Matematika Diskrit Reny Rian Marliana

1. Toleransi Keterlambatan 15 Menit dari jadwal Perkuliahan

2. Handphone/Smartphone, Tablet dan alat Elektronik pribadi lainnya WAJIB di Silent

3. Tidak berbincang-bincang selama proses belajar mengajar

4. Tidak meninggalkan sampah di ruangan kelas

5. Membawa Kalkulator

1. Pada setiap jawaban tugas WAJIB mencantumkan Tanggal Penugasan

2. Nama lengkap

3. NIM

4. Kelas

5. Program Studi

 Munir, Rinaldi. Matematika Diskrit , Informatika, Bandung, 2014.  Liu, C.L, Element of Dicrete Mathematics, 2 nd ., New York: Mc., Graw Hill, 1985.  Lipschutz, Seymour, Discrete Mathematics. Schaum’s Outline Series . New York : Mc Graw Hill, 2007.  Garnier, Rowan & John Taylor, Discrete Mathematics for New Technology , IOP Publishing Ltd, 2002.

 Himpunan  Relasi dan Fungsi  Kombinatorial  Induksi Matematik,  Graf  Pohon  Kompleksitas Algoritma  Fungsi Numerik Diskrit dan Pembangkit  Group, Rings &Field

Rinaldi Munir (2014) : Matematika diskrit adalah cabang matematika yang

mengkaji objek-objek diskrit.

Kamus Ensiklopedia, ACM (Association for Computing Machinery):

Discrete nathenatics, sometimes called finite mathematics, is the study fo mathematical structures, that are fundamentally discrete, in the sense of not supporting or requiring the notion of continuity. Most, if not all, of the objects studied in finite mathematics are countable sets, such us integer.

 Benda disebut diskrit jika ia terdiri dari sejumlah berhingga elemen yang berbeda atau elemen-

elemen yang tidak bersambungan.

 Data yang diolah oleh komputer adalah data

dalam bentuk diskrit misalnya data angka, data karakter, data suara (digital), data gambar (digital)

1. Berapa banyak kemungkinan jumlah password yang dapat dibuat dari 8

karakter?

2. Diberikan dua buah algoritma yang berbeda untuk menyelesaikan sebuah persoalan, bagaimana menentukan algoritma mana

yang terbaik?

3. Dapatkah kita melalui semua jalan di sebuah kompleks perubahan tepat hanya

sekali dan kembali lagi ke tempat semula.

Rinaldi Munir (2014) :

Himpunan (set) adalah kumpulan objek-objek yang berbeda.

Objek yang terdapat dalam himpunan disebut

elemen, unsur atau anggota.

Contoh :

Himpunan software under windows : A= {MsWord, MsExcel,MsPowerPoint ,…) A={x | x software under windows)

Menuliskan semua elemen yang

Enumerasi

bersangkutan di antara dua buah kurung kurawal

Simbol-Simbol

Himpunan khusus yang dituliskan

dengan simbol-simbol baku Penyajian

Himpunan dinyatakan dengan

Pembentuk

menulis syarat yang harus

Himpunan

dipenuhi oleh anggotanya

Himpunan yang dinyatakan secara

Diagram Venn grafis

Kumpulan buku di perpustakaan Himpunan A yang berisi empat

yang mana buku berjudul x ada 2 anggota 1, 2, 3, 4 dapat ditulis

buahm berjudul y dan z masing- sebagai A={1,2,3,4} atau A={2,4,1,3}

masing 1, maka dapat dituliskan B ={x 1, x 2 , y, z }

Himpunan alfabets {a,b,c ,…,x,y,z} Himpunan 100 buah bilangan asli

Himpunan dapat merupakan pertama {1,2,3,…,100}

anggota himpunan lain Himpunan bilangan bulat positif R ={a,b,{a,b,c},{a,c}}

{1,2,3,…} Himpunan bilangan bulat {…,-2,-

Simbol baku yang sering digunakan untuk mendefinisikan himpunan yaitu :

Simbol Baku

Arti Simbol

Himpunan bilangan bulat positif = {1,2,3,…}

Himpunan bilangan asli = {1,2,..}

Himpunan bilangan bulat = {…,-2,-1,0,1,2,…}

Himpunan bilangan rasional

Himpunan bilangan riil C Himpunan bilangan kompleks

Himpunan dinyatakn dengan menulis syarat yang harus dipenuhi anggotanya sebagai berikut :

Notasi : {x| syarat yang harus dipenuhi oleh x}

Aturan yang digunakan dalam penulisan syarat keanggotaan :

1. Bagian di kiri tanda “|” melambangkan elemen himpunan

2. Tanda “|” dibaca dimana atau sedemikian sehingga. 3. Bagian di kanan tanda “|” menunjukkan syarat keanggotaan himpunan.

4. Setiap tanda “,” di dalam syarat keanggotaan dibaca dan.

A adalah himpunan bilangan bulat positif yang lebih kecil dari 5, dinyatakan sebagai :

A ={x|x adalah himpunan bilangan bulat positif lebih kecil dari 5}

Atau A ={x|x є P, x<5}

B adalah himpunan bilangan genap positif yang lebih kecil atau sama dengan 8 dinyatakan sebagai :

B ={x|x adalah himpunan bilangan genap positif lebih kecil atau sama

dengan 8} Atau B ={x|x/2 є P, 2≤ x≤8}

 Di dalam diagram Venn, himpunan semesta U digambarkan sebagai segi empat sedangkan himpunan lainnya

digambarkan sebagai lingkaran di dalam segi empat.  Anggota-anggota suatu himpunan berada di dalam lingkaran

sedangkan anggota himpunan lain di dalam lingkaran yang lain pula.

 Ada kemungkinan dua himpunan mempunyai anggota yang sama, dan digambarkan dengan lingkaran yang saling

beririsan.  Anggota U yang tidak termasuk di dalam himpunan manapun digambarkan di luar lingkaran.

Contoh : Misalkan U ={1,2,…,7,8}, A={1,2,3,5}, B={2,5,6,8}.

Rinaldi Munir (2014) : Sebuah himpunan dikatakan berhingga (finite set) jika terdapat n elemen berbeda (distinc) yang dalam hal ini n adalah bilangan bulat tak neatif. Sebaliknya himpunan tersebut dinamakan tak berhingga (infinite set).

Misalkan A merupakan himpunan berhingga, maka jumlah elemen berbeda di dalam A disebut kardinal dari himpunan A.

n (A) atau |A|

Contoh :

A ={x|x merupakan bilangan prima yang lebih kecil dari 20}, maka n(A)=8 dengan elemen-elemen A adalah 2,3,5,7,11,13,17,19.

Himpunan Kosong

Himpunan Bagian (subset)

Himpunan yang Sama Himpunan Himpunan yang Ekivalen

Himpunan Saling Lepas

Rinaldi Munir (2014) : Himpunan yang tidak memiliki satupun elemen atau himpunana dengan kardinal = 0 disebut himpunan kososng (empty set)

Ø atau { }

Contoh :

E = {x|x < x} maka n(E)=0 P = { orang Indonesia yang pernah ke Bulan} maka n(P)=0

Rinaldi Munir (2014) : Himpunan A dikatakan himpunan bagian (subset) dari himpunan B jika dan hanya jika setiap elemen A merupakan elemen dari B. Dalam hal ini, B dikatakan superset dari A

3. Jika A    xy ,  x  y 4, x  0, y   0 dan

B    xy ,  2 x  y 4, x  0, y  0 

Maka B  A

Rinaldi Munir (2014) : Untuk sembarang himpunan A berlaku hal-hal berikut :

1. A adalah himpunan bagian dari A itu sendiri yaitu :

2. Himpunan kosong merupakan himpunan bagian dari A

A   A 

3. Jika A  B dan B  C maka A  C

Rinaldi Munir (2014) : Himpunan A dikatakan sama dengan himpunan B jika dan hanya jika keduanya mempunyai elemen yang sama. Dengan kata lain, A sama dengan B jika A adalah himpunan bagian dari B dan B adalah himpunan bagian dari A. Jika tidak demikian, maka katakan A tidak sama dengan B.

