Jawab Soal Penjajakan P1A 1516 DIY
Ja wab Latihan Ujian Matematika P 1A DIY
Wagiman, S.Si
x 2 y 3 z 1
1. Bentuk sederhana dari
x 1 y 2 z 3
x6 y
A.
6 10
x y
z
8
y2
C.
x2 z 4
y2
D.
x 2 z8
z8
E.
adalah ….
Sifat-sifat Pangkat
Perhatikan selisih
pangkat dari pembilang
dan penyebut. Jika
pangkat pembilang lebih
besar maka variabel
diletakkan pada
pembilang, tapi jika
pangkat penyebut yang
lebih besar maka
variabel diletakkan di
penyebut. Besar pangkat
sama dengan selisih
pangkat pembilanga dan
penyebut
z8
B.
2
x2 y 2
Jawab:
1. am . an = am + n
am
= am – n
2.
an
3. (am)n = am.n
4. (ab)m = am bm
a
b
5.
m
am
bm
1
am
=
6. a –m =
4 6 2
x 2 y 3 z 1
y2
= x y z
=
x 1 y 2 z 3
x 2 y 4 z 6
x 2 z8
(D)
2
2. Bentuk sederhana dari
A. 2(3 2 - 2 3 )
B. 2(3 2 + 2 3 )
C. 2(2 2 + 3 3 )
D. 2(2 2 - 3 3 )
E. 3(3 2 + 2 3 )
Jawab:
2 6
3 2
=
=
2 6
3 2
2 6 ( 3 2)
3 2
2
2
=
Metode paling umum untuk menyelesaikan
adalah …. permasalahan menyederhanakan fungsi rasional
bentuk akar adalah dengan mengalikan penyebut
3 2
dengan bilangan sekawannya. Ini dimaksudkan
agar penyebut tidak lagi dalam bentuk akar.
2 6
, penyebutnya 3 2 .
Perhatikan
3 2
Bilangan sekawan dari 3 2 adalah 3 2
Perkalian bilangan sekawan:
2 6
3 2
3 2
(a + b)(a – b) = a2 – b2 , jadi
( 3 2 )( 3 2 ) =
3 2 =3–2=1
2
2
2( 18 12 )
= 2(3 2 - 2 3 )
3 2
(A)
3. Diketahui log 2 = a dan log 3 = b maka log 360 = ...
A. a + b + 1
B. a + 2b + 1
Sifat logaritma terkait
C. 2a + b + 1
yang digunakan
a
log bc = a log b + a log c
D. 2a + 2b + 1
E. a + b + 2
Jawab:
log 360 = log (36 10) = log (2.2.3.3.10)
= log 2 + log 2 + log 3 + log 3 + log 10
= a + a + b + b + 1 = 2a + 2b + 1
(D)
Sifat-sifat logaritma
1. alog b = c ac = b
2.
a m log b n n . a log b
3.
alog
4.
5.
6.
7.
m
a
b.c = log b + a log c
a log b a log b a log c
c
a
log b . b log c = a log c
a
log b
a log b
1
b
log a
k log b
k log a
dengan
( k bil real positif)
(1)
Ja wab Latihan Ujian Matematika P 1A DIY
Wagiman, S.Si
4. Seorang pengusaha batu akik A membeli 4 buah batu jamrud dan 6 buah batu merah rubi
dengan harga Rp 870.000,00 . Sedangkan pengusaha batu akik B membeli 5 buah batu
jamrud dan 6 buah batu merah rubi seharga Rp 960.000,00. Maka harga satu buah batu
jamrud dan dua buah batu merah rubi adalah ….
A. Rp 155.000,00
B. Rp 165.000,00
C. Rp 260.000,00
D. Rp 265.000,00
E. Rp 275.000,00
Jawab:
Misal x = harga 1 buah batu jamrud dan y = harga 1 buah batu merah rubi
4x + 6y = 870.000
5x + 6y = 960.000
––––––––––––––– –
x
= 90.000
4(90.000) + 6y = 870.000
360.000 + 6y = 870.000
6y = 510.000
y = 85.000
jadi 1x + 2y = 1(90.000) + 2(85.000) = 90.000 + 170.000 = 260.000
(C)
2 1 3
4 7 9
3 0 2
L =
maka 2K – 3L + M = ...
dan M =
5. Apabila K =
6 0 1
6 5 8
2 3 1
1 5 21
A.
12 14 7
1 5 21
B.
12 4 7
1 5 21
C.
12 14 7
1 5 9
D.
12 14 7
1 5 21
E.
6 14 7
Jawab:
2 1 3
3 0 2 4 7 9
– 3
+
2K – 3L + M = 2
6 0 1
2 3 1 6 5 8
2 6 9 0 6 4 7 9 1 5 21
4
–
=
+
=
12 0 2 6 9 3 6 5 8 12 14 7
(B)
5 8
adalah ...
6. Invers matriks =
a b
2 3
–1
invers dari matriks M =
ditullis M
c
d
8
3
A.
1
a b
d b
1
2 5
adalah
=
ad bc c a
c d
3 8
B.
2 5
3 8
C.
5
2
3 8
D.
2 5
3 8
E.
2 5
(2)
Ja wab Latihan Ujian Matematika P 1A DIY
Wagiman, S.Si
Jawab:
5 8
Invers matriks
2 3
5 8
=
2 3
(E)
1
=
3 8
3 8
1
1
1 3 8 3 8
=
=
=
5.3 8. 2 2 5
15 16 2 5
1 2 5 2 5
2 4 1
7. Nilai determinan 3 5 6 adalah ...
1 3 2
Untuk menentukan determinan matriks ordo 3 3
A. 62
digunakan aturan Sarrus
B. -4
a11 a12 a13 a11 a12
a 11 a 12 a 13
C. -42
a 21 a 22 a 23 = a 21 a 22 a 23 a 21 a 22
D. -52
a 31 a 32 a 33 a 31 a 32
a 31 a 32 a 33
E. -54
Jawab:
2 4 1
–
–
–
+
+
3 5 6 = 2.5.-2 + 4.6.1 + -1.-3.3 – -1.5.1 – 2.6.3 – 4.-3.-2
1 3 2
+
= -20 + 24 + 9 + 5 – 36 – 24
= -42
Det A = + a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a13a22a31 – a11a23a32 – a12a21a33
(C)
8. Grafik fungsi y =
5 2
x + 10x yang sesuai adalah ....
2
A. Y
B.
Y
C.
Y
10
0
0
2
X
X
-2
0
X
-10
-10
Y
E.
Y
D.
2
10
-2
-2
0
X
2
X
-10
Jawab:
Pada pilihan jawaban, kurva-kurva berbeda titik puncaknya, jadi cukup dicari saja titik
puncaknya..
5
y = x2 + 10x
2
Syarat Puncak, y’ = 0 = -5x + 10
5x = 10
x=2
(3)
Ja wab Latihan Ujian Matematika P 1A DIY
Wagiman, S.Si
y(2) =
5
(2)2 + 10(2) = -10 + 20 = 10
2
Jadi titik puncak (2, 10)
(A)
Teknik mengetahui persamaan sebuah fungsi
kuadrat
1. Persamaan kuadrat yang puncaknya (a, b)
adalah
(y – b)2 = k(x – a)2
k = konstanta yang nilainya dihitung dengan
substitusi titik yang lain
2. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya α dan β
y = k[x2 – (α + β)x + αβ]
k = konstanta yang nilainya dihitung dengan
substitusi titik yang lain
Note!
Sebuah persamaan kuadrat dengan
fungsi f(x) = ax2 + bx + c
(1). Jika a > 0, kurva terbuka ke
atas
Jika a < 0, kurva terbuka ke
bawah
(2). Titik potong dengan sumbu Y
syarat x = 0, jadi
y = a.0 2 + b.0 + c = c
(0 , c)
(3). Titik potong dengan sumbu X
syarat y = 0
x dapat dicari dengan
pemfaktoran
(… …)(… …) = 0
(4). Titik puncak (x , y)
b
adalah sumbu simetri
x=
2a
b
y = f(
) adalah nilai max/min
2a
9. Diketahui barisan aritmatika dengan suku ke-4 dan suku ke-8 berturut-turut adalah 17 dan
37 maka jumlah 20 suku pertama adalah….
Barisan aritmatika
A. 300
B. 450
Suku ke-n
C. 990
Un = a + (n – 1)b
D. 1.000
Jumlah n suku pertama
E. 1.080
n
Jawab:
Sn = [2a + (n – 1)b]
2
U4 = a + 3b = 17
U8 = a + 7b = 37
Barisan geometri
––––––––––––– –
4b = 20
Suku ke-n
b=5
Sn = ar n – 1
a + 3(5) = 17
a=2
Jumlah tak hingga
a
Jumlah 20 suku pertama
S =
1 r
n
Sn = [2a + (n – 1)b]
2
20
S20 =
[2(2) + (20 – 1).5]
2
= 10[4 + 95] = 10[99] = 990
(C)
10. Setiap bulan Hanif menabung di Bank. Pada bulan pertama Hanif menabung sebesar Rp
350.000,00, bulan kedua Rp 375.000,00, dan bulan ketiga Rp 400.000,00. Jika
penambahan uang yang ditabung tetap setiap bulannya, jumlah uang yang ditabung Hanif
selama satu tahun adalah ….
A. Rp 1.125.000,00
B. Rp 4.475.000,00
C. Rp 5.500.000,00
D. Rp 5.850.000,00
E. Rp 6.200.000,00
(4)
Ja wab Latihan Ujian Matematika P 1A DIY
Wagiman, S.Si
Jawab:
Ini adalah persoalan Deret aritmatika karena terjadi penambahan nilai secara tetap.
a = U1 = 350.000, U2 = 375.000, U3 = 400.000,
b = 375.000 – 350.000 = 25.000
Satu tahun = 12 bulan, n = 12
n
Sn = [2a + (n – 1)b]
2
12
[2(350.000) + (12 – 1).(25.000)]
S12 =
2
= 6[700.000 + 275.000] = 6[975.000] = 5.850.000
(D)
11.
Sebuah Mobil dibeli dengan harga Rp 120.000.000,00. Setiap tahun nilai jualnya menjadi
4
dari harga sebelumnya. Nilai jual setelah dipakai 3 tahun adalah ....
