Pelabelan total ajaib sisi kuat pada graf sikel dengan tambahan n anting untuk n =3 dan n ganjil

PELABELAN TOTAL AJAIB SISI KUAT

PADA GRAF SIKEL DENGAN TAMBAHAN

�

ANTING

UNTUK

� ≥ �

DAN

�

GANJIL

Skripsi

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana

Program Studi Pendidikan Matematika

Oleh:

Ayu Kristianna

091414050

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA

2013

i

PELABELAN TOTAL AJAIB SISI KUAT

PADA GRAF SIKEL DENGAN TAMBAHAN

�

ANTING

UNTUK

� ≥ �

DAN

�

GANJIL

Skripsi

Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat Memperoleh Gelar Sarjana

Program Studi Pendidikan Matematika

Oleh:

Ayu Kristianna

091414050

PROGRAM STUDI PENDIDIKAN MATEMATIKA

JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS SANATA DHARMA YOGYAKARTA

2013

ii

iii

iv

”

Ia membuat segala sesuatu indah pada

waktunya, bahkan Ia memberikan

kekekalan dalam hati mereka.”

(Kolose 3:23)

Kupersembahkan karya ini untuk:

Tuhan Yesus Kristus, Sahabat dan Juru Selamat

yang selalu menyertai setiap langkahku

Orang tuaku terkasih, Bapak Yohanes Sumiran dan

Ibu Anastasia Sri Murwani atas segala kasih, doa,

dukungan, serta pengorbanan selama hidupku

Adik-adikku, Lukas Kris Pradikta dan

Ester Rina Apriliyani yang menjadi pemacu semangatku

Fr. Adrianus Wisnu W., OCSO, Ibu Inge Umboh, serta

seluruh keluarga besar yang telah mendukungku

Almamaterku “SMA Sedes Sapientiae Bedono” dan

“Universitas Sanata Dharma Yogyakarta”

v

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA

Saya menyatakan dengan sesungguhnya bahwa skripsi yang saya tulis ini

tidak memuat karya atau bagian karya orang lain, kecuali yang telah disebutkan

dalam kutipan dan daftar pustaka, sebagaimana layaknya karya ilmiah.

Yogyakarta, 20 Agustus 2013

Penulis,

Ayu Kristianna

vi

LEMBAR PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH UNTUK KEPENTINGAN AKADEMIS

Yang bertanda tangan di bawah ini, saya mahasiswa Universitas Sanata Dharma:

Nama : Ayu Kristianna

NIM : 091414050

Demi pengembangan ilmu pengetahuan, saya memberikan kepada

Perpustakaan Universitas Sanata Dharma karya ilmiah saya yang berjudul:

Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat

Pada Graf Sikel dengan Tambahan � Anting untuk � ≥ � dan � Ganjil

Dengan demikian saya memberikan kepada Perpustakaan Universitas

Sanata Dharma hak untuk menyimpan, mengalihkan dalam bentuk media lain,

mengelolanya dalam bentuk pangkalan data, mendistribusikan secara terbatas, dan

mempublikasikannya di internet atau media lain untuk kepentingan akademis

tanpa perlu meminta ijin dari saya maupun memberikan royalti kepada saya

selama tetap mencantumkan nama saya sebagai penulis.

Demikian pernyataan ini saya buat dengan sebenarnya.

Dibuat di Yogyakarta

Pada Tanggal : 20 Agustus 2013

Yang menyatakan,

(Ayu Kristianna)

vii

ABSTRAK

Ayu Kristianna, 2013. Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat pada Graf Sikel dengan Tambahan � Anting untuk � ≥ � dan � Ganjil. Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.

Penelitian ini menyelidiki pelabelan total ajaib sisi kuat pada graf sikel dengan tambahan � anting untuk � ≥3 dan � ganjil. Tujuan dari penelitian ini adalah meninjau apakah graf sikel dengan tambahan � anting untuk � ≥3 dan � ganjil memenuhi pelabelan total ajaib sisi kuat, menentukan nilai konstanta ajaib yang terbentuk, serta menentukan nilai label untuk masing-masing titik dan sisi. Penelitian ini mengkaji beberapa buku, jurnal, dan hasil penelitian sebelumnya untuk mendapatkan teori-teori yang mendukung.

Hasil penelitian ini menunjukkan bahwa pelabelan total ajaib sisi kuat berlaku pada graf sikel dengan tambahan � anting untuk � ≥3 dan � ganjil dengan nilai konstanta ajaib � terletak pada interval 9�+3

2 �

11�+3

2 . Nilai label

titik dan sisi untuk pelabelan total ajaib sisi kuat pada graf sikel dengan tambahan � anting, � ≥3 dan � ganjil untuk � = 9�+3

2 dan � = 11�+3

2 adalah sebagai

berikut:

a. Untuk � =9�+3

2

1) � = 2�+ 1,�= 1, 3, 5,…,

�� =

�+ 1

2 �= 1, 3, 5,…,�

�+�+ 1

2 �= 2, 4, 6,…,� −1

��+� =

3�+�+ 2

2 �= 1, 3, 5,…,� −2 2 �+ 1 +�

2 �= 2, 4, 6,…,� −1

�+ 1 � =�

viii

��,�+1 = 4� − � �= 1, 2, 3,…,� −1

�1,� = 4� � =�

��,�+� = ₃3� − �_� �_�= 1, 2, 3,_=� …,� −1

2) �= 2�+ 1,� = 2, 4, 6,…,

�� =

�+ 1

2 �= 1, 3, 5,…,�

�+ 1 +�

2 �= 2, 4, 6,…,� −1

��+� = 2� − �+ 1 � = 1, 2, 3,…,�

��,�+1 = 4� − � �= 1, 2, 3,…,� −1

�1,� = 4� � =�

��,�+� =

5�+�

2 �= 1, 3, 5,…,� 4�+�

2 �= 2, 4, 6,…,� −1

b. Untuk � =11�+3

2

�� =

2�+�+ 1

2 �= 1, 3, 5,…,� 3�+�+ 1

2 �= 2, 4, 6,…,� −1

��+� = � − �_{� �}�₌= 1, 2, 3,_� …,� −1

��,�+1 = 3� − � �= 1, 2, 3,…,� −1

�1,� = 3� � =�

��,�+� =

7�+�+ 2

2 � = 1, 3, 5,…,� −2 6�+�+ 2

2 � = 2, 4, 6,…,� −1 3�+ 1 �=�

Kata Kunci : graf, pelabelan graf, graf sikel dengan tambahan � anting, pelabelan total ajaib sisi kuat

ix

ABSTRACT

Ayu Kristianna, 2013. Strong Edge Magic Total Labeling on The Cycle Graph with � Extra Arms for � ≥ � and � is Odd. Mathematics Education Study Program. Mathematics and Science Education Department, Faculty of Teachers Training and Education, Sanata Dharma University, Yogyakarta.

This research observed the strong edge magic total labeling on the cycle graph with � extra arms for � ≥3 and � is odd. The purpose of this research is to observe whether the cycle graph with � extra arms for � ≥ 3 and � is odd satisfy the strong edge magic total labeling, to observe the value of magic constant, and to find the labeling values for each vertex and edge. This research examined several books, journals, and the result of previous researches to obtain the supporting theories.

The result of this research show that the cycle graph with � extra arms for � ≥3 and � is odd satisfy the strong edge magic total labeling with the value of magic constant 9�+3

2 �

11�+3

2 . The labeling values for each vertex and edge on

the strong edge magic total labeling on the cycle graph with � extra arms, � ≥ 3

and � is odd for � = 9�+3

2 and � = 11�+3

2 are shown as below:

a. For � =9�+3

2

1) � = 2�+ 1,�= 1, 3, 5,…,

�� =

�+ 1

2 � = 1, 3, 5,…,�

�+�+ 1

2 �= 2, 4, 6,…,� −1

��+� =

3�+�+ 2

2 �= 1, 3, 5,…,� −2 2 �+ 1 +�

2 � = 2, 4, 6,…,� −1

�+ 1 �= �

��,�+1 = 4� − � �= 1, 2, 3,…,� −1

x

�1,� = 4� � =�

��,�+� = ₃3� − �_� �_�= 1, 2, 3,_=� …,� −1

2) � = 2�+ 1,�= 2, 4, 6,…,

�� =

�+ 1

2 �= 1, 3, 5,…,�

�+ 1 +�

2 �= 2, 4, 6,…,� −1

��+� = 2� − �+ 1 � = 1, 2, 3,…,�

��,�+1 = 4� − � �= 1, 2, 3,…,� −1

�1,� = 4� � =�

��,�+� =

5�+�

2 �= 1, 3, 5,…,� 4�+�

2 �= 2, 4, 6,…,� −1

b. For � =11�+3

2

�� =

2�+�+ 1

2 �= 1, 3, 5,…,� 3�+�+ 1

2 �= 2, 4, 6,…,� −1

��+� = � − �_{� �}�₌= 1, 2, 3,_� …,� −1

��,�+1 = 3� − � �= 1, 2, 3,…,� −1

�1,� = 3� � =�

��,�+� =

7�+�+ 2

2 � = 1, 3, 5,…,� −2 6�+�+ 2

2 � = 2, 4, 6,…,� −1 3�+ 1 �=�

Key words : graph, graph labeling, cycle graph with � extra arms, strong edge magic total labeling

xi

KATA PENGANTAR

Puji dan syukur kehadirat Tuhan Yang Maha Kuasa atas segala kasih, rahmat dan berkat-Nya sehingga penulis dapat menyelesaikan skripsi dengan judul

”Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat pada Graf Sikel dengan Tambahan � Anting untuk � ≥3 dan � Ganjil” ini . Skripsi ini diajukan untuk memenuhi salah satu syarat memperoleh gelar sarjana pendidikan pada Program Studi Pendidikan Matematika, Jurusan Pendidikan Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan, Universitas Sanata Dharma, Yogyakarta.

Skripsi ini dapat tersusun berkat bimbingan dan bantuan dari berbagai pihak. Oleh karena itu, pada kesempatan kali ini penulis menyampaikan terima kasih kepada:

1. Bapak Dominikus Arif Budi Prasetyo, S.Si, M.Si. selaku Dosen Pembimbing Akademik sekaligus dosen pembimbing skripsi atas dukungan dan bimbingan selama studi terlebih selama proses penyusunan skripsi ini

2. Bapak Rohandi, Ph.D selaku Dekan Fakultas Keguruan dan Ilmu Pendidikan Universitas Sanata Dharma

3. Bapak Drs. A. Atmadi, M.Si. selaku Ketua Jurusan Pendidikan dan Ilmu Pengetahuan Alam, FKIP, Universitas Sanata Dharma

4. Bapak Dr. M. Andy Rudhito, S.Pd. selaku Kaprodi Pendidikan Matematika 5. Bapak Drs. Thomas Sugiarto, M.T. dan Bapak Sutrisno, M.Sc. selaku dosen

penguji skripsi

xii

6. Seluruh Dosen Program Studi Pendidikan Matematika yang telah banyak memberikan ilmu pengetahuan dan bekal keterampilan sehingga penulis dapat menyelesaikan studi dengan baik

7. Kedua orang tua penulis, Bapak Yohanes Sumiran dan Ibu Anastasia Sri Murwani, Adik Lukas Kris Pradikta dan Ester Rina Apriliyani, Eyang Maria Suyatmi, fr. Adrianus Wisnu W. OCSO, Ibu Inge Umboh, serta Dominico S. Saputra yang telah memberikan dukungan dan doa

8. Teman-teman Program Studi Pendidikan Matematika Angkatan 2009, khususnya Yasintha Rizky, Chintya Rudiyanto, Ryan Sanjaya, Endar Retnowati, Cicilia Viranti, serta Th. Ridarta Intan P. yang telah berbagi hari-hari menyenangkan serta semangat dan dukungan untuk terus maju

9. Semua pihak yang tidak dapat disebutkan satu persatu, atas bantuan dan saran yang berguna selama penulisan skripsi ini

Penulis mengharapkan kritik dan saran guna kemajuan penelitian, khususnya dalam bidang matematika. Akhir kata, penulis berharap kiranya skripsi ini dapat bermanfaat bagi para pembaca.