A  B A B dan B  A

Contoh :

Jika A   0,1 dan B  xxx 1

  0 maka A  B

Jika A   3, 5, 8, 5 dan  B   5, 3, 8 maka  A  B Jika A   3, 5, 8, 5 dan  B   3, 8 maka A  B

Rinaldi Munir (2014) : Himpunan A dikatakan ekivalen dengan himpunan B jika dan hanya jika kardinal kedua himpunan tersebut sama.

A ~ B  nA   nB 

Contoh :

Jika A   1, 3, 5, 7 dan  B   abcd ,,,  maka ~ A B  nA   nB   4

Rinaldi Munir (2014) : Dua himpunan A dan himpunan B dikatakan saling lepas jika keduanya tidak memiliki elemn yang sama.

A // B

Rinaldi Munir (2014) : Himpunan kuasa (power set) dari himpunan A adalah suatu himpunan yang elemennya merupakan semua himpunan bagian dari A, termasuk himpunan kosong dan himpunan A sendiri.

 atau 2

PA

Contoh :

Jika A   1, 2 maka PA    , 1 , 2 , 1, 2  

Gabungan (union)

Irisan (intersection) Gabungan dari himpunan A dan B adalah

Irisan dari himpunan A dan B adalah sebuah himpunan yang setiap anggotanya himpunan yang setiap elemennya merupakan merupakan anggota dari himpunan A atau elemen dari himpunan A dan himpunan B

himpunan B

A  B  xx  A dan x  B 

A  B  xx  A atau x  B 

Komplemen (complement)

Selisish (difference)

Komplemen dari himpunan A terhadap suatu Selisih dari dua himpunan A dan B adalah suatu himpunan semesta U adalah suatu himpunan

himpunan yang elemennya merupakan elemen yang elemennya merupakan elemn U yang dari A tetapi bukan elemen dari B. selisih antara A dan B dapat juga dikatakan sebagai

bukan elemen A komplemen himpunan B terhadap himpunan A.

A   xxU  dan x  A 

AB   xx  A dan x  B  A B

Perkalian Kartesian (cartesian product) Beda Setangkup (symmetric difference) Perkalian kartesian dari himpunan A dan B adalah Beda setangkup dari himpunan A dan B

himpunan yang elemnnya semua pasangan adalah suatu himpunan yang elemennya ada

berurutan (ordered pairs) yang dibentuk dari pada himpunan A atau B, tetapi tidak pada

komponen pertama dari himpunan A dan komponen keduanya. kedua dari himpunan B.

Irisan (intersection) :

Gabungan (union) :

Jika A   2, 4, 6, 8,10 dan  B   4,10,14,18 

Jika A   2, 5, 8 dan  B   7, 5, 22 

maka A  B  4,10  maka A  B  2, 5, 7, 8, 22 

Komplemen (complement) :

Selisish (difference) :

Misalkan U   1, 2, 3, ,9  Jika A   1, 2, 3, ,10 maka  B   2, 4, 6, 8,10 

Jika A   1, 3, 7, 9 maka  A   2, 4, 6, 8 

maka AB   1,3,5,7,9 maka  B  A

Beda Setangkup (symmetric difference) : Perkalian Kartesian (cartesian product)

Jika A   2, 4, 6 dan  B   2, 3, 5 

Jika C   1, 2, 3 dan  D   ab , maka maka A  B  3, 4, 5, 6 

 i A   A

 i A   

Hukum identitas :

 Hukum null/dominasi :

Hukum Komplemen :

 Hukum Idempoten :

ii A  A

 ii A  A A  i A   A  B   A

 A  A Hukum Penyerapan :

Hukum Involusi :

 ii A   A  B   A  i A  B B A Hukum  i A   B  C   A  B   C

Hukum Komutatif :

 Asosiatif :

ii A  B B A  ii A   B  C   A  B   C

 i A  B A B Hukum 0/1

 i  U

Hukum De Morgan :

 (Hukum Komplemen 2)

Hukum Distributif :

 ii A   B  C   A  B   A  C 

Prinsip dualitas menyatakan bahwa dua konsep yang berbeda dapat dipertukarkan namun tetap memberikan jawaban yang benar.

Rinaldi Munir (2014) : Misalkan S adalah suatu kesamaan yang melibatkan himpunan (set

identity ) dan operasi-operasi seperti :

 , dan komplemen

Jika S * diperoleh dari S dengan mengganti

 menjadi  menjadi   menjadi U U menjadi 

Sedang komplemen tetap dibiarkan seperti semula, maka kesamaan S * juga benar dan disebut dual dari kesamaan S.

Jumlah elemen hasil penggabungan dua buah himpunan A dan B adalah jumlah elemen di masing-masing himpunan dikurangi dengan jumlah elemen di dalam irisannya :

nA   B   nA   nB  nA  B 

nA   B   nA   nB

Misalkan A dan B adalah himpunan

berhingga yang saling lepas Misalkan A dan B adalah himpunan

nA   B   nA   nB  nA  B 

berhingga

nA   B   nA   nB  2 nA   B 

nA   B C   nA   nB  nC

Misalkan A,B dan C adalah himpunan

ii  jkr

Sebanyak 1232 orang mahasiswa mengambil kuliah bahasa Inggris, 879 orang mengambil kuliah bahasa Perancis dan 114 orang mengambil bahasa Jerman.

Sebanyak 103 orang mengambil kuliah Bahasa Inggris dan Perancis.

23 orang mengambil kuliah Bahasa Inggris dan Jerman. 14 orang mengambil kuliah bahasa Perancis dan Jerman.

Jika 2092 orang mengambil paling sedikit satu buah kuliah bahasa Inggris, Perancis dan Jerman

Berapa banyak mahasiswa yang mengambil kuliah ketiga buah bahasa tersebut?

Misalkan : I : himpunan mahasiswa yang mengambil mata kuliah B.Inggris P : himpunan mahasiswa yang mengambil mata kuliah B.Perancis J : himpunan mahasiswa yang mengambil mata kuliah B.Jerman Maka :

nI   1232 nP   879 nJ   114

nI   P   103 nI   J   23 nP   J   14

nI   P J   2092 nI   P J   nI   nJ  nP  nI  P   nI  P   nP  J   nI  P J  nI   P J   nI   P J    nI   nJ  nP  nI  P   nI  P  nP J

 Himpunan yang elemennya boleh berulang (tidak harus berbeda) disebut himpunan ganda (multiset)

 Contoh : {a,a,a,b,b,c}

{2,2,2}  Multiplisitas dari suatu elemen pada himpunan ganda

adalah jumlah kemunculan elemen tersebut di dalam himpunan ganda

 Contoh : {3.a, 2.b, c} {2.a}

Adalah suatu himpunan ganda

P   aaacdd ,,,,, 

yang multiplisitas elemennya

Q   aabcc ,,,, 

sama dengan multiplisitas

P  Q  aaabccdd ,,,,,,, 

maksimum elemen tersebut pada himpunan P dan Q

Adalah suatu himpunan ganda

P   aaacdd ,,,,, 

yang multiplisitas elemennya

Q   aabcc ,,,, 

sama dengan multiplisitas

minimum elemen tersebut pada

P  Q  aac ,, 

himpunan P dan Q

Operasi Himpunan

PQ 

Ganda

Adalah suatu himpunan ganda yang multiplisitas elemennya sama dengan:

P   aaabbcdde ,,,,,,,, 

1. Multiplisitas elemen tersebut pada P dikurangi multiplisitasnya pada Q jika

Q   aabbbccddf ,,,,,,,,, 

selisihnya positif.

PQ   ae ,

2. 0, jika selisihnya nol atau negatif

PQ 

Suatu himpunan ganda yang

P  aabcc ,,,,

multiplisitas elemennya sama

Q   abbd ,,, 

dengan penjumlahan dari

multiplisitas elemen tersebut

PQ   aaabbbccd ,,,,,,,, 

Matematika Diskrit

Pertemuan ke-2

Reny Rian Marliana, S.Si., M.Stat.

Relasi

Hubungan antara elemen himpunan dengan

elemen himpunan lainnya sering dijumpai pada banyak masalah.

