MATEMATIKA UNTUK ANALISIS SISTEM DINAMIK
II
MATEMATIKA UNTUK ANALISIS
SISTEM DINAMIK
•
Tujuan: Mhs mampu menyusun dan menyelesaikan model
matematika (persamaan keadaan) suatu sistem (proses)
sehingga dapat menjelaskan dinamika suatu proses
•
Materi:
1. Bilangan Kompleks
2. Transformasi Laplace: definisi, sifat-sifat transformasi
laplace
3. Penyelesaian PD dengan Transformasi Laplace:
prosedur, inversion, penyelesaian time delay
4. Karakteristik Respon Proses: variabel deviasi, respon
output, stabilitas
5. Linearisasi
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 1
2.1. Bilangan Kompleks
• Sebuah bilangan disebut kompleks jika bilangan
tsb tidak dapat dinyatakan sebagai bilangan
nyata (real); atau bilangan tsb adalah khayal
(imaginer)
• Bilangan Imaginer :
−1 = i
• Bentuk cartesian : c
=a+ib
…… (2.1.1)
dimana: a
= bagian real
b = bagian imaginer
Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 2
2.1. Bilangan Kom pleks
Complex Plane
I
c=a+ib
(a,b)
r
b
θ
a
Real Axis
R
Notasi Polar
r ≡ magnitude
θ ≡ argument
Imagiray Axis
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 3
2.1. Bilangan Kom pleks
Notasi Polar Untuk Menyatakan Bilangan Kompleks:
magnitude
r = c = a2 + b2
argument
θ = tan −1 ⎜ ⎟ = arctan⎜ ⎟
…… (2.1.2.a)
⎛b⎞
⎝a⎠
⎛b⎞
⎝a⎠
maka: a = r cos θ
…… (2.1.2.b)
dan b = r sin θ
…… (2.1.3)
∴ notasi cartesian
c = r (cos θ + i sin θ ) = r e iθ
…… (2.1.4)
dimana: e iθ ≡ (cos θ + i sin θ )
conjugate
conj.(a + i b ) = (a − i b )
…… (2.1.5)
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 4
2.1. Bilangan Kom pleks
Operasi Bilangan Kompleks
iθ
Pertimbangkan: c = a + i b = r e
dan
p = v + i w = q ei β
Penjumlahan & Pengurangan: c ± p = (a ± v ) + i (b ± w)
Perkalian:
…… (2.1.6)
cp = (a + ib )(v + iw)
= av + i 2bw + ibv + iaw
= (av − bw) + i (bv + aw)
( )(
…… (2.1.7)
)
cp = r e iθ q e i β = rqe i (θ + β )
Perkalian dg conjugate:
…… (2.1.8)
(a + i b )(a − i b ) = a 2 + b 2 = r
…… (2.1.9)
Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 5
2.1. Bilangan Kom pleks
Operasi Bilangan Kompleks
c (a + ib ) (v − iw) (av + bw) + i (bv − aw)
=
=
p (v + iw) (v − iw)
v 2 + w2
Pembagian:
⎛ av + bw ⎞ ⎛ bv − aw ⎞
=⎜ 2
⎟
⎟ + i⎜
⎝ v + w2 ⎠ ⎝ v 2 + w2 ⎠
c re iθ
r
= iβ = e i (θ − β )
p qe
q
Bentuk polar
Pangkat:
c n = r n e inθ
Akar:
n
c = re iθ = n r e i (θ + 2 kπ )/ n
n
…… (2.1.10)
…… (2.1.11)
…… (2.1.12)
…… (2.1.13)
dimana k = 0, ±1, ±2, …, sampai diperoleh n akar
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
BAB II Matematika Untuk Analisis Sistem Dinamik
DI NPRO / I I / 6
YDH - DINPRO - 2
2.1. Bilangan Kom pleks
Contoh Soal 2.1.1: konversi bilangan kom pleks m enj adi polar
Bil. kompleks:
a = 3 + i4
b = 8 − i6
c = −1 + i
Magnitude (r):
a =5
b = 10
c = 1.414
Argument (θ):
θ c = tan −1
−6
4
θ b = tan −1
8
3
= −0.643 rad
= 0.927 rad
θ a = tan −1
3π
rad
4
b = 5e i (3π / 4 )
b = 5e −i 0.643
a = 5e i 0.297
Polar:
=
1
−1
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 7
2.1. Bilangan Kom pleks
Contoh Soal: (lanjutan)
Com plex Plane
I
6
a=3
4
c = − 1 +i
+i4
2
R
0
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-2
-4
-6
b=8
−i6
-8
Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 8
2.1. Bilangan Kom pleks
Contoh Soal: (lanjutan)
Perkalian:
ac = (− 3 − 4) + i (3 − 4) = −7 − i
bc = (− 8 + 6) + i(8 + 6) = −2 − i 14
(
)
Bentuk polar: ac = 5e i 0.927 1.414e i 3π / 4 = 7.07e i 3.2834
= 7.07(cos 3.2834 + i sin 3.2834) = −7 − i
Pembagian:
Bentuk polar:
a (3 + i 4) (8 + i 6) (24 − 24) + i (18 + 32)
=
=
= i 0.5
b (8 − i 6) (8 + i 6)
64 + 36
a
5e i 0.927
=
= 0.5e i1.570 = 0.5(0 + i ) = i 0.5
b 10e −i 0.643
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
BAB II Matematika Untuk Analisis Sistem Dinamik
DI NPRO / I I / 9
YDH - DINPRO - 3
2.1. Bilangan Kom pleks
Contoh Soal: (lanjutan)
misal 16 = 16 e i 0
Akar:
x = 4 16 e i 0 = 4 16 e i (0+ 2 kπ / 4 ) = 2 e i (kπ / 2 )
dimana
untuk
akar dari 16 adalah:
k=0
x = 2 ei0 = 2
k=1
x = 2 eiπ/2 = 2(0 + i) = i2
k = −1
x = 2 e−iπ/2 = 2(0 − i) = − i2
k=2
x = 2 e−iπ = 2(−1+ i0) = −2
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 10
2.2. Transformasi Laplace
Definisi
Dalam analisis dinamika proses, variabel proses dan sinyal kontrol
adalah fungsi waktu, t. Transformasi Laplace f(t) adalah:
F (s ) = L [ f (t )] =
∞
∫ f (t )e
− st
…… (2.2.1)
dt
0
Dimana:
F(s) = Transformasi Laplace dari f(t)
s = Variable Transformasi Laplace, time-1
Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 11
2.2. Transform asi Laplace
Jenis-Jenis Input
• Fungsi Tahap (step function)
⎧0 t < 0
u (t ) = ⎨
⎩1 t ≥ 0
∞
1.0
L [u (t )] = u (t ) e − st dt = − e − st
1
s
∫
0
0
t
t=0
=−
H
L [ f (t )] =
0
1
(0 − 1) = 1
s
s
∞
∫
T
f (t ) e − st dt = H e − st dt
∫
0
t=T
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
BAB II Matematika Untuk Analisis Sistem Dinamik
0
⎧0 t < 0, t ≥ T
f (t ) = ⎨
⎩H 0 ≤ t < T
• Fungsi Pulse
t=0
∞
t
=−
0
H − st
e
s
T
0
=−
(
H
1 − e − sT
s
)
DI NPRO / I I / 12
YDH - DINPRO - 4
2.2. Transform asi Laplace
Jenis-Jenis Input
Dirac delta function: δ(t)
• Fungsi Impulse
∞
⎧0 t < 0, t > 0
⎩∞ t = 0
δ (t ) = ⎨
∞
L [δ (t )] = δ (t ) e − st dt = 1
0
∫
t
t=0
0
• Fungsi Sinus
Frequency = ω =
Amplitude = 1
1
2π
T
Period = T
0
sin (ωt ) =
-1
t=0
e iωt − e −iωt
2i
t
t=T
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 13
2.2. Transform asi Laplace
• Fungsi Sinus (lanjutan)
∞
L [sin (ωt )] =
∫
0
=
e iωt − e −iωt − st
e dt
2i
∞
∫ [e
1
2i
− (s −iω )t
]
− e −(s + iω )t dt
0
1 ⎡ e − (s −iω )t e −(s + iω )t ⎤
= ⎢−
+
⎥
s + iω ⎦⎥
2i ⎣⎢ s − iω
∞
0
∞
=
1 ⎡ 0 −1
0 −1 ⎤
1 ⎛ 2iω ⎞
−
= ⎜ 2
+
⎟
⎥
⎢
2i ⎣ s − iω s + iω ⎦ 0 2i ⎝ s + ω 2 ⎠
=
ω
s +ω2
2
Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 14
2.2. Transform asi Laplace
Tabel 2.2.1. Transformasi Laplace Untuk Fungsi-Fungsi Umum
f(t)
F(s) = L [f(t)]
f(t)
F(s) = L [f(t)]
δ(t)
1
tne−at
n!
1
s
1
u(t)
t
s2
n!
tn
s
n +1
e−at
1
s+a
te−at
1
sin(ωt)
cos(ωt)
e−at sin(ωt)
e−atcos(ωt)
(s + a )n +1
ω
s +ω2
s
2
s +ω2
ω
(s + a )2 + ω 2
s+a
(s + a )2 + ω 2
2
(s + a )2
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
BAB II Matematika Untuk Analisis Sistem Dinamik
DI NPRO / I I / 15
YDH - DINPRO - 5
2.2. Transform asi Laplace
TUGAS 01
• Buktikan konversi dari f(t) menjadi F(s)
berdasarkan Tabel Tansformasi Laplace Untuk
Fungsi-Fungsi Umum (Lihat Tabel 2.2.1.)