Yogyakarta, 20 Agustus 2013 Penulis

PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI

xiii

DAFTAR ISI

Halaman

HALAMAN JUDUL ... i

HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING ... ii

HALAMAN PENGESAHAN ... iii

HALAMAN PERSEMBAHAN ... iv

PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ... v

PERNYATAAN PERSETUJUAN PUBLIKASI KARYA ILMIAH... vi

ABSTRAK ... vii

ABSTRACT ... ix

KATA PENGANTAR ... xi

DAFTAR ISI ... xiii

DAFTAR GAMBAR ... xv

DAFTAR TABEL ... xvii

DAFTAR NOTASI ... xviii

BAB I PENDAHULUAN ... 1

1.1. Latar Belakang ... 1

1.2. Batasan Masalah ... 5

1.3. Rumusan Masalah ... 5

1.4. Tujuan ... 5

1.5. Manfaat Penelitian ... 6

1.6. Metode Penelitian ... 6

1.7. Sitematika Penulisan ... 7

xiv

BAB II KAJIAN PUSTAKA DAN LANDASAN TEORI ... 9

2.1. Teori Graf ... 9

2.2. Pelabelan Graf ... 22

2.3. Graf Sikel dengan Tambahan Satu Anting ... 24

2.4. Graf Sikel dengan Tambahan Dua Anting ... 25

2.5. Kerangka Berpikir ... 27

BAB III HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN ... 28

3.1. Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat pada Graf Sikel dengan Tambahan n Anting ... 28

3.2. Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat pada �_� +��1 untuk � ≥3 dan � Ganjil dengan � =9�+3 2 ... 34

3.3. Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat pada �_� +��1 untuk � ≥3 dan � Ganjil dengan � =11�+3 2 ... 47

BAB IV PENUTUP ... 55

4.1. Kesimpulan ... 55

4.2. Saran ... 57

DAFTAR PUSTAKA ... 58

xv

DAFTAR GAMBAR

Halaman

Gambar 1.1 Model Jembatan Königsberg... 1

Gambar 1.2 Graf Model Jembatan Königsberg ... 2

Gambar 1.3 Ilustrasi Kondisi Jalan Raya menggunakan Graf ... 3

Gambar 2.1 Graf ... 10

Gambar 2.2 Bukan Graf ... 10

Gambar 2.3 Graf �₁ ... 12

Gambar 2.4 Graf Sederhana ... 14

Gambar 2.5 Graf Tak Sederhana... 15

Gambar 2.6 Graf Berhingga ... 15

Gambar 2.7 Graf Tak Berhingga... 16

Gambar 2.8 Graf Tak Berarah... 17

Gambar 2.9 Graf Berarah ... 17

Gambar 2.10 Graf Lengkap ... 18

Gambar 2.11 Graf Sikel ... 19

Gambar 2.12 Graf Roda ... 19

Gambar 2.13 Graf Teratur ... 20

Gambar 2.14 Graf Planar ... 20

Gambar 2.15 Graf Tak Planar ... 21

Gambar 2.16 Graf Bidang ... 21

Gambar 2.17 Graf Bipartit ... 22

Gambar 2.18 Pelabelan Total Ajaib Sisi pada Graf �₄ dengan � = 12 ... 23

xvi

Gambar 2.19 Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat pada Graf �₃ dengan � = 9 . 24 Gambar 2.20 Graf Sikel dengan Tambahan Satu Anting ... 25

Gambar 2.21 Graf Sikel dengan Tambahan Dua Anting ... 26

Gambar 3.1 Graf Sikel dengan Tambahan � Anting ... 28 Gambar 3.2 Ilustrasi Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat pada �_� +��1, � ≥3,

� = 2�+ 1,� = 1, 3, 5,… ,� = 9�+3

2 ... 42

Gambar 3.3 Ilustrasi Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat pada �_� +��₁, � ≥3

� = 2�+ 1,� = 2, 4, 6,…,�=9�+3

2 ... 43 Gambar 3.4 Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat pada �₇+ 7�1, � = 33 ... 45

Gambar 3.5 Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat pada �₅+ 5�1, � = 24 ... 46

Gambar 3.6 Ilustrasi Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat pada �_� +��₁, � ≥3, � Ganjil, � = 11�+3

2 ... 52

Gambar 3.7 Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat pada �₅+ 5�1, � = 29 ... 54

xvii

DAFTAR TABEL

Halaman

Tabel 3.1 Interval Nilai c pada Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat pada

�� +��1 ... 32

Tabel 3.2 Nilai Label Titik dan Sisi pada Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat pada

�� +��1 untuk � ≥3 dan � Ganjil dengan � =

9�+3

2 ... 34 Tabel 3.3 Nilai Label Titik dan Sisi pada Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat pada

�� +��1 untuk � ≥3 dan � Ganjil dengan � =

11�+3

2 ... 47

xviii

DAFTAR NOTASI

�(�) himpunan titik di � �(�) himpunan sisi di �

�(�) order (banyak titik) dari � �(�) size (banyak sisi) dari � �� titik ke-�

��, sisi yang menghubungkan titki ke-� dan titik ke-

�� jumlah semua label titik �� jumlah semua label sisi � jumlah semua bobot sisi

(�_�) label titik �_� ��, label sisi ��,

� ��, bobot masing-masing sisi ��,

�� graf sikel berorder � �1 anting pada graf

∅ himpunan kosong ∪ gabungan himpunan

□ akhir pembuktian

1

BAB I PENDAHULUAN 1.1 Latar Belakang

Teori graf merupakan salah satu pokok bahasan yang memiliki banyak

terapan praktis hingga saat ini. Graf digunakan untuk merepresentasikan

objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut. Representasi

visual dari graf adalah dengan menyatakan objek sebagai noktah, bulatan,

atau titik (vertex), sedangkan hubungan antara objek dinyatakan dengan garis

atau sisi (edge).

Teori graf muncul pertama kali pada tahun 1736 ketika Leonhard Euler,

seorang matematikawan dari Swiss, mencoba mencari solusi dari

permasalahan Jembatan Königsberg. Sungai Pregel yang melalui kota

Königsberg membagi wilayah daratan pada kota tersebut menjadi empat

bagian dengan tujuh buah jembatan dibangun di atasnya seperti gambar

berikut.

Gambar 1.1 Model Jembatan Königsberg

Teka-teki Jembatan Königsberg mulai muncul pada abad XVII ketika

warga Königsberg memikirkan apakah mungkin untuk berjalan di seluruh

2

wilayah Königsberg dengan melalui setiap jembatan hanya sekali. Teka-teki

tersebut menarik perhatian Euler yang kemudian merepresentasikan masalah

tersebut dalam sebuah diagram. Diagram tersebut terdiri dari empat titik A,

B, C, dan D yang merepresentasikan keempat wilayah daratan, serta tujuh

buah garis yang merepresentasikan jembatan, seperti terlihat pada gambar

berikut (Suryadi, 1996:3).

Gambar 1.2 Graf Model Jembatan Königsberg

Salah satu kajian yang banyak diteliti dan dikembangkan dalam teori graf

adalah pelabelan graf yang pertama kali diperkenalkan oleh Sedláček (1963), kemudian Stewart (1966), serta Kotzig dan Rosa (1970). Hingga saat ini

pemanfaatan teori pelabelan graf sangat dirasakan peranannya, misalnya pada

sektor sistem komunikasi, transportasi, navigasi geografis, radar,

penyimpanan data komputer, dan pemancar frekuensi radio.

Pada sektor transportasi misalnya, pelabelan graf digunakan untuk

memantau arus dan kepadatan kendaraan di jalan. Graf yang digunakan

adalah graf berarah yang menunjukkan arah arus kendaraan yang telah diberi

label berupa lambang bilangan pada masing-masing titik dan sisinya. Label

pada titik menunjukkan banyak kendaraan yang melewati titik tersebut setiap

3

satuan waktu. Sementara itu, label pada sisi menunjukkan kapasitas efektif

jalan untuk dilalui sejumlah kendaraan setiap satuan waktu beserta presentase

dari kondisi arus sebenarnya dibandingkan kapasitas efektif jalan. Bila arus

kendaraan telah melebihi kapasitas efektif jalan, maka presentasenya akan

bernilai lebih dari 100%. Bila terjadi kepadatan di suatu titik, polisi dapat berkoordinasi untuk mengalihkan sebagian kendaraan ke jalur yang belum

padat. Sistem ini diterapkan terutama pada kondisi tertentu seperti mudik

tahunan.

Gambar 1.3 Ilustrasi Kondisi Jalan Raya menggunakan Graf

Pelabelan pada suatu graf adalah suatu pemetaan bijektif yang

memetakan unsur-unsur graf (titik dan/atau sisi) dengan bilangan bulat

positif. Jika domain dari pelabelan adalah titik (vertex), maka pelabelan

tersebut dinamakan pelabelan titik (vertex labelling), jika domainnya adalah

sisi (edge), maka pelabelannya disebut pelabelan sisi (edge labelling),

sedangkan jika domainnya adalah titik dan sisi, maka pelabelannya disebut

pelabelan total (total labelling) (Wallis, 2001:11).

150

100 120

200

60 100

125

25

75/75%

160/125% 125/100%

75/100%

50/50% 120/50%

160/75%

4

Salah satu jenis pelabelan yang dikenal hingga saat ini adalah pelabelan

ajaib (magic labeling), yang dibagi menjadi dua yaitu pelabelan ajaib sisi

(edge magic labeling) dan pelabelan ajaib titik (vertex magic labeling). Pada

penelitian ini akan digunakan pelabelan ajaib sisi yaitu pemetaan bijektif

yang memetakan himpunan titik dan sisi pada himpunan bilangan bulat

{1, 2, 3,… ,�+�} dengan � menyatakan banyak titik dan � menyatakan banyak sisi, sedemikian hingga bobot masing-masing sisinya sama/konstan.

Bobot sisi adalah jumlah dari label sisi dan label titik-titik yang bersisian

dengan sisi tersebut.

