu relasi dapat memiliki kedua sifat itu sekaligus. Namun, relasi tidak dapat memiliki kedua sifat tersebut sekaligus jika ia mengandung beberapa

OS - 2006 15

Contoh Setangkup dan tidak setangkup

Contoh 1. MisalkanA= {1, 2, 3, 4}, dan relasiRdi bawah ini didefinisikan pada

himpunanA, maka

a) RelasiR= {(1, 1), (1, 2), (2, 1), (2, 2), (2, 4), (4, 2), (4, 4) } bersifat

setangkup karena jika (a, b) ∈R maka (b, a) juga∈R. Di sini (1, 2) dan (2, 1) ∈R, begitu juga (2, 4) dan (4, 2) ∈R.

b) RelasiR= {(1, 1), (2, 3), (2, 4), (4, 2) } tidak setangkup karena (2, 3) ∈R, tetapi (3, 2) ∉R.

c) RelasiR= {(1, 1), (2, 2), (3, 3) } tolak-setangkup karena 1 = 1 dan (1, 1) ∈

R, 2 = 2 dan (2, 2) ∈R, dan 3 = 3 dan (3, 3) ∈R. Perhatikan bahwaRjuga setangkup.

d) Relasi R= {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (2, 3) } tolak-setangkup karena (1, 1) ∈R

dan 1 = 1 dan, (2, 2) ∈Rdan 2 = 2 dan. Perhatikan bahwaRtidak setangkup.

e) RelasiR= {(1, 1), (2, 4), (3, 3), (4, 2) } tidak tolak-setangkup karena 2 ≠4 tetapi (2, 4) dan (4, 2) anggotaR. RelasiRpada (a) dan (b) di atas juga tidak tolak-setangkup.

f) RelasiR= {(1, 2), (2, 3), (1, 3) } setangkup dan juga tolak-setangkup, danR

= {(1, 1), (1, 2), (2, 2), (3, 3)} tidak setangkup tetapi tolak-setangkup. g) RelasiR= {(1, 1), (2, 2), (2, 3), (3, 2), (4, 2), (4, 4)} tidak setangkup maupun

tidak tolak-setangkup. Rtidak setangkup karena (4, 2) ∈Rtetapi (2, 4) ∉R.

Rtidak tolak-setangkup karena (2, 3) ∈Rdan (3, 2) ∈Rtetap 2 ≠3.

Contoh Setangkup dan tidak setangkup

• Contoh 2:

Relasi “habis membagi” pada himpunan

bilangan bulat positif tidak setangkup karena

jika a habis membagi b, b tidak habis

membagi a, kecuali jika a=b. Sebagai contoh,

2 habis membagi 4, tetapi 4 tidak habis

membagi 2. Karena itu, (2,4)

∈

R tetapi (4,2)

∉

R. Relasi “habis membagi” tolak- setangkup

karena jika a habis membagi b dan b habis

membagi a maka a=b. Sebagai contoh, 4

habis 4. Karena itu, (4,4)

∈

R dan 4=4.

OS - 2006 17

Sifat Setangkup

• Relasi yang bersifat setangkup mempunyai

matriks yang elemen-elemen di bawah diagonal

utama merupakan pencerminan dari

elemen-elemen di atas diagonal utama, atau

m

_ij

=

m

_ji

=

1, untuk

i

= 1, 2, …,

n

:

• Sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat

setangkup dicirikan oleh: jika ada busur dari

a

ke

b

, maka juga ada busur dari

b

ke

a

.

     

 

     

 

0 1

0 1

Sifat Tolak Setangkup

• Matriks dari relasi tolak-setangkup mempunyai

sifat yaitu jika

m

_ij

= 1 dengan

i

≠

j

, maka

m

_ji

= 0.