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 16
2.2. Transform asi Laplace
Sifat-Sifat Transformasi Laplace
• Linearity
TL merupakan operasi linear, hal ini berarti, jika a adalah
konstanta, maka: L [af (t )] = aL [ f (t )] = a F (s )
…… (2.2.2)
Sifat distributif:
L [a f (t ) + b g (t )] = a F (s ) + b G (s ) …… (2.2.3)
• Real Differentiation Theorem
⎡ df (t ) ⎤
⎥ = s F (s ) − f (0)
⎣ dt ⎦
…… (2.2.4)
L⎢
Pembuktian:
⎡ d f (t ) ⎤
L⎢
⎥=
⎣ dt ⎦
∞
∫
0
d f (t ) − st
e dt
dt
Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 17
2.2. Transform asi Laplace
Integral parsial:
d f (t )
dt
dt
v = f (t )
u = e − st
dv =
du = − se − st dt
⎡ d f (t ) ⎤
− st
L⎢
⎥ = f (t )e
dt
⎦
⎣
[
∞
] − ∫ f (t )(− se
∞
0
− st
dt
)
0
∞
= [0 − f (0)] + s f (t )e − st dt
∫
s F (s )
0
= s F (s ) − f (0)
terbukti
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
BAB II Matematika Untuk Analisis Sistem Dinamik
DI NPRO / I I / 18
YDH - DINPRO - 6
2.2. Transform asi Laplace
Untuk derivatif order 2 :
⎡ d 2 f (t ) ⎤
⎡ d ⎛ d f (t ) ⎞⎤
=L⎢ ⎜
⎟⎥
2 ⎥
⎣ dt ⎝ dt ⎠⎦
⎣⎢ dt ⎦⎥
L⎢
⎡ df (t ) ⎤ df
= s L⎢
⎥−
⎣ dt ⎦ dt
t =0
= s L[sF (s ) − f (0)] −
= s 2 F (s ) − s f (0 ) −
df
dt
df
dt
t =0
t =o
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 19
2.2. Transform asi Laplace
Secara umum, untuk n derivatif:
⎡ d n f (t ) ⎤
d n −1 f
n
n −1
= s F (s ) − s f (0 ) − ... − n −1
L⎢
n ⎥
dt
⎢⎣ dt ⎥⎦
…… (2.2.5)
t =0
Dalam pengendalian proses, kondisi awal adalah pada kondisi
tunak. Jadi time derivatifnya nol (zero), dan variabel adalah
deviasi dari kondisi awal, sehingga Laplace n derivative adalah:
⎡ d n f (t ) ⎤
= s n F (s )
L⎢
n ⎥
⎢⎣ dt ⎥⎦
…… (2.2.6)
Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 20
2.2. Transform asi Laplace
• Real Integration Theorem
⎡t
⎤ 1
L ⎢ f (t )dt ⎥ = F (s )
⎢0
⎥ s
⎣
⎦
∫
Pembuktiannya sama dengan
cara real differentiation
……
theorem.
(2.2.7)
Coba anda buktikan di Rumah!
• Real Translation Theorem
L [ f (t − t D )] = e − st D F (s )
Teori ini berkaitan dengan
keterlambatan waktu (time delay)
dalam merespon perubahan input,
dan selanjutnya dikenal sebagai
dead time.
…… (2.2.8)
f(t)
f(t-tD)
0
t=0
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
BAB II Matematika Untuk Analisis Sistem Dinamik
t = tD
t
DI NPRO / I I / 21
YDH - DINPRO - 7
2.2. Transform asi Laplace
Pembuktian:
L[ f (t − t D )] =
Misal, τ = t – tD atau t = tD + τ
∞
∫ f (t − t
D
)e − st dt
0
∞
L[ f (t − t D )] =
∫ f (τ )e
− s (t D +τ )
d (t D + τ )
t = −t D
∞
=
∫τ f (τ )e
=0
Catatan:
f(τ ) = 0 untuk τ < 0 < (t – tD)
=e
− st D
− st D − st
e
dτ
∞
∫ f (τ )e
− st
dτ
0
= e − st D F (s )
terbukti
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 22
2.2. Transform asi Laplace
• Final Value Theorem
lim f (t ) = lim sF (s )
t →∞
s →0
…… (2.2.9)
• Complex Differentiation Theorem
L[t f (t )] = −
d
F (s )
ds
…… (2.2.10)
• Complex Translation Theorem
(
)
L e at f (t ) = F (s − a )
…… (2.2.11)
• Initial Value Theorem
lim f (t ) = lim s F (s )
t →0
s →0
Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
…… (2.2.12)
DI NPRO / I I / 23
2.3. Penyelesaian PD dengan TL
Anggapan: kondisi awal adalah pada keaadaan tunak (steady state)
dan semua variabel dinyatakan dalam term deviasi.
Prosedur Penyelesaian TL
1. Ubah PD menjadi bentuk laplace dengan variabel s.
2. Buat hubungan antara variabel output (variabel tidak bebas/
dependent) dan variabel input.
3. Balik (invert) bentuk laplace menjadi bentuk waktu untuk
memperoleh respon output.
Catatan: dalam sistem pengendalian proses, PD menunjukkan
hubungan antara sinyal output, y(t), dan sinyal input, x(t).
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
BAB II Matematika Untuk Analisis Sistem Dinamik
DI NPRO / I I / 24
YDH - DINPRO - 8
2.3. Penyelesaian PD dengan TL
d y (t )
2
Pertimbangkan: a2
dt
2
+ a1
dy(t )
+ a0 y (t ) = b x(t ) …… (2.3.1)
dt
x(t) disebut variabel input (force function)
y(t) disebut variabel output (dependent variable)
a0, a1, a2, dan b adalah konstanta
Kondisi awal = y(0), dan dy/dt|t=0 = 0
TL dari PD pangkat dua:
⎡ d 2 y (t ) ⎤
⎡ dy (t ) ⎤
a2 L ⎢
+ a1L ⎢
⎥ + a0 L[ y (t )] = bL [x(t )]
2 ⎥
⎣ dt ⎦
⎢⎣ dt ⎥⎦
TL untuk masing-masing term:
≅0
⎡ d 2 y (t ) ⎤
dy
2
(
)
(
)
=
−
0
−
s
Y
s
sy
a2 L ⎢
⎥
2
dt t =0
⎣⎢ dt ⎦⎥
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
…… (2.3.2)
DI NPRO / I I / 25
2.3. Penyelesaian PD dengan TL
TL untuk masing-masing term:
⎡ dy (t ) ⎤
a1L ⎢
⎥ = a1sY (s ) − y (0 )
⎣ dt ⎦
≅0
a0 L[ y (t )] = a0Y (s )
≅0
bL [x(t )] = b X (s )
Jadi diperoleh:
(a s
2
2
)
+ a1s + a0 Y (s ) − (a 2 s + a1 ) y (0 ) − a 2
dy
dt
= bX (s ) …… (2.3.3)
t =0
Penyederhanaan (hubungan output dan input):
Term di dalam kurung disebut
FUNGSI TRANSFER
⎛
b
Y (s ) = ⎜
⎜ a s2 + a s + a
1
0
⎝ 2
⎞
⎟ X (s ) …… (2.3.4)
⎟
⎠
Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 26
2.3. Penyelesaian PD dengan TL
Kebalikan dari TL Dengan Ekspansi Parsial:
Jika input berubah 1 unit fungsi tahap: X (s ) =
⎛
⎞1
b
⎟
Y (s ) = ⎜
2
⎜a s +a s+a ⎟ s
1
0 ⎠
⎝ 2
Pengmbangan (ekspansi) denominator:
(a s
2
2
)
+ a1s + a0 s = a 2 (s − r1 )(s − r2 )s
1
s
…… (2.3.5)
…… (2.3.6)
2
dimana r1 dan r2 adalah akar kuadrat dari: a2 s + a1s + a0 = 0
Akar polynomial kuadarat:
r1, 2 =
− a1 ± a12 − 4a 2 a0
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
BAB II Matematika Untuk Analisis Sistem Dinamik
…… (2.3.7)
2a 2
DI NPRO / I I / 27
YDH - DINPRO - 9
2.3. Penyelesaian PD dengan TL
Ekpansi parsial TL: Y (s ) =
A
A1
A
+ 2 + 3
s − r1 s − r2
s
…… (2.3.8)
Untuk akar-akar yang tidak berulang, berlaku:
Ak = lim (s − rk )Y (s )
…… (2.3.9)
s → rk
Berdasarkan Tabel TL, kebalikan (invert) dari laplace adalah:
y (t ) = A1e r1t + A2 e r2t + A3u (t )
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 28
2.3. Penyelesaian PD dengan TL
Untuk akar-akar yang berulang, misalnya r1 = r2, berlaku:
A
A1
A
Y (s ) =
+ 2 + 3
…… (2.3.10)
2
(s − r1 ) s − r1 s
Koefisien A3 dihitung seperti sebelumnya, A1 dan A2 dihitung
dengan cara:
A1 = lim (s − r1 )2 Y (s )
s → r1
A2 = lim
[
]
1 d
(s − r1 )2 Y (s )
ds
s → r1 1!
Berdasarlak Tabel TL, kebalikan (invert) dari laplace adalah:
y (t ) = A1te r1t + A2 e r1t + A3u (t )
…… (2.3.11)
Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 29
2.3. Penyelesaian PD dengan TL
Secara umum, jika r1 diulang m kali:
A
A1
A2
Y (s ) =
+
+ ... + m + ...
m
m −1
s − r1
(s − r1 ) (s − r1 )
…… (2.3.12)
Koefisien-koefisien dihitung sebagai berikut:
A1 = lim (s − r1 )m Y (s )
s → r1
[
]
1 d k −1
(s − r1 )m Y (s )
Ak = lim
s → r1 (k − 1)! ds k −1
…… (2.3.13)
Untuk k = 2, …, m, maka Invert laplace adalah
⎡ A t m −1 A2t m − 2
⎤
+
+ ... + Am ⎥ e r1t + ...
y (t ) = ⎢ 1
⎢⎣ (m − 1)! (m − 2)!
⎥⎦
Dr. Eng. Y. D. Her m aw an – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
BAB II Matematika Untuk Analisis Sistem Dinamik
…… (2.3.14)
DI NPRO / I I / 30
YDH - DINPRO - 10
2.3. Penyelesaian PD dengan TL
Time Delay (Dead-time)
Pertimbangkan kasus dimana terdapat term ekponensial
Y (s ) = Y1e − st D
…… (2.3.15)
Dengan Y1(s) tanpa term ekponensial
Y1 (s ) =
A
A1
A
+ 2 + ... + n
s − r1 s − r2
s − rn
…… (2.3.16)
Invert Y1(s) menghasilkan:
y1 (t ) = A1e r1t + A2 e r2t + ... + An e rnt
…… (2.3.17)
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 31
2.3. Penyelesaian PD dengan TL
Jadi, Invert Y (s) menghasilkan:
[
]
y (t ) = L−1 e − st D Y1 (s ) = y1 (t − t D )
Jadi, dengan menggunakan real translation theorem:
y (t ) = A e r1 (t −t D ) + A e r2 (t −t D ) + ... + A e rn (t −t D )
1
2
n
…… (2.3.18)
Jika terdapat multi-delay:
Y (s ) = Y1 (s )e − st D1 + Y2 (s )e − st D 2 + ... + Yn (s )e − st Dn …… (2.3.19)
Jadi, dengan menggunakan real translation theorem:
y (t ) = y1 (t − t D1 ) + y 2 (t − t D 2 ) + ... + y n (t − t Dn )
Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
…… (2.3.20)
DI NPRO / I I / 32
2.3. Penyelesaian PD dengan TL
Contoh 2.3.1 : menangani time delay
Diketahui PD berikut:
dc(t )
+ 2c(t ) = f (t )
dt
Dengan c(0) = 0, Tentukan respon output c(t), jika pada t = 1, input
berubah dengan satu unit step: f(t) = u(t – 1)!
