BAB II LANDASAN TEORI 2.1 Data dan Variabel 2.1.1 Data - Penerapan Teori Permainan dalam Strategi Pemasaran Produk Ban Sepeda Motor di FMIPA USU

BAB II LANDASAN TEORI

2.1 Data dan Variabel

2.1.1 Data

  Pengertian data menurut Webster New World Dictionary adalah things known or

  

assumed , yang berarti bahwa data itu sesuatu yang diketahui atau dianggap. Diketahui

  artinya yang sudah terjadi merupakan fakta (bukti). Data juga dapat didefinisikan sekumpulan informasi atau nilai yang diperoleh dari pengamatan (observasi) suatu objek, data dapat berupa angka dan dapat pula merupakan lambang atau sifat. Pada dasarnya kegunaan data (setelah diolah dan dianalisis) ialah sebagai dasar yang objektif di dalam proses pembuatan keputusan/ kebijaksanaan dalam rangka untuk memecahkan persoalan.

  Menurut sifatnya , data dapat digolongkan menjadi dua, yaitu: a. Data Kualitatif yaitu data yang tidak berbentuk angka.

  b. Data Kuantitatif yaitu data yang berbentuk angka.

  Bila ditinjau dari cara memperolehnya, data dapat dibagi menjadi dua, yaitu:

  a. Data Primer yaitu data yang dikumpulkan sendiri oleh perorangan/ atau suatu organisasi secara langsung dari objek yang diteliti dan untuk kepentingan study yang bersangkutan yang dapat berupa interviu atau observasi.

  b. Data Sekunder yaitu data yang diperoleh/ dikumpulkan dan disatukan oleh study-study sebelumnya atau yang diterbitkan oleh instansi lain.

  Menurut waktu pengumpulannya, data digolongkan menjadi dua, yaitu :

  a. Data Cross Section ialah data yang dikumpulkan pada suatu waktu tertentu untuk menggambarkan keadaan dan kegiatan pada waktu tersebut. Misalnya, data penelitian yang menggunakan kuesioner.

  b. Data Berkala ialah data yang dikumpulkan dari waktu ke waktu untuk melihat perkembangan suatu kejadian/ kegiatan selama periode tersebut. Misalnya, perkembangan uang yang beredar.

2.1.2Variabel

  S.H.Situmorang dkk, 2010. Variabel adalah suatu yang dapat membedakan atau mengubah variasi pada nilai. Nilai dapat berbeda pada waktu yang berbeda untuk objek atau orang yang sama, atau nilai dapat berbeda dalam waktu yang sama untuk objek atau orang yang berbeda.

  Menurut hubungan antara suatu variabel dengan variabel lainnya, variabel terbagi atas beberapa yaitu :

  1. Variabel bebas yaitu variabel yang menjadi sebab terjadinya atau terpengaruhnya variabel tak bebas.

  2. Variabel tak bebas yaitu variabel yang nilainya dipengaruhi oleh variabel bebas.

  3. Variabel moderator yaitu variabel yang memperkuat atau memperlemah hubungan antara suatu variabel bebas dengan tak bebas.

  4. Variabel intervening, seperti halnya variabel moderator, tetapi nilainya tidak dapat diukur, seperti kecewa, marah, gembira, senang, sedih, dan lain sebagainya.

  5. Variabel kontrol, yaitu variabel yang dapat dikendalikan oleh peneliti.

  2.2 Uji Validitas dan Reliabilitas Data

  Pengujian validitas data digunakan untuk mengetahui apakah variabel-variabel dalam penelitian dapat menggambar keinginan konsumen dan mampu mengungkapkan sesuatu yang diukur oleh penelitian tersebut. Tinggi rendahnya validitas suatu variabel menunjukkan sejauh mana data yang dikumpulkan tidak menyimpang dari gambaran tentang variabel yang dimaksud. Rumus:

  ( ) − ( . ) =

  1

  2

  

2

  2

  2

  2

  − ( ) − ( ) Keterangan: r = Koefisien korelasi product moment

  N = Jumlah sampel X = Skor setiap variabel Y = Skor total setiap responden Uji reliabilitas data dilakukan untuk mengetahui tingkat kepercayaan hasil suatu pengukuran. Suatu kuesioner dikatakan reliabel jika jawaban seseorang terhadap pertanyaan adalah konsisten dari waktu ke waktu. Nilai suatu kuesioner dianggap reliabel jika memberikan nilai α > 0,60, (Ghozali, 2005).

