APLIKASI TRANSFORMASI LAPLACE PADA PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE DUA UNTUK PENDULUM SEDERHANA DAN PENDULUM FISIS

  

APLIKASI TRANSFORMASI LAPLACE PADA

PERSAMAAN DIFERENSIAL ORDE DUA UNTUK

PENDULUM SEDERHANA DAN PENDULUM FISIS

Rizqona Maharani

  STAIN Kudus, Jawa Tengah, Indonesia rmaharanii@yahoo.com

  

Abstract

The purpose of this paper is to determine the solution of second-

order linier differential equation for simple and physical

pendulum motion. Based on the analysis of force components,

the pendulum motion forms a homogeneous second-order linier

  ′′

• differential equation with constant coefficients denoted by

  

= 0 . The method used to solve the second-order linier

differential equation is the Laplace Transform. The choice of

method is based on the ease of solving the initial value problems

by changing domain t with domain s using algebraic equations

or using tables that contain laplace transform. The result of this

study is solution of second-order linier differential equation by

using laplace transform which in form

  

−1 −1

{ ( )} = ℒ

( ) = ℒ { }

  2

  2

• Then, the solution can be used to determine the equation of

  pendulum motion which include the equation of displacement,

  velocity, and acceleration of the simple and physical pendulum.

  

Keywords : Second-Order differential equation, Laplace

Transform, and Pendulum

  

Abstrak

Tujuan paper ini adalah untuk menentukan penyelesaian

persamaan diferensial linier orde dua gerak pendulum

sederhana dan fisis. Berdasarkan analisis komponen gayanya,

maka gerak pendulum membentuk persamaan diferensial

linier orde dua homogen dengan koefisien konstan yang

• ′′

  dinyatakan dengan = 0. Metode yang digunakan

  APLIKASI TRANSFORMASI LAPLACE PADA PERSAMAAN...

untuk menyelesaikan persamaan linier orde dua tersebut

adalah transformasi laplace. Pemilihan metode didasarkan

atas kemudahan dalam menyelesaikan masalah nilai awal

dengan mengubah domain t dengan domain s menggunakan

persamaan aljabar atau menggunakan tabel yang memuat

Tranformasi Laplace. Hasil dari penelitian ini adalah solusi

persamaan diferensial linier orde dua dengan menggunakan

transformasi laplace yang berbentuk:

  

−1 −1

{ ( )} = ℒ { } ( ) = ℒ

  2 Sehingga solusi tersebut dapat digunakan untuk menentukan

persamaan gerak pendulum yang meliputi persamaan

perpindahan, kecepatan, dan percepatan pendulum sederhana

dan fisis.

• 2

  

Kata Kunci: Persamaan diferensial orde dua, transformasi

laplace, dan pendulum.

A. PENDAHULUAN

  Matematika merupakan ilmu pengetahuan yang digunakan secara luas dalam berbagai bidang kehidupan, termasuk dalam m enyelesaikan permasalahan di bidang teknik, fisika, ekonomi dan yang lainnya. Permasalahan pada bidang tersebut kemudian diidentifikasi, dirumuskan, dan dimodelkan untuk dapat ditentukan solusinya. Adapun pemodelan yang menggunakan simbol matematika dan logika untuk menyajikan permasalahan objek disebut pemodelan matematika atau pemodelan simbolik (Susanta, 2008: 1.6).

  Tujuan dari pemodelan matematika adalah untuk memberikan diskripsi terkait keadaan, sifat, maupun perilaku objek agar mudah dikenali, diperlajari, dan dimanipulasi (Susanta, 2008: 1.4). Hal yang perlu dilakukan saat menyusun model matematika pada suatu permasalahan adalah mengidentifikasi semua besaran yang terlibat dalam masalah tersebut, memberi lambang pada semua besaran, menentukan satuan untuk semua besaran, menentukan besaran konstanta dan variabel, menentukan hubungan variabel dan konstanta sehingga terbentuk model matematika, mencari solusi

  Rizqona Maharani

  model berdasarkan teori-teori dalam matematika, dan menginterpretasikan solusi model sehingga diperoleh solusi permasalahan.

