Stabilitas benda terapung di atas air

Please purchase PDFcamp Printer on http://www.verypdf.com/ to remove this watermark.

KESEI MBANGAN BENDA
TERAPUNG
Mempelajari masalah :
• Prinsip hukum Archimedes
• Prinsip keseimbangan dan kestabilan
• Menghitung besar gaya apung dan letak
pusat apung
• Mengevaluasi kestabilan benda terendam
atau terapung

salmani, ST, MS, MT

1

Please purchase PDFcamp Printer on http://www.verypdf.com/ to remove this watermark.

salmani, ST, MS, MT

2

Please purchase PDFcamp Printer on http://www.verypdf.com/ to remove this watermark.

salmani, ST, MS, MT

3

Please purchase PDFcamp Printer on http://www.verypdf.com/ to remove this watermark.

Kesimpulan
• Benda yang terrendam di dalam air mengalami gaya berat

sendiri benda ( FG) yang bekerja vertikal ke bawah dan
gaya apung ( FB) yang bekerja vertikal ke atas. Besar gaya
apung sama dengan berat zat cair yang dipindahkan
benda. Gaya berat bekerja pada pusat berat benda ( G) ;
dan gaya apung bekerja pada pusat apung ( B) , yang sama
dengan pusat berat zat cair yang dipindahkan benda.
– FG > FB ⇒ Benda tenggelam
– FG = FB ⇒ Benda melayang (terendam)

– FG < FB ⇒ Benda mengapung

• Benda terendam akan stabil jika pusat berat G berada di
bawah pusat apung B.

• Benda terapung dalam kesetimbangan stabil apabila pusat
beratnya G berada di bawah pusat apung ( B) .

• Benda terapung dengan kondisi tertentu dapat pula dalam
kesetimbangan stabil meskipun pusat beratnya berada di
atas pusat apung. Kondisi stabilitas benda dapat diketahui
berdasarkan tinggi metasentrum.

TUGAS 3

Menghitung tinggi metasentrum
GM = BM − BG
BM =

I0

V

BG= OG − OB
Apabila :

M 〉 0 ⇒ Benda − Stabil

Dimana dengan :
GM = tinggi metasentrum
I o = momen inersia tampang
benda yang terpotong
permukaan zat cair
V = volume zat cair yang
dipindahkan benda
BG = jarak antara pusat berat
dan pusat apung
OG = jarak antara pusat berat
dan dasar
OB = jarak antara pusat apung
dan dasar

M = 0 ⇒ Benda − Netral
M 〈0 ⇒ Benda − Tidak − Stabil

salmani, ST, MS, MT

Soal :Stabilitas Benda Terapung
1.
2.
3.
4.

5.

Batu di udara mempunyai berat 500 N, sedang beratnya
di dalam air adalah 300 N. Hitung volume dan rapat
relatif batu itu.
itu.
Balok segi empat dengan ukuran 75 cm x 50 cm x 50 cm
mengapung di air dengan sisi panjangnya sejajar muka

air. Apabila bagian dari balok yang berada di atas
permukaan air adalah 10 cm, hitung berat balok.
Kubus kayu dengan panajang sisisisi- sisinya 0,5 m
mempunyai rapat relatif 0,6 mengapung di air. Hitung
bagian kubus yang terendam dalam air.
Balok kayu dengan panjang 1,0 m lebar 0,4 m dan
tingginya 0,3 m mengapung secara horizontal di air
dengan sisi tingginya vertikal. Rapat relatif kayu S= 0,7.
Hitung volume air yang dipindahkan dan letak pusat
apung.
Kubus kayu sisi 0,5 m mengapung di dalam air.
Berapakah
Berapakah berat beban yang harus diletakan di atas balok
supaya balok terendam seluruhnya. Rapat relatif kayu
S= 0,7.

4

Please purchase PDFcamp Printer on http://www.verypdf.com/ to remove this watermark.

6. Suatu balok ponton dengan lebar
B= 6,0 m, panjang L= 12 m dan sarat
d= 1,5 m mengapung di air taw ar ( ρ =
1000 kg/ m3) . Hitung:
a. Berat balok ponton
b. Sarat apabila berada di
air laut ( ρ2 = 1025
kg/ m 3 )
c. Beban yang dapat
didukung oleh ponton di
air taw ar apabila sarat
maksimum yang
diijinkan adalah 2,0 m.

7.

Kubus dengan sisi 25 cm dan rapat relatif 0,9
mengapung di air dengan salah satu sisinya
sejajar muka air. Berapakah beban harus
diletakkan di atas kubus supaya kubus tersebut

tenggelam di dalam air.

10.Pelampung silinder dengan
diameter 3 m dan tinggi 3 m
mengapung dengan sumbunya
vertikal. Berat pelampung adalah 3
ton. Selidiki stabilitas pelampung.
11.Silinder berdiameter 3 meter dan
tingginya 3 meter terbuat dari bahan
dengan rapat relatif 0,8. Benda tersebut
mengapung di dalam air dengan
sumbunya vertikal. Hitunglah tinggi
metasentrum dan selidiki stabilitas
benda.
12.Balok berpenampang bujur sangkar
dengan panjang sisinya 0,5 m dan tinggi
H mengapung di dalam air. Rapat relatif
balok 0,8. Berapakah tinggi H supaya
balok dapat terapung stabil dengan sisi
tingginya vertikal.

salmani, ST, MS, MT

8. Balok kayu mengapung di air taw ar dengan bagian yang berada di atas
atas
permukaan air adalah 10 cm. Apabila balok tersebut diapungkan di dalam
minyak dengan rapat relatif 0,8; bagian balok yang berada di atas
atas
permukaan minyak adalah 7,5 cm. berapakah rapat reatif balok.

9. Tangki berbentuk kotak dengan panj ang 1 m
dan lebar 0,5 m diisi air taw ar dan air raksa
sampai ¾ kali tingginya. Berat tangki adalah
175 N. volume air adalah 49 kali volume air
raksa. Tangki tersebut diletakan di air laut
sehingga mengapung dengan bagian yang
berada di atas air adalah setinggi 0,2 m.
Apabila rapat relatif air raksa adalah 13,6
tentukan tinggi maksimum tangki. Rapat
massa air laut dan air taw ar adalah 1020

kg/ m3 dan 10 00 kg/ m3.

13.Balok terbuat dari bahan dengan rapat
relatif 0,8. mempunyai panjang L= 1,0 m
dan tampang lintang bujur sangkar
dengan sisi 0,8 m diapungkan di dalam
air dengan sumbu panjangnya vertikal.
Hitung tinggi metasentrum dan selidiki
stabilitas benda.

14.Silinder berdiameter 45 cm
dan rapat relatif 0,9. Apabila
silinder mengapung di
dalam air dengan sumbunya
vertikal, tentukan panjang
maksimum silinder.

5

Please purchase PDFcamp Printer on http://www.verypdf.com/ to remove this watermark.

15.Silinder dengan diameter 0,5 m dan panjang 1 m
mengapung secara vertikal di laut. Rapat massa
air laut adalah 1020 kg/ m3. Tentukan rapat
massa bahan silinder apabila benda dalam kondisi
tidak stabil.
16.Silinder kayu dengan rapat
relatif 0,7 mengapung di air
taw ar dengan sisi
panjangnya vertikal. Apabila
panjang dan diameter silinder
adalah L dan D, berapakah
perbandingan antara D dan L
sedemikian sehingga silinder
dapat mengapung stabil.

19.Suatu balok dengan panjang 1 m
mempunyai tampang lintang bujur sangkar
dengan sisi 20 cm mempunyai rapat relatif
0,5. Bagian baw ah balok tersebut setebal

2,5 cm mempunyai rapat relatif 8. Balok
diapungkan dengan posisi berdiri ( lihat
gambar) .
• Selidiki stabilitas benda
• Apabila benda tidak stabil, berapakah
panjang bagian balok yang mempunyai
rapat relatif 0,5 supaya benda bisa
mengapung stabil.

17.Balok
17.Balok dengan panjang L= 1,0 m, lebar B= 0,8 m dan tinggi
H= 0,6 m diapungkan di dalam air dengan sisi tingginya
vertikal. Rapat relatif balok adalah S= 0,8. Selidiki stabilitas
benda. Apabila di atas balok tersebut diletakan plat besi
dengan panjang dan lebar yang sama dengan balok dan
tebalnya T= 0,01 m, selidiki stabilitas benda gabungan.
gabungan. Rapat
relatif besi S= 7,85.

18.Ponton segiempat dengan panjang 13 m,
lebar 10 m dan tinggi 3 m mempunyai berat
1000 kN. Di bagian atas ponton diletakan
silinder dengan diameter 7 m dan berat 600
kN. Pusat berat silinder dan ponton
dianggap terletak pada garis vertikal yang
sama dan melalui pusat berat ponton.
Hitung tinggi metasentrum. Rapat relatif air
laut 1,02.

21.
Silinder dengan panjang L, diameter D dan rapat relatif S mengapung
dalam zat cair dengan rapat relatif 2S. Tunjukan bahw a silinder akan
mengapung stabil dgn,
Sumbunya vertikal apabila L < D/ √2
Sumbunya horisontal apabila L > D

20.
Silinder terbuat dari dua bahan berdiameter
0,25 m mengapung di dalam air. Bagian atas
sepanjang 1,0 m terbuat dari kayu dengan
rapat relatif 0,8; sedangkan bagian baw ah
mempunyai rapat relatif 5. Hitung panjang
bagian baw ah agar silinder dapat
mengapung dengan sisi panjang vertikal.

salmani, ST, MS, MT

6

Please purchase PDFcamp Printer on http://www.verypdf.com/ to remove this watermark.

