Penyelesaian sistem persamaan diferensial linear dengan tranformasi laplace - USD Repository

PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR DENGAN TRANSFORMASI LAPLACE SKRIPSI

  Diajukan untuk memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana Sains

  Program Studi Matematika Disusun Oleh:

  Hilaria Heparantiza NIM: 083114002

PROGRAM STUDI MATEMATIKA JURUSAN MATEMATIKA FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA

  

THE SOLUTION OF LINEAR DIFFERENTIAL EQUATION SYSTEM

USING LAPLACE TRANSFORMATION

THESIS

  Presented as Partial Fulfillment of the Requirements To Obtain the SARJANA SAINS Degree

  In Mathematics By:

  Hilaria Heparantiza Student Number: 083114002

  

MATHEMATICS STUDY PROGRAM MATHEMATICS DEPARTMENT

SCIENCE AND TECHNOLOGY FACULTY

SANATA DHARMA UNIVERSITY

YOGYAKARTA

  Kupersembahkan skripsi ini kepada: Tuhan Yesus Kristus Bapak dan Mama Tercinta atas Cinta, Kasih Sayang, Doa Serta Dukungan secara Moril dan Materiil Kakakku Angela Hadryana Adikku Yeserika Lindani Serta Segenap Keluarga …………………………………………………………………………………………………………………………………………………....

  Satu-satunya cara untuk melakukan pekerjaan besar adalah dengan mencintai apa yang Anda lakukan, walaupun sebenarnya anda membencinya.

  Hidup ini seperti piano. Berwarna putih dan hitam. Namun, ketika Tuhan yang memainkannya, semuanya menjadi indah.

  Sungguh, Allah itu keselamatanku; aku percaya dengan tidak gemetar, Sebab TUHAN ALLAH itu kekuatanku dan mazmurku,

  Ia telah menjadi keselamatanku Yes (12:2)

…………………………………………………………………………………………………………………………………………………….

  

ABSTRAK

  Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat derivatif atau dife- rensial dari satu atau lebih fungsi. Dalam menyelesaikan persamaan diferensial biasanya terdapat syarat bantu yang disebut syarat awal. Persamaan diferensial dengan syarat awalnya disebut masalah nilai awal. Salah satu metode yang dapat digunakan untuk menyelesaikan masalah nilai awal adalah metode transformasi Laplace. Transformasi Laplace juga dapat digunakan digunakan untuk mencari penyelesaian dari suatu sistem persamaan diferensial dengan koefisien konstan. Metode penyelesaian dengan menggunakan transformasi Laplace adalah dengan mengubah persamaan diferensial dengan parameter t ke dalam persamaan aljabar dengan parameter s. Kemudian sistem tersebut diselesaikan dengan menggunakan eliminasi gauss dan menggunakan invers transformasi Laplace untuk menda- patkan penyelesaian khusus dari sistem persamaan diferensial tersebut.

  Kata Kunci: Persamaan diferensial, masalah nilai awal, transformasi Laplace, in- vers transformasi Laplace

  

ABSTRACT

  The differential equation is an equation that contains the derivative or differential of one or more functions. In solving differential equation, usually there is an aux- iliary condition, called initial conditions. Differential equations with initial conditions are called initial value problem. One of the method that can be used to solve initial value problem in differential equation is Laplace transform method. Laplace transformation also can be used for solving systems of differential equations with constant coefficients. Using this method, the differential equations of the parameter t is change into algebraic equation of the parameter s. Then, the system is solved using Gauss elimination and inverse Laplace transform to obtain a special solution of the system of differential equations.

  Keyword: differential equation, initial value problem, Laplace transform, inverse Laplace transform.

KATA PENGANTAR

  Puji dan syukur penulis panjatkan kepada Tuhan Yesus Kristus, Sang Pe- nerang dan Juru Selamat, yang senantiasa mencurahkan kasih dan karunia-Nya kepada penulis sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi ini dengan baik.

  Selama penulisan skripsi ini penulis membutuhkan pertolongan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, dengan segala kerendahan hati penulis ingin menyampai- kan ucapan terima kasih kepada: 1.

  Lusia Krismiyati Budiasih, S.Si., M.Si., selaku dosen pembimbing dan selaku Kaprodi Matematika FST-USD yang dengan rendah hati dan dengan penuh kesabaran membimbing penulis selama penyusunan skripsi.

