Pengenalan Teori Angka Teori Angka Teori Angka
TUGAS 2
PENGENALAN TEORI ANGKA
KRIPTOGRAFI
Nama : Fikri Ikhtiyaarullah
Nim
: 12.11.0251
Kelas : TI 12 S
JURUSAN INFORMATIKA
SEKOLAH TINGGI MANAGEMENT INFORMASI DAN KOMPUTER
STMIK AMIKOM
PURWOKERTO
2013/2014
Pengenalan Teori Angka (Bilangan)
1. Bilangan Prima
Bilangan prima (P) adalah bilangan bulat (integer), positif yang bukan
bilangan 1 (satu), serta bukan bilangan majemuk (composite)[13]. Atau dengan
perkataan lain dapat dinyatakan bahwa bilangan prima merupakan suatu bilangan
asli kecuali 1, yang hanya habis dibagi 1 dan bilangan itu sendiri. Contoh bilangan
prima: 2,3,5,7,11,13,…,223,…,337,..7919,…Jika dua pasang bilangan a dan b tidak
memiliki faktor pembagi bersama terbesar (gcd) selain 1, maka kedua pasangan
bilangan tersebut dinyatakan prima relatif (relatively prime) atau disebut juga
sebagai koprima (coprime). Seperti contoh; 8 dan 9 mempunyai faktor pembagi
bersama terbesar atau gcd(8,9) adalah 1, artinya bahwa kedua bilangan tersebut
relatif prima atau koprima dan bilangan 8 adalah relatif prima terhadap 9.
Sedangkan, untuk pasangan bilangan 8 dan 10 bukan relatif prima atau koprima,
karena faktor persekutuan terbesarnya atau gcd(8,10) bukan 1 tetapi 2. Dalam
kriptografi, khususnya kriptografi kunci publik, sering digunakan bilangan prima
besar untuk membangkitkan pasangan kunci.
Bilangan prima hanya memiliki pembagi 1 dan bilangan itu sendiri.
contoh : 2,3,5,7 adalahbilangan prima dan 4,6,8,9,10 bukan bilangan prima.
Bilangan Prima merupakan titik pusat dari teori angka untuk memfaktorkan sebuah
bilangan "n" adalah dengan menulisnya sebagai produk dari bilangan lain : n = a x b
xc
Perlu dicatat bahwa sebuah bilangan secara relative telah dikomparasi untuk
mengalikan faktor – factor secara bersama untuk mendapatkan bilangan. Faktorisasi
prima dari sebuah angka "n" adalah ketika bilangan tersebut ditulis sebagai produk
dari bilangan prima.
contoh : 91 = 7x13 ; 3600 = 24 x 32 x 52
dua buah bilangan a dan b merupakan bilangan prima jika tidak memiliki pembagi
yang sama terpisah dari 1 FPB dapat ditentukan dengan membandingkan faktorisasi
prima dari bilangan tersebut dengan menggunakan pangkat terkecil.
2. Teorema Fermat
a(p-1) = 1 (mod p) dimana p adalah bilangan prima dan FPB dari a dan p =1
3. Teorema Euler
Merupakan generalisasi dari teorema Fermat aø(n) = 1 (mod n) untuk a dan n
dimana FPB dari a dan n = 1
Percobaan bilangan prima :
Sering digunakan untuk mencari bilangan prima yang besar.
Menyaring secaras ederhana dengan percobaan pembagian.
