Contoh Kasus dan id. pdf
Contoh Kasus:
Anda diminta oleh atasan Anda untuk melakukan survei
mengenai penggunaan HP. Sebanyak 150 orang konsumen
menjadi responden dalam survei tersebut. Ternyata 75
orang menggunakan HP Android dan 55 orang
menggunakan HP Blackberry. Sementara itu, 25 orang
menggunakan keduanya. Berdasarkan data tersebut Anda
harus menentukan jumlah responden dengan kriteria
menggunakan:
a. Sekurang-kurangnya salah satu dari HP merek tersebut
b. Tepat salah satu dari HP merek tersebut
c. Hanya HP Android
d. Tidak satupun dari HP merek tersebut
1
Pengertian Himpunan
2
Penulisan Matematis
(Notasi Himpunan)
Suatu kumpulan dari
sejumlah obyek dengan
karakteristik tertentu
p∈A
Obyek p merupakan anggota/elemen dari
himpunan A
A⊂B
Himpunan A merupakan himpunan bagian
(subset) dari himpunan B, yaitu apabila
p ∈ A dan p ∈ B
A=B
Himpunan A sama dengan himpunan B, jika
dan hanya jika A ⊂ B dan B ⊂ A
Himpunan huruf kapital A, B, C, D, …
INGKARAN
Anggota himpunan huruf kecil a, b, c, d, …
p∉A
Obyek p bukan merupakan anggota
himpunan A
Banyaknya anggota dari suatu himpunan (bilangan
kardinal) n (….) = …. , misal n(A) = 16
A⊄B
A bukan merupakan himpunan bagian dari B
A≠B
Himpunan A tidak sama dengan himpunan B
3
Penyajian Himpunan
4
Penyajian Himpunan
Cara 1 Cara daftar
Dengan mencantumkan seluruh obyek
yang menjadi anggota suatu himpunan.
A = {1, 2, 3, 4, 5} berarti himpunan A
beranggotakan bilangan-bilangan bulat positif
1, 2, 3, 4, dan 5
Suatu himpunan dinyatakan dengan:
B = { x x bilangan bulat
Cara 2 Cara kaidah/deskriptif
Dengan menyebutkan karakteristik
tertentu dari anggota himpunan.
A = {χ | 0 < χ < 6} atau A = {χ | 1 ≤ χ ≤ 5}
Cara membaca:
“B adalah himpunan seluruh bilangan x,
sedemikian rupa sehingga x adalah bilangan
bulat positif”
positif }
Apa artinya???
5
6
Soal
Nyatakan himpunan berikut dengan cara deskriptif:
Istilah pada Himpunan (1)
1. B adalah himpunan bilangan asli yang nilainya lebih dari 3
dan kurang atau sama dengan 15
Himpunan Semesta/Universal
2. C adalah himpunan mahasiswa S1 yang berusia 18 sampai
20 tahun
Himpunan yang mencakup semua anggota yang sedang
dibicarakan. Dilambangkan dengan S atau U.
3. D adalah himpunan bilangan asli ganjil kurang dari 20
Himpunan Kosong
Himpunan yang tidak memiliki satu anggotapun dan
merupakan bagian dari setiap himpunan apapun.
Dilambangkan dengan ∅ atau { }.
Jawaban :
1. B = { x | 3 < x ≤ 15 , x ∈ A}
maka
2. C = { x | 18 < x < 20 , x ∈ S1 }
∅⊂A⊂U
Himpunan { 0} bukan himpunan kosong, melainkan
himpunan yang memiliki satu anggota, yaitu bilangan nol (0)
3. D = { x | x < 20 , x ∈ A }
7
8
Diagram Venn
Istilah pada Himpunan (2)
Langkah-langkah menggambar diagram venn
1. Daftarlah setiap anggota dari masing-masing himpunan
2. Tentukan mana anggota himpunan yang dimiliki secara bersama-sama
Himpunan yang Ekivalen
3. Letakkan anggota himpunan yang dimiliki bersama di tengah-tengah
Dua himpunan yang tidak kosong A dan B disebut ekivalen
apabila n(A) = n(B). Dua himpunan yang sama pasti
ekivalen.