  2.3 Teori Permainan

  Aminudin, 2005. Teori permainan merupakan suatu model matematika yang digunakan dalam situasi konflik atau persaingan antara berbagai kepentingan yang saling berhadapan sebagai pesaing. Dalam permaian peserta adalah pesaing. Keuntungan bagi yang satu merupakan kerugian bagi yang lain. Model-model permainan dapat dibedakan berdasarkan jumlah pemain, jumlah keuntungan atau kerugian, dan jumlah startegi yang digunakan dalam permainan. Bila jumlah pemain ada dua, permainan disebut sebagai permainan dua pemain. Bila keuntungan atau kerugian sama dengan nol, disebut permainan jumlah nol.

  Teori permainan mula-mula dikemukakan oleh seorang ahli matematika Prancis yang bernama Emile Borel pada tahun 1921. kemudian, John Von Neemann dan Oskar Morgenstern mengembangkan lebih lanjut sebagai alat untuk merumuskan perilaku ekonomi yang bersaing.

2.3.1 Unsur-unsur Dasar Teori Permainan

  Pada bagian ini akan dijelaskan beberapa unsur dasar yang sangat penting dalam pemecahan setiap kasus dengan teori permainan, dengan mengambil contoh permainan dua pemain jumlah nol dimana matriks pay off-nya ditunjukan dalam tabel berikut:

Tabel 2.1 Matriks Pay Off

  Pemain B

  1

  2

  3

  8

  11

  4

1 A

  10

  7

  6

  2 emain P

  Dari contoh tabel permainan di atas dapat dijelaskan dasar-dasar teori permainan sebagai berikut:

  1. Angka-angka dalam matriks pay off (matriks permainan) menunjukkan hasil- hasil atau pay off dari strategi-strategi permainan yang berbeda-beda, dimana hasil-hasil merupakan ukuran efektifitas. Bilangan positif menunjukkan keuntungan bagi pemain baris dan kerugian bagi pemain kolom. 2. dan merupakan alternatif strategi-strategi yang dimiliki oleh masing- masing pemain A dan B. Suatu strategi permainan adalah rangkaian rencana yang menyeluruh dari pemain sebagai reaksi atas aksi yang mungkin dilakukan oleh pesaing.

  3. Nilai permainan adalah hasil yang diperkirakan per permainan atau rata-rata

  pay off sepanjang permainan. Suatu permainan dikatakan adil apabila nilainya sama dengan nol.

  4. Suatu permainan dikatakan dominan bila setiap pay off dalam strategi adalah superior terhadap setiap pay off yang berhubungan dalam suatu strategi alternatif. Pada matriks di atas hal ini terjadi untuk pemain B, kedua strategi

  1

  dan didominasi oleh strategi . Sehingga strategi dan dapat

  2

  3

  1

  2 direduksi. Artinya pemain B menjalankan strategi optimalnya adalah .

  3 Sedangkan pemain A memilih strategi karena berusaha mencari

  2 keuntungan maksimal. Jadi nilai permainan untuk kasus di atas adalah 6 .

  5. Tujuan dari model permainan adalah mengidentifikasi strategi mana yang optimal untuk setiap pemain.

2.3.2 Klasifikasi Permainan a. Berdasarkan jumlah langkah dan pilihan

  Permainan diklasifikasikan menjadi dua, yaitu: i. Permainan berhingga, yaitu suatu permainan yang mempunyai sejumlah langkah yang berhingga dengan setiap langkah yang memuat sejumlah pilihan yang berhingga pula. ii. Permainan tak berhingga, untuk setiap permainan selain permainan berhingga.

b. Berdasarkan jumlah pemain

  Suatu permainan dikatakan permainan n orang jika jumlah orang yang bermain adalah n. Disini orang dapat berperan sebagai individu ataupun kelompok.

c. Berdasarkan jumlah pembayaran

  i. Permainan berjumlah nol adalah suatu permainan dengan jumlah kemenangan kedua belah pihak sama dengan nol. Hal ini berarti bahwa jummlah pembayaran yang diterima oleh salah satu pemain yang menang sama dengan jumlah pembayaran yang dibayarkan oleh pihak yang kalah. Bila ada dua orang yang bermain di dalam permainan maka dinamakan permainan berjumlah nol dari dua orang. ii. Permainan berjumlah tidak nol, yaitu permainan dengan total pembayaran dari masing-masing pemain pada akhir suatu permainan tidak sama dengan nol. Permainan ini dapat dimainkan oleh dua orang ataupun n orang.

