BAB III SISTEM PERSAMAAN LINEAR - Sistem Pesr Lin
BAB III SISTEM PERSAMAAN LINEAR Standar Kompetensi Memecahkan masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dan 3.
pertidaksamaan satu variabel
Kompetensi Dasar
Menyelesaikan sistem persamaan linear dan sistem persamaan campuran
3.1 linear dan kuadrat dalam dua variabel
3.2 Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear
3.3 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan sistem persamaan linear dan penafsirannya
Sistem Persamaan Linear
A. Sistem Persamaan Linear dengan Dua Variabel
Sistem persamaan linear adalah suatu sistem persamaan yang variabel-
variabel dari persamaan tersebut berpangkat satu. Sistem persamaan linear 2
variabel dan 3 variabel dapat diselesaikan dengan : substitusi, eliminasi,
gabungan sliminasi-substitusi dan determinan matriks.1. Persamaan Linear dengan dua variabel
ax by c
Bentuk umum persamaan linear dengan a, b dan c anggota bilangan real dan a, b ≠ 0. Pasangan (x 1 , y 1 ) yang mememnuhi persanaan linear di atas, sehingga
ax by c
, disebut penyelesaian dari persamaan libear tersebut. Penyelesaian
1
1
ax by c
persamaan dapat di peroleh dengan memasukan nilai sembarang
terhadap salah satu variabelnya kemudian menentukan nilai variabel yang
lainnya.ax by c
Himpunan semua bilangan (x 1 , y 1 ) yang memenuhi persamaan ,
ax by c
disebut himpunan penyalesaian dari persamaan , dan selanjutnya
ditulis HP.Contoh 1: Tentukan himpuan penyelesaian persamaan 4x + y = 4 Penyelesaian: Buat tabel terlebih dahulu HP = { ...(0, 4), (1, 0), (2, -4), (3, -8), (4, 12)... }
4x + y = 4 x Y (x, y) 4 (0,4) 1 (1,0)
2 -4 (2,-4) 3 -8 (3,-8) 4 -12 (4,-12)
Sistem Persamaan Linear
2. Sistem Persamaan Linear Dua Variabel.
Bentuk umum sistem persamaan linear adalah :
a x b y c
1
1
1
a x b y c
,
2
2
2 a , a , b , b , c dan c dengan merupakan konstanta.
1
2
1
2
1
2 c , c Jika maka system persamaan disebut persamaan homogen,
1
2
tetapi apabila c , c maka sistem persamaan disebut persamaan non-
1
2 homogen.
Contoh :
2 x 6 y
Homogen :
5 y 2 x
3 x y
8 Non-homogen : 5 x 4 y
2
Untuk menyesaikan sistem persamaan linear dua variabel dapat dilakukan
dengan beberapa cara sebagai berikut:a. Metode Grafik
Untuk memahami cara menentukan HP SPLDV dengan metode grafik simak contoh berikut:
x y
1
x y
3
Buat tabel untuk masing persamaan ` x + y = 1
X Y (x, y) 1 (0,1) 1 (1,0)
2 -1 (2,-1) 3 -2 (3,-2) 4 -3 (4,-3) x - y = 3 x Y (x, y)
- 3 (0,-3) 1 -2 (1,-2) 2 -1 (2,-1) 3 (3,0)
4 1 (4,1) Terlihat bahwa dua garis berpotongan di titik (2, -1).
Jadi, Hp = {(2, -1)} Sistem Persamaan Linear
Agar lebih jelas, lakukan kegiatan berikut! Eksplorasi Dengan menggunakan metode grafik, carilah himpunan penyelesaian dari tiap SPLDV berikut ini.
x y
2
a.
x y
Lengkapi tabel! x + y = 2 x - y = 0 x y (x, y) x y (x, y) .....
0 ..... 0 ..... .....
..... 1 ..... 1 ..... .....
2 ..... ..... 2 ..... .....
..... 3 ..... 3 ..... .....
Grafik Grafik persamaan x + y = 2 dan x - y = 0 diperlihatkan oleh gambar di samping. Kedua garis berpotongan di titik (....., .....). Jadi HP dari SPLDV tersebut adalah {(..., ...)}
x y
1 b.
x y
2
Lengkapi tabel! x + y = 1 x + y = 2 x Y (x , y) x y (x , y) 0 ..... ..... 0 ..... .....