Jadi: t D = 1 dan
1
F (s ) = e − s
s
TL dari PD dan substitusi F(s) menghasilkan:
C (s ) =
1
1 1 −s
F (s ) =
e
s+2
s+2 s
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
BAB II Matematika Untuk Analisis Sistem Dinamik
DI NPRO / I I / 33
YDH - DINPRO - 11
2.3. Penyelesaian PD dengan TL
misal:
C (s ) = C1 (s )e − s
Invert dari C1(s):
C1 (s ) =
A
B
1 1
= 1 + 1
s+2 s s+2 s
A1 = lim (s + 2 )
s → −2
A2 = lim s
s →0
1 1
1
=−
(s + 2) s 2
1 1 1
=
(s + 2) s 2
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 34
2.3. Penyelesaian PD dengan TL
Jadi invert dari C1(s) menghasilkan (lihat Tabel 2.2.1):
1
1
c1 (t ) = − e − 2t + u (t )
2
2
(
)
1
u (t ) 1 − e − 2t
2
Aplikasi real translation theorem:
=
[
]
c(t ) = L−1 C1 (s )e − s = c1 (t − 1) =
[
1
u (t − 1)1 − e − 2(t −1)
2
]
Catatan unit step u(t – 1) harus dikalikan dengan term eksponensial,
hal ini menunjukkan bahwa c(t) = 0 untuk t < 1.
Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 35
2.4. Karakteristik Respon Proses
Beberapa pertanyaan yang relevan terhadap respon:
1. Apakah respon stabil? Yaitu respon terjaga pada nilai tertentu.
2. Jika stabil, berapa nilai tunak baru?
3. Apakah responnya monoton atau berosilasi?
4. Jika monoton dan stabil, berapa waktu yang diperlukan untuk
mencapai kondisi stabil (tunak baru)?
5. Jika bersosilasi, berapa periode osilasi dan berapa waktu
berosilasi sampai akhirnya stabil?
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
BAB II Matematika Untuk Analisis Sistem Dinamik
DI NPRO / I I / 36
YDH - DINPRO - 12
2.4. Karakt erist ik Respon Proses
Variabel Deviasi
Y (t ) = y (t ) − y (0 )
…. (2.4.1)
Dimana: y(t) = nilai variabel total
y(0) = nilai variabel pada kondisi awal
Dari definisi variabel deviasi, maka variabel deviasi pada kondisi
awal selalu nol (0): Y(0) = y(0) – y(0) = 0
Pertimbangkan PD linear order n:
an
d n y (t )
dt n
d n −1 y (t )
+ an −1
= bm
dt n −1
d m x(t )
dt m
+ K + a0 y (t )
+ bm −1
d m −1 x(t )
dt m −1
+ L + b0 x(t ) + c
…. (2.4.2)
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 37
2.4. Karakt erist ik Respon Proses
Dimana n > m, y(t) = output, x(t) = input, dan c = konstanta
Pada kondisi tunak awal, semua fungsi derivatif waktu adalah nol
sehingga: a0 y (0 ) = b0 x(0 ) + c
…. (2.4.3)
Pers. (2.4.2) – Pers. (2.4.3) :
an
d nY (t )
dt n
+ a n −1
d n −1Y (t )
= bm
dt n −1
+ K + a0Y (t )
d m X (t )
dt m
+ bm −1
d m −1 X (t )
dt m −1
+ L + b0 X (t )
…. (2.4.4)
Dimana: Y(t) = y(t) – y(0) dan X(t) = x(t) – x(0)
Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 38
2.4. Karakt erist ik Respon Proses
Respon Output
Untuk menunjukkan hubungan antara respon output dan akar-akar dari
denominator fungsi transfer, maka penyelesaian TL dari pers. (2.4.4)
dalam term deviasi:
⎡ b s m + bm −1s m −1 + L + b0 ⎤
Y (s ) = ⎢ m n
⎥ X (s )
n −1
⎢⎣ an s + an −1s + L + a0 ⎥⎦
…. (2.4.5)
Denominator pers. (4.5) dapat difaktorkan menjadi derajat n berikut:
⎡ bm s m + bm −1s m −1 + L + b0 ⎤
Y (s ) = ⎢
⎥ X (s )
⎢⎣ an (s − r1 )(s − r2 )L (s − rn ) ⎥⎦
…. (2.4.6)
Dimana r1, r2, …, rn adalah akar polynomial denominator. Disamping
n faktor (lihat pers 2.4.6), terdapat faktor lain dari X(s) yang tergantung
pada jenis input (step, pulse, ramp, dll.)
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
BAB II Matematika Untuk Analisis Sistem Dinamik
DI NPRO / I I / 39
YDH - DINPRO - 13
2.4. Karakt erist ik Respon Proses
Pengembangan dalam fraksi parsial:
Y (s ) =
A
A1
A
+ 1 + L + n + term dari X (s )
s − r1 s − r1
s − rn
…. (2.4.7)
Kebalikan laplace pers. (4.7) menghasilkan:
Y (s ) = A1e r1t + A2 e r2t + L + An e rnt + term dari X (s )
…. (2.4.8)
Akar-Akar Nyata:
Akar positif : respon naik seiring naiknya waktu Æ TIDAK STABIL
Akar negatif : meluruh sampai nol Æ STABIL
∴ Jika semua akar denominator dari FT adalah nyata:
☺ respon monotonic (non-oscillatory)
☺ respon stabil jika semua akarnya negatif
(lihat Gambar 2.4.1)
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 40
2.4. Karakt erist ik Respon Proses
Gambar 2.4.1. Respon untuk akar-akar nyata
Y1
Y(t)
Y(t)
tk
t
(a) Stabil, akar nyata negatif
Y1 = kondisi tunak baru
tk =
−5
rk
t
(b) Tidak Stabil, akar nyata
positif
…. (2.4.9)
Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 41
2.4. Karakt erist ik Respon Proses
Pasangan Akar Complex Conjugate:
r1 = ρ + i ω
r2 = ρ − i ω
dimana: ρ = bagian real; ω = bagian imaginer
Pengembangan FT:
Y (s ) =
A1
A2
+
+L
s − ρ − iω s − ρ + iω
( A1 + A2 )(s − ρ ) + i( A1 − A2 )ω + L
(s − ρ )2 + ω 2 (s − ρ )2 + ω 2
B (s − ρ )
Cω
=
+
+L
2
2
(s − ρ ) + ω (s − ρ )2 + ω 2
=
…. (2.4.10)
dimana: B = A1 + A2 dan C = i (A1 – A2)
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
BAB II Matematika Untuk Analisis Sistem Dinamik
DI NPRO / I I / 42
YDH - DINPRO - 14
2.4. Karakt erist ik Respon Proses
Jadi invert dari pers. (2.4.10) menghasilkan (lihat Tabel 2.2.1):
Y (t ) = Be ρ t cos ωt + Ce ρ t sin ωt + L
= e ρ t [B cos ωt + C sin ωt ] + L
Penyederhanaan menggunakan bentuk trigonometri:
sin (ωt + θ ) = sin θ cos ωt + cos θ sin ωt
menghasilkan: Y (t ) = De
dimana: D =
ρt
B2 + C 2
sin ( ωt + θ ) + L
…. (2.4.11)
Æ Amplitudo awal
⎛B⎞
⎟ Æ Phase angle, dalam radian
⎝C ⎠
θ = arctan⎜
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 43
2.4. Karakt erist ik Respon Proses
Berdasarkan pers. (2.4.11), disimpulkan:
☺ Respon berosilasi
☺ Osilasi menjadi TIDAK STABIL, jika bilangan kompleks
conjugate mempunyai akar bagian real positif
Perhatikan term eρ t:
ρ positif Æ Amplitudo semakin besar dengan waktu
ρ negatif Æ Amplitudo meluruh
Frekuensi gelombang sinus merupakan bagian imaginer dari akar, ω
dalam radian/waktu.
Periode osilasi: waktu yang diperlukan untuk menempuh satu siklus
gelombang. atau, waktu yang diperlukan untuk menaikkan argumen
gelombang sinus (ω t + θ) sebesar 2π radian.
T=
2π
ω
…. (2.4.12)
Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 44
2.4. Karakt erist ik Respon Proses
Gambar 2.4.2. Respon untuk akar-akar complex conjugate
Y(t)
Y(t)
Y1
ts
t
(a) Stabil, akar nyata negatif
Y1 = kondisi tunak baru
ts =
−5
ρ
Decay ratio = e ρ T = e 2πρ / ω
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
BAB II Matematika Untuk Analisis Sistem Dinamik
t
(b) Tidak Stabil, akar nyata
positif
…. (2.4.13)
…. (2.4.14)
DI NPRO / I I / 45
YDH - DINPRO - 15
2.4. Karakt erist ik Respon Proses
Kondisi Tunak Baru
Kondisi tunak baru dapat dicari dengan final value theorem
Asumsi input berubah dengan fungsi tahap dimana X(t) = ∆x u(t)
atau X(s) = ∆x / s Æ substitusi ke pers. (2.4.5)
⎡ bm s m + bm −1s m −1 + L + b0 ⎤ ∆x b0 ∆x … (2.4.15)
=
∆Y = lim s ⎢
⎥
n
n −1
s →0
a0 s
⎣ an s + an −1s + L + a0 ⎦ s
Kriteria Kestabilan
Sistem akan STABIL jika semua akar denominator dari FT adalah
NEGATIF, yaitu: negatif untuk akar nyata dan negatif untuk bagian real
dari akar complex. Lihat Gambar bidang kompleks (Gambar 2.4.3)
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 46
2.4. Karakt erist ik Respon Proses
Gambar 2.4.3. Complex Plane
I
STABIL
R
STABIL
Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 47
2.5. Linearisasi
Mengapa perlu linearisasi?
linearisasi?