5
Barisan geometri
A. Rp24.000.000
Suku ke-n
B. Rp38.400.000
Sn = ar n – 1
C. Rp61.440.000
Jumlah tak hingga
D. Rp76.800.000
a
S =
E. Rp96.000.000
1 r
Jawab:
4
Ini persoalan Barisan geometri karena memiliki rasio (pembanding) tertentu yaitu
5
untuk nilai-nilai berikutnya.
a = 120.000.000
4
r=
5
16
4
U3 = ar = 120.000.000 = 120.000.000 = 4.800.000 (16) = 76.800.000
25
5
(D)
2
2
12.
Jumlah deret geometri tak hingga adalah 24 dan suku pertamanya adalah 16. Rasio dari
deret tersebut adalah….
1
Barisan geometri
A.
6
Suku ke-n
1
Sn = ar n – 1
B.
Jumlah tak hingga
4
a
1
S =
C.
1 r
3
1
D.
2
2
E.
3
Jawab:
Deret geometri tak hingga dengan S = 24, a = 16
a
S =
1 r
16
24 =
1 r
2
16
1–r=
=
3
24
1
r=
3
(C)
(5)
Ja wab Latihan Ujian Matematika P 1A DIY
Wagiman, S.Si
13. Sebuah home industri mainan yang berbahan kayu setiap hari memproduksi dua jenis
mainan tidak lebih 70 buah dengan modal Rp 1.250.000,00. Untuk membuat mainan jenis
pertama memerlukan biaya Rp 25.000,00 dan mainan jenis kedua memerlukan biaya Rp
50.000,00. Jika banyaknya mainan jenis pertama dimisalkan x dan mainan jenis kedua y
maka model matematika dari persoalan tersebut adalah…
A. x + y 70 ; 2x + y 25 ; x 0; y 0
B. x + y 70 ; 2x + y 25 ; x 0; y 0
C. x + y 70 ; 2x + y 25 ; x 0; y 0
D. x + y 70 ; x + 2y 25 ; x 0; y 0
E. x + y 70 ; x + 2y 25 ; x 0; y 0
Jawab:
jenis pertama
jenis kedua
batas
jumlah produksi
x
y
70
biaya
25.000
50.000
1.250.000
Misal x = banyak mainan jenis pertama,
y = banyak mainan jenis kedua
x + y 70
25.000x + 50.000y 1.250.000
}:25.000
x + 2y 50
( tidak ada jawab)
14. Daerah yang memenuhi pertidaksamaan 3x + y 12, x + 4y 8, x 0, y 0 adalah…
A. I
B. II
Y
C. III
3x + y = 12
D. IV
12
E. V
x + 4y = 8
Jawab:
Mula-mula identifikasikan persamaan garis pada gambar
Tanda berarti daerah di bawah garis
I
Tanda berarti daerah di atas garis
II
3x + y 12 yang memenuhi {I, II, IV}
III
2
x + 4y 8 yang memenuhi {I, II, III}
IV
V
x 0, y 0 berarti daerah di kuadran I (+, +) {II, III, IV, V}
0
4
8
yang memenuhi semua kendala adalah daerah II
(B)
X
15. Seorang pengusaha mainan anak - anak akan membeli beberapa boneka Barbie dan
boneka Masha tidak lebih dari 25 buah. Harga sebuah boneka Barbie Rp 60.000,00 dan
harga sebuah boneka Masha Rp 80.000,00. Modal yang dimiliki pengusaha
Rp1.680.000,00. Jika laba penjualan 1 boneka Barbie Rp 20.000,00 dan 1 boneka Masha
Rp 25.000,00, maka laba maksimumnya adalah ....
A. Rp 400.000,00
B. Rp 480.000,00
C. Rp 545.000,00
D. Rp 550.000,00
E. Rp 580.000,00
Jawab:
Barbie
Masha
batas
jumlah produksi
x
y
25
biaya
60.000
80.000
1.680.000
laba
20.000
25.000
(6)
Ja wab Latihan Ujian Matematika P 1A DIY
Wagiman, S.Si
Disusun model matematika:
x + y 25
60.000x + 80.000y 1.680.000 }:20.000
3x + 4y 84
fungsi objektif: (x, y) = 20.000x + 25.000y
Membandingkan gradien
x + y = 25
m = –1
3
3x + 4y = 84
m=
4
20.000
4
(x, y) = 20.000x + 25.000y
m=
=
25.000
5
4
3
Karena besar gradien fungsi objektif ( ) di tengah fungsi-fungsi kendala –1 dan , atau
5
4
4
3
dapat disusun –1 <
<
maka nilai optimum berada di titik potong kedua garis
5
4
kendala.
Titik potong.
x + y = 25
}4
4x + 4y = 100
3x + 4y = 84
3x + 4y = 84
––––––––––– –
x = 16
(16) + y = 25
y=9
diperoleh titik potong (16, 9)
Nilai maksimum (x, y) = 20.000x + 25.000y
(16, 9) = 20.000(16) + 25.000(9)
= 320.000 + 225.000 = 545.000
(C)
16. Persamaan garis yang melalui titik (2, –1) dan tegak lurus garis 3x - 4y + 5 = 0 adalah ....
A. 4x + 3y – 5 = 0
Dua garis yang bergradien masingB. 4x + 3y – 11 = 0
masing m1 dan m2
C. 4x – 3y – 11 = 0
Sejajar jika :
m1 = m2
D. 3x – 4y – 10 = 0
Tegak Lurus jika :
m1 m2 = –1
E. 3x – 4y – 2 = 0
Jawab:
Persamaan garis yang melalui titik (a, b)
3x - 4y + 5 = 0
dan sejajar garis Ax + By = C
garis tegaklurus melalui (2, -1)
adalah: Ax + By = Aa + Bb
4x + 3y = 4(2) + 3(-1)
Persamaan garis yang melalui titik (a, b)
4x + 3y = 8 – 3 = 5
dan tegak lurus garis Ax + By = C
4x + 3y – 5 = 0
adalah: Bx – Ay = Ba - Ab
(A)
17. Diketahui tan α = – 2 untuk 90 α 180. Nilai cos α adalah ....
1
3
A.
Perbandingan Trigonometri
miring
3
depa n
sin =
1
miring
3
B.
2
sa mping
α
cos =
samping
C. 3
miring
1
depa n
3
D.
tan =
3
sa mping
1
3
E.
2
depan
(7)
Ja wab Latihan Ujian Matematika P 1A DIY
Wagiman, S.Si
Jawab:
tan α = - 2 , dibuat segitiga siku-siku yang sesuai, tanda minus
diabaikan. Baru nanti setelah diperoleh perhitungan tanda dibuat dengan
memperhatikan kuadran. Sisi yang belum ada dilengkapi dulu, yaitu sisi
miring dan dihitung dengan phytagoras.
12 2
r=
2
=
3
2
3
α
1
1
3
1
samping
3
3
=
=
=
=
cos α =
3
miring
3
3
3
3
1
Interval 90 α 180 menunjukkan bahwa sudut berada di kuadran II, nilai cosinus di
kuadran II adalah negatif. Jadi jawaban lengkapnya cos α = –
1
3
3
(A)
y = Tan x
y = Sin x
y = Cos x
I
I
II
I
III
III
IV
IV
II
III
II
IV
Untuk menentukan nilai sin, cos atau tan, memang sebaiknya direkonstruksikan sebuah segitiga yang
bersesuaian dengan data yang dimiliki, kemudian panjang sisi yang belum diketahui nilainya dicar i
dengan dalil Pythagoras. Walaupun sudut yang terlibat adalah sudut di sembarang kuadran dan
tidak selalu dikuadran I ( 0 < θ < 90) tetapi nilainya sama saja. Yang membedakan hanyalah tanda
negatif atau positif.
Perhatikan ilustrasi kurva trigonometri di atas, apabila dirangkum dalam sebuah tabel maka
diperoleh:
kuadran I
kuadran II
kuadran III
kuadran IV
sin x
+
+
–
–
cos x
+
–
–
+
tan x
+
–
+
–
18. Sebuah segitiga PQR dengan panjang PR = 12 m, besar P = 30o dan Q = 45o. Panjang
QR adalah .…
R
C
A. 6 m
B. 6 2 m
12 m
30
P
E. 12 2 m
Jawab:
Panjang QR dihitung dengan aturan sinus
QR
PR
sin P sin Q
QR
12
sin 30 sin 45
QR sin 30
=
12
2
(B)
=
12
2
12
1
12
=
1
sin 45
2
2
2
2
2
=
12 2
= 6 2
2
a
b
C. 6 3 m
D. 12 m
45
Q
A
c
B
Aturan sinus.
Digunakan apabila unsur segitiga yang
terlibat dalam perhitungan berupa dua
pasang sisi – sudut yang saling
berhadapan
a
b
c
sin A sin B sin C
Aturan cosinus.
Digunakan apabila unsur segitiga yang
terlibat dalam perhitungan berupa tiga
sisi dan sebuah sudut
a2 = b2 + c2 – 2bc cos A
b2 = a2 + c2 – 2ac cos B
c2 = a2 + b2 – 2ab cos C
(8)
Ja wab Latihan Ujian Matematika P 1A DIY
Wagiman, S.Si
19. Sebidang tanah berbentuk segitiga ABC seperti pada gambar di bawah. Panjang sisi AB
adalah 40 m, panjang sisi AC adalah 24 m dan besar sudut BAC adalah 30 o. Jika tanah itu
dijual dengan harga Rp 500.000,00 untuk setiap meter persegi. Maka tersebut adalah ....
C
A. Rp 80.000.000,00
B.
C.
D.
E.
Rp 100.000.000,00
Rp 120.000.000,00
Rp 200.000.000,00
Rp 240.000.000,00
A
B
Jawab:
Rumus Luas Segitiga, yang diketahui dua sisi dan sudut apitnya
1
1
L = a b sin C = AB AC sin A
2
2
1
= 40 24 sin 30
2
24 m
1
1
= 40 24 = 240
2
2
harga tanah Rp 500.000,00/m 2
30
A
Harga seluruhnya
40 m
= 240 Rp 500.000,00
= Rp 120.000.000,00
(C)
Rumus luas segitiga
1
L = ab sin C
2
1
L = ac sin B
2
1
L = bc sin A
2
C
B
20. Bayangan titik P(–3 , 5) oleh refleksi terhadap garis y = –x dilanjutkan dengan refleksi
Y
P(-3, 5)
terhadap garis x = 2 adalah ....