  Adapun model matematika yang dapat dirumuskan dari suatu permasalahan adalah berbentuk persamaan diferensial linier orde dua homogen dengan koefisien konstan. Untuk menentukan penyelesaian persamaan tersebut, dapat diterapkan transformasi laplace. Hal ini dikarenakan, transformasi laplace dapat mereduksi persamaan diferensial ke masalah aljabar. Aljabar tersebut dapat menjadi rumit pada suatu kejadian dan dapat dengan mudah jika diselesaikan dengan menggunakan transformasi laplace dari pada diselesaikan dengan menggunakan persamaan diferensial secara langsung. Dengan menggunakan transformasi laplace, suatu masalah nilai awal dapat diselesaikan dengan mengubah domain t dengan domain s menggunakan persamaan aljabar atau menggunakan tabel yang memuat Tranformasi Laplace (Nagle et al, 2004: 349). Bentuk umum dari Transformasi Laplace dari

  ( ) yang dinyatakan oleh

  ∞ −

  { ( )}, didefinisikan sebagai : { ( )} = ( ) = ∫ ( ) .

  Sejalan dengan Suyono (2003: 1), persamaan diferensial merupakan cabang dari matematika yang digunakan untuk memecahkan masalah-masalah dalam bidang sains dan teknologi, sehingga transformasi Laplace pada persamaan diferensial menjadi sangat penting untuk dipelajari karena membantu mempermudah penyelesaian model matematika, salah satunya adalah permasalahan untuk menentukan persamaan gerak pada osilasi. Osilasi terjadi bila sebuah sistem diganggu dari posisi kesetimbangannya sehingga akan bergerak secara periodik atau secara berulang dalam selang waktu yang sama (Tipler, 1998: 425). Adapun tipe dasar osilasi adalah gerak harmonik sederhana. Gerak ini menunjukkan adanya suatu partikel yang bergerak berulang kali bolak balik di sekitar sumbu x (Halliday et al, 2010: 416). Selain itu, gerakannya juga mengabaikan kehadiran gaya gesekan diasumsikan bahwa sudut simpangan sangat kecil. Salah satu contoh gerak harmonik sederhana yang mudah dikenali dalam kehidupan sehari-hari adalah gerak sebuah pendulum atau bandul yang terdiri dari bandul sederhana, bandul fisis, dan bandul puntir. Ketiga jenis bandul tersebut mempunyai persamaan

  Jurnal KONSTANTA _ Vol. 1 No. 1 Juli-Desember 2017

  APLIKASI TRANSFORMASI LAPLACE PADA PERSAMAAN...

  gerak yang menunjukkan perpindahan, kecepatan, dan percepatan partikel saat malakukan osilasi.

  Berdasarkan latar belakang yang sudah dipaparkan, maka tujuan paper ini adalah untuk mengetahui aplikasi transformasi laplace pada persamaan diferensial linier orde dua homogen dengan koefisien konstan dalam menentukan persamaan gerak pendulum yaitu pada pendulum sederhana dan fisis.

B. PEMBAHASAN

  

Persamaan Diferensial Linier Orde Dua Homogen dengan

Koefisien Konstan

  Persamaan diferensial adalah persamaan yang memuat fungsi yang tidak diketahui dan derivatifnya. Persamaan diferensial ditinjau dari banyaknya variabel bebas dari fungsi yang tidak diketahui, dikelompokkan menjadi persamaan diferensial biasa dan persamaan diferensial parsial. Persamaan diferensial biasa adalah persamaan diferensial dimana fungsi yang tidak diketahui adalah fungsi dari satu variabel bebas. Sedangkan persamaan diferensial parsial adalah persamaan diferensial yang memuat derivatif parsial fungsi yang tidak diketahui terhadap dua atau lebih variabel bebas (Suyono, 2003: 1-2). Sedangkan orde dari persamaan diferensial ditunjukkan oleh derivatif tertinggi yang muncul dalam persamaan tersebut (Boyce, 2001: 18).

