penerapan differensial pada matematika e
1
BAB I
PENDAHULUAN
1.
LATAR BELAKANG
Matematika sebagai alat untuk analisis dalam berabagai bidang cabang
disiplin ilmu, mempunyai peranan sangat menonjol sesuai dengan perkembangan
ilmu pengetahuan, baik mempelajari teori ekonomi ilmu-ilmu sosial, matematika
semakin banyak digunakan sebagai alat untuk mempermudah pemecahan masalah
serta sebagai alat untuk mengambil keputusan ataupun perencanaan. Penggunaan
matematika dalam berbagai disiplin ilmu dinamakan sebagai matematika terapan,
salah satunya adalah persamaan diferensial, maka model penggunaan diferensial ini
dinamakan sebagai diferensial terapan atau aplikasi diferensial. Perhitungan
diferensial merupakan suatu perhitungan yang menyangkut masalah perubahan
fungsi, maka sebagai kaitan permasalahan yang muncul di dalam teori ekonomi di
antaranya penghitungan Laba (keuntungan), Investasi serta Pajak.
Diferensial membahas tentang tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan dengan
perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan. Diferensial dapat
pula di sidik kedudukan-kedudukan khusus dari fungsi yang sedang dipelajari seperti
titik maksimum, titik belok dan titik minimumnya jika ada. Berdasarkan manfaatmanfaat inilah konsep diferensial menjadi salah satu alat analisis yang sangat penting
dalam bisnis dan ekonomi.
2
2.
RUMUSAN MASALAH
Rumusan masalah pada penulisan makalah ini adalah penerapan persamaan
diferensial pada matematika ekonomi dan bisnis.
3.
BATASAN MASALAH
Batasan masalah pada penulisan makalah ini adalah penerapan persamaan
diferensial pada matematika ekonomi yang membahas tentang pajak, laba dan
investasi.
3
BAB II
PEMBAHASAN
1.
PENGERTIAN DIFERENSIAL
Derivative atau turunan
pecahan dengan
dy
dy
dx
tidak dianggap sebagai suatu hasil bagi atau
sebagai pembilang dan dx sebagai penyebut, melainkan
sebagai lambang yang menyertakan limit dari
Δy
, sewaktu
Δx
∆x
mendekati
nilai nol sebagai limit. Akan tetapi untuk dapat memahami masalah-masalah kita
dx
dapat menafsirkan
menyatakan diferensial
dan
x
dy
dan
dx
secara terpisah, dalam hubungan ini
dy
diferensial
y . Pengertian diferensial
berguna sekali, misalnya dalam aplikasinya pada kalkulus integral dan pada
pendekatan perubahan dalam variabel yang berkaitan dengan perubahan – perubahan
kecil dalam variabel bebas.
Jika
tertentu dan
'
merupakan derivative dari fungsi
f (x)
∆x
merupakan kenaikan dalam
terdefinisikan oleh persamaan:
'
df ( x )=f ( x )=
dy
∆x
dx
f ( x)
untuk nilai
x , maka diferensial dari
x
f ( x) ,
4
Jika
f ( x )=x , maka
f ' ( x )=1 , dan
variabel bebas, maka diferensial dx
Jika
2.
dari
'
dx=∆ x . Jadi jika
x
y=f ( x) , maka dy=f ( x ) dx=
x
merupakan
sama dengan ∆ x .
dy
dx
dx
PENERAPAN DIFERENSIAL PADA MATEMATIKA EKONOMI DAN
BISNIS
2.1
Laba
Pada umumnya, ukuran yang sering kali digunakan untuk menilai berhasil
atau tidaknya manajemen suatu perusahan adalah dengan melihat laba yang diperoleh
perusahaan. Laba bersih merupakan selisih positif atas penjualan dikurangi biaya
biaya dan pajak
Laba adalah selisih antara penerimaan total dengan biaya total, atau secara
matematika dapat dinyatakan dengan rumus:
π =TR−TC
Di mana: π
= Laba
TR = Penerimaan total
TC = Biaya total
5
Penerimaan total (TR) maupun biaya total (TC) adalah fungsi dari Q. oleh
karena itu, untuk memperoleh tingkat banyak barang yang dapat memaksimumkan
laba kita harus memenuhi syarat pertama yang diperlukan (necessary condition)
untuk suatu maksimum yaitu: mendiferensialkan fungsi laba terhadap Q, kemudian
disamakan dengan nol, hasilnya adalah:
dπ
=0
dQ
d ( TR−TC )
=0
dQ
dTR dTC
−
=0
dQ
dQ
karena
dTR
dTC
=MR dan
=MC , maka persamaan di atas dapat ditulis
dQ
dQ
kembali menjadi:
MR=MC
Jadi, syarat pertama untuk suatu banyak barang yang optimum secara
ekonomi adalah penerimaan marginal sama dengan biaya marginal. Tetapi syarat
yang pertama belum menjamin adanya suatu maksimum atau minimum. Oleh karena
itu, kita harus memeriksa syarat kedua yang mencukupkan (sufficient condition),
yaitu: derivative kedua dari fungsi laba terhadap Q harus lebih kecil dari nol, hasilnya
adalah:
6
d2 π
0 (Laba minimum)
d2 π
d Q2
= −6 (35 )+ 114=−66 , −66
BAB I
PENDAHULUAN
1.