..... ..... 1 ..... 1 .....
..... ..... 2 ..... 2 .....
..... ..... 3 ..... 3 .....
Sistem Persamaan Linear
Grafik Grafik persamaan x + y = 1 dan 2x + 2y = 2 diperlihatkan oleh gambar di samping.
Kedua garis itu sejajar. Jadi HP dari SPLDV tersebut adalah ....
x y
1
c.
2 x 2 y
2
Lengkapi tabel! x + y = 1 2x + 2y = 2 x Y (x , y) x y (x , y) 0 ..... ..... 0 ..... .....
..... ..... 1 ..... 1 .....
..... ..... 2 ..... 2 .....
..... ..... 3 ..... 3 .....
Grafik Grafik persamaan x + y = 1 dan x + y = 2 diperlihatkan oleh gambar di samping.
Kedua garis itu berhimpit. Jadi HP dari SPLDV tersebut adalah ....
Sistem Persamaan Linear
Dengan mengunakan sifat-sifat dua garis berpotongan, dua garis sejajar dan dua garis berhimpit, banyaknya anggota dari himpunan penyelesaian SPLDV
a x b y c
1
1
1
a x b y c
2
2
2
Dapat ditetapkan sebagai berikut
b
1
1
a
(i) Jika dengan a 2 , b 2 ≠ 0 maka SPLDV mempunyai tepat satu
a b
2
2 pasang anggota dalam himpunan penyelesaiannya. Dalam hal ini
1
1
1
2
2
2 grafik a x + b y = c berpotongan dengan grafik a x + b y = c . Sistem persamaan linear ini dikatakan Konsisiten (bergantung linear).
a b c
1
1
1
(ii) Jika dengan a 2 , b
2 , c
2 ≠ 0 maka SPLDV ini tidaka b c
2
2
2 mempunyai anggota dalam himpunan penyelesaiannya. Sering dikatakan himpunan penyelesaian sistem persamaan ini adalah himpunan kosong yang ditulis { }. Dalam hal ini grafik a
1 x + b 1 y = c
1 sejajar dengan grafik a 2 x + b 2 y = c 2 dan sisitem persamaan linear ini dikatakan tidak konsisiten.
a b c
1
1
1
(iii) Jika dengan a 2 , b 2 , c 2 ≠ 0 maka SPLDV ini mempunyai
a b c
2
2
2 tak hinggga banyaknya penyelesaian. Dalam hal ini grafik a 1 x + b 1 y = c 1 berhimpit dengan grafik a 2 x + b 2 y = c 2 dan sisitem persamaan linear ini dikatakan sangat konsisiten (bergantung linear).
Latihan Kompetensi 1 1. Carilah himpunan penyelesaian tiap SPLDV berikut dengan metode grafik.
x y 2 x y 3
a.
g.
x y x 2 y 6
x y 3 x y
2
b.
h.
y 2 x x y
2 x y
10 2 x y 4 c. i.
x y 2 x y 2
x y 3 x 3 y
3
d. j.
x y 5 x 3 y
3 2 x y 6 3 x 2 y 12
e. k.
x 2 y 8 3 x 2 y 2 x y
1 4 x y
2 f. l.
x y 7 2 x y
2
Untuk tiap SPLDV di bawah ini, carilah banyaknya anggota dalam himpunan 2. penyelesaiannya (tepat satu anggota, tidak memiliki anggota, atau memiliki anggota tak hingga banyaknya)
x y 1 3 x 3 y 3 x
3
a.
d.
g.
x y 2 x y 1 x
1
x y 6 2 x 2 y 4 x y b.
e.
h.
x y x y 1 x 1
2 x
2 y 2 x y
4 3 x 6 y
6 c.
f. i.
x y 1 x y 2 x 2 y
2
Sistem Persamaan Linear
b. Metode Substitusi Penyelesaian system persamaan dengan metode substitusi adalah dengan mengganti variabel persamaan yang satu dengan variabel dari persamaan yang lainnya.