Penelitian mengenai pelabelan ajaib terus berkembang hingga kemudian

Wallis (2001:17) memperkenalkan istilah pelabelan total ajaib sisi kuat

(strong edge magic total labeling). Pelabelan ajaib sisi dikatakan kuat jika

himpunan titik-titiknya �₁,�2,�3,…,�� dipetakan satu-satu dengan

himpunan bilangan bulat positif {1, 2, 3,…,�} dengan � menyatakan banyak titik pada graf tersebut. Graf yang memenuhi pelabelan total ajaib sisi kuat

dinamakan graf total ajaib sisi kuat.

Berdasarkan hasil penelitian sebelumnya, penulis mengembangkan hasil

penelitian yang berkaitan dengan graf total ajaib sisi kuat dengan menentukan

interval serta pola konstanta ajaib yang terbentuk pada graf sikel �_� dengan tambahan � anting, serta rumus pelabelan total ajaib sisi kuat pada graf sikel �� dengan tambahan � anting untuk nilai konstanta ajaib dengan pola

tertentu.

5

1.2 Batasan Masalah

Pada tugas akhir ini, graf yang digunakan adalah graf yang berhingga,

sederhana, dan tak berarah, yaitu graf sikel �_� dengan tambahan � anting untuk � ≥3 dan � ganjil. Anting pada graf sikel �_� dibentuk dari � buah titik yang masing-masing dihubungkan dengan tepat satu titik pada graf sikel

�� oleh sebuah sisi. Titik-titik di luar graf sikel �� berturut-turut dinamakan ��+1, ��+2, ��+3,… ,�2�. Sedangkan pelabelan yang digunakan adalah

pelabelan total ajaib sisi kuat (strong edge magic total labeling).

1.3 Rumusan Masalah

Berdasarkan latar belakang dan batasan masalah di atas, rumusan masalah

yang akan dibahas dalam tugas akhir ini adalah:

1. Apakah pelabelan total ajaib sisi kuat berlaku pada graf sikel �_� dengan tambahan � anting untuk � ≥3 dan � ganjil? Bagaimana interval konstanta ajaib yang terbentuk?

2. Bagaimana rumus untuk menentukan nilai label titik dan sisi pada

pelabelan total ajaib sisi kuat pada graf sikel �_� dengan tambahan � anting untuk � ≥3 dan ganjil dengan nilai konstanta ajaib berpola tertentu?

6

1.4 Tujuan Penelitian

1. Mengetahui apakah pelabelan total ajaib sisi kuat berlaku pada graf sikel

�� dengan tambahan � anting untuk � ≥3 dan � ganjil, serta mengetahui

bagaimana interval dari konstanta ajaib yang terbentuk.

2. Mengetahui rumus untuk menentukan nilai label titik dan sisi pada

pelabelan total ajaib sisi kuat pada graf sikel �_� dengan tambahan � anting untuk � ≥3 dan � ganjil untuk nilai konstanta ajaib dengan pola tertentu.

1.5 Manfaat Penelitian

Manfaat dari penelitian ini adalah:

1. Menambah jenis graf baru yang memenuhi pelabelan total ajaib sisi kuat

2. Menambah wawasan mengenai pelabelan total ajaib sisi kuat

3. Dapat memberi label pada graf sikel dengan tambahan � anting dengan menentukan nilai konstanta ajaibnya

1.6 Metode Penelitian

Penelitian yang digunakan dalam tugas akhir ini adalah penelitian pustaka

(literature research) yang mengacu pada buku Magic Graph oleh W. D.

Walis (2001).

Penelitian ini menggunakan pendekatan kualitatif, sehingga pola

pembahasan dimulai dari hal-hal khusus (induktif) menuju pada suatu

7

generalisasi yang bersifat umum (deduktif). Secara garis besar langkah

penelitian ini sebagai berikut.

1. Mengumpulkan berbagai literatur yang berhubungan dengan topik

2. Mempelajari topik

3. Menganalisa sifat-sifat pelabelan total ajaib sisi kuat (strong edge magic

total labeling)

4. Membangun graf sikel dengan tambahan � anting dan menganalisa sifat graf tersebut

5. Menentukan apakah pelabelan total ajaib sisi kuat berlaku pada graf sikel

dengan tambahan � anting untuk � ≥3 dan � ganjil, sekaligus menentukan pola konstanta ajaib yang terbentuk

6. Menentukan rumus nilai label titik dan sisi pada graf sikel dengan

tambahan � anting, � ≥3 dan � ganjil untuk nilai konstanta ajaib dengan pola tertentu

1.7 Sistematika Penulisan

Sistematika penulisan tugas akhir ini dibagi menjadi empat bagian:

BAB I : PENDAHULUAN

Pada bab ini dijelaskan mengenai latar belakang, rumusan masalah,

pembatasan masalah, tujuan penelitian, manfaat penelitian, metode

penelitian, dan sistematika penulisan.

8

BAB II : KAJIAN PUSTAKA DAN LANDASAN TEORI

Pada bab ini dijelaskan mengenai teori graf dasar seperti definisi graf,

beberapa istilah dalam teori graf, jenis-jenis graf, pelabelan graf, graf sikel

dengan tambahan satu anting (�_� +�1), serta graf sikel dengan tambahan

dua anting (�_� + 2�1).

BAB III : HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN

Pada bab ini dianalisis mengenai sifat graf sikel dengan tambahan � anting, pelabelan total ajaib sisi kuat pada graf tersebut, serta rumus nilai

label masing-masing titik dan sisi pada graf tersebut, khususnya untuk � ≥ 3

dan � ganjil untuk nilai konstanta ajaib dengan pola tertentu. BAB IV : PENUTUP

Pada bab ini dijelaskan kesimpulan dari pembahasan yang telah diuraikan

pada bab sebelumnya serta saran-saran yang berkaitan dengan pembahasan

tersebut.

9

BAB II

KAJIAN PUSTAKA DAN LANDASAN TEORI 2.1. Teori Graf

1. Pengertian Graf

Definisi 2.1.1 (Goodaire dan Parmenter, 1998:329)

Graf adalah himpunan pasangan terurut � = (�,�) di mana �(�)

himpunan tak kosong dan �(�)adalah himpunan pasangan elemen yang berbeda di �(�). Elemen �(�) disebut titik (vertex) dan elemen �(�)

disebut sisi (edge). Jadi, jika � ∈ �(�), maka e merupakan himpunan pasangan � = (�_�,�), di mana �_� ≠ � , �_�,� ∈ �(�). Selanjutnya, �_� dan � disebut titik ujung dari e, atau dengan kata lain �= (�_�,�)

menghubungkan titik �_� dan �. Selanjutnya sisi �= (�_�,�) dinotasikan dengan �_�, di mana sisi tersebut merupakan sisi yang sama dengan sisi �= (� ,�_�) yang dinotasikan dengan �_,�.

Banyaknya unsur di �(�) disebut order dari G dilambangkan dengan �(�) dan banyaknya unsur di �(�) disebut ukuran (size) dari � dilambangkan dengan �(�) . Secara geometris graf dapat digambarkan sebagai sekumpulan titik pada bidang dimensi dua yang

dihubungkan dengan sekumpulan sisi (Chartrand dan Oellermann,

1993:3).

10

Contoh:

Gambar 2.1 Graf

Pada Gambar 2.1 gambar (a) merupakan graf dengan �(�) = 7 dan �(�) = 8, sedangkan gambar (b) merupakan graf dengan �(�) = 6

dan �(�) = 0.

Gambar 2.2 Bukan Graf

Gambar 2.2 bukan merupakan graf karena tidak memenuhi definisi 2.1.1

yaitu � � = ∅.

2. Beberapa Istilah dalam Graf

Berikut diberikan definisi berdekatan (adjacent) yang digunakan

untuk menjelaskan jenis-jenis graf khususnya graf lengkap (complete

graph).

(a) (b)

11

Definisi 2.1.2 (Munir, 2001:191)

Misal terdapat dua titik �_� dan � pada graf G, dua titik tersebut dikatakan berdekatan (adjacent) bila terdapat sebuah sisi yang

menghubungkan kedua titik tersebut. Dapat ditulis dengan notasi

�= (�_�,� )∈ �(�) di mana �_� ≠ � .

Berikut diberikan definisi bersisian (incident) yang digunakan untuk

menjelaskan derajat sebuah titik, graf sikel dan graf planar, pelabelan

total ajaib sisi, serta sifat pada graf sikel dengan tambahan � anting. Definisi 2.1.3 (Munir, 2001:191)

Diberikan graf G dan �_�,� ∈ � � , jika terdapat sebuah sisi yang menghubungkan �_� dengan � , dinotasikan �= (�_�,�) ∈ �(�) maka dikatakan bahwa e bersisian (incident) dengan titik �_� dan �.

Berikut diberikan definisi derajat (degree) sebuah titik yang

digunakan untuk menjelaskan jenis-jenis graf khususnya graf teratur.

Definisi 2.1.4 (Chartrand dan Oellermann, 1993:6)

Derajat (degree) sebuah titik �_� pada graf G yang dituliskan dengan

deg(�_�) menyatakan banyak sisi yang bersisian dengan �_�, dengan kata lain banyak sisi yang memuat �_� sebagai titik ujung. Titik dengan derajat nol disebut titik terisolasi (isolated vertex).

12

Berikut diberikan definisi sisi ganda (multiple edge) yang digunakan

untuk menjelaskan jenis-jenis graf khususnya graf sederhana dan graf

tak sederhana.

Definisi 2.1.5 (Munir, 2001:181)

Jika terdapat beberapa sisi berbeda pada graf yang menghubungkan

pasangan titik yang sama maka graf tersebut dikatakan mempunyai sisi

ganda (multiple edge).

Berikut diberikan definisi sisi ganda (multiple edge) yang digunakan

untuk menjelaskan jenis-jenis graf khususnya graf sederhana dan graf

tak sederhana.

Definisi 2.1.6 (Munir, 2001:181)

Jika terdapat sebuah sisi pada graf yang berawal dan berakhir pada satu

titik maka graf tersebut dikatakan memiliki gelang (loop).

Berikut diberikan contoh untuk memperjelas Definisi 2.1.2, 2.1.3,

2.1.4, 2.1.5, dan 2.1.6.

Contoh :

Gambar 2.3 Graf �₁

�1

�2 �3

�4 �₇

�5 �6

�1

�9

�3

�5 �2

�6 �8

�4

�7

13

Graf �₁ memuat himpunan titik � �₁ = {�1,�2,�3,�4,�5,�6,�7} dan

himpunan sisi � �₁ = �1,�2,�3,�4,�5,�6,�7,�8,�9 .

(i) Pada graf �₁, pasangan titik �₂ dan �₃ serta titik �₂ dan �₅ merupakan titik-titik yang adjacent karena terhubung langsung oleh

sebuah sisi yaitu sisi �₂ dan sisi �₈, sedangkan titik �₂ dan �₄ bukan merupakan titik-titik yang adjacent karena tidak terdapat sisi

yang menghubungkan �₂ dan �₄.

(ii) Pada graf �₁, sisi �₁ incident dengan titik �₁ dan �₂ karena �₁ menghubungkan �₁ dan �₂, tetapi tidak terdapat sisi yang incident

dengan titik �₁dan �₃ karena tidak ada sisi yang menghubungkan kedua titik tersebut.

