Penerapan Geometri Transformasi pada Me
Makalah Geometri Transformasi
“Penerapan Geometri Transformasi pada Menara Petronas”
Dosen pembimbing : Hengky Setiadi,M.Pd.I
Oleh :
Endah Zulfah
TM.151210
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS ILMU TARBIYAH DAN KEGURUAN
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SULTAN THAHA SAIFUDDIN
JAMBI
2016
1
KATA PENGANTAR
Assalamualaikum Wr.Wb
Puji syukur selalu kita panjatkan kehadirat Allah SWT, atas segala curahan
rahmat, hidayah dan inayah-Nya sehingga penulis mampu menyelesaikan tugas
yang diberikan oleh dosen pembimbing kepada penulis untuk menghadirkan
sebuah makalah dengan judul “Penerapan Geometri Transformasi Pada
Menara Petronas”.
Shalawat dan salam tak lupa kita haturkan kepada junjungan kita Nabi
Besar Muhammad SAW beserta keluarga, sahabat-sahabat dan para pengikut
beliau sampai akhir zaman.Disini kami akan berusaha menjelaskan mengenai
geometri transformasi dan penerapannya.
Kami sangat berharap makalah ini dapat berguna dalam rangka menambah
wawasan serta pengetahuan kita mengenai penerapan geometri pada kehidupan
sehari-hari. Saya juga menyadari sepenuhnya bahwa di dalam makalah ini
terdapat kekurangan dan jauh dari kata sempurna. Oleh sebab itu, kami berharap
adanya kritik, saran dan usulan demi perbaikan makalah yang telah kami buat di
masa yang akan datang, terutama dari bapak Hengky Setiadi,M.Pd.I. Selaku dosen
pengampu mata kuliah Geometri Transformasi.
Ibarat pepatah “Tak Ada Gading Yang Tak Retak”, maka begitu pulalah
dengan halnya makalah ini, walaupun penulis telah berusaha semaksimal
mungkin, akan tetapi penulis menyadari bahwa masih banyak terdapat kesalahan,
kekurangan dan kehilapan dalam penulisan makalah ini. Untuk itu, saran dan
kritik tetap penulis harapkan demi perbaikan makalah ini kedepan. Akhir kata
penulis berharap makalah ini dapat bermanfaat bagi kita semua. Terima Kasih.
Jambi, 01 juni 2017
Penulis
2
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR .....................................................................................2
DAFTAR ISI ...................................................................................................3
BAB I PENDAHULUAN..............................................................................4
A. Latar Belakang .....................................................................................4
B. Rumusan Masalah ................................................................................4
C. Tujuan ..................................................................................................4
BAB II PEMBAHASAN.................................................................................5
A. Geometri Transformasi.........................................................................5
B. Penerapan Geometri Transformasi.......................................................7
BAB III PENUTUP.........................................................................................11
A. Kesimpulan ..........................................................................................11
DAFTAR PUSTAKA......................................................................................12
BAB I
3
PENDAHULUAN
A. LATAR BELAKANG
Geometri (Yunani Kuno: γεωμετρία, geo-"bumi",-metron "pengukuran")
adalah cabang matematika yang bersangkutan dengan pertanyaan bentuk, ukuran,
posisi relatif gambar, dan sifat ruang. Seorang ahli matematika yang bekerja di
bidang geometri disebut ahli ilmu ukur. Geometri muncul secara independen di
sejumlah budaya awal sebagai ilmu pengetahuan praktis tentang panjang, luas,
dan volume.
Untuk memindahkan satu titik atau bangun pada bidang dapat dilakukan
dengan menggunakan Transformasi. Transformasi Geometri adalah bagian dari
geometri yang membicarakan perubahan, baik perubahan letak maupun bentuk
penyajianya didasarkan dengan gambar dan matriks. Transformasi Geometri lebih
sering disebut transformasi adalah mengubah setiap koordinat titik (titik-titik dari
suatu bangun) menjadi koordinat lainnya pada bidang dengan satu aturan tertentu.
