BAB 5 Trigonometri - Bab 5 Trigonometri

BAB 5
Trigonometri
Standar Kompetensi:
 Menggunakan perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri
dalam pemecahan masalah.
Kompetensi Dasar:
 Melakukan manipulasi aljabar dalam perhitungan teknis yang berkaitan dengan
perbandingan, fungsi, persamaan, dan identitas trigonometri.
 Merancang model matematika dari masalah yang berkaitan dengan
perbandingan, fungsi, persamaan dan identitas trigonometri.
 Menyelesaikan model matematika dari masalah yang berkaitan dengan
perbandingan, fungsi, persamaan dan identitas trigonometri dan
penafsirannya.

UKURAN SUDUT

Ukuran Sudut dalam Derajat
Satu derajat (ditulis = 1) didefinisikan sebagi ukuran
besar sudut yang disapu oleh jari-jari lingkaran dalam
jarak putar sejauh 1 putaran.
360

1 = 1 putaran
360

Ukuran-ukuran sudut yang lebih kecil dari ukuran
derajat, dinyatakan dalam ukuran menit dan
ukuran detik.
a. 1 derajat = 60 menit atau 1 menit =
Ditulis:
1 = 60’

atau 1’ =

b.1 menit = 60 detik

60

60

atau 1 detik =

1
60

atau 1” =

‘

derajat


1

Ditulis:
1’ = 60”

1

1
60

menit

Ukuran Sudut dalam Radian

panjang busur PQ panjang busur P Q
=
MP
MP
panjang busur PQ
Nilai perbandingan
MP

dinyatakan dalam ukuran radian.

Nilai perbandingan panjang busur PQ
r = 1
=
r
MP

Satu radian (ditulis: 1 rad didefinisikan sebagi ukuran sudut pada
bidang datar yang berada di antara dua jari-jari lingkaran dengan
panjang busur sama dengan panjang jari-jari lingkaran.

Mengubah Ukuran Sudut dari Derajat ke Radian
dan Sebaliknya
Besar sudut PMQ dalam ukuran radian



panjang busur PQ
MP

 r
Q
PMQ =
r
sebab panjang busur PQ = setengah keliling lingkaran



PMQ =

PMQ =



180

r
M

radian

Kesimpulan:

a. 1 =
radian
180

3,14159
c. 1 = ~
radian = 0,017453 radian
180
atau

b. 1 radian = 180

d. 1 radian =

~

180
3,14159

=57,296


P

Perbandingan-perbandingan Trigonometri
B
β
c

a
C

b

a

A

a) sin a

= sisi di hadapan sudut a =
hipotenusa

a
c

b) cos a

=

sisi di dekat sudut a
hipotenusa

=

b
c

c) tan a

=

sisi di hadapan sudut a

sisi di dekat sudut a

=

a

d) cot a

=

e) sec a

=

f) cosec a

=

sisi di dekat sudut a
sisi di hadapan sudut a

hipotenusa
sisi di dekat sudut a
hipotenusa
sisi di hadapan sudut a

=
=
=

b
b
a
c
b
c
a

1. Rumus Kebalikan
1

a) sin a

=
cosec a

b) cos a

1
=
sec a
1
=
cot a

c) tan a
d) cot a

1
=
tan a

e) sec a

1
=
cos a

f) cosec a

1
=
sin a

2. Rumus Perbandingan
a) tan a

sin a
=
cos a

b) cot a

cos a
=
sin a

Menentukan Nilai Perbandingan Trigonometri
untuk Sudut Khusus
Sudut Khusus (sering pula disebut sebagai sudut istimewa) adalah
suatu sudut di mana nilai perbandingan trigonometrinya dapat
ditentukan secara langsung tanpa menggunakan daftar trigonometri
atau kalkulator.
Sudut-sudut khusus : 0, 30, 45, 60, dan 90.
Lingkaran Satuan
a) sin
b) cos
c) tan

y
=
= PP
= y,
1
OP


 = OP = x = x, dan
OP
1

y , dengan catatan x  0

=
 = PP
x
OP






1. Nilai Perbandingan Trigonometri
untuk Sudut 0
a) sin 0

= y

b) cos 0

= 1, dan

c) tan 0

= sin
= 0 = 0
00
cos
1


0

P(1,0)
1 x

2. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut 30
(OP)2 + (PP)2 = (OP)2
 (OP)2 = (OP)2  (PP)2
(OP)2 = 12 ( )12



2



OP =

1
2

=

3
4

3

OP menyatakan absis titik P atau x =1

2

Untuk a = 30 maka koordinat titik P adalah (1

2

sin 30

=

1
2

cos 30

=

1
2

tan 0

=

3

sin
=
30
cos
30

1
2
1
2

3

=

1
3

=

1
3

3

3 ), sehingga diperoleh:

3.

3. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut 45
y
1

(OP)2 + (PP)2 = (OP)2
 x2 + y2 = 1

P(x,y)
y

45 
x P
0

x



2x2 = 1



x2 =



x=

1
2

1 =
3

1
3

Karena x = y, maka y =1

3
2.

2

Untuk  = 45 maka koordinat titik P adalah1 ( 2 ,
2

2

sin 45

=

1
2

cos 45

=

1
2

tan 0

sin
=
=
45
cos
45

2 , dan
1
2
1
2

2
3

= 1

1
2

2

), sehingga diperoleh:

4. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut
60
y

1

P(x,y)

OP = OP =1
2

y

60 Q(1,0)
x
0 x P

 = 60 maka koordinat titik P adalah

Untuk
(

1

,

1

2

2

sin 60

3), sehingga

,

1
2

=

1

1
2

3(cos
= 60, sin 60

3

2

cos 60

=

1
2

tan 60

sin
=
=
60
cos
60

3

1
2
1
2

= 3

5. Nilai Perbandingan Trigonometri untuk Sudut 90
y

Jika sudut   = 90, maka kaki
sudut OP berimpit dengan sumbu Y
positif atau titik P berada pada
sumbu Y positif.

P(0,1)


1
0

90

x

Koordinat titik P adalah (0,1),
sehingga (0,1) = (cos 90, sin
90 )

sin 90 = 1
cos 90 = 0, dan
tan 0

= 1 (tidak didefinisikan)
= sin
90
cos
0
90

Perbandingan Trigonometri Sudut-sudut di Semua Kuadrat
Y

A


P(x,y)

y (ordinat)
0







x (absis)

x

a) sin α

ordinat
=
jarak

y
=
r

d) cot α

absis
=
ordinat

= x
y

b) cos α

=absis
jarak

x
= r

e) sec α

jarak
=
ordinat

= r
x

c) tan α

ordinat
=
absis

=

f) cosec α

jarak
=
ordinat

= r
y

y
x

Tanda-Tanda Perbandingan
Trigonometri Sudut-Sudut di Semua Kuadrat
Y
II

I

sin, positif
cosec,
positif

semua positif

0
III

X
IV

tan, positif

cos, positif

cot, positif

sec, positif

Rumus Perbandingan Trigonometri untuk
Sudut-sudut Berelasi
1. Definisi Sudut-Sudut Berelasi
Misalkan suatu sudut besarnya α.
Sudut lain yang besarnya (90 
sudut α dan sebaliknya.

α) dikatakan berelasi dengan

Sudut-sudut lain yang berelasi dengan sudut α adalah sudut-sudut
yang besarnya:
a. (90 + α )
b. (180  α)
c.

(270  α)

d. (360  α)
e.  α

Rumus Perbandingan Trigonometri untuk Sudut (90 - α)
a) sin (90 

Y
Q

Q(x,y)

b) cos (90 

 P(x,y)
1
1
α
y
c) tan
α


0
x
P
x

(90 

d) cot (90 
e) sec (90 
f) cosec (90 

y
r
y
α) =
1
α) = x
y
y
α) =
x
α) = 1
y

α)

=

= cos α
= sin α
= cot α
= tan α
= cosec α

α) = 1 = sec α
x

Rumus Perbandingan Trigonometri
untuk Sudut (90 + α)

x
= 1 = cos α

b) cos (90 + α) =
=   =  sin α
y1
y1
c) tan (90 + α) = x =  x = cot α
y
y
d) cot (90 + α) = y =  x = tan α
y
x
e) sec (90 + α) = 1 =  1 = cosec α
y
y
f) cosec (90 + α) = 1 = sec α
x

a) sin (90 + α)

Rumus Perbandingan Trigonometri
untuk Sudut (180  α)

) sin (180 

) cos (180 
tan (180 

) cot (180 

y = sin α
1
α) = 
=  x = cos α
1
x1
α) = x
=  x = tan α
y
y

α) =

α) =

y
-x

=

y
= cot α
x

1
α) = 1
=
= sec α
x
x
cosec (180  α) = 1 = cosec α
y

) sec (180 

Rumus Perbandingan Trigonometri
untuk Sudut (180 + α)
a) sin (180 + α) = sin α
b) cos (180 + α) = cos α
c) tan (180 + α) = tan α
d) cot (180 + α) = cot α
e) sec (180 + α) = sec α
f) cosec (180 + α) = cosec α

Rumus Perbandingan Trigonometri
untuk Sudut (270  α)
sin (270 
cos (270 

α) = 
α) = 

cos α
sin α

) tan (270  α) = cot α
) cot (270  α) = tan α
sec (270  α) =  cosec α
) cosec (270  α) = sec α