  2. P. H. Prima Rosa, S.Si., M.Sc., selaku Dekan Fakultas Sains dan Teknologi.

  3. M.V. Any Herawati, S.Si., M.Si., selaku dosen penguji dan dosen pembimbing akademik.

  4. Dr. Marcellinus Andy Rudhito, S.Pd., M.Si., selaku dosen penguji.

  5. C.H. Eny Murwaningtyas, S.Si., M.Si., yang pernah menjadi dosen pembimbing akademik bagi penulis.

  6. Bapak dan Ibu dosen Program Studi Matematika FST-USD yang telah memberikan bekal ilmu yang sangat berguna bagi penulis.

  7. Karyawan sekretariat FST-USD khususnya kepada Bapak Tukija dan Ibu Linda, serta karyawan perpustakaan USD dan Mas Susilo selaku laboran atas pelayanan yang baik selama penulis kuliah.

  8. Kedua orang tuaku, Bapak Herman dan Mama Yulianti serta kakakku Angela Hadryana dan adikku Yeserika Lindani yang senantiasa memberikan dukungan, kasih sayang, dan doa bagi penulis.

  9. Dennis Tri Hassapta atas kasih sayang, perhatian dan dukungan yang selalu diberikan kepada penulis.

  10. Teman-teman Matematika angkatan 2008: Yudit, Nopi, Amel, Marcel, Feny, Etus, Moyo, Widi, serta kakak dan adik angkatan.

  11. Teman-teman kos Aulia: Yudit, Nopi, Ao, Sende, Elvira, Wiwik, dan Tesa.

  12. Sahabat seperjuangan: Yudit, Nopi, Amel, Pipot dan Marcel.

  13. Teman-teman kos Nuvi: Kak Thea, Pipot dan Lita.

  14. Teman-teman KKN XLII kelompok 35 Banaran atas semua pengalaman yang sudah dilalui bersama.

  15. Semua pihak yang telah membantu yang tidak dapat disebutkan satu persatu.

  Penulis menyadari masih ada kekurangan dalam skripsi ini, untuk itu saran serta kritik yang membangun sangat diharapkan dalam peningkatan kualitas skripsi ini, dan akhirnya penulis berharap semoga skripsi ini bermanfaat bagi semua pihak.

  Yogyakarta, 31 Januari 2012 Penulis, Hilaria Heparantiza

  

DAFTAR ISI

  Halaman HALAMAN JUDUL ............................................................................................ i HALAMAN JUDUL DALAM BAHASA INGGRIS .......................................... ii HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ................................................... iii HALAMAN PENGESAHAN .............................................................................. iv PERYATAAN KEASLIAN KARYA .................................................................. v HALAMAN PERSEMBAHAN ........................................................................... vi LEMBAR PERYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI .................................. vii ABSTRAK ............................................................................................................ viii ABSTRACT .......................................................................................................... ix KATA PENGANTAR .......................................................................................... x DAFTAR ISI ......................................................................................................... xii

  BAB I PENDAHULUAN ..................................................................................... 1 A. Latar Belakang .......................................................................................... 1 B. Rumusan Masalah ..................................................................................... 3 C. Pembatasan Masalah ................................................................................. 3 D. Tujuan Penulisan ....................................................................................... 3 E. Manfaat Penulisan ..................................................................................... 3 F. Metode Penulisan ...................................................................................... 4 G. Sistematika Penulisan ............................................................................... 4

  BAB II MASALAH NILAI AWAL DAN SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL ....................................................................................... 6 A. Sistem Persamaan Linear .......................................................................... 6 B. Limit, Fungsi Kontinu dan Fungsi Transenden ........................................ 12 C. Deret Geometrik ........................................................................................ 21 D. Persamaan Diferensial dan Penyelesaiannya ............................................ 25 E. Sistem Persamaan Diferensial ................................................................... 30 F. Integral Tentu, Integral Tak Wajar dan Integral Parsial ........................... 33 BAB III TRANSFORMASI LAPLACE .............................................................. 44 A. Transformasi Laplace ................................................................................ 44 B. Sifat-sifat Transformasi Laplace ............................................................... 54 C. Fungsi Khusus Transformasi Laplace ....................................................... 63 D. Invers Transformasi Laplace dan Konvolusinya ...................................... 70 BAB IV PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR DENGAN TRANSFORMASI LAPLACE ............................. 80 A. Penyelesaian Persamaan Diferensial Linear dengan Transformasi Laplace ................................................................................ 81 B. Penyelesaian Sistem Persamaan Diferensial Linear Orde Pertama dengan Transformasi Laplace ................................................................... 97 C.