2.3.3 Permainan Berjumlah Nol Dari Dua Orang

  Kartono, 1994. Konsep dasar yang memuat dalam teori permainan dapat dijelaskan oleh permainan yang sederhana yang dimainkan oleh dua orang atau dua pemain. Untuk selanjutnya akan dibahas hal-hal pokok yang sesungguhnya menjadi inti dari teori permainan, yaitu menentukan solusi optimum bagi kedua pihak yang saling bersaing tersebut yang bersesuaian dengan strategi optimumnya. Ada dua macam strategi optimum, yaitu strategi murni dan strategi campuran.

a. Strategi Murni

  Permainan dengan strategi murni adalah suatu permainan dengan posisi pilihan terbaiknya bagi setiap pemain dicapai dengan memilih satu strategi tunggal. Dalam permainan dengan strategi murni, pemain pertama (pemain baris) yaitu pemain yang berusaha memaksimumkan kemenangan (keuntungan) yang minimum sehingga kriteria strategi optimumnya adalah kriteria maximin. Sedangkan pemain kedua (pemain kolom) yaitu pemain yang berusaha meminimumkan kekalahan (kerugian) yang maksimum sehingga kriteria strategi optimumnya adalah kriteria minimax.

  Apabila nilai maximin sama dengan nilai minimax maka permainan ini dapat diselesaikan dengan strategi murni dimana titik keseimbangan telah tercapai. Titik keseimbangan ini dikenal sebagai titik pelana.

  b. Strategi Campuran

  Di dalam permainan dimana permainan tersebut tidak mempunyai titik pelana maka para pemain akan bersandar kepada apa yang disebut sebagai strategi campuran. Hal ini berarti pemain pertama akan memainkan setiap strategi baris dengan proporsi waktu (probabilitas) tertentu. Demikian juga untuk pemain kedua, ia akan memainkan setiap strategi kolom dengan proporsi waktu (probabilitas) tertentu. Oleh karena itu dalam suatu permainan yang diselesaikan dengan strategi campuran, strategi dari setiap pemain akan mempunyai probabilitas yang menunjukan proporsi waktu atau banyaknya bagian yang dipergunakan untuk melakukan strategi tersebut. Jadi tugas dari setiap pemain adalah menentukan proporsi waktu (probabilitas) yang diperlukan untuk memainkan strateginya.

  c. Aturan Dominasi

  Sebelum menyelesaikan suatu permainan, perlu dipertimbangkan apakah ada baris atau kolom dalam matriks pembayarannya yang tidak efektif pengaruhnya di dalam penentuan strategi optimum dan nilai permainan. Bila ada maka baris atau kolom yang seperti itu bisa dihapus atau tidak dipakai. Hal itu berarti bahwa probabilitas untuk memilih strategi sesuai baris atau kolom tersebut sama dengan nol. Dengan demikian ukuran matriks pembayaran yang tersisa akan lebih kecil. Hal ini akan mempermudah untuk menyelesaikannya. Aturan demikian ini dinamakan aturan dominasi. i. Aturan dominasi bagi pemain pertama (pemain baris). Karena pemain

  1

  (pemain baris) merupakan pemain yang berusaha untuk

  1

  memaksimumkan kemenangan / perolehannya maka bila terdapat suatu baris dengan semua elemen dari baris tersebut adalah sama atau lebih kecil (sekolom) dari baris yang lain maka baris tersebut dikatakan didominasi dan baris itu dapat dihapus. Jika dalam suatu permainan yang berukuran m x n terdapat untuk semua

  ( ≤ ( = 1, 2, … , maka baris k , ) , )

  mendominasi baris i. Sedangkan jika untuk semua

  ( (

  ≤ =

  , ) , ) 1, 2, …, maka kolom k mendominasi kolom j.

  ii. Aturan dominasi bagi pemain kedua (pemain kolom). Karena pemai

  2

  2

  (pemain kolom) merupakan pemain yang berusaha untuk meminimumkan kekalahan / kerugiannya maka bila terdapat suatu kolom dengan semua elemen dari kolom tersebut adalah sama atau lebih besar dari elemen dalam posisi yang sama (sebaris) dari kolom yang lain maka kolom tersebut dikatakan didominasi dan kolom itu dapat dihapus. Jika dalam suatu permainan yang berukuran m x n terdapat untuk semua

  ( ≤ ( , ) , )

  = 1, 2, … , maka kolom k mendominasi kolom j. Keterangan:

  = Elemen matriks pay off baris ke-i dan kolom ke-j

  ( , )

  = Elemen matriks pay off baris ke-k dan kolom ke-j

  ( , )

  = Elemen matriks pay off baris ke-i dan kolom ke-k

  ( , )

  Aturan dominasi ini dapat diulang lagi jika masih ada baris atau kolomnya yang didominasi oleh baris atau kolom yang lain. Dan ini memungkinkan matriks pembayaran semula akan tersisa menjadi matriks pembayaran dengan satu elemen saja. Bila hal ini dapat terjadi maka permainannya dapat diselesaikan dengan strategi murni dengan nilai permainan sesuai dengan elemen yang tersisa tersebut. Tetapi tidak semua permainan yang mempunyai titik pelana dapat diselesaikan dengan aturan dominasi yang berulang-ulang tersebut.