22.
Ponton dibuat dengan menghubungkan dua buah balok sepanjang
10 m, lebar 0,3 m dan tinggi 0,25 m yang mengapung di dalam
air taw ar. Rapat relatif balok kayu S= 0,6.
Selidiki stabilitas balok tunggal dan Selidiki stabilitas ponton.
Apabila di atas ponton terdapat beban seberat 750 kg
dengan pusat berat pada jarak 0,5 m dari sisi atas balok.
Beban tersebut berada pada tengah-tengah ponton.

23.
Pelampung silinder berdiameter 3 m dan
panjang 4 m mempunyai berat 4 0 kN
diapungkan diair laut ( S= 1,02 ) dengan
sumbu memanjangnya vertikal.
• Selidiki stabilitas benda.
• Apabila
pelampung
tidak
stabil,
berapakah gaya tarik yang harus
diberikan pada rantai yang dipasang
pada pusat dasar silinder supaya
silinder
dalam
kondisi
stabil
( mengapung stabil) .

24.Kerucut padat mengapung di dalam
air dengan sumbunya vertikal
sedemikian sehingga puncaknya
berada di baw ah. Apabila sudut
puncak kerucut adalah 40o, tentukan
rapat relatif benda sedemikian
sehingga benda dalam
kesetimbangan stabil.

25.Kerucut terbuat dari bahan dengan rapat relatif S1= 0,7
mengapung di atas zat cair dengan rapat relatif S2= 0,90.
Hitung sudut puncak kerucut minimum sedemikian sehingga
kerucut dapat mengapung dengan puncaknya dibawah.

26.Pelampung silinder berdiameter
D= 1,0 m dan tinggi H= 0,75 m
mempunyai
berat
3500
N
mengapung di air laut ( S= 1,025)
dengan sumbu vertical. Di pusat
sisi atas silinder diberi beban.
Letak pusat berat beban adalah
0,5 m dari sisi atas silinder.
Berapakah
berat
beban
maksimum supaya pelampung
tetap dalam kondisi stabil.

salmani, ST, MS, MT

27.Kapal dengan panjang 60 m lebar 8,4 m dan berat 15 MN. Muatan
diatas kapal seberat 150 kN bergerak pada arah lebar sejauh 4 m
sehingga menyebabkan kapal miring 3o. Momen I nersia tampang
kapal pada elevasi muka air adalah 72% dari momen inersia segi
empat yang mengelilinginya. Pusat apung terletak pada 1,5 m di
baw ah muka air. Tentukan tinggi metasentrum dan posisi pusat
berat kapal. Rapat massa air laut ρ= 1025 kg/ m3.

28.Ponton bujur sangkar dengan sisi 6 m dan tinggi 1,2 m mengapung di
atas air. Apabila diatas ponton diberi beban seberat 4 ton, bagian dari
ponton yang terendam air adalah 0,6 m. Beban berada pada tengahtengah ponton. Pusat berat ponton adalah 0,6 m diatas dasar dan
pusat berat beban 1,2 m diatas sisi ponton. Selidiki stabilitas ponton.
Berapa beban maksimum sehingga ponton tidak stabil.

7

Please purchase PDFcamp Printer on http://www.verypdf.com/ to remove this watermark.

Jawaban Tugas No 3.01
Gaya apung ( FB) adalah sama dengan
perbedaan antara berat batu di udara
dan di dalam air:

FB = Wdiudara − Wdiair
= 500 − 300 = 200 N

Menurut hukum Archimedes, gaya apung ( FB) adalah sama dengan berat
air yang dipindahkan batu. Berat air yang dipindahkan batu ( FB) adalah
sama dengan perkalian antara volume air yang dipindahkan ( V) dan
berat jenis air.

FB = γ .V = ρ .g .V = 1000 x9,81xV = 9810V

Dari kedua nilai FB di atas,

200 = 9810.V ⇒ V = 0,0204m 3

Volume air adalah sama dengan volume batu, sehingga volume batu
adalah V= 0,0204 m 3 . Berat batu di udara adalah sama dengan berat
jenis batu dikalikan volume batu,

W diudara = γ .V = ρ . g .V

Pusat apung( B) adalah titik
pd mana gaya apung
bekerja. Pusat apung ini
merupakan pusat berat dari
volume zat cair yang
dipindahkan

Jawaban Tugas No 3.02
Tinggi balok yang terendam di dalam air:

d = 50 − 10 = 40cm = 0,4m
Volume bagian balok yang terendam di
air:

V = 0,4 x0,5 x0,75 = 0,15m 3

Berat balok = berat zat cair yang dipindahkan

500 = ρx 9,81 x 0, 0204

ρ = 2500 kg / m 3 ⇒ S =

= γ air .V = 1000 x0,15 = 150kgf

2500
ρ
=
= 2 ,5
ρ air 1000

Jawaban Tugas No 3.03
Misal W : berat kubus, FB : gaya apung
d : kedalaman bagian kubus yang
terendam air

Jawaban Tugas No 3.04
Volume balok : V= 1.0x0,4x0,3= 0,1 2 m 3
Berat Balok :

S=

γ benda
⇒ γ benda = S .γ air = 0,6 x1000 = 600,0 kgf 3
m
γ air

Berat benda :
Gaya apung :

W = γ benda .V = 600 x0,53 = 75,0 N

FB = γ air .V air _ yg _ dipindahka n

= 1000 x ( 0 ,5 x 0,5 xd ) = 250 ,0 d
Pada kondisi mengapung,
berat benda adalah sama
dengan gaya apung:

W = FB ⇒ 75,0 = 250 ,0 d ⇒ d = 0,3m

Jadi kedalaman kubus yang terendam air= 0,3 m.

salmani, ST, MS, MT

W = ρ Balok .g .V = S .ρ air .V

W = 0,7 x1000 x9,81x0,12 = 824,04 N

Rapat relatif :

Volume air yang dipindahkan :

V=

Berat _ balok
824,04
⇒
= 0,084m 3
berat _ jenis _ air
1000 x9,81

Kedalaman bagian balok yg terendam air :

Volume _ air _ yg _ dipindahkan
tampang _ balok _ pd _ muka _ air
Letak pusat apung :
V
0,084
d 0, 21
⇒= =
= 0,21m
OB = =
= 0,105 m
A 1,0 x0,4
d=

2

2

Jadi letak pusat apung adalah 0,105 m dari dasar balok.

8

Please purchase PDFcamp Printer on http://www.verypdf.com/ to remove this watermark.

Jawaban Tugas No 3.05#1

Jawaban Tugas No 3.05#2

Volume balok : V1 = 0,5 x 0,5 x 0,5 = 0,125 m 3

Jika diatas Balok diberi beban dengan berat
W2,maka berat total balok+ beban adalah:

W1 = γ Balok .V = S .γ air .V

Berat Balok :

W1 = 0,7 x1000 x0,125 = 87,5kgf
Volume air yang dipindahkan :

VA1 =

W1 87,5
=
= 0,0875m 3
γ air 1000

Kedalaman bagian balok yg terendam air :

V 0,0875
= 0,35m
d= =
A 0,5 x0,5

Jawaban Tugas No 3.06
a. Dalam keadaam terapung, berat
benda adalah sama dengan berat air
yang dipindahkan benda ( FB) :

FG = FB = ρ 1 . g . B . L .d

= 1000 x 9 ,81 x 6 , 0 x12 ,0 x1,5
= 1 .059 .480 N = 1 . 059 , 48 kN
Jadi berat benda adalah ( FG) :1059,48 kN

ρ = 1025kg / m

b. Mencari sarat ( draft) di air laut :
Rapat massa air laut :

Pada kondisi mengapung,
berat benda adalah sama
dengan gaya apung:

3

FG = FB = ρ 2 . g .B.L.d

d=

FG
1 .059 .480
=
= 1, 463 m
ρ 2 . g .B.L 1025 x 9,81 x 6,0 x12 ,0

c. Mencari sarat maksimum ( draft
max) dmaks = 2,0 m, gaya apung
total

FBmak = ρ . g .B.L.d max = 1000 x 9,81 x 6,0 x12 ,0 x 2,0 = 1412640 N

Wtotal = W1 + W2 = 87,5 + W2
Apabila balok terendam seluruhnya, berarti kedalaman balok yg
terendam air adalah d2= 0,5 m. Volume air yang dipindahkan benda :

VA 2 = A.d 2 = 0,5 x0,5 x0,5 = 0,125m 3
Gaya apung :

FB = γ air .V A 2 = 1000 x 0,125 = 125 ,0 kgf

Dengan menyamakan berat total dan gaya apung :

Wtotal = FB ⇒ 87 ,5 + W 2 = 125 ,0 ⇒ W 2 = 37 ,5 kgf
Jadi berat beban di atas balok adalah W 2 = 37,5 kgf

Jawaban Tugas No 3.07#1
Sisi kubus : B= 25 cm
Rapat relatif : S= 0,9
Berat benda :

⇒ ρ b = 0,9 x1000 = 900kg / m 3

FG = V .ρ b . g = B 3 .ρ b . g

Misalkan tinggi kubus yang
terendam air adalah d Gaya
apung :

FB = A.d .ρ a .g = B 2 .d .ρ a .g

Dalam Keadaan mengapung :FG= FB

B 3 .ρ b .g = B 2 .d .ρ a . g
⇒d =

ρb
B = SB = 0,9 x0,25 = 0,225m
ρa

Jadi beban yg dpt didukung adalah:1.412,64-1.059,48= 353,16kN

salmani, ST, MS, MT

9

Please purchase PDFcamp Printer on http://www.verypdf.com/ to remove this watermark.

