BILANGAN RASIONAL SENILAI DAN KESEBANGUNAN

  

BILANGAN RASIONAL SENILAI

DAN KESEBANGUNAN BANGUN DATAR

   Pendahuluan

  Bilangan merupakan satu aspek materi dalam kurikulum matematika sekolah SMP diantara aspek materi lainnya, yaitu Aljabar, Geometri dan Pengukuran, Statistika dan Peluang (Depdiknas, 2006:346). Sementara pada jenjang SD Bilangan juga merupakan satu aspek diantara 2 aspek lainnya, yaitu Gemetri dan Pengukuran, Pengolahan Data (Depdiknas, 2006:417). Sedangkan pada jenjang SLTA, aspek Bilangan bukan merupakan aspek materi yang dikembangkan sebagai bahan kajian pelajaran, melainkan yang lebih lanjut pengembangannya. Ini berarti bahwa aspek bilangan merupakan aspek materi matematika sekolah yang diajarkan pada jenjang pendidikan dasar. Sebagai aspek materi yang menjadi bahan kajian mata pelajaran matematika, dipelajari peserta didik untuk memberikan dasar pengetahuan mengenai obyek matematika yang bersifat kuantitas. Obyek kuantitas dipelajari untuk mengenal sifat-sifat operasi bilangan, sebagai dasar pengembangan konsep dan struktur matematika yang lebih abstrak.

  Bilangan, secara faktawi diwujudkan dengan lambang bilangan, yang melambangkan cacah suatu obyek yang dapat dihitung banyaknya hingga memenuhi kuantitas tertentu. Bilangan satu dengan lainnya dipelajari untuk menghasilkan konsep-konsep lebih luas dalam hubungan antar bilangan. Hubungan langsung diantara dua bilangan tunggal dinyatakan dalam hubungan kesamaan atau ketidaksamaan. Hubungan yang tidak langsung dapat dinyatakan dengan menggunakan aturan tertentu, yang biasanya dinyatakan dalam suatu pemetaan. Dalam banyak hal, konsep atau prosedur matematika yang melibatkan bilangan atau fakta lainnya dipelajari dalam hubungan kesamaan atau sama dengan (=).

  Hubungan kesamaan bilangan merupakan hubungan yang paling sederhana, yakni menyatakan kesamaan besarnya nilai bilangan yang disamakan. Sebagai hubungan atau relasi dua bilangan, biasa digunakan untuk merelasikan bilangan-bilangan dalam semesta himpunan bilangan yang sama atau berbeda, seperti himpunan bilangan real, yang meliputi bilangan rasional, bilangan irrasional, bilangan bulat, bilangan pecahan, bilangan asli, dan bilangan cacah. Salah satu hubungan kesamaan pada bilangan yang dipelajari peserta didik sejak jenjang sekolah dasar adalah kesamaan pada bilangan rasional, yang lebih dikenal dengan kesamaan pecahan atau biasa disebut sebagai pecahan senilai. Lebih lanjut, konsep kesamaan pecahan tersebut dipelajari pada jenjang sekolah menengah pertama.

  Namun demikian, konsep yang satu ini masih tidak dipahami atau sering dilupakan peserta didik pada jenjang SD atau SMP. Ketika dihadapkan dengan bilangan-bilangan dalam bentuk rasional peserta didik tidak mampu menyatakan hubungan yang benar. Ketidakmampuan peserta didik pada konsep kesamaan dua bilangan bentuk rasional dapat berakibat pada pencapaian kompetensi peserta didik pada konsep matematika lainnya yang mempersyaratkan konsep tersebut. Misalnya, konsep kesebangunan bangun datar, yang sangat dekat dengan konsep kesamaan bilangan bentuk rasional, masih sulit dipahami oleh kebanyakan peserta didik kelas IX SMP, sebagai akibat dari lemahnya pemahaman tentang kesamaan dua bilangan. Salah satu factor yang menyebabkan kondisi tersebut adalah bahwa konsep kesamaan bilangan rasional tidak dipahami sebagaimana mestinya. Ini merupakan sebuah fakta dalam praktik pembelajaran matematika di kelas, yang sering dan terjadi pada kebanyakan siswa di kelas matematika.