2.3.4 Metode Penyelesaian Masalah dalam Teori Permainan

  Yang dimaksud dengan menyelesaikan permainan adalah usaha mencari strategi optimum dan nilai permainan yang secara umum dapat dirumuskan sebagai berikut: , , , ,

  =

  1 2 … ,

  1 1 … , yang mengoptimumkan nilai harapan

  dan = matematis , =

  

=1 =1

  Dengan syarat = = 1

  =1 =1

  , ≥ 0 ; Dimana X dan Y adalah strategi-strategi untuk masing-masing pemain dan .

  1

  2 Metode yang akan digunakan dalam penelitian ini adalah metode program linier.

  Dalam penyelesaian suatu permainan dengan metode program linier ini, kita sering dihadapkan kepada masalah metode simplex dualitas. Untuk suatu permainan dengan matriks pembayaran yang berukuran besar (m x n) dan tidak mempunyai titik pelana serta metode dominasi tidak dapat digunakan untuk mereduksi ukuran matriks pembayaran menjadi lebih kecil, maka program linier menawarkan suatu metode penyelesaian yang efesien.

Tabel 2.2 Nilai Probabilitas Strategi Pemain

  Pemain

  2

  1

  

2

3 ⋯

  1

  11

  

12

13 ⋯

  1

  1

  2

  21

  

22

23 ⋯

  2

  3

  31

  

32

33 ⋯

  3 emain

  ⋮ ⋮ ⋮ ⋮ ⋮

  P

  ⋯

  1

  

2

  3 Keterangan: = probabilitas pemain

  1 memilih strategi ke-i.

  = probabilitas pemain

  2 memilih strategi ke-j.

  = nilai pembayaran yang bersesuaian dengan strategi ke-i pemain

  1

  dan ke-j pemain

  2 .

  i = 1, 2, 3, …, m. j = 1, 2, 3, …, n.

a. Untuk pemain (pemain baris).

  1

  

2

  =1 =1

  , … ,

  2

  ,

  1 =1

  Persoalan ini dapat disajikan ke bentuk program linier sebagai berikut: Bila =

  = 1 ≥ 0 ; = 1, 2, … ,

  =1

  Berdasarkan pembatas

  =1 =1

  , … ,

  ,

  memilih , ≥ 0,

  1 =1

  memenuhi

  1

  Pemain

  =1 =1 maka persoalan itu menjadi: Maksimumkan

  , … ,

  

2

  ,

  1 =1

  = 1 yang akan menghasilkan

  =1

  Hal ini menunjukkan bahwa strategi campuran optimum pemain

  = Berdasarkan pembatas:

  ; ≥ = 1, 2, … ,

  =1

  = 1 ; ≥ 0

  =1

  = nilai permainan Perumusan program linier di atas dapat disederhanakan dengan membagi

  (n+1) pembatas dengan v. Pembagian ini berlaku untuk > 0. Jika = 0 maka pembagian tidak berlaku. Sebaliknya, jika

  < 0 maka pembagian ini juga tidak berlaku namun dapat diubah menjadi > 0 dengan menambahkan suatu konstanta positif k pada semua elemen dalam matriks pembayaran yang akan menjamin nilai permainan untuk matriks yang dimodifikasi ini lebih besar dari nol. Sebagai pedoman, diambil

  ≥ harga mutlak dari elemen yang terkecil sehingga sebelum merumuskan ke bentuk program linier perlu diperiksa nilai maximin barisnya karena bila nilai maximin tersebut negatif maka ada kemungkinan nilai permainannya negatif atau nol.

  Dengan demikian matriks pembayarannya perlu dimodifikasi dahulu dan sebagai konsekuensinya adalah bila solusi optimum telah diperoleh maka nilai permainan yang sebenarnya ditentukan dengan dengan mengurangi sebesar k tadi dari nilai permainan yang dimodifikasi.