  Selain itu, persamaan diferensial juga dikelompokkan menjadi persamaan linier atau nonlinier. Persamaan diferensial biasa _{' ( n )} yang dinyatakan ke dalam bentuk F ( t , y , y ,..., y )  merupakan linier jika F merupakan fungsi linier dari variabel-variabel _{' ( n )}

  

, ,..., . Definisi tersebut juga berlaku untuk persamaan

y y y

  diferensial parsial. Persamaan diferensial linier orde n adalah persamaan yang berbentuk:

  n n−1 d y d y dy

  a (t) + a (t) + ⋯ + a (t) + a (t)y = g(t) ...(1)

  n 1 n−1 n−1 n dt dt dt

  n (t), a n−1 (t), … , a 1 (t), a (t) dan fungsi g(t)

  Koefisien-koefisien a

  adalah fungsi-fungsi yang kontinu pada suatu interval I (bilangan

  Rizqona Maharani

  real) dan koefisien pertama a (t) ≠ 0 untuk setiap t ∈ I, y adalah

  (n)

  fungsi dalam t, sedangkan adalah turunan ke-n dari PD. Bila y semua koefisien a (t), a (t), … , a (t), a (t) adalah tetap,

  n n−1

  1

  persamaan tersebut disebut persamaan diferensial linier orde n dengan koefisien konstan, sedangkan jika nilainya tidak tetap maka disebut persamaan diferensial linier orde n dengan koefisien variabel (Boyce, 2001: 19). Menurut Boyce (2001:130), Persamaan diferensial linier dikatakan homogen jika fungsi g(t) pada persamaan (1) adalah nol untuk setiap t. Sehingga persamaan diferensial linier homogen dengan koefisien konstan dapat dinyatakan dalam bentuk umum:

  n n−1 d y d y dy

  a + a + ⋯ + a + a y = 0 ...(2)

  n 1 n−1 n−1 n dt dt dt

  1 n

  Dengan , , ..., konstan dan a a a ≥ 2

  (Suyono, 2003: 34) Dari persamaan (2) maka persamaan diferensial linier orde dua dengan koefisien konstan dapat dinyatakan dalam bentuk:

  2

  2

  1

  

2

Dengan adalah konstan real (Boyce, 2001: 131).

  ...(3) a + a + a = 0

  a ≠ 0, dan a , a , a

  1

2 Transformasi Laplace

  Definisi 1 Transformasi Laplace dari fungsi F(t) didefinisikan sebagai berikut:

  

−

  ...(4) ℒ{ ( )} = ( ) = ∫ ( )

  Definisi 2 (Kekontinuan bagian demi bagian) Suatu fungsi dikatakan kontinu bagian demi bagian dalam suatu selang 0 ≤ t ≤ β bila selang ini dapat dibagi-bagi kedalam sejumlah berhingga selang-selang di mana dalam setiap selang ini fungsinya kontinu dan memiliki limit- limit kanan dan kiri yang berhingga.

  Definisi 3 (Orde Eksponensial) Jika terdapat konstan real > 0 dan

  −

   sehingga untuk semua > berlaku, | ( )| ≤ atau | ( )| ≤

  Jurnal KONSTANTA _ Vol. 1 No. 1 Juli-Desember 2017

  APLIKASI TRANSFORMASI LAPLACE PADA PERSAMAAN...

  − . Maka dikatakan bahwa

  ( ) adalah suatu fungsi eksponensial berorde apabila → ∞.

  Teorema 1 (Syarat cukup untuk keujudan transformasi laplace) Jika ( ) adalah kontinu secara bagian-bagian dalam setiap selang berhingga

  0 ≤ ≤ dan eksponensial berorde untuk > , maka transformasi Laplace nya ( ) ada untuk semua > .