Salah satu kesulitan dalam analisis respon dinamik untuk proses adalah sifat
ketidak-linearan proses tersebut. Metode Transformasi Laplace (TL) yang
telah kita pelajari dapat menggambarkan dinamika sistem proses. Sayangnya,
hanya sistem linear saja yang dapat dianalisa dengan TL. Dan, tidak ada
teknik lainnya yang dapat digunakan untuk analisis dinamik sistem non-linear.
Linearisasi digunakan untuk mendekati respon sistem non-linear dengan
PD linear yang kemudian dapat dianalisa dengan TL
Pendekatan linear terhadap sistem non-linear dapat diterima (valid) untuk
daerah yang dekat dengan beberapa titik dasar (base point) yang dibuat.
Maka, kita akan memilih kondisi tunak awal sebagai base point.
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
BAB II Matematika Untuk Analisis Sistem Dinamik
DI NPRO / I I / 48
YDH - DINPRO - 16
2.5. Linearisasi
Beberapa fungsi nonnon-linear yang umum:
umum:
☺ Entalpi (H), sebagai fungsi suhu (T):
H [T (t )] = H 0 + a1T (t ) + a2T 2 (t ) + a3T 3 (t ) + a4T 4 (t )
… (2.5.1)
dimana: H0, a0, a1, a2, a3, dan a4 adalah konstanta.
☺ Pers. Antoine: tekanan uap (p0) sebagai fungsi suhu (T)
p 0 [T (t )] = e A− B [T (t )+C ]
… (2.5.2)
dimana: A, B, dan C adalah konstanta.
☺ Fraksi mol uap setimbang (y), sebagai fungsi fraksi mol cairan (x)
y[x(t )] =
αx(t )
1 + (α − 1)x(t )
… (2.5.3)
dimana: α adalah volatilitas relatif, biasanya diasumsikan konstan.
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 49
2.5. Linearisasi
☺ Laju aliran (f), sebagai fungsi pressure drop (∆p):
f [∆p (t )] = k ∆p(t )
… (2.5.4)
dimana: k adalah koefisian kunduktansi konstan.
☺ Laju perpindahan panas radiasi q, sebagai fungsi suhu (T)
q[T (t )] = εσAT 4 (t )
dimana: ε, σ, dan A adalah konstanta.
… (2.5.5)
☺ Pers. Arhenius: ketergantungan koef. laju reaksi (k) terhadap (T)
k [T (t )] = k 0 e − E [RT (t )]
… (2.5.6)
dimana: α k0, E, dan R adalah konstanta.
☺ Pers. Laju reaksi (r): sebagai fungsi suhu (T), dan konsentrasi CA, CB.
r [T (t ), c A (t ), c B (t ),...] = k [T (t )]c Aa (t )c Bb (t )...
… (2.5.7)
dimana: k[T(t)] = pers. (2.7.6); a, dan b adalah konstanta.
Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 50
2.5. Linearisasi
Linearisasi Fungsi Satu Variabel
Semua fungsi dapat dikembangkan ke dalam deret Taylor sekitar base point:
f [x(t )] = f (x ) +
df
dx
2
f
2! dx
2
[x(t ) − x ] + 1 d
x
[x(t ) − x ]2 + L
… (2.5.8)
x
dimana: x adalah base value x disekitar fungsi yang diekspansi.
Dalam linearisasi, bentuk order dua atau lebih dari pers. (2.5.8) dapat
diabaikan, sehingga menjadi:
f [x(t )] = f (x ) +
df
dx
[x(t ) − x ]
… (2.5.9)
x
Pers. (2.5.9) adalah fungsi dasar linearisasi yang diilustrasikan pada
Gambar 2.5.1. Karena x adalah konstan, maka persamaan disebelah
kanan tanda sama dengan adalah linear dalam variabel x(t)
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
BAB II Matematika Untuk Analisis Sistem Dinamik
DI NPRO / I I / 51
YDH - DINPRO - 17
2.5. Linearisasi
Gambar 2.5.1 Pendekatan linear adalah tangen dari fungsi non-linear
pada base point x
Garis tangen
1
f [x(t )] f (x )
df
dx
x
Fungsi non-linear
x
x(t)
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 52
2.5. Linearisasi
Contoh 2.5.1:Linearisasi Pers. Arrhenius
( )
[ ]−1
Base point: k T = 100 sec
Energi aktivasi, E = 22000 kcal/kmol, & R = 1.987 kcal/kmol-K
Perkirakan error pada slope dalam rentang ±10oC di sekitar T = 300oC
Penyelesaian:
Penyelesaian:
Aplikasi Pers. (2.5.9) ke (2.5.6):
( )
k [T (t )] = k T +
Dimana:
dk
dT
dk
dT
[
]
d
k 0 e − E (RT (t ) ) T
dT
E
E
= k 0 e − E (RT )
=kT
2
RT
RT 2
=
T
[T (t ) − T ]
T
( )
Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 53
2.5. Linearisasi
Slope:
dk
dT
= (100)
300 o C
22000
(1.987 )(300 + 273)2
Jadi diperoleh pendekatan linear:
= 3.37
sec −1
o
C
[
k [T (t )] = 100 + 3.37 T (t ) − T
]
Dalam range 290 – 310 oC, diperoleh nilai actual dan slope:
T = 290 o C , k (T ) = 70.95 sec −1 , dk dT T = 2.48 sec −1/ o C
T = 310 o C , k (T ) = 139.3 sec −1 , dk dT T = 4.54 sec −1/ o C
Sebagai perbandingan: dituliskan pendekatan linear berikut:
k(290oC) = 100 + 3.37(290 – 300) = 66.3 sec-1 Æ error = –6.6%
k(310oC) = 100 + 3.37(310 – 300) = 133.7 sec-1 Æ error = –4%
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
BAB II Matematika Untuk Analisis Sistem Dinamik
DI NPRO / I I / 54
YDH - DINPRO - 18
2.5. Linearisasi
Linearisasi Fungsi Dua Variabel atau Lebih
Ekspansi deret Taylor untuk dua variabel atau lebih:
f [x1 (t ), x2 (t ), L] = f (x1 , x2 , L) +
df
[x1 (t ) − x1 ] + d f [x2 (t ) − x2 ] + L (2.5.10)
dx1
dx2
∂f
∂f
dan x1 , x2 , L adalah base value dari
=
∂xk ∂xk ( x , x ,L)
masing-masing variabel
1 2
dimana:
Contoh 2.5.2: kasus sederhana luas (a) segi empat adalah fungsi dari
panjang (w) dan lebar (h):
a[w(t ), h(t )] = w(t )h(t )
( )
Linearisasi: a[w(t ), h(t )] = a w , h +
( )
[
∂a
[w(t ) − w ] + ∂a
h(t ) − h
∂h (w ,h )
∂w (w ,h )
[
a[w(t ), h(t )] = a w , h + h [w(t ) − w ] + w h(t ) − h
]
]
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 55
2.5. Linearisasi
Gambar 2.5.2 Error pendekatan linear dari luas segi empat
w [h(t) – h]
h [w(t) – w]
h(t)
a(w,h) = w h
h
error
w
w(t)
Asumsi:
w = 2 m dan h = 1 m
Æ Luas pada base point: a = 2 m2
Increment: w(t) = 2.2 m dan h(t) = 1.1 m Æ aactual = 2.42 m2
Luas pendekatan = 2 + 1(0.2) + 2(0.1) = 2.40 m2
error = 2.42 – 2.40 = 0.02 m2
Luas daerah arsiran = (0.2)(0.1) = 0.02 m2
Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 56
2.5. Linearisasi
Contoh 2.5.3: Linearisasi Pers. densitas gas ideal sbg fungsi tekanan dan suhu
Fungsi densitas non-linear
ρ [ p(t ), T (t )] =
Mp(t )
RT (t )
Untuk evaluasi, kita menggunakan gas udara:
M = berat molekul = 29 [kg/kmol] ; IB = tekanan absolut = 101.3 kPa
T = suhu absolut [K] ; & R = 8.314 kPa-m3/kmol-K
Penyelesaian:
Penyelesaian:
Aplikasi Pers. (2.5.10):
ρ [ p(t ), T (t )] = ρ ( p, T ) +
Dimana:
[
∂ρ
[ p(t ) − p ] + ∂ρ T (t ) − T
∂p
∂T
]
∂ρ
∂ ⎡ Mp(t ) ⎤
M
=
=
⎢
⎥
∂p dp ⎣ RT (t ) ⎦ ( p ,T ) RT
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
BAB II Matematika Untuk Analisis Sistem Dinamik
DI NPRO / I I / 57
YDH - DINPRO - 19
2.5. Linearisasi
∂ ⎡ Mp(t ) ⎤
∂ρ
Mp
=−
=
⎥
⎢
∂T dT ⎣ RT (t ) ⎦ ( p ,T )
RT 2
Jadi pendekatan fungsi densitas linear
ρ [ p(t ), T (t )] =
[
Mp M
[ p(t ) − p ] − Mp2 T (t ) − T
+
RT RT
RT
]
Secara numerik:
[
ρ [ p(t ), T (t )] = 1.178 + 0.01163[ p(t ) − p ] − 0.00393 T (t ) − T
]
ρ = [kg/m3], p = [kPa], T = [K]
Dengan satuan:
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 58
2.5. Linearisasi
Linearisasi Persamaan Diferensial
Pertimbangkan PD Order satu dengan satu input berikut:
dy (t )
= g [x(t ), y (t )] + b
dt
… (2.5.11)
dimana: g[x(t),y(t)] adalah fungsi non-linear dengan input x(t), output y(t),
dan b adalah konstanta.
Pada kondisi tunak awal:
Base point:
0 = g (x , y ) + b
… (2.5.12)
x = x(0 ), y = y (0 )
Pers. (2.5.11) – (2.5.12):
dy (t )
= g [x(t ), y (t )] − g (x , y )
dt
Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
… (2.5.13)
DI NPRO / I I / 59
2.5. Linearisasi
Linearisasi fungsi multi-variabel dari pers. (2.5.13):
dy (t ) ∂g
[x(t ) − x ] +
=
dt
∂x ( x , y )
∂g
[y(t ) − y ]
∂y ( x , y )
… (2.5.14)
Term deviasi
∴ Diperoleh PD linear dalam term deviasi:
dY (t )
= a1 X (t ) + a 2Y (t )
dt
… (2.5.15)
dimana: a1 = ∂g ∂x
dan
a 2 = ∂g ∂y ( x , y )
(x , y )
Catatan:
1. Konstanta b di pers. (2.5.11) hilang. Tidak ada suatu konstanta
dalam persamaan yang dinyatakan dalam term deviasi (2.5.15).