  Pada umumnya jika nilai maximinnya positif maka nilai permainannya lebih besar dari pada nol (terutama permainan yang mempunyai titik pelana). Oleh karena itu di dalam pembentukan rumusan program linier diasumsikan bahwa > 0. Pembatas-pembatas dalam rumusan program linier di atas menjadi: 1 ;

  = 1, 2, … , ≥

  =1

  1 = ;

  ≥ 0

  =1

  = ; Bila dinotasikan

  = 1, 2, … , maka

  1 =

  =1

1 Karena max maka

  = min Persoalan di atas menjadi:

1 Meminimumkan

  = Berdasarkan pembatas

  ≥ 1 ; = 1, 2, … ,

  =1

  ≥ 0 ; = 1, 2, … , Dari sini kemudian diselesaikan dengan metode simpleks. Penyelesaian bagi pemain merupakan dual dari penyelesaian pemain . Jadi penyelesaian optimum

  2

  1

  bagi salah satu pemain dapat memberikan penyelesain optimum bagi pemain lainnya walaupun penyelesaian bagi pemain merupakan dual dari penyelesaian pemain .

  2

  1 Perhitungan penyelesaian optimum pemain dapat dilakukan dengan menggunakan

  2

  metode simpleks dan penyelesain pemain merupakan dualnya. Dan pada

  1

  kenyataannya bahwa lebih mudah untuk menghitung penyelesaian pemain dengan

  2 metode simpleks dahulu.

  b. (pemain kolom) Untuk pemain

  Dengan cara yang sama akan diperoleh:

• 1

  2 ⋯ +

• memaksimumkan =

  berdasarkan pembatas-pembatas: ≤ 1 ; = 1, 2, … ,

  =1

  ≥ 0 ; = 1, 2, … ,

2.4 Program Linier

  Fien Zulfikarijah, 2004. Konsep program linier ditemukan dan diperkenalkan pertama kali oleh George Dantzig yang berupa metode mencari solusi masalah program linier dengan banyak variabel keputusan. Program linier dapat didefinisikan sebagai pembuatan rencana kegiatan-kegiatan dengan menggunakan suatu model umum dalam pemecahan masalah pengalokasian sumber daya yang terbatas secara optimal.

  Dalam model program linier terdapat asumsi-asumsi yang harus dipenuhi, yaitu:

  1. Proportionality (kesebandingan), artinya perubahan nilai fungsi tujuan dan penggunaan sumber daya adalah proporsional (sebanding) dengan perubahan kegiatan, contoh: , dalam persamaan ini dapat diartikan setiap

  =

  1

  1 peningkatan sebesar 1 unit akan meningkatkan Z sebesar .

  1

  1

  2. Additivity (penambahan), artinya nilai tujuan setiap kegiatan bersifat

  independent (bebas/ tidak saling bergantung) dan dalam program linier

  dianggap bahwa kenaikan nilai tujuan (Z) yang diakibatkan oleh suatu kegiatan dapat langsung ditambahkan tanpa mempengaruhi bagian nilai kegiatan lain.

  3. Divisibility (pembagian), dalam program linier diperbolehkan menggunakan angka pecahan.

  4. Certainty (kepastian), artinya nilai parameter yang terdapat dalam model program linier diketahui secara pasti.

  Model umum program linier dapat dirumuskan ke dalam bentuk matematika sebagai berikut: ,

  = = 1, 2, … ,

  =1

  Kendala: ,

  ≤ ≥ = 1, 2, … ,

  =1

2.5 Metode Simpleks

  Metode simpleks merupakan prosedur aljabar yang bersifat iteratif yang bergerak selangkah demi selangkah, dimulai dari titik ekstrim pada daerah fisibel (ruang solusi) menuju titik ekstrim yang optimum. Dalam metode simpleks terdapat beberapa definisi penting, yaitu: a. Solusi Basis, yaitu solusi dimana terdapat sebanyak-banyaknya m variabel berharga bukan nol.

  b. Solusi basis fisibel, yaitu solusi variabel pada suatu solusi basis berharga nonnegatif.

  c. Solusi fisibel titik ekstrim, yaitu solusi fisibel yang tidak terletak pada suatu segmen garis yang menghubungkan dua solusi fisibel lainnya.

