Aplikasi metode linear quadratic regulat
JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 1, No. 1, (2012) 1-6
1
Aplikasi Metode LQR Pada Kendali Attitude Rotor
Spacecraft Yang Berada di Sumbu Tetap
Penulis Tony Yulianto, Erna Apriliani1), Kamiran2)
Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya
Jl. Arief Rachman Hakim, Surabaya 60111
Email:april@matematika.its.ac.id, kamiran@matematika.its.ac.id
Abstrak—Ketepatan posisi dan orientasi satelit, atau pada
umumnya dapat disebut dengan attitude satelit, sangat penting
untuk mendukung tujuan utama satelit. Ketika satelit
diluncurkan ke luar angkasa dengan trayektori orbit tertentu
terhadap poros tetap, kalkulasi dan analisa orbital telah
ditetapkan, akan tetapi gangguan-gangguan yang terjadi di
mana-mana yang disebabkan oleh berbagai hal, seperti
pergerakan angin, pengaruh gravitasi bumi, dan pengaruh
pergerakan bumi pada porosnya akan mengganggu lintasan yang
telah ditetapkan tersebut. Metode LQR digunakan karena dapat
mengatasi gangguan-gangguan besar yang terjadi pada
kestabilan orbit satelit dengan tanpa terjadi penurunan
performansi kerja satelit. Selain itu LQR dapat langsung
mengatasi gangguan yang telah terjadi sebelumnya dalam waktu
yang lebih singkat, karena LQR memiliki bagian yang dapat
memimimalisir jenis-jenis gangguan yang telah terjadi.
Pada tugas akhir ini dilakukan analisa kestabilan terhadap
sistem dinamik dari kendali attitude pada rotor pesawat angkasa
luar di sumbu tetap. Rotor sendiri berada di dalam pesawat
angkasa luar atau satelit tersebut yang digunakan untuk
mengendalikan gerakan pesawat agar selalu dalam posisi yang
sesuai dengan tujuan yang diharapkan dan meminimalisir
gangguan tersebut. Pada sistem dinamik kendali attitude rotor
spacecraft dengan dilakukan pelinearan terhadap sistem
tersebut. Kemudian dilakukan analisa pada metode LQR dan
dibandingkan dengan sistem yang belum terkendali.
Kata Kunci—Matriks Simetri Definit Positif, Metode LQR,
Pelinieran, Riccati Aljabar, Rotor Spacecraft.
K
I. PENDAHULUAN
etepatan posisi dan orientasi satelit, atau pada umumnya
dapat disebut dengan attitude satelit, sangat penting
untuk mendukung tujuan utama satelit, seperti dalam hal
komunikasi antar daerah bahkan antar negara, dalam hal
pengawasan suatu wilayah, pergerakan planet-planet dan
matahari, serta masih banyak tujuan yang lainnya. Pemancaran
dan penerimaan sinyal, pengawasan wilayah tertentu, hingga
penelitianpenelitian angkasa luar, sangat tergantung kepada
ketepatan attitude tersebut. Ketika satelit diluncurkan ke luar
angkasa dengan trayektori orbit tertentu terhadap poros tetap,
kalkulasi dan analisa orbital telah ditetapkan, akan tetapi
gangguan-gangguan yang terjadi di mana-mana yang
disebabkan oleh berbagai hal seperti pergerakan angin,
pengaruh gravitasi bumi, dan pengaruh pergerakan bumi pada
porosnya akan mengganggu lintasan yang telah ditetapkan
tersebut. Dampaknya sangat luas, mulai dari hubungan antara
satelit yang satu dengan satelit yang lain, sehingga satelit
dapat melenceng dari lintasannya. Hal
tersebut dapat menyebabkan satelit hilang ke angkasa luar,
atau pun satelit menabrak bumi, apabila porosnya adalah
bumi.
Permasalahan tersebut telah diteliti sejak peluncuran benda
angkasa buatan pertama. Berbagai metode dan teknik telah
diaplikasikan dalam berbagai kasus tersebut, dengan salah
satsatunya adalah Linear Quadratik Regulator (LQR). [? ]
Metode LQR digunakan karena dapat mengatasi gangguangangguan besar yang terjadi pada kestabilan orbit satelit
dengan tanpa terjadi penurunan performansi kerja satelit.
Selain itu LQR dapat langsung mengatasi gangguan yang telah
terjadi sebelumnya dalam waktu yang lebih singkat, karena
LQR memiliki bagian yang dapat meminimalisir jenis-jenis
gangguan yang telah terjadi pada keadaan stabil.
Permasalahan yang akan dibahas pada tugas akhir ini adalah
mengenai kapabilitas LQR dalam mengatasi gangguan yang
terjadi pada satelit. Tugas akhir ini akan dikhususkan terhadap
rotor spacecraft di sumbu tetap. Rotor sendiri berada di dalam
pesawat angkasa luar atau satelit tersebut yang digunakan
untuk mengendalikan gerakan pesawat agar selalu dalam
posisi yang sesuai dengan tujuan yang diharapkan dan
meminimalisir gangguan tersebut. Proses pengaturan attitude
pada satelit, yang meliputi pengaturan kecepatan orbital guna
menjaga kestabilan satelit pada orbit, dan pengaturan orientasi
satelit guna menjaga kelancaran komunikasi antara satelit
dengan bumi yang akan diteliti pada tugas akhir ini.
Permasalahan dalam tugas akhir ini adalah bagaimana
mendesain pengendali pada kendali attitude rotor spacecraft
yang berada di sumbu tetap. Dalam penelitian tugas akhir
yang diusulkan ini, permasalahan yang akan dibahas akan
dibatasi ruang lingkup pembahasannya antara lain:
a. Pembahasan akan dibatasi dengan gangguan torsi
kecil..
b. Membahas perancangan sistem kendali optimal dengan
menggunakan metode Linear Quadratic Regulator
(LQR) pada rotor di sumbu tetap.