Jawaban Tugas No 3.07#2
Jika diatas kubus diberi beban dengan berat
W2,maka berat total kubus dan beban adalah:

Wtotal = W1 + W2 = FG + W2

= 0,253 x900 x9,81 + W2 = 137,953 + W2
Apabila kubus terendam seluruhnya, berarti kedalaman kubus yang
terendam air adalah d= 0,25 m. Gaya apung pada keadaan tersebut :

FB = V .ρ air .g = 0,253 x1000 x9,81 = 153,281N

Jawaban Tugas No 3.08
Misal h adalah tinggi balok yang berada di atas permukaan zat cair.
Di dalam air taw ar Sa= 1 ⇒ h = 10 cm
Di dalam minyak : Sm = 0,8 ⇒ h = 7,5 cm
Misalkan tinggi balok H dan luas dasar balok A cm 2 .

Gaya apung di air taw ar:

⇒ W 2 = 15 ,328 N

H .ρ b = H ρ a − 0,1ρ a = 1000 H − 100
FG = FB 2 ⇒ AH ρ b g = A( H − 0,075 ) ρ m g
H ρ b = H ρ m − 0,075 ρ m = 800 H − 60

FB 2 = A( H − 0,075) ρ mnyak .g
FG = V .ρ b .g = A.H .ρ b .g

Gaya apung di minyak:
Berat balok :

Dengan menyamakan berat total dan gaya apung :

Wtotal = FB ⇒ 137 ,953 + W 2 = 153 , 281

FB1 = A( H − 0,1) ρ air .g

Pada kondisi mengapung,
berat benda adalah sama
dengan gaya apung:

FG = FB1danF G = FB 2 ⇒ FG = FB1

⇒ A.H .ρ b . g = A( H − 0,1) ρ a . g

Jawaban Tugas No 3.09
Luas tampang tangki : A= L x B = 1 x 0,5 = 0,5
2
m
Misalkan tinggi tangki adalah H, sedang V dan V adalah volume air
1

Dengan menyamakan persamaan di atas:

Volume air dan air raksa :

1000 H − 100 = 800 H − 60 ⇒ H = 0, 20 m
Substitusi nilai tersebut ke dalam persamaan aw al :

0, 20 .ρ b = 1000 x 0, 20 − 100 a ρ b = 500 kg / m 3
S Balok

salmani, ST, MS, MT

=

ρ balok
ρ air

=

500 kg / m
1000 kg / m

3
3

= 0 ,5

2

dan air raksa.

V1 + V2 = 0,5 x0,75H = 0,375H _ m 3

Selain itu, V1 = 49V2 sehingga 49V2 + V2 = 0,375H
Atau :

V2 =

0,375H
= 0,0075H ⇒ V1 = 49 x0,0075H = 0,3675H _ m3
50

Berat tangki, air
dan air raksa
adalah :

W

= W

t

+ W

= 175 + 1000
+ 13 , 6 x 1000
= 175

+ 4605

1

+ W

2

x 9 , 81 x 0 , 3675
x 9 , 81 x 0 , 0075

, 795

H
H

H _ N

10

Please purchase PDFcamp Printer on http://www.verypdf.com/ to remove this watermark.

Gaya apung : FB= A.dair laut .g= 0,5dx1020x9,81= 5003,1d N
Dalam keadaan mengapung W= FB, sehingga:

175 + 4605 H = 5003 ,1d ⇒ d =

175 + 4605 ,795 H
5003 ,1

Bagian tangki yang berada di atas permukaan air adalah 0,2m, berarti
bagian yang terendam adalah:

d = H − 0, 20 m

Dengan menyamakan kedua bentuk nilai d di atas didapat

175 + 4605 ,795 H
5003 ,1
a 5003 ,1H − 1000 ,62 = 175 + 4605 ,795 H
H − 0, 2 =

didapat : H = 2,959 m

Jawaban Tugas No 3.10
Berat pelampung : FG = 3 ton
Misalkan bagian dari pelampung yang terendam air adalah d. Gaya
apung:
π
π

FB =

4

D 2 .d .γ air ⇒ F B =

4

3 2 .d . 1000 = 7068 , 58 d

Dalam keadaan mengapung : FG = FB⇒3000= 7068,58 d, maka
d= 0,4244 m
d
OB = = 0,2122m
Jarak pusat apung terhadap dasar
2
silinder :
Jarak pusat berat terhadap dasar silinder
:

OG =

3,0
= 1,5 m
2

Jarak antara pusat berat dan pusat apung:

BG = OG − OB = 1,5 − 0,2122 = 1,2878 m

Moment inersia tampang pelampung yang terpotong muka air:

I0 =

π
π
xD 4 =
x 3 4 = 3,9708 m 4
64
64

Volume air yang dipindahkan:

V =

π 2
π
D d = x 3 2 x 0, 4244 = 3,0 m 3
4
4

Jarak antara pusat apung dan titik metasentrum :

BM =

I 0 3,97608
=
= 1,3254 m
V
3,0

Tinggi metasentrum:

GM = BM − BG = 1,3254 − 1,2878 = 0,0376m

Karena GM > 0, berarti pelampung dalam kondisi stabil

salmani, ST, MS, MT

Jawaban Tugas No 3.11
γ Benda
= 0,8 ⇒ γ benda = 0,8 x1000 = 800kgf / m 3
γ air
π
Berat benda :
FG = D 2 .H .γ Benda
4

S=

Dalam keadaan mengapung : FG = FB, sehingga :

π 2
π
γ
D . H .γ Benda = D 2 .d .γ Air a d = Benda xH = 0 ,8 x 3 = 2 , 4 m
4
4
γ Air
Jarak pusat apung terhadap dasar
silinder :
Jarak pusat berat terhadap dasar silinder OG =
:

OB =

2,4
= 1,2m
2

3,0
= 1,5 m
2

Jarak antara pusat berat dan pusat apung:

BG = OG − OB = 1,5 − 1,2 = 0,3m

11

Please purchase PDFcamp Printer on http://www.verypdf.com/ to remove this watermark.

Moment inersia tampang pelampung yang terpotong muka air:

I0 =

π
π
xD 4 =
x 3 4 = 3,9708 m 4
64
64

Volume air yang dipindahkan:

π 2
π
D d = x 3 2 x 2, 4 = 16 ,9649 m 3
4
4

V =

Jarak antara pusat apung dan titik metasentrum :

BM =

I0
3,9761
=
= 0, 234 m
V 19 ,9646

Tinggi metasentrum:

GM = BM − BG = 0,234 − 0,3 = −0,066m

Karena GM < 0, berarti benda dalam kondisi tidak stabil

Moment inersia tampang pelampung yang terpotong muka air:

I0 =

1
1
.B .B 3 =
x 0,5 4 = 5, 2083 x10 − 3 m 4
12
12

Volume air yang dipindahkan:

V = B d = 0,5 x 0,8 H = 0, 2 H
2

2

Jarak antara pusat apung dan titik metasentrum :

BM =

I 0 5, 2083 x10
=
V
0, 2 H

−3

=

0,0260415
H

0,0260415
Benda akan stabil jika BM > BG :
> 0,1H ⇒ H < 0,51m
H
Jadi benda akan stabil apabila tinggi balok maksimum 1,02

salmani, ST, MS, MT

Jawaban Tugas No 3.12
S=

ρ Benda
= 0,8 ⇒ ρ benda = 0,8 x1000 = 800kgf / m 3
ρ air
2
Berat benda : FG = 0,5 .H .ρ Benda , g

Gaya Apung :

FB = 0,52.d .ρ air .g

Dalam keadaan mengapung : FG = FB, sehingga :

0,52.H .ρ Benda .g = 0,52.d .ρ Air .g a d =

ρ Benda
xH = S .H = 0,8 H
ρ Air
OB =

Jarak pusat apung terhadap dasar :
Jarak pusat berat terhadap dasar :

OG =

d
= 0,4 H
2

H
= 0 ,5 H
2

Jarak antara pusat berat dan pusat apung:

BG = OG − OB = 0,1H

Jawaban Tugas No 3.13
S =

γ

Benda

γ

= 0 , 8 ⇒ γ benda = 0 , 8 x 1000 = 800 kgf / m 3

air

Luas Tampang lintang balok:

A = B.H = 0,8 x0,8 = 0,64m 2

Berat benda : FG = A.L.γ Benda = 0,64 x1,0 x800 = 512kgf
Berat air yang dipindahkan:

FB = γ Air . A.d = 1000 x 0,64 xd = 640d _ kgf

Dalam keadaan mengapung : FG = FB, sehingga :

512 = 640.d a d = 0,8m

d 0,8
OB = =
= 0,4m
Jarak pusat apung terhadap dasar Balok
2
2
1
,
0
L
:
=
= 0 ,5 m
Jarak pusat berat terhadap dasar Balok :OG =

2

2

Jadi Jarak antara pusat berat dan pusat apung:

BG = OG − OB = 0,5 − 0,4 = 0,1m

12

Please purchase PDFcamp Printer on http://www.verypdf.com/ to remove this watermark.