Contoh :

• Hubungan antara program komputer dengan

peubah yang digunakan • Hubungan antara bahasa pemograman dengan pernyataan yang sah • Hubungan natara mahasiswa dengan mata

kuliah yang diambil

Relasi

• Hubungan antara elemen himpunan dengan

elemen himpunan lain dinyatakan dengan struktur yang disebut relasi.

• Struktur diskrit adalah struktur matematika abstrak yang digunakan untuk merepresentasikan objek-objek diskrit dan hubungan antara objek-objek tersebut.

Matriks

• Matriks adalah susunan skalar elemen-elemen dalam bentuk baris

dan kolom. Matriks A yang berukuran dari mbaris dan n kolom (mxn) adalah :

 a 11 a 12 a 1 n 

a 21 a 22 a 2  n 

  a m 1  a m 2 a mn  

Matriks Khusus

Matriks 0/1 Diagonal

atas/bawah

   0 1 0 A 

Dua Matriks

Perkalian Dua

matriks dengan

Skalar

Definisi Relasi

• Rinaldi Munir (2014)

Relasi antara himpunan A dan B disebut relasi biner. Relasi biner R antara A dan B adalah himpunan bagian dari A x B.

AB    aba ,   Ab ,  B   R  AB  

• Seymour Lipschutz (2007)

• Rowan Garnier & John Taylor (2002)

• C.L. Liu (1985)

Relasi

• Jika (a,b) є R maka notasi a R b artinya a dihubungkan dengan b oleh relasi R

•  Jika (a,b) R maka notasi a R b artinya a tidak dihubungkan dengan b oleh relasi R

• Himpunan A disebut daerah asal dari R • Himpunan B disebut daerah hasil dari R

Relasi

Contoh :

Misalkan A={Amir, Budi, Cecep) adalah himpunan nama mahasiswa

dan B={IF221,IF251,IF342,IF323] adalah himpunan mata kuliah di jurusan Sistem Informasi.

Perkalian kartesian antara A dan B menghasilkan himpunan pasangan terurut yang jumlah anggotanya adalah n(A) x n(B)=3x4=12

A x B = {(Amir, IF221), (Amir, IF251), (Amir, IF342), (Amir, IF323), (Budi, IF221), (Budi, IF251), (Budi, IF342), (Budi, IF323), (Cecep, IF221), (Cecep, IF251), (Cecep, IF342), (Cecep, IF323)}

Misalkan R adalah relasi yang menyatakan mata kuliah yang diambil mahasiswa pada semester ganjil, yaitu :

R= {(Amir, IF251),(Amir, IF323),(Budi, IF221), (Budi,IF251), (Cecep,IF323)}

Relasi

• IF221

• Amir

• IF251

• Budi

• IF342

• Cecep

• IF323

Tabel Refresentasi

Matriks Relasi

Graf

Tabel

• Kolom pertama : Daerah Asal • Kolom kedua : Daerah Hasil

Amir

IF251

Amir

IF323

Budi

IF221

Budi

IF251

Cecep

IF323

Matriks

Misalkan R adalah relasi dari A={a 1 ,a 2 , …,a m } dan B= {b 1 ,b 2 , …,b n } Relasi R disajikan dengan matriks M={m ij }

Dalam hal ini :

 1 ab

m ij 

0  ab i , j   R

Matriks

Representasi relasi dengan matriks untuk contoh sebelumnya :

IF221 IF251 IF342 IF323 Amir  0 1 0 1 

 M  Budi

1 1 0  0  Cecep  0 0 0 1 

Graf Berarah

• Tiap elemen himpunan dinyatakan dengan sebuah titik (disebut juga simpul atau vertex). • Tiap pasangan terurut dinyatakan dengan busur (arc) yang arahnya ditunjukkan dengan sebuah panah.

• Jika (a,b) є R maka sebuah busur dibuat dari simpul a ke simpul b • Simpul a disebut simpul asal (initial vertex)

• Simpul b disebut simpul tujuan (terminal vertex)

Graf Berarah

Refresentasi graf untuk relasi R ={(a,a), (a,b), (b,a), (b,c), (b,d), (c,a), (c,d), (d,b)} Adalah relasi pada himpunan {a,b,c,d}.

Graf Berarah

Refresentasi graf untuk relasi R ={(1,2), (2,2), (2,4), (3,2), (3,4), (4,1), (4,3)} Adalah relasi pada himpunan {1,2,3,4}.

Relasi Invers

Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke B.

Invers dari relasi R dilambangkan dengan R -1 adalah relasi dari B ke A yang didefinisikan oleh :

R   ba , ab

Relasi Invers

Misalkan P={2,3,4} dan Q={2,4,8,9,15}. Jika didefinisikan bahwa relasi R dari P ke Q adalah :

 pq ,   R jika habis membagi p q

Maka diperoleh : R ={(2,2),(2,4),(4,4),(2,8),(4,8),(3,9),(3,15)}

R -1 adalah invers dari relasi R, yaitu relasi Q ke P, dengan :

qp ,   R jika kelipatan dari q p

Maka diperoleh : R -1 ={(2,2),(4,2),(4,4),(8,2),(8,4),(9,3),(15,3)}

Relasi Invers

Jika M adalah matriks yang merepresentasikan relasi R :

Maka matriks yang merepresentasikan relasi R -1 misalkan N, diperoleh dengan melakukan transpose terhadap matriks M

Mengkombinasikan Relasi

Jika R 1 dan R 2 masing-masing adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B maka operasi :

Juga adalah relasi dari himpunan A ke himpunan B.

Mengkombinasikan Relasi

Misalkan A={a,b,c} dan B={a,b,c,d} Relasi R 1 ={(a,a), (b,b), (c,c)} dan R 2 ={(a,a), (a,b), (a,c) , (a,d)} adalah relasi

dari A ke B. Kita dapat mengkombinasikan kedua buah relasi tersebut untuk

memperoleh :

R 1  R 2    aa ,   R 1  R 2    aa ,  , bb ,  , cc , , ab ,  , ac ,  , ad ,   R 1  R 2    bb ,  , cc ,  R 2  R 1    ab ,  , ac ,  , ad ,   R 1  R 2    bb ,  , cc , , ab ,  , ac ,  , ad ,  

Mengkombinasikan Relasi

Jika R 1 dan R 2 masing-masing dinyatakan dengan M R 1 dan M R 2 maka matriks yang menyatakan gabungan dan irisan dari kedua relasi tersebut adalah :

Mengkombinasikan Relasi

 R 1  10 1 dan R 2  0 1 1

 M R 111

Komposisi Relasi

Misalkan R adalah relasi dari himpunan A ke himpunan

B , dan S adalah relasi dari himpunan B ke himpunan C. Komposisi R dan S dinotasikan dengan S ○ R adalah relasi dari A ke C yang didefinisikan oleh :

SR   aca ,   Ac ,  C dan beberapa b  Bab ,  ,   Rbc ,  ,    S 

Komposisi Relasi

Misalkan R={(1,2), (1,6), (2,4), (3,4), (3,6), (3,8)} adalah relasi dari himpunan {1,2,3} ke himpunan {2,4,6,8} dan S={(2,u), (4,s), (4,t), (6,t), (8,u)} adalah relasi dari himpunan {2,4,6,8} ke himpunan {s,t,u}.