Tujuan dari penulisan tugas akhir ini adalah mendesain
pengendali pada kendali attitude rotor spacecraft yang berada
di sumbu tetap.
Manfaat dari penelitian ini adalah diperoleh suatu informasi
bahwa pengendalian optimal dengan menggunakan metode
LQR yang diperoleh dapat menjadi suatu solusi optimal dalam
menentukan kebijakan untuk mengatasi permasalahan pada
rotor dalam kendali attitude rotor spacecraft yang berada
dalam sumbu tetap.
JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 1, No. 1, (2012) 1-6
II. TINJAUAN PUSTAKA
A. Rotor yang Sumbunya tetap
Dalam tiga rotor, terdapat spinning di setiap sumbu utama
spacecraft (1). Masing-masing momentum sudut relatif ke
spacecraft dalam ( x , y , z ) dengan vektor momentum
h h h
sudut[7]:
2
Persamaan (3) dapat disubstitusikan ke dalam masingmasing sumbu, diperoleh:
Persamaan roll
L=
J x P + ( J z − J y )QR + Q hz − R h y + hx, (4)
.
.
Persamaan pitch:
M =
J y Q+ ( J x − J z ) PR + R hx − P hz + h y, (5)
.
.
Persamaan yaw:
N=
J z R + ( J y − J x) PQ + P h y − Q hx + hz, (6)
.
.
Karena gangguan torsi diasumsikan kecil, maka L, M , dan
N dianggap kecil mendekati nol.
B. Matriks Definit Positif dan Semi Definit Positif
Operasi dalam LQR banyak dilakukan dengan matriks,
khususnya yang berkaitan dengan pengertian matriks definit
positif dan semi definit positif[2].
Suatu matriks A yang berukuran n × n dikatakan definit
positif jika untuk setiap vektor x ≠ 0 dengan n komponen
berlaku
(1)
dengan ( i, j , k ) adalah body frame utama dari spacecraft.
Momentum sudut totalnya:
h = ℑω + h
Jx
= 0
0
0
J
0
y
0 P hx
0 Q + h y ,
J z R hz
(2)
dengan ω = Pi + Qj + Rk adalah kecepatan sudut dari
spacecraft yang relatif ke frame reference inersia dan (
, y , z ) adalah momen inersia dari spacecraft. Jika
x
J J J
terdapat gangguan torsi:
τ = Li + Mj + Nk
(3)
Sehingga dari (1) diperoleh persamaan kinetik rotasi:
.
L
P. P P h x h. x
M = ℑ Q + Q × ℑ Q + h y + h y , (3)
.
N
R R R h z .
hz
.
dengan dot merepresentasikan waktu derivatif dan ×
mereprentasikan cross product.
Ax > 0 . Ciri-ciri dari matriks simetris definit
positif adalah kondisi dimana semua nilai eigen positif dan
det( A) > 0 .
Gambar. 1.. Spacecraft dengan Rotor sumbu tetap yang spinning paralel ke
spacecraft sumbu utama
h = hx i + h y j + hz k
T
x
Dan matriks A berukuran n × n dikatakan semi definit
positif jika jika untuk setiap vektor x ≠ 0 dengan n
komponen berlaku
T
x
Ax ≥ 0 , sehingga det( A) ≥ 0 .
C. Teori Regulator Optimal
Linear Quadratic Control merupakan salah satu metode
dalam perancangn sistem kontrol optimal. Plant diasumsikan
bersifat sistem linier, dalam bentuk persamaan keadaan dan
fungsi obyektif adalah fungsi kuadratik dari keadaan plant dan
sinyal input kendali. Permasalahan dapat dirumuskan dan
dipecahkan menggunakan fungsi alih.
Kelebihan penggunaan formula Linear Quadratic adalah
pada kemudahan analisa dan implementasi dalam minimasi
waktu dan lain sebagainya.
J=
1
T
T
[ x Fx + u Gu ]dt
∫
20
∞
(7)
dengan
F = matriks simetris semi definit positif real ( F ≥ 0
)
G = matriks simetris definit positif real ( G > 0 )
Permasalahannya adalah bagaimana meminimumkan suatu
cost function J. Hal ini dikenal dengan permasalahan optimasi
sistem dengan metode Linear Quadratic Regulator (LQR). Jika
sistem tersebut skalar, maka cost function menjadi persamaan.
J merupakan representasi dari jumlah energi dan
sinyal kendali.
JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 1, No. 1, (2012) 1-6
D. Hubungan Metode LQR dan Persamaan Riccati
Untuk sistem linear, time-invariant, dapat diturunkan
persamaan Riccati untuk mencari solusi optimal dari
persamaan(10) diperoleh:
Dari persamaan (12) diperoleh:
a. Kondisi Optimal:
b.
Persamaan State:
3
Dengan
dengan syarat matriks A dan B, controllable dan observable.
Sehingga blok diagram sistem kendali optimal dengan umpan
balik keadaannya:
Dari gambar blok diagram (2) akan terjadi umpan balik dari
input x(t) menuju ke matriks A dan feedback gain -K dan akan
berhenti ketika sistem telah mencapai titik kesetimbangan
(konvergen ke suatu titik setimbang), seperti dalam hasil
simulasi pada ketika waktu ≥100 s sampai dengan waktu ≥
500 s.
III. METODOLOGI PENELITIAN
c.
Persamaan Costate:
Dengan menggunakan aturan diferensiasi matriks dan
vektor, persamaan (14) dan (15) menjadi:
Metodologi penelitian yang digunakan untuk menyelesaikan
permasalahan dalam tugas akhir ini adalah :
1. Studi literatur dan menelaah model
Studi Literatur mengenai model sistem dinamik kendali
attitude rotor pada Spacecraft dan mengkaji model system
dinamik dari karakteristik rotor yang berada pada sumbu
tetap.
