handout aljabar linear iiruang hasil kali dalam
Diktat Aljabar Linear II
BAB II
RUANG HASIL KALI DALAM
Dalam ruang vektor R n , dipelajari tentang hasil kali titik ( Hasil Kali dalam Euclid) dari
dua vektor u (u1 , u2 ,..., un ) dan v
(v1 , v2 ,..., vn ) yang didefinisikan sebagai:
u.v u1v1
u2 v2
.... un vn
Dari definisi tersebut, mudah dibuktikan bahwa hasil kali titik memenuhi sifat sebagai berikut:
i. u.v v.u
ii. u.. v w
( komutatif )
u.v
( Distributif )
u.w
iii. s.u .v s. u.v , untuk setiap s R
iv. u.u 0, u.u 0
u
( Homogen )
0
Jika diperhatikan, hasil kali dalam merupakan aturan pengawanan dari setiap pasang vektor di
R n ke bilangan real. Selanjutnya, perhatikan contoh berikut:
Contoh 2.1
Diberikan ruang vektor R 3 dan
u, v
3u1v1
2u2v2
suatu pemetaan
u3v3 , dengan u
(u1 , u2 , u3 )
, : R3 R3
R yang didefinisikan
dan v (v1 , v2 , v3 ) maka pemetaan ini
memenuhi sifat (i) – (iv).
Bukti:
(i)
Ambil sebarang vektor di R 3 , misalkan u (u1 , u2 , u3 ) dan v (v1 , v2 , v3 ) , maka dipenuhi:
u, v
3u1v1
2u2v2
u3v3
3v1u1
2v2u2
v3u3
Bab II. Ruang Hasil Kali Dalam_Karyati
E_mail: karyati@uny.ac.id
( Sifat komutatif perkalian bilangan real )
40
Diktat Aljabar Linear II
( definisi pemetaan )
v, u
(ii)
Ambil sebarang vektor di R 3 , misalkan u (u1 , u2 , u3 ) , v (v1 , v2 , v3 ) , w ( w1 , w2 , w3 ) ,
maka dipenuhi:
u, v
w
(u1 , u2 , u3 ), (v1
3u1 (v1
(iii)
w1 , v2
w2 , v3
w3
w1 )
2u2 (v2
w2 ) u3 (v3
w3 )
3u1v1
3u1w1
2u2v2
2u2 w2
u3v3
3u1v1
2u2v2
u3v3
3u3 w3
2u3 w3
u, v
u, w
u3 w3
u3 w3
Ambil sebarang vektor di R 3 , misalkan u (u1 , u2 , u3 ) dan v (v1 , v2 , v3 ) dan s R , maka
dipenuhi:
su , v
( su1 , su2 , su3 ), (v1 , v2 , v3 )
s (3v1u1
2v2u2
3su1v1
2 su2v2
su3v3
v3u3 )
s v, u
(iv)
Ambil sebarang vektor di R 3 , misalkan u (u1 , u2 , u3 ) , maka:
3u12
u, u
2u22
u32
Jelas bahwa ui2 0 untuk setiap i 1,2,3 dengan demikian u, u
ui2
0
ui
0 , akibatnya
u, u
0
ui2
3u12
2u22
u32
0
0 untuk setiap i 1,2,3 yang dipenuhi jika
dan hanya jika ui 0 untuk setiap i 1,2,3 atau u (0,0,0) 0 .
Dari Contoh 2.1 di atas disimpulkan bahwa, ada suatu pemetaan yang didefinisikan
berbeda dengan hasil kali titik, tetapi masih memenuhi semua sifat hasil kali titik. Berangkat dari
kondisi demikian, maka diangkat suatu definisi hasil kali dalam yang merupakan generalisasi
dari hasil kali titik untuk sebarang ruang vektor. Selengkapnya diberikan sebagai berikut:
Bab II. Ruang Hasil Kali Dalam_Karyati
E_mail: karyati@uny.ac.id
41
Diktat Aljabar Linear II
Definisi 2.1. Suatu pemetaan yang membawa setiap pasang vektor pada sebarang ruang vektor
V atas bilangan real ke bilangan real disebut hasil kali dalam, yang dinotasikan dengan
,
jika memenuhi axioma-axioma sebagai berikut:
(i)
Untuk setiap u, v V berlaku u, v
(ii)
Untuk setiap u, v, w V berlaku u, v w
(iii)
Untuk setiap
(iv)
Untuk setiap u V berlaku u, u
v, u
R, u , v V berlaku
u, v
u, w
u, v
u, v
0 dan u, u
0
u 0
Selanjutnya, ruang vektor yang didalamnya didefinisikan suatu hasil kali dalam disebut
ruang hasil kali dalam.
