Edisi Khusus Juni 2010 | JURNAL PENELITIAN SAINS a evi genap

Jurnal Penelitian Sains

Edisi Khusus Juni 2010 (A) 10:06-02

Ring Regular yang Memenuhi Ring Stabil Diperumum (Generalized
Stable Rings)
Evi Yuliza
PrJurusan Matematika FMIPA, Universitas Sriwijaya, Sumatera Selatan, Indonesia

Intisari: Dalam tulisan ini akan diselidiki keterkaitan antara ring reguler R dengan ring stabil diperumum. Suatu
ring R merupakan ring stabil diperumum jika aR + bR = R maka terdapat yǫR sehingga a + byǫK(R). Disini K(R)
didefinisikan sebagai berikut: K(R) = xǫR|(∃s, tǫR)sxt = 1. Suatu ring R dikatakan ring reguler apabila untuk setiap
x di R terdapat y di R sehingga x = xyx. Selanjutnya, akan diselidiki pula sifat-sifat yang berlaku pada ring reguler
stabil diperumum

Kata kunci: ring reguler, ring stabil diperumum
Juni 2010

1

PENDAHULUAN

uatu ring R dikatakan memenuhi sifat stable
S
range one apabila kondisi berikut dipenuhi: Jika
aR + bR = R dengan a, b ∈ R maka terdapat suatu y ∈ R sehingga a + by ∈ U (R). Dalam hal ini,
U (R) adalah himpunan semua unit dalam R. Dari
U (R) dapat dibentuk himpunan yang lebih umum
yaitu K(R) dengan definisi sebagai berikut: K(R) =
{x ∈ R|(∃s, t ∈ R)sxt = 1}. K(R) adalah generalisasi
dari U (R), sebab: jika x ∈ U (R) maka terdapat u ∈ R
sehingga ux = 1 yang berarti ux.1 = 1.
Suatu ring R dikatakan ring reguler apabila untuk
setiap x ∈ R terdapat suatu y ∈ R sehingga xyx = x.
Goodear [4] menyelidiki keterkaitan antara ring reguler
yang memenuhi stable range one dengan unit reguler,
yaitu: Jika R ring reguler memenuhi sifat stable range
one maka R merupakan unit ring reguler. Suatu ring
R dikatakan unit reguler apabila untuk setiap xǫR terdapat suatu unit u ∈ R sehingga xux = x.
Selanjutnya, dari ring R yang memenuhi sifat stable
range one dapat didefinisikan ring stabil diperumum

sebagai berikut: Suatu ring R merupakan ring stabil
diperumum jika aR + bR = R maka a + by ∈ K(R)
untuk suatu y ∈ R. Chen [1,3] menyelidiki keterkaitan
antara ring reguler R dengan sifat ring stabil diperumum. Dalam tulisan ini akan diselidiki syarat perlu
dan cukup ring reguler R merupakan ring stabil diperumum.
2

LANDASAN TEORI

Definisi 2.1 [4] Suatu ring R disebut ring reguler
apabila untuk setiap x di R terdapat y di R sehingga
xyx = x.
c 2010 FMIPA Universitas Sriwijaya


Teorema 2.2 [4] Untuk sebarang ring R, kondisi
berikut ini adalah ekuivalen:
1. R adalah reguler.
2. Setiap ideal kanan (kiri) utama di R dibangun
oleh suatu elemen idempoten.

3. Setiap ideal kanan (kiri) yang dibangun hingga di
R dibangun oleh suatu elemen idempoten
Definisi 2.3 [4] Suatu ring R disebut unit reguler
apabila untuk setiap x ∈ R terdapat unit u ∈ R (elemen invertibel) sehingga xux = x.
Akibat 2.4 [4] Jika suatu ring reguler R mempunyai
sifat stable range one maka R merupakan ring unit
reguler.
Definisi 2.5 [1] Suatu ring R dikatakan memenuhi
sifat stable range one apabila kondisi berikut dipenuhi:
jika aR+bR = R dengan a, b ∈ R maka terdapat suatu
y ∈ R sehingga a + by ∈ U (R).
Definisi 2.6 [1] Ring R dikatakan ring stabil diperumum apabila memenuhi kondisi berikut:
(∀a, b ∈ R)(aR + bR = R) ⇒ (y ∈ R)a + by ∈ K(R).
Akibat 2.7 [1] Misalkan R ring stabil diperumum.
Jika ax + b = 1 maka terdapat y ∈ R sehingga a + by ∈
K(R).
Teorema 2.8 [1] Jika R ring stabil diperumum maka
untuk sebarang reguler x ∈ R terdapat suatu e = e2 ∈
R, w ∈ K(R) sehingga x = ew.
1006-02-7

Evi/Ring Regular yang Memenuhi . . .