2.5.1 Algoritma Metode Simpleks untuk Persoalan Maksimasi

  Untuk menyelesaikan persoalan maksimasi program linier dengan menggunakan metode simpleks, terdapat beberapa langkah, yaitu:

  1. Konversikan formulasi persoalan ke dalam bentuk standar.

  2. Cari solusi basis fisibel (BFS).

  3. Jika seluruh variabel nonbasis mempunyai koefisien nonnegatif pada baris fungsi tujuan, maka solusi basis fisibel sudah optimal. Jika pada baris fungsi tujuan masih ada variabel dengan koefisien negatif, pilih salah satu variabel yang mempunyai paling negatif pada baris tersebut. Variabel ini akan memasuki status variabel basis, karena itu variabel ini disebut sebagai variabel yang masuk basis (entering variable, disingkat EV)

  4. Hitung rasio dari ruas kanan dan koefisien EV pada setiap baris EV yang mempunyai koefisien positif. Variabel basis pada baris pembatas dengan rasio positif terkecil akan berubah status menjadi variabel nonbasis. Variabel ini kemudian disebut sebagai variabell yang meninggalkan basis (leaving

  variable / disingkat LV). Lakukan operasi baris elementer untuk membuat

  koefisien EV pada baris dengan rasio positif terkecil ini mmenjadi berharga 1 dan berharga nol pada baris-baris lainnya. Kemudian kembali ke langkah 3. Contoh: Maksimum : Z = 2x + 4x + 3x

  1

  2

  3 Kendala : 3x 1 + 4x 2 + 2x

  3

  ≤ 60 2x

  1 + x 2 + 2x

  3

  ≤ 40 x + 3x + 2x

  1

  2

  3

  ≤ 80 x 1, x 2, x

  3

  ≥ 0 Penyelesaian Bentuk standart Maksimum : Z = 2x + 4x + 3x

  1

  2

  3 Kendala : 3x 1 + 4x 2 + 2x 3 + x 4 = 60

  2x

  1 + x 2 + 2x 3 + x 5 = 40

  x + 3x + 2x + x = 80

  1

  2

  3

  6

  x 1, x 2, x

  3

  ≥ 0

Tabel 2.3 Iterasi 0

  Variabel C

  2

  4

  3 B Basis

  1

  2

  3

  4

  5

  6

  3

  4

  2

  1

  60

  4

  2

  1

  2

  1

  40

  5

  1

  3

  2

  1

  80

  6

• 2 -4 -3 −

Tabel 2.4 Iterasi 1

  Variabel C

  2

  4

  3 B Basis

  1

  2

  3

  4

  5

  6

  3

  1

  1

  4

  1

  15

  2

  4

  2

  4

  5

  3

  1

  1

  25

  5

  −

  4

  2

  4

  5

  1

  3

  1

  35

  6

  − −

  4

  2

  4 1 -1

  1

  60 −

Tabel 2.5 Iterasi 2

  Variabel C

  2

  4

  3 B Basis

  1

  2

  3

  4

  5

  6

  1

  1

  1

  20

  4

  1

  2

  −

  3

  3

  3

  3

  5

  1

  2

  50

  3

  1

  3

  −

  6

  6

  3

  3

  5

  2

  1

  80

  1

  6

  − − −

  3

  3

  3

  3

  11

  5 2 230 −

  6

  6

  3

  3 Karena koefisien dari seluruh variabel pada baris − ≥ 0, maka solusi basis

  230

  20

  50

  80

  = = = fisibel sudah optimal, dengan maksimum Z = untuk , , ,

  2

  3

  6

  3

  3

  3

  3 = = = 0.

  1

  4

  5

2.5.2 Algoritma Metode Simpleks untuk Persoalan Minimasi

  Sama halnya dengan penyelesaian persoalan maksimasi, untuk persoalan minimasi juga menggunakan langkah-langkah penyelesaian, yaitu:

  1. Konversikan formulasi persoalan ke dalam bentuk standar.

  2. Cari solusi basis fisibel (BFS).

  3. Jika seluruh variabel nonbasis mempunyai koefisien nol atau negatif pada baris fungsi tujuan, maka solusi basis fisibel sudah optimal. Jika pada baris fungsi tujuan masih ada variabel dengan koefisien positif, pilih salah satu variabel yang mempunyai paling positif pada baris tersebut. Variabel ini akan memasuki status variabel basis, karena itu variabel ini disebut sebagai variabel yang masuk basis (entering variable, disingkat EV)

  4. Hitung rasio dari ruas kanan dan koefisien EV pada setiap baris EV. Variabel basis pada baris pembatas dengan rasio terkecil akan berubah status menjadi variabel nonbasis. Variabel ini kemudian disebut sebagai variabel yang meninggalkan basis (leaving variable/ disingkat LV). Lakukan operasi baris elementer untuk membuat koefisien EV pada baris dengan rasio terkecil ini

