KALKULUS 1 ATURAN PENCARIAN TURUNAN

  KALKULUS 1

ATURAN PENCARIAN TURUNAN

  

DISUSUN OLEH:

LENY WAHYUNI (2011 121 057) RIRIN APRIANI (2011 121 076) DEVY RISDIANTI (2011 121 078) ARI NUGRAHA (2011 121 083) Kelas : I B Mata Kuliah : Kalkulus I Dosen Pengasuh : Dra. Misdalina, M.Pd

  

FAKULTAS KEGURUAN DAN ILMU PENDIDIKAN

UNIVERSITAS PALEMBANG

2011/2012

KATA PENGANTAR

  

Puji dan syukur atas kehadirat Tuhan Yang Maha Esa, yang telah melimpahkan

kesehatan, kesempatan, dan petunjuk kepada kami sehingga dapat menyelesaikan makalah ini.

  

Penyusun sangat menyadari bahwa masih banyak kekurangan dalam penyusunan

makalah ini. Untuk itu, kami semua mengharapkan kritik dan saran yang bersifat konstruktif,

dari siapapun.

  Palembang. Oktober 2011

DAFTAR ISI

  

HALAMAN JUDUL. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . i

DAFTAR ISI. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . ii

KATA PENGANTAR. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . iii

Aturan Pencarian Turunan. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1

Teorema-Teorema. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2

Contoh Soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3

Latihan Soal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4

Jawaban . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

DAFTAR PUSTAKA. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9

ATURAN PENCARIAN TURUNAN

  Proses pencarian turunan suatu fungsi kangsung dari definisi turunan yakni dengan ( ) − ( ) f x h f x

• menyusun hasil hasil bagi dengan selisih .

  h _, Ingatlah kembali bahwa turunan suatu fungsi adalah fungsi lain f . Jika _{3 , 2 ,} f

  = f ( ) x x 7 adalah rumus untuk f , maka f ( ) x 3 x 7 adalah rumus untuk f .

• =

  

Biasanya menggunakan symbol D untuk menandakan operasi diferensiasi. Simbol

_{x ,}

  =

D menyatakan bahwa kita mengambil turunan (terhadap peubah x ). Jadi D f ( ) x f ( ) x .

_{x x}

  

D merupakan contoh operator. Seluruh operator adalah fungsi yang memiliki input berupa

_x fungsi dan output berupa fungsi lainnya.

  TEOREMA-TEOREMA TEOREMA A Aturan Fungsi Konstanta _,

  = =

  Jika ( ) dengan k suatu konstanta, maka untuk sebarang x , f ( ) x ; yakni f x k

  ( ) = D k _x

  TEOREMA B Aturan Fungsi Identitas = = Jika f x x , maka f ' x

  1 ; yakni ( ) ( )

  =

  D ( ) x _x

  

1

TEOREMA C Aturan Pangkat _{n ' n − 1}

  = =

  Jika f ( ) x x , dengan n bilangan bulat positif, maka f ( ) x nx ; yakni _{n n − 1}

  =

  D ( ) x nx _x TEOREMA D Aturan Kelipatan Konstanta

  Jika k suatu konstanta dan f suatu fungsi yang terdiferensiasikan, maka _{' '}

  =

  ( ) ( ) kf x k . f ( ) x ; yakni

  ( ) = ( ) D [ k . f x ] k . D f x _{x x}

  TEOREMA E Aturan Jumlah

  Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan, maka _{' ' '}

  ( ) = ( ) = ( )

• f g

  f x g x ; yakni _x

( ) ( ) = ( ) ( )

_{x x}

  D [ f x g x ] D x D g x f TEOREMA F Aturan Selisih

  Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasi, maka _{' ' '} − = −

  ( f g ) ( ) x f ( ) x g ( ) x ; yakni

  − = −

  D [ f ( ) x g ( ) x ] D f ( ) x D g ( ) x _{x x x} TEOREMA G Aturan Hasilkali

  Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan, _{' ' '} = maka ( f . g ) ( ) x f ( ) ( ) x g x g ( ) ( )

  x f x ; yakni

• ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) ( )

