Sesi 8 9 UKURAN DISPARITAS DATA STANDAR DEVIASI VARIAN

(1)

Ukuran

Ukuran Disparitas Data

Disparitas Data

Sesi

Sesi 88--99

Himawan Arif S., SE., Msi STIE Bank BPD Jateng Jl. Pemuda 4 A Semarang

STATISTIKA DESKRIPTIF

Ukuran Disparitas

• Suatu ukuran baik parameter atau statistik untuk mengetahui seberapa besar

penyimpangan data dengan nilai rata-rata hitungnya.

• Ukuran Disparitas membantu mengetahui sejauh mana suatu nilai menyebar dari nilai tengahnya, semakin kecil semakin besar.

RANGE

Definisi:

Nilai terbesar dikurang nilai terkecil. Merupakan ukuran penyebaran yang sangat kasar, sebab hanya bersangkutan dengan bilangan terbesar dan terkecil. Contoh:

Usia dari lima sampel mahasiswa di perguruan tinggi :

21, 25, 19, 20, 22

R = 25-19 =6

Interval

Kelas Frekuensi 9-21

22-34 35-47 48-60

2 4 8 6 Σf = 20 Nilai Range

R = 60-9 =51 ₄

DEVIASI RATA-RATA

Definisi:

Rata-rata hitung dari nilai mutlak deviasi antara nilai data pengamatan dengan rata-rata hitungnya.

Rumus:

a. Data tidak berkelompok MD = (|X – X|)/n

Keterangan :

MD = Deviasi rata-rata x = Nilai data µ = rata-rata populasi X = rata-rata sampel N = banyaknya data populasi n = banyaknya data sampel |….| = nilai absolut

(2)

Contoh:

Penjualan kedaraan roda dua selama lima bulan pertama Tahun 2000 yaitu :

2 4 6 8 10 Rata-rata = 30 / 5 = 10

Berdasarkan nilai rata-rata tersebut, maka deviasi rata-rata dapat dihitung sebagai berikut :

2,4

5

12 MD

5

4

2

0

2

4 MD







Ddata

Ddata yang

yang dikelompokkan

dikelompokkan

Untuk

Untuk data yang data yang dikelompokkandikelompokkan, , deviasideviasi ratarata--rata rata diperoleh

diperoleh dengandengan rumusrumus sebagaisebagai berikutberikut::

Rumus Rumus ::

Keterangan

Keterangan :: ffii = = frekuensifrekuensi kelaskelas keke ii ((ii = 1….k)= 1….k) xxii = = NilaiNilai tengahtengah kelaskelas keke ii X

X = rata= rata--rata rata N

N = = banyaknyabanyaknya datadata |….|

|….| = = nilainilai absolutabsolut



   f X X Σ MAD N 1 i f 7

DEVIASI RATA-RATA

Interval

Kelas Frekuensi Midpoint (xi) 9-21 22-34 35-47 48-60 61-73 2 6 10 8 4

Σf = 30 Σfxi

VARIANS

Rata-rata kuadrat selisih dari semua nilai data terhadap nilai rata-rata hitung.





 

n -1 n X -X n S atau 1 -n X -X

S 2 2 2

2_ _  

Data tidak berkelompok :

Data berkelompok :









 

f n 1 -n n fX -fX n S atau 1 -f X -X f

S 2 2 2

2 2        

(3)

STANDAR DEVIASI

Akar pangkat dua dari Variansi. Disebut juga Simpangan Baku.





 

n -1 n X -X n S atau 1 -n X -X

S 2 2

2     

Data tidak berkelompok :

Data berkelompok :









 

f n 1 -n n 2 fX -fX2 n S atau 1 - f X -X f S 2        

Varians & Deviasi Standar Varians: penyebaran berdasarkan

jumlah kuadrat simpangan bilangan-bilangan terhadap rata-ratanya ; melihat ketidaksamaan sekelompok data

s2₌n_Σ

i=1 (Xi – X)2

n-1

Deviasi Standar: penyebaran berdasarkan akar dari varians ; menunjukkan keragaman kelompok data

s =

√

n_Σ i=1

(Xi – X)2

n-1

Nilai X X -X (X–X)2

100 45 2025 90 35 1225 80 25 625 70 15 225 60 5 25 50 -5 25 40 -15 225 30 -25 625 20 -35 1225 10 -45 2025 Jumlah 8250