Euler TeoremaTeorema dasar aritmatika menyatakan bahwa setiap bilangan bulat
positif N dapat unik difaktorkan ke dalam bentuk N = pq11pq22 ... pqnn, dimana pi
adalah bilangan prima yang berbeda, dan qi adalah bilangan bulat positif. Berapa
banyak bilangan bulat 1 ≤ k ≤ N yang ada sehingga gcd (k, N) = 1? Hal ini
tampaknya
sulit
untuk
menghitung
secara
langsung,
jadi
alih-alih,
mempertimbangkan bilangan bulat 1 ≤ k ≤ N sedemikian rupa sehingga gcd (k, N) ≠
1 (k adalah bilangan bulat habis dibagi pi untuk beberapa i). Dari bilangan bulat
kurang dari N, NP1 dari mereka adalah kelipatan p1. Demikian pula, NP2 dari
bilangan bulat kurang dari N merupakan kelipatan dari p2. Namun, kami telah
menyertakan kelipatan p1p2 di kedua perangkat ini, sehingga pendataan
ganda.Prinsip Inklusi dan Pengecualian (PIE) adalah suatu metode untuk
menghitung jumlah elemen dalam set tumpang tindih. Untuk i = 1 sampai n, biarkan
Pi adalah himpunan bilangan bulat kecil dari atau sama dengan N yang merupakan
kelipatan dari pi. Kemudian jumlah bilangan bulat yang merupakan kelipatan dari pi |
Pi | = NPI. Jumlah bilangan bulat yang merupakan kelipatan dari pipj adalah | Pi ∩ Pj
| = Npipj. Hal ini berlaku secara umum: untuk setiap bagian S dari {1,2, ..., n}, jumlah
bilangan bulat yang merupakan kelipatan dari Πs ∈ Sps ini | ⋂ s ∈ SPs | = NΠs ∈
Sps.Kemudian, himpunan bilangan yang memenuhi gcd (k, N) = 1 adalah persis
himpunan bilangan yang bukan kelipatan dari setiap pi, maka tidak di salah satu set
Pi. Dengan Prinsip Inklusi dan Pengecualian,
Jumlah bilangan bulat kecil daripada N yang coprime ke N adalah Euler phi fungsi φ
(N).
Euler Teorema: Jika gcd (a, N) = 1, maka aφ (N) ≡ 1 (modN).
Bukti: Misalkan S adalah himpunan bilangan bulat yang coprime N. Mari aS
adalah himpunan (mungkin diulang) bilangan bulat dari bentuk {sebagai: s ∈ S}
diambil modulo N. Pertama, kami menunjukkan bahwa tidak ada pengulangan. Jika
ada ulangan, yaitu, ASI ≡ ASJ (modN), maka Modulo Aritmatika Properti H
menyiratkan si ≡ sj (modN). Tapi karena setiap elemen dalam S lebih kecil dari N,
hal ini tidak mungkin. Kedua, kami menunjukkan bahwa aS terkandung dalam S. Hal
ini benar karena diberikan s unsur S, 1 ≤ gcd (seperti, N) ≤ gcd (a, N) × gcd (s, N) =
1 × 1 = 1 , sehingga gcd (seperti, N) = 1 yang menunjukkan bahwa seperti unsur S.
Karena aS adalah seperangkat φ (N) elemen yang berbeda yang terkandung dalam
S, yang juga satu set φ (N) unsur yang berbeda, itu berikut bahwa perangkat ini
adalah sama modulo N.
Sejak set berisi persis sama elemen modulo N, produk dari semua unsur aS
sama dengan produk dari semua elemen S modulo N. Oleh karena itu,
as1 ⋅ ⋅ ... ⋅ as2 asφ (N) ≡ s1 s2 ⋅ ⋅ ⋅ ... sφ (N) (modN).
Sejak s1 s2 ⋅ ⋅ ⋅ ... sφ (N) adalah coprime ke N, maka dari Modulo Aritmatika
Properti H yang aφ (N) ≡ 1 (modN).
Catatan: Himpunan S juga disebut sistem residu modulo N. berkurangBekerja
Contoh
1. Apa unit digit dari 9753?
Solusi: Menemukan unit digit nomor adalah setara dengan bekerja modulo 10.
Dengan teorema Euler, kita hanya perlu menentukan nilai eksponen 753 Modulo φ
(10) = 10 × (1-12) × (1-15) = 4. Lagi dengan teorema Euler, kita hanya perlu
menentukan nilai eksponen 53 Modulo φ (4) = 4 × (1-12) = 2. Kemudian
537539753 ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ 137.193 131 ≡ ≡ 3729 9 (mod2) (mod4) (mod10)
Catatan: Pendekatan lain adalah untuk menyadari bahwa 9N (mod10) adalah
urutan 9,1,9,1,9,1, ... yang memiliki periode 2. Karena paritas eksponen aneh, ini
berarti digit terakhir adalah 9.