Maka komposisi relasi R ke S adalah :

SR    1, u , 1, t , 2, s , 2, t , 3, s , 3, t , 3, u  

•2 •s

•4 •t

•6 •u

Mengkombinasikan Relasi

Jika R 1 dan R 2 masing-masing dinyatakan dengan M R 1 dan M R 2 maka matriks yang menyatakan komposisi dari kedua relasi tersebut adalah :

RR 1 2 R 1 R 2

Komposisi Relasi

 R 1  1 1 0 dan R 2  0 0 1

 M RR  M R  M

SIFAT RELASI

Setangkup (Symmetric)

Menghantar Refleksif

Dan tolak Setangkup

(transitive)

(antiSymmetric)

Relasi R pada

Relasi R pada

Relasi R pada

himpunan A Relasi R pada

himpunan A

himpunan A

disebut himpunan A

disebut tolak-

disebut

menghantar jika disebut refleksif

setangkup jika

(a,b) єR dan jika (a,a) єR

setangkup jika

(a,b) є R dan (b,a)

(a,b) є R maka

(b,c) єR maka untuk setiap a єA

є R maka a=b

(b,a) є R untuk

untuk semua a,b є

(a,c) єR untuk

semua a,b єA

A semua a,b,c єA

SIFAT RELASI

Setangkup (Symmetric)

Menghantar Refleksif

Dan tolak Setangkup

(transitive)

(antiSymmetric)

Misalkan Misalkan

Misalkan

A ={1,2,3,4} dan A ={1,2,3,4} dan

A ={1,2,3,4} dan

Misalkan

relasi

A relasi ={1,2,3,4} dan R ={(1,1),(2,3),(2,4),(4

relasi

R ={(1,1),(1,2),(2,1),(2 relasi

,2),(3,3),(4,2),(4,3),(4, Bersifat tidak

Bersifat setangkup

Bersifat tolak

menghantar karena Bersifat reflektif

karena jika (a,b) єR setangkup (1,1) єR

(2,4) dan (4,2) єR karena ada unsur

maka (b,a) єR

dan 1=1 juga (2,2) є

tetapi (2,2) єR (a,a) yaitu:

disini (1,2) dan (2,1) R dan 2=2 serta є R juga (2,4) dan begitu juga (4,2)

(3,3) є R dan 1=1

(1,1),(2,2),(3,3),(4,4) dan (2,3) є R tetapi

Relasi Kesetaraan : Relasi R pada himpunan A disebut relasi kesetaraan (equivalence

relation ) jika ia reflektif, setangkup dan menghantar

Relasi Pengurutan Parsial : Relasi R pada himpunan S dikatakan relasi pengurutan parsial

(partial ordering relation) jika ia reflektif, tolak-setangkup dan

menghantar.

Himpunan S bersama-sama dengan relasi R disebut himpunan terurut secara parsial (partially ordered set atau poset) dan dilambangkan dengan (S,R)

Klosur Relasi

Rinaldi Munir (2014)

Misalkan R adalah relasi pada himpunan A. R dapat memiliki atau tidak memiliki sifat P seperti reflektif, setangkup atau menghantar. jika terdapat relasi S dengan sifat P yang mengandung R sedemikian sehingga S adalah himpunan bagian dari setiap relasi dengan sifat P yang mengandung R, maka S disebut Klosur (closure) atau tutupan dari R.

Klosur Refleksif

Klosur Klosur Setangkup

Klosur Menghantar

Klosur Refleksif

Misalkan R adalah sebuah relasi pada himpunan

A. klosur refleksif dari R adalah

R 

   aaa ,   A 

Contoh : R    1,1 , 1, 3 , 2, 3 , 3, 2  adalah Relasi pada Himpunan A   1, 2, 3  R    1,1 , 1, 3 , 2, 3 , 3, 2     1,1 , 2, 2 , 3, 3      1,1 , 1, 3 , 2, 2 , 2, 3 , 3, 2 , 3, 3  

Klosur Setangkup

Misalkan R adalah sebuah relasi pada himpunan

A. klosur setangkup dari R adalah

R   ba ,  ab ,  A

Contoh : R    1, 3 , 1, 2 , 2,1 , 3, 2 , 3, 3  adalah Relasi pada Himpunan A   1, 2, 3 

R  R    1, 3 , 1, 2 , 2,1 , 3, 2 , 3, 3     3,1 , 2,1 , 1, 2 , 2, 3 , 3, 3     1, 3 , 3,1 , 1, 2 , 2,1 , 2,1 , 1, 2 , 3, 2 , 2, 3 , 3, 3 

Klosur Menghantar

• Klosur menghantar dari relasi R adalah

R  R R  R  R

• Misalkan A adalah himpunan dengan n elemen, dan R adalah relasi pada himpunan A. Jika terdapat lintasan dengan panjang minimal 1 di dalam R dari a ke b, maka lintasan semacam itu panjangnya melebihi n

Klosur Menghantar

R    1,1 , 1, 3 , 2, 2 , 3,1 , 3, 2   adalah Relasi pada Himpunan A   1, 2, 3 

Relasi n-ary

Relasi yang menghubungkan lebih dari dua buah himpunan dinamakan relasi n-ary.

Misalkan :

AA 1 , 2 , , A n

Adalah himpunan. Relasi n-ary pada himpunan tersebut adalah himpunan bagian dari :

A 1  A 2 A n atau P  A 1 A 2 A n

Himpunan AA 1 , 2 , , A n disebut daerah asal (domain) dan n adalah

derajat.

Relasi n-ary

Misalkan : NIM = {13598011,13598015, 13598019, 13598021, 13598025} Nama ={Amir, Santi,Irwan,Ahmad,Cecep,Hamdan} Matkul ={Matematika Diskrit,Algoritma,Struktur Data,Arsitektur dan

Komputer} Nilai ={A,B,C,D,E}

Relasi MHS terdiri dari {NIM,Nama,Matkul,Nilai}

MHS  NIM  Nama Matkul Nilai  

Relasi n-ary

Matematika Diskrit

B 13598014

Amir

Arsitektur dan Komputer

Struktur Data

B 13598019

Irwan

Arsitektur dan Komputer

Arsitektur dan Komputer

B 13598025

Hamdan

Matematika Diskrit

Struktur Data

Basis Data

• Basis Data adalah kumpulan tabel • Salah satu model basis data adalah model basis

data relasional, model ini didasarkan pada konsep relasi n-ary.

• Pada basis data relasional , satu tabel menyatakan satu relasi. Setiap kolom pada tabel disebut atribut.

Memilih baris tertentu dari suatu tabel

Seleksi

yang memenuhi persyaratan tertentu

Memilih kolom tertentu dari suatu

Proyeksi tabel. Jika ada beberapa baris yang

sama nilainya, maka hanya diambil

satu ( π)

Query

Menggabungkan dua buah tabel

Join

menjadi satu bila kedua tabel mempunyai atribut yang sama ( )

Bahasa khusus untuk query di dalam basis data. Bahasa ini dirancang

SQL

sedemikian sehingga dapat

TERIMA KASIH

Matematika Diskrit

PERTEMUANKE-3

RENYRIANMARLIANA, S.SI., M.STAT.

DEFINISI

 Fungsi sering dipakai untuk mentransformasikan elemen

di sebuah himpunan dengan elemen di himpunan lain.  Rinaldi Munir (2014)

Misalkan A dan B himpunan. Relasi biner f dari A ke B merupakan suatu fungsi jika setiap elemen di dalam A dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B. Jika f adalah fungsi dari A ke B kita menuliskan :

f :AB

Yang artinya f memetakan A ke B.

DEFINISI

A B Fungsi adalah relasi khusus : 1. Tiap elemen di dalam

himpunan A, yang merupakan daerah asal f, harus digunakan oleh prosedur atau kaidah

f a b mendefinisikan f.

2. Frasa “dihubungkan dengan tepat satu elemen di dalam B ”, berarti bahwa jika (a,b) є f dan (a,c) є f maka a=c

Bentuk Spesifikasi Fungsi

Himpunan •Fungsi adalah relasi, sedangkan relasi biasanya

dinyatakan sebagai himpunan pasangan terurut.

Pasangan Terurut Formula Pengisian •Dalam aljabar/kalkulus, fungsi dispesifikasikan

dalam bentuk rumus pengisian nilai, misalnya :

•f(x)=2x+10 atau f(x)=x Nilai •f(x)=2x+10 atau f(x)=x

•Fungsi dinyatakan secara eksplisit dalam rangkaian

kata- Kata-Kata kata. Misalnya “f adalah fungsi yang memetakan

jumlah bit 1 di dalam string biner”

Kode Program •Fungsi dispesifikasikan dalam bntuk kode program

komputer. Misalnya dalam bahasa Pascal.