LATAR BELAKANG
Matematika sebagai alat untuk analisis dalam berabagai bidang cabang
disiplin ilmu, mempunyai peranan sangat menonjol sesuai dengan perkembangan
ilmu pengetahuan, baik mempelajari teori ekonomi ilmu-ilmu sosial, matematika
semakin banyak digunakan sebagai alat untuk mempermudah pemecahan masalah
serta sebagai alat untuk mengambil keputusan ataupun perencanaan. Penggunaan
matematika dalam berbagai disiplin ilmu dinamakan sebagai matematika terapan,
salah satunya adalah persamaan diferensial, maka model penggunaan diferensial ini
dinamakan sebagai diferensial terapan atau aplikasi diferensial. Perhitungan
diferensial merupakan suatu perhitungan yang menyangkut masalah perubahan
fungsi, maka sebagai kaitan permasalahan yang muncul di dalam teori ekonomi di
antaranya penghitungan Laba (keuntungan), Investasi serta Pajak.
Diferensial membahas tentang tingkat perubahan suatu fungsi sehubungan dengan
perubahan kecil dalam variabel bebas fungsi yang bersangkutan. Diferensial dapat
pula di sidik kedudukan-kedudukan khusus dari fungsi yang sedang dipelajari seperti
titik maksimum, titik belok dan titik minimumnya jika ada. Berdasarkan manfaatmanfaat inilah konsep diferensial menjadi salah satu alat analisis yang sangat penting
dalam bisnis dan ekonomi.
2
2.
RUMUSAN MASALAH
Rumusan masalah pada penulisan makalah ini adalah penerapan persamaan
diferensial pada matematika ekonomi dan bisnis.
3.
BATASAN MASALAH
Batasan masalah pada penulisan makalah ini adalah penerapan persamaan
diferensial pada matematika ekonomi yang membahas tentang pajak, laba dan
investasi.
3
BAB II
PEMBAHASAN
1.
PENGERTIAN DIFERENSIAL
Derivative atau turunan
pecahan dengan
dy
dy
dx
tidak dianggap sebagai suatu hasil bagi atau
sebagai pembilang dan dx sebagai penyebut, melainkan
sebagai lambang yang menyertakan limit dari
Δy
, sewaktu
Δx
∆x
mendekati
nilai nol sebagai limit. Akan tetapi untuk dapat memahami masalah-masalah kita
dx
dapat menafsirkan
menyatakan diferensial
dan
x
dy
dan
dx
secara terpisah, dalam hubungan ini
dy
diferensial
y . Pengertian diferensial
berguna sekali, misalnya dalam aplikasinya pada kalkulus integral dan pada
pendekatan perubahan dalam variabel yang berkaitan dengan perubahan – perubahan
kecil dalam variabel bebas.
Jika
tertentu dan
'
merupakan derivative dari fungsi
f (x)
∆x
merupakan kenaikan dalam
terdefinisikan oleh persamaan:
'
df ( x )=f ( x )=
dy
∆x
dx
f ( x)
untuk nilai
x , maka diferensial dari
x
f ( x) ,
4
Jika
f ( x )=x , maka
f ' ( x )=1 , dan
variabel bebas, maka diferensial dx
Jika
2.
dari
'
dx=∆ x . Jadi jika
x
y=f ( x) , maka dy=f ( x ) dx=
x
merupakan
sama dengan ∆ x .
dy
dx
dx
PENERAPAN DIFERENSIAL PADA MATEMATIKA EKONOMI DAN
BISNIS
2.1
Laba
Pada umumnya, ukuran yang sering kali digunakan untuk menilai berhasil
atau tidaknya manajemen suatu perusahan adalah dengan melihat laba yang diperoleh
perusahaan. Laba bersih merupakan selisih positif atas penjualan dikurangi biaya
biaya dan pajak
Laba adalah selisih antara penerimaan total dengan biaya total, atau secara
matematika dapat dinyatakan dengan rumus:
π =TR−TC
Di mana: π
= Laba
TR = Penerimaan total
TC = Biaya total
5
Penerimaan total (TR) maupun biaya total (TC) adalah fungsi dari Q. oleh
karena itu, untuk memperoleh tingkat banyak barang yang dapat memaksimumkan
laba kita harus memenuhi syarat pertama yang diperlukan (necessary condition)
untuk suatu maksimum yaitu: mendiferensialkan fungsi laba terhadap Q, kemudian
disamakan dengan nol, hasilnya adalah:
dπ
=0
dQ
d ( TR−TC )
=0
dQ
dTR dTC
−
=0
dQ
dQ
karena
dTR
dTC
=MR dan
=MC , maka persamaan di atas dapat ditulis
dQ
dQ
kembali menjadi:
MR=MC
Jadi, syarat pertama untuk suatu banyak barang yang optimum secara
ekonomi adalah penerimaan marginal sama dengan biaya marginal. Tetapi syarat
yang pertama belum menjamin adanya suatu maksimum atau minimum. Oleh karena
itu, kita harus memeriksa syarat kedua yang mencukupkan (sufficient condition),
yaitu: derivative kedua dari fungsi laba terhadap Q harus lebih kecil dari nol, hasilnya
adalah:
6
d2 π
0 (Laba minimum)
d2 π
d Q2
= −6 (35 )+ 114=−66 , −66