2. Pelinearan
dengan u merupakan vektor kendali optimal.
Sepasang persamaan di_erensial (16) dan (17) di atas
membentuk dua nilai syarat batas, karena kondisi
pencampuran syarat batas tersebut, maka persamaan tersebut
untuk diselesaikan secara numerik. Dengan mensubstitusikan
persamaan kendali optimal ke dalam persamaan state didapat:
H disebut matriks Hamiltonian dan sangat berperan penting
dalam teori LQR. Dengan menggunakan substitusi � = Sx,
kemudian dilakukan diferensiasi pada kedua ruas persamaan
(17) diperoleh:
Persamaan (19) harus dapat memenuhi untuk semua nilai x.
Syarat cukup untuk kendali optimal matriks S harus
memenuhi:
Persamaan diatas dikenal sebagai Persamaan Riccati
(Riccati Equation). Persamaam Riccati merupakan persamaan
di_erensial orde pertama yang bersifat non linear. Formulasi
dan solusi masalah LQR pada waktu berhingga (finite),
dengan nilai umpan balik keadaan.
Gambar. 2.. Sistem kontrol optimal dengan umpan balik keadaan (state
feedback)
Pelinearan sistem dinamik gerak pitch, yaw, dan roll
padakendali attitude rotor spacecraft yang berada pada
sumbu tetap, karena sistem dinamiknya nonlinear.
3. Menerapkan metode LQR ke dalam hasil pelinearan
System Penerapan metode LQR terhadap sistem dinamik
yang telah dilinearkan, sehingga diperoleh penyelesaian
yang optimum dan sesuai dengan tujuan yang diinginkan.
4. Menyelesaikan persamaan Riccati
Penyelesaian metode LQR sesuai dengan yang
diharapkandengan menyelesaikan persamaan Riccati
terlebih dahulu untuk mendapatkan parameter F dan G yang
sesuai.
5. Simulasi sistem dinamik menggunakan GUI (Graphical
User Interface) Matlab R2009a
Simulasi menggunakan GUI (Graphical User Interface)
Matlab R2009a yang menggambarkan grafik kestabilan dari
sistem.
6. Membuat laporan tugas akhir
Penarikan kesimpulan diperoleh berdasarkan hasil
pengendalian sistem secara analitik dan dari hasil simulasi
menggunakan GUI (Graphical User Interface) Matlab
JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 1, No. 1, (2012) 1-6
4
R2009a mengenai metode LQR terhadap sistem dinamik
yang diberikan.
IV. ANALISIS DAN PEMBAHASAN
Pada bab ini dijelaskan mengenai analisis permasalahan
beserta pembahasannya dalam menyelesaikan tugas akhir ini.
Dalam bab ini dibahas mengenai langkah-langkah untuk
menentukan kestabilan dan keterkontrolan dari sistem. Untuk
sistem tak linear dengan L; M; dan N dianggap kecil
mendekati nol, sehingga dalam persamaan (6), (7), dan (8)
diperoleh:
a. persamaan roll:
b.
persamaan pitch:
c.
persamaan yaw:
dengan
Sistem dinamik dari persamaan (24), (25) da n (26)
nonlinear, maka perlu dilakukan pelinearan di sekitar titik
setimbang. Sistem titik tetap/setimbang ketika:
Diperoleh titik setimbang ketika Jx; Jy; Jz , 0 dan
Dengan menggunakan deret Taylor untuk persamaan (24),
(25), dan (26) diperoleh:
dengan
adalah vektor kendali torsi dari
masing-masing rotor. Dari persamaan (29) untuk turunan
kedua, ketiga, dan seterusnya kecil mendekati nol, maka
diperoleh matriks Jacobian
Dengan dianalisa kestabilan menggunakan nilai eigen, maka
diperoleh persamaan karakterisrtik dari nilai eigen yang
kemudian dianalisa menggunakan metode Routh Hurwitz,
sehingga diperoleh sistem yang tidak stabil. Kemudian
dianalisa keterkontrolan dari sistem dinamik tersebut dan
diperoleh system terkontrol sehingga sistem dapat distabilkan.
A. Penerapan Metode LQR
Dari penentuan kestabilan sistem, ternyata diperoleh sistem
dinamik terkontrol, sehingga dapat distabilkan, maka langkah
selanjutnya akan diterapkan metode LQR sebagai pengendali
dari sistem agar meminimalisasi gangguan dan membuat
sistem menjadi stabil asimtotik dan konvergen menuju suatu
titik setimbangnya.
Hasil pelinieran dalam persamaan 4.8 yang system
dinamiknya:
Dengan metode LQR maka terlebih dahulu dicari matriks F
dan G yang semi definit positif dan definit positif dengan
syarat perlu dan cukup. Karena A matriks berukuran 3x3
sehingga matriks F dan G berukuran sama. Kemudian
JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 1, No. 1, (2012) 1-6
5
yang stabil asimtotik dan konvergen menuju suatu titik setimbangnya.
Untuk simulasi dengan pengontrol dalam 2 sumbu, terutama
dalam sumbu x da n y pada Gambar 4.3, semula terdapat
Gambar. 4. Dengan Pengontrol di sumbu x, y, dan z
diperoleh nilai S dan K sehingga diperoleh pengendali u yang
sesuai. Kemudian masuk dalam state space.