  Bukti: Untuk setiap bilangan positif N didapat

  ∞ − −

  ( ) = ℒ{ ( )} = ∫ ( ) = ∫ ( ) +

  ∞ −

  ∫ ( ) Karena

  ( ) adalah kontinu secara sebagian-sebagian dalam setiap

  −

  selang berhingga ada 0 ≤ ≤ , maka ∫ ( )

  ∞ −

  Akan ditunjukkan ada ∫ ( )

  Karena ( ) adalah eksponensial berorde untuk > atau dapat ditulis dengan sehingga:

  | ( )| ≤

  ∞ ∞

− −

  ( ) | ( )| |∫ | ≤ ∫

  ∞ −

  ≤ ∫

  ∞ −

  ≤ ∫

  ∞

  1 −( − )

  ≤ [ ]

  −( − ) −( − )

  , untuk = − >

  −( − ) ∞ −

  Jadi ada untuk semua ∫ ( ) >

  Definisi 4 (Invers Transformasi Laplace) Jika ℒ{F(t)} = f(s), maka

  F(t) disebut suatu invers transformasi Laplace dari f(s) dan secara

  −1

  simbolis ditulis F(t) = ℒ { ( )}. Teorema 2 (Ketunggalan invers transformasi Laplace) Andaikan fungsi-fungsi

  ( ) dan ( ) memenuhi syarat-syarat keujudan

  Rizqona Maharani

  transformasi Laplace sehingga ( ) dan ( ) ada, jika ( ) = ( ) untuk

  > maka ( ) = ( ) pada selang kekontinuannya. Bukti:

  ∞ −

  ada, jadi konvergen ( ) = ∫ ( )

  ∞ −

  ada, jadi konvergen ( ) = ∫ ( )

  ∞ ∞ − −

  ( ) = ( ) maka ∫ ( ) = ∫ ( )

  ∞ ∞ − −

  Atau ( ) − ∫ ( ) = 0

  ∫ Karena kedua integral tak wajar ini konvergen maka

  ∞ ∞ − −

  ∫ ( ) = ∫ ( )

  ∞ ∞ − −

  ( ) − ∫ ( ) = 0 ∫

  −

  ≠ 0 maka ( ) − ( ) = 0 Jadi

  ( ) − ( ) dalam selang kekontinuannya Teorema 3 (sifat linier) Jika dan adalah sebarang konstan c c

  1

  2

  sedangkan F (t) dan F (t) adalah fungsi-fungsi dengan transformasi-

  1

  2

  1

  2

  transformasi Laplace nya masing-masing f (s) dan f (s) maka

  ℒ{ ( ) + ( )} = ℒ{ ( )} + ℒ{ ( )} = ( ) +

  1

  1

  2

  2

  1

  

1

  2

  2

  1

  1

  ( ) ...(5)

  2

  2 Bukti:

−

  Misalkan dan ℒ{ ( )} = ( ) = ∫ ( )

  1

  1

  1 −

  ℒ{ ( ) } = ( ) = ∫ ( )

  2

  2

  2 ∞ −

  Maka ℒ{ ( ) + ( )} = ∫ { ( ) + ( )}

  1

  1

  2

  2

  1

  1

  2

  2 ∞ ∞ − −

  = ∫ ( ) + ∫ ( )

  

1

  1

  2

  2 ∞ ∞ − −

  = ∫ ( ) + ∫ ( )

  1

  1

  2

  2

  = ℒ{ ( )} + ℒ{ ( )}

  1

  1

  2

  2

  = ( ) + ( )

  1

  1

  2

  2 −1

  Dengan cara yang sama jika { ( )} = ( ) maka

  ℒ

  −1 −1 −1

  ℒ { ( ) + ( )} = ℒ { ( )} + ℒ { ( )}

  1

  1

  2

  2

  

1

  1

  2

  2

  = ( ) + ( )

  1

  1

  2

  2 Jurnal KONSTANTA _ Vol. 1 No. 1 Juli-Desember 2017

  APLIKASI TRANSFORMASI LAPLACE PADA PERSAMAAN...