2. Pada kondisi awal: Y(0) = y(0) – y(0) = 0
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
BAB II Matematika Untuk Analisis Sistem Dinamik
DI NPRO / I I / 60
YDH - DINPRO - 20
2.5. Linearisasi
Contoh 2.5.4: Linearisasi PD multi variabel
Dari neraca massa RATB, dihasilkan PD non-linear berikut:
dc A (t ) 1
1
= f (t )c Ai (t ) − f (t )c A (t ) − k [T (t )]c A (t )
dt
V
V
k[T(t)] = pers. non-linear yang telah dilinearkan (lihat contoh 2.5.1)
V dianggap konstan, f(t) = laju alir reaktan, cAi = konsetrasi reaktan masuk
reaktor, cA = konsetrasi reaktan keluar reaktor, T(t) = suhu keluar reaktor
Penyelesaian:
Penyelesaian:
dc A (t )
= g [ f (t ), c Ai (t ), T (t ), c A (t )]
dt
=
1
1
f (t )c Ai (t ) − f (t )c A (t ) − k [T (t )]c A (t )
V
V
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 61
2.5. Linearisasi
Aplikasi pers. (2.5.15):
dC A (t )
= a1 F (t ) + a 2 C Ai (t ) + a3Γ(t ) + a 4 C A (t )
dt
dimana: C A (t ) = c A (t ) − c A , F (t ) = f (t ) − f , C Ai (t ) = C Ai (t ) − C Ai
Γ(t ) = T (t ) − T
adalah variabel-variabel deviasi
a1, a2, a3, dan a4 diperoleh dengan turunan parsial fungsi g berikut:
a1 =
∂g c Ai − c A
=
V
∂f
a3 =
E
∂g
cA
= −k T
∂T
RT 2
( )
a2 =
f
∂g
=
∂c Ai V
a4 =
f
∂g
= − −k T
V
∂c A
( )
Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 62
2.5. Linearisasi
Pindah term CA(t) ke kiri, dan bagi dengan –a4, diperoleh:
τ
dC A (t )
+ C A (t ) = K1 F (t ) + K 2 C Ai (t ) + K 3Γ(t )
dt
dimana:
τ =−
1
V
=
a4
f + Vk T
K2 = −
a2
f
=
a4
f + Vk T
( )
( )
K1 = −
c − cA
a1
= Ai
a4
f + Vk T
( )
a
Vk (T )Ec A
K3 = − 3 = −
a4
RT 2 [ f + Vk (T )]
Dengan Transformasi Laplace, diperoleh:
C A (s ) =
K
K
K1
F (s ) + 2 C Ai (s ) + 3 Γ(s )
τs + 1
τs + 1
τs + 1
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
BAB II Matematika Untuk Analisis Sistem Dinamik
DI NPRO / I I / 63
YDH - DINPRO - 21
MATEMATIKA UNTUK ANALISIS
SISTEM DINAMIK
•
Tujuan: Mhs mampu menyusun dan menyelesaikan model
matematika (persamaan keadaan) suatu sistem (proses)
sehingga dapat menjelaskan dinamika suatu proses
•
Materi:
1. Bilangan Kompleks
2. Transformasi Laplace: definisi, sifat-sifat transformasi
laplace
3. Penyelesaian PD dengan Transformasi Laplace:
prosedur, inversion, penyelesaian time delay
4. Karakteristik Respon Proses: variabel deviasi, respon
output, stabilitas
5. Linearisasi
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 1
2.1. Bilangan Kompleks
• Sebuah bilangan disebut kompleks jika bilangan
tsb tidak dapat dinyatakan sebagai bilangan
nyata (real); atau bilangan tsb adalah khayal
(imaginer)
• Bilangan Imaginer :
−1 = i
• Bentuk cartesian : c
=a+ib
…… (2.1.1)
dimana: a
= bagian real
b = bagian imaginer
Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 2
2.1. Bilangan Kom pleks
Complex Plane
I
c=a+ib
(a,b)
r
b
θ
a
Real Axis
R
Notasi Polar
r ≡ magnitude
θ ≡ argument
Imagiray Axis
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 3
2.1. Bilangan Kom pleks
Notasi Polar Untuk Menyatakan Bilangan Kompleks:
magnitude
r = c = a2 + b2
argument
θ = tan −1 ⎜ ⎟ = arctan⎜ ⎟
…… (2.1.2.a)
⎛b⎞
⎝a⎠
⎛b⎞
⎝a⎠
maka: a = r cos θ
…… (2.1.2.b)
dan b = r sin θ
…… (2.1.3)
∴ notasi cartesian
c = r (cos θ + i sin θ ) = r e iθ
…… (2.1.4)
dimana: e iθ ≡ (cos θ + i sin θ )
conjugate
conj.(a + i b ) = (a − i b )
…… (2.1.5)
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 4
2.1. Bilangan Kom pleks
Operasi Bilangan Kompleks
iθ
Pertimbangkan: c = a + i b = r e
dan
p = v + i w = q ei β
Penjumlahan & Pengurangan: c ± p = (a ± v ) + i (b ± w)
Perkalian:
…… (2.1.6)
cp = (a + ib )(v + iw)
= av + i 2bw + ibv + iaw
= (av − bw) + i (bv + aw)
( )(
…… (2.1.7)
)
cp = r e iθ q e i β = rqe i (θ + β )
Perkalian dg conjugate:
…… (2.1.8)
(a + i b )(a − i b ) = a 2 + b 2 = r
…… (2.1.9)
Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 5
2.1. Bilangan Kom pleks
Operasi Bilangan Kompleks
c (a + ib ) (v − iw) (av + bw) + i (bv − aw)
=
=
p (v + iw) (v − iw)
v 2 + w2
Pembagian:
⎛ av + bw ⎞ ⎛ bv − aw ⎞
=⎜ 2
⎟
⎟ + i⎜
⎝ v + w2 ⎠ ⎝ v 2 + w2 ⎠
c re iθ
r
= iβ = e i (θ − β )
p qe
q
Bentuk polar
Pangkat:
c n = r n e inθ
Akar:
n
c = re iθ = n r e i (θ + 2 kπ )/ n
n
…… (2.1.10)
…… (2.1.11)
…… (2.1.12)
…… (2.1.13)
dimana k = 0, ±1, ±2, …, sampai diperoleh n akar
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
BAB II Matematika Untuk Analisis Sistem Dinamik
DI NPRO / I I / 6
YDH - DINPRO - 2
2.1. Bilangan Kom pleks
Contoh Soal 2.1.1: konversi bilangan kom pleks m enj adi polar
Bil. kompleks:
a = 3 + i4
b = 8 − i6
c = −1 + i
Magnitude (r):
a =5
b = 10
c = 1.414
Argument (θ):
θ c = tan −1
−6
4
θ b = tan −1
8
3
= −0.643 rad
= 0.927 rad
θ a = tan −1
3π
rad
4
b = 5e i (3π / 4 )
b = 5e −i 0.643
a = 5e i 0.297
Polar:
=
1
−1
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 7
2.1. Bilangan Kom pleks
Contoh Soal: (lanjutan)
Com plex Plane
I
6
a=3
4
c = − 1 +i
+i4
2
R
0
-10
-8
-6
-4
-2
0
2
4
6
8
10
-2
-4
-6
b=8
−i6
-8
Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 8
2.1. Bilangan Kom pleks
Contoh Soal: (lanjutan)
Perkalian:
ac = (− 3 − 4) + i (3 − 4) = −7 − i
bc = (− 8 + 6) + i(8 + 6) = −2 − i 14
(
)
Bentuk polar: ac = 5e i 0.927 1.414e i 3π / 4 = 7.07e i 3.2834
= 7.07(cos 3.2834 + i sin 3.2834) = −7 − i
Pembagian:
Bentuk polar:
a (3 + i 4) (8 + i 6) (24 − 24) + i (18 + 32)
=
=
= i 0.5
b (8 − i 6) (8 + i 6)
64 + 36
a
5e i 0.927
=
= 0.5e i1.570 = 0.5(0 + i ) = i 0.5
b 10e −i 0.643
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
BAB II Matematika Untuk Analisis Sistem Dinamik
DI NPRO / I I / 9
YDH - DINPRO - 3
2.1. Bilangan Kom pleks
Contoh Soal: (lanjutan)
misal 16 = 16 e i 0
Akar:
x = 4 16 e i 0 = 4 16 e i (0+ 2 kπ / 4 ) = 2 e i (kπ / 2 )
dimana
untuk
akar dari 16 adalah:
k=0
x = 2 ei0 = 2
k=1
x = 2 eiπ/2 = 2(0 + i) = i2
k = −1
x = 2 e−iπ/2 = 2(0 − i) = − i2
k=2
x = 2 e−iπ = 2(−1+ i0) = −2
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 10
2.2. Transformasi Laplace
Definisi
Dalam analisis dinamika proses, variabel proses dan sinyal kontrol
adalah fungsi waktu, t. Transformasi Laplace f(t) adalah:
F (s ) = L [ f (t )] =
∞
∫ f (t )e
− st
…… (2.2.1)
dt
0
Dimana:
F(s) = Transformasi Laplace dari f(t)
s = Variable Transformasi Laplace, time-1
Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 11
2.2. Transform asi Laplace
Jenis-Jenis Input
• Fungsi Tahap (step function)
⎧0 t < 0
u (t ) = ⎨
⎩1 t ≥ 0
∞
1.0
L [u (t )] = u (t ) e − st dt = − e − st
1
s
∫
0
0
t
t=0
=−
H
L [ f (t )] =
0
1
(0 − 1) = 1
s
s
∞
∫
T
f (t ) e − st dt = H e − st dt
∫
0
t=T
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
BAB II Matematika Untuk Analisis Sistem Dinamik
0
⎧0 t < 0, t ≥ T
f (t ) = ⎨
⎩H 0 ≤ t < T
• Fungsi Pulse
t=0
∞
t
=−
0
H − st
e
s
T
0
=−
(
H
1 − e − sT
s
)
DI NPRO / I I / 12
YDH - DINPRO - 4
2.2. Transform asi Laplace
Jenis-Jenis Input
Dirac delta function: δ(t)
• Fungsi Impulse
∞
⎧0 t < 0, t > 0
⎩∞ t = 0
δ (t ) = ⎨
∞
L [δ (t )] = δ (t ) e − st dt = 1
0
∫
t
t=0
0
• Fungsi Sinus
Frequency = ω =
Amplitude = 1
1
2π
T
Period = T
0
sin (ωt ) =
-1
t=0
e iωt − e −iωt
2i
t
t=T
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 13
2.2. Transform asi Laplace
• Fungsi Sinus (lanjutan)
∞
L [sin (ωt )] =
∫
0
=
e iωt − e −iωt − st
e dt
2i
∞
∫ [e
1
2i
− (s −iω )t
]
− e −(s + iω )t dt
0
1 ⎡ e − (s −iω )t e −(s + iω )t ⎤
= ⎢−
+
⎥
s + iω ⎦⎥
2i ⎣⎢ s − iω
∞
0
∞
=
1 ⎡ 0 −1
0 −1 ⎤
1 ⎛ 2iω ⎞
−
= ⎜ 2
+
⎟
⎥
⎢
2i ⎣ s − iω s + iω ⎦ 0 2i ⎝ s + ω 2 ⎠
=
ω
s +ω2
2
Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 14
2.2. Transform asi Laplace
Tabel 2.2.1. Transformasi Laplace Untuk Fungsi-Fungsi Umum
f(t)
F(s) = L [f(t)]
f(t)
F(s) = L [f(t)]
δ(t)
1
tne−at
n!