Nilai X X -X (X –X)2

100 45 2025 100 45 2025 100 45 2025 90 35 1225 80 25 625 30 -25 625 20 -35 1225 10 -45 2025 10 -45 2025 10 -45 2025 Jumlah 15850

Kelompok A Kelompok B

s =

√

8250_{9 = 30.28} s =

√

15850_{9 = 41.97}

Kesimpulan :

Kelompok A : rata-rata = 55 ; DR = 25 ; s = 30.28 Kelompok B : rata-rata = 55 ; DR = 39 ; s = 41.97 Maka data kelompok B lebih tersebar daripada kelompok A

CONTOH Data

CONTOH Data KelompokKelompok

Interval

Kelas Frekuensi (xi) (xi-x) (Xi-X)2

9-21 22-34 35-47 48-60 61-73 2 6 10 8 4

Σf = 30 Σfxi

THEOREMA CHEBYSHEV

• Untuk suatu kelompok data dari sampel

atau populasi, minimum proporsi nilai-nilai

yang terletak dalam k standar deviasi dari

rata-rata hitungnya adalah

sekurang-kurangnya 1-1/k

• k merupakan konstanta yang nilainya

lebih dari 1.

(4)

HUKUM EMPIRIK

Untuk distribusi simetris, dengan distribusi frekuensi berbentuk lonceng diperkirakan:

• 68% data berada pada kisaran rata-rata hitung + satu kali standar deviasi, (X1s)

• 95% data berada pada kisaran rata-rata hitung + dua kali standar deviasi, (X2s)

• semua data atau 99,7% akan berada pada kisaran rata-rata hitung + tiga kali standar deviasi, (X3s)

DIAGRAM POLIGON HUKUM EMPIRIK

-3s -2s 1s X 1s 2s 3s

68%

99,7% 95%

Ukuran

Ukuran Penyebaran

Penyebaran Relatif

Relatif



Mengubah ukuran penyebaran menjadi

persentase atau ukuran relatif



Penggunaan ukuran relatif memberikan

manfaat :

◦Data mempunyai satuan penguikuran yang berbeda

◦Data mempunyai satuan ukuran yang sama

Ukuran Penyebaran Relatif



Koefisien range



Koefisien deviasi rata-rata

(5)

Koefisien Range



Pengukuran penyebaran dengan

menggunakan range secara relatif



Rumusan :

KR = ( (la – Lb) / (La + Lb) ) x 100 %

La : Batas atas data atau kelas tertinggi Lb : Batas bawah data atau kelas terendah

Contoh Koefisien Range

Kelas Interval Kelas f

1 16 24 10 2 25 33 18 3 34 42 14

4 43 51 4

5 52 60 2

6 61 69 2

La : Kelas tertinggi = 69 Lb : Kelas terendah = 16

KR :

= (La – Lb) / (La + Lb) = (69 – 16 ) / (69 + 16) = 53 / 85

= 0.6235 x 100 % = 62.35 %

Koefisien Deviasi Rata

Koefisien Deviasi Rata -- Rata

Rata



Koefisien deviasi rata – rata

◦Ukuran penyebaran dengan menggunakan deviasi rata relatif terhadap nilai rata-ratanya atau persentase dari deviasi rata-rata terhadap nilai rata-ratanya



Rumus :

KMD = [ MD / x ] x 100%

MD = Deviasi rata - rata X = Nilai rata – rata data

Contoh Kasus

 Data dikelompokan : ◦ MD = 8.8416

◦ X = 33.68

Koefisien deviasi rata – rata : KMD = [ 8.8416 / 33.68 ] x 100 %

= 0.2625 x 100 % = 26.25 % MD = (|X – X|)/n

(6)

Koefisien Standar Deviasi



Koefisien standar deviasi

◦Ukuran penyebaran yang menggunakan standar deviasi relatif terhadap nilai rata-rata yang dinyatakan sebagai persentase



Rumus

KSD = [ s / x ] x 100 %

S = Standar deviasi X = Nilai rata – rata data

Contoh Kasus



Data dikelompokan

◦ Standar deviasi = 11.2439

◦ Rata – Rata hitung (x) = 33.68

◦ Nilai koefisien stnadar deviasi KSD = [ s / x ] x 100 %

= [ 11.2439 / 33.68 ] x 100% = 0.3338 x 100 %

= 33.38 %

THEOREMA CHEBYSHEV

• Untuk suatu kelompok data dari sampel

atau populasi, minimum proporsi nilai-nilai

yang terletak dalam k standar deviasi dari

rata-rata hitungnya adalah

sekurang-kurangnya 1-1/k

• k merupakan konstanta yang nilainya lebih

dari 1.