2. Hitung (dengan tangan) nilai 521.
Solusi: Dengan teorema Euler, φ (21) = 21 × (1-13) (1-17) = 12, menyiratkan
1012 ≡ 1 (mod21). Bahkan, kita bisa lebih baik daripada ini dengan menerapkan
teorema Euler untuk φ (3) = 3 × (1-13) = 2 dan φ (7) = 7 × (1-17) = 6. Kita tahu
bahwa 106 ≡ (102) 3 ≡ ≡ 13 1 (mod3) dan 106 ≡ 1 (mod7), sehingga 106 ≡ 1
(mod21). Secara khusus, 106-1 = 21 × 47.619. Oleh karena itu,
521 = 5 × 4.761.921 × 47619 = 238095999999 = 0,238095238095 ......
3. [Fermat Little Teorema] Jika p adalah prima dan adalah integer, menunjukkan
bahwa ap≡ a (MODP).
Solusi: Perhatikan bahwa jika p adalah prima, maka φ (p) = p × (1-1p) = p-1.
Oleh karena itu, oleh Euler Teorema, jika gcd (a, p) = 1, maka
ap-1 ≡ 1 (MODP) ⇒ ap ≡ a (MODP).
Bagaimana nilai-nilai sedemikian rupa sehingga gcd (a, p) ≠ 1? Dalam hal ini, akan
menjadi kelipatan p, jadi ap ≡ ≡ 0p 0 ≡ a (MODP).
Catatan: ini juga dapat ditunjukkan dengan induksi pada.
4. Tunjukkan bahwa jika n adalah bilangan bulat ganjil, maka n membagi -1 2n!.
Solusi: Dengan Euler Teorema, n membagi 2φ (n) -1. Karena φ (n) 0 q bilangan ganjil jadi (n-1) = 2 kq
2. pilih bilangan bulat acak a, 1
PENGENALAN TEORI ANGKA
KRIPTOGRAFI
Nama : Fikri Ikhtiyaarullah
Nim
: 12.11.0251
Kelas : TI 12 S
JURUSAN INFORMATIKA
SEKOLAH TINGGI MANAGEMENT INFORMASI DAN KOMPUTER
STMIK AMIKOM
PURWOKERTO
2013/2014
Pengenalan Teori Angka (Bilangan)
1. Bilangan Prima
Bilangan prima (P) adalah bilangan bulat (integer), positif yang bukan
bilangan 1 (satu), serta bukan bilangan majemuk (composite)[13]. Atau dengan
perkataan lain dapat dinyatakan bahwa bilangan prima merupakan suatu bilangan
asli kecuali 1, yang hanya habis dibagi 1 dan bilangan itu sendiri. Contoh bilangan
prima: 2,3,5,7,11,13,…,223,…,337,..7919,…Jika dua pasang bilangan a dan b tidak
memiliki faktor pembagi bersama terbesar (gcd) selain 1, maka kedua pasangan
bilangan tersebut dinyatakan prima relatif (relatively prime) atau disebut juga
sebagai koprima (coprime). Seperti contoh; 8 dan 9 mempunyai faktor pembagi
bersama terbesar atau gcd(8,9) adalah 1, artinya bahwa kedua bilangan tersebut
relatif prima atau koprima dan bilangan 8 adalah relatif prima terhadap 9.
Sedangkan, untuk pasangan bilangan 8 dan 10 bukan relatif prima atau koprima,
karena faktor persekutuan terbesarnya atau gcd(8,10) bukan 1 tetapi 2. Dalam
kriptografi, khususnya kriptografi kunci publik, sering digunakan bilangan prima
besar untuk membangkitkan pasangan kunci.
Bilangan prima hanya memiliki pembagi 1 dan bilangan itu sendiri.
contoh : 2,3,5,7 adalahbilangan prima dan 4,6,8,9,10 bukan bilangan prima.