1
s
1
u(t)
t
s2
n!
tn
s
n +1
e−at
1
s+a
te−at
1
sin(ωt)
cos(ωt)
e−at sin(ωt)
e−atcos(ωt)
(s + a )n +1
ω
s +ω2
s
2
s +ω2
ω
(s + a )2 + ω 2
s+a
(s + a )2 + ω 2
2
(s + a )2
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
BAB II Matematika Untuk Analisis Sistem Dinamik
DI NPRO / I I / 15
YDH - DINPRO - 5
2.2. Transform asi Laplace
TUGAS 01
• Buktikan konversi dari f(t) menjadi F(s)
berdasarkan Tabel Tansformasi Laplace Untuk
Fungsi-Fungsi Umum (Lihat Tabel 2.2.1.)
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 16
2.2. Transform asi Laplace
Sifat-Sifat Transformasi Laplace
• Linearity
TL merupakan operasi linear, hal ini berarti, jika a adalah
konstanta, maka: L [af (t )] = aL [ f (t )] = a F (s )
…… (2.2.2)
Sifat distributif:
L [a f (t ) + b g (t )] = a F (s ) + b G (s ) …… (2.2.3)
• Real Differentiation Theorem
⎡ df (t ) ⎤
⎥ = s F (s ) − f (0)
⎣ dt ⎦
…… (2.2.4)
L⎢
Pembuktian:
⎡ d f (t ) ⎤
L⎢
⎥=
⎣ dt ⎦
∞
∫
0
d f (t ) − st
e dt
dt
Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 17
2.2. Transform asi Laplace
Integral parsial:
d f (t )
dt
dt
v = f (t )
u = e − st
dv =
du = − se − st dt
⎡ d f (t ) ⎤
− st
L⎢
⎥ = f (t )e
dt
⎦
⎣
[
∞
] − ∫ f (t )(− se
∞
0
− st
dt
)
0
∞
= [0 − f (0)] + s f (t )e − st dt
∫
s F (s )
0
= s F (s ) − f (0)
terbukti
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
BAB II Matematika Untuk Analisis Sistem Dinamik
DI NPRO / I I / 18
YDH - DINPRO - 6
2.2. Transform asi Laplace
Untuk derivatif order 2 :
⎡ d 2 f (t ) ⎤
⎡ d ⎛ d f (t ) ⎞⎤
=L⎢ ⎜
⎟⎥
2 ⎥
⎣ dt ⎝ dt ⎠⎦
⎣⎢ dt ⎦⎥
L⎢
⎡ df (t ) ⎤ df
= s L⎢
⎥−
⎣ dt ⎦ dt
t =0
= s L[sF (s ) − f (0)] −
= s 2 F (s ) − s f (0 ) −
df
dt
df
dt
t =0
t =o
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 19
2.2. Transform asi Laplace
Secara umum, untuk n derivatif:
⎡ d n f (t ) ⎤
d n −1 f
n
n −1
= s F (s ) − s f (0 ) − ... − n −1
L⎢
n ⎥
dt
⎢⎣ dt ⎥⎦
…… (2.2.5)
t =0
Dalam pengendalian proses, kondisi awal adalah pada kondisi
tunak. Jadi time derivatifnya nol (zero), dan variabel adalah
deviasi dari kondisi awal, sehingga Laplace n derivative adalah:
⎡ d n f (t ) ⎤
= s n F (s )
L⎢
n ⎥
⎢⎣ dt ⎥⎦
…… (2.2.6)
Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 20
2.2. Transform asi Laplace
• Real Integration Theorem
⎡t
⎤ 1
L ⎢ f (t )dt ⎥ = F (s )
⎢0
⎥ s
⎣
⎦
∫
Pembuktiannya sama dengan
cara real differentiation
……
theorem.
(2.2.7)
Coba anda buktikan di Rumah!
• Real Translation Theorem
L [ f (t − t D )] = e − st D F (s )
Teori ini berkaitan dengan
keterlambatan waktu (time delay)
dalam merespon perubahan input,
dan selanjutnya dikenal sebagai
dead time.
…… (2.2.8)
f(t)
f(t-tD)
0
t=0
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
BAB II Matematika Untuk Analisis Sistem Dinamik
t = tD
t
DI NPRO / I I / 21
YDH - DINPRO - 7
2.2. Transform asi Laplace
Pembuktian:
L[ f (t − t D )] =
Misal, τ = t – tD atau t = tD + τ
∞
∫ f (t − t
D
)e − st dt
0
∞
L[ f (t − t D )] =
∫ f (τ )e
− s (t D +τ )
d (t D + τ )
t = −t D
∞
=
∫τ f (τ )e
=0
Catatan:
f(τ ) = 0 untuk τ < 0 < (t – tD)
=e
− st D
− st D − st
e
dτ
∞
∫ f (τ )e
− st
dτ
0
= e − st D F (s )
terbukti
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 22
2.2. Transform asi Laplace
• Final Value Theorem
lim f (t ) = lim sF (s )
t →∞
s →0
…… (2.2.9)
• Complex Differentiation Theorem
L[t f (t )] = −
d
F (s )
ds
…… (2.2.10)
• Complex Translation Theorem
(
)
L e at f (t ) = F (s − a )
…… (2.2.11)
• Initial Value Theorem
lim f (t ) = lim s F (s )
t →0
s →0
Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
…… (2.2.12)
DI NPRO / I I / 23
2.3. Penyelesaian PD dengan TL
Anggapan: kondisi awal adalah pada keaadaan tunak (steady state)
dan semua variabel dinyatakan dalam term deviasi.
Prosedur Penyelesaian TL
1. Ubah PD menjadi bentuk laplace dengan variabel s.
2. Buat hubungan antara variabel output (variabel tidak bebas/
dependent) dan variabel input.
3. Balik (invert) bentuk laplace menjadi bentuk waktu untuk
memperoleh respon output.
Catatan: dalam sistem pengendalian proses, PD menunjukkan
hubungan antara sinyal output, y(t), dan sinyal input, x(t).
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
BAB II Matematika Untuk Analisis Sistem Dinamik
DI NPRO / I I / 24
YDH - DINPRO - 8
2.3. Penyelesaian PD dengan TL
d y (t )
2
Pertimbangkan: a2
dt
2
+ a1
dy(t )
+ a0 y (t ) = b x(t ) …… (2.3.1)
dt
x(t) disebut variabel input (force function)
y(t) disebut variabel output (dependent variable)
a0, a1, a2, dan b adalah konstanta
Kondisi awal = y(0), dan dy/dt|t=0 = 0
TL dari PD pangkat dua:
⎡ d 2 y (t ) ⎤
⎡ dy (t ) ⎤
a2 L ⎢
+ a1L ⎢
⎥ + a0 L[ y (t )] = bL [x(t )]
2 ⎥
⎣ dt ⎦
⎢⎣ dt ⎥⎦
TL untuk masing-masing term:
≅0
⎡ d 2 y (t ) ⎤
dy
2
(
)
(
)
=
−
0
−
s
Y
s
sy
a2 L ⎢
⎥
2
dt t =0
⎣⎢ dt ⎦⎥
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
…… (2.3.2)
DI NPRO / I I / 25
2.3. Penyelesaian PD dengan TL
TL untuk masing-masing term:
⎡ dy (t ) ⎤
a1L ⎢
⎥ = a1sY (s ) − y (0 )
⎣ dt ⎦
≅0
a0 L[ y (t )] = a0Y (s )
≅0
bL [x(t )] = b X (s )
Jadi diperoleh:
(a s
2
2
)
+ a1s + a0 Y (s ) − (a 2 s + a1 ) y (0 ) − a 2
dy
dt
= bX (s ) …… (2.3.3)
t =0
Penyederhanaan (hubungan output dan input):
Term di dalam kurung disebut
FUNGSI TRANSFER
⎛
b
Y (s ) = ⎜
⎜ a s2 + a s + a
1
0
⎝ 2
⎞
⎟ X (s ) …… (2.3.4)
⎟
⎠
Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 26
2.3. Penyelesaian PD dengan TL
Kebalikan dari TL Dengan Ekspansi Parsial:
Jika input berubah 1 unit fungsi tahap: X (s ) =
⎛
⎞1
b
⎟
Y (s ) = ⎜
2
⎜a s +a s+a ⎟ s
1
0 ⎠
⎝ 2
Pengmbangan (ekspansi) denominator:
(a s
2
2
)
+ a1s + a0 s = a 2 (s − r1 )(s − r2 )s
1
s
…… (2.3.5)
…… (2.3.6)
2
dimana r1 dan r2 adalah akar kuadrat dari: a2 s + a1s + a0 = 0
Akar polynomial kuadarat:
r1, 2 =
− a1 ± a12 − 4a 2 a0
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
BAB II Matematika Untuk Analisis Sistem Dinamik
…… (2.3.7)
2a 2
DI NPRO / I I / 27
YDH - DINPRO - 9
2.3. Penyelesaian PD dengan TL
Ekpansi parsial TL: Y (s ) =
A
A1
A
+ 2 + 3
s − r1 s − r2
s
…… (2.3.8)
Untuk akar-akar yang tidak berulang, berlaku:
Ak = lim (s − rk )Y (s )
…… (2.3.9)
s → rk
Berdasarkan Tabel TL, kebalikan (invert) dari laplace adalah:
y (t ) = A1e r1t + A2 e r2t + A3u (t )
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 28
2.3. Penyelesaian PD dengan TL
Untuk akar-akar yang berulang, misalnya r1 = r2, berlaku:
A
A1
A
Y (s ) =
+ 2 + 3
…… (2.3.10)
2
(s − r1 ) s − r1 s
Koefisien A3 dihitung seperti sebelumnya, A1 dan A2 dihitung
dengan cara:
A1 = lim (s − r1 )2 Y (s )
s → r1
A2 = lim
[
]
1 d
(s − r1 )2 Y (s )
ds
s → r1 1!