Moment inersia tampang bujursangkar yang terpotong muka air:

1
1
I 0 = .B .H 3 =
x 0,8 x 0,8 3 = 0,03413 m 4
12
12
Volume air yang dipindahkan:

V = A.d = 0,64 x 0,8 = 0,512 m

3

Jarak antara pusat apung dan titik metasentrum :

I
0,03413
BM = 0 =
= 0,06667 m
V
0,512
Tinggi metasentrum:

GM = BM − BG = 0,06667 − 0,1 = −0,03333m

Karena GM < 0, berarti benda dalam kondisi tidak stabil

Moment inersia tampang pelampung yang terpotong muka air:

π
π
I0 =
xD 4 =
x ( 0, 45 ) 4 = 2,01289 x10 − 3 m 4
64
64
Volume air yang dipindahkan:
π
π
V = D 2 d = x ( 0, 45 ) 2 x 0,9 H = 0,143139 H _ m 3
4
4
Tinggi metasentrum:

BM =

I 0 2,01289 x10 −3 0,0140625
=
=
V
0,143139 H
H

Benda akan stabil apabila BM> BG

0,0140625
〉 0,05H ⇒ H 〈 0,53m
H
Jadi tinggi silinder maksimum adalah 0,53 m.

salmani, ST, MS, MT

Jawaban Tugas No 3.14
S=

γ Benda
= 0,9 ⇒ γ benda = 0,9 x1000 = 900kg / m 3
γ air

Berat benda :

FG =

=

π 2
D .H .γ Benda
4

Gaya Apung :

π
0, 452 xHx900 = 143,1388H _ kgf
4

Dalam keadaan mengapung
:

FB =

=

π 2
D .d .γ Air
4

π
x0,452 xdx1000 = 159,0431d _ kgf
4

FG = FB a 143,1388H = 159,0431d a d = 0,9 H
d

Jarak pusat apung terhadap dasar :OB = 2 =

=

Jarak pusat berat terhadap dasar OG
:

0 ,9
= 0 , 45 H
2

1, 0
= 0 ,5 H
2

Jarak antara pusat berat dan pusat apung:

BG = OG − OB = 0,5 H − 0,45 H = 0,05 H

Jawaban Tugas No 3.15
Misal W adalah berat benda dan ρ1dan ρ2 adalah rapat massa air laut
dan bahan silinder.
π 2
π 2

W = ρ 2 .g.V = ρ 2 .g.

Gaya apung :

FB

4

D h = ρ 2 .g . 1 1 = 0,25πρ 2 .g
4

π
=
D 2 .d . ρ 1 . g
4

Pada kondisi mengapung, berat benda ( W) adalah sama dengan gaya
apung ( FB) , sehingga:

0, 25πρ 2 . g =

π 2
ρ
ρ2
ρ2
D .d .ρ 1 . g ⇒ d = 1 .h =
x1 a d =
4
ρ2
1020
1020
π

π

.ρ

0,25πρ 2

2
2
2
=
Volume air yang dipindahkan V = D .d = D x
4
4
1020
ρ1
:
d
ρ2
Jarak pusat apung benda dari dasar silinder
OB =
=
2
2 x 1020

Jarak pusat berat benda dari dasar silinder

OG =

=

ρ2
2040

1
1
h = x1 = 0,5m
2
2

Jarak antara pusat berat benda dan pusat apung
BG = OG − OB = 0 , 5 −

ρ2
2040

13

Please purchase PDFcamp Printer on http://www.verypdf.com/ to remove this watermark.

Moment inersia tampang lingkaran yang terpotong muka air:

I0 =

π
π
π 4
xD 4 =
x (1) 4 =
m
64
64
64

Didapat:ρ 2 a

= 870,624kg / m3 ⇔ ρ 2b = 149,375kg / m 3

Apabila kedua hasil tersebut disubstitusikan kedalam persamaan
d=

ρ2
1020

Didapat:

Jarak antara pusat apung dan Titik metasentrum:

π
I0
63 , 75
64
BM =
=
=
0 , 25 πρ 2
V
ρ2
1020
Silinder dalam kondisi stabil apabila tinggi metasentrum BM> BG

ρ 
ρ
63,75 
63,75
〉  0,5 − 2  ⇒ 0,5 =
+ 2 1020ρ 2 = 130050 + ρ 22
ρ2 
ρ2
2040 
2040

d = 0,8536m ⇔ untukρ 2 a = 870,624kg / m 3
dan

d = 0,1464m ⇔ untukρ 2b = 149,375kg / m 3

ρ 22 − 1020ρ 2 + 130.050 = 0
ρ 2 ab =

1020 ± (1020) 2 − 4 x1x1030.050
2

Jawaban Tugas No 3.16
Rapat relatif silinder kayu : Sb = 0,7.
Berat benda :

FG =

π
D 2 .L .ρ b . g
4

ρ balok
ρ air

Moment inersia tampang lingkaran yang terpotong muka air:

= 0 , 7 ⇒ ρ b = 0 , 7 ρ air

Gaya apung :

FB =

π
D 2 .d . ρ a . g
4

Pada kondisi mengapung, berat benda ( FG) adalah sama dengan gaya
apung ( FB) , sehingga:

π 2
π
ρ
D L ρ b . g = D 2 .d .ρ a . g ⇒ d = b . L = S b L
4
4
ρa
d
Jarak pusat apung benda dari dasar silinder OB =
= 0,5Sb L
2
L
= 0,5 L
Jarak pusat berat benda dari dasar silinder OG =
2
Jarak antara pusat berat benda dan pusat apung

BG = OG − OB = 0 ,5 L − 0 ,5 S b L = 0 ,5 L (1)−Τϕ
Sb

salmani, ST, MS, MT

I0 =

π
xD 4
64

Volume air yang dipindahkan
:

V =

π 2
π
D .d = D 2 xS b xL
4
4

Jarak antara pusat apung dan Titik metasentrum:

π
D4
I0
D2
= 64
=
π 2
Sb L
V
16
D Sb L
4
Silinder akan stabil apabila BM> BG
BM =

D2
D2
91 )0−Τϕ
6S b Τφ
/ Φ31 .
〉 0 , 5 L (1)−Τϕ
S b /⇒Φ3 21〉18.S 3
b (
16 S b
L
D2
〉 8 S b (1 )−Τϕ
S b /〉
L2
D2
〉 1 , 296
L2

1013.73 900 60 Τφ
1 610. 20.3278 0

Φ3
9Τϕ
00 ,67 / Τφ
Φ3 11. 10.3379 006 0Τφ1 15. 9073.79 60 10
8 x 01, 71x. (13)−

ΕΤ Θ θ 362. 04 83. 3556 4. 08 13. 44 ρε Ω ν ΒΤ / Φ3

13. 8359 Τφ 0. 8938

14

Please purchase PDFcamp Printer on http://www.verypdf.com/ to remove this watermark.

Moment inersia tampang segi empat :

Jawaban Tugas No 3.17
FG = V .g.ρ Benda = g .L.B.Hρ Benda

1
1
.L.B 3 =
x1,0 x 0,8 3 = 0,042667 m 4
12
12
1
1
I y = .B.L3 =
x 0,8 x1,0 3 = 0,06667 m 4
12
12

= 9,81x 0,8 x0,6 x1,0 x800 = 3.767,04 N = 3,76704kN

Dari kedua hasil nilai tersebut ambil yang terkecil, yaitu I x= 0,042667m4

RAPAT MASSA AIR:

ρa

RAPAT MASSA BENDA :
Berat benda :

ρb

S=

ρ Benda
= 0,8 ⇒ γ benda = 0,8 x1000 = 800kg / m 3
ρ air

Berat air yang dipindahkan:

FB = ρ Air .g .L.B.d = 1000 x9,81x1,0 x 0,8 xd = 7,848d _ kN
3,76704 = 7,848d a d = 0,48m
Dalam keadaan
mengapung :

OB =

d 0,48
=
= 0,24m
2
2

Jarak pusat apung terhadap dasar Balok
:
H
0 ,6
Jarak pusat berat terhadap dasar Balok OG
:
=
=
= 0 ,3 m

2

2

BG = OG − OB = 0,3 − 0,24 = 0,06 m

V = L.B.d = 1,0 x 0,8 x 0, 48 = 0,384 m 3

Jarak antara pusat apung dan titik metasentrum :

BM =

I 0 0,042667
=
= 0,1111 m
V
0,384

GM = BM − BG = 0,1111 − 0,06 = 0,0511m
Karena GM > 0, berarti benda dalam kondisi stabil

BG = OG − OB = 0,34287 − 0,27925 = 0,06362 m

Apabila diatas balok ditempatkan plat setebal T= 0,01 m

FGt = L.B.T .g.ρ Plat

Volume air yang
dipindahkan:

V = L.B.d = 1,0 x 0,8 x 0,5585 = 0,4468 m 3

= 7,85 x1000 x9,81x1,0 x0,8 x 0,01
= 616,068 N = 0,616068kN
FGt = 3,76704 + 0,616068 = 4,3831kN

Berat total benda W = F +
G
:
Berat air yang dipindahkan:

FB = ρ Air .g .L.B.d = 1000 x9,81x1,0 x0,8 xd = 7,848d _ kN

Dalam keadaan
mengapung : W

Volume air yang dipindahkan:

Tinggi metasentrum:

Jarak antara pusat berat dan pusat apung:

Berat plat
:

Ix =

= FB ⇒ 4,3831 = 7,848d ⇒ d = 0,5585m
d

Jarak pusat apung terhadap dasar Balok OB = =
2
:

BM =

I 0 0,042667
=
= 0,0955 m
V
0, 4468

Tinggi metasentrum:

GM = BM − BG = 0,0955 − 0,06362 = 0,0319m

0,5585
= 0,27925m
2

Jarak pusat berat gabungan terhadap dasar Balok dihitung berdasarkan
momen statis terhadap dasar balok:

WxOG

4 , 3831 xOG = 3 , 76704
OG = 0 , 34287 m

salmani, ST, MS, MT

Karena tinggi metasentrum bertanda positif,
benda
dalam
Θ θ 258. 72 107. 1156 3. 36 9. 96 ρε Ω ν 0 berarti
γ 0
Γ ΒΤ / Φ3
10. kondisi
5078 Τφstabil
0. 9565 0 0 1 258. 72 109. 3956 Τµ
x 0 , 5 x 0 , 6 + 0 , 616068 x (0), 6Τϕ
x 0 , 01
10. 5078 Τφ 0. 9565 0 0 1 353. 88 97. 1556 Τµ ( )
+ 0/, 5Φ3

= F G x 0 , 5 H + F Gt x (H) Τϕ
+ 0 ,ΕΤ
5T

15

1

Please purchase PDFcamp Printer on http://www.verypdf.com/ to remove this watermark.

Jawaban Tugas No 3.18
Berat Ponton:

Berat total kedua benda :

W = W1 + W2 = 1000 + 6000 = 1600kN

FB = 13 x10 xxdx1020 x9,81 = 1300806dN = 1300,8d _ N

Dalam keadaan mengapung W= FB, sehingga :

1600 = 1300,8d a d = 1,23m

d

1,23

Jarak antara pusat apung dan dasar ponton OB = =
= 0,615m
2
2
:
Dalam gambar, G1 dan G2 adalah pusat berat ponton dan
silinder, sedang G adalah pusat berat benda gabungan
Jarak pusat berat gabungan dan dasar ponton
dihitung dengan momen statis terhadap dasar Balok
:

OG =

W 1 xOG 1 + W 2 xOG
W1 + W 2

2

1
1
.L.B 3 =
x13 x10 3 = 1083 ,3333 m 4
12
12
Volume air yang dipindahkan:
I0 =

W 1 = 1000 kN
W 2 = 600 kN

Berat Silinder :

Gaya apung:

Moment inersia tampang ponton muka air :

=

1000 x 1, 5 + 600 x (3)+Τϕ
3 , 5ΕΤ Θ θ 323.
= 3 , 375 m
1600

V = 13 x10 x1, 23 = 159 ,9 m 3
I
Jarak antara pusat
BM = 0 =
apung dan titik
V
metasentrum :
Jarak antara pusat apung dan pusat berat:

BG = OG − OB = 3,375 − 0,615 = 2,76m
Tinggi metasentrum:

GM = BM − BG = 6,775 − 2,76 = 4,015m

52 333. 4356 3. 36 Karena
9. 84 ρε
Γ ΒΤ benda
/ Φ3dalam
10. 5156
Τφstabil
0. 9563 0 0 1 323. 52 335. 7
GMΩ> ν0,0berarti
kondisi

Jawaban Tugas No 3.19

Jarak pusat berat ke dasar O :

a. Stabilitas Benda Terapung

OG =

S1 =

0,5 ⇒ ρ1 = 0,5 x1000 = 500kg / m

3

S2 = 8,0 ⇒ ρ 2 = 8,0 x1000 = 8000kg / m
Panjang benda dg ρ1: L1= 100-2,5= 97,5 cm

3

Panjang benda dg ρ2: L2= 2,5 cm

Luas tampang lintang benda dg A = 0,2x0,2= 0,04 m2
Berat benda 1

W1 = ρ1.g. A.L1 = 500 x9,81x0,04 x0,975 = 191,295 N

Berat benda 2

W2 = ρ 2 .g. A.L2 = 8000x9,81x0,04 x0,025 = 78,48 N

W = W1 + W2 = 191,295 + 78,48 = 269,775 N
FB = A.d .ρ air .g = 0,04 xdx1000 x9,81 = 392,4d

Berat total kedua benda :
Gaya apung:

Dalam keadaan mengapung W= FB, sehingga :

269,775 = 392,4d a d = 0,6875m

0,6872
Jarak antara pusat apung terhadap dasarOB
: =
= 0,34375m
2

salmani, ST, MS, MT

1083 ,3333
= 6,775 m
159 ,9

W 1 xOG 1 + W 2 xOG
W1 + W 2

2

0 , 025
0 , 975 

191 , 295 x  0 , 025 +
 + 78 , 48 x
2
2


= 0 , 36705 m
=
191 , 295 + 78 , 48
Jarak antara pusat apung dan pusat berat:

BG = OG − OB = 0,36705 − 0,34375 = 0,0233m
Moment inersia tampang lintang benda :

I0 =

1
1
.bh 3 =
x 0, 2 x 0, 2 3 = 0,00013333 m 4
12
12

Volume air yang
dipindahkan:

V = A.d = 0,04 x 0,6875 = 0,0275 m 3

16

Please purchase PDFcamp Printer on http://www.verypdf.com/ to remove this watermark.

BM =

Jarak antara pusat
apung dan titik
metasentrum :

I0
= 0,00484848 m
V

FB = 392,4d

Gaya apung:

Dalam keadaan mengapung W= FB, sehingga :

196,2 L1 + 78,48 = 392,4d

Tinggi metasentrum:

GM = BM − BG = 0,00484848 − 0,0233 = −0,01845m

a d=

Karena GM < 0, berarti benda dalam kondisi tidak stabil
Jarak pusat apung dari dasar : OB

b. Panjang L1 supaya Benda Terapung stabil
Misalkan L1 Panjang benda dg ρ1 akan dihitung jarak antara pusat berat benda
gabungan G dan dasar O.
Berat benda 1 W1 = ρ1 .g . A.L1 = 500 x9,81x 0,04 xL1 = 196,2 L1 _ N
Berat benda 2

W2 = ρ 2 .g . A.L2 = 8000 x9,81x0,04 x0,025 = 78,48 N

Berat total kedua benda :

OG =

W 1 xOG 1 + W 2 xOG
W1 + W 2

W = W1 + W2 = 196,2 L1 + 78,48
2

=

L 

196 , 2 L 1 x  0 , 025 + 1  + 78 , 48 x 0 , 0125
2 

196 , 2 L 1 + 78 , 48

L 2 + 0 , 05 L 1 + 0 , 01
= 1
2 L 1 + 0 ,8

196,2 L1 + 78,48
= 0,5L1 + 0,1
392,4

= 0,5 x(0),5Τϕ
L1 +ΕΤ
0,2Θ =θ (0664.
),25
ΤϕL192
ΕΤ
+ 0Θ
,1438.
θ 726.
555684 3.438.
36

5556
12. 963.

Jarak antara pusat apung dan pusat berat:

BG = OG − OB =

L12 + 0,05L1 + 0,01
− (0),25
ΤϕL1/ +Φ30,1 14.
2 L1 + 0,8

4141 Τφ 0. 7461 0 0

Jarak antara pusat apung dan titik metasentrum :

BM =

0,00013333
0,00333333
I0
=
=
V (0),5Τϕ
L1 +/ 0Φ3
,2 016.
,04 7773
(0),5Τϕ
L1Τφ
+/ 0Φ3
0.
,2 7462
16. 7773
0 0

Τφ
1 0.
608.
7462
879

Jawaban Tugas No 3.20

Benda akan stabil apabila BM> BG

ρ
Benda bagian atas
S = Benda = 0,8 ⇒ γ benda = 0,8 x1000 = 800kg / m 3
0 , 00333333
L + 0 , 05 L 1 + 0 , 01
ΤϕL 1/ +Φ3
()
0 ,1 1 1 . 4 0 6 3 Τφ 1 . 0 3 5 6 0 0 1 3 6 3 1. 9 6
− (0), 25
〉
ρ air 2 3 7 . 6 7 5 6 Τµ
(0), 5Τϕ
1 . 4 0 6 32 LΤφ
()
, 2 01, 04
1 + 01, 8. 0 3 5 6 0 0 1 1 7 9 . 5 2 2 3 0 . 8 3 5 6 Τµ
L 1 +/ 0Φ3
ρ Benda
0 , 01333 − L 12 − 0 , 05 L 1 − 0 , 01
γ benda = 5,0 x1000 = 5.000kg / m 3
ΤϕL 1/ +Φ3
1 3bagian
3 0 .bawah
8 4 2S 21=1 .ρ air2 7=556,0 ⇒Τµ
()
0 ,1 1 1 . 4 0 6 3 Τφ 1 . 0 3 5 6 0 0 Benda
〉 − (0), 25
2 L 1 + 0 ,8
2
1

Bentuk diatas dapat disederhanakan menjadi

L − 0 , 7 L 1 − 0 ,16666
2
1

= 0

L 1 = 0 , 8877 m
Benda akan terapung stabil apabila panjang benda dengan
rapat massa ρ1 lebih kecil atau sama dengan 0,8877 m

Berat benda
1:

FG1 =

π
0,252 x1,0 x800 = 39,27 kgf
4

Misalkan h adalah panjang benda bagian baw ah :

Berat benda
2:

FG 2 =

π
0,252 xhx5000 = 245,437h _ kgf
4

Berat benda total:

FG = FG1 + FG 2 = 39,27 + 245,43h

salmani, ST, MS, MT

17

Please purchase PDFcamp Printer on http://www.verypdf.com/ to remove this watermark.