Bilangan Prima merupakan titik pusat dari teori angka untuk memfaktorkan sebuah
bilangan "n" adalah dengan menulisnya sebagai produk dari bilangan lain : n = a x b
xc
Perlu dicatat bahwa sebuah bilangan secara relative telah dikomparasi untuk
mengalikan faktor – factor secara bersama untuk mendapatkan bilangan. Faktorisasi
prima dari sebuah angka "n" adalah ketika bilangan tersebut ditulis sebagai produk
dari bilangan prima.
contoh : 91 = 7x13 ; 3600 = 24 x 32 x 52
dua buah bilangan a dan b merupakan bilangan prima jika tidak memiliki pembagi
yang sama terpisah dari 1 FPB dapat ditentukan dengan membandingkan faktorisasi
prima dari bilangan tersebut dengan menggunakan pangkat terkecil.
2. Teorema Fermat
a(p-1) = 1 (mod p) dimana p adalah bilangan prima dan FPB dari a dan p =1
3. Teorema Euler
Merupakan generalisasi dari teorema Fermat aø(n) = 1 (mod n) untuk a dan n
dimana FPB dari a dan n = 1
Percobaan bilangan prima :
Sering digunakan untuk mencari bilangan prima yang besar.
Menyaring secaras ederhana dengan percobaan pembagian.
Euler TeoremaTeorema dasar aritmatika menyatakan bahwa setiap bilangan bulat
positif N dapat unik difaktorkan ke dalam bentuk N = pq11pq22 ... pqnn, dimana pi
adalah bilangan prima yang berbeda, dan qi adalah bilangan bulat positif. Berapa
banyak bilangan bulat 1 ≤ k ≤ N yang ada sehingga gcd (k, N) = 1? Hal ini
tampaknya
sulit
untuk
menghitung
secara
langsung,
jadi
alih-alih,
mempertimbangkan bilangan bulat 1 ≤ k ≤ N sedemikian rupa sehingga gcd (k, N) ≠
1 (k adalah bilangan bulat habis dibagi pi untuk beberapa i). Dari bilangan bulat
kurang dari N, NP1 dari mereka adalah kelipatan p1. Demikian pula, NP2 dari
bilangan bulat kurang dari N merupakan kelipatan dari p2. Namun, kami telah
menyertakan kelipatan p1p2 di kedua perangkat ini, sehingga pendataan
ganda.Prinsip Inklusi dan Pengecualian (PIE) adalah suatu metode untuk
menghitung jumlah elemen dalam set tumpang tindih. Untuk i = 1 sampai n, biarkan
Pi adalah himpunan bilangan bulat kecil dari atau sama dengan N yang merupakan
kelipatan dari pi. Kemudian jumlah bilangan bulat yang merupakan kelipatan dari pi |
Pi | = NPI. Jumlah bilangan bulat yang merupakan kelipatan dari pipj adalah | Pi ∩ Pj
| = Npipj. Hal ini berlaku secara umum: untuk setiap bagian S dari {1,2, ..., n}, jumlah
bilangan bulat yang merupakan kelipatan dari Πs ∈ Sps ini | ⋂ s ∈ SPs | = NΠs ∈
Sps.Kemudian, himpunan bilangan yang memenuhi gcd (k, N) = 1 adalah persis
himpunan bilangan yang bukan kelipatan dari setiap pi, maka tidak di salah satu set
Pi. Dengan Prinsip Inklusi dan Pengecualian,
Jumlah bilangan bulat kecil daripada N yang coprime ke N adalah Euler phi fungsi φ
(N).
Euler Teorema: Jika gcd (a, N) = 1, maka aφ (N) ≡ 1 (modN).