  D [ f x g x ] f x D g x g x D f x

_{x x x}

• TEOREMA H

  Aturan Hasilbagi ≠

  Jika f dan g adalah fungsi-fungsi yang terdiferensiasikan dengan g x maka _{' ' '}

  ( ) ( ) ( ) − ( ) ( ) f g x f x f x g x

  =

  ( ) x ; yakni ₂ ( ) g g x

  ( ) ( ) − ( ) ( ) ( ) g x D f x f x D g x f x _{x x}

  =

  D _{x 2} g ( ) x ( ) g x

CONTOH SOAL

  ₂

  1. Tentukan turunan dari

  5 7 − 6 ?

  x x

• Penyelesaian:
₂ 2<
• − = −

  ( ) ( )

  5

  7 6 ) (

  D x D

  5 ) ₂

• D x x x D
_{x x x x} (

  7

  6

• = ( ) − ( )

  2 D ( ) x _{x x x}

  7 D x D

  6

  

= x

2 .

  2

• 7 .

  1

  = _{2 4} 4 − x

  7 − −

  2. Carilah turunan ( 3 x 5 )( 2 x x ) dengan menggunakan Aturan Hasil kali? Penyelesaian: _{2 4 2 4 4 2 x x x} − − = − − − − _{2 3 4} D ( 3 x 5 )( 2 x x ) 3 x 5 ) ( D 2 x x ) ( 2 x x ) ( D 3 x 5 )

• = − − −

  [ ] (

  

(

  3 x ₅ 5 )( 8 x ₂ 1 ) (

• ₃

  2 x x ) ( ) ₅ 6 x ₂

• = − − + − 24 x
₅ 3 x ₃ 40 x ₂

  5 12 x 6 x = − − + 36 x

  40 x 9 x

  5 − 3 x

  5

  3. Carilah turunan dengan menggunakan Aturan Hasil bagi? ₂ =

  x

  7 Penyelesaian: _{2 2}

  5 D ( x 7 )

  − ( ) x D _{x x} 3 x − 5 − 3 x −

  5 ( ) ( ) = D _{x 2 2 2} x

• 3 x
• x

  7 ₂ ( )

• − −

  7

  ( x 7 ) ( ) (

• 3

  3 x )( )

  5 2 x = _{2 2}

( x )

• +

  7

LATIHAN SOAL

  Carilah dengan menggunakan aturan-aturan/teorema: =

  1. y 100 2. y = x ₂

  3. y = 2x _{− 4} = −

  4. y 3 x ₃ 5. y = π x _{4 3 2 2}

  = − − + + 6. y 3 x 2 x 5 x x

  π π

• =
• =
• −
• =
• − − =
• − =
• − =

  3 ³ − =

  3

  = 20. ( )

  4 ₃ −

  2

  3

  x x y

  19.

  x x y

  1 ₂

  4

  3

  9

  x x x x y 18.

  2 ₂ ² − +

  x x y JAWABAN

  D 2.

  1. ( ) 100 = _y

  

3

  D x x _y π π ₂

  3

⁻

=

  5. ( ) ^{1 3 3} .

  

x

  12 ⁻ =

  3 ^{− − −} − − = − D x x _{y 5}

  4

  ( )

  4. ( ) ( )( ) ^{1 4 4}

  4 =

  2

⁻

= D x x _y x

  2

  3. ( ) ^{1 2 2} 2 .

  D x _y

  1 =

  5

  3

  2

  3 ₋

  13. ( )( )

  x x y

  =

  1

  2

  x x y 12.

  x y 11. ⁴ ₃

  2

  10. ( ) ² 2 3 + − =

  x y

  9. ( ) ² 1 2 + =

  x x y

  2 ^{− −}

  x x y 8. ^{1 6}

  7. ^{2 2 12} 5 π − − = ⁻

  1

  2 ^{2 3 4}

  = 17.