• 10x
• 7x
• 6x
• 11x
• 9x

• 53x
• 28x
• 24x
• 29x
• 20x
• – x
• 42x
• 18x
• 31x
• 56x
• 49x
• x
• – x
• – x

  ; j = 1, 2, 3, ..., 6 Penyelesaian Bentuk standart Minimum : Z = 8x

  1 + 10x 2 + 7x 3 + 6x 4 + 11x 5 + 9x 6 + Mx 10 + Mx 11 + Mx

  12 Kendala : 12x 1 + 9x 2 + 25x 3 + 20x 4 + 17x 5 + 13x

  6

  7 + x 10 = 60

  35x

  1

  2

  3

  

4

  5

  6

  8

  11

  = 150 37x

  1 + 53x 2 + 28x 3 + 24x 4 + 29x 5 + 20x

  6

  9 + x 12 = 125

  X j ≥ 0

  j ≥ 0

  X

  ≥ 125

  6

  menjadi berharga 1 dan berharga nol pada baris-baris lainnya. Kemudian kembali ke langkah 3.

  Contoh: Minimum : Z = 8x

  1

  2

  3

  

4

  5

  6 Kendala : 12x 1 + 9x 2 + 25x 3 + 20x 4 + 17x 5 + 13x

  ≥ 60 35x

  6

  1 + 42x 2 + 18x 3 + 31x 4 + 56x 5 + 49x

  6

  ≥ 150 37x

  1

  2

  3

  4

  5

  ; j = 1, 2, 3, ..., 12

9 M M M B x

  X ₁₂ M

Tabel 2.6 Iterasi 0

  37

  53

  28

  24

  29 20 -1 1 125 2,3585 z _j - c _j

  71M-7

  84M-8 104M-10

  75M-6 102M-11

  82M-9 -M -M -M 335M Basis C

  8

  10

  7

  6

  56 49 -1 1 150 3,5714

  18

  31

  ₁ x ₂ x ₃ x ₄ x ₅ x ₆ x ₇ x ₈ x ₉ x ₁₀ x ₁₁ x ₁₂ x ₁₀ M

Tabel 2.7 Iterasi 1 Basis C

  8

  10

  7

  6

  11

  12

  42

  9

  25

  20

  17 13 -1

  1 60 6,6667 x ₁₁ M

  35

  11

9 M M M B x

  

42,7577M

  Universitas Sumatera Utara

  ₁ x ₂ x ₃ x ₄ x ₅

x

₆

x ₇ x ₈ x ₉ x ₁₀ x ₁₁ x ₁₂ x ₁₀ M 5,7171 20,2453 15,9248 12,0761 9,6043 -1 0,1701 1 -0,1701 38,7735 3,2108 x ₁₁ M 5,6798 -4,1886 11,9824 35,0218 33,1534 -1 0,7938 1 -0,7938 50,9430 1,5427 x ₂ 10 0,6981 1 0,5283 0,4528 0,5471 0,3773 -0,0189 0,0189 2,3585 4,3109 z _j - c _j 11,3969M

• -1,0190 16,0567M -1,7170 27,9072M -1,4720 45,0979M -5,5290

• -5,2270

• -M -M 0,9639M -0,1890 -1,9639M +0,01890 89,7165M +23,5850

Tabel 2.8 Iterasi 2

9 M M B x

  10

  X ₂ 10 0,5041 1 -0,0625 -0,1029 0,0274 0,0066 -0,0287 -0,0274 0,9616 -15,3856 z _j - c _j 0,3348 1,8161 0,0434 -0,1111 -0,1266 -0,0692 0,1111-M 34,3477 Universitas Sumatera Utara

  X ₅ 11 0,1931 0,4301 1 0,9893 -0,0058 -0,0282 0,0233 0,0058 1,6597 3,8589

  ₁ x ₂ x ₃ x ₄ x ₅ x ₆ x ₇ x ₈ x ₉ x ₁₀ X ₃ 7 0,1671 1 0,53 -0,1157 -0,0459 0,0168 -0,0055 0,0459 0,925 1,7453

  11

  6

  7

  8

Tabel 2.9 Iterasi 3 Basis C

  X ₂ 10 0,604 1 0,5977 0,2543 -0,172 0,0166 -0,032 -0,0166 1,5145 2,5339 z _j - c _j 3,6401M- 0,068 21,7765M- 2,4178 11,5424M+0, 5349 -2,5201M +2,044 -M 0,3659M- 0,1673 -0,1197M -0,056 -0,3659M +0,1673 20,1437M +16,9697 Basis C