  Untuk hal tersebut di atas, sebuah pemikiran yang perlu dilakukan bagi seorang guru matematika adalah mampu membangun konsep kesamaan bilangan bentuk rasional secara utuh berdasarkan konsep yang memadai, sehingga mampu membelajarkan peserta didik secara lebih efektif. Pertanyaan yang muncul sebagai upaya membangun konsep adalah (1) Apa makna konsep bilangan rasional?, (2) Bagaimanakah bentuk rasional yang sama?, (3) Bagaimanakah penggunaan konsep kesamaan bilangan bentuk rasional pada kesebangunan bangun datar?

  Konsep Bilangan Rasional

  Peahaman istilah rasional secara umum adalah sebuah istilah yang maknanya masuk di akal, suatu kondisi yang menyatakan hubungan sebab akibat yang logis, sebuah bentuk pemikiran yang berdasar pada suatu acuan atau criteria yang berlaku. Namun demikian, secara matematik, istilah tersebut dari kata dasarnya “rasio”, yang merujuk pada suatu bentuk perbandingan dua buah kuantitas yang menyatakan perbandingan bilangan (nilai besaran tertentu) atas suatu konteks tertentu (besaran tertentu=variabel). Dalam tulisan ini, tentu difokuskan pada makna istilah rasional yang kedua, yakni tentang bentuk-bentuk perbandingan dua bilangan secara umum.

  Apabila sebuah bilangan a yang tidak bernilai nol dan bilangan b tidak bernilai nol diperbandingan a terhadap b, maka dituliskan a : b. Bentuk lainnya yang menyatakan

  a

  perbandingan tersebut adalah

  b . Maka bentuk ini disebut sebagai bentuk rasional. Secara

  konseptual, ilustrasi tersebut dalam ensiklopedia matematika disebutkan bahwa bilangan

  a

  rasional adalah bilangan-bilangan yang dapat dinyatakan dalam bentuk

  b ; a dan b adalah

  bilangan bulat, dan b tidak boleh sama dengan nol (Negoro dan Harahap, 1998:45; Bartle and

  a

  Sherbert,1992:27)). Bentuk

  b atau dinyatakan dalam a : b sebagai bentuk rasional dapat

  menentukan nilai rasio atau nilai perbandingan, yang ditentukan dengan mengoperasikan pembagian bagian kiri atau atas (pembilang) oleh bagian kanan atau bawah (penyebut). Nilai rasio inilah yang memberikan nilai tertentu yang dapat menjadi acuan penentuan hubungan kesamaan atau ketidaksamaan bilangan rasional yang satu dengan lainnya. Jadi bilangan rasional adalah bilangan yang dinyatakan dalam bentuk perbandingan atas dua bilangan bulat, dan dapat menyatakan perbandingan dua besaran tertentu.

  Bilangan Rasional yang nilai perbandingannya menyatakan rasio kedua bilangan dan diperoleh dengan cara melakukan pembagian atas keduanya, memberikan ciri tersendiri

  4

  4 sebagai bilangan decimal (berbasis 10). Misalnya, ¾ = 3: 4 = 0,75000000; 3 = 1,33333; 4 =

  5

  2

  23 1,00000; 3 = 1,666666; 9 = 0,222222; 99 = 0,232323… dan yang lainnya. Bilangan- bilangan tersebut bernilai bilangan decimal yang angkanya dibelakang tanda koma adalah angka-angka yang berpola dengan pengulangan menurut banyak angka tertentu. Berbeda

  √ √

  dengan bilangan 3= 1,732050807….; 5 = 2,2360679774….; dan bilangan bentuk akar lainnya. Bilangan-bilangan ini memiliki nilai decimal, yang angkanya di belakang tanda koma tidak memiliki pola pengulangan tertentu, melainkan selalu acak. Nilai decimal yang demikian memberikan gambaran bedanya bilangan Rasional dan bilangan Irrasional. (Purcell and Varberg,1989: 7) dinyatakan bahwa setiap bilangan rasional dapat dituliskan sebagai suatu decimal berulang. Jadi, bilangan Rasional memiliki nilai rasio sebagai bilangan decimal dengan angka decimal yang berpola dan berulang sebanyak digit tertentu .