B. Interpretasi Hasil Simulasi
Ketika dianalisa menggunakan GUI (Graphical User
Interface) Matlab R2009a dengan menggunakan 10 k ali
simulasi di tiap-tiap kondisi, diperoleh hasil bahwa sistem
dinamik yang belum dikontrol selalu menunjuk ke arah sumbu
yang negatif, meski stabil pergerakannya, tetapi ada range
yang menyebabkan kecepatan sudutnya berubah ke sumbu
negatif, sehingga range tersebut yang menyebabkan tidak
stabilnya pergerakan sistem. Sedangkan di sumbu yang lain,
bisa dilihat pergerakan awal yang tidak stabil, kemudian
dikontrol yang akhirnya stabil menuju ke suatu titik. Salah
satu hasil simulasi LQR pada rotor dengan momen inersia di
masing-masing sudut diberikan nilai awal yaitu 50 kg:m2,
dan momentum sudut di masing-masing sudut diberikan nilai
awal 100 kg: m2:rad= s dengan nilai matriks sehingga untuk
simulasi yang belum dikontrol adalah sebagai berikut:
Gambar. 2. Dengan Pengontrol di sumbu x
gangguan dari "From: In(1)" dan "From: In(2)" yang
kemudian distabilkan menggunakan LQR. Terlihat dalam
gambar tersebut sistem yang stabil asimtotik dan konvergen
menuju suatu titik setimbangnya.
Untuk simulasi dengan pengontrol di ketiga sumbu, yaitu
dalam sumbu x; y dan z yang terlihat dalam Gambar 4.4,
Untuk simulasi tanpa pengontrol dalam Gambar 4.1 terlihat
sistem yang stabil dan terjadi osilasi ketika berada dalam
rentang > 40s menuju tak hingga.
Untuk simulasi dengan pengontrol di sumbu masingmasing, terutama dalam sumbu x pada Gambar 4.2, semula
terdapat gangguan yang besar dan kemudian distabilkan
menggunakan LQR. Terlihat dalam gambar tersebut system
Gambar. 3. Dengan Pengontrol di sumbu x dan y
semula terdapat gangguan dari "From: In(1)", "From: In(2)"
dan "From: In(3)" yang kemudian distabilkan menggunakan
LQR. Terlihat dari gambar tersebut sistem yang stabil
asimtotik dan konvergen menuju suatu titik setimbangnya.
V. KESIMPULAN/RINGKASAN
Gambar. 1. Simulasi Tanpa Pengontrol
Kesimpulan dari hasil analisa simulasi LQR pada rotor
spacecraft di sumbu tetap:
1)
Sistem dinamik yang belum dikendalikan menyebabkan
sistem yang tidak stabil, karena ada nilai eigen bagian
realnya yang bernilai positif, sedangkan dari hasil
simulasi diperoleh sistem yang stabil dan berosilasi
menuju tak hingga ketika waktunya > 40s.
2)
Sistem dinamik yang telah dikendalikan menggunakan
JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 1, No. 1, (2012) 1-6
3)
1)
2)
3)
LQR menunjukkan sistem yang stabil asimtotik dan
konvergen menuju suatu titik setimbangnya.
Metode LQR dapat mempercepat kestabilan suatu
sistem dinamik dan meminimalisir gangguan yang terjadi.
Untuk pengembangan penelitian lebih lanjut disarankan:
Dikembangkan lagi metode LQR pada kendali attitude
rotor spacecraft pada sudut-sudut tertentu.
Dibandingkan antar metode LQR yang digunakan
dengan menggunakan metode yang lain.
Dianalisa pengaruh kestabilan sistem terhadap
pemberian nilai pada matriks F dan G yang berbeda-
beda secara lebih mendetail.
UCAPAN TERIMA KASIH
Penulis “Tony Yulianto” mengucapkan terima kasih kepada
Bapak Kamiran dan Ibu Erna Apriliani selaku dosen
pembimbing serta Ibu Laksmi Prita selaku dosen wali. Tak
lupa Penulis mengucapkan terima kasih banyak kepada dosendosen dan seluruh keluarga besar jurusan Matematika Institut
Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya sehingga dapat
menyelesaikan Tugas Akhir ini dengan baik.
DAFTAR PUSTAKA
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
[9]
Q. Alfayuritresna, Perancangan dan Simulasi Sliding Mode Control
Pada Satelit Orbit Rendah. Jurusan Teknik Elektro FTI ITS Surabaya
(2009) .
I. Anggraeni, Pengendalian Optimal Pada Sistem Steam Drum Boiler
Menggunakan Metode Linear Quadratic Regulator (LQR). Matematika
dan Komputer (2010).
N. Anggraini, Desain Kontroller Menguunakan Metode Linear
Quadratic Regulator (LQR) Untuk Pengontrolan Suhu Uap Pada Solar
Boiler Once Trough Mode. Jurusan Teknik Elektro FT Universitas
Brawijaya, Malang (2005) .
U. Badri, A. Indra Gunawan, Kemalasari, dan Alrijadjis, Kontrol
Optimal Pada Motor DC Menggunakan Metode Linear Quadratic
Regulator (LQR). Jurusan Teknik Elektro PENS ITS Surabaya (2008).
N. Finizio dan G. Landas, Ordinary Differential Equation With Modern
Application. Applied Mathematical Sciences. Wadsworth Publishing
Company, California (1998).
J. D. Ojong, LQR (Linear Quadratic Regulator). Available: http://
akirajunto.wordpress.com/2010//07/28/lqr-linear-quadratic-regulator /
(2012).
A. Tewari, Automatic Control of Atmospheric and Space flight Vehicle.
New York: The Math Work, Inc. (2010).
P.H. Utomo, Pengendalian Sistem Pendulum Terbalik Dengan Umpan
Balik State dan Output. Matematika FMIPA IPB Bogor (2009).
. Matematika dan
Widowati, Eksistensi Pengendali Suboptimal
H
ℵ
Komputer, Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Semarang (2002) 5(2),
97-106.