  1

  5 ² − +

  2

  6

  3

  x x y 16. x x x y

  2 ^{3 2} = + =

  15. ( )( )

  x x x x y

  x x x y

  5 ^{2 2}

  7

  3

  2

  1

  14. ( )( )

  = 3 π

• − − = + + − −
• − − = 2 .
• − − =
• − − =
• =
• = +
• =
• − + − = + −
• − + − + + − + −
• = +
• =
>− − =

  3

  2

  ( ) ( ) ( ) ( )

  \ =

  D x x x D _{y y}

  3 ²

  2

  3

  2

  3

  2

  ( ) ( )( ) [ ]

  x x

  =4x+2+4x+2 =8x+4 10.

  2

  1

  2

  2

  1

  2

  = ( )( ) ( )( )

  D x x x D x _{y y}

  2

  1

  2

  1

  2

  2

  3

  x x x x ^{− −}

  x x x x x x x x

  3

  3

  3

  ( )( ) ( )( ) ( ) ^{2 3 2}

¹

^{2 3 3 1}

  =

  = ( ) ² 3x x Dg

  

Df x x

( ) ³ x x g

  1 ⁻ − =

  x x f ( ) ²

  3 ⁻

  ( ) ¹

  3

  3

  3

  =9x-6+9x-6 =18x-12 11. ₃ ^{1 4} ₃

  3 − + − + − + − x x

  2

  3

  

3

  2

  3

  = ( )( ) ( )( )

  D x x x D x _{y y}

  3

  2

  2

  1

  2

  5 3 .

  5 ^{− −} − − = D x x D x D

_{y y y}

  π π ( ) ( ) ( ) ^{10 2 12}

  5 ^{− − − −} − − = − − D x x D x D x x x D _{y y y y}

  5

  16 ^{2 3} 7. ( ) ( ) ( ) ( ) ^{10 2 12 10 2 12}

  6

  10

  

x x x

  π x x x π

  4 ^{2 3}

  2 4 .

  D x D x D x D x D

  10

  4 π π _{y y y y y}

  2

  5

  D x x D x D x D x x x x D _{y y y y y} ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ^{2 2 3 4}

  3 π π π π

  2

  5

  

3

  2

  5

  ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ^{2 2 3 4 2 2 3 4}

  6.

  π ( ) ( ) ^{11 3 11}

  2

  1

  2 ^{− −} − + − =

  ( ) ( ) ( ) ( )

  =

  D x x _y

  2

  1

  2

  1

  ( )( ) [ ]

  9. ( ) = + ² D 1 2x _y

  x x

  12 ^{− −} − − =

  x x _{2 7}

  1 6 .

  5

  D x x D _{y y} ( ) ( )

²

⁷

  2 ^{− −}

  D x x D x x D _{y y y} ( ) ( ) ^{1 6}

  2 ^{− − − −}

  2

  8. ( ) ( ) ( ) ^{1 6 1 6}

  x x x π

  12 ^{− −}

  10

  10

  x x x π ₁₁

₃

₁₁

  12 ^{− −} − − − − =

  D _y ^{− − −}

• =
• −
• − − + =
• − +
• x 13.
• =
• =
• =
• =
• = + + +
• − =
• − + − − = + − −
• − + + − − =
• − −
• =
• =
• = + +
• − − + =

  14

  42

  10

  30 ^{2 3 2 3}

  14

  52

  30

  60 ^{2 3}

  15. ( )

  x x x

  2 ²

  x x f ( ) ²

2x x f D

_y =

  ( )

  3 ³

  x x g ( ) ²

3x x g D

_y =

  ( )( ) [ ] ( )( ) ( ) ( ) x x x x x x D _y

  2

  1

  30

  10

  20

  2

  

D x x g

_y ( )( ) [ ] (

  

)

( )

  ( ) ( )

  D x x x x x x x x _y

  10

  1

  2

  3

  6

  x x x x x x

  

7

  5

  1

  2

  3

  7

  5 ^{2 2 2 2}

  =

  3

  2

  3

  2

  2

  

5

  2

  10

  3

  3

  6

  5

x

x x x x x x x

  3

  D _y − + − + =

  − + ( )

²

²

²

  3

  18

  6

  15

  6

  30

  6

  3

  2 ^{3 2 2 3 2}

  5 ^{2 4} + + = 16.

  x x x x

  2

  2

  6

  3 ^{4 2 4} + + + =

  x x x

  2

  6

  ( )