HUKUM EMPIRIK

Untuk distribusi simetris, dengan distribusi frekuensi berbentuk lonceng diperkirakan:

• 68% data berada pada kisaran rata-rata hitung + satu kali standar deviasi, (X1s)

• 95% data berada pada kisaran rata-rata hitung + dua kali standar deviasi, (X2s)

• semua data atau 99,7% akan berada pada kisaran rata-rata hitung + tiga kali standar deviasi, (X3s)

(7)

DIAGRAM POLIGON HUKUM EMPIRIK

-3s -2s 1s X 1s 2s 3s

68%

99,7% 95%

Ukuran Kecondongan

Ukuran Kecondongan -- Skewness

Skewness



Ukuran kecondongan – kemencengan

◦ Kurva tidak simetris



Pada kurva distribusi frekuensi diketahui

dari posisi modus, rata-rata dan media



Pendekatan : Jika

◦ Rata-rata = median = modus : Simetris ◦ Rata-rata < median < modus : Menceng ke kiri ◦ Rata-rata > median > modus : Menceng ke kanan

Koefisien Skewness



Sk = [µ - Mo ] /



atau = 3.[µ - Md] /



µ = Nilai rata – rata hitung Mo = Nilai modus

Md = Nilai median  = Standar deviasi Contoh kasus data dikelompokan

µ = 33.68 Mo = 18 Md = 32

 = 11.2439

Sk = [33.68- 18 ] / 11.2439 Sk = 15.68 / 11.2439 Sk = 1.394

Sk = {3. [ 33.68 – 32]} 11.2439 Sk = 5.04 / 11.2439 Sk = 0.4482

Ukuran

Ukuran Keruncingan

Keruncingan (Kurtosis)

(Kurtosis)



Keruncingan disebut juga ketinggian kurva



Pada distribusi frekuensi di bagi dalam tiga

bagian :

◦ Leptokurtis = Sangat runcing

◦ Mesokurtis = Keruncingan sedang

(8)

Koefisien

Koefisien Keruncingan

Keruncingan (Kurtosis)

(Kurtosis)



Bentuk kurva keruncingan (kurtosis)

◦ Mesokurtik 4_{= 3}

◦ Leptokurtik 4_{> 3}

◦ Platikurtik 4_{< 3}



Koefisien kurtosis (data tidak dikelompokan)



₌

1/n

∑(xi - X)

S

4 _{= Koefisien Kurtosis}

X = Nilai rata – rata hitung Xi = Nilai pengamatan n = jumlah data s = Standar deviasi

Koefisien Kurtosis



Koefisien kurtosis (data dikelompokan)



₌

1/n

∑ f. (Xi - X)

s

4 _{= Koefisien Kurtosis} X = Nilai rata – rata hitung Xi = Nilai tengah kelas n = jumlah frekuensi s = Standar deviasi

TUGAS STATISTIKA DESKRIPTIF , 23

TUGAS STATISTIKA DESKRIPTIF , 23 JuniJuni 20152015

Kelas f

11-20 4

21-30 6

31-40 12

41-50 8

51-60 2

2. Berikut Data Hiptetis

65 80 75 73 68 70 60 55

1. Berikut data dari nilai statistika 8 mahasiswa

Dari data di atas hitunglah a. Skewness

b. Kurtosis

Dari data di samping hitunglah a. Skewness

b. Kurtosis

Jawab

Jawab No.1

No.1

No Xi xi-X (xi-X)2 (xi-X)4

1 65 -1.9 3.61 13.03

2 80 13.1 171.61 29449.99

3 75 8.1 65.61 4304.67

4 73 6.1 37.21 1384.58

5 68 1.1 1.21 1.46

6 76 9.1 82.81 6857.49

7 80 13.1 171.61 29449.99

8 54 -12.9 166.41 27692.29

9 50 -16.9 285.61 81573.07

10 48 -18.9 357.21 127599

Jumlah 669 1342.9 308325.6

X = 669/10

= 66.9 S=v 1342.9/9 =12.21 S4 = 226.5

Kurtosis = 1/10 (308325.6 / 2226.5) = 1.38

(9)