A. P’’(–4, 0)
P’(-5, 3)
P’’ 9, 3
B. P’’(–4, 4)
C. P’’(4, 4)
D. P’’(8, 4)
y = -x
E. P’’(8, 5)
X
Jawab:
x=2
Sebaiknya digambar agar lebih mudah
Bayangan titik P(-3, 5) direfleksikan terhadap garis y = -x adalah P’(-5, 3)
Bayangan titik P’(-5, 3) direfleksikan terhadap garis x = 2 adalah P’’(9, 3)
Rumus-Rumus Transformasi Sederhana
Titik Asal
Transformasi
Titik
Bayangan
(a, b)
(a+ m, b+ n)
m
translasi =
n
(a, b)
dilatasi [k, O]
k = faktor skala,
O titik pusat (0, 0)
(a, b)
Refleksi y = x
Refleksi y = -x
Refleksi x = k
Refleksi y = k
(a, b)
Rotasi + 90
Rotasi –90
(tidak ada jawaban)
(ka, kb)
(b, a)
(-b, -a)
(2k – a, b)
(a, 2k – b)
(-b, a)
(b, -a)
Penjelasan
Menggeser titik (a, b) sejauh m satuan
horizontal dan n satuan vertikal.
m > 0 pergeseran ke kanan
m < 0 pergeseran ke kiri
n > 0, pergeseran ke atas
n < 0 pergeseran ke bawah
Perbesaran k kali dengan pusat perbesaran titik
pusat koordinat O(0, 0)
Pencerminan terhadap garis diagonal
Pencerminan terhadap garis diagonal
Pencerminan terhadap garis vertikal
Pencerminan terhadap garis horizontal
Rotasi 90 berlawanan arah jarum jam
Rotasi 90 searah putaran jarum jam
y=
y=
x=
y=
x
-x
k
k
(9)
Ja wab Latihan Ujian Matematika P 1A DIY
Wagiman, S.Si
21. Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 2 cm, maka luas bidang ABGH adalah ....
H
G
H
G
A. 8 cm2
B. 8 2 cm2
C. 16 2 cm
E
F
2
4 2
D. 32 cm2
E. 32 2 cm2
Jawab:
ABGH sebuah persegi panjang A
D
8
C
4 2
A
4 2
4 2
B
B
BG = 4 2 2 = 8
AB = 4 2
Luas ABGH = 8 4 2 = 32 2
(E)
Kubus dengan rusuk = r
diagonal bidang = r 2
diagonal ruang = r 3
diagonal
bidang
diagonal
ruang
22. Kubus ABCD.EFGH panjang sisi 6 cm. Titik P terletak di tengah-tengah rusuk AE. Jarak titik
P ke bidang BDHF adalah ....
H
G
A. 3 2 cm
E
B. 6 cm
F
C. 6 2 cm
6
Q
D. 12 cm
P
E. 12 2 cm
D
C
Jawab:
6
Jarak titik P ke bidang BDHF,
A
6
B
adalah panjang ruas garis yang melalui titik P
dan tegak lurus dengan bidang BDHF.
Titik potong garis yang melalui titik P dengan bidang BDHF berada di pusat bidang BDHF.
Jarak titik P ke bidang BDHF ditunjukkan dengan ruas garis PQ, sama dengan setengah
diagonal bidang EG.
Panjang diagonal bidang EG = r 2 = 6 2
Jadi setengahnya adalah 3 2
(A)
23. Diketahui panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 8 cm.
Besar sudut yang terbentuk antara garis AH dan EG
adalah ....
A. 15o
B. 30o
C. 45o
D. 60o
E. 75o
Jawab:
Untuk menghitung besar sudut antara garis AH dan
EG kita geser EG ke AC, sehingga diperoleh sudut
HAC. Perhatikan bahwa segitiga yang terbentuk
adalah HAC.
Segitiga HAC adalah sama sisi, dengan sisi sama
H
G
E
F
8
D
C
8
A
8
B
H
E
G
F
8
dengan diagonal bidang kubus yaitu r 2 = 8 2
Karena sama sisi maka sudutnya 60
(D)
D
A
C
8
8
B
(10)
Ja wab Latihan Ujian Matematika P 1A DIY
Wagiman, S.Si
24. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (2, –3) dan memiliki jari-jari 7 adalah….
A. x2 + y2 – 4x + 6y + 49 = 0
Persamaan Lingkaran yang berpusat di (a, b), dan
B. x2 + y2 – 4x + 6y – 49 = 0
2
2
berjari-jari = r
C. x + y – 4x + 6y + 36 = 0
(x – a)2 + (x – b)2 = r2
Bentuk Baku
D. x2 + y2 – 4x + 6y – 36 = 0
2
2
2
2
2
x + y – 2ax – 2ay + (a + b – r ) = 0 Bentuk Umum
E. x2 + y2 + 4x – 6y + 62 = 0
Jawab:
Persamaan lingkaran dengan pusat (2, –3) dan jari-jari 7 adalah
(x – 2)2 + (y + 3)2 = 72
x2 – 4x + 4 + y2 + 6y + 9 = 49
x2 + y2 - 4x + 6y + 13 – 49 = 0
x2 + y2 - 4x + 6y – 36 = 0
(D)
25. Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y 2 = 10 yang melalui titik (1, -3) adalah….
A. x – 3y + 10 = 0
B. x – 3y – 10 = 0
C. x + 3y – 10 = 0
D. 3x – y + 10 = 0
E. 3x – y – 10 = 0
Jawab:
Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 =10 yang melalui titik (1, -3)
px + qy = c
1x + (-3)y = c
x – 3y = 10
x – 3y – 10 = 0
(B)
Persamaan garis Singgung Pada Lingkaran
Persamaan garis singgung pada lingkaran
x2 + y2 = r 2 , melalui titik (p, q)
adalah:
px + qy = r 2
Persamaan garis singgung pada lingkaran
(x – a)2 + (y – b)2 = r 2 , melalui titik (p, q)
adalah:
(p – a)(x – a) + (q – b)(y – b) = r 2
Persamaan garis singgung pada lingkaran
x2 + y2 – 2ax – 2ay + (a 2 + b2 – r 2) = 0, melalui titik (p, q)
adalah:
px + qy – (p + a)x – (q + b)y + (a 2 + b2 – r 2) = 0
26. Diagram lingkaran berikut menunjukkan persentase jenis olah raga
siswa di sekolah X. Jumlah siswa seluruhnya sebanyak 1.200
siswa. Banyak siswa yang suka olah raga Basket adalah ....
A 100 siswa
B 108 siswa
C 240 siswa
D 420 siswa
E 432 siswa
Badminton
20%
Volly
36%
Basket
Tenis Meja
35%
(11)
Ja wab Latihan Ujian Matematika P 1A DIY
Wagiman, S.Si
Jawab:
Volly
= 36%
Tenis meja
= 35%
Badminton
= 20%
––––––––––––––––––– –
Jumlah
= 91%
Basket = 100% - 91% = 9%
Jumlah siswa yang suka basket =
9
1.200 = 108
100
(B)
27. Berikut ini adalah tabel hasil ulangan matematika kelas XII Teknik Sepeda Motor. Median
data tersebut adalah ....
Nilai
Jumlah
A 59,25
41 – 50
3
B 69,00
51 – 60
8
C 69,50
61 – 70
10
D 70,00
71 – 80
11
E 78,68
81 – 90
7
91 - 100
1
Jawab:
Jumlah
40
Ukuran data = n = 3 + 8 + 10 + 11 + 7 + 1 = 40
median = X20 berada di kelas ke-3 (61 – 70)
Tb = tepi bawah kelas median = 60,5
o = frekwensi kumulatif sebelum kelas median = 3 + 8 = 11
= frekwensi kelas median = 10
Rumus Median = Me
p = panjang kelas = 10
1 n fk
1
. p
Me = Tb + 2
2 n fo
f
Me = Tb +
p
f
Tb
=
tepi
bawah
kelas
Median
1
2 (40) 11
= 60,5 +
10
10
n = ∑fi = ukuran data
fk = frekwensi kumulatif sebelum median
f = frekwensi kelas Median
p = panjang kelas
20 11
= 60,5 +
10 = 60,5 + 9 = 69,5
10
(C)
28. Simpangan baku dari data 4, 6, 7, 3, 8, 6, 7, 7 adalah ....
A. 2 10
B. 2 5
C.
D.
E.
1
10
2
1
5
2
1
2
4
Jawab:
Data: 4, 6, 7, 3, 8, 6, 7, 7
467 3867 7
48
Rata-rata =
=
=6
8
8
Simpangan baku
(12)
Ja wab Latihan Ujian Matematika P 1A DIY
Wagiman, S.Si
X i X
2
s=
n
(4 6) 2 (6 6) 2 (7 6) 2 (3 6) 2 (8 6) 2 (6 6) 2 (7 6) 2 (7 6) 2
8
=
(2) 2 (0) 2 (1) 2 (3) 2 (2) 2 (0) 2 (1) 2 (1) 2
8
=
4 0 1 9 4 0 11
=
8
(C)
=
20
=
8
1
10
10
=
2
4
Untuk memudahkan menghitung simpangan baku, kita bisa menggunakan jembatan keledai,
misalnya:
Rasah Sok Kakehan Janji Ben Aman
R = rata-rata = (4 + 6 + 7 + 3 + 8 + 6 + 7 + 7)/8 = 6
S = simpangkan
K = kuadratkan
J = jumlahkan
B = bagi
A = akar
xi
R
S
K
J
B
4
6
-2
4
6
6
0
0
7
3
8
6
6
6
6
6
1
-3
2
0
1
9
4
0
4 + 0 + 1 + 9 + 4 + 0 + 1 + 1 = 20
7
6
1
1
7
6
1
1
20
10
=
8
4
10 1
10
4
2
A
(C)
29. Nilai rata-rata ulangan matematika 40 siswa di sebuah SMK adalah 78,25. Jika nilai rata
rata matematika siswa putri adalah 82 dan nilai rata-rata matematika siswa putra 72, maka
banyak siswa putra adalah .…
A. 25 siswa
B. 20 siswa
C. 15 siswa
D. 12 siswa
E. 8 siswa
Jawab:
n = 40, X 78,25 , X putri 82 dan X putra 72 , nputra = ...?
n X n2 X 2
X 1 1
n1 n 2
78,25
(40 n putra )(82) n putra (72)
40
(78,25)(40) = (40 – nputra)(82) + nputra(72)
(78,25)(40) = (40)(82) – 82.nputra + 72.nputra
(78,25)(40) = (40)(82) – 10.nputra
10.nputra = (40)(82) – (78,25)(40)
40(82 78,25)
nputra =
= 4(82 – 78,25)
10
= 4 (3,75) = 15
(C)
Rata-Rata Gabungan dua himpunan
jumlah anggota A = nA
jumlah anggota B = nB
rata-rata himpunan A = X A
rata-rata himpunan B = X B
Jika digabungkan rata-ratanya menjadi
n X nB XB
X A A
n A nB
(13)
Ja wab Latihan Ujian Matematika P 1A DIY
Wagiman, S.Si
30. Eko memiliki 6 warna cat yang berbeda. Ia akan mencampur 3 cat yang berbeda untuk
mendapatkan warna cat baru. Banyaknya warna cat baru yang bisa dihasilkan adalah ….