6
1
Aplikasi Metode LQR Pada Kendali Attitude Rotor
Spacecraft Yang Berada di Sumbu Tetap
Penulis Tony Yulianto, Erna Apriliani1), Kamiran2)
Jurusan Matematika, Fakultas MIPA, Institut Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya
Jl. Arief Rachman Hakim, Surabaya 60111
Email:april@matematika.its.ac.id, kamiran@matematika.its.ac.id
Abstrak—Ketepatan posisi dan orientasi satelit, atau pada
umumnya dapat disebut dengan attitude satelit, sangat penting
untuk mendukung tujuan utama satelit. Ketika satelit
diluncurkan ke luar angkasa dengan trayektori orbit tertentu
terhadap poros tetap, kalkulasi dan analisa orbital telah
ditetapkan, akan tetapi gangguan-gangguan yang terjadi di
mana-mana yang disebabkan oleh berbagai hal, seperti
pergerakan angin, pengaruh gravitasi bumi, dan pengaruh
pergerakan bumi pada porosnya akan mengganggu lintasan yang
telah ditetapkan tersebut. Metode LQR digunakan karena dapat
mengatasi gangguan-gangguan besar yang terjadi pada
kestabilan orbit satelit dengan tanpa terjadi penurunan
performansi kerja satelit. Selain itu LQR dapat langsung
mengatasi gangguan yang telah terjadi sebelumnya dalam waktu
yang lebih singkat, karena LQR memiliki bagian yang dapat
memimimalisir jenis-jenis gangguan yang telah terjadi.
Pada tugas akhir ini dilakukan analisa kestabilan terhadap
sistem dinamik dari kendali attitude pada rotor pesawat angkasa
luar di sumbu tetap. Rotor sendiri berada di dalam pesawat
angkasa luar atau satelit tersebut yang digunakan untuk
mengendalikan gerakan pesawat agar selalu dalam posisi yang
sesuai dengan tujuan yang diharapkan dan meminimalisir
gangguan tersebut. Pada sistem dinamik kendali attitude rotor
spacecraft dengan dilakukan pelinearan terhadap sistem
tersebut. Kemudian dilakukan analisa pada metode LQR dan
dibandingkan dengan sistem yang belum terkendali.
Kata Kunci—Matriks Simetri Definit Positif, Metode LQR,
Pelinieran, Riccati Aljabar, Rotor Spacecraft.
K
I. PENDAHULUAN
etepatan posisi dan orientasi satelit, atau pada umumnya
dapat disebut dengan attitude satelit, sangat penting
untuk mendukung tujuan utama satelit, seperti dalam hal
komunikasi antar daerah bahkan antar negara, dalam hal
pengawasan suatu wilayah, pergerakan planet-planet dan
matahari, serta masih banyak tujuan yang lainnya. Pemancaran
dan penerimaan sinyal, pengawasan wilayah tertentu, hingga
penelitianpenelitian angkasa luar, sangat tergantung kepada
ketepatan attitude tersebut. Ketika satelit diluncurkan ke luar
angkasa dengan trayektori orbit tertentu terhadap poros tetap,
kalkulasi dan analisa orbital telah ditetapkan, akan tetapi
gangguan-gangguan yang terjadi di mana-mana yang
disebabkan oleh berbagai hal seperti pergerakan angin,
pengaruh gravitasi bumi, dan pengaruh pergerakan bumi pada
porosnya akan mengganggu lintasan yang telah ditetapkan
tersebut. Dampaknya sangat luas, mulai dari hubungan antara
satelit yang satu dengan satelit yang lain, sehingga satelit
dapat melenceng dari lintasannya. Hal
tersebut dapat menyebabkan satelit hilang ke angkasa luar,
atau pun satelit menabrak bumi, apabila porosnya adalah
bumi.
Permasalahan tersebut telah diteliti sejak peluncuran benda
angkasa buatan pertama. Berbagai metode dan teknik telah
diaplikasikan dalam berbagai kasus tersebut, dengan salah
satsatunya adalah Linear Quadratik Regulator (LQR). [? ]
Metode LQR digunakan karena dapat mengatasi gangguangangguan besar yang terjadi pada kestabilan orbit satelit
dengan tanpa terjadi penurunan performansi kerja satelit.
Selain itu LQR dapat langsung mengatasi gangguan yang telah
terjadi sebelumnya dalam waktu yang lebih singkat, karena
LQR memiliki bagian yang dapat meminimalisir jenis-jenis
gangguan yang telah terjadi pada keadaan stabil.
Permasalahan yang akan dibahas pada tugas akhir ini adalah
mengenai kapabilitas LQR dalam mengatasi gangguan yang
terjadi pada satelit. Tugas akhir ini akan dikhususkan terhadap
rotor spacecraft di sumbu tetap. Rotor sendiri berada di dalam
pesawat angkasa luar atau satelit tersebut yang digunakan
untuk mengendalikan gerakan pesawat agar selalu dalam
posisi yang sesuai dengan tujuan yang diharapkan dan
meminimalisir gangguan tersebut. Proses pengaturan attitude
pada satelit, yang meliputi pengaturan kecepatan orbital guna
menjaga kestabilan satelit pada orbit, dan pengaturan orientasi
satelit guna menjaga kelancaran komunikasi antara satelit
dengan bumi yang akan diteliti pada tugas akhir ini.
Permasalahan dalam tugas akhir ini adalah bagaimana
mendesain pengendali pada kendali attitude rotor spacecraft
yang berada di sumbu tetap. Dalam penelitian tugas akhir
yang diusulkan ini, permasalahan yang akan dibahas akan
dibatasi ruang lingkup pembahasannya antara lain:
a. Pembahasan akan dibatasi dengan gangguan torsi
kecil..
b. Membahas perancangan sistem kendali optimal dengan
menggunakan metode Linear Quadratic Regulator
(LQR) pada rotor di sumbu tetap.