  X ₅ 11 0,1720 -0,1268 0,3629 1 1,004 -0,0303 0,024 0,0303 1,5427 -12,1664

  ₁ x ₂ x ₃ x ₄ x ₅ x ₆ x ₇ x ₈ x ₉ x ₁₀ x ₁₁ x ₁₀ M 3,6401 21,7765 11,5424 -2,5201 -1 0,3659 -0,1197 1 -0,3659 20,1437 0,925

  11

  6

  7

  10

  8

9 M B x

Tabel 2.10 Iterasi 4

  11

  8

  10

  7

  6

9 B x

  ₁ x ₂ x ₃ x ₄ x ₅ x ₆ x ₇ x ₈ x ₉ X ₄ 6 0,3153 1,8868 1 -0,2183 -0,0866 0,0317 -0,0104 1,7453 -7,995

  X ₅ 11 0,0575 -0,8115 1 1,0832 -0,0314 -0,0418 0,0278 0,909 0,8392

Tabel 2.11 Iterasi 5 Basis C

  8

  10

  7

  6

  11

  9 B x ₁ x ₂ x ₃ x ₄ x ₅

x

₆ x ₇ x ₈ x ₉ X ₄ 6 0,3269 1,7232 1 0,2015 -0,0803 0,0233 -0,0048 1,9285 -24,0162

  X ₆ 9 0,0531 -0,7492 0,9232 1 -0,029 -0,0386 0,0257 0,8392 28,9379

  X ₂ 10 0,53 1 0,0306 0,1076 0,0254 0,0041 -0,0264 1,1685 46,0039 z _j - c _j -0,2607 -3,0976 -0,4062 0,0332 -0,1666 -0,0615 30,8088 Universitas Sumatera Utara

  X ₂ 10 0,5238 1 0,1179 -0,1165 0,022 0,0086 -0,0294 1,0707 -9,1906 z _j - c _j -0,2377 -3,4267 0,4404 0,0458 -0,1836 -0,0506 31,1778 Basis C

Tabel 2.12 Iterasi 6

• -0,0906 29,8482

  Karena z j

• – c

  j ≤ 0, maka solusi optimal telah diperoleh.

  Dengan nilai minimum Z = 29,8482 ; x

  2 = 0,4335 ; x 4 = 4,2522 ; x 7 = 28,9379 ; x 1 = x 3 = x 5 = x 6 = x 8 = x 9 = 0 Basis C

  8

  10

  7

  6

  11

  9 B x ₁ x ₂ x ₃ x ₄ x ₅ x ₆ x ₇ x ₈ x ₉ X ₄ 6 0,3416 -0,3513 1 2,7578 2,7690 -0,0836 0,0664 4,2522

  X ₇ 0,1831 -25,8345 31,8345 34,4828 1 -1,3310 0,8862 28,9379

  X ₂ 10 0,5253 1 -0,6256 -0,701 -0,8759 0,0379 -0,0489 0,4335 z _j - c _j -0,6974 -15,3638 -1,4632 -1,145 -0,1226

  Universitas Sumatera Utara

2.6 Teori Dualitas

  Pembatas:

  = 1, 2, … , ≥ 0 ; = 1, 2, … ,

  ≥ ;

  =1

  Pembatas:

  =1

  =

  = 1, 2, … , ≥ 0 ; = 1, 2, … ,

  ≤ ;

  =1

  Ide dasar yang melatar belakangi teori dualitas adalah bahwa setiap persoalan program linier mempunyai suatu program linier lain yang saling berkaitan yang disebut dual, sedemikian sehingga solusi pada persoalan semula (yang disebut primal) juga memberi solusi pada dualnya.

  Adapun hubungan antara primal dan dual adalah sebagai berikut:

  Primal Dual =

Tabel 2.13 Primal dan Dual

  Untuk lebih jelas lagi dapat dilihat pada tabel berikut ini:

  7. Dual dari dual adalah primal.

  6. Setiap baris (pembatas) pada primal berkorespondensi dengan kolom pada dual.

  5. Setiap kolom pada primal berkorespondensi dengan baris (pembatas) pada dual.

  4. Fungsi tujuan berubah bentuk (maksimasi menjadi minimasi dan sebaliknya).

  3. Tanda ketidaksamaan pada pembatas akan bergantung pada fungsi tujuannya.

  2. Untuk setiap pembatas primal ada satu variabel dual dan untuk setiap variabel primal ada satu pembatas dual.

  1. Koefisien fungsi tujuan primal menjadi konstanta ruas kanan bagi dual, sedangkan konstanta ruas kanan primal menjadi koefisien fungsi tujuan dual.

  =1