Pusat berat benda gabungan terhadap dasar dihitung
dengan momen statis terhadap dasar Balok :

F G xO G = F G 1 xO G 1 + F G 2 xO G 2
OG =

F G 1 xO G 1 + F G 2 xO G 2
FG

OG =

+ 24514.
39 , 27 x (h) +Τϕ
0 , 5/ Φ3
, 4374141
hx 0 , 5 hΤφ
39 , 27 + 245 , 437 h

OG =

122 , 719 h 2 + 39 , 27 h + 19 , 635
245 , 437 h + 39 , 27

1
.π .D 4
64
π 4
D .d
4

Jarak antara pusat apung dan titik metasentrum :

BM =

=

I0
=
V

π
64
π
64

D4
=
D 2d

3,90625 x10 − 3
5h + 0,8

salmani, ST, MS, MT

0, 25 4
3,90625 x10 −3
=
d
0, 25 2 d

π
64
π
64

BG = OG − OB =

()

=

d
= 0,25h + 0,4
2

122 , 719 h 2 + 39 , 27 h + 19 , 635
,4
− (2), 5Τϕ
h + /0Φ3
245 , 437 h + 39 , 27

8. 6563 Τφ 0. 9244 0 0 1 706. 9

+ 190.
− (2), 50Τϕ
(122
) Τϕ
/ Φ3
5 h Τφ
7621
)8.Τϕ
4399
/ Φ3
8.392.
6563
0. 9244
9556
Τφ 00.
Τµ09244
1( )659.
0 04 1392.
720.
9556
359
, 719
39 , 27
, 635
,14 (616.
245
,6563
437
39
, 27
h + 10.
h +0/0Φ3
h + Τφ
2

245 , 437 h + 39 , 27

122 , 719 h 2 + 39 , 27 h + 19 , 635 − 613 , 5926 h 2 − 196 , 35 h − 15 , 708
=
245 , 437 h + 39 , 27

Moment inersia tampang Silinder yang terpotong air :

V =

Jarak pusat apung terhadap dasar Balok OB
:
Jarak antara pusat apung dan pusat berat :

=

π
FB = x0,252 xdx1000 = 49,087d _ kgf
4

Volume air yang dipindahkan:

39,27 + 245,437 h = 49,087 d
245,437 h + 39,27
⇒d =
= 5h + 0,8
49,087

0. 9253 0 0 1 227. 16 421. 8756 Τµ

Gaya apung :

I0 =

Dalam keadaan mengapung FG= FB sehingga:

=

− 490 ,8735 h 2 − 157 , 08 h + 3 , 927
245 , 437 h + 39 , 27

=

− 10 h 2 − 3 , 2 h + 0 , 08
5 , 0 h + 0 ,8

Benda akan stabil
bila BM > GM :
3,90625 x10 −3 − 10 h 2 − 3, 2 h + 0,08
〉
5 h + 0,8
5,0 h + 0,8
2
− 10 h − 3, 2 h + 0,08 − 3,90625 x10 − 3 = 0
− 10 h 2 − 3, 2 h + 0,07609375 = 0
Penyelesaian dari persamaan tersebut
menghasilkan: h= 0,02223m= 2,22cm.
Jadi supaya benda stabil maka panjang
benda bagian baw ah minimum adalah 2,22
cm.

18

Please purchase PDFcamp Printer on http://www.verypdf.com/ to remove this watermark.

Jawaban Tugas No 3.21

I =

Moment inersia tampang silinder yang terpotong air : 0

a. Silinder mengapung dengan sumbunya vertikal

π
D4
64

S
⇒ γ b = 1000S _ kgf / m 3
⇒ γ a = 2000S _ kgf / m3
Sa = 2S
Sb=

Berat benda FG

FG =

π 2
π
D Lx1000S Gaya Apung FB FB = D 2 dx 2000S
4
4

Dalam keadaan mengapung FG= FB, sehingga :

π 2
π
S
D Lx1000S = D 2 dx 2000S ⇒ d =
L = 0,5L
4
4
2S
OB =

Jarak antara pusat apung terhadap dasar :

OG =

Jarak antara pusat Berat terhadap dasar :

Jarak antara pusat apung dan pusat berat :

d
= 0,25 L
2

L
= 0,5L
2

BG = OG − OB = 0,5 L − 0,25L = 0,25L =

BM =

Jarak antara pusat
apung dan titik
metasentrum :

I0
=
V

π
64
π
64

D4
D2
D2
=
=
D 2 d 16 d 8 L

Benda akan stabil apabila: BM> BG, sehingga:

D2 L
D2
D
〉
→ L2 〈
→ L〈
⇒ terbukti
8L 4
2
2
b. Silinder ,mengapung dengan sumbunya horisontal
Karena berat jenis silinder (S) adalah setengah berat jenis zat cair (2S), berarti
silinder terendam setengah bagiannya (muka air melalui pusat lingkaran).

d = 0,5 D
Pusat apung adalah sama dengan pusat berat setengah lingkaran

PB =

4r
2D
=
3π
3π
Jarak Pusat apung dari
dasar:

Jarak Pusat Berat dari dasar:

salmani, ST, MS, MT

L
4

D
OG =
2

OB =

D
2D
−
2
3π

V =

Volume air yang
dipindahkan:

π 2
D .d
4

Jarak antara pusat apung dan pusat berat:

D  D 2D  2D
− −
=
2  2 3π  3π 1
Moment inersia tampang silinder yang terpotong air :
I0 =
DL3
12
BG = OG − OB =

V =

Volume air yang
dipindahkan:

1 π 2
π
x D .L = D 2 .L
2 4
8

Jarak antara pusat apung dan titik metasentrum :

BM =

I0
=
V

1
12
π
8

DL3
2 L2
=
D 2 L 3π D

Benda akan stabil apabila : BM> BG

2 L2 2 D
〉
⇒ L2 〉 D 2 ⇒ L〉 D
3π D 3π

19

Please purchase PDFcamp Printer on http://www.verypdf.com/ to remove this watermark.

Jawaban Tugas No 3.22
γp= berat jenis ponton γ p
S=
γa
γa = berat jenis air
a. Balok tunggal:
Berat benda FG

Moment inersia tampang silinder yang terpotong air :

FG = LBH .γ p = 10 x0,3 x0,25 x 600 = 450,0kgf

Bagian balok yang terendam air adalah d.
Berat air yang dipindahkan
:

FB = LBd .γ a = 10 x0,3 xdx1000 = 3000d _ kgf

Karena mengapung, maka FB= FG, sehingga didapat
450
kedalaman:

d=

3000

I0 =

= 0,6 ⇒ γ p = 0,6 x1000 = 600kgf / m3

OB =

d
= 0,075m
2

OG =

Jarak antara pusat Berat terhadap dasar :
Jarak antara pusat apung dan pusat berat :

Tinggi metasentrum :

GM = BM − BG = 0 , 05 − 0 , 05 = 0

= 0,15m

Jarak antara pusat apung terhadap dasar :

Jarak antara pusat
apung dan titik
metasentrum :

1
1
LB 3 =
x10 x 0,33 = 0,0225 m 4
12
12
I
0,0225
BM = 0 =
= 0,05 m
V 10 x 0,3 x 0,15

Jadi benda dalam keseimbangan netral ( akan mengguling)

H
= 0,125m
2

BG = OG − OB = 0,125 − 0,075 = 0,05m

c. Apabila di atas PONTON terdapat beban seberat W b= 750 kgf.

b. PONTON
Berat papan di atas balok diabaikan. Momen inersia total terhadap sumbu ponton,

+ LxBx
+ 0Θ,5θx03.
( ) Τϕ ΕΤ =Θ2θ[I 178.
2(0)234.
,5Τϕ
x0,ΕΤ
63156
302.
,3 24] 28
15.234.
24 ρε
7956
Ω ν3.0 24γ 014. 76Γ ρε
ΒΤ Ω/ Φ3ν 015.γ 9141
0
Τφ
Γ ΒΤ0. /6137
Φ3 13.0 1172
0 1 178.
Τφ 0.2 7445
237. 7956
0 0 1Τµ302.15.
28 9141
237. 7956
ΤΛ ( ) Τ µ 1
Berat ponton :dan beban :

I t = 2 I + AX

[

Berat ponton :Wp= 2FG= 900 kgf

2

2

]

Τϕ / =Φ31,2613.
= 2 0,0225 + 10 x0,3(0),45
m 4 1172
2

Τφ 0. 7445 0 0 1 217. 32 220. 7556 Τµ ( )

Wpb= 900 + 750= 1.650 kgf

Bagian balok ponton yang terendam air adalah d= 0,15 m, ( karena berat
papan diabaikan) .
3
Volume air yang dipindahkan:

Setelah ada beban, bagian balok
ponton yang terendam air
Adalah d1.