Dalam geometri transformasi terdapat yang namanya transformasi, relasi, dilatasi,
dan rotasi. Pada makalah ini akan dijelaskan mengenai penjelasan mengenai
penerapan penerapan geometri transformasi pada bangunan menara petronas.
Ynag mana setiap negara memiliki ciri khasnya masing-masing. Seperti halnya
seninya, maupun gedung-gedungnya contohnya menara eifell yang terletak dikota
paris, patung liberty di newyork, menara kembar di malaysia, dan sebagainya,
yang pada pembuatannya menggunakan konsep geometri.
B. RUMUSAN MASALAH
1. Apa itu geometri transformasi ?
2. Bagaimana penerapan geometri transformasi pada bangunan petronas ?
C. TUJUAN
Untuk mengetahui apa itu geometri transformasi dan rumus-rumusnya dan
untuk menegetahui aplikasi geometri transformasi.
BAB II
4
PEMBAHASAN
A. Geometri Transformasi
Transformasi geometri merupakan salah satu bahasan dalam geometri
mengenai perubahan bentuk, letak, dan penyajian berdasarkan pada suatu gambar
dan matriks. Upa-bahasan dalam transformasi geometri ini diantaranya adalah
pergeseran(translasi),
pencerminan(refleksi),
perputaran(rotasi),
dan
perkalian(dilatasi).
Pergeseran atau translasi merupakan transformasi berupa perpindahan
titik, garis, atau bidang dengan jarak dan arah tertentu.
Translasi
()
a
T ¿
b
memetakan
titik
P ( x1 , y1 )
ke
titik
P’
( x 1+ a , y 1 +b) yang dinotasikan dengan :
()
a
T ¿ : P( x 1 , y 1 )→ P ' (x 1+ a , y 1+ b)
b
Pencerminan atau refleksi adalah jenis transformasi yang menggunakan
sifat bayangan dari cermin dalam melakukan perpindahan.
1. Pencerminan terhadap sumbu X (dilambangkan dengan
Mx )
'
'
'
M x : P ( x , y ) → P ( x , y )=P ' (x ,− y)
Persamaan matriksnya :
( xy '' )=(10 −10 )( xy )
2. Pencerminan terhadap sumbu Y ( dilambangkan dengan
My )
M y : P ( x , y ) → P' ( x' , y ' ) =P ' (−x , y )
Persamaan matriksnya :
( xy '' )=(−10 01)( xy )
3. Pencerminan terhadap titik asal O(0,0) (dilambangkan dengan
5
M o¿
M o : P ( x , y ) → P' ( x ' , y ' )=P' (−x ,− y)
Persamaan matriksnya :
( xy '' )=(−10 −10 )( xy )
4. Pencerminan terhadap garis y = x (dilambangkan dengan
M y=x )
M y=x : P ( x , y ) → P ' ( x ' , y ' )= p' ( y , x)
Persamaan matriksnya :
x'
0 1 x
' =
1 0 y
y
( ) ( )( )
M y=−x )
5. Pencerminan terhadap garis y = -x (dilambangkan dengan
M y=−x : P ( x , y ) → P ' ( x ' , y ' )=P' (− y ,−x)
Persamaan matriksnya :
( xy '' )=(−10 −10 )( xy )
6. Pencerminan terhadap garis x=h ( dilambangkan dengan
M x=h )
M x=h : P ( x , y ) → P ' ( x ' , y ' )=P' (2 h−x , y)
7. Pencerminan terhadap garis y = k (dilambangkan dengan
M y=k )
M y=k : P ( x , y ) → P' ( x ' , y ' ) =P' ( x , 2 k − y)
8. Pencerminan terhadap titik (a,b) (dilambangkan dengan
M (a , b) ¿
M (a , b) : P ( x , y ) → P' ( x ' , y ' )=P' (2 a−x , 2 b− y )
Selanjutnya, perputaran atau rotasi merupakan perpindahan dari titik, garis
atau bidang sejauh Ɵ dari titik pusat tertentu.