  Penyelesaian Sistem Persamaan Diferensial Linear Orde Kedua dengan transformasi Laplace .................................................................... 109

  D.

  Penyelesaian Sistem Persamaan Diferensial Linear Orde ke-n dengan Transformasi Laplace ................................................................... 118

  BAB V PENUTUP ............................................................................................... 124 A. Kesimpulan ............................................................................................... 124 B. Saran ......................................................................................................... 125 DAFTAR PUSTAKA ........................................................................................... 126

  DAFTAR TABEL

  Halaman

Tabel 3.4.1 Tabel Transformasi Laplace ............................................................ 73

BAB I PENDAHULUAN A. LATAR BELAKANG Sistem merupakan sekumpulan elemen yang saling berkaitan dan saling

  mempengaruhi dalam melakukan kegiatan bersama untuk mencapai suatu tujuan. Sebuah sistem dikatakan linear jika hubungan antara suatu variabel terhadap variabel lainnya dapat dinyatakan dalam bentuk persamaan linear. Persamaan dalam sebuah sistem dapat berupa persamaan diferensial.

  Persamaan diferensial adalah suatu persamaan yang memuat derivatif atau diferensial dari satu atau lebih fungsi. Persamaan ini digunakan dalam berbagai macam bidang. Tidak hanya dalam bidang matematika tetapi juga dalam bidang ekonomi, fisika, biologi, astronomi, dan yang lainnya.

  Persamaan diferensial diklasifikasikan dalam berbagai jenis. Sebuah persamaan dikatakan persamaan diferensial biasa jika fungsi yang belum di- ketahui dalam persamaan diferensial bergantung hanya pada satu variabel be- bas. Sebuah persamaan dikatakan persamaan diferensial parsial jika fungsi yang belum diketahui bergantung pada dua atau lebih variabel bebas. Persamaan diferensial juga dapat dibedakan menurut orde atau tingkat. Orde persamaan diferensial adalah tingkat derivatif tertinggi yang muncul dalam persamaan diferensial.

  Sebuah persamaan diferensial dikatakan linear jika dalam persamaaan diferensial tersebut fungsi yang belum diketahui derivatif-derivatifnya secara aljabar berderajat satu dan tidak ada hasil kali yang berkaitan dengan fungsi yang belum diketahui dengan derivatif-derivatifnya. Selain itu, tidak ada fungsi transendental dari fungsi yang belum diketahui beserta derivatif- derivatifnya dan yang lainnya. Jika salah satu syarat tidak dipenuhi maka persamaan tersebut dikatakan tidak linear.

  Apabila koefisien-koefisien pada persamaan diferensial linear adalah konstanta real maka persamaan disebut persamaan diferensial linear dengan koefisien konstan. Dalam menyelesaikan persamaan diferensial terkadang terdapat syarat bantu yang mengikutinya. Jika syarat bantu pada persamaan diferensial yang diketahui berhubungan dengan sebuah nilai tertentu, syarat itu disebut syarat awal. Persamaan diferensial dengan syarat awalnya disebut masalah nilai awal.

  Salah satu cara penyelesaian masalah nilai awal pada sistem persamaan diferensial adalah dengan menggunakan metode transformasi Laplace. Metode ini mentransformasikan masalah nilai awal pada sistem persamaan diferensial ke dalam masalah aljabar dengan melibatkan suatu variabel. Setelah ditransformasikan, dari persamaan tersebut ditentukan invers transformasi Laplacenya untuk mencari penyelesaian dari masalah nilai awal tersebut.

  B. RUMUSAN MASALAH 1.

  Apa yang dimaksud dengan transformasi Laplace dan bagaimana sifatnya?

  2. Bagaimana cara menyelesaikan masalah nilai awal pada persamaan diferensial dengan menggunakan transformasi Laplace?

  3. Bagaimana cara menyelesaikan masalah nilai awal pada sistem persamaan diferensial dengan menggunakan transformasi Laplace?