Dengan kata lain, matriks dari relasi

tolak-setangkup adalah jika salah satu dari

m

_ij

= 0

atau

m

_ji

= 0 bila

i

≠

j

:

• Sedangkan graf berarah dari relasi yang bersifat

tolak-setangkup dicirikan oleh: jika dan hanya

jika tidak pernah ada dua busur dalam arah

berlawanan antara dua simpul berbeda.

     

 

     

 

0 1

1 0

0 1

OS - 2006 19

Sifat-sifat Relasi Biner

3. Menghantar (transitive)

– DefinisiRelasi R pada himpunan A disebut menghantarjika (a,b) ∈R dan (b,c) ∈ R, maka (a,c) ∈ R, untuk a,b,c ∈A.

– Contoh:

Relasi “habis membagi” pada himpunan bilangan bulat positif bersifat menghantar. Misalkan bahwa a habis membagi b dan b habis membagi c. Maka terdapat bilangan positifm dannsedemikian sehinggab=ma danc=nb. Di sinic=nma, sehingga

a habis membagi c. Jadi, relasi “habis membagi” bersifat menghantar.

Relasi Inversi

• Definisi. MisalkanRadalah relasi dari himpunanAke

himpunanB. Invers dari relasiR, dilambangkan dengan R-1_,

adalah relasi dari B ke A yang didefinisikan oleh

R-1 _{= {(b,a) | (a,b)}∈_R}

• Contoh:

Misalkan P= {2,3,4} dan O= {2,4,8,9,15}. Jika kita definisikan relasi R dari P ke Q dengan

(p,q) ∈R jika p habis membagi q, maka kita peroleh

R= {(2,2), (2,4), (4,4), (2,8), (4,8), (3,9), (3,15)}

R-1 _{adalah invers dari relasi R, yaitu relasi dari Q ke P}

dengan

(q,p) ∈R-1 _{jika q adalah kelipatan dari p, maka kita peroleh}

R-1_{= {(2,2), (4,2), (4,4), (8,2), (8,4),(9,3), (15,3)}}

OS - 2006 21

Relasi Inversi

Jika m adalah matriks yang mempresentasikan relasi R,

Maka matriks yang mempresentasikan relasi

R-1 , _{misalkan N, diperoleh}

dengan melakukan transpose terhadap matriks M,

          = 0 0 1 1 0 1 1 0 0 0 0 0 1 1 1 M                 = = 0 1 0 0 1 0 1 0 1 1 0 1 0 0 1 T M N

Mengkombinasikan Relasi

• Contoh:

Misalkan bahwa relasi R₁ dan R₂ pada himpunan A dinyatakan oleh matriks           = 0 1 1 1 0 1 0 0 1 1 R dan           = 0 0 1 1 1 0 0 1 0 2 R

maka matriks yang menyatakan R₁ ∪R₂ dan R₁ ∩R₂ adalah

          = ∧ =           = = _{∨ ∩} ∪ 0 0 1 1 0 0 0 0 0 ; 0 1 1 1 1 1 0 1 1 2 1 2 1 2 1 2

1 R R R R R R R

R M M M M

OS - 2006 23

Komposisi Relasi

• Definisi.Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dan S adalah relasi dari

himpunan B ke himpunan C. Komposisi R dan S, dinotasikan dengan S o R, adalah relasi dari A ke C yang didefinisikan oleh

S o R = {(a,c) | a ∈A, c ∈C, dan untuk beberapa b

∈B, (a,b) ∈R dan (b,c) ∈S}

Komposisi Relasi

          ∧ ∨ ∧ ∨ ∧ ∧ ∨ ∧ ∨ ∧ ∧ ∨ ∧ ∨ ∧ ∧ ∨ ∧ ∨ ∧ ∧ ∨ ∧ ∨ ∧ ∧ ∨ ∧ ∨ ∧ ∧ ∨ ∧ ∨ ∧ ∧ ∨ ∧ ∨ ∧ ∧ ∨ ∧ ∨ ∧ = = ) 1 (0 ) 1 (0 0) (0 ) 0 (0 0) (0 ) 1 (0 ) 1 (0 0) (0 0) (0 ) 1 (0 ) 1 (1 0) (1 ) 0 (0 0) (1 ) 1 (1 ) 1 (0 0) (1 0) (1 ) 1 (1 1) (0 0) (1 ) 0 (1 0) (0 ) 1 (1 ) 1 (1 0) (0 0) (1 . 2 1 1

