SOLUSI PERSAMAAN NON LINEAR

2

SOLUSI
PERSAMAAN NON LINEAR

Pada bab ini dibahas solusi dari persamaan non linear yang banyak dijumpai
dalam formulasi kasus -kasus fisika , yaitu pencarian akar persamaan (finding roots).
Disajikan beberapa metode yang biasa digunakan, dan inti pembahasan terletak pada
implementasi 3 (tiga) metode komputasi numerik, yaitu metode Bisection, metode
Newton Raphson dan metode Secant, didalam menangani berbagai kasus yang
disertakan.

A. SASARAN UMUM
Sasaran umum dari perkuliahan ini adalah memberikan pe mahaman kepada
mahasiswa mengenai proses penyelesaian kasus fisika dalam formulasi persamaan
non linear secara komputasi numerik, dan memberikan keleluasaan wawasan tentang
beberapa metode dari sekian banyak metode yang bisa diimplementasikan.

B. SASARAN KHUSUS
Setelah perkuliahan selesai dilaksanakan, mahasiswa diharapkan mampu:
1. Memformulasikan fenomena fisis dalam bentuk persamaan non linear ke dalam

formula iteratif komputasi numerik.
2. Menyebutkan beberapa metode komputasi numerik dalam kasus finding roots
3. Menjelaskan proses iterasi dari bracketing methods dan open methods.
4. Menjelaskan perilaku metode Bisection, Newton Raphson dan Secant sesuai
dengan karakter persamaan non linear yang ditangani.
5. Mengembangkan pemahaman dengan menggunakan karakteristik metode-metode
komputasi numerik yang lain.
6. Meng-implementasikan metode komputasi numerik untuk persamaan non linear
dalam program komputer.

C. URAIAN MATERI
Äfisika-komputasi ⊇

30

Telah dikenal beberapa metode nonkomputer di dalam menyelesaikan akarakar secara aljabar dan non-aljabar. Untuk kasus non-aljabar ada persamaan
transendental– didalamnya mengandung bentuk-bentuk trigonometri, eksponensial,
logaritma, dan persamaan campuran yang mengandung polinom dan transendental.
Dalam beberapa kasus, akar-akar bisa ditentukan dengan metode langsung. Contoh
yang paling sederhana seperti pada persamaan linear ax + b=0 (dimana a dan b

adalah konstanta dan a 0), maka akar tunggal dari persamaan, xo=–b/a. Persamaan
kuadrat ax2 + bx + c=0 dalam keadaan tertentu bisa diselesaikan dengan formula
kuadratik:
x1 , 2 =

− b ± b 2 − 4 ac
2a

(2.1)

Rumus-rumus yang memberikan nilai eksak dari penyelesaian secara eksplisit
hanya ada untuk kasus-kasus yang sangat sederhana. Fungsi yang cukup sederhana
seperti f(x) = e-x – x sudah tidak bisa diselesaikan secara analitik . Dalam hal ini satusatunya alternatif adalah menggunakan solusi pendekatan (approximate solution)
Salah satu metode untuk menentukan solusi pendekatan adalah menggambar
fungsi dan menentukan nilai x dimana f(x)=0 , seperti terlihat pada contoh 2.1.

Contoh 2.1
Gunakan pendekatan grafik untuk menentukan koefisien tarik (drag coeffisient) c
yang diperlukan sebuah parasut bermassa m=68,1 kg sehingga kecepatannya 40
m/dtk setelah terjun bebas selama t=10 detik. Catatan: percepatan gravitasi 9,8

m/dtk.
Solusi
Kecepatan parasut yang diturunkan dari Hukum Newton II (diberikan oleh
persamaan
1.7 pada Bab 1) adalah:
v(t ) =

gm
c

(1 − e −( c /

m)t

)

Dapat kita lihat bahwa tidak seperti kecepatan parasut secara eksplisit dapat diisolasi
pada satu sisi dan sebagai fungsi waktu. dalam kasus ini koefisien drag adalah

Äfisika-komputasi ⊇


31

implisit. Kasus ini bisa diselesaikan dengan metode numerik

dengan cara

mengurangi variabel takbebas v pada kedua sisi persamaan, sehingga:
gm

f (c ) =

c

(1 − e−( c /

m )t

)− v


(2.2)

Nilai c yang membuat f(c)=0 , selanjutnya disebut akar persamaan, yang juga
representasi dari koefisien drag sebagai solusi dari kasus.
Dengan memasukkan parameter t=10, g=9,8, v=40 dan m=68,1
f (c ) =