Contoh 2: Tentukan himpunan Penyelesaian dari sistem persamaan berikut dengan metode Subtitusi:
2 x 3 y
2 x y
1
Penyelesaian
2 x 3 y 2 ( 1 )
Misalkan
x y 1 ( 2 )
Pilih salah satu pasangan, ambil persamaan (2) untuk dinyatakan y sebegai fungsi x x – y = 1 y = x - 1 .........(3) substitusi (3) ke (1) : 2x + 3y = 2 2x + 3(x - 1) = 2 2x + 3x - 3 = 2 5x = 5 x = 1 Substitusi x = 5 ke (3): y = 1 – 1 = 0 Jadi, Hp = {1 , 0}
c. Metode Eliminasi Eliminasi artinya menghilangkan salah satu variabel dari system persamaan linear, dengan cara menyamakan konstanta variabel yang dihilangkan serta menggunakan operasi penjumlahan atau pengurangan.
Contoh 3: Tentukan himpunan Penyelesaian dari sistem persamaan berikut dengan metode eleminasi:
2 x 3 y
8 3 x y
5
Penyelesaian:
2 x 3 y 8 ...... ( 1 )
Misalkan
3 x y 5 ........( 2 ) Kita eleminasi variabel y untuk menentukan x.
2x + 3y = 8 1 2x + 3y = 8
3x + y = 5 3 9x + 3y = 15 -
- 7x = -7 x = 1
Sistem Persamaan Linear
Untuk menentukan y elelminasi x.
2x + 3y = 8 3 6x + 9y = 24
3x + y = 5 2 6x + 3y = 10 - 7y = 14 y = 2 Jadi, Hp = {1 , 2}
d. Metode Gabungan Eliminasi-Substitusi
Selain cara substitusi dan eleminasi, ada pula gabungan antar kedua cara ini yaitu cara elaminasi-substitusi. Cara ini diterapkan secara bersamaan, mula-mula kita terapkan cara eleminasi setelah mendapatkan nilai variabel pertama, untuk mendapatkan nilai variabel kedua kita gunakan metode substitusi.
Contoh 4: Tentukan himpunan Penyelesaian dari sistem persamaan berikut dengan metode eleminasi-subtitusi:
4 x
5 y 850
7 x 4 y 300
Penyelesaian
4 x 5 y 850 .......... .( 1 )
Misalkan
7 x 4 y 300 .......... ..( 2 )
Proses eleminasi Untuk menentukan nilai x kita eleminasi y.
- 4x + 5y = 850 4 -16x + 20y = 3400
7x - 4y = -300 5 35x - 20y = -1500 - 19x = 1900
1900 x x 100
19 Proses substitusi
Subtitusi x = 100 ke (1):
- 4x + 5y = 850
- 4 (100) + 5y = 8
- 400 + 5y = 850 5y = 850 + 400
1250 250
y =
5 Jadi Hp = {100 , 250}
Sistem Persamaan Linear
Sistem Persamaan Linear Latihan Kompetensi 2
2 e.
17 5 y x 5 b.
5 y x
3. Selesaikan sistem persamaan berikut ini dengan metode eleminasi-
substitusi lalu tuliskan HP-nya a.4
1 y 3 x
6
6 y 4 x
1 y 6 x
3 y
4
2 y 1 x
1
3
d.
6 , x 5 ,
8 , x 5 , 1 2 y
7 y
3 x
2 y 4 x
Tentukan kedua bilangan itu.
7. Dua bilangan jika dijumlahkan menghasilkan 30. Jika lima kali bilangan
yang satu dikurangkan dua kali bilangan yang lain hasilnya asalah -8.
6. Lebar persegi panjang adalah setengan panjangnya. Jika persegi panjang
tersebut 80 cm. Tentukan luasnya.
5. Usia Buyung tiga kali usia Viona. Jika kelahiran mereka berselang 10
tahun, tentukan usia keduanya.
4. Persamaan garis ax + by = 5 melalui titik (3, 1) dan (2, -1). Tentukan
persamaan garis tersebut.1
2
1
1 y 8 x
4
3 y 4 x
4 7 y 4 x
4 e.
1 y 3 x
6
6 y 4 x
3 d.
2 18 y 6 x
4 x
12 y
2 c.
c.
1
1. Selesaikan sistem persamaan berikut ini dengan metode substitusi lalu
tuliskan HP-nya a.d.
1 x
6
1 y
3 5 k 3 t f.
5 t k
3 e.