(iii) Pada graf �₁, deg(�3) = 4, deg(�5) = 4, deg(�1) = 2, �7 disebut

isolated vertex karena deg(�7) = 0.

(iv) Graf �₁ memuat multiple edge yaitu sisi �₆ dan �₇ karena dua sisi tersebut menghubungkan pasangan titik yang sama yaitu �₅ dan �₆, serta memuat loop yaitu �₃,�3,�3 dimana sisi �3 berawal dan

berakhir di satu titik yaitu titik �₃.

3. Jenis-jenis Graf

Graf dikelompokkan berdasarkan sifat-sifatnya, antara lain

berdasarkan ada tidaknya gelang atau sisi ganda, berdasarkan banyaknya

titik, serta berdasarkan orientasi arah pada sisinya.

14

Berdasarkan ada tidaknya gelang atau sisi ganda pada suatu graf,

graf dikelompokkan menjadi dua jenis (Munir, 2001:182), yaitu:

a. Graf Sederhana (Simple Graph)

Graf sederhana adalah graf yang tidak mengandung gelang maupun

sisi-ganda.

Contoh:

Gambar 2.4 Graf Sederhana

b. Graf Tak Sederhana (Unsimple Graph)

Graf tak sederhana adalah graf yang mengandung sisi ganda atau

gelang atau keduanya. Graf tak sederhana dibagi menjadi dua

macam, yaitu graf ganda (multigraph) dan graf semu (pseudograph).

Graf ganda adalah graf yang mengandung sisi ganda. Graf semu

adalah graf yang mengandung sisi ganda dan gelang.

15

Contoh :

Gambar 2.5 Graf Tak Sederhana

Pada Gambar 2.5, (a) merupakan graf ganda karena memiliki sisi

ganda, sedangkan (b) merupakan graf semu karena selain memiliki

sisi ganda juga memiliki gelang.

Berdasarkan banyak titik pada suatu graf, maka secara umum graf

dapat dikelompokkan menjadi dua jenis (Munir, 2001:183), yaitu :

a. Graf Berhingga (Finite Graph)

Graf berhingga adalah graf yang banyak titiknya berhingga.

Contoh:

Gambar 2.6 Graf Berhingga

b. Graf Tak Berhingga (Infinite Graph)

Graf tak berhingga adalah graf yang banyak titiknya tidak berhingga.

(a) (b)

16

Contoh :

Gambar 2.7 Graf Tak Berhingga

Berdasarkan orientasi arah pada sisi, maka secara umum graf

dikelompokkan menjadi dua jenis (Munir, 2001:183), yaitu :

a. Graf Tak Berarah (Undirected Graph)

Graf tak berarah adalah graf yang sisinya tidak mempunyai orientasi

arah. Pada graf tak berarah, urutan pasangan titik yang dihubungkan

oleh sisi tidak diperhatikan. Jadi (�_�,�) dan (�,�_�) adalah sisi yang sama.

17

Contoh:

Gambar 2.8 Graf Tak Berarah

b. Graf Berarah (Directed Graph/Diagraph)

Graf berarah adalah graf yang setiap sisinya diberikan orientasi arah.

Pada graf berarah (�_�,� ) dan (� ,�_�) menyatakan dua sisi yang berbeda ((�_�,�)≠ (� ,�_�)). Pada sisi (�_�,�) titik �_�dinamakan titik asal (initial vertex) dan titik � dinamakan titik terminal (terminal vertex), sedangkan pada sisi (�,�_�) titik � dinamakan titik asal (initial vertex) dan titik �_� dinamakan titik terminal (terminal vertex).

Contoh :

Gambar 2.9 Graf Berarah �

�

�

��

�

�

��

� �

� �

�

�

��

�

�

��

� �

�

18

Terdapat beberapa jenis graf sederhana khusus (Munir, 2001:205) antara

lain:

a. Graf Lengkap (Complete Graph)

Graf lengkap adalah graf sederhana yang setiap titiknya berdekatan

atau terhubung langsung oleh satu sisi. Graf lengkap dengan n buah

titik dilambangkan dengan Kn. Banyak sisi pada sebuah graf lengkap

yang terdiri dari n buah titik adalah �(� −1)/2. Contoh :

Gambar 2.10 Graf Lengkap

Gambar 2.12 menunjukkan graf lengkap ₁, ₂, ₃, ₄ dan ₅

dengan banyak titik masing-masing 1, 2, 3, 4, dan 5.

b. Graf Sikel (Cycle Graph)

Graf sikel merupakan graf sederhana yang setiap titiknya

mempunyai dua sisi yang bersisian. Graf sikel dengan n titik

dilambangkan dengan �_�.

19

Contoh:

Gambar 2.11 Graf Sikel

Gambar 2.11 menunjukkan graf sikel �₃, �₄, �₅ dan �₆ dengan banyak titik masing-masing 3, 4, 5, dan 6.

c. Graf Roda (Wheels Graph)

Graf roda merupakan graf yang diperoleh dengan cara

menambahkan satu titik pada graf sikel �_�, dan menghubungkan titik baru tersebut dengan semua titik pada graf sikel tersebut.

Contoh:

Gambar 2.12 Graf Roda

d. Graf Teratur (Regular Graph)

Graf teratur merupakan graf yang setiap titiknya mempunyai derajat

yang sama. Apabila derajat setiap titik pada graf teratur adalah r,

maka graf tersebut dinamakan graf teratur berderajat r. Banyak sisi

pada graf teratur dengan n titik adalah 1

2�� sisi.

20

Contoh :

Gambar 2.13 Graf Teratur

Gambar 2.13 menunjukkan graf teratur dengan �= 2 dan �= 3. e. Graf Planar (Planar Graph) dan Graf Bidang (Plane Graph)

Suatu graf disebut graf planar jika graf tersebut dapat digambarkan

pada bidang datar sedemikian sehingga tidak ada sisi-sisinya yang

berpotongan kecuali di titik di mana keduanya bersisian. Namun,

suatu graf mungkin saja planar meskipun biasanya digambarkan

dengan sisi yang saling berpotongan, karena graf tersebut dapat

digambarkan dengan cara berbeda di mana sisi-sisinya tidak saling

berpotongan. Graf planar yang digambarkan dengan sisi-sisi yang

tidak saling berpotongan disebut graf bidang.

Contoh:

Gambar 2.14 Graf Lengkap ₄ merupakan Graf Planar

21

Gambar 2.15 Graf Lengkap ₅ merupakan Graf Tak Planar

Gambar 2.16 Semua Graf Sikel dan Graf Lengkap ₁, ₂, ₃

merupakan Graf Bidang

f. Graf Bipartit (Bipartite Graph)

Suatu graf sederhana G disebut bipartit jika mempunyai himpunan

titik V yang dapat dipartisi menjadi dua himpunan tak kosong yang

tak beririsan �₁ dan �₂ sedemikian hingga setiap sisi hubung dalam graf menghubungkan suatu titik di �₁dengan titik di �₂, atau tak ada sisi hubung di dalam G yang menghubungkan dua titik di �₁ maupun di �₂.

22

Contoh:

Gambar 2.17 Graf Bipartit

Dari Gambar 2.17 kedua grafadalah graf bipartit karena setiap sisinya

menghubungkan dua titik dari himpunan yang berbeda.

2.2. Pelabelan Graf (Graf Labeling)

Pelabelan graf adalah pemetaan bijektif yang memetakan elemen dari

graf tersebut (titik dan/atau sisi) dengan bilangan bulat positif. Terdapat

beberapa macam pelabelan graf berdasarkan domainnya, yaitu pelabelan

titik (vertex labeling) yang domainnya himpunan titik, pelabelan sisi (edge

labeling) yang domainnya himpunan sisi, serta pelabelan total (total

labeling) yang domainnya titik dan sisi.

Bobot adalah jumlahan dari label-label pada setiap elemen graf. Pada

pelabelan graf terdapat dua jenis pelabelan menurut jumlah dari setiap

bobotnya yaitu pelabelan ajaib (magic labeling) dan pelabelan tak ajaib

(antimagic labeling). Pelabelan ajaib adalah suatu pelabelan yang bobot

masing-masing titik atau sisinya sama/konstan, sedangkan pelabelan tak

ajaib adalah suatu pelabelan yang bobot masing-masing titik atau sisinya

berbeda.

23

Pada penelitian ini akan digunakan pelabelan total ajaib sisi kuat (strong

edge magic total labeling).

Definisi 2.2.1 (Wallis, 2001:17)

Pelabelan total ajaib sisi adalah pemetaan bijektif dari �(�)∪ �(�) ke bilangan bulat positif 1, 2, 3,…,�+�, dengan �= �(�) dan �= �(�) , jika terdapat konstanta c sedemikian sehingga untuk setiap sisi �_�, dan semua titik �_� dan � yang bersisian dengan sisi �_�, berlaku:

(�_�) + �_�, + (� ) =�

dengan (�_�, ) adalah label sisi ��, , (��) dan (�) adalah label titik yang

bersisian dengan sisi �_�, . Dengan kata lain �(��, ) =� untuk setiap sisi sisi

��, , dengan �(��, ) adalah bobot masing-masing sisi ��, . Bilangan c

disebut konstanta ajaib (magic constant) dari �. Contoh:

Gambar 2.18 Pelabelan Total Ajaib Sisi pada Graf �₄ dengan � = 12

Pada Gambar 2.18 bobot setiap sisi konstan, yaitu 12. Bobot �_1,2adalah

1 + 5 + 6 = 12, bobot �_2,3 adalah 6 + 4 + 2 = 12, bobot �_3,4 adalah

2 + 7 + 3 = 12, dan bobot �_1,4 adalah 1 + 8 + 3 = 12. Jadi contoh

5

8

2 6

3 1

4

7

�2

�4

�1

�3

24

pelabelan pada Gambar 2.20 disebut pelabelan total ajaib sisi pada �₄ dengan � = 12.

Definisi 2.2.2 (Wallis, 2001:17)

Pelabelan total ajaib sisi dikatakan kuat (strong) jika label-label titiknya

merupakan bilangan bulat positif 1, 2, 3,…,�, �= �(�) . Contoh:

Gambar 2.19 Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat pada Graf �₃ dengan � = 9

Pada Gambar 2.19 �(�) = 3 dan bobot setiap sisi konstan yaitu 9. Bobot �_1,2 adalah 1 + 6 + 2 = 9, bobot �_2,3 adalah 2 + 4 + 3 = 9, dan bobot �_1,3 adalah 3 + 5 + 1 = 9. Karena bobot setiap sisi konstan dan label-label titiknya adalah 1, 2, 3 maka contoh pelabelan pada Gambar 2.21 disebut pelabelan total ajaib sisi kuatpada �₃dengan � = 9.

2.3. Graf Sikel (Cycle Graph) dengan Tambahan Satu Anting

Graf sikel merupakan graf sederhana yang setiap titiknya berderajat dua,

atau graf dengan lintasan tertutup. Graf sikel dengan n titik dilambangkan

dengan �_�.