  C. PEMBATASAN MASALAH

  Dalam penulisan karya ilmiah ini, penulis hanya akan membatasi pada sistem persamaan diferensial hanya sistem persamaan diferensial dengan dua variabel.

  D. TUJUAN PENULISAN

  Tujuan dari penulisan ini adalah untuk memahami sifat-sifat dari transformasi Laplace dan mencari penyelesaian masalah nilai awal pada sistem persamaan diferensial dengan menggunakan transformasi Laplace.

  E. MANFAAT PENULISAN

  Manfaat penulisan ini adalah memberikan pemahaman dalam menyelesaikan masalah nilai awal pada persamaan diferensial dengan menggunakan metode transformasi Laplace.

  F. METODE PENULISAN

  Metode penulisan yang digunakan adalah metode studi pustaka, yaitu dengan mempelajari buku-buku yang berkaitan dengan topik tansformasi Laplace dan persamaan diferensial.

  G. SISTEMATIKA PENULISAN

  BAB I: PENDAHULUAN Dalam bab I akan dibahas tentang latar belakang masalah,

  perumusan masalah, pembatasan masalah, tujuan penulisan, manfaat penulisan, metode penulisan, dan sistematika penulisan

  BAB II: MASALAH NILAI AWAL DAN SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL Dalam bab II akan dibahas tentang sistem persamaan linear, limit,

  fungsi kontinu dan fungsi transenden, deret geometrik, persamaan diferensial dan penyelesaiannya, sistem persamaan diferensial serta integral tak wajar dan integral parsial.

BAB III: TRANSFORMASI LAPLACE Dalam bab ini akan dibahas tentang transformasi Laplace, sifat-

  sifat transformasi Laplace, fungsi khusus transformasi Laplace serta invers transformasi Laplace dan konvolusinya.

BAB IV: PENYELESAIAN SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL LINEAR DENGAN TRANSFORMASI LAPLACE Dalam bab ini akan dibahas tentang penyelesaian persamaan

  diferensial linear dengan transformasi Laplace, penyelesaian sistem persamaan diferensial linear orde pertama dengan transformasi Laplace, penyelesaian sistem persamaan diferensial linear orde kedua dengan transformasi Laplace dan penyelesaian sistem persamaan diferensial linear orde ke-n dengan transformasi Laplace.

BAB V: PENUTUP Bab V berisi kesimpulan dan saran

  

BAB II

MASALAH NILAI AWAL DAN SISTEM PERSAMAAN DIFERENSIAL Dalam bab ini akan dibahas mengenai materi-materi yang akan digunakan

  dalam pembahasan bab-bab selanjutnya. Materi-materi tersebut antara lain adalah sistem persamaan linear, limit, fungsi kontinu dan fungsi transenden, deret geometrik, persamaan diferensial dan penyelesaiannya, sistem persamaan diferensial serta integral tentu, integral tak wajar dan integral parsial.

  A. Sistem Persamaan Linear y , y ,..., y

  Persamaan linear dengan n variabel dapat dinyatakan dalam _n

  1

  2

  bentuk   ...  

  a y a y a y b

  1

  1

  2 2 n n a , a ,..., a

  di mana dan b merupakan konstanta real. Suatu sistem dengan m _n

  1

  2

  persamaan linear dan n variabel yang tidak diketahui dapat ditulis sebagai

  

a y  a y  ...  a y  b

_{11 1 12 2 1 n n 1}

a y  a y  ...  a y  b

_{21 1 22 2 2 n n 2}

  (2.1.1)     

  

a y a y ... a y b

_{m 1 1 m}     _{2 2 mn n m}

  y , y ,..., y

  di mana adalah variabel yang tidak diketahui. Bilangan a ij _n

  1

  2

  merupakan koefisien persamaan ke-i dari variabel ke-j dan b menyatakan

  i

  konstanta di ruas kanan untuk persamaan ke-i. Koefisien tersebut dapat dituliskan dalam bentuk matriks, yaitu a 

  a a

   ^{11 12 1 n }  

   a a a _{21 22 2 n}         

  

  

a a a

_{m 1 m 2 mn}

    yang disebut matriks koefisien. Jika suatu koefisien variabel tidak muncul, maka pada matriks koefisien akan dituliskan sebagai bilangan nol.

