07 Perkalian Skalar Dua Vektor
VEKTOR
D. Perkalian Skalar Dua Vektor
Misalkan a 1 , a 2 dan a 3 adalah bilangan-bilangan positip dan diketahui persamaan
vektor a = a1 i + a 2 j + a 3 k , maka panjang vektor a secara geometris dapat
digambarkan:
z
a3
a
a2
y
O
a1
x
Dengan bantuan teorema Pythagoras dapat ditentukan panjang vektor a , yaitu :
a =
a 12 a 2 2 a 3 2 .
Sedangkan untuk A( x A , y A , z A ) dan B( x B , y B , z B ) maka panjang vektor AB
dirumuskan
AB =
(x B x A ) 2 ( y B y A ) 2 (z B z A ) 2
Sebagai contoh, misalkan vector a = 4 i – 5 j + 3 k , maka panjang vector a adalah
a =
4 2 (5) 2 4 2 =
50 = 5 2 satuan panjang.
Sedangkan untuk titik A(-2, 4, -1) dan B(-5, 2, 5), maka panjang vektor AB didapat :
AB =
(5 2) 2 (2 4) 2 (5 1) 2 =
(3) 2 (2) 2 6 2 =
9 4 36 = 7 satuan
panjang
Jika a = a1 i + a 2 j + a 3 k dan b = b1 i + b 2 j + b 3 k maka perkalian skalar a dan
b secara geometris didefinisikan:
Vektor
1
a . b = a b cos ……….........……………… (1)
b
dimana adalah sudut antara a dan b .
a
Sebagai contoh diketahui dua vector a dan b seperti gambar berikut.
Tentukanlah nilai a . b
Jawab
a
6 cm
45o
5 cm
a . b = a b cos
b
0
a . b = 6.5.cos 45 = 15 2
Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini :
01. Diketahui dua vektor a dan b seperti gambar di
a
8 cm
samping, Tentukanlah nilai a . b
60o
b
12 cm
Jawab
Karena kedua pangkal vektor belum berimpit, maka kedua vektor digambar
menjadi
Sehingga sudut antara a dan
b adalah 120
0
8 cm
a . b = a b cos
a . b = (8)(12).cos 120
0
120o 60o
b
a . b = (8)(12)(-1/2)
a
12 cm
a . b = -48
02. Jika diketahui dua vektor a dan b dimana a = 6 cm dan b = 4 cm serta
berlaku ( a + b ).( a + b ) = 16. Tentukanlah nilai a . b
Jawab
( a + b ).( a + b ) = 16.
a . a + a . b + b . a + b . b = 16.
a a cos 00 + 2 a . b + b b cos 00 = 16
a a (1) + 2 a . b + b b (1) = 16
(6)(6) + 2 a . b + (4)(4) = 16
36 + 2 a . b + 16 = 16
a . b = –18
Vektor
2
03. Jika diketahui vektor a dan b dimana a = 4 cm dan b = 5 cm serta
D. Perkalian Skalar Dua Vektor
Misalkan a 1 , a 2 dan a 3 adalah bilangan-bilangan positip dan diketahui persamaan
vektor a = a1 i + a 2 j + a 3 k , maka panjang vektor a secara geometris dapat
digambarkan:
z
a3
a
a2
y
O
a1
x
Dengan bantuan teorema Pythagoras dapat ditentukan panjang vektor a , yaitu :
a =
a 12 a 2 2 a 3 2 .
Sedangkan untuk A( x A , y A , z A ) dan B( x B , y B , z B ) maka panjang vektor AB
dirumuskan
AB =
(x B x A ) 2 ( y B y A ) 2 (z B z A ) 2
Sebagai contoh, misalkan vector a = 4 i – 5 j + 3 k , maka panjang vector a adalah
a =
4 2 (5) 2 4 2 =
50 = 5 2 satuan panjang.
Sedangkan untuk titik A(-2, 4, -1) dan B(-5, 2, 5), maka panjang vektor AB didapat :
AB =
(5 2) 2 (2 4) 2 (5 1) 2 =
(3) 2 (2) 2 6 2 =
9 4 36 = 7 satuan
panjang
Jika a = a1 i + a 2 j + a 3 k dan b = b1 i + b 2 j + b 3 k maka perkalian skalar a dan
b secara geometris didefinisikan:
Vektor
1
a . b = a b cos ……….........……………… (1)
b
dimana adalah sudut antara a dan b .
a
Sebagai contoh diketahui dua vector a dan b seperti gambar berikut.
Tentukanlah nilai a . b
Jawab
a
6 cm
45o
5 cm
a . b = a b cos
b
0
a . b = 6.5.cos 45 = 15 2
Untuk lebih jelasnya ikutilah contoh soal berikut ini :
01. Diketahui dua vektor a dan b seperti gambar di
a
8 cm
samping, Tentukanlah nilai a . b
60o
b
12 cm
Jawab
Karena kedua pangkal vektor belum berimpit, maka kedua vektor digambar
menjadi
Sehingga sudut antara a dan
b adalah 120
0
8 cm
a . b = a b cos
a . b = (8)(12).cos 120
0
120o 60o
b
a . b = (8)(12)(-1/2)
a
12 cm
a . b = -48
02. Jika diketahui dua vektor a dan b dimana a = 6 cm dan b = 4 cm serta
berlaku ( a + b ).( a + b ) = 16. Tentukanlah nilai a . b
Jawab
( a + b ).( a + b ) = 16.
a . a + a . b + b . a + b . b = 16.
a a cos 00 + 2 a . b + b b cos 00 = 16
a a (1) + 2 a . b + b b (1) = 16
(6)(6) + 2 a . b + (4)(4) = 16
36 + 2 a . b + 16 = 16
a . b = –18
Vektor
2
03. Jika diketahui vektor a dan b dimana a = 4 cm dan b = 5 cm serta