  Teorema 4 (Transformasi laplace dari turunan-turunan) Jika

  ′

  ℒ{ ( )} = ( ) maka ℒ{ ( )} = ( ) − (0) bila ( ) adalah

  kontinu untuk

  0 ≤ ≤ dan eksponensial berorde untuk >

  ′ sedangkan

  ( ) adalah kontinu secara sebagian-sebagian untuk 0 ≤ ≤ . Bukti:

  ′ − ′

  ℒ{ ( )} = ∫ ( )

  − ′

  = lim ∫ ( )

  →∞ − −

  = lim {[ ( )] + ∫ ( ) }

  →∞ −

  = 0 − (0) + ∫ ( ) = ( ) − (0)

  ′′

  2 Teorema 5 Jika

  ℒ{ ( )} = ( ) maka ℒ{ ( )} = ( ) − (0) −

  ′ ′

  (0), bila ( ) dan ( ) kontinu untuk 0 ≤ ≤ dan eksponensial

  ′′ berorde untuk

  > sedangkan ( ) adalah kontinu secara

  sebagian-sebagian untuk 0 ≤ ≤ .

  Bukti: Menurut Teorema 4

  ℒ{ ( )} = ℒ{ ( )} − (0) = ( ) − (0)

  ′

  Misalkan ( ) = ( ), maka:

  ′′ ′ ′

  ℒ{ ( )} = ℒ{ ( )} − (0)

  

′

  = [ ℒ{ ( )} − (0)] − (0)

  2 ′

  = ℒ{ ( )} − (0) − (0)

  2 ′

  = ( ) − (0) − (0) Teorema

  6 Jika ℒ{ ( )} = ( ) maka ℒ{ ( )} = ( ) −

  −1 −2 ′ ( −2) ( −1) bila

  (0) − (0) − ⋯ − (0) − (0),

  ′ ( −1)

  ( ), ( ), … , ( ) adalah kontinu untuk 0 ≤ ≤ dan

  eksponensial berorde untuk

  > sedangkan ( ) adalah kontinu

  secara sebagian-sebagian untuk 0 ≤ ≤ .

  Bukti: Menurut Teorema 4

  ℒ{ ( )} = ℒ{ ( )} − (0) = ( ) − (0) Misalkan

  ( ) = ( ) dimana = 1, 2, 3, …, maka:

  Rizqona Maharani ′

  ℒ{ ( )} = ℒ{ ( )} − (0) = ( ) − (0)

  ′′ ′ ′ 2 ′

  ℒ{ ( )} = ℒ{ ( )} − (0) = ( ) − (0) − (0)

  ′′′ ′′ ′′

  ℒ{ ( )} = ℒ{ ( )} − (0

  3 2 ′ ′

  = ( ) − (0) − (0) − ′(0)

  (4) ′′′ ′′′

  

4

  3 2 ′

  ℒ{ ( )} = ℒ{ ( )} − (0) = ( ) − (0) − (0)

  ′′ ′′′

  − (0) − (0) .

   . .

  ( −2) ( −3) ( −3) −2 −3

  ℒ{ ( )} = ℒ{ ( )} − (0) = ( ) − (0)

  −4 ′ ( −4) ( −3)

  − (0) − ⋯ − (0) − (0)

  ( −1) ( −2) ( −2) −1 −2

  ℒ{ ( )} = ℒ{ ( )} − (0) = ( ) − (0)

  −3 ′ ( −3) ( −2)

  − (0) − ⋯ − (0) − (0)

  ( ) ( −1) ( −1) −1

  ℒ{ ( ) − (0) ( )} = ℒ{ ( )} − (0) =

  −2 ′ ( −2) ( −1)

  − (0) − ⋯ − (0) − (0) Adapun langkah-langkah dalam menerapkan Transformasi Lapace untuk memecahkan persamaan diferensial linier orde dua dengan koefisien konstan yang kondisi awalnya telah diberikan adalah: 1)

  Menghitung bayangan Laplace dari kedua ruas persamaan 2)

  Menggunakan sifat-sifat transformasi Laplace dan kondisi awal untuk mencari persamaan bayangan Laplace dalam penyelesaiannya. 3)

  Menyelesaikan persamaan dalam bayangan Laplace yang diperoleh.

  Menentukan invers bayangan Laplace dengan menggunakan tabel atau metode yang sesuai. Berikut invers bayangan laplace dinyatakan pada Tabel 1. Tabel 1. Transformasi Laplace Invers

  − No

  ( ) { ( )} = ( )

  1 1.