  Sesuai uraian di atas, bilangan rasional dapat dikenali dari beberapa hal, yaitu bentuk dan ciri-ciri angka rasionya dalam bilangan decimal. Secara formal, bilangan rasional

  a

  berbentuk

  b , a dan b bilangan bulat dan b ≠ 0. Secara decimal, bilangan tersebut merupakan

  bentuk decimal yang memiliki pola pengulangan angka-angka desimalnya. Angka-angka decimal bilangan rasional menyatakan nilai rasio atau nilai perbandingan kedua bilangan bulat yang diperbandingkan yang diperoleh melalui proses pembagian bagian pembilang oleh bagian penyebut, yang hanya berlaku jika pembaginya tidak sama dengan nol.

  Kesamaan Bilangan Bentuk Rasional Bilangan yang bentuknya identik dengan bilangan rasional adalah bilangan pecahan. a

  Bilangan pecahan juga dinyatakan dalam bentuk b ; b ≠ 0, a dan b adalah relative prime. Artinya, bilangan a dan bilangan b tidak memiliki factor persekutuan selain bilangan 1. Secara konseptual, bilangan pecahan dinyatakan seperti itu. Namun, yang lebih penting adalah makna pecahan dari setiap bilangan pecahan tersebut, yang dapat mengantarkan pada makna bilangan rasional yang lebih luas, yakni bilangan rasional sebagai bilangan pecahan. Kesamaan bilangan bentuk rasional dapat dipahami dengan cara memahami makna kesamaan bilangan pecahan.

  Dalam Harahap dan Negoro (1998:260) bilangan pecahan dimaknai sebagai bilangan yang menggambarkan bagian dari suatu keseluruhan, bagian dari suatu daerah, bagian dari 1 suatu benda, atau bagian dari suatu himpunan. Misal pecahan 4 , artinya adalah 1 bagian dari 4 bagian keseluruhan, 1 daerah dari 4 daerah keseluruhan, 1 benda dari 4 benda keseluruhan,

  1 himpunan dari 4 himpunan keseluruhan. Apabila pecahan tersebut digambarkan sebagai bagian bidang datar adalah sebagai berikut: atau atau

  1 Gambar-gambar di atas menyatakan bilangan pecahan

  4 Penyajian lainnya tentang pecahan adalah menggunakan garis bilangan. Pada garis bilangan yang lazimnya memuat bilangan bulat, secara menyeluruh dapat memuat bilangan- bilangan lainnya diantara bilangan-bilangan bulat, yaitu bilangan pecahan. Berikut adalah penyajian bilangan bulat pada garis bilangan.

  1 Garis bilangan di atas menampilkan bilangan pecahan berpenyebut 6, artinya dari

  1

  1 posisi 0 hingga 1 terbagi ke dalam 6 bagian sama, masing-masing adalah

  6. Jadi pecahan

  6 artinya jarak 1 satuan dari 6 satuan keseluruhan terhitung dari posisi 0. Begitu pula pecahan 1 lainnya di atas 6 . Apabila garis bilangan tersebut diperpanjang ke kanan, akan diperoleh bilangan pecahan yang lebih besar dari 1, yang terdiri dari bilangan-bilangan bentuk rasional dengan pembilang yang lebih besar dari penyebutnya, sehingga kalau dilakukan pembagian maka bentuknya menjadi bilangan pecahan campuran, yang terdiri dari bilangan bulat dan

  7

  1

  8

  2 bilangan pecahan. Bilangan-bilangan itu antara lain 6 =1 6 , 6 =1 6 , dan seterusnya. Yang Beberapa garis bilangan yang sama dapat memuat bilangan-bilangan rasional yang sama nilainya dengan bagian keseluruhan yang berbeda. Kumpulan garis-garis bilangan rasional yang demikian berguna dalam memberikan pemahaman mengenai bilangan rasional yang sama (nilainya) walaupun besaran pembilang dan penyebutnya berbeda. Bagi peserta didik yang dalam tahap awal belajar memahami pecahan senilai atau bilangan rasional senilai, hadirnya garis-garis bilangan yang dimaksud sangat diperlukan, sehingga memperoleh pemahaman yang memadai. Berikut gambar garis-garis bilangan rasional yang dapat memberikan pemahaman bilangan rasional senilai.