4. Buatlah lingkaran sebanyak himpunan yang ada yang melingkupi
anggota bersama tadi
5. Lingkaran yang dibuat tadi ditandai dengan nama-nama himpunan
6. Selanjutnya lengkapilah anggota himpunan yang tertulis di dalam
lingkaran sesuai dengan daftar anggota himpunan itu
7. Buatlah segiempat yang memuat lingkaran-lingkaran itu, di mana
segiempat ini menyatakan himpunan semestanya dan lengkapilah
anggotanya apabila belum lengkap
Himpunan Kuasa (Power Set)
Himpunan kuasa dari himpunan A adalah suatu himpunan yang
anggotanya adalah semua himpunan bagian dari A, termasuk
himpunan kosong dan himpunan A sendiri. Dilambangkan dengan
P (A) atau 2A
Contoh:
A = {1,3} maka himpunan kuasa dari A adalah
P(A)= { { 1 }, { 3 } , { 1,3 } , ∅ }
9
10
Operasi Himpunan: Gabungan
A U B = { x | x ∈ A atau x ∈ B }
A
B
B
A
A
B
Misal:
A = { 2, 3, 5, 7 }
B = { 0, 1, 2 }
AUB
AUB
C = { 10, 11 }
D = { Mira, 14, L }
B
A
E = { 1, 2 }
Maka : A U B = { 0, 1, 2, 3, 5, 7 }
A U D = { 2, 3, 5, 7, Mira, 14, L }
BUC = ?
BUD = ?
CUD =?
11
AUB
12
Operasi Himpunan: Irisan
A
B
A
B
A
A ∩ B = { x | x ∈ A dan x ∈ B }
Misal:
B
A∩B=∅
Maka :
A = { 2, 3, 5, 7, 9 }
A ∩ B = { 2, 5 }
B = { 0, 1, 2, 4, 5, 6, }
E ∩ B = { 1,2 4 }
C = { 10, 11, 14, 15 }
A∩C={}
D = { Anto, 14, L }
D ∩ C = { 14 }
E = { 1, 2, 4 }
A∩D={}
A∩B=B
A
B
A∩E={2}
A∩B
13
Operasi Himpunan:
Selisih
14
Operasi Himpunan:
Komplemen
B
A
Ac
Ac = S – A = { x | x ∉ A dan x ∈ S }
A – B = { x | x ∈ A dan x ∉ B }
A
Contoh
Contoh :
A = { 2, 3, 4, 6, 7, 9 }
A = { 2, 3, 5, 6, 8 )
A–B
B = { 1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 10 }
B = { 1, 2, 4, 6, 7, 9, 10, 13 }
S = { x | x bilangan asli ≤ 13 }
C = { 3, 5, 9 }
Maka : A – B = { 4, 7 }
Maka :
A
B – A = { 1, 5, 8, 10 }
Ac = { 1, 4, 7, 9, 10, 11, 12, 13 }
B
Bc = { 3, 5, 8, 11, 12 }
A–C=?
B–C=?
C–B=?
•5
•8
•3
•11
A–B
B
•4 •13
•6
•7 •10
•2
•9
•1
•12
15
Kaidah Matematika dalam
Operasi Himpunan
16
Kaidah Matematika dalam
Operasi Himpunan
1. Idempoten
A∪A= A
A
S
5. Identitas
A∩A=A
A∪∅= A
A∪S = S
A∩S = A
A∩∅ = ∅
Sc = ∅
∅c = S
2. Asosiatif
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
6. Komplemen
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C
A ∪ Ac = S
3. Komutatif
A∪B= B∪A
A ∩B = B ∩ A
A ∩ Ac = ∅
7. De Morgan
4. Distributif
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩(A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C)
17
( A ∪ B )c = Ac ∩ Bc
( A ∩ B )c = Ac ∪ Bc
18
Jawaban Contoh Kasus
S
A
50
Soal Latihan
Berikut ini adalah hasil survei mengenai koran yang dipilih oleh
masyarakat di Kabupaten “xyz”.
Berlangganan Jakarta Post (448 orang), Kompas (760), dan
Media Indonesia (754)
Berlangganan Jakarta Post dan Kompas (280), Kompas dan
Media Indonesia (450), Jakarta Post dan Media Indonesia
(178), yang berlangganan ketiganya adalah (75 orang).
Dari data tersebut hitunglah:
a. Masyarakat yang berlangganan satu media saja
b. Masyarakat yang berlanggaan dua media
c. Jika jumlah penduduk di kabupaten tersebut adalah 3000 jiwa,
berapa orang yang tidak berlangganan ketiga media tersebut?
d. Gambarkan dalam diagram venn!