Graf sikel dengan tambahan satu anting merupakan pengembangan

bentuk dari graf sikel �_� dengan menambahkan satu titik diluar �_� dan

5

6

4 3

1 2

�1 �2

�3

25

sebuah sisi yang menghubungkan titik tersebut dengan �_�. Graf sikel dengan tambahan satu anting dilambangkan dengan �_� +�1 (Septian,

2011:27).

Contoh:

Gambar 2.20 Graf Sikel dengan Tambahan Satu Anting

Setiap graf sikel dengan tambahan satu anting (�_� +�1) mempunyai

�, ��� (vertex antimagic total labeling) dengan � ≥3 dan 8

untuk semua � ≥3. Jika label sisi adalah himpunan bilangan bulat positif

{1, 2, 3,…,�+ 1} dan label titik adalah himpunan bilangan bulat positif {�+ 2,�+ 3,…, 2�+ 2} maka nilai � adalah �(5− )

2 + 4. Untuk � ≥3 dan

� ganjil, = 1, 3, 5; untuk� ≥ 3 dan � genap, = 2, 4; sedangkan

= 6, 7, 8 tidak memenuhi untuk semua � ≥3. Pada graf sikel dengan tambahan satu anting (�_� +�1) terdapat 2�+ 4, 1 ��� dan �+ 4, 3 ��� untuk � ≥3 dan � ganjil (Septian, 2011:56).

2.4. Graf Sikel (Cycle Graph) dengan Tambahan Dua Anting

Graf sikel dengan tambahan dua anting merupakan pengembangan dari

graf sikel �_� dengan menambahkan dua titik diluar �_� dan dua sisi yang

(a) �₄+�₁ (b) �₅+�₁ (c) �₆ +�1

26

menghubungkan masing-masing titik tersebut dengan �_�. Graf sikel dengan tambahan satu anting dilambangkan dengan �_� + 2�1 (Yuliyanto, 2012:26).

Contoh:

Gambar 2.21 Graf Sikel dengan Tambahan Satu Anting

Graf sikel dengan tambahan dua anting (�_� + 2�₁) memenuhi pelabelan total ajaib sisi kuat dengan nilai konstanta ajaib � terletak pada interval 5�+9

2 <� < 5�+17

2 . Untuk nilai konstanta ajaib � = 5�+13

2 , nilai label untuk masing-masing titik dan sisi adalah sebagai berikut:

�1 =

�+ 1 2

�2 = 2

�� =

�+ 4 +�

2 �= 3, 5, 7,…,�

�+ 1

2 � = 4, 6, 8,…,� −1

��+1 = 1

��+2 =

�+ 5 2

�1,2 = 2�+ 3

��,�+1 = 2�+ 3 − � �= 2, 3, 4,…,� −1

�1,� =�+ 3

(a) �₄+ 2�1 (b) �₆+ 2�₁

27

�1,�+1 = 2�+ 4

�2,�+2 = 2�+ 2 (Yuliyanto, 2012:71).

2.5. Kerangka Berpikir

Sejauh ini telah dipelajari teori terkait definisi tentang graf, pelabelan

graf, serta hasil dari penelitian sebelumnya. Berdasarkan apa yang telah

dipelajari tersebut akan diselidiki apakah pelabelan total ajaib sisi kuat

(strong edge magic total labeling) berlaku pada graf sikel dengan

tambahan � anting, � ≥3, � ganjil dan akan ditentukan interval nilai konstanta ajaib c, serta akan diselidiki bagaimana rumus nilai label titik

dan sisi pada pelabelan total ajaib sisi kuat pada graf sikel dengan

tambahan � anting, � ≥3 dan � ganjil untuk nilai konstanta ajaib � dengan pola tertentu.

28

BAB III

HASIL PENELITIAN DAN PEMBAHASAN

3.1. Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat (Strong Edge Magic Total Labeling) pada Graf Sikel dengan Tambahan � Anting

Graf sikel dengan tambahan n anting merupakan pengembangan dari

graf sikel �_� dengan menambahkan n buah titik diluar �_� yang masing-masing dihubungkan dengan tepat satu titik pada �_� oleh sebuah sisi. Graf sikel dengan tambahan n anting dilambangkan dengan �_� +��1.

Gambar 3.1 Graf Sikel dengan Tambahan n Anting

Pada �_� +��₁ terdapat � buah titik dan � buah sisi pada �_� serta � buah titik di luar �_� dan � buah sisi yang yang masing-masing menghubungkan sebuah titik di luar �_� dengan tepat satu titik pada �_�. Titik dan sisi yang menjadi anting pada graf sikel tersebut merupakan titik

ke �+ 1, �+ 2, �+ 3,…, 2�, serta garis ke �+ 1, �+ 2, �+ 3,…, 2�, sehingga banyak titik dan sisi pada �_� +��1 adalah 4�.

(a) �₄ + 4�₁ (b)�_� +��1

��,2�

�8

�4

�3 �7

�1

�2

�6

�5 �1,2

�2,3 �3,7 �3,4 �1,4 �1,5 �3,4 �2,6 �2 �3

�2�

�2�−1

��+1

��+3

��+2

��−1

��

�1

�1,�+1

�2,�+2

�2,3

�1,2

�3,�+3

�1,�

��−1,2�−1

��−1,�

�1,2

29

Pada �_� +��₁ bobot setiap sisi yang dilambangkan dengan _�(�_�, )

ditentukan dengan rumus berikut:

� ��, =

(�_�) + �_�,�+1 + (�_�+1) (�_�) + �_�,1 + (�1) (�_�) + �_�,�+� + (��+�)

Pada pelabelan total ajaib sisi pada �_� +��₁ terdapat n label titik yang dihitung tiga kali karena bersisian dengan tepat tiga sisi yaitu label titik

�1 ,�2 ,�3,…,��, dan n label titik yang dihitung satu kali karena bersisian

dengan tepat satu sisi yaitu label titik �_�+1 ,��+2 ,��+3,…,�2�, sedangkan

semua label sisi dihitung satu kali. Akibatnya:

� =�_� + 3 (�_�)

�

1

+ �_� 2� �+1

� = �_� + �_� 2�

1

+ 2 (�_�)

�

1

� = �_� +�_�+ 2 (�_�)

�

1

dengan � merupakan jumlah semua bobot sisi, �_� merupakan jumlah semua label sisi, dan �_� merupakan jumlah semua label titik.

Berdasarkan Definisi 2.2.1, karena banyak titik dan sisi pada �_� +��₁

adalah 4�, akibatnya label titik dan sisi untuk graf tersebut adalah

1, 2, 3,…, 4�. Sedangkan banyak sisinya adalah 2�, akibatnya � = 2�.�

atau penjumlahan berulang nilai konstanta ajaib � sebanyak 2�: � =�_� +�_� + 2 (�_�)

�

1

�= 1, 2, 3,…,� −1

�= 1, 2, 3,…,�

�=�

30

2�.� = (1 + 2 + 3 +⋯+ 4�) + 2 (�_�)

�

1

2��= 2� 4�+ 1 + 2 �_�

�

1

…(�. )

Berdasarkan Definisi 2.2.2, label titik dari �₁,�₂,�₃,…,�_2� adalah

1, 2, 3,…, 2�, dan berdasarkan persamaan (3.1) hasil perhitungan ditentukan dari yaitu jumlah nilai label titik �₁,�2,�3,…,��.

Terdapat tiga kemungkinan memilih � buah label untuk �₁,�2,�3,…,��

yaitu:

1. Jika dipilih � buah label dengan susunan 1,2,3,…,� maka akan menghasilkan jumlah nilai label dengan nilai terkecil.

2. Jika dipilih � buah label dengan susunan �+ 1,�+ 2, �+ 3,…,2�

maka akan menghasilkan jumlah nilai label dengan nilai

terbesar.

3. Jika dipilih � sebarang bilangan dari 1, 2, 3,…, 2� maka akan menghasilkan jumlah nilai label dengan nilai antara yang

terkecil dan yang terbesar.

Berdasarkan tiga kemungkinan di atas, diperoleh hasil sebagai berikut:

1) Jika �₁,�2,�3,…,�� diberi label 1,2,3,…,�, akibatnya:

�� �

1

= 1 + 2 + 3 +⋯+�

�� �

1

= �

2 �+ 1 …(�. )

�� � 1 ( �_� � 1 ) ( �_� � 1 ) ( �_� � 1 )

31

Substitusi persamaan (3.2) ke persamaan (3.1):

2��= 2� 4�+ 1 + 2.�

2(�+ 1)

� =2� 4�+ 1 +�(�+ 1) 2�

� =2 4�+ 1 + (�+ 1) 2

� =9�+ 3

2

2) Jika �₁,�₂,�₃,…,�_� diberi label �+ 1,�+ 2, �+ 3,…,2�, akibatnya:

�� �

1

= �+ 1 + �+ 2 + �+ 3 +⋯+ 2�

�� �

1

= �

2 3�+ 1 …(�.�)

Substitusi persamaan (3.3) ke persamaan (3.1):

2��= 2� 4�+ 1 + 2.�

2(3�+ 1)

� =2� 4�+ 1 +�(3�+ 1) 2�

� =2 4�+ 1 + (3�+ 1) 2

� =11�+ 3

2

32

3) Jika �₁,�₂,�₃,…,�_� diberi label � sebarang bilangan dari

1, 2, 3,…, 2�, akibatnya:

9�+ 3

2 �

11�+ 3 2

Dari kemungkinan 1) , 2) dan 3) diperoleh nilai konstanta ajaib c terletak

pada interval:

9�+ 3

2 �

11�+ 3

2 … �.

Tabel 3.1 berikut menyatakan hubungan antara nilai n dan konstanta

ajaib c yang terbentuk pada pelabelan total ajib sisi kuat pada �_� +��1.

Tabel 3.1 Interval Nilai c pada Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat pada �� +��1

n ganjil n genap

n interval nilai c kemungkinan

nilai c n interval nilai c

kemungkinan nilai c

3 15 � 18 15, 16, 17, 18 4 19,5 � 23,5 20, 21, 22, 23

5 24 � 29 24, 25, 26, 27,

28, 29 6 28,5 � 34,5

29, 30, 31, 32, 33, 34

7 33 � 40 33, 34, 35, 36,

37, 38, 39, 40 8 37,5 � 45,5

38, 39, 40, 41, 42, 43, 44, 45

9 42 � 51

42, 43, 44, 45, 46, 47, 48, 49,

50, 51

10 46,5 � 56,5

47, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54,

55, 56

11 51 � 62

51, 52, 53, 54, 55, 56, 57, 58, 59, 60, 61, 62

12 55,5 � 67,5

56, 57, 58, 59, 60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67

13 60 � 73

60, 61, 62, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71

72, 73

14 64,5 � 78,5

65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76,

77, 78

… … … … … …

Pada skripsi ini akan dibahas pelabelan total ajaib sisi kuat pada

�� +��1 untuk � ≥3 dan n ganjil dengan nilai konstanta ajaib � =

9�+3 2

33

dan � =11�+3

2 . Peneliti tidak melakukan penelitian untuk pelabelan total ajaib sisi kuat pada �_� +��1 untuk � genap, maupun pelabelan total ajaib

sisi kuat pada �_� +��1 untuk � ganjil dengan pola yang lain, misalnya

untuk nilai konstanta ajaib dengan nilai 9�+5 2 ,

9�+7 2 ,

9�+9 2 ,…,

11�+1 2 ,

11�+3 2 .