Rumus Perbandingan Trigonometri
untuk Sudut (270 + α)

a) sin (270 + α) =  cos α
b) cos (270 + α) = sin α

) tan (270 + α) =  cot α
d) cot (270 + α) =  tan α
e) sec (270 + α) = cosec α
f) cosec (270 + α) = sec α

Rumus Perbandingan Trigonometri Sudut
(α)

a) sin (

α) =

b) cos (

α) =

c) tan (

α) =

d) cot (

α) =

e) sec (

f) cosec (

y
y
=
=  sin α
1
1
x
= cos α
1
y
=  y = tan α
x
x
x
x
= 
=  cot α
y
y

1
=  sec α
x
1
α) = 1 = 
=  cosec α
y
y

α) =

Rumus Perbandingan Trigonometri
untuk Sudut (n 360  α)

a) sin (n  360 
b) cos (n  360 
c) tan (n  360 
d) cot (n  360 
e) sec (n  360 
) cosec (n 360 

α) = sin (  α) =  sin α
α) = cos ( α) = cos α
α) = tan ( α) =  tan α
α) = cot ( α) =  cot α
α) = sec ( α) = sec α
α) = cosec ( α) =  cosec α

Rumus Perbandingan Trigonometri
untuk Sudut (n 360 + α)

) sin (n  360 + α) = sin α
) cos (n  360 + α) = cos α
) tan (n  360 + α) = tan α
) cot (n  360 + α) = cot α
) sec (n  360 + α) = sec α
cosec (n  360 + α) = cosec α

Identitas Trigonometri
Identitas trigonometri dasar merupakan hubungan
kebalikan
a) sin α =
b) cos α =

1
atau cosec α = 1
cosec α
sin α
1
sec α

c) tan α =

1
cot α

atau sec α

= 1
cot α

atau cot α

= 1
tan α

Identitas Trigonometri
Identitas trigonometri dasar yang diperoleh
dari hubungan teorema Pythagoras
a) sin α + cos2 α = 1
b) 1 + tan2 α = sec2 α
c) 1 + cot2 α = cosec2 α

Grafik Fungsi Trigonometri
1. Grafik Fungsi y = sin x (0  x  360)

2. Grafik Fungsi y = cos x (0  x  360)

3. Grafik Fungsi y = tan x (0  x  360)

Aturan Sinus
C

a

P

Persamaan ini disebut aturan sinus
atau dalil sinus.

a
A

c

c

=
=
sin A sin B sin C

Q
b

b

B

R

Dalam tiap segitiga ABC, perbandingan panjang sisi dengan sinus sudut
yang berhadapan dengan sisi itu mempunyai nilai yang sama.
a

b

c

=
=
sin A sin B sin C

Aturan Kosinus
a2 = b2 + c2  2bc cos A

b2 = a2 + c2  2ac cos B

c2 = a2 + b2  2ac cos C

Persamaan-persamaan ini disebut aturan kosinus atau dalil kosinus.

Pada segitiga ABC berlaku aturan kosinus yang
dapat dinyatakan dengan persamaan
a2 = b2 + c2  2bc cos A

b2 = a2 + c2  2ac cos B

c2 = a2 + b2  2ac cos C

Jika dalam  ABC diketahui sisi-sisi a, b, dan c
(ss.ss.ss), maka besar sudut-sudut A, B, dan C
dapat ditentukan melalui persamaan:
cos A =

b2 + c2  a2
2bc

cos B =

cos C =

a2 + c2  b2
2ac
a2 + b2  c2
2ab

Luas Segitiga dengan Dua Sisi
dan Satu Sudut Diketahui
L = 1 bc sin A
2
L = 1 ac sin B
2
L = 1 ab sin C
2

Luas Segitiga dengan Dua Sisi dan
Sebuah Sudut di Hadapan Sisi Diketahui
Langkah 1:
Tentukan besar sudut-sudut yang belum
diketahui dengan memakai aturan sinus.

Langkah 2:
Setelah semua sudut diketahui, hitunglah luas
segitiga dengan menggunakan salah satu rumus
di atas.

Luas Segitiga dengan Dua Sudut dan
Satu Sisi Diketahui
Luas  ABC jika diketahui besar dua sudut dan panjang
satu sisi yang terletak di antara kedua sudut itu dapat
ditentukan dengan menggunakan salah satu rumus berikut.
a2  sin B 
L=
sin C
2 sin A
2
b
 sin A 
L=
sin C
2 sin B

c2  sin A 
L=
sin B
2 sin C

Luas Segitiga dengan Ketiga Sisinya Diketahui
Luas  ABC jika diketahui panjang ketiga sisinya (sisi
a, sisi b, dan sisi c) dapat ditentukan dengan rumus:

L =

s(s  a)(s  b)(s  c)

dengan s = 1 (a + b + c) = setengah keliling 
2

ABC.