  D x g _y

( )( ) ( ) ( )

( )

^{2 2 2}

  6

  2

  5 ² − + =

  x x x f

( )

  = 2 10 +

  

D x x f

_y ( ) x x g

  3 =

( )

  3 =

  2 6 − =

  x x x g ( )

  3 ²

  2

  ( ) ²

  2

  1

  2

  x x x

  =

  ( ) ²

  1

  D _y

  ( ) x x x f

  2 ⁴

  

( )

  2

  4 ³

  

D x x f

_y ( )

  1

  2 ^{2 3}

  =

  x x x x x

  4

  2

  = ₅ ²

  3

  9

  x x x x

  − − − 12. ( )

  1 − = x x f ( )

  1 =

  D x f _y ( )

  x x g ( )

  1

  1 =

  D x g _y ( )( ) ( )( ) ( ) ²

  2

  1

  1

  1

  2

  2

  x x x g ( ) x x x g D _y

  3 ²

  2

  7 ^{2 3 4 5 6} + + + + +

  x x x x x x x x

  =

  2

  12

  12

  4

  8

  x x x x x

  4

  14. ( )

  7

  5 ² − =

  x x f

( )

  

D x x f

_y

  10 =

  ( )

  1

  3 ^{2 3 5 6 2 3 4 6}

  6

  ( )( ) [ ] ( )( ) ( )( )

  2

  2

  4

  1

  2

  4

  3

  2

  1

  2 ^{3 2 3 2 4 2 3 4}

  8

  Dy x x x x x x x x x x x

  =

  ( )

  2

  4

  6

  8

  4

  x x x x x

• −
• − − − − + =

  2

  4

  

3

  9

  

( ) ( ) ( )( )

( )

^{2 2 2 2}

  4 ² + − = x x x g ( ) = 3 8 − x x g D _y

  3

  9

  ( )

  1 = x f ( ) = x f D _y

  ( )

  −

  24 x x x

  3

  3

  8

  ( ) ^{2 3 2}

  − − − − = −

  4 x x x x x x D _y

  2

  3

  2

  3

  4

  

6

  3

  2

  3

  ( ) ( )

²

^{3 2 3 3}

  3

  1

  6 ² − = D x x g _y

  3 = ( )

  3

  3

  3 ^{3 2 3} − + = − x x x

  1

  3

  3

  1

  3

  3x x g D _y = ( ) [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) x x x x x x D _y

  x x g ( ) ²

  1 ³ − =

  

D x f

_y ( )

  3 =

  20. ( ) x x f

  9

  x x x

  8

  3

  4

  3

  9

  ( )

²

²

  x x

x x x

x x D _y

  1

  4

  3

  9

  4

  3

  ( ) ( ) ( )

  3

  9 ^{4 3} − + =

  2 2 + =

  2

  3

  2

  2

  2

  5

  2

  2

  2

  3

  ( ) ( ) ^{2 2 2 2 2 2}

  ( ) ( )

  D x x g _y ( )

  x x x g ( )

  2

  2 ² − + =

  3

  D x x f _y ( )

  = 2 2 −

  x x x f ( )

  2 ² + − =

  5

  = 17. ( )

  x x +

  15

  18

  3

  ( ) ^{2 2}

  3

  5

  ( )

  2

  2 ³ − =

  3

  ( ) x x x g

  ( ) =

D x f

_y

  4 = x f

  18. ( )

  4 − + − − = x x x x

  16

  4

  2

  3

  ( ) ^{2 2 2}

  2 − + − − + + − − + − − + − = x x x x x x x x x x x x

  4

  2 − +

  4

  6

  6

  2

  2

  4

  4

  10

  10

  2

  3

  D _y ( ) ^{2 2 2 2 3 2 2 3}

  x x x x x x x x x x x x

  − +

• − = 19.
• − − − + − =
• −
• −
• − =

  DAFTAR PUSTAKA J.Purcel Dalle Verberg, Edwin, 1987, Kalkulus, Bandung; Erlangga.

http://sierra1010.wordpress.com/2009/04/09/aturan-pencarian-turunan/