9 ,8 (68 ,1)

f (c ) =

667 , 38

c
c

(1 − e−( c /

(1 − e −( c /


68 ,1 ) 10

68 ,1 )10

) − 40 atau

) − 40

(2.3)

Variasi nilai c yang disubtitusi pada persamaan memberikan hasil f(c) pada tabel
sebelah kiri. Kurva melintasi sumbu c antara 12 dan 16. dan dari kelengkungan
grafik memberikan estimasi akar 14,75.
t,dt

f(x)
40

f(c)


4
8
12
16
20

34,115
17,653
6,067
–2,269
–8,401

20
Akar

0

4

8


12

20 c

–10

Gambar 2.1. Pendekatan grafik untuk menentukan akar-akar persamaan

Dengan subtitusi 14,75 pada persamaan (2. 3), validitas estimasi grafik bisa diuji:
f (14 ,75 ) =
v=

667 , 38
14 ,75

9 ,8 (68 ,1 )
14 ,75

(1 − e−(14 ,75


(1 − e−(14 ,75

/ 68 ,1 )10

/ 68 ,1 ) 10

) − 40 = 0 , 059

dan

) = 40 , 059 m / dtk

Äfisika-komputasi ⊇

32

Metode grafik ini tidak cukup teliti (precision). Cara yang lain adalah melakukan
trial and error. Teknik ini terdiri dari sebuah nilai coba x dan dievaluasi apakah
f(x)=0 . jika tidak, dimasukkan nilai coba yang lain dan f(x) dievaluasi kembali untuk

menentukan apakah nilai yang baru memberikan estimasi akar yang lebih baik.
Proses akan berulang sampai sebuah nilai coba memberikan hasil f(x)=0 . Metode
seperti itu jelas tidak sistematis, tidak efisien dan tidak memadai untuk aktivitas
saintis. Metode pendekatan yang paling tepat adalah metode -metode iterasi numerik.
Metode iterasi numerik adalah metode yang memberikan pilihan suatu x0
sebagai tebakan awal dan secara beruntun menghitung barisan x0,x1,x2 ,… secara
rekursif dari relasi berbentuk
xn +1 = g( xn )

(n=0,1,2,…)

(2.4)

dengan g didefinisikan dalam selang yang memuat x0 dan rentang g terletak dalam
selang tersebut. Jadi secara beruntun dihit ung x1=g(x0), x2=g(x1), x3 =g(2)…. Metode
iterasi sangat penting untuk beragam masalah dalam analisa numerik, dengan
kelebihan umumnya tidak sangat terpengaruh oleh merambatnya kesalahan
pembulatan.

Contoh 2.2

Buatlah program sederhana menggunakan BASIC untuk mencari akar positif dari
fungsi f(x) = x2 – 5, dengan nilai tebakan awal x=1, lebar langkah 0,5 dan toleransi
10–6. Nilai sebenarnya √5 =2,236068
Solusi
Program BASIC
5
10
15
20
25
30
35
40
45
50
55
60
65

Def Fnf(x)=x*x–5
Tolx=1.E– 06
x=1: FOld=Fnf(x): dx=.5
Iter%=0

While Abs(dx)>Tolx
Iter%=Iter%+1
x=x+dx
Print Iter%,x,Sqr(5)– x
If FungsiOld*Fnf(x)>0 Then Goto 60
x=x–dx: dx=dx/2
Wend

Äfisika-komputasi ⊇

33

70
Stop
Running program memberikan hasil sebagai berikut:
Iterasi
ke-n
1
2
3
4
.
.
13
14
.
.
32
33

Nilai x

Kesalahan
(Error)
1.5
0.7360679774997897
2
0.2360679774997897
2.5
–0.2639320225002103
2.25
–1.39320225002103E–002
.
.
.
.
2.2421875
–6.119522500210304E–003
2.23828125
–2.2132725002103036E–003
.
.
.
.
2.236066818237305
1.159262485008914E–006
2.236068725585938 –7.480861478035856E–007

Pada iterasi ke-33

proses komputasi berhenti, karena telah memenuhi toleransi

kesalahan 10–6 dengan presisi jawaban yang bagus.
Berikut

ini adalah

metode -metode

yang

populer

digunakan

untuk

menyelesaikan masalah finding roots terutama pada kasus persamaan non linear
f(x)=0 secara komputasi numerik:
a.

b.
c.
d.

e.
f.

g.
h.
i.