  Konstanta di ruas kanan dapat dituliskan dalam bentuk, yaitu

  b

    ₁  

  b ₂

        

  b _m

    yang disebut matriks konstanta. Matriks yang terdiri dari matriks koefisien dengan menambahkan matriks konstanta pada kolom terakhir disebut dengan

  

matriks lengkap. Dengan demikian matriks lengkap untuk sistem persamaan

  linear pada persamaan (2.1.1) adalah a a  a b   _{11 12 1 n 1}

    a a  a b _{21 22 2 n 2}          

  

a a  a b

_{m 1 m 2 mn m}

   

  Definisi 2.1.1

  Urutan sejumlah bilangan s , s ,  , s merupakan penyelesaian dari sistem _{1 2 n} persamaan (2.1.1) jika y  s , y  s ,  , y  s merupakan penyelesaian dari _{1 1 2 2 n n} setiap persamaan di dalam sistem tersebut.

  Contoh 2.1.1

  Sistem persamaan 4 y  y  _{1 2} 3 y   ₃

  1 (2.1.2) 3 y y

  9 y

  4 ₁     _{2 3} memiliki penyelesaian y  y 1 ,  2 dan y

  1 karena nilai-nilai tersebut _{1 2 3}   memenuhi kedua persamaan (2.1.2).

  Definisi 2.1.2

  Sebuah matriks disebut matriks eselon baris jika memenuhi syarat-syarat berikut ini:

  1. Jika sebuah baris tidak seluruhnya terdiri dari nol, maka bilangan taknol pertama pada baris tersebut adalah 1. Bilangan ini disebut 1 utama.

  2. Jika terdapat baris yang seluruhnya terdiri dari angka nol, maka baris tersebut dikelompokkan di baris paling bawah matriks.

  3. Jika terdapat dua baris berurutan yang tidak seluruhnya terdiri dari nol, maka 1 utama pada baris yang lebih rendah terdapat pada kolom yang lebih kanan dari 1 utama pada baris yang lebih tinggi.

  Contoh 2.1.2

  Berikut adalah contoh matriks yang sudah dalam bentuk eselon baris

  1 4 

  3

  4

  1

  1

  1

  2

  6            

  1

  6 2 , 1 , 1 

  1       

  1 5     1       

  Definisi 2.1.3 Operasi Baris Elementer pada suatu matriks adalah salah satu operasi: 1.

  Menukar letak dari dua baris matriks tersebut.

  2. Mengalikan suatu baris dengan konstanta tak nol.

  3. Mengganti suatu baris dengan hasil penjumlahan baris tersebut dan kelipatan baris lain.

  Salah satu metode yang digunakan untuk meyelesaikan sistem persamaan linear adalah metode eliminasi Gauss. Metode ini menghasilkan matriks sampai pada bentuk eselon baris. Prosedur umum untuk metode eliminasi Gauss ini adalah:

  1. Menentukan matriks lengkap dari suatu sistem persamaan linear.

  2. Mencari kolom paling kiri yang memuat unsur tak nol.

  3. Jika elemen pertama kolom yang diperoleh pada langkah pertama sama dengan nol maka baris pertama dari matriks ditukar dengan unsur pada kolom tersebut yang taknol.

  4. Setelah elemen pertama dari kolom diperoleh pada langkah pertama tak sama dengan nol, maka elemen di bawahnya diubah menjadi nol dengan operasi baris elementer.

  Contoh 2.1.3

  Selesaikan sistem persamaan linear berikut dengan menggunakan eleminasi Gauss

  y  y  _{1 2} 2 y  ₃

  9 2 y  ₁ 4 y  ₂ 3 y  ₃

  1 3 y  ₁ 6 y  ₂ 5 y  . ₃

  Penyelesaian:

  (2.1.3) _{3 2}

  17

  

2

  

7

  9

  

2

  3 ^{3 2 3 2 1}    

  

y y y y y y

  atau _{3 2 1}

  2  9 y y y  

  2

  3

  7

  2

  17  y y   (2.1.4) .