Kelas f xi fi.xi xi-x (xi-X)2 fi(xi-X)2 (xi-X)4 f(xi-X)4

11-20 4 15.5 62 -20.5 420.25 1681 176610.1 706440.3 21-30 10 25.5 255 -10.5 110.25 1102.5 12155.06 121550.6 31-40 12 35.5 426 -0.5 0.25 3 0.0625 0.75 41-50 8 45.5 364 9.5 90.25 722 8145.063 65160.5 51-60 6 55.5 333 19.5 380.25 2281.5 144590.1 867540.4 Jml 40 1440 5790 341500.3 1760693

Jawab

Jawab no. 2

no. 2

X = 1440/40 =36

S = V5790/(40-1) = 12.18 S4 = 22040.8

Kutosis =

1/40 (1760693/22040.8)

(1)

HUKUM EMPIRIK

Untuk distribusi simetris, dengan distribusi frekuensi berbentuk lonceng diperkirakan:

• 68% data berada pada kisaran rata-rata hitung + satu kali standar deviasi, (X1s)

• 95% data berada pada kisaran rata-rata hitung + dua kali standar deviasi, (X2s)

• semua data atau 99,7% akan berada pada kisaran rata-rata hitung + tiga kali standar deviasi, (X3s)

DIAGRAM POLIGON HUKUM EMPIRIK

-3s -2s 1s X 1s 2s 3s

68%

99,7% 95%

Ukuran

Ukuran Penyebaran

Penyebaran Relatif

Relatif



Mengubah ukuran penyebaran menjadi

persentase atau ukuran relatif



Penggunaan ukuran relatif memberikan

manfaat :

◦Data mempunyai satuan penguikuran yang berbeda

◦Data mempunyai satuan ukuran yang sama

Ukuran Penyebaran Relatif



Koefisien range



Koefisien deviasi rata-rata



Koefisien deviasi standar

(2)

Koefisien Range



Pengukuran penyebaran dengan

menggunakan range secara relatif



Rumusan :

KR = ( (la – Lb) / (La + Lb) ) x 100 %

La : Batas atas data atau kelas tertinggi Lb : Batas bawah data atau kelas terendah

Contoh Koefisien Range

Kelas Interval Kelas f

1 16 24 10 2 25 33 18 3 34 42 14 4 43 51 4 5 52 60 2 6 61 69 2

La : Kelas tertinggi = 69 Lb : Kelas terendah = 16

KR :

= (La – Lb) / (La + Lb) = (69 – 16 ) / (69 + 16) = 53 / 85

= 0.6235 x 100 % = 62.35 %

Koefisien Deviasi Rata

Koefisien Deviasi Rata -- Rata

Rata



Koefisien deviasi rata – rata

◦Ukuran penyebaran dengan menggunakan deviasi rata relatif terhadap nilai rata-ratanya atau persentase dari deviasi rata-rata terhadap nilai rata-ratanya



Rumus :

KMD = [ MD / x ] x 100%

MD = Deviasi rata - rata X = Nilai rata – rata data

Contoh Kasus

 Data dikelompokan :

◦ MD = 8.8416

◦ X = 33.68

Koefisien deviasi rata – rata : KMD = [ 8.8416 / 33.68 ] x 100 %

= 0.2625 x 100 % = 26.25 %

(3)

Koefisien Standar Deviasi



Koefisien standar deviasi

◦Ukuran penyebaran yang menggunakan standar deviasi relatif terhadap nilai rata-rata yang dinyatakan sebagai persentase



Rumus

KSD = [ s / x ] x 100 %

S = Standar deviasi X = Nilai rata – rata data

Contoh Kasus



Data dikelompokan

◦ Standar deviasi = 11.2439

◦ Rata – Rata hitung (x) = 33.68

◦ Nilai koefisien stnadar deviasi KSD = [ s / x ] x 100 %

= [ 11.2439 / 33.68 ] x 100% = 0.3338 x 100 %

= 33.38 %

THEOREMA CHEBYSHEV

• Untuk suatu kelompok data dari sampel

atau populasi, minimum proporsi nilai-nilai

yang terletak dalam k standar deviasi dari

rata-rata hitungnya adalah

sekurang-kurangnya 1-1/k

• k merupakan konstanta yang nilainya lebih

dari 1.