  Melihat gambar di atas, terdapat tiga garis bilangan yang masing-masing menyajikan bilangan pecahan yang berpenyebut 2, berpenyebut 4, dan berpenyebut 8. Pada ketiganya dimulai dari 0 paling kiri dan dibatasi hingga 1 paling kanan. Dengan melihat secara vertical pada ketiga garis bilangan pecahan tersebut, berarti pada posisi yang berjarak sama dari 0 (nol) terdapat bilangan-bilangan pecahan dengan nilai-nilai pembilang dan penyebut yang berbeda. Namun demikian, posisi jarak yang sama dari nol tersebut memberikan arti bahwa

  1

  2

  1

  2

  4

  3

  6 bilangan-bilangan itu bernilai sama. Bilangan-bilangan itu adalah 4 = 8; 2 = 4 = 8 ; 4 = 8 ;

  2

  4

  8 2 = 4 = 8 = 1. Apabila bilangan-bilangan tersebut dilanjutkan pada garis bilangan yang

  5

  10 lebih panjang, maka diperoleh bilangan-bilangan rasional yang sama lainnya, yaitu 4 = 8 ;

  3

  6

  12

  7

  14

  4

  8

  16 2 = 4 = 8 ; 4 = 8 ; 2 = 4 = 8 = 2. Begitu seterusnya jika garis bilangan diperpanjang ke kanan atau ke kiri untuk bilangan-bilangan rasional negative.

  Bilangan-bilangan bentuk rasional yang sama nilainya tersebut lebih lanjut dipahami tanpa menggunakan garis bilangan, melainkan dengan menganalisis masing-masing komponen bentuk rasional antara bilangan satu dengan lainnya yang sama nilainya. Analisis tersebut adalah sebagai berikut:

  1 2 1 x 2

  1 2 1 x 2 4 1 x 4

  3 6 3 x 2

  2 4 2 x 2 8 2 x 4 4 = 8 = 4 x 2; 2 = 4 = 2 x 2 = 8 = 2 x 4 ; 4 = 8 = 4 x 2 ; 2 = 4 = 2 x 2 = 8 = 2 x 4 = 1.

  Melihat hubungan kesamaan di atas, dapat dikatakan bahwa bilangan rasional yang sama tersebut secara analitis dapat diperoleh dengan melibatkan operasi perkalian dengan bilangan yang sama, yang dikenakan terhadap masing-masing pembilang dan penyebut bentuk rasional yang paling kecil bilangannya. Jadi bilangan bentuk rasional yang sama diperoleh dengan cara mengalikan pembilang dan penyebut suatu bilangan dengan suatu bilangan yang sama.

  Secara umum, dengan menggunakan model simbolis dapat dikemukakan bahwa bilangan-bilangan rasional yang sama dapat dituliskan seperti bentuk-bentuk berikut.

  a

  Jika

  b bilangan rasional c, d, e, f adalah bilangan bulat tidak nol, maka bilangan- a axc axd axe axf

  bilangan yang senilai dengan bilangan tersebut adalah

  b = bxc = bxd = bxe = bxf dan

  seterusnya. Artinya, bilangan-bilangan bentuk rasional yang senilai diperoleh dengan mengalikan setiap pembilang dan penyebut dengan bilangan yang sama (bukan nol). Sebaliknya, apabila bilangan bentuk rasional dengan angka pembilang dan penyebut yang relative besar, maka bilangan senilai yang lebih kecil angkanya diperoleh dengan membagi masing-masing pembilang dan penyebut dengan bilangan yang sama (bukan nol).

  Penggunaan Konsep Kesamaan Bentuk Rasional pada Kesebangunan Bangun Datar

  Kesebangunan bangun datar merupakan satu materi pokok mata pelajaran matematika yang diajarkan bagi siswa kelas IX SMP pada semester pertama. Konsep kesebangunan bangun datar termasuk dalam aspek geometri dan pengukuran, yakni materi matematika yang suabstansinya terkonsentrasi pada konsep hubungan bangun datar dan ukuran-ukurannya. Pemahaman konsep kesebangunan ini, tentunya tidak bisa lepas dengan aspek lainnya, yaitu aspek bilangan dan aljabar. Keduanya sangat terkait erat, utamanya dalam pengembangan konsep kesebangunan untuk prosedur pemecahan masalah-masalah yang melibatkan konsep kesebangunan.