  1

  2

  ! ; ( = 1,2,3, … )

• 1

  1

  3 −

  4

  cos

  2

  2

• Jurnal KONSTANTA _ Vol. 1 No. 1 Juli-Desember 2017

  APLIKASI TRANSFORMASI LAPLACE PADA PERSAMAAN...

  5

  sin

  2

  2

  −

  6

  cosh

  2

  2

  −

  2

  2

  −

  7

  sin (Spiegel, 1993)

  Persamaan Gerak pada Pendulum Sederhana

  Gerak osilasi yang populer adalah gerak osilasi pendulum (bandul). Pada pendulum sederhana terdiri dari seutas tali ringan dan sebuah bola kecil (bola pendulum) bermassa yang digantungkan pada ujung tali. Pada gerak pendulum biasa, gaya gesekan udara akan diabaikan dan massa tali sangat kecil sehingga dapat diabaikan relatif terhadap bola.

  Gambar 1 Sistem Bandul Sederhana Gaya yang bekerja pada bola pendulum adalah gaya berat dan gaya tegangan tali . Bila Tali membuat sudut terhadap vertikal, berat memiliki komponen-komponen cos sepanjang tali dan sin tegak lurus tali dalam arah berkurangnya

  . Karena tidak ada gaya gesek udara, maka pendulum melakukan osilasi sepanjang busur lingkaran dengan besar amplitudo tetap sama. Sehingga hubungan

  Rizqona Maharani

  antara panjang busur dengan sudut dinyatakan dengan persamaan

  = . Bandul tersebut melakukan Gerak Harmonik Sederhana berarti gaya pemulihnya adalah komponen tangensial gaya gravitasi sin atau sin yang bekerja dengan arah menuju

  = 0, berlawanan dengan arah simpangannya. Oleh karenanya gaya tegang tali bernilai − sin . Sehingga menurut hukum kedua Newton, percepatan yang dihasilkan oleh pendulum sederhana jika dihubungkan dengan gaya tegang tali dapat dinyatakan dengan:

  =

  2

  − sin = = … (1.1)

  2 Dengan,

  : massa benda (kg)

  2

  : percepatan gravitasi ( / )

  2

  : percepatan ( / ) Pada gerak bandul tersebut akan mendekati gerak harmonik sederhana jika mempunyai simpangan kecil. Dengan demikian untuk sudut yang kecil, akan digunakan pendekatan sin ≈ , sehingga persamaan

  (1.1) menjadi:

  2

  − sin ≈ − = … (1.2)

  2

  2

  

2

Mengingat . Sehingga persamaan

  = , maka = (1.2) dapat

  2

  

2

  dinyatakan dengan:

  2

  − =

  2

  2

  − =

  2

  2

  = −

  2

  2

• = 0

  2 ′′

  = 0 … (1.3) +

  Jurnal KONSTANTA _ Vol. 1 No. 1 Juli-Desember 2017

  APLIKASI TRANSFORMASI LAPLACE PADA PERSAMAAN...

  Persamaan (1.3) adalah persamaan diferensial linear homogen dengan koefisien konstan. Pada permasalahan gerak sebuah pendulum ini, akan diberikan syarat awal yang harus dipenuhi sehingga tidak dapat diselesaikan secara langsung. Oleh karenanya akan digunakan transformasi Lapace. Syarat awal tersebut adalah saat pendulum berada pada simpangan tertentu dengan kecepatan awal nol.