Tujuan dari penulisan tugas akhir ini adalah mendesain
pengendali pada kendali attitude rotor spacecraft yang berada
di sumbu tetap.
Manfaat dari penelitian ini adalah diperoleh suatu informasi
bahwa pengendalian optimal dengan menggunakan metode
LQR yang diperoleh dapat menjadi suatu solusi optimal dalam
menentukan kebijakan untuk mengatasi permasalahan pada
rotor dalam kendali attitude rotor spacecraft yang berada
dalam sumbu tetap.
JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 1, No. 1, (2012) 1-6
II. TINJAUAN PUSTAKA
A. Rotor yang Sumbunya tetap
Dalam tiga rotor, terdapat spinning di setiap sumbu utama
spacecraft (1). Masing-masing momentum sudut relatif ke
spacecraft dalam ( x , y , z ) dengan vektor momentum
h h h
sudut[7]:
2
Persamaan (3) dapat disubstitusikan ke dalam masingmasing sumbu, diperoleh:
Persamaan roll
L=
J x P + ( J z − J y )QR + Q hz − R h y + hx, (4)
.
.
Persamaan pitch:
M =
J y Q+ ( J x − J z ) PR + R hx − P hz + h y, (5)
.
.
Persamaan yaw:
N=
J z R + ( J y − J x) PQ + P h y − Q hx + hz, (6)
.
.
Karena gangguan torsi diasumsikan kecil, maka L, M , dan
N dianggap kecil mendekati nol.
B. Matriks Definit Positif dan Semi Definit Positif
Operasi dalam LQR banyak dilakukan dengan matriks,
khususnya yang berkaitan dengan pengertian matriks definit
positif dan semi definit positif[2].
Suatu matriks A yang berukuran n × n dikatakan definit
positif jika untuk setiap vektor x ≠ 0 dengan n komponen
berlaku
(1)
dengan ( i, j , k ) adalah body frame utama dari spacecraft.
Momentum sudut totalnya:
h = ℑω + h
Jx
= 0
0
0
J
0
y
0 P hx
0 Q + h y ,
J z R hz
(2)
dengan ω = Pi + Qj + Rk adalah kecepatan sudut dari
spacecraft yang relatif ke frame reference inersia dan (
, y , z ) adalah momen inersia dari spacecraft. Jika
x
J J J
terdapat gangguan torsi:
τ = Li + Mj + Nk
(3)
Sehingga dari (1) diperoleh persamaan kinetik rotasi:
.
L
P. P P h x h. x
M = ℑ Q + Q × ℑ Q + h y + h y , (3)
.
N
R R R h z .
hz
.
dengan dot merepresentasikan waktu derivatif dan ×
mereprentasikan cross product.
Ax > 0 . Ciri-ciri dari matriks simetris definit
positif adalah kondisi dimana semua nilai eigen positif dan
det( A) > 0 .
Gambar. 1.. Spacecraft dengan Rotor sumbu tetap yang spinning paralel ke
spacecraft sumbu utama
h = hx i + h y j + hz k
T
x
Dan matriks A berukuran n × n dikatakan semi definit
positif jika jika untuk setiap vektor x ≠ 0 dengan n
komponen berlaku
T
x
Ax ≥ 0 , sehingga det( A) ≥ 0 .
C. Teori Regulator Optimal
Linear Quadratic Control merupakan salah satu metode
dalam perancangn sistem kontrol optimal. Plant diasumsikan
bersifat sistem linier, dalam bentuk persamaan keadaan dan
fungsi obyektif adalah fungsi kuadratik dari keadaan plant dan
sinyal input kendali. Permasalahan dapat dirumuskan dan
dipecahkan menggunakan fungsi alih.
Kelebihan penggunaan formula Linear Quadratic adalah
pada kemudahan analisa dan implementasi dalam minimasi
waktu dan lain sebagainya.
J=
1
T
T
[ x Fx + u Gu ]dt
∫
20
∞
(7)
dengan
F = matriks simetris semi definit positif real ( F ≥ 0
)
G = matriks simetris definit positif real ( G > 0 )
Permasalahannya adalah bagaimana meminimumkan suatu
cost function J. Hal ini dikenal dengan permasalahan optimasi
sistem dengan metode Linear Quadratic Regulator (LQR). Jika
sistem tersebut skalar, maka cost function menjadi persamaan.
J merupakan representasi dari jumlah energi dan
sinyal kendali.
JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 1, No. 1, (2012) 1-6
D. Hubungan Metode LQR dan Persamaan Riccati
Untuk sistem linear, time-invariant, dapat diturunkan
persamaan Riccati untuk mencari solusi optimal dari
persamaan(10) diperoleh:
Dari persamaan (12) diperoleh:
a. Kondisi Optimal:
b.
Persamaan State:
3
Dengan
dengan syarat matriks A dan B, controllable dan observable.
Sehingga blok diagram sistem kendali optimal dengan umpan
balik keadaannya:
Dari gambar blok diagram (2) akan terjadi umpan balik dari
input x(t) menuju ke matriks A dan feedback gain -K dan akan
berhenti ketika sistem telah mencapai titik kesetimbangan
(konvergen ke suatu titik setimbang), seperti dalam hasil
simulasi pada ketika waktu ≥100 s sampai dengan waktu ≥
500 s.
III. METODOLOGI PENELITIAN
c.
Persamaan Costate:
Dengan menggunakan aturan diferensiasi matriks dan
vektor, persamaan (14) dan (15) menjadi:
Metodologi penelitian yang digunakan untuk menyelesaikan
permasalahan dalam tugas akhir ini adalah :
1. Studi literatur dan menelaah model
Studi Literatur mengenai model sistem dinamik kendali
attitude rotor pada Spacecraft dan mengkaji model system
dinamik dari karakteristik rotor yang berada pada sumbu
tetap.