1. Jika titik P(x,y ) diputar sebesar θ berlawanan dengan arah jarum jam.
terhadap titik pusat O(0,0) maka diperoleh bayangan P’ (x’,y’ )
R ( 0,θ ) : P ( x , y ) → P' ( x' , y ' ) =P' (x cos θ− y sin θ , x sin θ+ y cos θ)
Persamaan matriksnya :
θ
( xy '' )=(cos
sin θ
)( )
−sinθ x
cos θ y
6
2. Jika suatu titik P (x, y ) diputar sejauh θ berlawanan dengan arah jarum
jam terhadap titik pusat A(a,b) maka bayangannya adalah P’(x’,y’) dengan
x ' −a= ( x−a ) cos θ−( y−b ) sin θ
y ' −b=( x−a ) sin θ+ ( y −b ) cos θ
Persamaan matriksnya :
θ
( xy '' )=(cos
sin θ
)( ) ( )
−sinθ x−a + a
cos θ y−b b
Terakhir, perkalian atau dilatasi adalah perkalian titik, garis, atau bidang
dengan suatu faktor pengali tertentu.
1. Dilatasi terhadap titik pusat O (0,0)
Pemetaannya :
[ O, k ] : P(x , y )→ P' (kx , ky )
Persamaan matriksnya :
( xy '' )=(k0 0k )( xy )
2. Dilatasi terhadap titik pusat A(a,b)
Titi P(x,y) dilatasi terhadap titik pusat A(a,b) dengan faktor skala k
,didapat bayangan P’(x’,y’) dengan :
x ' −a=k ( x−a ) dan y '−b=k ( y−b)
Persamaan matriksnya :
+ (a )
( xy '' )=(k0 0k )( x−a
)
y−b b
B. Transformasi Geometri Pada Menara Petronas
Menara petronas atau yang dering kita kenal dengan menara kembar yang
terdapat di kuala lumpur,Malaysia. Menara ini adalah sepasang menara kembar
yang pernah menjadi bangunan tertinggi didunia pada tahun 1998-2004
berdasarkan pengukuran dari lantai pintu masuk utama sampai struktur atas . Menara
Petronas yang dirancang oleh arsitek César Pelli dari Argentina selesai dibangun pada
7
tahun 1998. Pada bangunan menara ini terdapat beberapa penerapan geometri
transformasi diantaranya refleksi.
Bentuk salah satu menara petronas seperti berikut :
8
Dengan menggunakan transformasi refksi terhadap sumbu y yaitu dengan
rumus
M y : P ( x , y ) → P' ( x' , y ' ) =P ' (−x , y )
Persamaan matriksnya :
( xy '' )=(−10 01)( xy )
maka didapat bangunan lain yang memiliki bentuk dan ukuran yang sama
9
Sehingga jadilah 2 menara yang serupa atau kemabar.
Selanjutnya yaitu pada bagian yang bertingkat
Pada bagian paling atas itu memiliki bentuk kecil daripada bagian
dibawahnya . Bentuk tersebut dapat dikali dengan skala tertentu,
menghasilkan bentuk baru yang ukurannya lebih besar atau lebih kecil
10
seperti
pada
gambar
tersebut
(menggunakan
[ O, k ] : P(x , y )→ P' (kx , ky ) .
BAB III
PENUTUP
A. KESIMPULAN
11
konsep
dilatasi
)
Menara Petronas atau Menara Kembar Petronas yang terdapat di Kuala
Lumpur, Malaysia adalah sepasang menara kembar yang pernah menjadi
bangunan tertinggi di dunia pada tahun 1998—2004. Menara ini dirancang oleh
arsitek César Pelli dari Argentina pada pembangunan menara ini menggunakan
konsep geometri transformasi yaitu konsep refleksi pada sumbu y dan konsep
dilasi
DAFTAR PUSTAKA
Sukino. Matematika untuk SMA kelas XII. Jakarta : Erlangga.2007.