A. 8 macam
Kombinasi n objek diambil r objek
B. 10 macam
n!
C. 12 macam
nCr =
D. 15 macam
r ! (n r )!
E. 20 macam
Jawab:
Mengambil 3 objek dari 6 objek adalah peristiwa kombinasi, oleh karena urutan tidak
diperhatikan.
6.5.4.3.2.1
6!
=
= 20
6C3 =
3.2.1.3.2.1
3! 3!
Misalnya warna semula adalah : ABCDEF
Warna campurannya adalah:
ABC, ABD, ABE, ABF, ACD, ACE, ACF, ADE, ADF, AEF,
BCD, BCE, BCF, BDE, BDF, BEF
CDE, CDF, CDF,
DEF
(E)
31. Dua buah dadu dilempar undi bersama-sama sebanyak satu kali. Peluang munculnya mata
dadu berjumlah 4 atau 5 adalah ….
Dua dadu di lempar undi, maka diperoleh ruang
2
A
sampel:
36
1
2
3
4
5
6
3
B
1
11
12
13
14
15
16
36
2
21
22
23
24
25
26
5
C
3
31
32
33
34
35
36
36
4
41
42
43
44
45
46
7
D
5
51
52
53
54
55
56
36
6
61
62
63
64
65
66
10
E
36
Jawab:
banyak kejadian
Peluang =
ukuran ruang sampel
Dua dadu dilempar, ukuran ruang sampel = 36
Kejadian jumlah mata dadu 4 atau 5 adalah 13, 22, 31, 14, 23, 32, 41 ada 7 kejadian dari 36
kejadian yang mungkin
7
Peluang =
36
(D)
(14)
Ja wab Latihan Ujian Matematika P 1A DIY
Wagiman, S.Si
32. Empat buah uang logam di lempar undi bersamaan sebanyak 96 kali. Frekuensi harapan
muncul kejadian 3 Angka 1 Gambar ( 3A 1G) adalah ….
A. 6 kali
B. 24 kali
C. 32 kali
D. 36 kali
E. 48 kali
Jawab:
Empat keping uang logam dilempar undi. Ruang sampelnya:
4A 0G: AAAA,
3A 1G: AAAG, AAGA, AGAA, GAAA,
2A 2G: AAGG, AGAG, GAAG, AGGA, GAGA, GGAA,
1A 3G: AGGG, GAGG, GGAG, GGGA,
0A 4G: GGGG
Kejadian Munculnya 3A 1G = { AAAG, AAGA, AGAA, GAAA}
Ada 4 kejadian dari 16 kejadian
Frekwensi harapan
4
= peluang jumlah percobaan
Peluangnya =
16
4
96 = 24
Frekwensi harapan =
16
(B)
x7
33. Nilai dari lim
2 x 2 8 x 42
x 2 10 x 21
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
E. 5
Jawab:
2 x 2 8 x 42
x 2 10 x 21
( x 7)(2 x 6)
= lim
x 7 ( x 7)( x 3)
x7
lim
(2 x 6)
x 7 ( x 3)
20
2(7) 6
=
=5
=
4
(7) 3
(E)
= lim
34. Turunan pertama dari (x) =
A.
B.
C.
D.
E.
11
(4 x 1) 2
8
(4 x 1)
2
8x 8
(4 x 1) 2
8x 8
(4 x 1) 2
16
(4 x 1) 2
adalah ….
Menyelesaikan limit fungsi aljabar rasional dapat dengan
cara turunan:
0
f ( x)
lim
apabila subsitusi x dengan c menghasilkan
0
xc g ( x)
maka pembilang dan penyebut diturunkan kemudian
disubstitusi ulang,
f ' ( x)
lim
xc g ' ( x)
2 x 2 8 x 42
x 2 10 x 21
20
4(7) 8
=
=
=5
4
2(7) 10
x7
lim
4x 8
x 7 2 x 10
= lim
x3
1
, x adalah ….
4x 1
4
cara cepat:
Jika diberikan fungsi (x) =
maka ’(x) =
a d bc
ax b
cx d
(cx d ) 2
dalam soal
x3
f ( x)
; a = -1, b = 3, c = 4, d = -1
4x 1
1 12
11
1. 1 4.3
f ' ( x)
=
=
2
2
(4 x 1)
(4 x 1)
(4 x 1) 2
(15)
Ja wab Latihan Ujian Matematika P 1A DIY
Wagiman, S.Si
Jawab:
x3
(x) =
4x 1
Misal
U = -x + 3
U’ = -1
V = 4x – 1
V’ = 4
1(4 x 1) ( x 3).4
1 12
11
4 x 1 4 x 12
U 'V UV '
’(x) =
=
=
=
=
2
2
2
2
(4 x 1)
(4 x 1)
(4 x 1) 2
(4 x 1)
V
(A)
35. Sebuah bola dilemparkan ke atas. Bola itu bergerak sesuai persamaan h(t) = 40t – 5t2.
Tinggi maksimum yang dapat dicapai bola adalah ....
A. 4 meter
Karena fungsi yang diberikan adalah fungsi
B. 5 meter
kuadrat maka sebenarnya kita bisa
C. 40 meter
menyelesaikan persoalan ini dengan konsep
D. 80 meter
fungsi kuadrat
E. 100 meter
Bandingkan dengan (x) = 40x – 5x2
b
Jawab:
Titik puncak (x, y) dengan x =
dan y = f(x)
Ini persoalan maksimum / minimum fungsi
2a
Untuk soal tersebut:
yang bisa dipecahkan dengan turunan.
2
40
h(t) = 40t – 5t
=4
x=
2(5)
h = tinggi bola (hight), t = waktu (time)
y = f(4) = 40(4) – 5(4)2 = 160 – 80 = 80
Syarat maksimum: y’ = ’(x) = 0
Titik Puncak (4, 80)
h’(t) = 40 – 10t = 0
10t = 40
t=4
h(4) = 40(4) – 5(4)2 = 160 – 80 = 80
(D)
36. Interval fungsi turun dari (x) =
1 3
x – 2x2 +3x + 5 adalah ....
3
A. 1 < x < 3
y = (x)
fungsi
B. -1 < x < 3
pangkat tiga
C. -3 < x < 1
max
D. x < -3 atau x > 1
naik
E. x < 1 atau x > 3
turun
naik
Jawab:
1
(x) = x3 – 2x2 +3x + 5
3
min
Syarat stationer ’(x) = 0
x1
x2
’(x) = x2 – 4x + 3 = 0
(x – 1)(x – 3) = 0
x = 1 atau x = 3
Diuji dengan turunan kedua
’’(x) = 2x – 4
’’(1) = 2(1) – 4 = -2
karena ’’(1) negatif deperoleh titik maksimum
’’(3) = 2(3) – 4 = 2
karena ’’(3) positif diperoleh titik minimum
+++
naik
1
–––
turun
3
+++
naik
interval yang sesuai: 1 < x < 3
(A)
(16)
Ja wab Latihan Ujian Matematika P 1A DIY
Wagiman, S.Si
37. Hasil dari (3x2 – 2)2 dx adalah ....
A. 36x3 – 24x + C
3 5
B.
x – 4x3 – 4x + C
5
9 5
C.
x – 4x3 + 4x + C
5
3 5
x + 4x3 + 4x + C
D.
5
3 5
E.
x – 4x3 + 4x + C
5
Jawab:
(3x2 – 2)2 dx = (9x4 – 12x2 + 4) dx
9
= x5 – 4x3 + 4x + C
5
(C)
n
a x dx
Integral fungsi aljabar:
a
xn 1 C
n 1
Kuadrat suku dua
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(3x2 – 2)2 = (3x2)2 + 2(3x2)(-2) + (-2)2
= 9x4 – 12x2 + 4
38. Nilai dari (3x 2 10x 3) dx adalah ...
2
1
b
A. 25
B. 16
C. -4
D. -24
E. -25
Jawab:
(3x
2
2
f ( x) dx F ( x) a
Integral Tertentu
b
= F(b) – F(a)
a
10x 3) dx = [ x3 5 x 2 3x]
1
2
1
= [(2)3 + 5(2)2 + 3(2)] – [(1)3 + 5(1)2 + 3(1)] = [8 + 20 + 6] – [1 + 5 + 3] = 34 – 9 = 25
(A)
39. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 + 2 dan garis y = x + 4 adalah ....
1
A.
satuan luas
2
Menentukan luas daerah antara dua kurva
5
y = f(x) dan y = g(x)
B. 2 satuan luas
1. Kurangkan f(x) – g(x)
6
2. Hitung diskriminan D = b2 – 4ac
1
C. 4 satuan luas
D D
2
3. Hitung Luas L =
6a 2
1
D. 5 satuan luas
2
1
E. 7 satuan luas
2
Jawab:
y = (x2 + 2) – (x + 4)
y = x2 – x – 2,
a = 1, b = -1, c = -2
2
2
D = b – 4ac = (-1) – 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9
L=
D D
6a
2
=
9 9
6(1)
2
=
9
1
27
=
= 4
2
2
6
(C)
(17)
Ja wab Latihan Ujian Matematika P 1A DIY
Wagiman, S.Si
40. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh y = 2x – 3, x = 1, x = 3 dan
sumbu X, diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360 adalah ....
1
A. 3 satuan volume
3
2
y = f(x)
B. 3 satuan volume
3
C. 4 satuan volume
1
D. 4 satuan volume
3
0 a
b
2
E. 4 satuan volume
3
Jawab:
y = 2x – 3
a=1
Volume Kerucut Terpancung
b=3
1
R = y(3) = 2(3) – 3 = 3
V = ( R2 + Rr + r2) t
3
r = y(1) = 2(1) – 3 = -1
dengan R = f(b) , r = f(a) , t = b - a
t=3–1=2
1
V = (R2 + Rr + r2).t
3
1
= (32 + 3.(-1) + (-1)2).2
3
1
= (9 – 3 + 1).2
3
1
2
14
= (7).2 =
= 4
3
3
3
(E)
(18)
Wagiman, S.Si
x 2 y 3 z 1
1. Bentuk sederhana dari
x 1 y 2 z 3
x6 y
A.