2 m 3 p 4 m
6 p
6 , x 5 ,
1 1 y
8 , x 5 , 1 1 y
22 y
c.
3 10 y x
2 x
10 y
2 b.
2 x y
7 y x
4
3
2 y 2 x
3
5
b.
2 3 y x
5 y x
Selesaikan sistem persamaan berikut ini dengan metode eleminasi lalu tuliskan HP-nya a.
2 3 y 2 x 2.
3
1 9 y 1 x
2 x
5 h.
1 y 3 x
2
7 y 1 x
1 g.
2
8. Sebuah truk tipe tertentu bermassa satu ton lebih berat dari rata-rata mobil sedan. Dua truk dan tiga sean bermassa delapan setegan ton. Tentukan mass kedua tipe kendaraan tersebut.
Sebuah toko busana menggelasr pekan diskon. Semua jenis sepatu dijual
9. dengann harga sama, begitu juga semua jenis baju. Erlin membali 2 pasang sepatu dan 5 baju dan membayar Rp 180.000,00. Diana membeli 3 pasang sepatu dan 7 baju dan membayar Rp 259.000,00. Tentukan SPLDV pada soal ini, lalu tentukan harga sepasang sepatu dan sebuah baju.10. Jika suatu persegi panjang tiap sisinya diperpanjang 1 dm maka luasnya
1
2
dm
menjadi 410 cm lebih besar, akan tetapi jika lebarnya dikurangi dan
2
1
2
dm
panjangnya ditambah maka luasnya berkurang 30 cm . Berapakah
2
pajang dan lebar persegi panjang tersebut? Tugas! Perhatikan SPLDV dalam bentuk umum:
a x b y c
1
1
1
a x b y c
2
2
2 a , a , b , b , c dan c dengan adalah bilangan real.
1
2
1
2
1
2
a x b y c
a) Dari persamaan , nyatakan y sebagai fungsi x
1
1
1
a x b y c
b) Dari hasil a), substitusikan variabel y ke persamaan
2
2
2
c b c b
1
2
2
1
kemudian tunjukan bahwa: x
a b a b
1
2
2
1
c) Dari hasil b), substitusikan nilai x ke dalam persamaan yang diperoleh
a c a c
1
2
2
1
y
pada a) kemudian tunjukkan bahwa:
a b a b
1
2
2
1
a x b y c
1
1
1 Dari soal ini dapat disimpulkan bahwa penyelesaian SPLDV:
a x b y c
2
2
2
c b c b a c a c
1
2
2
1
1
2
2
1
,
adalah
a b a b a b a b
1
2
2
1
1
2
2 1 Sistem Persamaan Linear
B. Sistem Persamaan Linear Tiga Variabel (SPLTV) Bentuk Umum :
a x b y c z d
1
1
1
1
a x b y c z d
dimana a 1 , a 2 , a 3, b 1 , b 2, b 3 , c 1, c 2 , c 3 , d 1 ,d 2 , d ,3 R
2
2
2
2
a x b y c z d
3
3
3
3 Menyelesaikan SPLTV berarti menenmukan nilai variabel x, y, dan z yang
mememnuhi ketiga persamaan linear tersebut. Penyelesaian dari SPLTV adalah
HP = {(x, y, x)}. Untuk dapat menyelesaikan sistem persamaan linear 3 variabel
menggunakan metode :a. Metode Substitusi Contoh 5: Tentukan himpunan penyelesaian dari 2x + 3y - 5z = 13
- 5y + z = -1 3z = 12
Penyelesaian Misalkan : 2x + 3y - 5z = 13 ................(1)
- 5y + z = -1 ...............(2) 3z = 12 .................(3) dari (3): 3z = 12 z = 4 ............ (4) substitusi (4) ke (2):
- 5y + z = -1
- 5y + 4 = -1
- 5y = -5 y = 1 ..... (5) substitusi (4) dan (5) ke (1): 2x + 3y – 5z = 13 2x + 3(1) – 5(4) = 13 2x + 3 – 20 = 13 2x = 30 x = 15 Jadi, Hp = {(15, 1, 4)}