(source code)

Bahasa Pascal

 Fungsi yang mengembalikan nilai mutlak dari sebuah bilangan bulat x, yaitu |x| ditulis sebagai

berikut :

function abs(x: integer) : integer; begin

if x < 0 then

abs := -x

else

abs :=x;

end;

Contoh Fungsi

Misalkan A adalah himpunan mahasiswa di STMIK Sumedang, manakah dari pemetaan berikut yang mendefinisikan sebuah fungsi pada himpunan A?

1. Setiap mahasiswa memetakan NIM

2. Setiap mahasiswa memetakan nomor handphone- nya

3. Setiap mahasiswa memetakan dosen walinya

4. Setiap mahasiswa memetakan mata kuliah yang diambil.

Fungsi Satu-ke-satu

Rinaldi Munir (2014) : Fungsi f dikatakan satu-ke-satu (one-to-one) atau

injektif jika tidak ada dua elemen himpunan A yang memiliki bayangan sama.

Dengan kata lain, jika a dan b adalah anggota himpunan A, maka f(a )≠f(b) bilamana a≠b.

Jika f(a)=f(b) maka implikasinya adalah a=b.

Fungsi Satu-ke-satu

AB

Fungsi Satu-ke-satu

Misalkan f : Z  Z. Tentukan apakah :

f 2 (x)=x + 1 dan f(x)=x-1

merupakan fungsi satu-ke-satu?

 2 f (x)=x + 1, bukan merupakan fungsi satu-ke-satu. Karena untuk dua nilai x yang bernilai mutlak sama

tetapi tandanya berbeda nilai fungsinya sama, misalnya , f(2)=f(-2)=5 padahal - 2≠2

 f (x)=x-1 , merupakan fungsi satu-ke-satu. Karena untuk a ≠b, a-1≠b-1. misalnya f(2)=1 dan f(-2)=-3.

Fungsi Onto

Rinaldi Munir (2014) :

Fungsi f dikatakan pada (onto) atau surjektif jika setiap elemen himpunan B merupakan bayangan dari satu atau lebih elemen himpunan A.

Dengan kata lain, seluruh elemen B merupakan jelajah dari f.

Fungsi f disebut fungsi pada (onto) himpunan B.

Fungsi Onto

AB

Fungsi Onto

Misalkan f : Z  Z. Tentukan apakah :

f 2 (x)=x + 1 dan f(x)=x-1

merupakan fungsi onto?  2 f (x)=x + 1, bukan merupakan fungsi onto. Karena tidak

semua bilangan bulat merupakan jelajah dari f. Misalnya tidak ada nilai x yang membuat nilai fungsi sama dengan 0, yaitu x 2 + 1=0 tidak dipenuhi oleh nilai x berapapun.

 f (x)=x-1 , merupakan fungsi onto. Karena setiap bilangan bulat y, selalu ada nilai x yang memenuhi,

yaitu y=x-1 akan dipenuhi untuk x=y+1

Fungsi Berkorespondensi satu-ke-satu

Rinaldi Munir (2014) : Fungsi f dikatakan berkorespondensi satu-ke-satu

atau bijeksi jika ia fungsi satu-ke-satu dan juga fungsi onto.

Misalnya :

f (x)=x-1, merupakan fungsi berkorespondensi satu- ke-satu, karena f merupakan fungsi satu-ke-satu maupun fungsi onto.

Fungsi onto, Fungsi satu-ke-satu,

bukan onto bukan satu-ke-satu

Bukan fungsi satu-

A A B Bukan Fungsi B

ke-satu maupun onto

Latihan

Relasi f={(1,u), (2,w), (3,v)} dari himpunan A={1,2,3} ke himpunan B={u,v,w}.

Tentukan apakah :  f merupakan fungsi satu-ke-satu?

 f merupakan fungsi onto?  f merupakan fungsi berkorespondensi satu-ke-

satu?

Fungsi Invers

Jika f adalah fungsi berkorespondensi satu-ke-satu

dari A ke B, maka kita dapat menemukan balikan atau inversi (invers) dari f.

Fungsi invers dilambangkan f -1

f(a)

f -1 (b)

Fungsi Invers

Jika f adalah fungsi dari himpunan A ke himpunan B, maka invers fungsi f adalah fungsi dari himpunan ke B ke himpunan A

Ingat :

Grafik Fungsi Invers

Fungsi Invers

Fungsi f(x)=x+4 dengan domain A={1,2,3,4} dengan daerah hasil B ={5,6,7,8) dapat dituliskan sebagai berikut :

fx   x 4;   1, 5 , 2, 6 , 3, 7 , 4, 8  

- Fungsi invers dari f(x) atau f 1 (x) yang merupakan sebuah fungsi dari daerah hasil B ke daerah asal (domain) A dapat dituliskan sebagai :

f   x  x 4;   5,1 , 6, 2 , 7, 3 , 8, 4  

Latihan

1. Relasi f={(1,u), (2,w), (3,v)} dari himpunan A={1,2,3} ke himpunan B={u,v,w}. Tentukan invers fungsi

dari f ?

2. Perlihatkan bahwa :

 1  x

y  fx 

Memiliki fungsi balikan dan carilah f -1 (x)

Komposisi Fungsi

 Misalkan g adalah fungsi dari himpunan A ke

himpunan B, dan f adalah fungsi dari himpunan B ke himpunan C.

 Komposisi fungsi f dan g dinotasikan sebagai f ○g,

adalah fungsi dari A ke C yang didefinisikan oleh : (f ○g)(a)=f( g (a) )

 Dengan kata lain, f ○g adalah fungsi yang memetakan nilai dari g(a) ke f.

Komposisi Fungsi

(f ○ g)(a) A B C

g (a) f( g (a) )

a g (a)

f( g (a) )

Komposisi Fungsi

Diberikan fungsi :

  x 1 dan gx   x  1

fx 2

Tentukan f ○g dan g○f

 f  g   x  fgx     gx   1  x  1  1 x

g  f   x  gfx      fx    1  x  1   1 x  2 x  2

Latihan

Diberikan fungsi g ={(1,u), (2,w), (3,v)} yang memetakan himpunan A={1,2,3} ke himpunan B= {u,v,w} , dan fungsi f={(u,y), (v,x), (w,z)} yang memetakan B={u,v,w} ke C={x,y,z}.

Tentukan fungsi komposisi dari A ke C?

Fungsi Khusus

Fungsi floor dan ceiling Fungsi Modulo

Fungsi Khusus Fungsi Faktorial

Fungsi eksponensial & Logaritmik

Fungsi Floor dan Ceiling

 Misalkan x adalah bilangan riil, berarti x berada di antara dua nilai bilangan bulat.  Fungsi floor dari x, dilambangkan :

 x 

menyatakan nilai bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x.

 Fungsi ceiling dari x, dilambangkan :

 x 

menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama dengan x

Fungsi Floor dan Ceiling

Fungsi Modulo

 Misalkan a adalah sembarang bilangan bulat dan m adalah bilangn bulat positif.  Fungsi modulo adalah fungsi operator mod yang dalam hal ini :

a mod m memberikan sisa pembagian bilangn bulat bila a

dibagi dengan m

 Secara lebih rinci

a mod m  r a mq r  ,0  r m

Fungsi Modulo

25 mod 7  4

15 mod 4  4 3612 mod 45 12 

0 mod 5  0  25 mod 7  3

Fungsi Modulo

Misalkan f adalah fungsi dari X={0,1,2,3,4} ke X yang didefinisikan oleh f(x)=4x mod 5.

 Tuliskan f sebagai himpunan pasangan terurut.  Apakah f fungsi satu-ke-satu atau dipetakan pada

(onto)

Fungsi Modulo

x  0 f  0  4 0 mod 5  0 x  1 f  1  4 1 mod 5  4 x  2 f  2  4 2 mod 5  3 x  3 f  3  4 3 mod 5  2 x  4 f  4  4 4 mod 5 1 

 f   0, 0 , 1, 4 , 2, 3 , 3, 2 , 4,1 

Jelas bahwa f adalah fungsi satu-ke-satu karena tidak ada dua elemen di X yang mempunyai peta yang sama di himpunan hasil. Fungsi f juga merupakan fungsi onto karena setiap elemen di X adalah peta dari himpunan daerah asal.