6 10
x y
z
8
y2
C.
x2 z 4
y2
D.
x 2 z8
z8
E.
adalah ….
Sifat-sifat Pangkat
Perhatikan selisih
pangkat dari pembilang
dan penyebut. Jika
pangkat pembilang lebih
besar maka variabel
diletakkan pada
pembilang, tapi jika
pangkat penyebut yang
lebih besar maka
variabel diletakkan di
penyebut. Besar pangkat
sama dengan selisih
pangkat pembilanga dan
penyebut
z8
B.
2
x2 y 2
Jawab:
1. am . an = am + n
am
= am – n
2.
an
3. (am)n = am.n
4. (ab)m = am bm
a
b
5.
m
am
bm
1
am
=
6. a –m =
4 6 2
x 2 y 3 z 1
y2
= x y z
=
x 1 y 2 z 3
x 2 y 4 z 6
x 2 z8
(D)
2
2. Bentuk sederhana dari
A. 2(3 2 - 2 3 )
B. 2(3 2 + 2 3 )
C. 2(2 2 + 3 3 )
D. 2(2 2 - 3 3 )
E. 3(3 2 + 2 3 )
Jawab:
2 6
3 2
=
=
2 6
3 2
2 6 ( 3 2)
3 2
2
2
=
Metode paling umum untuk menyelesaikan
adalah …. permasalahan menyederhanakan fungsi rasional
bentuk akar adalah dengan mengalikan penyebut
3 2
dengan bilangan sekawannya. Ini dimaksudkan
agar penyebut tidak lagi dalam bentuk akar.
2 6
, penyebutnya 3 2 .
Perhatikan
3 2
Bilangan sekawan dari 3 2 adalah 3 2
Perkalian bilangan sekawan:
2 6
3 2
3 2
(a + b)(a – b) = a2 – b2 , jadi
( 3 2 )( 3 2 ) =
3 2 =3–2=1
2
2
2( 18 12 )
= 2(3 2 - 2 3 )
3 2
(A)
3. Diketahui log 2 = a dan log 3 = b maka log 360 = ...
A. a + b + 1
B. a + 2b + 1
Sifat logaritma terkait
C. 2a + b + 1
yang digunakan
a
log bc = a log b + a log c
D. 2a + 2b + 1
E. a + b + 2
Jawab:
log 360 = log (36 10) = log (2.2.3.3.10)
= log 2 + log 2 + log 3 + log 3 + log 10
= a + a + b + b + 1 = 2a + 2b + 1
(D)
Sifat-sifat logaritma
1. alog b = c ac = b
2.
a m log b n n . a log b
3.
alog
4.
5.
6.
7.
m
a
b.c = log b + a log c
a log b a log b a log c
c
a
log b . b log c = a log c
a
log b
a log b
1
b
log a
k log b
k log a
dengan
( k bil real positif)
(1)
Ja wab Latihan Ujian Matematika P 1A DIY
Wagiman, S.Si
4. Seorang pengusaha batu akik A membeli 4 buah batu jamrud dan 6 buah batu merah rubi
dengan harga Rp 870.000,00 . Sedangkan pengusaha batu akik B membeli 5 buah batu
jamrud dan 6 buah batu merah rubi seharga Rp 960.000,00. Maka harga satu buah batu
jamrud dan dua buah batu merah rubi adalah ….
A. Rp 155.000,00
B. Rp 165.000,00
C. Rp 260.000,00
D. Rp 265.000,00
E. Rp 275.000,00
Jawab:
Misal x = harga 1 buah batu jamrud dan y = harga 1 buah batu merah rubi
4x + 6y = 870.000
5x + 6y = 960.000
––––––––––––––– –
x
= 90.000
4(90.000) + 6y = 870.000
360.000 + 6y = 870.000
6y = 510.000
y = 85.000
jadi 1x + 2y = 1(90.000) + 2(85.000) = 90.000 + 170.000 = 260.000
(C)
2 1 3
4 7 9
3 0 2
L =
maka 2K – 3L + M = ...
dan M =
5. Apabila K =
6 0 1
6 5 8
2 3 1
1 5 21
A.
12 14 7
1 5 21
B.
12 4 7
1 5 21
C.
12 14 7
1 5 9
D.
12 14 7
1 5 21
E.
6 14 7
Jawab:
2 1 3
3 0 2 4 7 9
– 3
+
2K – 3L + M = 2
6 0 1
2 3 1 6 5 8
2 6 9 0 6 4 7 9 1 5 21
4
–
=
+
=
12 0 2 6 9 3 6 5 8 12 14 7
(B)
5 8
adalah ...
6. Invers matriks =
a b
2 3
–1
invers dari matriks M =
ditullis M
c
d
8
3
A.
1
a b
d b
1
2 5
adalah
=
ad bc c a
c d
3 8
B.
2 5
3 8
C.
5
2
3 8
D.
2 5
3 8
E.
2 5
(2)
Ja wab Latihan Ujian Matematika P 1A DIY
Wagiman, S.Si
Jawab:
5 8
Invers matriks
2 3
5 8
=
2 3
(E)
1
=
3 8
3 8
1
1
1 3 8 3 8
=
=
=
5.3 8. 2 2 5
15 16 2 5
1 2 5 2 5
2 4 1
7. Nilai determinan 3 5 6 adalah ...
1 3 2
Untuk menentukan determinan matriks ordo 3 3
A. 62
digunakan aturan Sarrus
B. -4
a11 a12 a13 a11 a12
a 11 a 12 a 13
C. -42
a 21 a 22 a 23 = a 21 a 22 a 23 a 21 a 22
D. -52
a 31 a 32 a 33 a 31 a 32
a 31 a 32 a 33
E. -54
Jawab:
2 4 1
–
–
–
+
+
3 5 6 = 2.5.-2 + 4.6.1 + -1.-3.3 – -1.5.1 – 2.6.3 – 4.-3.-2
1 3 2
+
= -20 + 24 + 9 + 5 – 36 – 24
= -42
Det A = + a11a22a33 + a12a23a31 + a13a21a32 – a13a22a31 – a11a23a32 – a12a21a33
(C)
8. Grafik fungsi y =
5 2
x + 10x yang sesuai adalah ....
2
A. Y
B.
Y
C.
Y
10
0
0
2
X
X
-2
0
X
-10
-10
Y
E.
Y
D.
2
10
-2
-2
0
X
2
X
-10
Jawab:
Pada pilihan jawaban, kurva-kurva berbeda titik puncaknya, jadi cukup dicari saja titik
puncaknya..
5
y = x2 + 10x
2
Syarat Puncak, y’ = 0 = -5x + 10
5x = 10
x=2
(3)
Ja wab Latihan Ujian Matematika P 1A DIY
Wagiman, S.Si
y(2) =
5
(2)2 + 10(2) = -10 + 20 = 10
2
Jadi titik puncak (2, 10)
(A)
Teknik mengetahui persamaan sebuah fungsi
kuadrat
1. Persamaan kuadrat yang puncaknya (a, b)
adalah
(y – b)2 = k(x – a)2
k = konstanta yang nilainya dihitung dengan
substitusi titik yang lain
2. Persamaan kuadrat yang akar-akarnya α dan β
y = k[x2 – (α + β)x + αβ]
k = konstanta yang nilainya dihitung dengan
substitusi titik yang lain
Note!
Sebuah persamaan kuadrat dengan
fungsi f(x) = ax2 + bx + c
(1). Jika a > 0, kurva terbuka ke
atas
Jika a < 0, kurva terbuka ke
bawah
(2). Titik potong dengan sumbu Y
syarat x = 0, jadi
y = a.0 2 + b.0 + c = c
(0 , c)
(3). Titik potong dengan sumbu X
syarat y = 0
x dapat dicari dengan
pemfaktoran
(… …)(… …) = 0
(4). Titik puncak (x , y)
b
adalah sumbu simetri
x=
2a
b
y = f(
) adalah nilai max/min
2a
9. Diketahui barisan aritmatika dengan suku ke-4 dan suku ke-8 berturut-turut adalah 17 dan
37 maka jumlah 20 suku pertama adalah….
Barisan aritmatika
A. 300
B. 450
Suku ke-n
C. 990
Un = a + (n – 1)b
D. 1.000
Jumlah n suku pertama
E. 1.080
n
Jawab:
Sn = [2a + (n – 1)b]
2
U4 = a + 3b = 17
U8 = a + 7b = 37
Barisan geometri
––––––––––––– –
4b = 20
Suku ke-n
b=5
Sn = ar n – 1
a + 3(5) = 17
a=2
Jumlah tak hingga
a
Jumlah 20 suku pertama
S =
1 r
n
Sn = [2a + (n – 1)b]
2
20
S20 =
[2(2) + (20 – 1).5]
2
= 10[4 + 95] = 10[99] = 990
(C)
10. Setiap bulan Hanif menabung di Bank. Pada bulan pertama Hanif menabung sebesar Rp
350.000,00, bulan kedua Rp 375.000,00, dan bulan ketiga Rp 400.000,00. Jika
penambahan uang yang ditabung tetap setiap bulannya, jumlah uang yang ditabung Hanif
selama satu tahun adalah ….
A. Rp 1.125.000,00
B. Rp 4.475.000,00
C. Rp 5.500.000,00
D. Rp 5.850.000,00
E. Rp 6.200.000,00
(4)
Ja wab Latihan Ujian Matematika P 1A DIY
Wagiman, S.Si
Jawab:
Ini adalah persoalan Deret aritmatika karena terjadi penambahan nilai secara tetap.
a = U1 = 350.000, U2 = 375.000, U3 = 400.000,
b = 375.000 – 350.000 = 25.000
Satu tahun = 12 bulan, n = 12
n
Sn = [2a + (n – 1)b]
2
12
[2(350.000) + (12 – 1).(25.000)]
S12 =
2
= 6[700.000 + 275.000] = 6[975.000] = 5.850.000
(D)
11.
Sebuah Mobil dibeli dengan harga Rp 120.000.000,00. Setiap tahun nilai jualnya menjadi
4
dari harga sebelumnya. Nilai jual setelah dipakai 3 tahun adalah ....
5
Barisan geometri
A. Rp24.000.000
Suku ke-n
B. Rp38.400.000
Sn = ar n – 1
C. Rp61.440.000
Jumlah tak hingga
D. Rp76.800.000
a
S =
E. Rp96.000.000
1 r
Jawab:
4
Ini persoalan Barisan geometri karena memiliki rasio (pembanding) tertentu yaitu
5
untuk nilai-nilai berikutnya.
a = 120.000.000
4
r=
5
16
4
U3 = ar = 120.000.000 = 120.000.000 = 4.800.000 (16) = 76.800.000
25
5
(D)
2
2
12.