Berdasarlak Tabel TL, kebalikan (invert) dari laplace adalah:
y (t ) = A1te r1t + A2 e r1t + A3u (t )
…… (2.3.11)
Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 29
2.3. Penyelesaian PD dengan TL
Secara umum, jika r1 diulang m kali:
A
A1
A2
Y (s ) =
+
+ ... + m + ...
m
m −1
s − r1
(s − r1 ) (s − r1 )
…… (2.3.12)
Koefisien-koefisien dihitung sebagai berikut:
A1 = lim (s − r1 )m Y (s )
s → r1
[
]
1 d k −1
(s − r1 )m Y (s )
Ak = lim
s → r1 (k − 1)! ds k −1
…… (2.3.13)
Untuk k = 2, …, m, maka Invert laplace adalah
⎡ A t m −1 A2t m − 2
⎤
+
+ ... + Am ⎥ e r1t + ...
y (t ) = ⎢ 1
⎢⎣ (m − 1)! (m − 2)!
⎥⎦
Dr. Eng. Y. D. Her m aw an – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
BAB II Matematika Untuk Analisis Sistem Dinamik
…… (2.3.14)
DI NPRO / I I / 30
YDH - DINPRO - 10
2.3. Penyelesaian PD dengan TL
Time Delay (Dead-time)
Pertimbangkan kasus dimana terdapat term ekponensial
Y (s ) = Y1e − st D
…… (2.3.15)
Dengan Y1(s) tanpa term ekponensial
Y1 (s ) =
A
A1
A
+ 2 + ... + n
s − r1 s − r2
s − rn
…… (2.3.16)
Invert Y1(s) menghasilkan:
y1 (t ) = A1e r1t + A2 e r2t + ... + An e rnt
…… (2.3.17)
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 31
2.3. Penyelesaian PD dengan TL
Jadi, Invert Y (s) menghasilkan:
[
]
y (t ) = L−1 e − st D Y1 (s ) = y1 (t − t D )
Jadi, dengan menggunakan real translation theorem:
y (t ) = A e r1 (t −t D ) + A e r2 (t −t D ) + ... + A e rn (t −t D )
1
2
n
…… (2.3.18)
Jika terdapat multi-delay:
Y (s ) = Y1 (s )e − st D1 + Y2 (s )e − st D 2 + ... + Yn (s )e − st Dn …… (2.3.19)
Jadi, dengan menggunakan real translation theorem:
y (t ) = y1 (t − t D1 ) + y 2 (t − t D 2 ) + ... + y n (t − t Dn )
Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
…… (2.3.20)
DI NPRO / I I / 32
2.3. Penyelesaian PD dengan TL
Contoh 2.3.1 : menangani time delay
Diketahui PD berikut:
dc(t )
+ 2c(t ) = f (t )
dt
Dengan c(0) = 0, Tentukan respon output c(t), jika pada t = 1, input
berubah dengan satu unit step: f(t) = u(t – 1)!
Jadi: t D = 1 dan
1
F (s ) = e − s
s
TL dari PD dan substitusi F(s) menghasilkan:
C (s ) =
1
1 1 −s
F (s ) =
e
s+2
s+2 s
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
BAB II Matematika Untuk Analisis Sistem Dinamik
DI NPRO / I I / 33
YDH - DINPRO - 11
2.3. Penyelesaian PD dengan TL
misal:
C (s ) = C1 (s )e − s
Invert dari C1(s):
C1 (s ) =
A
B
1 1
= 1 + 1
s+2 s s+2 s
A1 = lim (s + 2 )
s → −2
A2 = lim s
s →0
1 1
1
=−
(s + 2) s 2
1 1 1
=
(s + 2) s 2
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 34
2.3. Penyelesaian PD dengan TL
Jadi invert dari C1(s) menghasilkan (lihat Tabel 2.2.1):
1
1
c1 (t ) = − e − 2t + u (t )
2
2
(
)
1
u (t ) 1 − e − 2t
2
Aplikasi real translation theorem:
=
[
]
c(t ) = L−1 C1 (s )e − s = c1 (t − 1) =
[
1
u (t − 1)1 − e − 2(t −1)
2
]
Catatan unit step u(t – 1) harus dikalikan dengan term eksponensial,
hal ini menunjukkan bahwa c(t) = 0 untuk t < 1.
Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 35
2.4. Karakteristik Respon Proses
Beberapa pertanyaan yang relevan terhadap respon:
1. Apakah respon stabil? Yaitu respon terjaga pada nilai tertentu.
2. Jika stabil, berapa nilai tunak baru?
3. Apakah responnya monoton atau berosilasi?
4. Jika monoton dan stabil, berapa waktu yang diperlukan untuk
mencapai kondisi stabil (tunak baru)?
5. Jika bersosilasi, berapa periode osilasi dan berapa waktu
berosilasi sampai akhirnya stabil?
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
BAB II Matematika Untuk Analisis Sistem Dinamik
DI NPRO / I I / 36
YDH - DINPRO - 12
2.4. Karakt erist ik Respon Proses
Variabel Deviasi
Y (t ) = y (t ) − y (0 )
…. (2.4.1)
Dimana: y(t) = nilai variabel total
y(0) = nilai variabel pada kondisi awal
Dari definisi variabel deviasi, maka variabel deviasi pada kondisi
awal selalu nol (0): Y(0) = y(0) – y(0) = 0
Pertimbangkan PD linear order n:
an
d n y (t )
dt n
d n −1 y (t )
+ an −1
= bm
dt n −1
d m x(t )
dt m
+ K + a0 y (t )
+ bm −1
d m −1 x(t )
dt m −1
+ L + b0 x(t ) + c
…. (2.4.2)
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 37
2.4. Karakt erist ik Respon Proses
Dimana n > m, y(t) = output, x(t) = input, dan c = konstanta
Pada kondisi tunak awal, semua fungsi derivatif waktu adalah nol
sehingga: a0 y (0 ) = b0 x(0 ) + c
…. (2.4.3)
Pers. (2.4.2) – Pers. (2.4.3) :
an
d nY (t )
dt n
+ a n −1
d n −1Y (t )
= bm
dt n −1
+ K + a0Y (t )
d m X (t )
dt m
+ bm −1
d m −1 X (t )
dt m −1
+ L + b0 X (t )
…. (2.4.4)
Dimana: Y(t) = y(t) – y(0) dan X(t) = x(t) – x(0)
Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 38
2.4. Karakt erist ik Respon Proses
Respon Output
Untuk menunjukkan hubungan antara respon output dan akar-akar dari
denominator fungsi transfer, maka penyelesaian TL dari pers. (2.4.4)
dalam term deviasi:
⎡ b s m + bm −1s m −1 + L + b0 ⎤
Y (s ) = ⎢ m n
⎥ X (s )
n −1
⎢⎣ an s + an −1s + L + a0 ⎥⎦
…. (2.4.5)
Denominator pers. (4.5) dapat difaktorkan menjadi derajat n berikut:
⎡ bm s m + bm −1s m −1 + L + b0 ⎤
Y (s ) = ⎢
⎥ X (s )
⎢⎣ an (s − r1 )(s − r2 )L (s − rn ) ⎥⎦
…. (2.4.6)
Dimana r1, r2, …, rn adalah akar polynomial denominator. Disamping
n faktor (lihat pers 2.4.6), terdapat faktor lain dari X(s) yang tergantung
pada jenis input (step, pulse, ramp, dll.)
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
BAB II Matematika Untuk Analisis Sistem Dinamik
DI NPRO / I I / 39
YDH - DINPRO - 13
2.4. Karakt erist ik Respon Proses
Pengembangan dalam fraksi parsial:
Y (s ) =
A
A1
A
+ 1 + L + n + term dari X (s )
s − r1 s − r1
s − rn
…. (2.4.7)
Kebalikan laplace pers. (4.7) menghasilkan:
Y (s ) = A1e r1t + A2 e r2t + L + An e rnt + term dari X (s )
…. (2.4.8)
Akar-Akar Nyata:
Akar positif : respon naik seiring naiknya waktu Æ TIDAK STABIL
Akar negatif : meluruh sampai nol Æ STABIL
∴ Jika semua akar denominator dari FT adalah nyata:
☺ respon monotonic (non-oscillatory)
☺ respon stabil jika semua akarnya negatif
(lihat Gambar 2.4.1)
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 40
2.4. Karakt erist ik Respon Proses
Gambar 2.4.1. Respon untuk akar-akar nyata
Y1
Y(t)
Y(t)
tk
t
(a) Stabil, akar nyata negatif
Y1 = kondisi tunak baru
tk =
−5
rk
t
(b) Tidak Stabil, akar nyata
positif
…. (2.4.9)
Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 41
2.4. Karakt erist ik Respon Proses
Pasangan Akar Complex Conjugate:
r1 = ρ + i ω
r2 = ρ − i ω
dimana: ρ = bagian real; ω = bagian imaginer
Pengembangan FT:
Y (s ) =
A1
A2
+
+L
s − ρ − iω s − ρ + iω
( A1 + A2 )(s − ρ ) + i( A1 − A2 )ω + L
(s − ρ )2 + ω 2 (s − ρ )2 + ω 2
B (s − ρ )
Cω
=
+
+L
2
2
(s − ρ ) + ω (s − ρ )2 + ω 2
=
…. (2.4.10)
dimana: B = A1 + A2 dan C = i (A1 – A2)
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
BAB II Matematika Untuk Analisis Sistem Dinamik
DI NPRO / I I / 42
YDH - DINPRO - 14
2.4. Karakt erist ik Respon Proses
Jadi invert dari pers. (2.4.10) menghasilkan (lihat Tabel 2.2.1):
Y (t ) = Be ρ t cos ωt + Ce ρ t sin ωt + L
= e ρ t [B cos ωt + C sin ωt ] + L
Penyederhanaan menggunakan bentuk trigonometri:
sin (ωt + θ ) = sin θ cos ωt + cos θ sin ωt
menghasilkan: Y (t ) = De
dimana: D =
ρt
B2 + C 2
sin ( ωt + θ ) + L
…. (2.4.11)
Æ Amplitudo awal
⎛B⎞
⎟ Æ Phase angle, dalam radian
⎝C ⎠
θ = arctan⎜
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 43
2.4. Karakt erist ik Respon Proses
Berdasarkan pers. (2.4.11), disimpulkan:
☺ Respon berosilasi
☺ Osilasi menjadi TIDAK STABIL, jika bilangan kompleks
conjugate mempunyai akar bagian real positif
Perhatikan term eρ t:
ρ positif Æ Amplitudo semakin besar dengan waktu
ρ negatif Æ Amplitudo meluruh
Frekuensi gelombang sinus merupakan bagian imaginer dari akar, ω
dalam radian/waktu.