2o R R R R M M

M

maka matriks yang menyatakan R₂ o R₁ adalah

          = 0 0 0 1 1 0 1 1 1

• Contoh : Misalkan bahwa relasi R1 dan R2 pada himpunan A dinyatakan oleh matriks

          = 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 R dan           = 1 0 1 1 0 0 0 1 0 2 R

OS - 2006 25

Relasi

n-ary

• Relasi yang menghubungkan lebih dari

dua buah himpunan

• Definisi. Misalkan A

₁

, A

₂

, …, A

_n

adalah

himpunan. Relasi

n-ary

R pada

himpunan-himpunan tersebut adalah himpunan-himpunan

bagian dari A

₁

x A

₂

x …x A

_{n ,}

atau dengan

notasi R

⊆

A

₁

x A

₂

x …x A

_n

. Himpunan A

₁

x A

₂

x …x A

_n

disebut daerah asal relasi

dan n disebut

derajat

.

Contoh Relasi

n-ary

• Misalkan

NIM={13598011, 13598014, 13598015, 13598019, 13598021, 13598025}

Nama={Amir, Santi, Irwan, Ahmad, Cecep, Hamdan} Matkul={Matematika Diskrit, Algoritma, Struktur Data, Arsitektur Komputer}

Nilai = {A, B, C, D, E}

berturut-turut adalah himpunan Nomor Induk

Mahasiswa , himpunan nama mahasiswa, himpunan nama mata kuliah, dan himpunan nilai kuliah.

OS - 2006 27

Fungsi

(Pemetaan atau Transformasi)

•

Definisi

. Misalkan A dan B himpunan. Relasi

biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika

setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan

tepat satu elemen di dalam B. Jika f adalah

fungsi dari A ke B kita menuliskan

f: A

_à

B

(

artinya

f

memetakan

A ke B

)

•

f(a)=b

, jika elemen a di dalam A dihubungkan

dengan elemen b di dalam B.

Himpunan A disebut daerah asal (domain) dari f dan Himpunan B disebut daerah hasil (codomain) dari f.

bdinamakan bayangan (image) dari a dan a dinamakan pra-bayangan(pre-image)

• Himpunan yang berisi semua nilai pemetaanf disebut jelajah (range) dari f

Fungsi

• Fungsi adalah relasi yang khusus.

• Tiap elemen di dalam himpunan A, yang

merupakan daerah asal f, harus digunakan oleh

prosedur atau kaidah yang mendefinisikan f.

• Frasa “dihubungkan dengan tepat satu elemen

di dalam B” berarti bahwa jika (a,b)

∈

f dan (a,c)

∈

f, maka b=c.

A B

a _b

OS - 2006 29

Spesifikasi Bentuk Fungsi

1. Himpunan pasangan terurut

2. Formula pengisian nilai (

assignment

)

3. Kata-kata

4. Kode program (

source code

)

Fungsi

Floor

dan

Ceiling

• Fungsi

floor

dari x dilambangkan dengan

• Fungsi

ceiling

dari x dilambangkan dengan

•

menyatakan nilai bilangan bulat

terbesar yang lebih kecil atau sama

dengan x

_à

membulatkan x ke bawah

•

menyatakan nilai bilangan bulat terkecil

yang lebih besar atau sama dengan x

à

membulatkan x ke atas

 

x

 

x

 

x

OS - 2006 31

Fungsi Modulo dan Faktorial

• Fungsi modulo adalah fungsi dengan operator

mod

.

a mod b memberikan sisa pembagian bilangan

bulat bila a dibagi dengan m

• Fungsi Faktorial :

untuk sembarang bil. Bulat tidak negatif n,

faktorial dari n dilambangkan dengan n!