Teorema 3.1

Graf sikel dengan tambahan n anting memenuhi pelabelan total ajaib sisi

kuat untuk � ≥3 dan � ganjil dengan nilai konstanta ajaib terletak pada interval 9�+3

2 �

11�+3 2 . Bukti:

Berdasarkan Definisi 2.2.2, label titik dari �₁,�2,�3,…,�2� adalah 1, 2, 3,…, 2�, dan berdasarkan persamaan (3.1) hasil perhitungan ditentukan dari yaitu jumlah nilai label titik �₁,�₂,�₃,…,�_�. Terdapat tiga kemungkinan memilih � buah label untuk �₁,�2,�3,…,��

yaitu:

1) Jika dipilih � buah label dengan susunan 1,2,3,…,� akibatnya .

2) Jika dipilih � buah label dengan susunan �+ 1,�+ 2, �+ 3,…,2�

akibatnya .

3) Jika dipilih � sebarang bilangan dari 1, 2,…, 2� akibatnya ��

�

1

� =9�+ 3 2

� = 11�+ 3 2

9�+ 3

2 �

11�+ 3 2

34

Dari 1), 2), dan 3) diperoleh bahwa nilai konstanta ajaib pada

pelabelan total ajaib sisi kuat pada graf sikel dengan tambahan � anting untuk � ≥3 dan � ganjil terletak pada interval

□

3.2. Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat pada �_�+�� untuk � ≥ � dan n

Ganjil dengan �=��+�

Dalam penelitian ini diambil salah satu pola pelabelan yang

memenuhi pelabelan total ajaib sisi kuat pada �_� +��1 untuk � ≥ 3 dan �

ganjil dengan nilai konstanta ajaib � =9�+3

2 seperti yang ditunjukkan pada tabel 3.2 berikut.

Tabel 3.2 Nilai Label Titik dan Sisi pada Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat pada �_� +��₁ untuk � ≥3 dan � Ganjil dengan � =9�+3

2

3 5 7 9 11 13 …

1 1 1 1 1 1 1 …

2 3 4 5 6 7 8 …

3 2 2 2 2 2 2 …

4 5 6 7 8 9 …

5 3 3 3 3 3 …

6 7 8 9 10 …

7 4 4 4 4 …

8 9 10 11 …

9 5 5 5 …

10 11 12 …

11 6 6 …

12 13 …

13 7 …

… …

� ��

9�+ 3

2 �

11�+ 3 2

35

3 5 7 9 11 13 …

� + 1 6 10 12 18 18 26 …

�+ 2 5 9 9 17 13 25 …

�+ 3 4 8 13 16 19 24 …

�+ 4 7 10 15 14 23 …

�+ 5 6 14 14 20 22 …

�+ 6 11 13 15 21 …

�+ 7 8 12 21 20 …

�+ 8 11 16 19 …

�+ 9 10 22 18 …

�+ 10 17 17 …

�+ 11 12 16 …

�+ 12 15 …

�+ 13 14 …

… …

_{3 5 7 9 11 13 …}

1,2 11 19 27 35 43 51 …

2,3 10 18 26 34 42 50 …

3,4 17 25 33 41 49 …

4,5 16 24 32 40 48 …

5,6 23 31 39 47 …

6,7 22 30 38 46 …

7,8 29 37 45 …

8,9 28 36 44 …

9,10 35 43 …

10,11 34 42 …

11,12 41 …

12,13 40 …

… …

1,� 12 20 28 36 44 52 …

3 5 7 9 11 13 …

1,�+ 1 8 13 20 23 32 33 …

2,�+ 2 7 11 19 19 31 27 …

3,�+ 3 9 14 18 24 30 34 …

4,�+ 4 12 17 20 29 28 …

5,�+ 5 15 16 25 28 35 …

� ��,�+1

� ��,�+�

� ��

36

3 5 7 9 11 13 …

6,�+ 6 15 21 27 29 …

7,�+ 7 21 26 26 36 …

8,�+ 8 22 25 30 …

9,�+ 9 27 24 37 …

10,�+ 10 23 31 …

11,�+ 11 33 38 …

12,�+ 12 32 …

13,�+ 13 39 …

… …

Dari tabel di atas, pelabelan total ajaib sisi kuat pada �_� +��₁ untuk � ≥3 dan � ganjil dengan nilai konstanta ajaib � =9�+3

2 dapat dibagi menjadi dua pola pelabelan yaitu untuk � = 2�+ 1, �= 1, 3, 5,… dan � = 2�+ 1, �= 2, 4, 6,… dengan rumus sebagai berikut:

1. Nilai label titik dan sisi untuk � = 2�+ 1, � = 1, 3, 5,…

�� =

�+ 1

2 �= 1, 3, 5,…,�

�+�+ 1

2 � = 2, 4, 6,…,� −1

��+� =

3�+�+ 2

2 � = 1, 3, 5,…,� −2 2 �+ 1 +�

2 �= 2, 4, 6,…,� −1

�+ 1 � =�

��,�+1 = 4� − � �= 1, 2, 3,…,� −1

�1,� = 4� �= �

��,�+� = 3₃� − �_� �_�== 1, 2, 3,_� …,� −1

� ��,�+�

37

Berikut ditunjukkan bahwa bobot masing-masing sisi pada �_� +��₁, � ≥3, � = 2�+ 1, � = 1, 3, 5,… dengan pola pelabelan di atas adalah konstan yaitu 9�+3

2 .

i) Untuk �= 1, 3, 5,…,� −2

� ��,�+1 = (��) + ��,�+1 + (��+1) = �+ 1

2 + 4� − �+

�+ (�+ 1) + 1 2

= �+ 1 2 +

8� −2�

2 +

�+ (�+ 1) + 1 2

= 8�+�+� −2�+�+ 1 + 1 + 1 2

= 9�+ 3 2

ii) Untuk �= 2, 4, 6,…,� −1

� ��,�+1 = (��) + ��,�+1 + (��+1) = �+�+ 1

2 + 4� − �+

�+ 1 + 1 2 = �+�+ 1

2 +

8� −2�

2 +

�+ 1 + 1 2 = �+ 8�+� −2�+�+ 1 + 1 + 1

2 = 9�+ 3

2

iii) Untuk �= �

� ��,1 = (��) + ��,1 + (�1) =�+ 1

2 + 4�+ 1 + 1

2 , �= �

38

=�+ 1 2 +

8� 2 +

2 2 =�+ 8�+ 1 + 2

2 =9�+ 3

2

iv) Untuk �= 1, 3, 5,…,� −2

� ��,�+� = (��) + ��,�+� + (��+�) = �+ 1

2 + 3� − �+

3�+�+ 2 2 = �+ 1

2 +

6� −2�

2 +

3�+�+ 2 2 = 6�+ 3�+� −2�+�+ 1 + 2

2 = 9�+ 3

2

v) Untuk �= 2, 4, 6,…,� −1

� ��,�+� = (��) + ��,�+� + (��+�) = �+�+ 1

2 + 3� − �+

2 �+ 1 +� 2 = �+�+ 1

2 +

6� −2�

2 +

2�+ 2 +� 2 = �+ 6�+ 2�+� −2�+�+ 1 + 2

2 = 9�+ 3

2

39

vi) Untuk �= �

� ��,�+� = (��) + ��,�+� + (��+�) = �+ 1

2 + 3�+�+ 1 , �= � = �+ 1

2 + 6�

2 +

2�+ 2 2 = �+ 6�+ 2�+ 1 + 2

2 = 9�+ 3

2

2. Nilai label titik dan sisi untuk � = 2�+ 1, � = 2, 4, 6,…

�� =

�+ 1

2 � = 1, 3, 5,…,�

�+ 1 +�

2 �= 2, 4, 6,…,� −1

��+� = 2� − �+ 1 �= 1, 2, 3,…,�

��,�+1 = 4� − � �= 1, 2, 3,…,� −1

�1,� = 4� �= �

��,�+� =

5�+�

2 � = 1, 3, 5,…,� 4�+�

2 �= 2, 4, 6,…,� −1

Berikut ditunjukkan bahwa bobot masing-masing sisi pada �_� +��1,

� ≥3, �= 2�+ 1, � = 2, 4, 6,… dengan pola pelabelan di atas adalah konstan yaitu 9�+3

2 .

40

i) Untuk �= 1, 3, 5,…,� −2

� ��,�+1 = (��) + ��,�+1 + (��+1) = �+ 1

2 + 4� − �+

�+ (�+ 1) + 1 2

= �+ 1 2 +

8� −2�

2 +

�+ (�+ 1) + 1 2

= 8�+�+� −2�+�+ 1 + 1 + 1 2

= 9�+ 3 2

ii) Untuk �= 2, 4, 6,…,� −1

� ��,�+1 = (��) + ��,�+1 + (��+1) = �+�+ 1

2 + 4� − �+

�+ 1 + 1 2 = �+�+ 1

2 +

8� −2�

2 +

�+ 1 + 1 2 = �+ 8�+� −2�+�+ 1 + 1 + 1

2 = 9�+ 3

2

iii) Untuk �= �

� ��,1 = (��) + ��,1 + (�1) =�+ 1

2 + 4�+ 1 + 1

2 , �= � =�+ 1

2 + 8�

2 + 2 2

41

=�+ 8�+ 1 + 2 2

=9�+ 3 2

iv) Untuk �= 1, 3, 5,…,�

� ��,�+� = (��) + ��,�+� + (��+�) = �+ 1

2 +

5�+�

2 + 2� − �+ 1 = �+ 1

2 +

5� ∓ � 2 +

4� −2�+ 2 2 = 5�+ 4�+�+� −2�+ 1 + 2

2 = 9�+ 3

2

v) Untuk �= 2, 4, 6,…,� −1

� ��,�+� = (��) + ��,�+� + (��+�) = �+�+ 1

2 +

4�+�

2 + 2� − �+ 1 = �+�+ 1

2 +

4�+� 2 +

4� −2�+ 2 2 = �+ 4�+ 4�+�+� −2�+ 1 + 2

2 = 9�+ 3

2

Teorema 3.2

Graf sikel dengan tambahan n anting memenuhi pelabelan total ajaib sisi

kuat untuk � ≥3 dan � ganjil dengan konstanta ajaib � =9�+3

2 .

42

Bukti:

Perhatikan ilustrasi pelabelan berikut yang dikonstruksi berdasarkan

pola pelabelan pada kasus 1 dan 2 di atas.