2. Pelinearan
dengan u merupakan vektor kendali optimal.
Sepasang persamaan di_erensial (16) dan (17) di atas
membentuk dua nilai syarat batas, karena kondisi
pencampuran syarat batas tersebut, maka persamaan tersebut
untuk diselesaikan secara numerik. Dengan mensubstitusikan
persamaan kendali optimal ke dalam persamaan state didapat:
H disebut matriks Hamiltonian dan sangat berperan penting
dalam teori LQR. Dengan menggunakan substitusi � = Sx,
kemudian dilakukan diferensiasi pada kedua ruas persamaan
(17) diperoleh:
Persamaan (19) harus dapat memenuhi untuk semua nilai x.
Syarat cukup untuk kendali optimal matriks S harus
memenuhi:
Persamaan diatas dikenal sebagai Persamaan Riccati
(Riccati Equation). Persamaam Riccati merupakan persamaan
di_erensial orde pertama yang bersifat non linear. Formulasi
dan solusi masalah LQR pada waktu berhingga (finite),
dengan nilai umpan balik keadaan.
Gambar. 2.. Sistem kontrol optimal dengan umpan balik keadaan (state
feedback)
Pelinearan sistem dinamik gerak pitch, yaw, dan roll
padakendali attitude rotor spacecraft yang berada pada
sumbu tetap, karena sistem dinamiknya nonlinear.
3. Menerapkan metode LQR ke dalam hasil pelinearan
System Penerapan metode LQR terhadap sistem dinamik
yang telah dilinearkan, sehingga diperoleh penyelesaian
yang optimum dan sesuai dengan tujuan yang diinginkan.
4. Menyelesaikan persamaan Riccati
Penyelesaian metode LQR sesuai dengan yang
diharapkandengan menyelesaikan persamaan Riccati
terlebih dahulu untuk mendapatkan parameter F dan G yang
sesuai.
5. Simulasi sistem dinamik menggunakan GUI (Graphical
User Interface) Matlab R2009a
Simulasi menggunakan GUI (Graphical User Interface)
Matlab R2009a yang menggambarkan grafik kestabilan dari
sistem.
6. Membuat laporan tugas akhir
Penarikan kesimpulan diperoleh berdasarkan hasil
pengendalian sistem secara analitik dan dari hasil simulasi
menggunakan GUI (Graphical User Interface) Matlab
JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 1, No. 1, (2012) 1-6
4
R2009a mengenai metode LQR terhadap sistem dinamik
yang diberikan.
IV. ANALISIS DAN PEMBAHASAN
Pada bab ini dijelaskan mengenai analisis permasalahan
beserta pembahasannya dalam menyelesaikan tugas akhir ini.
Dalam bab ini dibahas mengenai langkah-langkah untuk
menentukan kestabilan dan keterkontrolan dari sistem. Untuk
sistem tak linear dengan L; M; dan N dianggap kecil
mendekati nol, sehingga dalam persamaan (6), (7), dan (8)
diperoleh:
a. persamaan roll:
b.
persamaan pitch:
c.
persamaan yaw:
dengan
Sistem dinamik dari persamaan (24), (25) da n (26)
nonlinear, maka perlu dilakukan pelinearan di sekitar titik
setimbang. Sistem titik tetap/setimbang ketika:
Diperoleh titik setimbang ketika Jx; Jy; Jz , 0 dan
Dengan menggunakan deret Taylor untuk persamaan (24),
(25), dan (26) diperoleh:
dengan
adalah vektor kendali torsi dari
masing-masing rotor. Dari persamaan (29) untuk turunan
kedua, ketiga, dan seterusnya kecil mendekati nol, maka
diperoleh matriks Jacobian
Dengan dianalisa kestabilan menggunakan nilai eigen, maka
diperoleh persamaan karakterisrtik dari nilai eigen yang
kemudian dianalisa menggunakan metode Routh Hurwitz,
sehingga diperoleh sistem yang tidak stabil. Kemudian
dianalisa keterkontrolan dari sistem dinamik tersebut dan
diperoleh system terkontrol sehingga sistem dapat distabilkan.
A. Penerapan Metode LQR
Dari penentuan kestabilan sistem, ternyata diperoleh sistem
dinamik terkontrol, sehingga dapat distabilkan, maka langkah
selanjutnya akan diterapkan metode LQR sebagai pengendali
dari sistem agar meminimalisasi gangguan dan membuat
sistem menjadi stabil asimtotik dan konvergen menuju suatu
titik setimbangnya.
Hasil pelinieran dalam persamaan 4.8 yang system
dinamiknya:
Dengan metode LQR maka terlebih dahulu dicari matriks F
dan G yang semi definit positif dan definit positif dengan
syarat perlu dan cukup. Karena A matriks berukuran 3x3
sehingga matriks F dan G berukuran sama. Kemudian
JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 1, No. 1, (2012) 1-6
5
yang stabil asimtotik dan konvergen menuju suatu titik setimbangnya.
Untuk simulasi dengan pengontrol dalam 2 sumbu, terutama
dalam sumbu x da n y pada Gambar 4.3, semula terdapat
Gambar. 4. Dengan Pengontrol di sumbu x, y, dan z
diperoleh nilai S dan K sehingga diperoleh pengendali u yang
sesuai. Kemudian masuk dalam state space.