Dengan demikian fungsi f merupakan fungsi berkorespondensi satu-ke-

Fungsi Faktorial

 Untuk sebarang bilangan bulat tidak negatif n, faktorial dari n, dilambangkan dengan n!,

didefinisikan sebagai :

12   n 1  nn ,  0

Fungsi Eksponensial dan Logaritmik

 Fungsi eksponensial berbentuk :

 aa  a , n  0

 Untuk kasus perpangkatan negatif :

 Fungsi logaritmik berbentuk :

log x  x a

Fungsi Eksponensial dan Logaritmik

log 64 3 

3 karena 64  4

 log1000  9 karena 2  512 tetapi 2  1024 

a 9 10

Fungsi Rekursif

 Untuk n>0 dapat dilihat bahwa :

n !123    n 1  n  n  1!  n

 Dengan menggunakan notasi matematika, maka n! Didefinisikan dalam hubungan rekursif adalah sebagi berikut :

n ! 

 n  1!  n , n   0

 Jika dimisalkan f(n)=n!, maka fungsi faktorial dapat ditulis juga sebagai:

n ! 

n  fn    1 , n  0

Fungsi Rekursif

Rinaldi Munir (2014) : Fungsi f dikatakan fungsi rekursif jika definisi

fungsinya mengacu pada dirinya sendiri. Fungsi rekursif disusun oleh dua bagian :

1. Basis

2. Rekurens

Fungsi Rekursif

• Bagian yang berisi nilai awal yang tidak mengacu

Basis pada dirinya sendiri

• n!=1, jika n=0

• Bagian ini mendefinisikan argumen fungsi dalam

terminologi dirinya sendiri. • Setiap kali fungsi mengacu pada dirinya sendiri,

Rekurens argumen dari fungsi harus lebih dekat ke nilai awal

(basis) • n!=(n-1)! x n, jika n>0

Fungsi Rekursif

Fungsi Rekurens

 n Nyatakan perpangkatan a (a bulat dan n>0) sebagai fungsi rekursif :

nyatakan n a dalam argumen rekursif :

a  aaa  a aa

Tentukan Basis : a n 

Fungsi Rekursif untuk perpangkatan adalah :

 a 

aa  , n   0

TUGAS 2

1. Buatlah masing-masing 5 buah contoh fungsi satu-ke- satu dan fungsi onto yang ada kaitannya dengan sistem informasi.

2. Misalkan fungsi f dan g pada bilangan riil dan didefinisikan oleh :

f 2 (x)=2x + x-3 g(x)=5x-2

a. Carilah komposisi g ○ f dan f ○ g b. Hitung (g ○ f)(3) dan (f ○ g)(3)

3. Misalkan f : R  R, didefinisikan oleh f(x)=3x-2.

a. Buktikan bahwa f(x) adalah fungsi satu-ke-satu dan fungsi onto b. Carilah fungsi invers dari f(x)

TERIMA KASIH

Pertemuan ke-4

Reny Rian Marliana, S.Si., M.Stat.

 Sebuah proposisi atau pernyataan tidak hanya sekedar ditulis tetapi harus dimengerti

apa yang menyebabkan proposisi tersebut benar yaitu bukti (proof).

 Pada materi ini akan difokuskan pada pembuktian proposisi yang hanya

menyangkut bilangan bulat  Contoh : “jumlah n buah bilangan bulat positif pertama adalah n(n +1)/2”  Metode pembuktian untuk proposisi perihal

bilangan bulat adalah induksi matematika.

Rinaldi Munir (2014) :  Induksi matematik merupakan teknik

pembuktian yang baku dalam matematika.  Melalui induksi matematik kita dapat mengurangi langkah-langkah pembuktian

bahwa semua bilangan bulat termasuk ke dalam suatu himpunan kebenaran dengan hanya sejumlah langkah terbatas.

 Matematikawan yang mempelopori perkembangan induksi matematika adalah

R.Dedekind dan G.Peano

 Banyak teorema yang menyatakan bahwa p(n)

benar untuk semua bilangan bulat positif n, yang dalam hal ini p(n) disebut juga sebagai fungsi proposisi.

 Contoh : p (n) adalah proposisi yang menyatakan

“Jumlah bilangan bulat positif dari 1 sampai n adalah n(n +1)/2”

buktikan bahwa p(n) adalah benar!

 Dengan mencoba dengan beberapa nilai n,

memang akan timbul dugaan bahwa p(n) adalah benar.

 Misalkan n=5 maka p(5) adalah proposisi

yang menyatakan “Jumlah bilangan bulat positif dari 1 sampai 5 adalah 5(5+1)/2 ”

1+2+3+4+5=15= 5(5+1)/2  Misalkan n=10 maka p(10) adalah proposisi

yang menyatakan “Jumlah bilangan bulat positif dari 1 sampai 10 adalah 10(10+1 )/2”

 Jelas bahwa untuk beberapa nilai n, p(n) benar, akan tetapi intansiasi seperti p(5) dan

p(10) tidak dapat berlaku sebagai bukti bahwa p(n) benar untuk seluruh n.

 Bilangan bulat positif tidak terhingga atau n ∞, sehingga diperlukan pendekatan

(induksi matematik) untuk membuktikan kebenaran proposisi tersebut.

 Setiap bilangan bulat positif n (n ≥2) dapat

dinyatakan sebagai perkalian dari (satu atau lebih) bilangan prima.

 3 Untuk semua n ≥1, n +2n adalah kelipatan 3.

 Di dalam sebuah pesta, setiap tamu berjabat tangan dengan tamu lainnya. Jika ada n orang

tamu maka jumlah jabat tangan yang terjadi adalah n(n-1)/2.

Rinaldi Munir (2014) : Misalkan p(n) adalah proposisi perihal bilangan

bulat positif dan kita ingin membuktikan bahwa p(n) benar untuk semua bilangan bulat positif n. Untuk membuktikan proposisi ini, kita hanya perlu menunjukkan bahwa :

1. p (1) benar, dan

2. Jika p(n) benar, maka p(n+1) juga benar untuk setiap n≥1.

Prinsip Induksi Sederhana

Basis induksi :

Digunakan untuk memperlihatkan pernyataan tersebut benar jika n diganti dengan 1, yang merupakan bilangan bulat positif terkecil.

Langkah induksi :

Berisi asumsi yang menyatakan bahwa p(n) benar. Asumsi ini disebut hipotesis induksi.

Selanjutnya harus diperlihatkan bahwa implikasi p (n)p(n+1) benar untuk setiap bilangan bulat positif.

Tunjukkan bahwa untuk n ≥1, 1+2+3+...+n=n(n+1)/2 melalui induksi matematika.

Penyelesaian :

Misalkan p(n) menyatakan bahwa untuk n ≥1, jumlah n bilangan bulat positif pertama adalah n (n+1)/2.

 Basis induksi p (1) benar karena untuk n=1 diperoleh :

1=1(1+1)/2=(2/2)=1  Langkah induksi

misalkan p(n) benar yaitu mengasumsikan bahwa :

1+2+3+...+n=n(n+1)/2 Adalah benar (hipotesis induksi). Harus diperlihatkan bahwa p(n+1) juga benar,

yaitu : 1+2+3+...+n+(n+1)=(n+1)((n+1)+1)/2

 Kesimpulan : n  n  1   123  n   n  1 

 nn   1 

Langkah 1 dan 2 telah

   n  1 dibuktikan benar

2 sehingga untuk semua

  n  1  bilangan bulat positif n  

terbukti bahwa untuk

n ≥1,

2  1+2+3+...+n=n(n+1)/2  2

 n  1  n  2 

 n  1   n  1  1 

Gunakan induksi matematika untuk membuktikan bahwa jumlah n buah bilangan ganjil positif

pertama adalah n 2

Penyelesaian :

Misalkan p(n) menyatakan bahwa jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n 2 .

 Basis induksi p (1) benar karena untuk n=1 diperoleh :

1=1 2 =1  Langkah induksi

misalkan p(n) benar yaitu mengasumsikan bahwa :

1+3+5+...+(2n-1) =n 2 Adalah benar (hipotesis induksi).