JPS Edisi Khusus (A) 10:06-02

Akibat 2.9 [1] Misalkan R ring stabil diperumum.
Jika aR = bR dengan a, b ∈ R maka terdapat suatu
w ∈ K(R) sehingga a = bw.

(3) ⇒ (1) Diberikan ax+b = 1 di R, maka terdapat
w ∈ K(R) sehingga wa = e = e2 ∈ K(R). Dari sini
diperoleh, wax + wb = w. Karena wa = e, diperoleh
ex + wb = w. Selanjutnya,

Definisi 2.9 [2] Misalkan R ring dan g ∈ R. Elemen
g di R disebut suatu anggota grup (a group member )
di R apabila terdapat suatu g # ∈ R sehingga gg # g =
g, g # gg # = g # dan gg # = g # g.

ex(1 + wb) + (1 − e)wb = w + exwb − ewb.

3

HASIL DAN PEMBAHASAN

Karena w ∈ K(R), maka terdapat x, b ∈ R sehingga
xwb = 1 dan wb = 1. Akibatnya, ex(1 + wb) + (1 −
e)wb = w. Mengingat R ring reguler, maka terdapat
suatu c ∈ R sehingga
(1 − e)wb = (1 − e)wbc(1 − e)wb.

Sebelum diselidiki keterkaitan antara ring reguler dan
ring stabil diperumum, terlebih dahulu di berikan teorema berikut ini.
Teorema 3.1 [1] Jika R ring reguler maka pernyataan berikut ini ekuivalen:
1. R merupakan ring stabil diperumum.
2. Untuk sebarang x ∈ R terdapat suatu w ∈ K(R)
sehingga x = xwx.
3. Untuk sebarang x ∈ R terdapat suatu w ∈ K(R)
sehingga wx idempoten di R.
Bukti: (1) ⇒ (2)

Ambil sebarang x ∈ R, maka terdapat y ∈ R sehingga x = xyx dan y = yxy. Berdasarkan Teorema 2.7, untuk sebarang reguler y ∈ R terdapat
e = e2 ∈ R, w ∈ K(R) sehingga y = ew. Karena
yx + (1 − yx) = 1maka
yx(1 − e) + (1 − yx)(1 − e) = 1 − e
e + (1 − yx)(1 − e) = 1 − yx(1 − e).
Sementara itu, karena w ∈ K(R) maka ew = (e + (1 −
yx)(1 − e))w = 1. Akibatnya,
(e+(1−yx)(1−e))w = (1−yx(1−e))(1+yx(1−e)) = 1
yang berarti e + (1 − yx)(1 − e) = (1 + yx(1 − e))−1 .
Karena yx(1 − e) + (1 − yx)(1 − e) = 1 − e dan R
merupakan ring stabil diperumum diperoleh,

Oleh karena itu,
ex(1 + wb) + (1 − e)wb = ex(1 + wb) + gwb = w
dengan g = (1 − e)wbc(1 − e).Sementara itu, ex(1 +
wb) = ex + exwb. Karena ex + wb = wdanwb = 1
sehingga ex + 1 = w. Dari sini diperoleh, ex(1 + wb) =
ew. Lebih lanjut,
g 2 = [(1 − e)wbc(1 − e)]2 = g
yang berarti g 2 = g ∈ R idempoten. Karena (1 − e)wb

reguler di R, maka menurut Teorema 2.7. terdapat
suatu g = g 2 ∈ R, w ∈ K(R) sehingga gwb = (1 −
e)wb = gw. Oleh karena itu, ex(1 + wb) + gwb =
ew + gw = w Dari sini diperoleh
(e + g)w = (e + (1 − e)wbc(1 − e))w
= (e(1 − ewb(1 − e)) + wbc(1 − e))w
= w(a(1 − ewb(1 − e)) + bc(1 − e))w
Dilain pihak,
(1 − ewb(1 − e))(1 + ewbc(1 − e))
= 1 − ewbc(1 − e)ewbc(1 − e) = 1
sehingga (e + g)w = w[a + bc(1 − e)(1 + ewbc(1 −
e)](1 − ewbc(1 − e))w = w. Asumsikan swt = 1 untuk
suatu s, t ∈ R. Dari sini diperoleh, sw[a + bc(1 −
e)(1 + ewbc(1 − e)](1 − ewbc(1 − e))wt = 1. Jadi,
a + bc(1 − e)(1 + ewbc(1 − e)) ∈ K(R).ι
Teorema 3.2 [3] Jika R ring reguler maka pernyataan berikut ini ekuivalen:
1. R merupakan ring stabil diperumum.
2. Jika xR = eR dengan e ∈ R idempoten maka
terdapat suatu w ∈ K(R) sehingga xw = e.