12
https://id.wikipedia.org/wiki/Menara_Kembar_Petronas
http://informatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/AljabarGeometri/20152016/Makalah-2015/Makalah-IF2123-2015-110.pdf
13
“Penerapan Geometri Transformasi pada Menara Petronas”
Dosen pembimbing : Hengky Setiadi,M.Pd.I
Oleh :
Endah Zulfah
TM.151210
JURUSAN PENDIDIKAN MATEMATIKA
FAKULTAS ILMU TARBIYAH DAN KEGURUAN
UNIVERSITAS ISLAM NEGERI SULTAN THAHA SAIFUDDIN
JAMBI
2016
1
KATA PENGANTAR
Assalamualaikum Wr.Wb
Puji syukur selalu kita panjatkan kehadirat Allah SWT, atas segala curahan
rahmat, hidayah dan inayah-Nya sehingga penulis mampu menyelesaikan tugas
yang diberikan oleh dosen pembimbing kepada penulis untuk menghadirkan
sebuah makalah dengan judul “Penerapan Geometri Transformasi Pada
Menara Petronas”.
Shalawat dan salam tak lupa kita haturkan kepada junjungan kita Nabi
Besar Muhammad SAW beserta keluarga, sahabat-sahabat dan para pengikut
beliau sampai akhir zaman.Disini kami akan berusaha menjelaskan mengenai
geometri transformasi dan penerapannya.
Kami sangat berharap makalah ini dapat berguna dalam rangka menambah
wawasan serta pengetahuan kita mengenai penerapan geometri pada kehidupan
sehari-hari. Saya juga menyadari sepenuhnya bahwa di dalam makalah ini
terdapat kekurangan dan jauh dari kata sempurna. Oleh sebab itu, kami berharap
adanya kritik, saran dan usulan demi perbaikan makalah yang telah kami buat di
masa yang akan datang, terutama dari bapak Hengky Setiadi,M.Pd.I. Selaku dosen
pengampu mata kuliah Geometri Transformasi.
Ibarat pepatah “Tak Ada Gading Yang Tak Retak”, maka begitu pulalah
dengan halnya makalah ini, walaupun penulis telah berusaha semaksimal
mungkin, akan tetapi penulis menyadari bahwa masih banyak terdapat kesalahan,
kekurangan dan kehilapan dalam penulisan makalah ini. Untuk itu, saran dan
kritik tetap penulis harapkan demi perbaikan makalah ini kedepan. Akhir kata
penulis berharap makalah ini dapat bermanfaat bagi kita semua. Terima Kasih.
Jambi, 01 juni 2017
Penulis
2
DAFTAR ISI
KATA PENGANTAR .....................................................................................2
DAFTAR ISI ...................................................................................................3
BAB I PENDAHULUAN..............................................................................4
A. Latar Belakang .....................................................................................4
B. Rumusan Masalah ................................................................................4
C. Tujuan ..................................................................................................4
BAB II PEMBAHASAN.................................................................................5
A. Geometri Transformasi.........................................................................5
B. Penerapan Geometri Transformasi.......................................................7
BAB III PENUTUP.........................................................................................11
A. Kesimpulan ..........................................................................................11
DAFTAR PUSTAKA......................................................................................12
BAB I
3
PENDAHULUAN
A. LATAR BELAKANG
Geometri (Yunani Kuno: γεωμετρία, geo-"bumi",-metron "pengukuran")
adalah cabang matematika yang bersangkutan dengan pertanyaan bentuk, ukuran,
posisi relatif gambar, dan sifat ruang. Seorang ahli matematika yang bekerja di
bidang geometri disebut ahli ilmu ukur. Geometri muncul secara independen di
sejumlah budaya awal sebagai ilmu pengetahuan praktis tentang panjang, luas,
dan volume.
Untuk memindahkan satu titik atau bangun pada bidang dapat dilakukan
dengan menggunakan Transformasi. Transformasi Geometri adalah bagian dari
geometri yang membicarakan perubahan, baik perubahan letak maupun bentuk
penyajianya didasarkan dengan gambar dan matriks. Transformasi Geometri lebih
sering disebut transformasi adalah mengubah setiap koordinat titik (titik-titik dari
suatu bangun) menjadi koordinat lainnya pada bidang dengan satu aturan tertentu.