  

> −

× × ×

= =

0 n , ) 1 ( ... 3 2

0 n , , 1 !

n a

n

Fungsi Rekursif

• Definisi. Fungsif dikatakan rekursif jika definisi fungsinya mengacu pada dirinya sendiri

• Nama lain dari fungsi rekursif adalah relasi rekursif (recurrence relation)

• Fungsi rekursif disusun oleh dua bagian : a) Basis

Bagian yang berisi nilai awal yang tidak mengacu pada dirinya sendiri

b) Rekurens

Mendefinisikan argumen fungsi dalam terminologi dirinya sendiri. Setiap kali fungsi mengacu pada dirinya sendiri, argumen dari fungsi harus lebih dekat ke nilai awal (basis).

OS - 2006 33

Contoh Fungsi Rekursif







≠

+

−

=

=

0

,

)

1

(

2

0

,

0

)

(

₂

x

x

x

F

x

x

F

    > − − − = = = 1 , ) , 2 ( ) , 1 ( 2 1 , 0 , 1 ) , ( n x n T x n xT n x n x n T     > − + − = = = 1 , ) 2 ( ) 1 ( 1 , 1 0 , 0 ) ( n n f n f n n n f 1.

2. Fungsi Chebysev

OS - 2006 23

Komposisi Relasi

• Definisi.Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B, dan S adalah relasi dari

himpunan B ke himpunan C. Komposisi R dan S, dinotasikan dengan S o R, adalah relasi dari A ke C yang didefinisikan oleh

S o R = {(a,c) | a ∈A, c ∈C, dan untuk beberapa b

∈B, (a,b) ∈R dan (b,c) ∈S}

Komposisi Relasi

          ∧ ∨ ∧ ∨ ∧ ∧ ∨ ∧ ∨ ∧ ∧ ∨ ∧ ∨ ∧ ∧ ∨ ∧ ∨ ∧ ∧ ∨ ∧ ∨ ∧ ∧ ∨ ∧ ∨ ∧ ∧ ∨ ∧ ∨ ∧ ∧ ∨ ∧ ∨ ∧ ∧ ∨ ∧ ∨ ∧ = = ) 1 (0 ) 1 (0 0) (0 ) 0 (0 0) (0 ) 1 (0 ) 1 (0 0) (0 0) (0 ) 1 (0 ) 1 (1 0) (1 ) 0 (0 0) (1 ) 1 (1 ) 1 (0 0) (1 0) (1 ) 1 (1 1) (0 0) (1 ) 0 (1 0) (0 ) 1 (1 ) 1 (1 0) (0 0) (1 . 2 1 1

2o R R R

R M M

M

maka matriks yang menyatakan R₂ o R₁ adalah

          = 0 1 1

1 1 1

• Contoh : Misalkan bahwa relasi R1 dan R2 pada himpunan A dinyatakan oleh matriks

          = 0 0 0 0 1 1 1 0 1 1 R dan           = 1 0 1 1 0 0 0 1 0 2 R

OS - 2006 25

Relasi

n-ary

• Relasi yang menghubungkan lebih dari

dua buah himpunan

• Definisi. Misalkan A

₁

, A

₂

, …, A

_n

adalah

himpunan. Relasi

n-ary

R pada

himpunan-himpunan tersebut adalah himpunan-himpunan

bagian dari A

₁

x A

₂

x …x A

_{n ,}

atau dengan

notasi R

⊆

A

₁

x A

₂

x …x A

_n

. Himpunan A

₁

x A

₂

x …x A

_n

disebut daerah asal relasi

dan n disebut

derajat

.