y + (1 − yx)(1 − e)w = (e + (1 − yx)(1 − e))w
= (1 + ewx(1 − e))−1 w.
Akibatnya,x = xyx = x(y + (1 − yx)(1 − e)w)x =
x(1 + ewx(1 − e))−1 wx.
(2) ⇒ (3) Ambil sebarang x ∈ R, maka mengingat
(2) terdapat suatu w ∈ K(R) sehingga x = xwx. Selanjutnya, (wx)2 = wxwx = w(xwx) = wx. Jadi, wx
idempoten R.

3. Untuk setiap x ∈ R terdapat suatu w ∈ K(R)
dan suatu grup G di R sehingga xw ∈ G.
Bukti (1) ⇒ (2) Menurut yang diketahui xR = eR
dengan e ∈ R idempoten di R, maka x = es dan e = xt
untuk suatu s, t ∈ R. Karena ts + (1 − ts) = 1, maka
terdapat suatu y ∈ R sehingga t + (1 − ts)y = w ∈
K(R). Jadi, e = xt = x(t + (1 − ts)y) = xw.

1006-02-8

Evi/Ring Regular yang Memenuhi . . .

JPS Edisi Khusus (A) 10:06-02

(2) ⇒ (3) Ambil sebarang x ∈ R, maka terdapat
suatu elemen idempoten e ∈ R sehingga xR = eR.
Menurut yang diketahui, terdapat suatu w ∈ K(R)
sehingga xw = e ∈ R merupakan idempoten yang berarti xw2 = xw = e. Selanjutnya,

suatu grup G di R sehingga xw ∈ G. Ini berarti elemen xw di R merupakan anggota grup G di R. Oleh
karena itu, elemen xw ∈ R mempunyai invers grup
(xw)# ∈ R. Selanjutnya,
xw((xw)# + 1 − (xw)# xw)xw
= (xw(xw) + xw − xw(xw)# xw)xw = xw

xw(xw)xw = (xwxw)xw
= xw2 xw = xwxw = xw2 = xw.

#

Menurut Definisi 2.9, elemen xw ∈ R merupakan
anggota grup di R. Disini dapat dibentuk grup G

yang didefinisikan sebagai berikut:
G = {y ∈ R|y elemen idempoten}

dan
(xw)# +1−(xw)# xw = (xw+1−(xw)# xw)−1 ∈ U (R).
Dari sini diperoleh,

yang berarti terdapat suatu grup G di R sehingga
xw ∈ G. Jadi, setiap elemen idempoten di R merupakan suatu anggota grup yang berakibat terdapat suatu grup G di R sehingga xw ∈ G.
(3) ⇒ (1) Diberikan ax + b = 1 di R. Ambil sebarang x ∈ R, maka terdapat suatu w ∈ K(R) dan

xw((xw)# + 1 − (xw)# xw)xw
= xw(xw# + 1 − (xw)# xw)xw = 1
sehingga w((xw)# + 1 − (xw)# xw) ∈ K(R) dan
xw((xw)# + 1 − (xw)# xw) merupakan idempoten di
R. Sejalan dengan Teorema 3.1 (3) ⇒ (1) diperoleh

a + bc(1 − e)(1 + e(w((xw)# + 1 − (xw)# xw))bc(1 − e)) ∈ K(R).

Teorema 3.2 di atas merupakan syarat perlu dan cukup

ring reguler R merupakan ring stabil diperumum.
4

KESIMPULAN

Dari hasil pembahasan, diperoleh kesimpulan sebagai
berikut: Ring reguler R merupakan ring stabil diperumum jika dan hanya jika untuk setiap x ∈ R terdapat
suatu w ∈ K(R) dan suatu grup G di R sehingga
wx ∈ G.
DAFTAR PUSTAKA
[1]

[2]

[3]

[4]

Chen, H., 2000, On Generalized Stable Rings, Comm.
Algebra, (28), 1907-1917
, 2001, Regular Rings with Finite Stable Range,
Comm. Algebra, (29), 157-166
, 2003, Generalized Stable Regular Rings, Comm.
Algebra, (31), 4899-4910
Goodearl, K.R., 1991, Von Neumann Regular Rings, 2nd
edition, Malabar, Florida, Krieger

1006-02-9