  

3

₃  y

  (2.1.5) Dengan mensubstitusikan nilai y

  3 ke persamaan (2.1.4) diperoleh

  2 ₂  y dan dengan mensubstitusikan y

  2 ke persamaan (2.1.3) diperoleh .

  1 ₁  y Jadi diperoleh y

  2

  1 Sistem yang bersesuaian dengan matriks adalah

  Matriks lengkap dari sistem persamaan linear di atas adalah     

  1 Kemudian matriks tersebut di ubah kedalam bentuk eselon baris menjadi     

      

  1

  9 5 -

  6

  3 3 -

  4

  2

  2

  1

      

  1

  

  3

  2 17 -

  9

  1

  2

  7

  1

  2

  1 = 1, y 2 = 2 dan y 3 = 3.

B. Limit, Fungsi Kontinu dan Fungsi Transenden 1. Limit Definisi 2.2.1

  Pengertian yang tepat tentang limit mengatakan bahwa lim f   t  L _{t  c}

  berarti bahwa untuk tiap   yang diberikan, terdapat   yang berpadanan sedemikian sehingga f x  L   asalkan bahwa

   

   x  c   yakni  x  c    f x  L  

    Contoh 2.2.1

  Buktikan bahwa lim  _{t  4} 3 t  7   5 .

  Penyelesaian:

  Andaikan  bilangan positif sebarang sedemikian sehingga  t  4    3 t  7  5  

   

  Kemudian pandang ketaksamaan pada ruas kanan

  

  3 t  7   5    3 t  12    3  t  4  

  

  3

  4  t   

  

  4  t  

  3 

  Andaikan diberikan   . Jika dipilih   , maka  t  4  

  3

  mengimplikasikan 3 t

  7

  5 3 t

  12 3 t

  4 3 t

  4

  3            

     

  Jadi, terbukti bahwa lim

  3

  7 5 . _{t  4}  t    Definisi 2.2.2

  Misalkan f didefinisikan pada

  c,  untuk suatu bilangan c, dikatakan

 

  bahwa lim f t  L _{t  }    , jika untuk setiap  terdapat bilangan M sedemikian sehingga

  

t M f t L

      

    Contoh 2.2.2 _{3 2}

  2 t  3 t 

  2 Hitunglah nilai limit dari lim _{t 3}

   

  5 t  3 t 

  4

  Penyelesaian:

  Untuk menghitung nilai limit, pembilang dan penyebut dibagi dengan

  3

  pangkat tertinggi yang muncul yaitu t , sehingga diperoleh _{3 2}

  t t

  2

  3

  2

  2

  3

  2 ₃

   

_{3 3 3}

t t t t t

lim  lim _{t   t   3}

  3

  4 t t

  4 5   5  ₃ 3  _{3 3 2 3} t t t t t

  1

  1 lim _{t t t} 2  3 lim  2 lim ₃       t t

  



  1

  1 lim _{t t} 5  3 lim  ₂ 4 lim ₃   t     t t

  2



5 2.

   Fungsi Kontinu Definisi 2.2.3

  Andaikan f terdefinisi pada suatu selang terbuka yang mengandung c, f

  kontinu di c jika lim f   t  f   c _{x  c}

  Definisi di atas menyatakan bahwa f kontinu jika syarat-syarat berikut dipenuhi: i). lim f t ada,

    _{t c} 

  ii). f c ada,

   

  Fungsi f terdefinisi di c, yaitu iii). lim f t  f c . _{t  c}     Jika salah satu dari ketiga syarat tidak dipenuhi, maka f tak kontinu di c.

  Contoh 2.2.3

  Fungsi f yang didefinisikan ₂

  t

  1 

  

f   t 

t

  1  ₂

  t 

  1 tidak kontinu untuk t  1 , karena lim  lim   t  _{t 1 t 1} 1  2  f   1 maka f

    t 

  1 tidak kontinu di t  1 .

  Definisi 2.2.4

  Fungsi f kontinu kanan di a jika lim f   t  f   a dan kontinu kiri b jika _{t  a } lim . _ f   t  f   b _{t b} 

  Definisi 2.2.5 a b

  Fungsi f dikatakan kontinu pada selang terbuka , jika fungsi f

    a b

  kontinu di setiap titik pada , . Fungsi f dikatakan kontinu pada selang

    tertutup a b jika fungsi f kontinu pada selang terbuka a b , kontinu

  ,   ,  

  kanan di a dan kontinu kiri di b.