  Standar Kompetensi (SK) yang dicapai oleh materi tersebut adalah memahami

  

kesebangunan bangun datar dan penggunaannya dalam pemecahan masalah . Sementara

  Kompetensi Dasar (KD) untuk mencapai SK tersebut dijabarkan dalam 3 KD, yaitu (1) Mengidentifikasi bangun-bangun datar yang sebangun dan kongruen, (2) Mengidentifikasi

  

sifat-sifat dua segitiga sebangun dan kongruen, (3) Menggunakan konsep kesebangunan

segitiga dalam pemecahan masalah (Depdiknas, 2006:349).

  Yang esensial pada konsep kesebangunan atau kongruensi bangun datar adalah

penggunaan konsep kesebangunan pada aspek pengukuran, sebagai bentuk aplikasi konsep

dalam pemecahan soal. Esensi tersebut terletak pada sifat bangun datar sebangun, yang

dipenuh dari dua unsur hubungan sisi-sisi bersesuaian dan hubungan sudut-sudut bersesuaian.

Aspek bilangan terkait erat pada sifat kesebangunan berdasarkan dua unsur bangun datar itu.

Demikian pula aspek aljabar, berperan ketika sebuah masalah disajikan, dan pemecahannya

harus melibatkan keduanya. Namun demikian, fokus keterkaitan kedua aspek geometri dan

pengukuran dengan aspek bilangan merupakan satu hal khusus menjadi fokus dalam tulisan

ini.

  Beberapa sumber buku teks matematika SMP (Sulaiman, dkk, 2008:3; Wagiyo, dkk, 2008: 4; Agus, 2008:2) dinyatakan bahwa bangun-bangun datar sebangun memiliki sifat-sifat (1) sisi-sisi yang bersesuaian sebanding, dan (2) sudut-sudut yang bersesuaian sama besar.

  Fokus pada sifat yang pertama, yakni sisi-sisi yang bersesuaian sebanding, berarti bahwa apabila bangun-bangun datar itu sebangun, maka padanya berlaku bahwa terdapat kesebandingan diantara sisi-sisi bersesuaian. Sebanding berarti nilai perbandingannya selalu sama, yaitu nilai perbandingan sisi-sisi yang bersesuauain selalu sama atau rasio sisi-sisi yang bersesuaian selalu sama. Rasio yang selalu sama diantara sisi-sisi bersesuaian inilah yang ditunjukkan oleh kesamaan rasio ukuran-ukuran sisi-sisi bersesuaian.

  Konsep kesebandingan tersebut dapat diilustrasikan pada contoh bangun datar berikut.

  D C S R 8 cm 12 cm

  S R D C 5 cm 10 cm P 6 cm Q A 12 cm B

  Pada gambar di atas, persegi panjang ABCD dan PQRS sebangun. Sebangunnya kedua bangun persegi panjang tersebut karena memenuhi sifat-sifat (1) rasio sisi-sisi yang bersesuaian bernilai sama, dan (2) sudut-sudutnya yang bersesuaian jelas sama besar. Sifat

  AB

  18

  3 BC

  12

  3 AB BC

  3 (1) dipenuhi dengan fakta bahwa

  PQ = 12 = 2 dan QR = 8 =

  2. Ini berarti PQ = QR = 2.

  18

  12

  3

  18

  12 Berarti 12 = 8 = 2 . Jadi 12 =

  8 Pada gambar kedua, pasangan jajar genjang ABCD dan PQRS, jika dinyatakan sebangun, maka berlaku sifat sebagaimana pada pasangan persegi panjang ABCD dan PQRS, yaitu sisi-sisi yang bersesuaian sebanding atau rasio sisi-sisi yang bersesuaian bernilai sama

  AB

  12 BC

  10 (tetap). Sesuai gambar tersebut, maka berlaku bahwa

  PQ = 6 =2 dan QR = 5 =2. Ini AB BC

  12

  10

  12

  10 berarti

  PQ = QR =2. Berarti 6 = 5 =2 . Jadi 6 =

  5 Ilustrasi tersebut menandakan bahwa kesamaan suatu bilangan bentuk rasional mensifati kesebangunan suatu bangun datar pada aspek sisi-sisinya. Yang maknanya adalah bahwa kesamaan bilangan bentuk rasional sebagai bentuk kesamaan rasio dua ukuran sisi-sisi yang bersesuaian suatu bangun datar yang sebangun. Dengan demikian, permasalahan ukuran sisi-sisi pada kesebangunan bangun datar dapat dipecahkan dengan melibatkan model kesamaan bentuk rasional atas ukuran sisi-sisi yang bersesuaian.