Contoh Relasi

n-ary

• Misalkan

NIM={13598011, 13598014, 13598015, 13598019, 13598021, 13598025}

Nama={Amir, Santi, Irwan, Ahmad, Cecep, Hamdan} Matkul={Matematika Diskrit, Algoritma, Struktur Data, Arsitektur Komputer}

Nilai = {A, B, C, D, E}

berturut-turut adalah himpunan Nomor Induk

Mahasiswa , himpunan nama mahasiswa, himpunan nama mata kuliah, dan himpunan nilai kuliah.

OS - 2006 27

Fungsi

(Pemetaan atau Transformasi)

•

Definisi

. Misalkan A dan B himpunan. Relasi

biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika

setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan

tepat satu elemen di dalam B. Jika f adalah

fungsi dari A ke B kita menuliskan

f: A

_à

B

(artinya

f

memetakan

A ke B)

•

f(a)=b, jika elemen a di dalam A dihubungkan

dengan elemen b di dalam B.

Himpunan A disebut daerah asal (domain) dari f dan Himpunan B disebut daerah hasil (codomain) dari f.

bdinamakan bayangan (image) dari a dan a dinamakan pra-bayangan(pre-image)

• Himpunan yang berisi semua nilai pemetaanf disebut jelajah (range) dari f

Fungsi

• Fungsi adalah relasi yang khusus.

• Tiap elemen di dalam himpunan A, yang

merupakan daerah asal f, harus digunakan oleh

prosedur atau kaidah yang mendefinisikan f.

• Frasa “dihubungkan dengan tepat satu elemen

di dalam B” berarti bahwa jika (a,b)

∈

f dan (a,c)

∈

f, maka b=c.

A B

OS - 2006 29

Spesifikasi Bentuk Fungsi

1. Himpunan pasangan terurut

2. Formula pengisian nilai (

assignment

)

3. Kata-kata

4. Kode program (

source code

)

Fungsi

Floor

dan

Ceiling

• Fungsi

floor

dari x dilambangkan dengan

• Fungsi

ceiling

dari x dilambangkan dengan

•

menyatakan nilai bilangan bulat

terbesar yang lebih kecil atau sama

dengan x

_à

membulatkan x ke bawah

•

menyatakan nilai bilangan bulat terkecil

yang lebih besar atau sama dengan x

à

membulatkan x ke atas

 

x

 

x

 

x

OS - 2006 31

Fungsi Modulo dan Faktorial

• Fungsi modulo adalah fungsi dengan operator

mod

.

a mod b memberikan sisa pembagian bilangan

bulat bila a dibagi dengan m

• Fungsi Faktorial :

untuk sembarang bil. Bulat tidak negatif n,

faktorial dari n dilambangkan dengan n!

  

> −

× × ×

= =

0 n , ) 1 ( ... 3 2

0 n , , 1 !

n a

n

Fungsi Rekursif

• Definisi. Fungsif dikatakan rekursif jika definisi fungsinya mengacu pada dirinya sendiri

• Nama lain dari fungsi rekursif adalah relasi rekursif (recurrence relation)

• Fungsi rekursif disusun oleh dua bagian : a) Basis

Bagian yang berisi nilai awal yang tidak mengacu pada dirinya sendiri

b) Rekurens

Mendefinisikan argumen fungsi dalam terminologi dirinya sendiri. Setiap kali fungsi mengacu pada dirinya sendiri, argumen dari fungsi harus lebih

OS - 2006 33

Contoh Fungsi Rekursif







≠

+

−

=

=

0

,

)

1

(

2

0

,

0

)

(

₂

x

x

x

F

x

x

F

   

> −

− −

= = =

1 , ) , 2 ( ) , 1 ( 2

1 ,

0 , 1

) , (

n x n T x n xT

n x

n x

n T

   

> −

+ −

= = =

1 , ) 2 ( ) 1 (

1 , 1

0 , 0

) (

n n

f n f

n n n

f

1.

2. Fungsi Chebysev