Harus diperlihatkan bahwa p(n+1) juga benar, yaitu :

1+3+5+...+(2n-1) +(2n+1) =(n+1) 2

135    2 n  1  2 n  1    135   2 n  1     2 n  1 

Langkah 1 dan 2 telah dibuktikan benar sehingga jumlah n buah bilangan ganjil positif pertama adalah n 2

Rinaldi Munir (2014) : Misalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan

bulat positif dan kita ingin membuktikan bahwa p (n) benar untuk semua bilangan bulat positif

n≥n 0 . Untuk membuktikan proposisi ini, kita

hanya perlu menunjukkan bahwa :

1. p (n 0 ) benar, dan

2. Jika p(n) benar, maka p(n+1) juga benar untuk

setiap n≥ n 0 .

Sehingga p(n) benar untuk semua bilangan bulat n≥ n 0 .

Untuk semua bilangan bulat tidak negatif n, buktikan dengan induksi matematika bahwa :

n 2 +1 +2 +2 + ... + 2 =2 -1

Penyelesaian :

Misalkan p(n) adalah proposisi bahwa untuk semua bilangan bulat tidak negatif n,

n 2 +1 +2 +2 + ... + 2 =2 -1

 Basis induksi p (0) benar karena untuk n=0 diperoleh :

0 0 2 +1 =1= 2 -1=2-1=1  Langkah induksi

misalkan p(n) benar yaitu mengasumsikan bahwa :

n 2 +1 +2 +2 + ... + 2 =2 -1 Adalah benar (hipotesis induksi).

Harus diperlihatkan bahwa p(n+1) juga benar, yaitu :

n+ 1 (n+ 2 1)+1 +2 +2 + ... + 2 +2 =2 -1

Langkah 1 dan 2 telah dibuktikan benar sehingga untuk semua

n bilangan bulat tidak negatif n, 2 +1 +2 +2 + ... + 2 =2 -1

Jika A 1 ,A 2 ,A 3 , ..., A n masing-masing adalah himpunan, buktikan dengan induksi matematika hukum De Morgan rampatan berikut :

A 1  A 2  A 3   A n  A 1  A 2  A 3   A n

Penyelesaian :

Misalkan p(n) adalah proposisi bahwa Jika A 1 ,A 2 ,

A 3 , ..., A n masing-masing adalah himpunan, berlaku hukum de Morgan rampatan berikut :

A 1  A 2  A 3   A n  A 1  A 2  A 3   A n

 Basis induksi p (2) benar karena untuk n=2 diperoleh :

 Langkah induksi

misalkan p(n) benar yaitu mengasumsikan bahwa :

A 1  A 2  A 3   A n  A 1  A 2  A 3   A n

Adalah benar (hipotesis induksi). Harus diperlihatkan bahwa p(n+1) juga benar, yaitu:

A 1  A 2  A 3   A n  A n  1  A 1  A 2  A 3   A n  A n  1

A 1  A 2  A 3   A n  A n  1   A 1  A 2  A 3   A n   A n  1

Langkah 1 dan 2 telah dibuktikan benar sehingga Jika A 1 ,A 2 ,A 3 , ..., A n masing-masing adalah himpunan, berlaku hukum de Morgan rampatan berikut :

A 1  A 2  A 3   A n  A 1  A 2  A 3   A n

Rinaldi Munir (2014) : Misalkan p(n) adalah pernyataan perihal bilangan

bulat positif dan kita ingin membuktikan bahwa p (n) benar untuk semua bilangan bulat positif

n≥n 0 . Untuk membuktikan proposisi ini, kita

hanya perlu menunjukkan bahwa :

1. p (n 0 ) benar, dan

2. Jika p(n

0 ) , p(n 0 +1),..., p(n) benar, maka p(n+1)

juga benar untuk setiap n≥ n 0 .

Sehingga p(n) benar untuk semua bilangan bulat n≥ n 0 .

Bilangan bulat positif disebut prima jika dan hanya jika bilangan bulat tersebut habis dibagi dengan 1 dan dirinya sendiri. Kita ingin membuktikan bahwa setiap bilangan bulat positif n (n ≥2) dapat dinyatakan sebagai perkalian dari (satu atau lebih) bilangan prima.

Buktikan dengan prinsip induksi kuat!

Misalkan p(n) adalah proposisi bahwa setiap bilangan bulat positif n (n ≥2) dapat dinyatakan sebagai perkalian dari (satu atau lebih) bilangan prima.

 Basis induksi :

p (2) benar, karena 2 sendiri adalah bilangan prima dan disini 2 dapat dinyatakan sebagai perkalian dari satu buah bilangan prima, yaitu dirinya sendiri.

 Langkah induksi :

Misalkan p(n) benar, yaitu asumsikan bahwa bilangan 2,3,...,n dapat dinyatakan sebagai perkalian (satu atau lebih) bilangan prima (hipotesis induksi).

Perlu ditunjukkan bahwa p(n+1) juga dapat dinyatakan sebagai perkalian (satu atau lebih) bilangan prima.

Jika n +1 sendiri bilangan prima, maka jelas ia dapat dinyatakan sebagai perkalian satu atau lebih bilangan prima.

Jika n+1 bukan bilangan prima, maka terdapat bilangan bulat positif a yang membagi habis n+1 tanpa sisa.

Dengan kata lain : (n+1)/a=b atau (n+1)=ab Dalam hal ini, 2 ≤a≤b≤n.

Menurut hipotesis induksi, a dan b dapat dinyatakan sebagai perkalian satu atau lebih bilangan prima. Ini berarti n+1 jelas dapat dinyatakan sebagai perkalian bilangan prima karena n +1=ab.

Kesimpulan :

Langkah 1 dan 2 telah dibuktikan benar sehingga terbukti bahwa setiap bilangan bulat positif n(n ≥2) dapat dinyatakan sebagai perkalian dari (satu atau lebih)

Rinaldi Munir (2014) : Relasi biner “<“ pada himpunan X dikatakan terurut dengan baik (atau himpunan X dikatakan

terurut dengan baik dengan “<“) bila memiliki properti berikut :

Diberikan x,y,z єX, jika x<y dan y<z maka x<z.

i.

Diberikan x,y,z єX. Salah satu dari kemungkinan ini benar, x<y atau y<x atau x=y.

ii.

iii. Jika A adalah himpunan bagian tidak kosong dari X, terdapat elemen x єA sedemikian sehingga x ≤y untuk semua yєA. Dengan kata lain, setiap himpunan bagian tidak kosong dari

X mengandung “elemen terkecil”

 Himpunan bilangan riil tak negatif tidak terurut dengan baik oleh relasi “<“.

Himpunan ini memiliki properti (i) dan (ii) tetapi tidak dengan (iii).

sebagai contoh himpunan semua bilangan riil lebih besar dari 1, yaitu {x|x adalah bilangan riil dan x>1) tidak mengandung nilai terkecil.

Rinaldi Munir (2014) : Misalkan X terurut dengan baik oleh “<“ dan p(x)

adalah pernyataan perihal x dari X. Kita ingin membuktikan bahwa p(x) benar untuk semua x єX. kita hanya perlu menunjukkan bahwa :

1. p (x 0 ) benar, yang dalam hal ini x 0 adalah elemen terkecil di dalam X, dan

2. Jika p(y) benar untuk y<x, maka p(x) juga benar

untuk setiap x>x 0 di dalam X

Sehingga p(x) benar untuk semua x єX

Tinjau barisan bilangan yang didefinisikan sebagai :

 0 , jika m  0 dan n  0 

S mn ,   S m  1, n  1 , jika n  0 

S mn ,  1  1 , jika n  0 

S 1,1  S 1,0  111 Sebagai contoh 2

S 0,0  0 S 2,0  S 1,0  111 2

S 0,1  S 0,0  11 S 1,0  S 0,0  1011

S 2,1  S 2,0  1 213

Buktikan dengan induksi matematika bahwa untuk pasangan tidak negatif m dan n, S m,n =m+n

 Basis induksi karena (0,0) adalah elemen terkecil dalam X,

maka S 0,0 = 0+0 =0, ini benar dari S 0 ,0

 Langkah induksi

Buktikan untuk semua (m,n) di dalam X bahwa jika

S mn   m  ,  n 

Benar untuk semua (m ’,n’)< (m,n) maka S m,n =m+n juga benar.