  Persamaan (1.3) akan disusun kembali ke dalam bentuk aljabar, sehingga persamaannya menjadi:

  ′′

• = 0

  ′′

  2

  = + 0 … (1.4) Dengan adalah frekuensi sudut, = √

  ′

  Jika diberikan syarat awal (0) = , (0) = = 0, ℒ{ } = ( ) maka dengan menggunakan transformasi Laplace pada kedua ruas dari persamaan

  (1.4) diperoleh:

  ′′

  2

  ℒ{ + } = ℒ{0}

  ′′

  2

  ℒ{ } + ℒ{ } = 0

  ′′

  2

  ℒ{ } + ℒ{ } = 0

  2 ′

  2

  [ ℒ{ } − (0) − ℒ{ } = 0 (0)] +

  2

  2

  ( ) − − + ( ) = 0

  2

  2

  ( ) − − + ( ) = 0

  2

  2

• ( ) ( ) =
• 0

  ( ) =

  2

  2

• ( ) =

  2

  2

  Rizqona Maharani

  Untuk mendapatkan persamaan gerak bandul, dikenakan transformasi Laplace invers pada kedua ruas dari persamaan pembantu tersebut.

  −1 −1

  ℒ { ( )} = ℒ { }

  2

  2

• −1

  ( ) = ℒ { }

  2

  2

• −1

  = ℒ { }

  2

  2

• = cos

  ( ) = cos( + 0) ( ) = cos( + ∅)

  Berdasarkan persamaan perpindahan gerak pendulum yang sudah diperoleh, maka dapat persamaan kecepatan dan percapatan angularnya adalah

  ( cos( + ∅)) ( ) = = − ( + ∅) /

  = Dan

  (− ( + ∅))

  2

  2

  ( ) = = − cos( + ∅) / =

  Persamaan Gerak pada Pendulum Fisis

  Sebuah benda tegar yang digantung dari suatu titik yang bukan merupakan pusat massanya akan berosilasi ketika disimpangkan dari posisi kesetimbangannya.

  Jurnal KONSTANTA _ Vol. 1 No. 1 Juli-Desember 2017

  APLIKASI TRANSFORMASI LAPLACE PADA PERSAMAAN...

Gambar 2.2 skema bandul fisis

  Titik adalah sumbu ayun pada benda yang sering dinamakan pivot, adalah pusat massa, adalah panjang benda, sedangkan ℓ adalah jarak ke . Dan yang menyebabkan benda berayun adalah momen gaya atau torsi pemulih (Restoring torque).

  Pada gambar bangun datar yang digantung pada sebuah titik berjarak ℓ dari pusat massanya dan disimpangkan dari kesetimbangan sebesar sudut

  . Momen gaya yang bekerja terhadap titik gantung bernilai ℓ sin dan cenderung mengurangi .

  Percepatan sudut yang dihasilkan pada pendulum fisis tersebut dihubungkan dengan momen gaya oleh:

  

2

  = = … … … (2.1)

2 Dengan:

  : momen gaya : momen inersia : percepatan sudut Karena momen gaya berlawanan dengan arah simpangan dan cenderung mengurangi

  , sehingga momen gaya bernilai − ℓ sin . Dengan mensubtitusikan

  − ℓ sin untuk momen gaya total pada persamaan (2.1) diperoleh:

  2

  − ℓ sin = … … … (2.2)

  2 Gerak pada bandul fisis mendekati gerak harmoni sederhana jika

  simpangan sudutnya kecil sehingga digunakan pedekatan sin ≈ . Oleh karenanya dari persamaan

  (2.2) diperoleh:

  Rizqona Maharani

  2

  − ℓsin =

  2

  2

  − ℓ =

  2

  2 − ℓ

  =

  2

  2 ℓ

  = 0 +

  2

  ℓ

  ′′

• = 0

  ′′

  

2

  = 0 … (2.3) +

  ℓ

  Dengan adalah frekuensi sudut yang bernilai√ Bentuk persamaan

  (2.3) adalah termasuk persamaan diferensial linear orde dua homogeny dengan koefisien konstan. Sama halnya dengan permasalahan bandul sederhana, pada bandul fisis ini akan diberikan syarat awal yang harus dipenuhi dan akan diselesaikan dengan transformasi Laplace.