B
15
30
45
19
Soal Latihan
Jika
n (A) = 16, n (B) = 18, dan n (C) = 15,
n (A ∩ C) = 5, n (B ∩ C) = 6,
serta n (A ∩ B) = 6, n (A ∪ B ∪ C) = 34
Tentukan :
n (A ∩ B ∩ C)
21
20
Anda diminta oleh atasan Anda untuk melakukan survei
mengenai penggunaan HP. Sebanyak 150 orang konsumen
menjadi responden dalam survei tersebut. Ternyata 75
orang menggunakan HP Android dan 55 orang
menggunakan HP Blackberry. Sementara itu, 25 orang
menggunakan keduanya. Berdasarkan data tersebut Anda
harus menentukan jumlah responden dengan kriteria
menggunakan:
a. Sekurang-kurangnya salah satu dari HP merek tersebut
b. Tepat salah satu dari HP merek tersebut
c. Hanya HP Android
d. Tidak satupun dari HP merek tersebut
1
Pengertian Himpunan
2
Penulisan Matematis
(Notasi Himpunan)
Suatu kumpulan dari
sejumlah obyek dengan
karakteristik tertentu
p∈A
Obyek p merupakan anggota/elemen dari
himpunan A
A⊂B
Himpunan A merupakan himpunan bagian
(subset) dari himpunan B, yaitu apabila
p ∈ A dan p ∈ B
A=B
Himpunan A sama dengan himpunan B, jika
dan hanya jika A ⊂ B dan B ⊂ A
Himpunan huruf kapital A, B, C, D, …
INGKARAN
Anggota himpunan huruf kecil a, b, c, d, …
p∉A
Obyek p bukan merupakan anggota
himpunan A
Banyaknya anggota dari suatu himpunan (bilangan
kardinal) n (….) = …. , misal n(A) = 16
A⊄B
A bukan merupakan himpunan bagian dari B
A≠B
Himpunan A tidak sama dengan himpunan B
3
Penyajian Himpunan
4
Penyajian Himpunan
Cara 1 Cara daftar
Dengan mencantumkan seluruh obyek
yang menjadi anggota suatu himpunan.
A = {1, 2, 3, 4, 5} berarti himpunan A
beranggotakan bilangan-bilangan bulat positif
1, 2, 3, 4, dan 5
Suatu himpunan dinyatakan dengan:
B = { x x bilangan bulat
Cara 2 Cara kaidah/deskriptif
Dengan menyebutkan karakteristik
tertentu dari anggota himpunan.
A = {χ | 0 < χ < 6} atau A = {χ | 1 ≤ χ ≤ 5}
Cara membaca:
“B adalah himpunan seluruh bilangan x,
sedemikian rupa sehingga x adalah bilangan
bulat positif”
positif }
Apa artinya???
5
6
Soal
Nyatakan himpunan berikut dengan cara deskriptif:
Istilah pada Himpunan (1)
1. B adalah himpunan bilangan asli yang nilainya lebih dari 3
dan kurang atau sama dengan 15
Himpunan Semesta/Universal
2. C adalah himpunan mahasiswa S1 yang berusia 18 sampai
20 tahun
Himpunan yang mencakup semua anggota yang sedang
dibicarakan. Dilambangkan dengan S atau U.
3. D adalah himpunan bilangan asli ganjil kurang dari 20
Himpunan Kosong
Himpunan yang tidak memiliki satu anggotapun dan
merupakan bagian dari setiap himpunan apapun.
Dilambangkan dengan ∅ atau { }.
Jawaban :
1. B = { x | 3 < x ≤ 15 , x ∈ A}
maka
2. C = { x | 18 < x < 20 , x ∈ S1 }
∅⊂A⊂U
Himpunan { 0} bukan himpunan kosong, melainkan
himpunan yang memiliki satu anggota, yaitu bilangan nol (0)
3. D = { x | x < 20 , x ∈ A }
7
8
Diagram Venn
Istilah pada Himpunan (2)
Langkah-langkah menggambar diagram venn
1. Daftarlah setiap anggota dari masing-masing himpunan
2. Tentukan mana anggota himpunan yang dimiliki secara bersama-sama
Himpunan yang Ekivalen
3. Letakkan anggota himpunan yang dimiliki bersama di tengah-tengah
Dua himpunan yang tidak kosong A dan B disebut ekivalen
apabila n(A) = n(B). Dua himpunan yang sama pasti
ekivalen.