  Pada Gambar 2.2.1, fungsi f kontinu pada (a,b) kecuali di titik-titik t

  1 , t 2 , t 3 .

  Fungsi f tak kontinu di t

  1 karena lim f t tidak ada, tidak kontinu di t

  2 _{t t}    ₁

  karena nilai lim f t tidak sama dengan nilai fungsi di t

  2 , dan f tak kontinu _{t t}    ₂

  di t

  3 karena fungsi di t 3 tidak ada.

t t t

₁

₂

₃ Gambar 2.2.1

  Contoh 2.2.4

  Akan diperlihatkan bahwa fungsi f t yang didefinisikan dengan

    ₂ f   t  9 t  t   

  untuk setiap

  3 ,

3 kontinu pada selang tertutup

3 , 3 .

      ₂ Fungsi f   t  9 t  kontinu pada selang terbuka  . Fungsi f kontinu  3 , 3 

  kanan di t   3 yaitu lim  dan kontinu kiri di t  _{t   3 t   } 3 yaitu lim  . Ini ₃ berarti fungsi f kontinu pada selang tertutup  .

  3 ,

  3  

  Definisi 2.2.6

  Fungsi f t dikatakan kontinu bagian demi bagian pada interval tertutup

    a b a b

  , jika f kontinu pada setiap titik dalam , kecuali untuk sejumlah     f t

  berhingga titik-titik di mana mempunyai ketakontinuan lompat. Fungsi

    f t

   jika  

  , f  

  dikatakan kontinu bagian demi bagian pada kontinu ba- gian demi bagian pada N untuk setiap N  .

  ,  

  Contoh 2.2.5

  Perlihatkan bahwa sebuah fungsi f yang dinyatakan dengan ₂  t 

  1

  t

  ,

  f t

  2  t

  

  1  t 

  2

   

  , 3  t 2  t 

  3 , kontinu bagian demi bagian pada interval ,

  3 .

    Penyelesaian: f t

   

  2

  1

  t

  2

  3

  1 Gambar 2.2.2

  f t

Gambar 2.2.2 tersebut memperlihatkan   kontinu pada interval ,

  1 ,  

  1 , 2 dan 2 , 3 . Pada titik yang tidak kontinu yaitu untuk t 

  2 , fungsi f

     

  mempunyai ketakkontinuan lompat karena

  

lim f t dan lim f t

1 . _{t  2 t }

_{ }

      ₂ Jadi fungsi f kontinu bagian demi bagian pada interval ,

  3   .

  Contoh 2.2.6

  Perlihatkan bahwa fungsi sebuah fungsi f yang dinyatakan dengan ₂

  

f   t  t 

  4 t 

  3 tidak kontinu bagian demi bagian.

  Penyelesaian:

  Gambar 2.2.3 Grafik tersebut di atas memperlihatkan bahwa f(t) kontinu pada interval

   

   1 ,  dan    , 3 tetapi f(t) tidak kontinu pada interval

   

  3 , 1 . Untuk

    lim ₁   t f _t

  tetapi untuk   t f _{t 2}

  lim 

  tidak terdefinisi. Ini berarti bahwa fungsi tersebut tidak kontinu bagian demi bagian.

3. Fungsi Transenden

  y = x. Fungsi-fungsi transenden antara lain yaitu: i).

  Fungsi transenden merupakan fungsi yang tidak dapat dinyatakan sebagai sejumlah berhingga operasi aljabar atas fungsi konstan y = k dan fungsi

  Contoh: , 3 ,

  5 y ^y e e

  

  dan ^y

  e ^ln .

  iii).

  Fungsi Trigonometri Contoh: sin y, cos y, dan tan y. iv).

  Fungsi Siklometri Contoh: arc sin y dan arc cos y. v).

  Fungsi Hiperbolik Contoh: sinh y, cosh y dan tanh y

  Fungsi Logaritma Natural Contoh: ln y ii). Fungsi Eksponensial

  Definisi 2.2.7

  Sebuah fungsi f dikatakan berorde eksponensial jika terdapat konstanta

  α

  dan konstanta positif t dan M sedemikian rupa sehingga

   t  e f t  M untuk setiap t  t

    di mana f t terdefinisi.