Dalam geometri transformasi terdapat yang namanya transformasi, relasi, dilatasi,
dan rotasi. Pada makalah ini akan dijelaskan mengenai penjelasan mengenai
penerapan penerapan geometri transformasi pada bangunan menara petronas.
Ynag mana setiap negara memiliki ciri khasnya masing-masing. Seperti halnya
seninya, maupun gedung-gedungnya contohnya menara eifell yang terletak dikota
paris, patung liberty di newyork, menara kembar di malaysia, dan sebagainya,
yang pada pembuatannya menggunakan konsep geometri.
B. RUMUSAN MASALAH
1. Apa itu geometri transformasi ?
2. Bagaimana penerapan geometri transformasi pada bangunan petronas ?
C. TUJUAN
Untuk mengetahui apa itu geometri transformasi dan rumus-rumusnya dan
untuk menegetahui aplikasi geometri transformasi.
BAB II
4
PEMBAHASAN
A. Geometri Transformasi
Transformasi geometri merupakan salah satu bahasan dalam geometri
mengenai perubahan bentuk, letak, dan penyajian berdasarkan pada suatu gambar
dan matriks. Upa-bahasan dalam transformasi geometri ini diantaranya adalah
pergeseran(translasi),
pencerminan(refleksi),
perputaran(rotasi),
dan
perkalian(dilatasi).
Pergeseran atau translasi merupakan transformasi berupa perpindahan
titik, garis, atau bidang dengan jarak dan arah tertentu.
Translasi
()
a
T ¿
b
memetakan
titik
P ( x1 , y1 )
ke
titik
P’
( x 1+ a , y 1 +b) yang dinotasikan dengan :
()
a
T ¿ : P( x 1 , y 1 )→ P ' (x 1+ a , y 1+ b)
b
Pencerminan atau refleksi adalah jenis transformasi yang menggunakan
sifat bayangan dari cermin dalam melakukan perpindahan.
1. Pencerminan terhadap sumbu X (dilambangkan dengan
Mx )
'
'
'
M x : P ( x , y ) → P ( x , y )=P ' (x ,− y)
Persamaan matriksnya :
( xy '' )=(10 −10 )( xy )
2. Pencerminan terhadap sumbu Y ( dilambangkan dengan
My )
M y : P ( x , y ) → P' ( x' , y ' ) =P ' (−x , y )
Persamaan matriksnya :
( xy '' )=(−10 01)( xy )
3. Pencerminan terhadap titik asal O(0,0) (dilambangkan dengan
5
M o¿
M o : P ( x , y ) → P' ( x ' , y ' )=P' (−x ,− y)
Persamaan matriksnya :
( xy '' )=(−10 −10 )( xy )
4. Pencerminan terhadap garis y = x (dilambangkan dengan
M y=x )
M y=x : P ( x , y ) → P ' ( x ' , y ' )= p' ( y , x)
Persamaan matriksnya :
x'
0 1 x
' =
1 0 y
y
( ) ( )( )
M y=−x )
5. Pencerminan terhadap garis y = -x (dilambangkan dengan
M y=−x : P ( x , y ) → P ' ( x ' , y ' )=P' (− y ,−x)
Persamaan matriksnya :
( xy '' )=(−10 −10 )( xy )
6. Pencerminan terhadap garis x=h ( dilambangkan dengan
M x=h )
M x=h : P ( x , y ) → P ' ( x ' , y ' )=P' (2 h−x , y)
7. Pencerminan terhadap garis y = k (dilambangkan dengan
M y=k )
M y=k : P ( x , y ) → P' ( x ' , y ' ) =P' ( x , 2 k − y)
8. Pencerminan terhadap titik (a,b) (dilambangkan dengan
M (a , b) ¿
M (a , b) : P ( x , y ) → P' ( x ' , y ' )=P' (2 a−x , 2 b− y )
Selanjutnya, perputaran atau rotasi merupakan perpindahan dari titik, garis
atau bidang sejauh Ɵ dari titik pusat tertentu.