Ä Bagidua (Bisection)
(initial Guesses:2,Convergence Rate:Slow, Stability:Always,
Accuracy:Good, Breadth of Application:Real Roots, Programming
Effort:Easy)
Posisi Palsu (False Position)
Titik Tetap ( Fixed Point Iteration)
Ä NewtonRaphson
(initial Guesses:1,Convergence Rate:Fast, Stability:Possibly
Divergent, Accuracy:Good, Breadth of Application:General,
Programming Effort:Easy, Requires evaluation of f’(x))
Modifikasi Newton Raphson
ÄTali Busur (Secant)
(initial Guesses:2,Convergence Rate:Medium to Fast,
Stability:Possibly Divergent, Accuracy:Good, Breadth of
Application:General, Programming Effort:Easy, Initial guesses do not
have to bracket the root
Modifikasi Talibusur (Secant Modified)
Müller
Bairstow
Äfisika-komputasi ⊇

34

Metode analisa numerik diatas, memiliki karakteristik terapan (metode a dan
b untuk akar-akar real, metode b sampai g untuk general aplikasi, dan metode h dan i
untuk akar-akar polinomial). Di sini hanya akan diimplementasikan satu atau
beberapa metode yang dipilih, dengan pertimbangan yang disertakan pada item
metode, sebagai dasar untuk menangani kasus-kasus fisika pada bab-bab selanjutnya.
Metode Grafik –dengan contoh 2.1 dan metode Bagidua adalah termasuk
metode ‘mengurung’ (bracketing methods), sedangkan metode Newton Raphson dan
metode Secant termasuk metode terbuka (open methods).

2.1 Metode Bagidua (Bisection)
Nilai f(x) akan berubah tanda , berbeda pada kedua sisi akar, seperti yang
ditunjukkan pada contoh 2.1. Secara umum, jika f(x) real dan kontinu pada interval
antara x l sampai xu , dan f(x l ) dan f(x u) berlawanan tanda, maka
f ( x l )f ( x u ) < 0

(2.5)

dan sekurang-kurangnya ada satu akar pada interval itu.
Berikut langkah-langkah komputasi aktual dengan metode bagidua:
Langkah 1:

Langk ah 2:

Tentukan nilai awal xl yang lebih rendah dan xu yang lebih tinggi,
sehingga fungsi berubah tanda melalui interval. Ini bisa dicek dengan
menghitung f ( x l )f ( x u ) < 0 .
Estimasikan akar xr, yang ditentukan oleh:
xr =

xl + xu
2

Langkah 3: Lakukan evaluasi berikut untuk menentukan interval akar:
(a) Jika f ( x l )f ( x r ) < 0 berarti akar pada sub-interval bawah(xl,xr),
kemudian set xu =x r dan kembali lakukan langkah 2
(b) Jika f ( x l )f ( x r ) > 0 berarti akar pada sub-interval atas(xu ,xr),
kemudian set xl=xr dan kembali lakukan langkah 2
(c) Jika f ( x l )f ( x r ) = 0 akarnya adalah xr, perhitungan dihentikan.
Dengan metode ini ditentukan titik tengah interval, dan interval akan dibagi
menjadi dua sub-interval, yang salah satunya pasti mengandung akar. Berikutnya
yang ditinjau adalah sub-interval yang mengandung akar. Proses diulangi dengan
membagi sub-interval tersebut dan memeriksa separo sub-interval mana yang
Äfisika-komputasi ⊇

35

mengandung akar. Pembagiduaan sub-sub interval ini dilanjutkan sampai lebar
interval yang ditinjau cukup kecil.
Kriteria penghentian komputasi dan kesalahan estimasi pendekatan, adalah
bijaksana untuk selalu disertakan didalam setiap kasus pencarian akar. Kesalahan
relatif e r cukup representatif untuk kasus dimana nilai akar sebenarnya telah
diketahui. Pada situasi aktual biasanya nilai akar sebenarnya tidak diketahui,
sehingga diperlukan kesalahan relatif pendekatan, era , yaitu:

− x lama
r

baru

xr

e ra =

x baru
r

100 %

Contoh 2.3
Dengan menggunakan metode bisection (Bagidua) : [a] Selesaikan problem pada
contoh 2.1. [b] Tentukan akarnya sampai kesalahan pendekatan dibawah 0,5%.
Solusi
[a] Langkah pertama dalam metode bagidua, memberi dua nilai awal dari nilai yang
tidak diketahui yaitu koefisien drag (c), sehingga f(c) memberikan tanda yang
berbeda. dari gambar 2.1 dapat dilihat bahwa fungsi berubah tanda antara nilai 12
dan 16. Sehingga,
iterasi pertama:
xr =