Gambar 3.2 Ilustrasi Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat

pada �_� +��₁, � ≥3, � = 2�+ 1,� = 1, 3, 5,… ,� = 9�+3 2

�2�−2

�2�−1

��+1

�� �1

�2

��+3

�2�

��+2

��+4

��−2

�4

��−1

�3

1

2

�+ 3

2

2� −1 2

�+ 1

2

�+ 5

2

�

3�+ 3 2

3�+ 1 2

�+ 1

3�+ 5 2

�+ 2

�+ 3 _2�

3� −1

4� −2 3�+ 1

4� 4� −1

4� −3 3� −2

3� −3

3� −4 _{2�+ 2}

3�

2�+ 1 3�+ 2

43

Gambar 3.3 Ilustrasi Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat

pada �_� +��1, � ≥3, � = 2�+ 1,� = 2, 4, 6,…,�=

9�+3 2

Pada kedua konstruksi di atas dapat dilihat bahwa label titik (�_�)

adalah bilangan bulat positif 1, 2, 3,…, 2� dengan label titik �₁,�2,�3,…,��

adalah 1, 2, 3,…,�, sedangkan label sisi (�_�, ) adalah bilangan bulat positif

2�+ 1, 2�+ 2,…, 4�. Bobot pada masing-masing sisi konstan yaitu 9�+3 2

(pembahasan pada halaman 36-41). Hal ini memenuhi syarat kasus 1 pada Teorema 3.1, sehingga terbukti bahwa graf sikel dengan tambahan n anting

5�+ 1 2

4� −1 _4� 1

�+ 3 2

2 _�

�+ 1 2 2�

2� −1 _{�+ 1}

2� −2 _{�+ 2}

4� −2

5� −1 2 5�+ 3

2

2�+ 1 3�

��+1

�1

��

�2

��−1 �3

��+3

�2�

�2�−1 ��+2

3�+ 1

44

memenuhi pelabelan total ajaib sisi kuat untuk � ≥3 dan � ganjil dengan konstanta ajaib � =9�+3

2 . □

Contoh:

Pelabelan total ajaib sisi kuat pada �_� +��₁ untuk � = 7, � =9(7)+3

2 = 33.

�1 = 1 + 1

2 = 1

�2 =

7 + 2 + 1 2 = 5

�3 = 3 + 1

2 = 2

�4 =

7 + 4 + 1 2 = 6

�5 = 5 + 1

2 = 3

�6 =

7 + 6 + 1 2 = 7

�7 = 7 + 1

2 = 4

�8 =

3(7) + 1 + 2 2 = 12

�9 =

2 8 + 2 2 = 9

�10 =

3(7) + 3 + 2 2 = 13

�11 =

2 8 + 4 2 = 10

�12 =

3(7) + 5 + 2 2 = 14

�13 =

2 8 + 6 2 = 11

�14 = 7 + 1 = 8

�1,2 = 4 7 −1 = 27

�2,3 = 4 7 −2 = 26

�3,4 = 4 7 −3 = 25

�4,5 = 4 7 −4 = 24

�5,6 = 4 7 −5 = 23

�6,7 = 4 7 −6 = 22

�1,7 = 4 7 = 28

�1,8 = 3 7 −1 = 20

�2,9 = 3 7 −2 = 19

�3,10 = 3 7 −3 = 18

�4,11 = 3 7 −4 = 17

�5,12 = 3 7 −5 = 16

�6,13 = 3 7 −6 = 15

�7,14 = 3 7 = 21

45

Gambar 3.4 Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat pada �₇+ 7�1, � = 33

Pelabelan total ajaib sisi kuat pada �_� +��1 untuk � = 5, � =

9(5)+3

2 = 24.

�1 = 1 + 1

2 = 1

�2 =

5 + 2 + 1 2 = 4

�3 = 3 + 1

2 = 2

�4 =

5 + 4 + 1 2 = 5

�5 = 5 + 1

2 = 3

�6 = 2 5 −1 + 1 = 10

�7 = 2 5 −2 + 1 = 9

�8 = 2 5 −3 + 1 = 8

�9 = 2 5 −4 + 1 = 7 12

11 8

13 9

10 14

1 2 5 3 4 6 7 20

26 22

28 27 25 24 19 18

17 16

21

15 ��+1

�� �1

�2

��+3 �2�−1

�2�

��+2

��+5

��+4

�5

�4

�6

�3

23

46

�10 = 2 5 −5 + 1 = 6

�1,2 = 4 5 −1 = 19

�2,3 = 4 5 −2 = 18

�3,4 = 4 5 −3 = 17

�4,5 = 4 5 −4 = 16

�1,5 = 4 5 = 20

�1,6 =

5(5) + 1 2 = 13

�2,7 =

4(5) + 2 2 = 11

�3,8 =

5(5) + 3 2 = 14

�4,9 =

4(5) + 4 2 = 12

�5,10 =

5(5) + 5 2 = 15

Gambar 3.5 Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat pada �₅+ 5�1, � = 24 13 19 20 1 4 2 5 3 10 9 ₆ 8 ₇ 18 17 12 14 11 15

��+1

�1

��

�2

�4 �3

��+3

�2�

��+4 ��+2

16

47

3.3. Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat pada �_�+�� untuk � ≥ � dan n

Ganjil dengan �= �+�

Dalam penelitian ini diambil salah satu pola pelabelan yang memenuhi

pelabelan total ajaib sisi kuat pada�_� +��1 untuk � ≥3 dan � ganjil

dengan nilai konstanta ajaib � =11�+3

2 seperti yang ditunjukkan pada tabel 3.3 berikut.

Tabel 3.3 Nilai Label Titik dan Sisi pada Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat pada �_� +��₁ untuk � ≥3 dan � Ganjil dengan � =11�+3

2

3 5 7 9 11 13 …

1 4 6 8 10 12 14 …

2 6 9 12 15 18 21 …

3 5 7 9 11 13 15 …

4 10 13 16 19 22 …

5 8 10 12 14 16 …

6 14 17 20 23 …

7 11 13 15 17 …

8 18 21 24 …

9 14 16 18 …

10 22 25 …

11 17 19 …

12 26 …

13 20 …

… …

� + 1 2 4 6 8 10 12 …

�+ 2 1 3 5 7 9 11 …

�+ 3 3 2 4 6 8 10 …

�+ 4 1 3 5 7 9 …

�+ 5 5 2 4 6 8 …

�+ 6 1 3 5 7 …

�+ 7 7 2 4 6 …

�+ 8 1 3 5 …

�+ 9 9 2 4 …

� ��

48

3 5 7 9 11 13 …

�+ 10 1 3 …

�+ 11 11 2 …

�+ 12 1 …

�+ 13 13 …

… …

_{3 5 7 9 11 13 …}

1,2 8 14 20 26 32 38 …

2,3 7 13 19 25 31 37 …

3,4 12 18 24 30 36 …

4,5 11 17 23 29 35 …

5,6 16 22 28 34 …

6,7 15 21 27 33 …

7,8 20 26 32 …

8,9 19 25 31 …

9,10 24 30 …

10,11 23 29 …

11,12 28 …

12,13 27 …

… …

1,� 9 15 21 27 33 39 …

_{3 5 7 9 11 13 …}

1,�+ 1 12 19 26 33 40 47 …

2,�+ 2 11 17 23 29 35 41 …

3,�+ 3 10 20 27 34 41 48 …

4,�+ 4 18 24 30 36 42 …

5,�+ 5 16 28 35 42 49 …

6,�+ 6 25 31 37 43 …

7,�+ 7 22 36 43 50 …

8,�+ 8 32 38 44 …

9,�+ 9 28 44 51 …

10,�+ 10 39 45 …

11,�+ 11 34 52 …

12,�+ 12 46 …

13,�+ 13 40 …

… …

� ��,�+1

� ��,�+�

� ��

49

Dari tabel di atas, pelabelan total ajaib sisi kuat pada �_� +��₁ untuk � ≥3 dan � ganjil dengan nilai konstanta ajaib � =11�+3

2 memiliki nilai label titik dan sisi dengan rumus sebagai berikut:

�� =

2�+�+ 1

2 � = 1, 3, 5,…,� 3�+�+ 1

2 � = 2, 4, 6,…,� −1

��+� = � − �_{� �}�₌= 1, 2, 3,_� …,� −1

��,�+1 = 3� − � � = 1, 2, 3,…,� −1

�1,� = 3� �=�

��,�+� =

7�+�+ 2

2 �= 1, 3, 5,…,� −2 6�+�+ 2

2 �= 2, 4, 6,…,� −1 3�+ 1 �= �

Berikut ditunjukkan bahwa bobot masing-masing sisi pada �_� +��₁

untuk � ≥ 3 dan � ganjil dengan pola pelabelan di atas adalah konstan yaitu 11�+3

2 .

i) Untuk �= 1, 3, 5,…,� −2

� ��,�+1 = (��) + ��,�+1 + (��+1) = 2�+�+ 1

2 + 3� − �+

3�+ (�+ 1) + 1 2

= 2�+�+ 1

2 +

6� −2�

2 +

3�+ (�+ 1) + 1 2

= 2�+ 6�+ 3�+� −2�+�+ 1 + 1 + 1 2

50

= 11�+ 3 2

ii) Untuk �= 2, 4, 6,…,� −1

� ��,�+1 = (��) + ��,�+1 + (��+1) = 3�+�+ 1

2 + 3� − �+

2�+ �+ 1 + 1 2

= 3�+�+ 1

2 +

6� −2�

2 +

2�+ �+ 1 + 1 2

= 3�+ 6�+ 2�+� −2�+�+ 1 + 1 + 1 2

= 11�+ 3 2

iii) Untuk �= �

� ��,1 = (��) + ��,1 + (�1) =2�+�+ 1

2 + 3�+

2�+ 1 + 1

2 , �= � =2�+�+ 1

2 +

6� 2 +

2�+ 2 2 =3�+ 6�+ 2�+ 1 + 2

2 =11�+ 3

2

iv) Untuk �= 1, 3, 5,…,� −2

� ��,�+� = (��) + ��,�+� + (��+�) = 2�+�+ 1

2 +

7�+�+ 2

2 +� − � = 2�+�+ 1

2 +

7�+�+ 2

2 +

2� −2� 2

51

= 2�+ 7�+ 2�+�+� −2�+ 1 + 2 2

= 11�+ 3 2

v) Untuk �= 2, 4, 6,…,� −1

� ��,�+� = (��) + ��,�+� + (��+�) = 3�+�+ 1

2 +

6�+�+ 2

2 +� − � = 3�+�+ 1

2 +

6�+�+ 2

2 +

2� −2� 2 = 3�+ 6�+ 2�+�+� −2�+ 1 + 2

2 = 11�+ 3

2

vi) Untuk �= �

� ��,�+� = (��) + ��,�+� + (��+�) = 2�+�+ 1

2 + 3�+ 1 +� , � =� = 2�+�+ 1

2 +

6�+ 2 2 +

2� 2 = 2�+�+ 6�+ 2�+ 1 + 2

2 = 11�+ 3

2

Teorema 3.3

Graf sikel dengan tambahan n anting memenuhi pelabelan total ajaib sisi

kuat untuk � ≥3 dan � ganjil, dengan konstanta ajaib � =11�+3

2 .

52

Bukti:

Perhatikan ilustrasi pelabelan berikut yang dikonstruksi berdasarkan

pola pelabelan di atas.