  ′

  Jika diberikan syarat awal (0) = ,

  (0) = = 0, ℒ{ } = ( ) maka dengan menggunakan transformasi Laplace pada kedua ruas dari persamaan

  (2.3) diperoleh:

  ′′

  2

  ℒ{ + } = ℒ{0}

  ′′

  2

  ℒ{ } + ℒ{ } = 0

  ′′

  2

  ℒ{ } + ℒ{ } = 0

  2 ′

  2

  [ ℒ{ } − (0) − (0)] + ℒ{ } = 0

  2

  2

  ( ) − − + ( ) = 0

  2

  2

  ( ) − − + ( ) = 0

  2

  2

• ( ) ( ) =
• 0

  ( ) =

  2

  2

• ( ) =

  2

  2

• Untuk mendapatkan persamaan gerak bandul, dikenakan transformasi Laplace invers pada kedua ruas dari persamaan pembantu tersebut.

  −1

  ( ) = ℒ { ( )}

  Jurnal KONSTANTA _ Vol. 1 No. 1 Juli-Desember 2017

  APLIKASI TRANSFORMASI LAPLACE PADA PERSAMAAN...

  −1

  { } = ℒ

  2

  2

• −1

  = ℒ { }

  2

  2

• = cos

  ( ) = cos( + 0) ( ) = cos( + ∅)

  Berdasarkan analisis komponen-kompenen gaya yang bekerja pada pendulum biasa dan fisis diperoleh pemodelan matematika yang berbentuk persamaan diferensial linier orde dua yang diberikan syarat awal tertentu. Kemudian dengan menggunakan metode transformasi laplace diperoleh persamaan gerak pendulum biasa dan fisis, yaitu

  ( ) = cos( + ∅). Kedua pendulum tersebut memiliki persamaan perpindahan yang sama sehingga untuk persamaan kecepatan dan percepatannya juga sama. Akibatnya jika kedua pendulum diberikan simpangan dan yang sama, maka diperoleh besar magnitudo perpindahan, kecepatan, dan percepatan yang sama pula.

C. KESIMPULAN

  Berdasarkan pembahasan terkait aplikasi transformasi laplace pada permasalahan pemodelan matematika dalam mencari persamaan gerak pendulum sederhana dan fisis yang berupa PD linier orde dua homogen dengan koefisien konstan dapat dilakukan dengan menganalisis terlebih dahulu komponen-komponen yang bekerja pada pendulum sederhana dan pendulum fisis, sehingga terbentuk persamaan diferensial homogen dengan syarat awal. Bentuk umum

  ′′

  2

• persamaannya adalah

  = 0 . Ambil transformasi Laplace dari persamaan diferensial dan gunakan syarat awalnya sehingga terbentuk

  ℒ{ } = ( ) . Selanjutnya, digunakan transformasi Laplace

  −1

  dari { ( )}. Akibatnya, diperoleh

  ( ) sehingga terbentuk ( ) = ℒ persamaan gerak pendulum sederhana dan fisis ( ) = ( +

  ∅). Hal itu berarti jika simpangan dan kedua pendulum sama, maka besar magnitudo perpindahan, kecepatan dan percepatan pendulum juga sama.

  Rizqona Maharani DAFTAR PUSTAKA

  Boyce, William E. Diprima, Richard C. (2001). Elementary Differential

  Equations and Boundary Value Problems. United States of

  America :John Wiley & Sons, Inc Halliday, D. Resnick, R. & Walker, J. (2010). Fisika Dasar Edisi 7. Jakarta :Erlangga Nagle, R. Kent, Edward B. Saff &Arthur David Snider. (2004).

  Fundamental of Differential Equations and Boundary Value Problems Fourth Edition. United States of America: Pearson

  Adison Wesley Spiegel, Murray R.(1993). Transformasi Laplace. Jakarta: Erlangga. Susanta, B. (2008). Cara Mudah menyelesaikan Matematika dengan

  Mathematica. Yogyakarta. Universitas Terbuka

  Suyono. (2003). Persamaan Diferensial. Surakarta: Sebelas Maret University Press

  Tipler, Paul. A. (1998). Fisika Untuk Sains dan Teknik. (jilid

  1).Terjemahan Lea Prasetyo, Rahmad W. Adi. Jakarta: Erlangga.

  Jurnal KONSTANTA _ Vol. 1 No. 1 Juli-Desember 2017