1. Jika titik P(x,y ) diputar sebesar θ berlawanan dengan arah jarum jam.
terhadap titik pusat O(0,0) maka diperoleh bayangan P’ (x’,y’ )
R ( 0,θ ) : P ( x , y ) → P' ( x' , y ' ) =P' (x cos θ− y sin θ , x sin θ+ y cos θ)
Persamaan matriksnya :
θ
( xy '' )=(cos
sin θ
)( )
−sinθ x
cos θ y
6
2. Jika suatu titik P (x, y ) diputar sejauh θ berlawanan dengan arah jarum
jam terhadap titik pusat A(a,b) maka bayangannya adalah P’(x’,y’) dengan
x ' −a= ( x−a ) cos θ−( y−b ) sin θ
y ' −b=( x−a ) sin θ+ ( y −b ) cos θ
Persamaan matriksnya :
θ
( xy '' )=(cos
sin θ
)( ) ( )
−sinθ x−a + a
cos θ y−b b
Terakhir, perkalian atau dilatasi adalah perkalian titik, garis, atau bidang
dengan suatu faktor pengali tertentu.
1. Dilatasi terhadap titik pusat O (0,0)
Pemetaannya :
[ O, k ] : P(x , y )→ P' (kx , ky )
Persamaan matriksnya :
( xy '' )=(k0 0k )( xy )
2. Dilatasi terhadap titik pusat A(a,b)
Titi P(x,y) dilatasi terhadap titik pusat A(a,b) dengan faktor skala k
,didapat bayangan P’(x’,y’) dengan :
x ' −a=k ( x−a ) dan y '−b=k ( y−b)
Persamaan matriksnya :
+ (a )
( xy '' )=(k0 0k )( x−a
)
y−b b
B. Transformasi Geometri Pada Menara Petronas
Menara petronas atau yang dering kita kenal dengan menara kembar yang
terdapat di kuala lumpur,Malaysia. Menara ini adalah sepasang menara kembar
yang pernah menjadi bangunan tertinggi didunia pada tahun 1998-2004
berdasarkan pengukuran dari lantai pintu masuk utama sampai struktur atas . Menara
Petronas yang dirancang oleh arsitek César Pelli dari Argentina selesai dibangun pada
7
tahun 1998. Pada bangunan menara ini terdapat beberapa penerapan geometri
transformasi diantaranya refleksi.
Bentuk salah satu menara petronas seperti berikut :
8
Dengan menggunakan transformasi refksi terhadap sumbu y yaitu dengan
rumus
M y : P ( x , y ) → P' ( x' , y ' ) =P ' (−x , y )
Persamaan matriksnya :
( xy '' )=(−10 01)( xy )
maka didapat bangunan lain yang memiliki bentuk dan ukuran yang sama
9
Sehingga jadilah 2 menara yang serupa atau kemabar.
Selanjutnya yaitu pada bagian yang bertingkat
Pada bagian paling atas itu memiliki bentuk kecil daripada bagian
dibawahnya . Bentuk tersebut dapat dikali dengan skala tertentu,
menghasilkan bentuk baru yang ukurannya lebih besar atau lebih kecil
10
seperti
pada
gambar
tersebut
(menggunakan
[ O, k ] : P(x , y )→ P' (kx , ky ) .
BAB III
PENUTUP
A. KESIMPULAN
11
konsep
dilatasi
)
Menara Petronas atau Menara Kembar Petronas yang terdapat di Kuala
Lumpur, Malaysia adalah sepasang menara kembar yang pernah menjadi
bangunan tertinggi di dunia pada tahun 1998—2004. Menara ini dirancang oleh
arsitek César Pelli dari Argentina pada pembangunan menara ini menggunakan
konsep geometri transformasi yaitu konsep refleksi pada sumbu y dan konsep
dilasi
DAFTAR PUSTAKA
Sukino. Matematika untuk SMA kelas XII. Jakarta : Erlangga.2007.
12
https://id.wikipedia.org/wiki/Menara_Kembar_Petronas
http://informatika.stei.itb.ac.id/~rinaldi.munir/AljabarGeometri/20152016/Makalah-2015/Makalah-IF2123-2015-110.pdf
13