Bab II. Ruang Hasil Kali Dalam_Karyati
E_mail: karyati@uny.ac.id
42
BAB II
RUANG HASIL KALI DALAM
Dalam ruang vektor R n , dipelajari tentang hasil kali titik ( Hasil Kali dalam Euclid) dari
dua vektor u (u1 , u2 ,..., un ) dan v
(v1 , v2 ,..., vn ) yang didefinisikan sebagai:
u.v u1v1
u2 v2
.... un vn
Dari definisi tersebut, mudah dibuktikan bahwa hasil kali titik memenuhi sifat sebagai berikut:
i. u.v v.u
ii. u.. v w
( komutatif )
u.v
( Distributif )
u.w
iii. s.u .v s. u.v , untuk setiap s R
iv. u.u 0, u.u 0
u
( Homogen )
0
Jika diperhatikan, hasil kali dalam merupakan aturan pengawanan dari setiap pasang vektor di
R n ke bilangan real. Selanjutnya, perhatikan contoh berikut:
Contoh 2.1
Diberikan ruang vektor R 3 dan
u, v
3u1v1
2u2v2
suatu pemetaan
u3v3 , dengan u
(u1 , u2 , u3 )
, : R3 R3
R yang didefinisikan
dan v (v1 , v2 , v3 ) maka pemetaan ini
memenuhi sifat (i) – (iv).
Bukti:
(i)
Ambil sebarang vektor di R 3 , misalkan u (u1 , u2 , u3 ) dan v (v1 , v2 , v3 ) , maka dipenuhi:
u, v
3u1v1
2u2v2
u3v3
3v1u1
2v2u2
v3u3
Bab II. Ruang Hasil Kali Dalam_Karyati
E_mail: karyati@uny.ac.id
( Sifat komutatif perkalian bilangan real )
40
Diktat Aljabar Linear II
( definisi pemetaan )
v, u
(ii)
Ambil sebarang vektor di R 3 , misalkan u (u1 , u2 , u3 ) , v (v1 , v2 , v3 ) , w ( w1 , w2 , w3 ) ,
maka dipenuhi:
u, v
w
(u1 , u2 , u3 ), (v1
3u1 (v1
(iii)
w1 , v2
w2 , v3
w3
w1 )
2u2 (v2
w2 ) u3 (v3
w3 )
3u1v1
3u1w1
2u2v2
2u2 w2
u3v3
3u1v1
2u2v2
u3v3
3u3 w3
2u3 w3
u, v
u, w
u3 w3
u3 w3
Ambil sebarang vektor di R 3 , misalkan u (u1 , u2 , u3 ) dan v (v1 , v2 , v3 ) dan s R , maka
dipenuhi:
su , v
( su1 , su2 , su3 ), (v1 , v2 , v3 )
s (3v1u1
2v2u2
3su1v1
2 su2v2
su3v3
v3u3 )
s v, u
(iv)
Ambil sebarang vektor di R 3 , misalkan u (u1 , u2 , u3 ) , maka:
3u12
u, u
2u22
u32
Jelas bahwa ui2 0 untuk setiap i 1,2,3 dengan demikian u, u
ui2
0
ui
0 , akibatnya
u, u
0
ui2
3u12
2u22
u32
0
0 untuk setiap i 1,2,3 yang dipenuhi jika
dan hanya jika ui 0 untuk setiap i 1,2,3 atau u (0,0,0) 0 .
Dari Contoh 2.1 di atas disimpulkan bahwa, ada suatu pemetaan yang didefinisikan
berbeda dengan hasil kali titik, tetapi masih memenuhi semua sifat hasil kali titik. Berangkat dari
kondisi demikian, maka diangkat suatu definisi hasil kali dalam yang merupakan generalisasi
dari hasil kali titik untuk sebarang ruang vektor. Selengkapnya diberikan sebagai berikut:
Bab II. Ruang Hasil Kali Dalam_Karyati
E_mail: karyati@uny.ac.id
41
Diktat Aljabar Linear II
Definisi 2.1. Suatu pemetaan yang membawa setiap pasang vektor pada sebarang ruang vektor
V atas bilangan real ke bilangan real disebut hasil kali dalam, yang dinotasikan dengan
,
jika memenuhi axioma-axioma sebagai berikut:
(i)
Untuk setiap u, v V berlaku u, v
(ii)
Untuk setiap u, v, w V berlaku u, v w
(iii)
Untuk setiap
(iv)
Untuk setiap u V berlaku u, u
v, u
R, u , v V berlaku
u, v
u, w
u, v
u, v
0 dan u, u
0
u 0
Selanjutnya, ruang vektor yang didalamnya didefinisikan suatu hasil kali dalam disebut
ruang hasil kali dalam.
Bab II. Ruang Hasil Kali Dalam_Karyati
E_mail: karyati@uny.ac.id
42