Sistem Persamaan Linear
b. Metode eleminasi + substitusi Contoh 6:
Tentukan himpunan penyelesaian dari 4x + 8y + z = 2 x + 7y – 3z = - 14 2x – 3y + 2z = 3 Penyelesaian Misalkan: 4x + 8y + z = …................. (1) x + 7y – 3z = - 14 ............. (2) 2x – 3y + 2z = 3 ............... (3)
Dari (1) dan (2) dieliminasi untuk variabel z 4x + 8y + z = 2 x 3 12x + 24y + 3y = 6 x + 7y – 3z = - 14 x 1 x + 7y – 3z = - 14 + 13x + 31y = - 8 ……(4)
Dari (1) dan (3) dieliminasi untuk variabel z 4x + 8y + z = 2 x 2 8x + 16y + 2z = 4 2x – 3y + 2z = 3 x 1 2x – 3y + 2z = 3 - 6x + 19y = 1 …… (5)
Dari (4) dan (5) dieliminasi x 13x + 31y = - 8 x 6 78x + 186y = - 48 6x + 19y = 1 x 13 78x + 247y = 13 -
- 61y = - 61
y = 1
y = 1 disubstitusikan ke (4) 13x + 31y = - 8 13x + 31(1) = - 8 13x = - 39 x = - 3 y = 1 dan x = -3 disubstitusikan ke (1) 4x + 8y + z = 2 4 (-3) + 8 (1) + z = 2 - 12 + 8 + z = 2 z = 2 – 8 + 12 z = 6 Jadi, Hp = {(-3 , 1 , 6)}
Latihan Kompetensi 3 1. Carilah himpunan penyelesaian dari tiap SPLTV berikut ini.
x y z 4 x y z
13
x y z x y z
1
a.
d.
x y z 10 2 x y z
4
x 2 y z 1 5 x y 4 z
8 x y z
4 3 x y 4 z
6
b.
e.
2 x y z
10 2 x 3 y z
6 3 x 3 y 8 z 2 5 x 3 y 3 z
1 x
2 y 3 z
1 4 x 2 y z
10
c.
f.
2 x y z 3 3 x y z
3
Sistem Persamaan Linear
1 x
1 x
1 4 z
5
2 y
3
4. Pada suatu segitiga, besar sudut terbesar 60 lebih dari sudut terkecilnya dan sudut terbesar ditambah sudut menengah sama dengan lima kali sudut terkecil. Berapakah jumlah sudut terkecil dengan sudut menengah? 5. Suatu hari Viona, Silvi, dan Tiha pergi ke pasar Viona membeli 1 kg apel, 2 kg mangga, dan 1 kg jeruk dengan harga Rp35.000,00, Silvi membeli 4 kg
2
3 1 z
5
1 y
3
2
2 x
1 d.
1 z 4 y
8 x 2 z
12 y 4 x
1
1 z 4 y
2 x
2
3
3. Satu unit pekerjaan dapat diselesaikan oleh Wildan, Triadin dan Yayat bersama-sama dalam waktu 6 jam. Jika diselesaikan oleh Wildan dan Triadin bersama-sama pekerjaan tersebut dapat diselesaikan dalam waktu 8 jam. Sedangkan jika diselesaikan oleh Traidin dan Yayat secara bersama- sama dapat selesai dalam waktu 10 jam. Berapa lama waktu yang dibutuhkan oleh masing-masing orang jika pekerjaan itu diselesaikan secara individu?
1 z 6 y
Apel, 3 kg mangga dan 5 kg jeruk dengan harga Rp107.000,00, sedangkan Tiha membeli 2 kg apel, 1 kg mangga dan 2 kg Jeruk dengan harga Rp 46.000,00. Tentukan harga masing-masing tiap kilogramnya.
Carilah himpunan penyelesaian dari tiap SPLTV berikut ini.
a.
26 z
6 , y 8 , x 1 , z
4 , y 5 , x 2 , 46 z
2 , y 3 , x 5 , c.
2 x
1 y
8
2 z 3 y
4 x
4
1 z 3 y
2 x 4 b.
2 z
5
1
C. Sistem Persamaan Satu Linear dan Satu Kuadrat (SPLK).
- – 4p(r – b) persamaan kuadrat hasil substitusi, yaitu px
Sistem Persamaan Linear 2.