Bukti: Misalkan S adalah himpunan bilangan bulat yang coprime N. Mari aS
adalah himpunan (mungkin diulang) bilangan bulat dari bentuk {sebagai: s ∈ S}
diambil modulo N. Pertama, kami menunjukkan bahwa tidak ada pengulangan. Jika
ada ulangan, yaitu, ASI ≡ ASJ (modN), maka Modulo Aritmatika Properti H
menyiratkan si ≡ sj (modN). Tapi karena setiap elemen dalam S lebih kecil dari N,
hal ini tidak mungkin. Kedua, kami menunjukkan bahwa aS terkandung dalam S. Hal
ini benar karena diberikan s unsur S, 1 ≤ gcd (seperti, N) ≤ gcd (a, N) × gcd (s, N) =
1 × 1 = 1 , sehingga gcd (seperti, N) = 1 yang menunjukkan bahwa seperti unsur S.
Karena aS adalah seperangkat φ (N) elemen yang berbeda yang terkandung dalam
S, yang juga satu set φ (N) unsur yang berbeda, itu berikut bahwa perangkat ini
adalah sama modulo N.
Sejak set berisi persis sama elemen modulo N, produk dari semua unsur aS
sama dengan produk dari semua elemen S modulo N. Oleh karena itu,
as1 ⋅ ⋅ ... ⋅ as2 asφ (N) ≡ s1 s2 ⋅ ⋅ ⋅ ... sφ (N) (modN).
Sejak s1 s2 ⋅ ⋅ ⋅ ... sφ (N) adalah coprime ke N, maka dari Modulo Aritmatika
Properti H yang aφ (N) ≡ 1 (modN).
Catatan: Himpunan S juga disebut sistem residu modulo N. berkurangBekerja
Contoh
1. Apa unit digit dari 9753?
Solusi: Menemukan unit digit nomor adalah setara dengan bekerja modulo 10.
Dengan teorema Euler, kita hanya perlu menentukan nilai eksponen 753 Modulo φ
(10) = 10 × (1-12) × (1-15) = 4. Lagi dengan teorema Euler, kita hanya perlu
menentukan nilai eksponen 53 Modulo φ (4) = 4 × (1-12) = 2. Kemudian
537539753 ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ ≡ 137.193 131 ≡ ≡ 3729 9 (mod2) (mod4) (mod10)
Catatan: Pendekatan lain adalah untuk menyadari bahwa 9N (mod10) adalah
urutan 9,1,9,1,9,1, ... yang memiliki periode 2. Karena paritas eksponen aneh, ini
berarti digit terakhir adalah 9.
2. Hitung (dengan tangan) nilai 521.
Solusi: Dengan teorema Euler, φ (21) = 21 × (1-13) (1-17) = 12, menyiratkan
1012 ≡ 1 (mod21). Bahkan, kita bisa lebih baik daripada ini dengan menerapkan
teorema Euler untuk φ (3) = 3 × (1-13) = 2 dan φ (7) = 7 × (1-17) = 6. Kita tahu
bahwa 106 ≡ (102) 3 ≡ ≡ 13 1 (mod3) dan 106 ≡ 1 (mod7), sehingga 106 ≡ 1
(mod21). Secara khusus, 106-1 = 21 × 47.619. Oleh karena itu,
521 = 5 × 4.761.921 × 47619 = 238095999999 = 0,238095238095 ......
3. [Fermat Little Teorema] Jika p adalah prima dan adalah integer, menunjukkan
bahwa ap≡ a (MODP).
Solusi: Perhatikan bahwa jika p adalah prima, maka φ (p) = p × (1-1p) = p-1.
Oleh karena itu, oleh Euler Teorema, jika gcd (a, p) = 1, maka
ap-1 ≡ 1 (MODP) ⇒ ap ≡ a (MODP).
Bagaimana nilai-nilai sedemikian rupa sehingga gcd (a, p) ≠ 1? Dalam hal ini, akan
menjadi kelipatan p, jadi ap ≡ ≡ 0p 0 ≡ a (MODP).
Catatan: ini juga dapat ditunjukkan dengan induksi pada.
4. Tunjukkan bahwa jika n adalah bilangan bulat ganjil, maka n membagi -1 2n!.
Solusi: Dengan Euler Teorema, n membagi 2φ (n) -1. Karena φ (n) 0 q bilangan ganjil jadi (n-1) = 2 kq
2. pilih bilangan bulat acak a, 1