12 + 16
2

estimasi awal akar x r yang merupakan titik tengah interval:

= 14 , kesalahan relatif er =5,3% (catatan bahwa nilai akar sebenarnya

14,7802). f (12 ) f (14 ) = 6 ,067 (1,569 ) = 9,517 > 0 ,konsekuensinya akar berada pada
interval 14 dan 16. selanjutnya
iterasi kedua:
titik tengah dari sub-interval antara 14 dan 16:
xr =

14 + 16
2

= 15 dengan kesalahan relatif : er =1.5%. Proses berulang untuk

mendapatkan estimasi: f (14 ) f (15 ) = 6, 067 (−0 , 425 ) = −0 , 666 < 0 . Jadi akar berada
diantara 14 dan 15.
Iterasi ketiga :

xr =

14 + 15
2

= 14 , 5 dengan kesalahan relatif er=1,9%.

Metode ini bisa terus berulang sampai hasilnya cukup akurat.
Äfisika-komputasi ⊇

36

[b] kriteria penghentian es adalah 0,5%. Hasil untuk iterasi pertama kedua adalah 14
e ra =

dan 15, maka

15 − 14
14

100 % = 6 ,667 %

iterasi selengkapnya adalah sebagai berikut:
iterasi
1
2
3
4
5
6

xl
12
14
14
14,5
14,75
14,75

xu
16
16
15
15
15
14,875

xr
14
15
14,5
14,75
14,875
14,8125

era(%)

ex(%)
5,279
1,487
1,896
0,204
0,641
0,219

6,667
3,448
1,695
0,840
0,422

dari 6 iterasi akhirnya era

Dokumen yang terkait

ANALISIS KOMPARATIF TINGKAT PENDAPATAN USAH TERNAK AYAM PEDAGING SISTEM KEMITRAAN DAN NON KEMITRAAN DI KABUPATEN JEMBER

1 23 49

ANALISIS KOMUNIKASI, KOMPENSASI FINANSIAL DAN NON FINANSIAL TERHADAP KEPUASAN KERJA DENGAN DUKUNGAN SOSIAL SEBAGAI VARIABEL MODERATING PADA BADAN PUSAT STATISTIK JEMBER

0 48 17

ANALISIS PENGARUH PROFITABILITAS DAN KATEGORI SEKTOR TERHADAP ABNORMAL RETURN SAHAM PERUSAHAAN NON MANUFAKTUR YANG LISTED DI BEI

3 54 15

PERBEDAAN PERILAKU HIDUP BERSIH DAN SEHAT (PHBS) ANTARA SANTRI MUKIM DAN NON MUKIM DI PONDOK PESANTREN SYAICHONA MOH. CHOLIL BANGKALAN

0 64 26

MAKNA RIMPU SEBAGAI MEDIA KOMUNIKASI NON VERBAL BAGI PEREMPUAN BIMA

0 68 2

FAKTOR-FAKTOR YANG MEMPENGARUHI KEJADIAN KURANG ENERGI PROTEIN (KEP) PADA BALITA NON KELUARGA MISKIN (NON GAKIN) DI KECAMATAN SUKORAMBI KABUPATEN JEMBER

4 92 1

HUBUNGAN ANTARA INTENSITAS KEBISINGAN DENGAN KELUHAN NON AUDITORY EFFECT DI AREA TURBIN DAN BOILER PEMBANGKIT

6 59 146

PENINGKATAN MINAT BELAJAR SISWA MELALUI MODEL PEMBELAJARAN EXAMPLES NON EXAMPLES PADA MATA PELAJARAN PKN DI KELAS VIII.D SMP NEGERI 1 KEDONDONG TAHUN PELAJARAN 2012/2013

2 14 84

PENINGKATAN MINAT BELAJAR SISWA MELALUI MODEL PEMBELAJARAN EXAMPLES NON EXAMPLES PADA MATA PELAJARAN PKN DI KELAS VIII.D SMP NEGERI 1 KEDONDONG TAHUN PELAJARAN 2012/2013

0 32 82

PENGARUH PENGGUNAAN MODEL PEMBELAJARAN KOOPERATIF EXAMPLE NON EXAMPLE TERHADAP KEMAMPUAN BERPIKIR RASIONAL SISWA PADA MATERI POKOK PENCEMARAN DAN KERUSAKAN LINGKUNGAN (Studi Eksperimen pada Siswa Kelas VII SMP Negeri 2 Waway Karya Lampung Timur Tahun Pela

7 98 60