V = 2. A.d = 2 x10 x0,3x0,15 = 0,9m

I

1, 26

Jarak antara pusat
BM = t =
= 1, 40 m
apung dan titik
V
0,9
metasentrum
:
Jarak
pusat apung
ponton dan pusat berat ponton terhadap dasar
balok ponton adalah sama dengan kondisi a, sehingga:

BG = OG − OB = 0,125 − 0,075 = 0,05m

Tinggi metasentrum :

GM = BM − BG = 1, 40 − 0 , 05 = 1, 35 m → stabil

salmani, ST, MS, MT

Berat air yang dipindahkan
:

FB1 = 2 x10 x 0,3xd1 x1000 = 6000d _ kgf

1650
= 0,275m
6000
d 0,275
= =
= 0,1375m
Jarak antara pusat apung terhadap dasar OB
:
2
2
Kedalaman balok ponton yang terendam air :d1

=

Jarak antara pusat Berat dihitung dengan momen statis terhadap
titik 0 :

W pb xOG = W p xOG1 + Wb xOG2

Τϕ+/0Φ3
13.OG4688
Τφ m0.
1,650 xOG = 900 x0,5 x0,25 + 750(0),25
,5 ⇔
= 0,4091

7443 0 0 1 648. 6 8

20

Please purchase PDFcamp Printer on http://www.verypdf.com/ to remove this watermark.

Jawaban Tugas No 3.23

Jarak pusat apung dan pusat berat :

BG = OG − OB = 0,4091 − 0,1375 = 0,2716m

a. Menyelidiki stabilitas benda :
Berat Silinder :

Karena balok ponton tidak tenggelam maka momen inersia sebelum dan
sesudah ada beban adalah sama:
4
t

FG = 40kN

Gaya apung F
B
:

=

π 2
D dρg
4

π 2
(3) Τϕ
020 x12.
9,812539
xdx/1,Φ3
4
= 70.730dN = 70,730d _ kN
=

I = 1,26m

Volume air yang
dipindahkan:

V = 2 . A.d = 2 x10 x 0,3 x 0, 2716 = 1,6296 m 3

Τφ 0. 7458 0 0 1 649. 3

Karena mengapung, maka FB= FG, sehingga didapat
kedalaman:

FG = FB ⇒ 40 = 70,73d ⇒ d = 0,5655m

Jarak antara pusat apung dan titik metasentrum :

I
1,26
BM = 0 =
= 0,7732m
V 1,6296

Jarak antara pusat apung terhadap dasar OB
: =

Tinggi metasentrum:

Jarak antara pusat Berat terhadap dasar :OG

GM = BM − BG = 0,7732 − 0,2716 = 0,5016m

Jarak antara pusat apung dan pusat berat :

d 0,5655
=
= 0,2828m
2
2

=

L
= 2,0m
2

BG = OG − OB = 2,0 − 0,2828 = 1,7172m

PONTON TETAP STABI L

b. Pusat dasar benda diberi gaya tarik:
Moment inersia tampang lintang benda yang terpotong air :

π 4 π
4
Φ3 14.
I0 =
D =
x (3) Τϕ
= 3/,97608
m 4 6563
64
64
Volume air yang dipindahkan:

π
2
3,9973
V = A.d = x(3) Τϕ
x0,/5655
Φ3 =14.
5352
m3
4

I
3,97608
BM = 0 =
= 0,9947 m
V
3,9973
Tinggi metasentrum :

GM = BM − BG = 0 , 9947 − 1, 7172 = − 0 , 7225 m
Tinggi metasentrum adalah negatif, jadi benda dalam kondisi
tidak stabil. Berarti benda tidak bisa mengapung dengan
sumbu panjangnya vertikal.

salmani, ST, MS, MT

Τφ 0. 8015 0 0 1FG268.
234.
Τµ4 229.
( ) 9956 3. 48 13. 56 ρε Ω ν 0 γ 0
+P =2
(40
) Τϕ
.000ΕΤ
+ 3156
PΘNθ 563.

Τφ 0. 7434 0 0 1 244.

Jarak antara pusat apung dan titik metasentrum :

Misalkan P adalah gaya tarik yang bekerja pada rantai di pusat dasar
pelampung. Berat benda dan gaya tarik P adalah:

π
π
Gaya apung F = D 2 dρg = (3) 2Τϕ
020 12.
xdx/1,Φ3
x9,812383
B
4
4
:
56 201. 3156
Τµ ( )
= 70.730dN = 70,730d _ kN

Γ

Τφ 0. 7463 0 0 1 605. 16 215. 47

Dalam keadaan mengapung, maka FB= FG+ P :

40
) Τϕ
.000ΕΤ
167.164.
35565956
2. 7599
(40
) Τϕ
Τφd 0.= (7465
0+ PΘ
0 θ1 699.
593.487599
Τµ (10.
)
.000/ +Φ3P 11.
= 702891
.730d ⇒
70.730
) Τϕ
.000ΕΤ
+ PΘ θ 687. 6 146. 9556 2. 88 10. 8 ρε
d (40
OB = =
m

Jarak antara pusat apung dari
dasar :

2

141.460

Dalam keadaan gaya tarik di 0, letak pusat berat berubah. Letak pusat
Berat dihitung berdasarkan momen terhadap titik 0.

(F)GΤϕ
Θ θ= 5FGxOG
1 2 . 5 21 +1Px
0 50. 1 9 5 6 3 . 7 2 1 0 . 5 6 ρε Ω ν 0 γ 0
xOG
+ PΕΤ
(40000
) Τϕ /+Φ3
1 0 . 8= 340000
5 9 Τφ
4 9OG
2 0= 0 80000
1 5 2 8 . 4 8 8 9 . 9 5 5 6 Τµ
P xOG
x2 1
+ .0 0⇒
40000

+ P

21

Γ
()

Please purchase PDFcamp Printer on http://www.verypdf.com/ to remove this watermark.

Jarak pusat berat benda dan gaya tarik P terhadap dasar adalah:

(40000
) Τϕ ΕΤ
80000
+ PΘ θ
BG = OG − OB =
−
40000 + P
141460

Benda akan stabil apabila BM> BG

330. 48 481. 6356 4. 39
08.78515.
ρε.000
Ω ν 0 40000
γ 0 + P Γ ΒΤ / Φ3 16. 2539 Τφ 0. 7465
, 4712 80
〉
−
40000 + P 40000 + P
141 .460

Volume air yang dipindahkan:

V = A.d =

π 2 40000 + P
= 9,9938 x10 −5 (40000
) Τϕ /+Φ3P
3 x
4
70730

Moment inersia tampang lintang benda setelah adanya gaya tarik P
adalah sama dengan sebelum adanya gaya tarik, yaitu = 3,976 08m 4

BM =

(40000
) Τϕ ΕΤ
52 444. 0756 4. 08 14. 28 ρε Ω ν ΒΤ / Φ
+ PΘ θ40533.
.214 ,53

14. 5352 Τφ 0. 7432 0 0 1 354. 〉6 439. 9956 Τµ ( )

I0
3,97608
39 .785 , 47
=
=
−5
) Τϕ /+Φ3
2695
V
P 15.
9,9938 x10 (40000
40000
+ PΤφ

141 .460

40000 + P

2
(40000
) Τϕ ΕΤ
+ PΘ 〉θ141
534.
.46072
x 40 .412.
214 ,531556 4. 08 16. 8 ρε Ω ν ΒΤ / Φ3

40000 + P 〉 75 .423 ,8 ⇒ P 〉 35 .423 ,8 N
0. 8016 0 0 1 286.
8 381. 4356 Τµ ( )

= 35,4238 kN

Jadi gaya tarik minimum yang harus diberikan adalah P = 35,4238 kN

Berat air uyang dipindahkan dihitung dengan cara yang sama seperti di atas
Untuk kedalaman air yang dipindahkan benda sebesar d.

Jawaban Tugas No 3.24

1

FB =  π . d 3 .tg 2 α  ρ 2 g
3


Misalkan:

h : tinggi kerucut
D: diameter dasar kerucut
α: setengah sudut puncak kerucut
d: bagian kerucut yang terendam air
ρ1: rapat massa kerucut
ρ2: rapat massa air

Supaya benda mengapung FB= FG:

1

1

3
2
3
2
 π . d .tg α  ρ 2 g =  π . h .tg α  ρ 1 g
3

3


tgα =

D /2 D
=
⇒ D * = 2htgα
h
2h
Berat Kerucut :

FG =

π 2 1
D x xρ1 gh
4
3

π
1 3 2
2 1
.tgα/ Φ3
= (2)hΤϕ
x 13.
xhxρ9219
πΤφ
h tg0. α7436
xρ1 g
1g =
4
3
3

salmani, ST, MS, MT

1

ρ1 3
ρ 
h ⇒ d = h.S 3 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ denganS = 1 
ρ2
ρ
3
3 13 2 
OB = d = hS
Jarak pusat apung dari puncak kerucut O :
4
4
3
Jarak pusat berat dari puncak kerucut: OG = h
4
1
3
Jarak antara pusat berat dan pusat apung: BG = OG − OB = h 1 − S 3
4

d3 =

D/2 D
tgα =
=
⇒ D = 2htgα
h
2h
*
*

0 0 1 238. 32 93. 7956
Τµ lingkaran
()
Diameter
pada permukaan air : D’= 2d.tg.α

( ) Τϕ ΕΤ Θ θ 729. 3599 106.

22

Please purchase PDFcamp Printer on http://www.verypdf.com/ to remove this watermark.