Sistem persamaan linear kuadratmempunyai bentuk umum:
kuadrat bagian r qx px y linear bagian b ax y
2
a, b , c , d , e , f , p , q , r bilangan real. a ≠ 0 dan p ≠ 0 Secara geometrik SPLK digambarkan sebagai garis dan parabola, angota- anggota dari himpunan penyelesaian SPLK dapat ditafsirkan sebagai koordinat titik potong antara garis y = ax +b dengan parabola y = px
2
- qx + r. Banyaknya anggota himpunan penyelesaian dari SPLK ditentukan oleh nilai diskriminan D = (q –a)
2
2 + (q – a)x + (r – b) = 0.
Untuk lebih jelasnya perhatikan gambar berikut:
qx + r. Kedududkan garis parabola ditentukan oleh diskriminan persamaan
kuadrat px
2
2
2
2
x
2 – 3x + ....
2 Substitusikan (i) ke (ii): x - .... = x
2 x 3 x y )i ( ..... 1 x y
) ii ( .....
Misalkan
2 Penyelesaian a.
3 x y 1 x y
2 x
Contoh 6: Tentukan himpunan penyelesaian sistem persamaan berikut, kemudian buatlah sketsa tafsiran geometrisnya.
1) Jika D > 0, maka garis memotong parabola di dua titik berlainan 2) D = 0, maka garis memotong parabola tepat disebuah titik. Dalam hal demikian dikatakan menyinggung parabola
3) D < 0, maka garis tidak memotong maupun menyinggung parabola.
2 + (q – a)x + (r – b) = 0 hasil substitusi garis dan parabola.
2
Dikatakan Hp = { } Secara geometris anggota-anggota himpunan penyelesaian ditafsirkan sebagai koordinat titik potong antara garis y = ax + b dengan parabola y = px
- – x - 3x + .... = 0 x
- – 4x + .... = 0 Jenis penyelesaiannya selidiki dengan nilai diskriminan D = b
- – 4ac = (....)
- – 4 (1) (....) = .... – 12 = ...
Sistem Persamaan Linear 1) Jika D > 0, maka SPLK mempunyai dua anggota dalam himpunan penyelesaiannya 2) Jika D = 0, maka SPLK tepat mempunyai satu anggota dalam himpunan penyelesaiannya 3) Jika D < 0, maka SPLK tidak mempunyai himpunan penyelesaian.
D > 0 maka sistem persamaan mempunyai dua penyelesaian.
2 x – 4x + .... = 0
(x - ....)(x - ....) = 0 x = .... atau x = .... Untuk x = ... diperoleh y = .... – 1 = .... (....., .....) Untuk x = .... diperoleh y = .... – 1 = .... (....., .....) Jadi, Hp = {(....., .....), (....., .....)}
2 Tafsiran geometerisnya garis y = x – 1 memotong parabola y = x – x – 2 di dua titik, yaitu (....., .....) dan (....., .....). perhatikan gambar.
Latihan Kompetensi 4
1. Carilah himpunan penyelesaian dari tiap SPLK berikut ini , kemdian
gambarlah sketsa grafik dari tafsiran geometrisnya. y 2 x 3 y 2 x
2 a.
e.
2
2
y x y x
1
y x 6 y 2 x
2
b.
f.
2
2
y x y x 4 x
3
x y x
2 y
1
c.
g.
2
2
y x 3 x y x
1 y x
1 y x
4 d.
h.
2
2
y x 5 x 4 y x 2 x
3
Sistem Persamaan Linear
2 x y
1
2. Diketahui SPLK
2
y x 4 x
Tentukan bhwa sisitem persamaa linear dan kuadrat itu tepat memiliki
a) satu anggota dalam himpunan penyelesaiannya.
b) Carilah himpunan penyelesaiannya itu.
3. Carilah nilai a, agar SPLK berikut ini tepat mempunyai satu anggota dalam
himpunan penyelesaiannya.y ax
1
y x a
a. c.
1
2
2
y x 3 x y x x
1
2 y x a y ax
2
b. d.
1
2
2
y x 2 y ax x
1
2
4. Carilah batas-batas nilai n, agar SPLK berikut ini sekurang-kurangnya
memiliki satu anggota dalam himpunan penyelesaiannya.y 2 x n 3 x 2 y
1 a.
b.
2
2
y x 4 x 5 y 2 nx
Sistem Persamaan Linear
Sistem Persamaan Linear