    Contoh 2.2.7 f t bt

  Jika diketahui  sin

   

  maka

  

 t  t

 

e f t  e sin bt .

  

 

  Untuk setiap  

  

  t

e bt  lim sin . _{t  } t 

  Ini berarti untuk setiap   ada M  dan sehingga

    t   t t  Jadi t . f t bt e f t  e sin bt  M untuk  sin berorde

     

  eksponensial, dengan konstanta α sama dengan semua bilangan positif.

  Contoh 2.2.8 _{t 2} Tentukan apakah f t  e berorde eksponensial atau tidak.

   

  Penyelesaian:

  untuk berapapun nilai α.

  Diberikan deret tak berhingga

  Contoh 2.3.1

  S divergen, maka deret tersebut divergen. Deret divergen tidak mempunyai jumlah.

    n

     lim . Jika

  konvergen menuju S atau S S _{n n}

  n S

  barisan jumlah-jumlah parsial  

    1 ^{n n} a konvergen dan mempunyai jumlah S jika

  e 

  Diketahui bahwa

  lebih cepat daripada ^t

  t e tidak berorde eksponensial karena ² t e membesar

  Ini berarti bahwa fungsi ²

    t t _t ^{t t} _t

e e e lim lim

²

.

       

      

   . Untuk setiap  

     

    ^{2 t t t} e e t f e

    ^{2 t}  e t f maka

C. Deret Geometrik Definisi 2.3.1 Deret tak berhingga

    

     

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  1

  2 

      

    

     

    

     

  1

     

   

     

  

   





    n n n n n n n n S _{n n n}

  Oleh karena itu,

    .

  1

  1

  1 1 lim lim ₂    

  









  4

  4

  

 

  Kemudian a n ditulis dalam bentuk pecahan parsial berikut

   _{1 2 2}

  1

  1

  2 _n

  

n n

n

  Selidikilah apakah deret tak hingga di atas divergen atau konvergen.

  Penyelesaian:

  Diketahui bahwa

    ²

²

  1

  1

  

2

  

n n

n a _n .

    ^{2 2}

  1

  1

  1

  1    n n a _n .

  Maka pecahan parsial deret yang diberikan dapat ditulis menjadi

          ^{2 2 2 1 2 2 1 2 2}

  1

  1

  1

  1

  1

  1 ...

  9

         n S S _{n n n} Jadi deret tak hingga yang diberikan konvergen dan jumlahnya adalah 1.

  Definisi 2.3.2

  Deret berbentuk

   _{n 1}

₂

_{3 n 1}   ar a ar ar ar ... ar ...

          _{k 1}

   di mana a  disebut deret geometrik.

  Contoh 2.3.2

  4

  4

  4

  4

  4

  1 Deret      adalah deret geometrik dengan a  dan r  .

  3

  9

  27

  81

  3

  3 Teorema 2.3.1

a

r

  1 , r 1 . Deret geometrik konvergen ke S  jika  dan divergen jika 

  

1  r

_n a

  1  r

    Jumlahan parsial n suku pertama adalah .

  S  _n

  1  r

  Bukti:

  Deret jumlahan parsial suku pertama adalah: _{2 3 4 n 1}

  

S  a  ar  ar  ar  ar  ...  ar _{n 2}

_{3 4 5 n}

rS  ar  ar  ar  ar  ar ...  ar _n maka _{2 n  1 2 3 n}

  

S  rS  a  ar  ar  ...  ar  ar  ar  ar  ...  ar

_{n n     n} 1  r S  a  ar .

    n

  Jadi, _{n n}

  a

  1  r a 1  r

   

S .

_n    _n 1  r 1  r 1  r

  Jika r  1 , maka lim r  . Sehingga diperoleh _n

    _n a

  1  r

    S  lim S  lim _{n n n}

     

  1  r _n

  a ar

   lim  lim _{n n}

  

   

  1  r 1  r

  a  .

  1  r

  r

  1 . r

  1 Dengan kata lain, deret geometri konvergen jika  Jika  maka _n lim , _n r   sehingga

    _n a

  1  r

   

S lim S lim .

      _{n n n}

     

  1  r

  r 

  1 Deret divergen jika . Jadi terbukti bahwa deret geometri konvergen jika

  r 