Untuk kesetimbangan stabil, BM = BG :
Moment inersia tampang lingkaran kerucut pada permukaan air :

1

( ) Τϕ ΕΤ Θ θ 584.
47568594
28.
56
ρ0
0 4.0 32
1Τφ210.
96 47
( ) Τϕ4 /476.
Φ30. 6608
23.
0. 545
1

1
3D 2 S 3 3
1 D 2S 3
2
3
π
π
π 4 4
4
≥
h
−
S
⇒
h
≤
1
1
(D) Τϕ=ΕΤ64 Θx (θ2)dΤϕ
210.
96= 414.
472.
21. 48
0 0ρε1 Ω289.
ν160h56γ 0476.
Γ ΒΤ /ΤµΦ3 17.
( ) 4 7813
I0 =
.tg α/ Φ3
tg 2756
α Τφ3.0.968016
.d 6563
4 2356
1 − S 3 Τφ
64
2
Volume air yang dipindahkan:
1
1 D
3
3
FB π 3 2
1
−
S
≤
S
V=
= πd tg α
4h 2
ρ2 g 3
1
1
1
1 − S 3 ≤ S 3 tg 2α → 1 ≤ S 3 1 + tg 2α
Jarak antara pusat apung dan titik metasentrum :

* 4

( ) Τϕ ΕΤ Θ θ 654. 72 414. 0756 4. 32

BM =

I0
=
V

π
4
π
3

d tg α 3
= dtg 2α
3
2
d tg α 4
4

4

1

S3 ≥

S ≥ 0,6885

Oleh karena tgα= D/ 2h dan d= h.S1/ 3, maka
1

2
1 D
3
3D 2 S 3
=
BM = h.S 3
4
4h 2
16 h

Jawaban Tugas No 3.25

ρ
S1 = 1
ρ air

ρ 1 = S 1 x ρ air

ρ 2 = S 2 x ρ air = 0 ,9 x1000 = 900 kg / m 3
Misalkan:
h : tinggi kerucut
D: diameter dasar kerucut
D’: diameter tampang kerucut

d: kedalaman kerucut yang terendam air
2α: sudut puncak kerucut

tg α =

salmani, ST, MS, MT

D /2
D
=
⇒ D = 2 htg α
h
2h

Τφ 0. 8018 0 0 1

Jadi supaya kerucut stabil maka rapat relatif kerucut adalah S= 0,6885

Berat Kerucut :
W=

= 0 , 7 x1000 = 700 kg / m 3
ρ
S 2 = 2 = 0 ,9
ρ air

1
1
1
=
=
= 0,8830
1 + tg 2α 1 + tg 2 20 0 1 + (0),36397
Τϕ / Φ32 14. 2578

π 2 1
1
1 3 2 
=  xhΤφ
D x xh.ρ1.g = π (2)htg
Τϕα/ 2Φ31 h.12.
ρ1.g 8633
.tg0.α 7449
 ρ1.g
4
3
4
3
3


0 0 1 611. 7599 236.

Berat zat cair yang dipindahkan :

1

FB =  xd 3 .tg 2α  ρ 2 .g
3

Oleh karena benda mengapung, maka FB= FG, sehingga:

1

1

3
2
3
2
3
3
 π . d .tg α  ρ 2 g =  π .h .tg α  ρ 1 g ⇒ d ρ 2 = h ρ 1
3

3

1

 ρ 3
d = h 1 
 ρ2 

23

Please purchase PDFcamp Printer on http://www.verypdf.com/ to remove this watermark.

1

3
3
3 ρ 
Jarak pusat apung dari puncak kerucut O :
OB = d = h 1 
4
4  ρ2 
3
Jarak pusat berat dari puncak kerucut: OG = h
4

Jarak antara pusat apung dan titik metasentrum :
4
4
π
0
4
3
2
π
3

BM =

Jarak antara pusat berat dan pusat apung:

3
3 ρ 
3  ρ 
BG = OG − OB = h − h 1  = h 1 −  1 
4
4  ρ2 
4   ρ2 

1
3

Moment inersia tampang lingkaran kerucut pada permukaan air :

π
I0 =
D*
64

π
=
x (2)dΤϕ
.tg α/
64






Agar benda dalam kesetimbangan stabil, titik metasentrum M harus di atas
atau berimpit dengan G : BM= BG .

3
3   ρ1
2
d .tg α ≥ h 1 − 
4
4   ρ2


3 
 
 
1

3
  ρ 3 
ργ1 0377. 23556
3ν 0 56
3/Τµ
1
373. 3956Τφ3.0.968016
21. 48
0 0ρε1 Ω289.
Γ
ΒΤ
Φ3
( ) 7813
  Τφ
 tg α ≥ h 1 −17.
h 

4  ρ2 
4   ρ2  


1

π 4 4
4
Φ3
= 14.
tg α
.d 6563
4

( ) Τϕ ΕΤ Θ θ 210. 96
4

1
3

d tg α 3
= d .tg 2α
d tg α 4

I
=
V

1

0. 6608 0 0 1 210. 96 37

π 3 2 
 πd tg α  ρ 2 g
F
π
3

V = B =
= πd 3tg 2α
3
ρ2 g
ρ2 g

Volume air yang dipindahkan:

  ρ 3 
1 −  1  
1
1
3
3
 ρ  
  ρ 2  
 ρ1  2

 tg α ≥ 1 −  1   ⇒ tg 2α ≥ 
1
3
  ρ2  
 ρ2 


ρ


 1 
 ρ2 

Jawaban Tugas No 3.26

1

  700  3 
1 − 
 
  900  

Berat
Pelampung :

Berat Beban =
W.
Berat Pelampung dan
Beban = ( W+ 35 00) .

1

tg α ≥
2

 700 


 900 

1
3

Gaya apung
:

FB = A.d .ρ .g

π 2
(1) Τϕ
025x12.
10002695
xdx/1,Φ3
x9,81 Τφ
4
= 7897,375d
=

0. 7447 0 0 1 650.

Pada kondisi mengapung, maka FB= FG+ W, sehingga:

≥ 0,08738 ⇒ α = 16 , 47

Jadi sudut puncak kerucut adalah 2α
2α= 32,940= 32 0 56’

salmani, ST, MS, MT

FG = 3500 N

0

7897,375d = W + 3500 ⇒ d =

W + 3500
7897,375

Jarak antara pusat apung terhadap dasar :OB =

d W + 3500
=
m
2 15794,75

24

Please purchase PDFcamp Printer on http://www.verypdf.com/ to remove this watermark.

Jarak antara pusat Berat dan beban terhadap dasar dihitung
berdasarkan momen statis terhadap titik 0,:

Volume air yang dipindahkan:

π
W + 3500
2 W + 3500
=0 A.γd =
Τϕ
xΒΤ/ /Φ3
=1 5195
0 00Τ01 µ1596.
FGxOG
(W) Τϕ
+ FG
ΕΤxOG
Θ θ =155.
52 2475.
+ W (H
6356
) Τϕ
+ 0,ΕΤ
5 3. Θ72θ 289.
14. 28
68 ρε475.
Ω ν6356
0 γ 3.
0 72 14.
Γ ΒΤ28/ Φ3ρε 14.
Ω Vν7813
0Τφ x0.(1)Γ7467
0Φ3 014.
14.
155.
7813Τφ
52Τφ0.478.
0.7439
7467
8756
14.
289.04
781
68
4
7897,375 10.055,25
(W) Τϕ
/ Φ3 xOG
14. =7813
7467
Τϕ
0 +/10Φ3
14.887813
461.Τφ9556
0. 7467
Τµ 0( ) 0Jarak1 antara
331. pusat
08 461.
9556 Τµ ( )
3500 xΤφ
0,5 x0.
0,75
,5161.
+ 3500
+ W (00),75
apung dan titik metasentrum :

1312,5 + 1,25W
3500 + W
1312,5 + 1,25W W + 3500
BG = OG − OB =
−
3500 + W
15.794,75

OG =

BM =

Benda akan stabil apabila BM> BG

Moment inersia tampang Silinder yang terpotong muka air :

I0 =

π 4 π
4
Φ3 19. m54
D =
x (1) Τϕ
= 0/,0490874
64
64

ΕΤ
12 .934 .541,9 + 19 .743 , 4W 〈 (W) Τϕ
+ 3500

I0
0,049087
493 ,5861
=
=
W
+
3500
V
W + 3500
10 .055 , 25

493 ,5861 1312 ,5 + 1, 25W W + 3500
〉
−
W + 3500
W + 3500
15 .794 ,75

Τφ 0. 8009 0 0 − 818
1 ,244.
8 W353.
8356 Τµ ( )
914 − 1, 25
W + 3500
W + 3500

〉

15 .794 ,75

Θ2 θ 314. 64 249. 3156 4. 08Jawaban
16. 8 ρε Tugas
Ω ν ΒΤ No
/ Φ33.27 15. 3086 Τφ 0. 7992 0 0 1 314.

W 2 − 12 .743 , 4W − 684 .541,9 = 0

Berat Kapal : W = 15 MN = 15 x 10 6 NBerat muatan :
Wm= 150 kN= 1 50x10 3 N
Lebar Kapal : B = 8,4 m.
Jarak bergesernya muatan : l = 4 m
Panjang Kapal : L= 60 m

Kemiringan sudut : α = 30 0

Penyelesaian dari persamaan tersebut menghasilkan :

W1 = 12 .796 N
W 2 = − 53,5 N
Jadi berat beban minimum sedemikian sehingga
benda dalam kondisi stabil adalah W = 12.796 N
Momen yang menyebabkan goyangan:

M

salmani, ST, MS,