  Melengkapi argumentasi di atas, berikut sebuah pemodelan kesamaan bentuk rasional untuk memecahkan masalah kesebangunan bangun datar. Sebuah foto berbentuk persegi panjang akan dipasang dalam sebuah bingkai sedemikian hingga keduanya sebangun. Foto berukuran 10 cm x 16 cm. Berapakah ukuran panjang bingkai apabila lebarnya adalah 15 cm? Gambar berikut memperjelas soal dan membantu siswa memahami soal yang diberikan.

  10 cm 15 cm 16 cm x cm

  Bingkai foto dan foto sebangun, maka harus berlaku sifat bahwa rasio sisi-sisi yang

  16

  10 bersesuaian bernilai sama. Sehingga model matematika yang dapat disusun adalah:

  x =

  15

  16

  10

  2

  16

  10

  2

  16

  2 Kesamaan perbandingan

  x = 15 senilai dengan

  3. Jadi x = 15 = 3 atau x =

  3. Kesamaan 2. 8

  2 ini lebih lanjut dapat dituliskan

  x = 3 , dan akan benar kalau x bernilai 3. 8 = 24. Jadi panjang bingkai yang harus dibuat adalah 24 cm.

  Simpulan

  Berdasarkan uraian di atas, dapat disimpulkan bahwa :

  a

  1. Bilangan rasional adalah bilangan yang berbentuk b , a dan b bilangan bulat dan b ≠ 0.

  Secara decimal, bilangan tersebut merupakan bentuk decimal yang memiliki pola pengulangan angka-angka desimalnya. Bilangan rasional merupakan bentuk perbandingan dua bilangan bulat yang nilai perbandingannya dapat disederhanakan dengan melibatkan fakor persekutuan.

  a

  2. Bilangan-bilangan bentuk rasional yang bernilai sama adalah bentuk-bentuk kesamaan

  b axc axd axe axf

  =

  bxc = bxd = bxe = bxf , dimana a, b, c, d, e, f bilangan bulat dan tidak sama dengan a a :c a :d a :e a :f

  nol. Kesamaan lainnya adalah bentuk-bentuk

  b = b :c = b :d = b :e = b :f , dimana c, d, e, f adalah factor persekutuan dari a dan b.

  3. Kesamaan bentuk rasional merupakan bentuk model matematika pada pasangan bangun datar yan sebangun, sebuah strategi yang dapat digunakan dalam pemecahan masalah kesebangunan bangun datar.

  Saran

  Terdapat keterkaitan yang erat antara sifat kesebangunan bangun datar dan kesamaan bentuk rasional. Maka dari itu, dalam pembelajaran atau pemecahan masalah matematika yang melibatkan konsep kesebangunan bangun datar dapat dengan mudah apabila melibatkan model kesamaan bentuk rasional sebagai strategi sederhana dan mendasar.

  Daftar Pustaka

  Agus, Nunik Avianti. 2008. Mudah Belajar Matematika untuk Kelas IX Sekolah Menengah Pertama/Madrasah Tsanawiyah. Jakarta: Pusat Perbukuan Depdiknas. Bartle, Robert G and Sherbert, Donald R. 1992. Introduction to Real Analysis. Second Edition. Singapore: John Willey & Sons, Inc.

  

Depdiknas. 2006. Peraturan Menteri Pendidikan Nasional Nomor 22 Tahun 2006 tentang

standar isi satuan pendidikan dasar dan menengah. Jakarta: Depdiknas Negoro, ST dan Harahap, B. 1998. Ensiklopedia Matematika. Jakarta: Ghalia Indonesia.

  Sulaiman, R., 2008. Contextual Teaching and Learning Matematika Sekolah Menengah

  Pertama/Madrasah Tsanawiyah Kelas IX Edisi 4. Jakarta : Pusat Perbukuan Depdiknas.

  Wagiyo, A., dkk. 2008. Pegangan Belajar Matematika untuk SMP/MTs Kelas IX. Jakarta: Pusat Perbukuan Depdiknas.