Jumlah deret geometri tak hingga adalah 24 dan suku pertamanya adalah 16. Rasio dari
deret tersebut adalah….
1
Barisan geometri
A.
6
Suku ke-n
1
Sn = ar n – 1
B.
Jumlah tak hingga
4
a
1
S =
C.
1 r
3
1
D.
2
2
E.
3
Jawab:
Deret geometri tak hingga dengan S = 24, a = 16
a
S =
1 r
16
24 =
1 r
2
16
1–r=
=
3
24
1
r=
3
(C)
(5)
Ja wab Latihan Ujian Matematika P 1A DIY
Wagiman, S.Si
13. Sebuah home industri mainan yang berbahan kayu setiap hari memproduksi dua jenis
mainan tidak lebih 70 buah dengan modal Rp 1.250.000,00. Untuk membuat mainan jenis
pertama memerlukan biaya Rp 25.000,00 dan mainan jenis kedua memerlukan biaya Rp
50.000,00. Jika banyaknya mainan jenis pertama dimisalkan x dan mainan jenis kedua y
maka model matematika dari persoalan tersebut adalah…
A. x + y 70 ; 2x + y 25 ; x 0; y 0
B. x + y 70 ; 2x + y 25 ; x 0; y 0
C. x + y 70 ; 2x + y 25 ; x 0; y 0
D. x + y 70 ; x + 2y 25 ; x 0; y 0
E. x + y 70 ; x + 2y 25 ; x 0; y 0
Jawab:
jenis pertama
jenis kedua
batas
jumlah produksi
x
y
70
biaya
25.000
50.000
1.250.000
Misal x = banyak mainan jenis pertama,
y = banyak mainan jenis kedua
x + y 70
25.000x + 50.000y 1.250.000
}:25.000
x + 2y 50
( tidak ada jawab)
14. Daerah yang memenuhi pertidaksamaan 3x + y 12, x + 4y 8, x 0, y 0 adalah…
A. I
B. II
Y
C. III
3x + y = 12
D. IV
12
E. V
x + 4y = 8
Jawab:
Mula-mula identifikasikan persamaan garis pada gambar
Tanda berarti daerah di bawah garis
I
Tanda berarti daerah di atas garis
II
3x + y 12 yang memenuhi {I, II, IV}
III
2
x + 4y 8 yang memenuhi {I, II, III}
IV
V
x 0, y 0 berarti daerah di kuadran I (+, +) {II, III, IV, V}
0
4
8
yang memenuhi semua kendala adalah daerah II
(B)
X
15. Seorang pengusaha mainan anak - anak akan membeli beberapa boneka Barbie dan
boneka Masha tidak lebih dari 25 buah. Harga sebuah boneka Barbie Rp 60.000,00 dan
harga sebuah boneka Masha Rp 80.000,00. Modal yang dimiliki pengusaha
Rp1.680.000,00. Jika laba penjualan 1 boneka Barbie Rp 20.000,00 dan 1 boneka Masha
Rp 25.000,00, maka laba maksimumnya adalah ....
A. Rp 400.000,00
B. Rp 480.000,00
C. Rp 545.000,00
D. Rp 550.000,00
E. Rp 580.000,00
Jawab:
Barbie
Masha
batas
jumlah produksi
x
y
25
biaya
60.000
80.000
1.680.000
laba
20.000
25.000
(6)
Ja wab Latihan Ujian Matematika P 1A DIY
Wagiman, S.Si
Disusun model matematika:
x + y 25
60.000x + 80.000y 1.680.000 }:20.000
3x + 4y 84
fungsi objektif: (x, y) = 20.000x + 25.000y
Membandingkan gradien
x + y = 25
m = –1
3
3x + 4y = 84
m=
4
20.000
4
(x, y) = 20.000x + 25.000y
m=
=
25.000
5
4
3
Karena besar gradien fungsi objektif ( ) di tengah fungsi-fungsi kendala –1 dan , atau
5
4
4
3
dapat disusun –1 <
<
maka nilai optimum berada di titik potong kedua garis
5
4
kendala.
Titik potong.
x + y = 25
}4
4x + 4y = 100
3x + 4y = 84
3x + 4y = 84
––––––––––– –
x = 16
(16) + y = 25
y=9
diperoleh titik potong (16, 9)
Nilai maksimum (x, y) = 20.000x + 25.000y
(16, 9) = 20.000(16) + 25.000(9)
= 320.000 + 225.000 = 545.000
(C)
16. Persamaan garis yang melalui titik (2, –1) dan tegak lurus garis 3x - 4y + 5 = 0 adalah ....
A. 4x + 3y – 5 = 0
Dua garis yang bergradien masingB. 4x + 3y – 11 = 0
masing m1 dan m2
C. 4x – 3y – 11 = 0
Sejajar jika :
m1 = m2
D. 3x – 4y – 10 = 0
Tegak Lurus jika :
m1 m2 = –1
E. 3x – 4y – 2 = 0
Jawab:
Persamaan garis yang melalui titik (a, b)
3x - 4y + 5 = 0
dan sejajar garis Ax + By = C
garis tegaklurus melalui (2, -1)
adalah: Ax + By = Aa + Bb
4x + 3y = 4(2) + 3(-1)
Persamaan garis yang melalui titik (a, b)
4x + 3y = 8 – 3 = 5
dan tegak lurus garis Ax + By = C
4x + 3y – 5 = 0
adalah: Bx – Ay = Ba - Ab
(A)
17. Diketahui tan α = – 2 untuk 90 α 180. Nilai cos α adalah ....
1
3
A.
Perbandingan Trigonometri
miring
3
depa n
sin =
1
miring
3
B.
2
sa mping
α
cos =
samping
C. 3
miring
1
depa n
3
D.
tan =
3
sa mping
1
3
E.
2
depan
(7)
Ja wab Latihan Ujian Matematika P 1A DIY
Wagiman, S.Si
Jawab:
tan α = - 2 , dibuat segitiga siku-siku yang sesuai, tanda minus
diabaikan. Baru nanti setelah diperoleh perhitungan tanda dibuat dengan
memperhatikan kuadran. Sisi yang belum ada dilengkapi dulu, yaitu sisi
miring dan dihitung dengan phytagoras.
12 2
r=
2
=
3
2
3
α
1
1
3
1
samping
3
3
=
=
=
=
cos α =
3
miring
3
3
3
3
1
Interval 90 α 180 menunjukkan bahwa sudut berada di kuadran II, nilai cosinus di
kuadran II adalah negatif. Jadi jawaban lengkapnya cos α = –
1
3
3
(A)
y = Tan x
y = Sin x
y = Cos x
I
I
II
I
III
III
IV
IV
II
III
II
IV
Untuk menentukan nilai sin, cos atau tan, memang sebaiknya direkonstruksikan sebuah segitiga yang
bersesuaian dengan data yang dimiliki, kemudian panjang sisi yang belum diketahui nilainya dicar i
dengan dalil Pythagoras. Walaupun sudut yang terlibat adalah sudut di sembarang kuadran dan
tidak selalu dikuadran I ( 0 < θ < 90) tetapi nilainya sama saja. Yang membedakan hanyalah tanda
negatif atau positif.
Perhatikan ilustrasi kurva trigonometri di atas, apabila dirangkum dalam sebuah tabel maka
diperoleh:
kuadran I
kuadran II
kuadran III
kuadran IV
sin x
+
+
–
–
cos x
+
–
–
+
tan x
+
–
+
–
18. Sebuah segitiga PQR dengan panjang PR = 12 m, besar P = 30o dan Q = 45o. Panjang
QR adalah .…
R
C
A. 6 m
B. 6 2 m
12 m
30
P
E. 12 2 m
Jawab:
Panjang QR dihitung dengan aturan sinus
QR
PR
sin P sin Q
QR
12
sin 30 sin 45
QR sin 30
=
12
2
(B)
=
12
2
12
1
12
=
1
sin 45
2
2
2
2
2
=
12 2
= 6 2
2
a
b
C. 6 3 m
D. 12 m
45
Q
A
c
B
Aturan sinus.
Digunakan apabila unsur segitiga yang
terlibat dalam perhitungan berupa dua
pasang sisi – sudut yang saling
berhadapan
a
b
c
sin A sin B sin C
Aturan cosinus.
Digunakan apabila unsur segitiga yang
terlibat dalam perhitungan berupa tiga
sisi dan sebuah sudut
a2 = b2 + c2 – 2bc cos A
b2 = a2 + c2 – 2ac cos B
c2 = a2 + b2 – 2ab cos C
(8)
Ja wab Latihan Ujian Matematika P 1A DIY
Wagiman, S.Si
19. Sebidang tanah berbentuk segitiga ABC seperti pada gambar di bawah. Panjang sisi AB
adalah 40 m, panjang sisi AC adalah 24 m dan besar sudut BAC adalah 30 o. Jika tanah itu
dijual dengan harga Rp 500.000,00 untuk setiap meter persegi. Maka tersebut adalah ....
C
A. Rp 80.000.000,00
B.
C.
D.
E.
Rp 100.000.000,00
Rp 120.000.000,00
Rp 200.000.000,00
Rp 240.000.000,00
A
B
Jawab:
Rumus Luas Segitiga, yang diketahui dua sisi dan sudut apitnya
1
1
L = a b sin C = AB AC sin A
2
2
1
= 40 24 sin 30
2
24 m
1
1
= 40 24 = 240
2
2
harga tanah Rp 500.000,00/m 2
30
A
Harga seluruhnya
40 m
= 240 Rp 500.000,00
= Rp 120.000.000,00
(C)
Rumus luas segitiga
1
L = ab sin C
2
1
L = ac sin B
2
1
L = bc sin A
2
C
B
20. Bayangan titik P(–3 , 5) oleh refleksi terhadap garis y = –x dilanjutkan dengan refleksi
Y
P(-3, 5)
terhadap garis x = 2 adalah ....