Gambar 3.6 Ilustrasi Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat

pada �_� +��₁, � ≥3, � Ganjil, � =11�+3

2

Pada konstruksi di atas dapat dilihat bahwa label titik (�_�) adalah bilangan bulat positif 1, 2, 3,…, 2� dengan label titik �₁,�₂,�₃,…,�_� adalah �+ 1,�+ 2,�+ 3,…,2�, sedangkan label sisi (�_�, ) adalah bilangan bulat

positif 2�+ 1, 2�+ 2,…, 4�. Bobot pada masing-masing sisi konstan yaitu

3� −1 2

2� ��+1

�� �1

�2

��+3

�2�

��+2

��+4

��−2

�4

��−1

�3

�2�−2 2�+ 2 3�+ 5

2

� −1

� −4

� −3

� −2 �

2

1

�+ 1

3�+ 1 2

�+ 2

3�+ 3 2

7�+ 3 2

3� −2 2�+ 1

3� 3� −1

3� −3

�2�−1 3�+ 2

7�+ 5 2

3�+ 3 4�

3�+ 1

7�+ 1 2

53

11�+3

2 (pembahasan pada halaman 49-51). Hal ini memenuhi syarat kasus 2 pada Teorema 3.1, sehingga terbukti bahwa graf sikel dengan tambahan n

anting memenuhi pelabelan total ajaib sisi kuat untuk � ≥3 dan � ganjil dengan konstanta ajaib � =11�+3

2 . □

Contoh:

Pelabelan total ajaib sisi kuat pada �_� +��₁, � = 5, � =11(5)+3

2 = 29.

�1 =

2 5 + 1 + 1

2 = 6

�2 =

3(5) + 2 + 1

2 = 9

�3 =

2 5 + 3 + 1

2 = 7

�4 =

3(5) + 4 + 1 2 = 10

�5 =

2 5 + 5 + 1

2 = 8

�6 = 5−1 = 4

�7 = 5−2 = 3

�8 = 5−3 = 2

�9 = 5−4 = 1

�10 = 5

�1,2 = 3 5 −1 = 14

�2,3 = 3 5 −2 = 13

�3,4 = 3 5 −3 = 12

�4,5 = 3 5 −4 = 11

�1,5 = 3 5 = 15

�1,6 =

7(5) + 1 + 2 2 = 19

�2,7 =

6(5) + 2 + 2 2 = 17

�3,8 =

7(5) + 3 + 2 2 = 20

�4,9 =

6(5) + 4 + 2 2 = 18

�5,10 = 3 5 + 1 = 16

54

Gambar 3.7 Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat pada �5+ 5�1, � = 29 19

14 15

6 9

7 10

8 4

3 5

2 ₁

13

12

18 20

17 16

��+1

�1

��

�2

�4 �3

��+3

�2�

��+4 ��+2

11

55

BAB 1V PENUTUP 4.1. Kesimpulan

Berdasarkan hasil dari penelitian yang telah dilakukan, dapat

disimpulkan bahwa:

1. Pelabelan total ajaib sisi kuat berlaku pada graf sikel dengan tambahan n

anting untuk � ≥ 3 dan � ganjil dengan nilai konstanta ajaib c terletak pada interval 9�+3

2 �

11�+3 2

.

2. Nilai label titik dan sisi untuk pelabelan total ajaib sisi kuat pada graf

sikel dengan tambahan n anting untuk � ≥3 dan � ganjil dengan nilai konstanta ajaib � =9�+3

2 dan � = 11�+3

2 adalah sebagai berikut: a. Untuk � =9�+3

2

1) �= 2�+ 1,� = 1, 3, 5,…,

�� =

�+ 1

2 �= 1, 3, 5,…,�

�+�+ 1

2 �= 2, 4, 6,…,� −1

��+� =

3�+�+ 2

2 �= 1, 3, 5,…,� −2 2 �+ 1 +�

2 � = 2, 4, 6,…,� −1

�+ 1 � =�

��,�+1 = 4� − � � = 1, 2, 3,…,� −1

�1,� = 4� �=�

��,�+� = 3₃� − �_� �_�= 1, 2, 3,_{= �} …,� −1

56

2) �= 2�+ 1,� = 2, 4, 6,…,

�� =

�+ 1

2 �= 1, 3, 5,…,�

�+ 1 +�

2 � = 2, 4, 6,…,� −1

��+� = 2� − �+ 1 �= 1, 2, 3,…,�

��,�+1 = 4� − � � = 1, 2, 3,…,� −1

�1,� = 4� �=�

��,�+� =

5�+�

2 � = 1, 3, 5,…,� 4�+�

2 � = 2, 4, 6,…,� −1

b. Untuk � =11�+3

2

�� =

2�+�+ 1

2 � = 1, 3, 5,…,� 3�+�+ 1

2 � = 2, 4, 6,…,� −1

��+� = � − �_{� �}�₌= 1, 2, 3,_� …,� −1

��,�+1 = 3� − � � = 1, 2, 3,…,� −1

�1,� = 3� �=�

��,�+� =

7�+�+ 2

2 �= 1, 3, 5,…,� −2 6�+�+ 2

2 �= 2, 4, 6,…,� −1 3�+ 1 �= �

57

4.2. Saran

Untuk penelitian selanjutnya dapat dikembangkan hasil dari penelitian

ini antara lain:

1. Penelitian untuk menyelidiki pola pelabelan total ajaib sisi kuat pada

graf sikel dengan tambahan n anting, � ≥3 dan � ganjil untuk nilai konstanta ajaib 9�+3

2 <� < 11�+3

2 .

2. Penelitian untuk menyelidiki pelabelan total ajaib sisi kuat pada graf

sikel dengan tambahan n anting untuk � ≥3 dan � genap.

11�+3

2 (pembahasan pada halaman 49-51). Hal ini memenuhi syarat kasus 2 pada Teorema 3.1, sehingga terbukti bahwa graf sikel dengan tambahan n anting memenuhi pelabelan total ajaib sisi kuat untuk � ≥3 dan � ganjil dengan konstanta ajaib � =11�+3

2 . □

Contoh:

Pelabelan total ajaib sisi kuat pada �_� +��₁, � = 5, � =11(5)+3 2 = 29.

�1 =

2 5 + 1 + 1

2 = 6

�2 =

3(5) + 2 + 1

2 = 9

�3 =

2 5 + 3 + 1

2 = 7

�4 =

3(5) + 4 + 1

2 = 10

�5 =

2 5 + 5 + 1

2 = 8

�6 = 5−1 = 4

�7 = 5−2 = 3

�8 = 5−3 = 2

�9 = 5−4 = 1

�10 = 5

�1,2 = 3 5 −1 = 14

�2,3 = 3 5 −2 = 13

�3,4 = 3 5 −3 = 12

�4,5 = 3 5 −4 = 11

�1,5 = 3 5 = 15

�1,6 =

7(5) + 1 + 2

2 = 19

�2,7 =

6(5) + 2 + 2

2 = 17

�3,8 =

7(5) + 3 + 2

2 = 20

�4,9 =

6(5) + 4 + 2

2 = 18

Gambar 3.7 Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat pada �5+ 5�1, � = 29

19

14 15

6 9

7 10

8 4

3 5

2 ₁

13

12

18 20

17 16

��+1

�1

��

�2

�4 �3

��+3

�2�

��+4 ��+2

55 BAB 1V PENUTUP 4.1. Kesimpulan

Berdasarkan hasil dari penelitian yang telah dilakukan, dapat disimpulkan bahwa:

1. Pelabelan total ajaib sisi kuat berlaku pada graf sikel dengan tambahan n anting untuk � ≥ 3 dan � ganjil dengan nilai konstanta ajaib c terletak pada interval 9�+3

2 �

11�+3

2

.

2. Nilai label titik dan sisi untuk pelabelan total ajaib sisi kuat pada graf sikel dengan tambahan n anting untuk � ≥3 dan � ganjil dengan nilai konstanta ajaib � =9�+3

2 dan � = 11�+3

2 adalah sebagai berikut: a. Untuk � =9�+3

2

1) �= 2�+ 1,� = 1, 3, 5,…,

�� =

�+ 1

2 �= 1, 3, 5,…,�

�+�+ 1

2 �= 2, 4, 6,…,� −1

��+� =

3�+�+ 2

2 �= 1, 3, 5,…,� −2 2 �+ 1 +�

2 � = 2, 4, 6,…,� −1

�+ 1 � =�

��,�+1 = 4� − � � = 1, 2, 3,…,� −1

�1,� = 4� �=�

2) �= 2�+ 1,� = 2, 4, 6,…,

�� =

�+ 1

2 �= 1, 3, 5,…,�

�+ 1 +�

2 � = 2, 4, 6,…,� −1

��+� = 2� − �+ 1 �= 1, 2, 3,…,�

��,�+1 = 4� − � � = 1, 2, 3,…,� −1

�1,� = 4� �=�

��,�+� =

5�+�

2 � = 1, 3, 5,…,� 4�+�

2 � = 2, 4, 6,…,� −1

b. Untuk � =11�+3 2

�� =

2�+�+ 1

2 � = 1, 3, 5,…,� 3�+�+ 1

2 � = 2, 4, 6,…,� −1

��+� = � − �_{� �}�₌= 1, 2, 3,_� …,� −1

��,�+1 = 3� − � � = 1, 2, 3,…,� −1

�1,� = 3� �=�

��,�+� =

7�+�+ 2

2 �= 1, 3, 5,…,� −2 6�+�+ 2

2 �= 2, 4, 6,…,� −1 3�+ 1 �= �

4.2. Saran

Untuk penelitian selanjutnya dapat dikembangkan hasil dari penelitian ini antara lain:

1. Penelitian untuk menyelidiki pola pelabelan total ajaib sisi kuat pada graf sikel dengan tambahan n anting, � ≥3 dan � ganjil untuk nilai konstanta ajaib 9�+3

2 <� < 11�+3

2 .

2. Penelitian untuk menyelidiki pelabelan total ajaib sisi kuat pada graf sikel dengan tambahan n anting untuk � ≥3 dan � genap.

58

DAFTAR PUSTAKA

Chartrand, Gary & Ortrud R. Oellermann. 1993. Applied and Algorithmic Graph Theory. New York: McGraw-Hill, Inc.

Goodaire, Edgar G., & Michael M. Parmenter. 1998. Discrete Mathematics with

Graph Theory. New York: Prentice-Hall, Inc.

Munir, Rinaldi. 2001. Matematika Diskrit. Bandung: Penerbit Informatika.

Septian, Cosmas W. 2011. Pelabelan Total Tak Ajaib Titik pada Graf Sikel

dengan Tambahan Satu Anting. Skripsi Pendidikan Matematika.

Yogyakarta: Universitas Sanata Dharma.

Suryadi H. S. 1996. Edisi I. Cetakan V. Teori Graf Dasar. Jakarta: Penerbit Gunadarma.

Wallis, W. D. 2001. Magic Graph. New York: Hamilton Printing.

Yuliyanto, Benedictus D. 2012. Pelabelan Total Ajaib Sisi Kuat pada Graf Sikel

dengan Tambahan Dua Anting. Skripsi Pendidikan Matematika.