4. Buatlah lingkaran sebanyak himpunan yang ada yang melingkupi
anggota bersama tadi
5. Lingkaran yang dibuat tadi ditandai dengan nama-nama himpunan
6. Selanjutnya lengkapilah anggota himpunan yang tertulis di dalam
lingkaran sesuai dengan daftar anggota himpunan itu
7. Buatlah segiempat yang memuat lingkaran-lingkaran itu, di mana
segiempat ini menyatakan himpunan semestanya dan lengkapilah
anggotanya apabila belum lengkap
Himpunan Kuasa (Power Set)
Himpunan kuasa dari himpunan A adalah suatu himpunan yang
anggotanya adalah semua himpunan bagian dari A, termasuk
himpunan kosong dan himpunan A sendiri. Dilambangkan dengan
P (A) atau 2A
Contoh:
A = {1,3} maka himpunan kuasa dari A adalah
P(A)= { { 1 }, { 3 } , { 1,3 } , ∅ }
9
10
Operasi Himpunan: Gabungan
A U B = { x | x ∈ A atau x ∈ B }
A
B
B
A
A
B
Misal:
A = { 2, 3, 5, 7 }
B = { 0, 1, 2 }
AUB
AUB
C = { 10, 11 }
D = { Mira, 14, L }
B
A
E = { 1, 2 }
Maka : A U B = { 0, 1, 2, 3, 5, 7 }
A U D = { 2, 3, 5, 7, Mira, 14, L }
BUC = ?
BUD = ?
CUD =?
11
AUB
12
Operasi Himpunan: Irisan
A
B
A
B
A
A ∩ B = { x | x ∈ A dan x ∈ B }
Misal:
B
A∩B=∅
Maka :
A = { 2, 3, 5, 7, 9 }
A ∩ B = { 2, 5 }
B = { 0, 1, 2, 4, 5, 6, }
E ∩ B = { 1,2 4 }
C = { 10, 11, 14, 15 }
A∩C={}
D = { Anto, 14, L }
D ∩ C = { 14 }
E = { 1, 2, 4 }
A∩D={}
A∩B=B
A
B
A∩E={2}
A∩B
13
Operasi Himpunan:
Selisih
14
Operasi Himpunan:
Komplemen
B
A
Ac
Ac = S – A = { x | x ∉ A dan x ∈ S }
A – B = { x | x ∈ A dan x ∉ B }
A
Contoh
Contoh :
A = { 2, 3, 4, 6, 7, 9 }
A = { 2, 3, 5, 6, 8 )
A–B
B = { 1, 2, 3, 5, 6, 8, 9, 10 }
B = { 1, 2, 4, 6, 7, 9, 10, 13 }
S = { x | x bilangan asli ≤ 13 }
C = { 3, 5, 9 }
Maka : A – B = { 4, 7 }
Maka :
A
B – A = { 1, 5, 8, 10 }
Ac = { 1, 4, 7, 9, 10, 11, 12, 13 }
B
Bc = { 3, 5, 8, 11, 12 }
A–C=?
B–C=?
C–B=?
•5
•8
•3
•11
A–B
B
•4 •13
•6
•7 •10
•2
•9
•1
•12
15
Kaidah Matematika dalam
Operasi Himpunan
16
Kaidah Matematika dalam
Operasi Himpunan
1. Idempoten
A∪A= A
A
S
5. Identitas
A∩A=A
A∪∅= A
A∪S = S
A∩S = A
A∩∅ = ∅
Sc = ∅
∅c = S
2. Asosiatif
A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C
6. Komplemen
A ∩ (B ∩ C) = (A ∩B) ∩ C
A ∪ Ac = S
3. Komutatif
A∪B= B∪A
A ∩B = B ∩ A
A ∩ Ac = ∅
7. De Morgan
4. Distributif
A ∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩(A ∪ C)
A ∩ (B ∪ C) = (A ∩B) ∪ (A ∩ C)
17
( A ∪ B )c = Ac ∩ Bc
( A ∩ B )c = Ac ∪ Bc
18
Jawaban Contoh Kasus
S
A
50
Soal Latihan
Berikut ini adalah hasil survei mengenai koran yang dipilih oleh
masyarakat di Kabupaten “xyz”.
Berlangganan Jakarta Post (448 orang), Kompas (760), dan
Media Indonesia (754)
Berlangganan Jakarta Post dan Kompas (280), Kompas dan
Media Indonesia (450), Jakarta Post dan Media Indonesia
(178), yang berlangganan ketiganya adalah (75 orang).
Dari data tersebut hitunglah:
a. Masyarakat yang berlangganan satu media saja
b. Masyarakat yang berlanggaan dua media
c. Jika jumlah penduduk di kabupaten tersebut adalah 3000 jiwa,
berapa orang yang tidak berlangganan ketiga media tersebut?
d. Gambarkan dalam diagram venn!
B
15
30
45
19
Soal Latihan
Jika
n (A) = 16, n (B) = 18, dan n (C) = 15,
n (A ∩ C) = 5, n (B ∩ C) = 6,
serta n (A ∩ B) = 6, n (A ∪ B ∪ C) = 34
Tentukan :
n (A ∩ B ∩ C)
21
20