A. P’’(–4, 0)
P’(-5, 3)
P’’ 9, 3
B. P’’(–4, 4)
C. P’’(4, 4)
D. P’’(8, 4)
y = -x
E. P’’(8, 5)
X
Jawab:
x=2
Sebaiknya digambar agar lebih mudah
Bayangan titik P(-3, 5) direfleksikan terhadap garis y = -x adalah P’(-5, 3)
Bayangan titik P’(-5, 3) direfleksikan terhadap garis x = 2 adalah P’’(9, 3)
Rumus-Rumus Transformasi Sederhana
Titik Asal
Transformasi
Titik
Bayangan
(a, b)
(a+ m, b+ n)
m
translasi =
n
(a, b)
dilatasi [k, O]
k = faktor skala,
O titik pusat (0, 0)
(a, b)
Refleksi y = x
Refleksi y = -x
Refleksi x = k
Refleksi y = k
(a, b)
Rotasi + 90
Rotasi –90
(tidak ada jawaban)
(ka, kb)
(b, a)
(-b, -a)
(2k – a, b)
(a, 2k – b)
(-b, a)
(b, -a)
Penjelasan
Menggeser titik (a, b) sejauh m satuan
horizontal dan n satuan vertikal.
m > 0 pergeseran ke kanan
m < 0 pergeseran ke kiri
n > 0, pergeseran ke atas
n < 0 pergeseran ke bawah
Perbesaran k kali dengan pusat perbesaran titik
pusat koordinat O(0, 0)
Pencerminan terhadap garis diagonal
Pencerminan terhadap garis diagonal
Pencerminan terhadap garis vertikal
Pencerminan terhadap garis horizontal
Rotasi 90 berlawanan arah jarum jam
Rotasi 90 searah putaran jarum jam
y=
y=
x=
y=
x
-x
k
k
(9)
Ja wab Latihan Ujian Matematika P 1A DIY
Wagiman, S.Si
21. Kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 4 2 cm, maka luas bidang ABGH adalah ....
H
G
H
G
A. 8 cm2
B. 8 2 cm2
C. 16 2 cm
E
F
2
4 2
D. 32 cm2
E. 32 2 cm2
Jawab:
ABGH sebuah persegi panjang A
D
8
C
4 2
A
4 2
4 2
B
B
BG = 4 2 2 = 8
AB = 4 2
Luas ABGH = 8 4 2 = 32 2
(E)
Kubus dengan rusuk = r
diagonal bidang = r 2
diagonal ruang = r 3
diagonal
bidang
diagonal
ruang
22. Kubus ABCD.EFGH panjang sisi 6 cm. Titik P terletak di tengah-tengah rusuk AE. Jarak titik
P ke bidang BDHF adalah ....
H
G
A. 3 2 cm
E
B. 6 cm
F
C. 6 2 cm
6
Q
D. 12 cm
P
E. 12 2 cm
D
C
Jawab:
6
Jarak titik P ke bidang BDHF,
A
6
B
adalah panjang ruas garis yang melalui titik P
dan tegak lurus dengan bidang BDHF.
Titik potong garis yang melalui titik P dengan bidang BDHF berada di pusat bidang BDHF.
Jarak titik P ke bidang BDHF ditunjukkan dengan ruas garis PQ, sama dengan setengah
diagonal bidang EG.
Panjang diagonal bidang EG = r 2 = 6 2
Jadi setengahnya adalah 3 2
(A)
23. Diketahui panjang rusuk kubus ABCD.EFGH adalah 8 cm.
Besar sudut yang terbentuk antara garis AH dan EG
adalah ....
A. 15o
B. 30o
C. 45o
D. 60o
E. 75o
Jawab:
Untuk menghitung besar sudut antara garis AH dan
EG kita geser EG ke AC, sehingga diperoleh sudut
HAC. Perhatikan bahwa segitiga yang terbentuk
adalah HAC.
Segitiga HAC adalah sama sisi, dengan sisi sama
H
G
E
F
8
D
C
8
A
8
B
H
E
G
F
8
dengan diagonal bidang kubus yaitu r 2 = 8 2
Karena sama sisi maka sudutnya 60
(D)
D
A
C
8
8
B
(10)
Ja wab Latihan Ujian Matematika P 1A DIY
Wagiman, S.Si
24. Persamaan lingkaran yang berpusat di titik (2, –3) dan memiliki jari-jari 7 adalah….
A. x2 + y2 – 4x + 6y + 49 = 0
Persamaan Lingkaran yang berpusat di (a, b), dan
B. x2 + y2 – 4x + 6y – 49 = 0
2
2
berjari-jari = r
C. x + y – 4x + 6y + 36 = 0
(x – a)2 + (x – b)2 = r2
Bentuk Baku
D. x2 + y2 – 4x + 6y – 36 = 0
2
2
2
2
2
x + y – 2ax – 2ay + (a + b – r ) = 0 Bentuk Umum
E. x2 + y2 + 4x – 6y + 62 = 0
Jawab:
Persamaan lingkaran dengan pusat (2, –3) dan jari-jari 7 adalah
(x – 2)2 + (y + 3)2 = 72
x2 – 4x + 4 + y2 + 6y + 9 = 49
x2 + y2 - 4x + 6y + 13 – 49 = 0
x2 + y2 - 4x + 6y – 36 = 0
(D)
25. Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y 2 = 10 yang melalui titik (1, -3) adalah….
A. x – 3y + 10 = 0
B. x – 3y – 10 = 0
C. x + 3y – 10 = 0
D. 3x – y + 10 = 0
E. 3x – y – 10 = 0
Jawab:
Persamaan garis singgung lingkaran x2 + y2 =10 yang melalui titik (1, -3)
px + qy = c
1x + (-3)y = c
x – 3y = 10
x – 3y – 10 = 0
(B)
Persamaan garis Singgung Pada Lingkaran
Persamaan garis singgung pada lingkaran
x2 + y2 = r 2 , melalui titik (p, q)
adalah:
px + qy = r 2
Persamaan garis singgung pada lingkaran
(x – a)2 + (y – b)2 = r 2 , melalui titik (p, q)
adalah:
(p – a)(x – a) + (q – b)(y – b) = r 2
Persamaan garis singgung pada lingkaran
x2 + y2 – 2ax – 2ay + (a 2 + b2 – r 2) = 0, melalui titik (p, q)
adalah:
px + qy – (p + a)x – (q + b)y + (a 2 + b2 – r 2) = 0
26. Diagram lingkaran berikut menunjukkan persentase jenis olah raga
siswa di sekolah X. Jumlah siswa seluruhnya sebanyak 1.200
siswa. Banyak siswa yang suka olah raga Basket adalah ....
A 100 siswa
B 108 siswa
C 240 siswa
D 420 siswa
E 432 siswa
Badminton
20%
Volly
36%
Basket
Tenis Meja
35%
(11)
Ja wab Latihan Ujian Matematika P 1A DIY
Wagiman, S.Si
Jawab:
Volly
= 36%
Tenis meja
= 35%
Badminton
= 20%
––––––––––––––––––– –
Jumlah
= 91%
Basket = 100% - 91% = 9%
Jumlah siswa yang suka basket =
9
1.200 = 108
100
(B)
27. Berikut ini adalah tabel hasil ulangan matematika kelas XII Teknik Sepeda Motor. Median
data tersebut adalah ....
Nilai
Jumlah
A 59,25
41 – 50
3
B 69,00
51 – 60
8
C 69,50
61 – 70
10
D 70,00
71 – 80
11
E 78,68
81 – 90
7
91 - 100
1
Jawab:
Jumlah
40
Ukuran data = n = 3 + 8 + 10 + 11 + 7 + 1 = 40
median = X20 berada di kelas ke-3 (61 – 70)
Tb = tepi bawah kelas median = 60,5
o = frekwensi kumulatif sebelum kelas median = 3 + 8 = 11
= frekwensi kelas median = 10
Rumus Median = Me
p = panjang kelas = 10
1 n fk
1
. p
Me = Tb + 2
2 n fo
f
Me = Tb +
p
f
Tb
=
tepi
bawah
kelas
Median
1
2 (40) 11
= 60,5 +
10
10
n = ∑fi = ukuran data
fk = frekwensi kumulatif sebelum median
f = frekwensi kelas Median
p = panjang kelas
20 11
= 60,5 +
10 = 60,5 + 9 = 69,5
10
(C)
28. Simpangan baku dari data 4, 6, 7, 3, 8, 6, 7, 7 adalah ....
A. 2 10
B. 2 5
C.
D.
E.
1
10
2
1
5
2
1
2
4
Jawab:
Data: 4, 6, 7, 3, 8, 6, 7, 7
467 3867 7
48
Rata-rata =
=
=6
8
8
Simpangan baku
(12)
Ja wab Latihan Ujian Matematika P 1A DIY
Wagiman, S.Si
X i X
2
s=
n
(4 6) 2 (6 6) 2 (7 6) 2 (3 6) 2 (8 6) 2 (6 6) 2 (7 6) 2 (7 6) 2
8
=
(2) 2 (0) 2 (1) 2 (3) 2 (2) 2 (0) 2 (1) 2 (1) 2
8
=
4 0 1 9 4 0 11
=
8
(C)
=
20
=
8
1
10
10
=
2
4
Untuk memudahkan menghitung simpangan baku, kita bisa menggunakan jembatan keledai,
misalnya:
Rasah Sok Kakehan Janji Ben Aman
R = rata-rata = (4 + 6 + 7 + 3 + 8 + 6 + 7 + 7)/8 = 6
S = simpangkan
K = kuadratkan
J = jumlahkan
B = bagi
A = akar
xi
R
S
K
J
B
4
6
-2
4
6
6
0
0
7
3
8
6
6
6
6
6
1
-3
2
0
1
9
4
0
4 + 0 + 1 + 9 + 4 + 0 + 1 + 1 = 20
7
6
1
1
7
6
1
1
20
10
=
8
4
10 1
10
4
2
A
(C)
29. Nilai rata-rata ulangan matematika 40 siswa di sebuah SMK adalah 78,25. Jika nilai rata
rata matematika siswa putri adalah 82 dan nilai rata-rata matematika siswa putra 72, maka
banyak siswa putra adalah .…
A. 25 siswa
B. 20 siswa
C. 15 siswa
D. 12 siswa
E. 8 siswa
Jawab:
n = 40, X 78,25 , X putri 82 dan X putra 72 , nputra = ...?
n X n2 X 2
X 1 1
n1 n 2
78,25
(40 n putra )(82) n putra (72)
40
(78,25)(40) = (40 – nputra)(82) + nputra(72)
(78,25)(40) = (40)(82) – 82.nputra + 72.nputra
(78,25)(40) = (40)(82) – 10.nputra
10.nputra = (40)(82) – (78,25)(40)
40(82 78,25)
nputra =
= 4(82 – 78,25)
10
= 4 (3,75) = 15
(C)
Rata-Rata Gabungan dua himpunan
jumlah anggota A = nA
jumlah anggota B = nB
rata-rata himpunan A = X A
rata-rata himpunan B = X B
Jika digabungkan rata-ratanya menjadi
n X nB XB
X A A
n A nB
(13)
Ja wab Latihan Ujian Matematika P 1A DIY
Wagiman, S.Si
30. Eko memiliki 6 warna cat yang berbeda. Ia akan mencampur 3 cat yang berbeda untuk
mendapatkan warna cat baru. Banyaknya warna cat baru yang bisa dihasilkan adalah ….