B. Interpretasi Hasil Simulasi
Ketika dianalisa menggunakan GUI (Graphical User
Interface) Matlab R2009a dengan menggunakan 10 k ali
simulasi di tiap-tiap kondisi, diperoleh hasil bahwa sistem
dinamik yang belum dikontrol selalu menunjuk ke arah sumbu
yang negatif, meski stabil pergerakannya, tetapi ada range
yang menyebabkan kecepatan sudutnya berubah ke sumbu
negatif, sehingga range tersebut yang menyebabkan tidak
stabilnya pergerakan sistem. Sedangkan di sumbu yang lain,
bisa dilihat pergerakan awal yang tidak stabil, kemudian
dikontrol yang akhirnya stabil menuju ke suatu titik. Salah
satu hasil simulasi LQR pada rotor dengan momen inersia di
masing-masing sudut diberikan nilai awal yaitu 50 kg:m2,
dan momentum sudut di masing-masing sudut diberikan nilai
awal 100 kg: m2:rad= s dengan nilai matriks sehingga untuk
simulasi yang belum dikontrol adalah sebagai berikut:
Gambar. 2. Dengan Pengontrol di sumbu x
gangguan dari "From: In(1)" dan "From: In(2)" yang
kemudian distabilkan menggunakan LQR. Terlihat dalam
gambar tersebut sistem yang stabil asimtotik dan konvergen
menuju suatu titik setimbangnya.
Untuk simulasi dengan pengontrol di ketiga sumbu, yaitu
dalam sumbu x; y dan z yang terlihat dalam Gambar 4.4,
Untuk simulasi tanpa pengontrol dalam Gambar 4.1 terlihat
sistem yang stabil dan terjadi osilasi ketika berada dalam
rentang > 40s menuju tak hingga.
Untuk simulasi dengan pengontrol di sumbu masingmasing, terutama dalam sumbu x pada Gambar 4.2, semula
terdapat gangguan yang besar dan kemudian distabilkan
menggunakan LQR. Terlihat dalam gambar tersebut system
Gambar. 3. Dengan Pengontrol di sumbu x dan y
semula terdapat gangguan dari "From: In(1)", "From: In(2)"
dan "From: In(3)" yang kemudian distabilkan menggunakan
LQR. Terlihat dari gambar tersebut sistem yang stabil
asimtotik dan konvergen menuju suatu titik setimbangnya.
V. KESIMPULAN/RINGKASAN
Gambar. 1. Simulasi Tanpa Pengontrol
Kesimpulan dari hasil analisa simulasi LQR pada rotor
spacecraft di sumbu tetap:
1)
Sistem dinamik yang belum dikendalikan menyebabkan
sistem yang tidak stabil, karena ada nilai eigen bagian
realnya yang bernilai positif, sedangkan dari hasil
simulasi diperoleh sistem yang stabil dan berosilasi
menuju tak hingga ketika waktunya > 40s.
2)
Sistem dinamik yang telah dikendalikan menggunakan
JURNAL SAINS DAN SENI POMITS Vol. 1, No. 1, (2012) 1-6
3)
1)
2)
3)
LQR menunjukkan sistem yang stabil asimtotik dan
konvergen menuju suatu titik setimbangnya.
Metode LQR dapat mempercepat kestabilan suatu
sistem dinamik dan meminimalisir gangguan yang terjadi.
Untuk pengembangan penelitian lebih lanjut disarankan:
Dikembangkan lagi metode LQR pada kendali attitude
rotor spacecraft pada sudut-sudut tertentu.
Dibandingkan antar metode LQR yang digunakan
dengan menggunakan metode yang lain.
Dianalisa pengaruh kestabilan sistem terhadap
pemberian nilai pada matriks F dan G yang berbeda-
beda secara lebih mendetail.
UCAPAN TERIMA KASIH
Penulis “Tony Yulianto” mengucapkan terima kasih kepada
Bapak Kamiran dan Ibu Erna Apriliani selaku dosen
pembimbing serta Ibu Laksmi Prita selaku dosen wali. Tak
lupa Penulis mengucapkan terima kasih banyak kepada dosendosen dan seluruh keluarga besar jurusan Matematika Institut
Teknologi Sepuluh Nopember Surabaya sehingga dapat
menyelesaikan Tugas Akhir ini dengan baik.
DAFTAR PUSTAKA
[1]
[2]
[3]
[4]
[5]
[6]
[7]
[8]
[9]
Q. Alfayuritresna, Perancangan dan Simulasi Sliding Mode Control
Pada Satelit Orbit Rendah. Jurusan Teknik Elektro FTI ITS Surabaya
(2009) .
I. Anggraeni, Pengendalian Optimal Pada Sistem Steam Drum Boiler
Menggunakan Metode Linear Quadratic Regulator (LQR). Matematika
dan Komputer (2010).
N. Anggraini, Desain Kontroller Menguunakan Metode Linear
Quadratic Regulator (LQR) Untuk Pengontrolan Suhu Uap Pada Solar
Boiler Once Trough Mode. Jurusan Teknik Elektro FT Universitas
Brawijaya, Malang (2005) .
U. Badri, A. Indra Gunawan, Kemalasari, dan Alrijadjis, Kontrol
Optimal Pada Motor DC Menggunakan Metode Linear Quadratic
Regulator (LQR). Jurusan Teknik Elektro PENS ITS Surabaya (2008).
N. Finizio dan G. Landas, Ordinary Differential Equation With Modern
Application. Applied Mathematical Sciences. Wadsworth Publishing
Company, California (1998).
J. D. Ojong, LQR (Linear Quadratic Regulator). Available: http://
akirajunto.wordpress.com/2010//07/28/lqr-linear-quadratic-regulator /
(2012).
A. Tewari, Automatic Control of Atmospheric and Space flight Vehicle.
New York: The Math Work, Inc. (2010).
P.H. Utomo, Pengendalian Sistem Pendulum Terbalik Dengan Umpan
Balik State dan Output. Matematika FMIPA IPB Bogor (2009).
. Matematika dan
Widowati, Eksistensi Pengendali Suboptimal
H
ℵ
Komputer, Jurusan Matematika FMIPA UNDIP Semarang (2002) 5(2),
97-106.
6