Andaikan bahwa S m’,n’ = m’+n’ benar untuk semua (m ’,n’)< (m,n).

Ini adalah hipotesis induksi

Jika n  0 dari definisi S m  1, n  1 ,karena  m  1, n   mn ,  maka : S m  1, n   m  1  n sehingga S mn ,  S m  1, n   m  1  n 1 mn Jika n  0 dari definisi S mn ,  1  1 ,karena  mn ,  1  mn ,  maka : S mn ,  1  m  n   1 sehingga S mn ,  S mn ,  1  m  n  1  1  mn

Kesimpulan :

Langkah 1 dan 2 telah dibuktikan benar sehingga terbukti bahwa untuk pasangan tidak negatif m dan n, S m,n =m+n

1. Buktikan dengan induksi matematika bahwa:

  

2. Di dalam sebuah pesta, setiap tamu berjabat tangan dengan tamu lainnya hanya sekali saja.

Buktikan dengan induksi matematika bahwa jika ada norang tamu maka jumlah jabat tangan yang terjadi adalah n(n-1)/2

Kombinatorial & Peluang Diskrit

Reny Rian Marliana MATEMATIKA DISKRIT

Definisi

 Rinaldi Munir (2014) : Kombinatorial (combinatoric) adalah cabang matematika yang

mempelajari pengaturan objek-objek.  Solusi yang diperoleh adalah jumlah pengaturan objek-objek tertentu di dalam himpunannya.  Contoh :

1. Password sistem komputer panjangnya enam sampai delapan karakter. Tiap karakter boleh berupa huruf atau angka, huruf- huruf besar dan kecil tidak dibedakan. Berapa banyak password yang dapat dibuat?

2. dari 20 anggota fraksi X di DPR, akan dibentuk sebuah komisi yang beranggotakan 6 orang. Berapa banyak cara memilih

anggota komisis bila seorang anggota yang bernama A harus termasuk ke dalam komisi tersebut?

Definisi

 Cara paling sederhana adalah dengan mengenumerasi semua kemungkinan jawabannya.  Mengenumerasi artinya mencacah atau menghitung satu per satu setiap kemungkinan jawaban.  Cara sederhana ini tidak dapat digunakan untuk jumlah objek yang banyak karena cukup membutuhkan banyak waktu.  Alternatifnya adalah menggunakan kombinatorial

 Kombinatorial dapat digunakan tanpa perlu mengenumerasi semua kemungkinan jawabannya karena di dalamnya terdapat

kaidah dasar menghitung.

Percobaan

 Kombinatorial didasarkan pada hasil yang diperoleh dari percobaan.  Percobaan adalah proses fisik yang hasilnya dapat diamati.

 Contoh :

1. Melempar dadu

2. Melemparkan koin uang Rp. 1000

3. Memilih lima orang wakil dari 100 mahasiswa

4. Menyusun jumlah kata yang panjangnya 5 huruf yang dapat dibentuk dari huruf-huruf a,b,c,d,e, tidak boleh ada huruf yang berulang di dalam kata.

Kaidah Dasar Menghitung

Rinaldi Munir (2014) :

Rinaldi Munir (2014) :

(rule of product) Bila percobaan 1 mempunyai p hasil

(rule of sum)

Bila percobaan 1 mempunyai p hasil

percobaan yang mungkin terjadi,

percobaan yang mungkin terjadi,

percobaan kedua mempunyai q hasil

percobaan kedua mempunyai q hasil

percobaan yang mungkin terjadi maka

percobaan yang mungkin terjadi maka

bila percobaan 1 dan percobaan 2

bila hanya satu percobaan saja yang

dilakukan, maka terdapat p x q hasil

dilakukan, terdapat p+q hasil

percobaan.

percobaan yang mungkin terjadi.

Liu CL (1985) :

Liu CL (1985) :

If one experiment has m possible

If one experiment has m possible

outcomes and another experiment

outcomes and another experiment has

has n possible outcomes, then there

n possible outcomes, then there are m

are m + n possible outcomes when

x n possible outcomes when both of

exactly one of these experiments

these experiments take place. takes place.

Kaidah Perkalian

Sebuah restoran menyediakan lima jenis makanan, misalnya nasi goreng, roti, soto ayam, sate dan sop serta tiga jenis minuman misalnya jus, kopi dan teh. Jika setiap orang boleh memesan satu makanan dan minuman, berapa banyak pasangan makanan dan minuman yang dapat dipesan?

Dalam kombinatorial, kita memandang bahwa kejadian ini orang harus memilih makanan dan minuman.

Ada 5 kemungkinan memilih makanan Ada 3 kemungkinan memilih minuman Menggunakan kaidah perkalian, jumlah kemungkinan pasangan

makanan dan minuman yang dapat dipesan adalah 5x3=15 pasang.

Kaidah Penjumlahan

Jabatan ketua himpunan dapat diduduki oleh mahasiswa angkatan tahun 1997 atau angkatan tahun 1998. jika terdapat 45 orang mahasiswa angkatan 1997 dan 52 orang mahasiswa angkatan 1998, tentukan cara memilih penjabat ketua himpunan?

Jabatan yang ditawarkan hanya ada satu, yang dapat diduduki oleh salah seorang mahasiswa dari kedua angkatan.

Ada 45 cara memilih satu orang mahasiswa dari angkatan 1997 Ada 52 cara memilih satu orang mahasiswa dari angkatan 1998 Dalam kombinatorial, dari kedua kejadian, hanya satu dari dua

kejadian yang dilakukanm sehingga dengan menggunakan kaidah penjumlahan, jumlah cara memilih penjabat ketau himpunan tersebut adalah 42+52=97 cara.

Latihan

 Sekelompok mahasiswa terdiri atas 4 orang pria dan 3 orang wanita. Berapa jumlah cara memilih satu orang wakil pria dan satu

orang wakil wanita?  Sekelompok mahasiswa terdiri atas 4 orang pria dan 3 orang wanita. Berapa jumlah cara memilih satu orang yang mewakili

kelompok tersebut?  Kursi-kursi di dalam ruang aula akan diberi nomor dengan sebuah

huruf diikuti dengan bilangan bulat positif yang tidak lebih dari 50 (misal A12, B36) berapa jumlah maksimum kursi yang dinomori?

 Terdapat empat rute yang dapat dilalui kendaraan dari Jakarta ke Bandung dan tiga rute dari Bandung ke Yogyakarta. Berapa banyak

cara seseorang bepergian dengan kendaraan dari Jakarta ke Yogyakarta melalui Bandung?

Perluasan Kaidah Menghitung

 Rinaldi Munir (2014) : Jika n buah percobaan masing-masing mempunyai p 1 ,p 2 ,

p 3 ,... p n hasil percobaan yang mungkin terjadi yang dalam hal ini setiap p i tidak bergantung pada pilihan sebelumnya, maka jumlah hasil percobaan yang mungkin terjadi adalah :

 ap 1  p 2  p 3  p n

 bp 1  p 2  p 3   p n

Contoh

 Berapa banyak jumlah kata 5-huruf yang dapat dibentuk dari huruf-huruf a,b,c,d,e jika tidak boleh ada huruf yang berulang di

dalam kata ? 5x4x3x2x1=120 buah

 Berapa banyak jumlah kata 5-huruf yang dapat dibentuk dari huruf-huruf a,b,c,d,e jika pengulangan huruf diperbolehkan? 5x5x5x5x5=5 5 =3125

 Berapa perpustkaan memiliki 6 buah buku berbahasa Inggris, 8

buah buku berbahasa Perancis dan 10 buku berbahasa Jerman. Masing-masing buku berbeda judulnya. Berapa jumlah cara memilih 1 buah buku?

6+8+10=24 cara

Permutasi

 Misalkan terdapat tiga buah bola yang berbeda warnanya