A. 8 macam
Kombinasi n objek diambil r objek
B. 10 macam
n!
C. 12 macam
nCr =
D. 15 macam
r ! (n r )!
E. 20 macam
Jawab:
Mengambil 3 objek dari 6 objek adalah peristiwa kombinasi, oleh karena urutan tidak
diperhatikan.
6.5.4.3.2.1
6!
=
= 20
6C3 =
3.2.1.3.2.1
3! 3!
Misalnya warna semula adalah : ABCDEF
Warna campurannya adalah:
ABC, ABD, ABE, ABF, ACD, ACE, ACF, ADE, ADF, AEF,
BCD, BCE, BCF, BDE, BDF, BEF
CDE, CDF, CDF,
DEF
(E)
31. Dua buah dadu dilempar undi bersama-sama sebanyak satu kali. Peluang munculnya mata
dadu berjumlah 4 atau 5 adalah ….
Dua dadu di lempar undi, maka diperoleh ruang
2
A
sampel:
36
1
2
3
4
5
6
3
B
1
11
12
13
14
15
16
36
2
21
22
23
24
25
26
5
C
3
31
32
33
34
35
36
36
4
41
42
43
44
45
46
7
D
5
51
52
53
54
55
56
36
6
61
62
63
64
65
66
10
E
36
Jawab:
banyak kejadian
Peluang =
ukuran ruang sampel
Dua dadu dilempar, ukuran ruang sampel = 36
Kejadian jumlah mata dadu 4 atau 5 adalah 13, 22, 31, 14, 23, 32, 41 ada 7 kejadian dari 36
kejadian yang mungkin
7
Peluang =
36
(D)
(14)
Ja wab Latihan Ujian Matematika P 1A DIY
Wagiman, S.Si
32. Empat buah uang logam di lempar undi bersamaan sebanyak 96 kali. Frekuensi harapan
muncul kejadian 3 Angka 1 Gambar ( 3A 1G) adalah ….
A. 6 kali
B. 24 kali
C. 32 kali
D. 36 kali
E. 48 kali
Jawab:
Empat keping uang logam dilempar undi. Ruang sampelnya:
4A 0G: AAAA,
3A 1G: AAAG, AAGA, AGAA, GAAA,
2A 2G: AAGG, AGAG, GAAG, AGGA, GAGA, GGAA,
1A 3G: AGGG, GAGG, GGAG, GGGA,
0A 4G: GGGG
Kejadian Munculnya 3A 1G = { AAAG, AAGA, AGAA, GAAA}
Ada 4 kejadian dari 16 kejadian
Frekwensi harapan
4
= peluang jumlah percobaan
Peluangnya =
16
4
96 = 24
Frekwensi harapan =
16
(B)
x7
33. Nilai dari lim
2 x 2 8 x 42
x 2 10 x 21
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
E. 5
Jawab:
2 x 2 8 x 42
x 2 10 x 21
( x 7)(2 x 6)
= lim
x 7 ( x 7)( x 3)
x7
lim
(2 x 6)
x 7 ( x 3)
20
2(7) 6
=
=5
=
4
(7) 3
(E)
= lim
34. Turunan pertama dari (x) =
A.
B.
C.
D.
E.
11
(4 x 1) 2
8
(4 x 1)
2
8x 8
(4 x 1) 2
8x 8
(4 x 1) 2
16
(4 x 1) 2
adalah ….
Menyelesaikan limit fungsi aljabar rasional dapat dengan
cara turunan:
0
f ( x)
lim
apabila subsitusi x dengan c menghasilkan
0
xc g ( x)
maka pembilang dan penyebut diturunkan kemudian
disubstitusi ulang,
f ' ( x)
lim
xc g ' ( x)
2 x 2 8 x 42
x 2 10 x 21
20
4(7) 8
=
=
=5
4
2(7) 10
x7
lim
4x 8
x 7 2 x 10
= lim
x3
1
, x adalah ….
4x 1
4
cara cepat:
Jika diberikan fungsi (x) =
maka ’(x) =
a d bc
ax b
cx d
(cx d ) 2
dalam soal
x3
f ( x)
; a = -1, b = 3, c = 4, d = -1
4x 1
1 12
11
1. 1 4.3
f ' ( x)
=
=
2
2
(4 x 1)
(4 x 1)
(4 x 1) 2
(15)
Ja wab Latihan Ujian Matematika P 1A DIY
Wagiman, S.Si
Jawab:
x3
(x) =
4x 1
Misal
U = -x + 3
U’ = -1
V = 4x – 1
V’ = 4
1(4 x 1) ( x 3).4
1 12
11
4 x 1 4 x 12
U 'V UV '
’(x) =
=
=
=
=
2
2
2
2
(4 x 1)
(4 x 1)
(4 x 1) 2
(4 x 1)
V
(A)
35. Sebuah bola dilemparkan ke atas. Bola itu bergerak sesuai persamaan h(t) = 40t – 5t2.
Tinggi maksimum yang dapat dicapai bola adalah ....
A. 4 meter
Karena fungsi yang diberikan adalah fungsi
B. 5 meter
kuadrat maka sebenarnya kita bisa
C. 40 meter
menyelesaikan persoalan ini dengan konsep
D. 80 meter
fungsi kuadrat
E. 100 meter
Bandingkan dengan (x) = 40x – 5x2
b
Jawab:
Titik puncak (x, y) dengan x =
dan y = f(x)
Ini persoalan maksimum / minimum fungsi
2a
Untuk soal tersebut:
yang bisa dipecahkan dengan turunan.
2
40
h(t) = 40t – 5t
=4
x=
2(5)
h = tinggi bola (hight), t = waktu (time)
y = f(4) = 40(4) – 5(4)2 = 160 – 80 = 80
Syarat maksimum: y’ = ’(x) = 0
Titik Puncak (4, 80)
h’(t) = 40 – 10t = 0
10t = 40
t=4
h(4) = 40(4) – 5(4)2 = 160 – 80 = 80
(D)
36. Interval fungsi turun dari (x) =
1 3
x – 2x2 +3x + 5 adalah ....
3
A. 1 < x < 3
y = (x)
fungsi
B. -1 < x < 3
pangkat tiga
C. -3 < x < 1
max
D. x < -3 atau x > 1
naik
E. x < 1 atau x > 3
turun
naik
Jawab:
1
(x) = x3 – 2x2 +3x + 5
3
min
Syarat stationer ’(x) = 0
x1
x2
’(x) = x2 – 4x + 3 = 0
(x – 1)(x – 3) = 0
x = 1 atau x = 3
Diuji dengan turunan kedua
’’(x) = 2x – 4
’’(1) = 2(1) – 4 = -2
karena ’’(1) negatif deperoleh titik maksimum
’’(3) = 2(3) – 4 = 2
karena ’’(3) positif diperoleh titik minimum
+++
naik
1
–––
turun
3
+++
naik
interval yang sesuai: 1 < x < 3
(A)
(16)
Ja wab Latihan Ujian Matematika P 1A DIY
Wagiman, S.Si
37. Hasil dari (3x2 – 2)2 dx adalah ....
A. 36x3 – 24x + C
3 5
B.
x – 4x3 – 4x + C
5
9 5
C.
x – 4x3 + 4x + C
5
3 5
x + 4x3 + 4x + C
D.
5
3 5
E.
x – 4x3 + 4x + C
5
Jawab:
(3x2 – 2)2 dx = (9x4 – 12x2 + 4) dx
9
= x5 – 4x3 + 4x + C
5
(C)
n
a x dx
Integral fungsi aljabar:
a
xn 1 C
n 1
Kuadrat suku dua
(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(3x2 – 2)2 = (3x2)2 + 2(3x2)(-2) + (-2)2
= 9x4 – 12x2 + 4
38. Nilai dari (3x 2 10x 3) dx adalah ...
2
1
b
A. 25
B. 16
C. -4
D. -24
E. -25
Jawab:
(3x
2
2
f ( x) dx F ( x) a
Integral Tertentu
b
= F(b) – F(a)
a
10x 3) dx = [ x3 5 x 2 3x]
1
2
1
= [(2)3 + 5(2)2 + 3(2)] – [(1)3 + 5(1)2 + 3(1)] = [8 + 20 + 6] – [1 + 5 + 3] = 34 – 9 = 25
(A)
39. Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = x2 + 2 dan garis y = x + 4 adalah ....
1
A.
satuan luas
2
Menentukan luas daerah antara dua kurva
5
y = f(x) dan y = g(x)
B. 2 satuan luas
1. Kurangkan f(x) – g(x)
6
2. Hitung diskriminan D = b2 – 4ac
1
C. 4 satuan luas
D D
2
3. Hitung Luas L =
6a 2
1
D. 5 satuan luas
2
1
E. 7 satuan luas
2
Jawab:
y = (x2 + 2) – (x + 4)
y = x2 – x – 2,
a = 1, b = -1, c = -2
2
2
D = b – 4ac = (-1) – 4(1)(-2) = 1 + 8 = 9
L=
D D
6a
2
=
9 9
6(1)
2
=
9
1
27
=
= 4
2
2
6
(C)
(17)
Ja wab Latihan Ujian Matematika P 1A DIY
Wagiman, S.Si
40. Volume benda putar yang terjadi jika daerah yang dibatasi oleh y = 2x – 3, x = 1, x = 3 dan
sumbu X, diputar mengelilingi sumbu X sejauh 360 adalah ....
1
A. 3 satuan volume
3
2
y = f(x)
B. 3 satuan volume
3
C. 4 satuan volume
1
D. 4 satuan volume
3
0 a
b
2
E. 4 satuan volume
3
Jawab:
y = 2x – 3
a=1
Volume Kerucut Terpancung
b=3
1
R = y(3) = 2(3) – 3 = 3
V = ( R2 + Rr + r2) t
3
r = y(1) = 2(1) – 3 = -1
dengan R = f(b) , r = f(a) , t = b - a
t=3–1=2
1
V = (R2 + Rr + r2).t
3
1
= (32 + 3.(-1) + (-1)2).2
3
1
= (9 – 3 + 1).2
3
1
2
14
= (7).2 =
= 4
3
3
3
(E)
(18)