HUKUM EMPIRIK

Untuk distribusi simetris, dengan distribusi frekuensi berbentuk lonceng diperkirakan:

• 68% data berada pada kisaran rata-rata hitung + satu kali standar deviasi, (X1s)

• 95% data berada pada kisaran rata-rata hitung + dua kali standar deviasi, (X2s)

• semua data atau 99,7% akan berada pada kisaran rata-rata hitung + tiga kali standar deviasi, (X3s)

(4)

DIAGRAM POLIGON HUKUM EMPIRIK

-3s -2s 1s X 1s 2s 3s

68%

99,7% 95%

Ukuran Kecondongan

Ukuran Kecondongan -- Skewness

Skewness



Ukuran kecondongan – kemencengan

◦ Kurva tidak simetris



Pada kurva distribusi frekuensi diketahui

dari posisi modus, rata-rata dan media



Pendekatan : Jika

◦ Rata-rata = median = modus : Simetris

◦ Rata-rata < median < modus : Menceng ke kiri

◦ Rata-rata > median > modus : Menceng ke kanan

Koefisien Skewness



Sk = [µ - Mo ] /



atau = 3.[µ - Md] /



µ = Nilai rata – rata hitung Mo = Nilai modus

Md = Nilai median

 = Standar deviasi Contoh kasus data dikelompokan

µ = 33.68 Mo = 18 Md = 32

 = 11.2439

Sk = [33.68- 18 ] / 11.2439 Sk = 15.68 / 11.2439 Sk = 1.394

Sk = {3. [ 33.68 – 32]} 11.2439 Sk = 5.04 / 11.2439 Sk = 0.4482

Ukuran

Ukuran Keruncingan

Keruncingan (Kurtosis)

(Kurtosis)



Keruncingan disebut juga ketinggian kurva



Pada distribusi frekuensi di bagi dalam tiga

bagian :

◦ Leptokurtis = Sangat runcing

◦ Mesokurtis = Keruncingan sedang

(5)

Koefisien

Koefisien Keruncingan

Keruncingan (Kurtosis)

(Kurtosis)



Bentuk kurva keruncingan (kurtosis)

◦ Mesokurtik 4_{= 3}

◦ Leptokurtik 4_{> 3}

◦ Platikurtik 4_{< 3}



Koefisien kurtosis (data tidak dikelompokan)



₌

1/n

∑(xi - X)

S

4 _{= Koefisien Kurtosis} X = Nilai rata – rata hitung Xi = Nilai pengamatan n = jumlah data s = Standar deviasi

Koefisien Kurtosis



Koefisien kurtosis (data dikelompokan)



₌

1/n

∑ f. (Xi - X)

s

4 _{= Koefisien Kurtosis}

X = Nilai rata – rata hitung Xi = Nilai tengah kelas n = jumlah frekuensi s = Standar deviasi

TUGAS STATISTIKA DESKRIPTIF , 23

TUGAS STATISTIKA DESKRIPTIF , 23 JuniJuni 20152015

Kelas f 11-20 4 21-30 6 31-40 12 41-50 8 51-60 2 32

2. Berikut Data Hiptetis

65 80 75 73 68 70 60 55

1. Berikut data dari nilai statistika 8 mahasiswa

Dari data di atas hitunglah a. Skewness

b. Kurtosis

Dari data di samping hitunglah a. Skewness

b. Kurtosis

Jawab

Jawab No.1

No.1

No Xi xi-X (xi-X)2 (xi-X)4

1 65 -1.9 3.61 13.03

2 80 13.1 171.61 29449.99

3 75 8.1 65.61 4304.67

4 73 6.1 37.21 1384.58

5 68 1.1 1.21 1.46

6 76 9.1 82.81 6857.49

7 80 13.1 171.61 29449.99

8 54 -12.9 166.41 27692.29

9 50 -16.9 285.61 81573.07

10 48 -18.9 357.21 127599

Jumlah 669 1342.9 308325.6

X = 669/10

= 66.9 S=v 1342.9/9 =12.21

S4 = 226.5

Kurtosis = 1/10 (308325.6 / 2226.5) = 1.38

(6)

Kelas f xi fi.xi xi-x (xi-X)2 fi(xi-X)2 (xi-X)4 f(xi-X)4 11-20 4 15.5 62 -20.5 420.25 1681 176610.1 706440.3 21-30 10 25.5 255 -10.5 110.25 1102.5 12155.06 121550.6

31-40 12 35.5 426 -0.5 0.25 3 0.0625 0.75

41-50 8 45.5 364 9.5 90.25 722 8145.063 65160.5

51-60 6 55.5 333 19.5 380.25 2281.5 144590.1 867540.4

Jml 40 1440 5790 341500.3 1760693

Jawab

Jawab no. 2

no. 2

X = 1440/40 =36

S = V5790/(40-1) = 12.18 S4 = 22040.8

Kutosis =

1/40 (1760693/22040.8)