Periode osilasi: waktu yang diperlukan untuk menempuh satu siklus
gelombang. atau, waktu yang diperlukan untuk menaikkan argumen
gelombang sinus (ω t + θ) sebesar 2π radian.
T=
2π
ω
…. (2.4.12)
Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 44
2.4. Karakt erist ik Respon Proses
Gambar 2.4.2. Respon untuk akar-akar complex conjugate
Y(t)
Y(t)
Y1
ts
t
(a) Stabil, akar nyata negatif
Y1 = kondisi tunak baru
ts =
−5
ρ
Decay ratio = e ρ T = e 2πρ / ω
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
BAB II Matematika Untuk Analisis Sistem Dinamik
t
(b) Tidak Stabil, akar nyata
positif
…. (2.4.13)
…. (2.4.14)
DI NPRO / I I / 45
YDH - DINPRO - 15
2.4. Karakt erist ik Respon Proses
Kondisi Tunak Baru
Kondisi tunak baru dapat dicari dengan final value theorem
Asumsi input berubah dengan fungsi tahap dimana X(t) = ∆x u(t)
atau X(s) = ∆x / s Æ substitusi ke pers. (2.4.5)
⎡ bm s m + bm −1s m −1 + L + b0 ⎤ ∆x b0 ∆x … (2.4.15)
=
∆Y = lim s ⎢
⎥
n
n −1
s →0
a0 s
⎣ an s + an −1s + L + a0 ⎦ s
Kriteria Kestabilan
Sistem akan STABIL jika semua akar denominator dari FT adalah
NEGATIF, yaitu: negatif untuk akar nyata dan negatif untuk bagian real
dari akar complex. Lihat Gambar bidang kompleks (Gambar 2.4.3)
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 46
2.4. Karakt erist ik Respon Proses
Gambar 2.4.3. Complex Plane
I
STABIL
R
STABIL
Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 47
2.5. Linearisasi
Mengapa perlu linearisasi?
linearisasi?
Salah satu kesulitan dalam analisis respon dinamik untuk proses adalah sifat
ketidak-linearan proses tersebut. Metode Transformasi Laplace (TL) yang
telah kita pelajari dapat menggambarkan dinamika sistem proses. Sayangnya,
hanya sistem linear saja yang dapat dianalisa dengan TL. Dan, tidak ada
teknik lainnya yang dapat digunakan untuk analisis dinamik sistem non-linear.
Linearisasi digunakan untuk mendekati respon sistem non-linear dengan
PD linear yang kemudian dapat dianalisa dengan TL
Pendekatan linear terhadap sistem non-linear dapat diterima (valid) untuk
daerah yang dekat dengan beberapa titik dasar (base point) yang dibuat.
Maka, kita akan memilih kondisi tunak awal sebagai base point.
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
BAB II Matematika Untuk Analisis Sistem Dinamik
DI NPRO / I I / 48
YDH - DINPRO - 16
2.5. Linearisasi
Beberapa fungsi nonnon-linear yang umum:
umum:
☺ Entalpi (H), sebagai fungsi suhu (T):
H [T (t )] = H 0 + a1T (t ) + a2T 2 (t ) + a3T 3 (t ) + a4T 4 (t )
… (2.5.1)
dimana: H0, a0, a1, a2, a3, dan a4 adalah konstanta.
☺ Pers. Antoine: tekanan uap (p0) sebagai fungsi suhu (T)
p 0 [T (t )] = e A− B [T (t )+C ]
… (2.5.2)
dimana: A, B, dan C adalah konstanta.
☺ Fraksi mol uap setimbang (y), sebagai fungsi fraksi mol cairan (x)
y[x(t )] =
αx(t )
1 + (α − 1)x(t )
… (2.5.3)
dimana: α adalah volatilitas relatif, biasanya diasumsikan konstan.
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 49
2.5. Linearisasi
☺ Laju aliran (f), sebagai fungsi pressure drop (∆p):
f [∆p (t )] = k ∆p(t )
… (2.5.4)
dimana: k adalah koefisian kunduktansi konstan.
☺ Laju perpindahan panas radiasi q, sebagai fungsi suhu (T)
q[T (t )] = εσAT 4 (t )
dimana: ε, σ, dan A adalah konstanta.
… (2.5.5)
☺ Pers. Arhenius: ketergantungan koef. laju reaksi (k) terhadap (T)
k [T (t )] = k 0 e − E [RT (t )]
… (2.5.6)
dimana: α k0, E, dan R adalah konstanta.
☺ Pers. Laju reaksi (r): sebagai fungsi suhu (T), dan konsentrasi CA, CB.
r [T (t ), c A (t ), c B (t ),...] = k [T (t )]c Aa (t )c Bb (t )...
… (2.5.7)
dimana: k[T(t)] = pers. (2.7.6); a, dan b adalah konstanta.
Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 50
2.5. Linearisasi
Linearisasi Fungsi Satu Variabel
Semua fungsi dapat dikembangkan ke dalam deret Taylor sekitar base point:
f [x(t )] = f (x ) +
df
dx
2
f
2! dx
2
[x(t ) − x ] + 1 d
x
[x(t ) − x ]2 + L
… (2.5.8)
x
dimana: x adalah base value x disekitar fungsi yang diekspansi.
Dalam linearisasi, bentuk order dua atau lebih dari pers. (2.5.8) dapat
diabaikan, sehingga menjadi:
f [x(t )] = f (x ) +
df
dx
[x(t ) − x ]
… (2.5.9)
x
Pers. (2.5.9) adalah fungsi dasar linearisasi yang diilustrasikan pada
Gambar 2.5.1. Karena x adalah konstan, maka persamaan disebelah
kanan tanda sama dengan adalah linear dalam variabel x(t)
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
BAB II Matematika Untuk Analisis Sistem Dinamik
DI NPRO / I I / 51
YDH - DINPRO - 17
2.5. Linearisasi
Gambar 2.5.1 Pendekatan linear adalah tangen dari fungsi non-linear
pada base point x
Garis tangen
1
f [x(t )] f (x )
df
dx
x
Fungsi non-linear
x
x(t)
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 52
2.5. Linearisasi
Contoh 2.5.1:Linearisasi Pers. Arrhenius
( )
[ ]−1
Base point: k T = 100 sec
Energi aktivasi, E = 22000 kcal/kmol, & R = 1.987 kcal/kmol-K
Perkirakan error pada slope dalam rentang ±10oC di sekitar T = 300oC
Penyelesaian:
Penyelesaian:
Aplikasi Pers. (2.5.9) ke (2.5.6):
( )
k [T (t )] = k T +
Dimana:
dk
dT
dk
dT
[
]
d
k 0 e − E (RT (t ) ) T
dT
E
E
= k 0 e − E (RT )
=kT
2
RT
RT 2
=
T
[T (t ) − T ]
T
( )
Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 53
2.5. Linearisasi
Slope:
dk
dT
= (100)
300 o C
22000
(1.987 )(300 + 273)2
Jadi diperoleh pendekatan linear:
= 3.37
sec −1
o
C
[
k [T (t )] = 100 + 3.37 T (t ) − T
]
Dalam range 290 – 310 oC, diperoleh nilai actual dan slope:
T = 290 o C , k (T ) = 70.95 sec −1 , dk dT T = 2.48 sec −1/ o C
T = 310 o C , k (T ) = 139.3 sec −1 , dk dT T = 4.54 sec −1/ o C
Sebagai perbandingan: dituliskan pendekatan linear berikut:
k(290oC) = 100 + 3.37(290 – 300) = 66.3 sec-1 Æ error = –6.6%
k(310oC) = 100 + 3.37(310 – 300) = 133.7 sec-1 Æ error = –4%
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
BAB II Matematika Untuk Analisis Sistem Dinamik
DI NPRO / I I / 54
YDH - DINPRO - 18
2.5. Linearisasi
Linearisasi Fungsi Dua Variabel atau Lebih
Ekspansi deret Taylor untuk dua variabel atau lebih:
f [x1 (t ), x2 (t ), L] = f (x1 , x2 , L) +
df
[x1 (t ) − x1 ] + d f [x2 (t ) − x2 ] + L (2.5.10)
dx1
dx2
∂f
∂f
dan x1 , x2 , L adalah base value dari
=
∂xk ∂xk ( x , x ,L)
masing-masing variabel
1 2
dimana:
Contoh 2.5.2: kasus sederhana luas (a) segi empat adalah fungsi dari
panjang (w) dan lebar (h):
a[w(t ), h(t )] = w(t )h(t )
( )
Linearisasi: a[w(t ), h(t )] = a w , h +
( )
[
∂a
[w(t ) − w ] + ∂a
h(t ) − h
∂h (w ,h )
∂w (w ,h )
[
a[w(t ), h(t )] = a w , h + h [w(t ) − w ] + w h(t ) − h
]
]
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 55
2.5. Linearisasi
Gambar 2.5.2 Error pendekatan linear dari luas segi empat
w [h(t) – h]
h [w(t) – w]
h(t)
a(w,h) = w h
h
error
w
w(t)
Asumsi:
w = 2 m dan h = 1 m
Æ Luas pada base point: a = 2 m2
Increment: w(t) = 2.2 m dan h(t) = 1.1 m Æ aactual = 2.42 m2
Luas pendekatan = 2 + 1(0.2) + 2(0.1) = 2.40 m2
error = 2.42 – 2.40 = 0.02 m2
Luas daerah arsiran = (0.2)(0.1) = 0.02 m2
Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 56
2.5. Linearisasi
Contoh 2.5.3: Linearisasi Pers. densitas gas ideal sbg fungsi tekanan dan suhu
Fungsi densitas non-linear
ρ [ p(t ), T (t )] =
Mp(t )
RT (t )
Untuk evaluasi, kita menggunakan gas udara:
M = berat molekul = 29 [kg/kmol] ; IB = tekanan absolut = 101.3 kPa
T = suhu absolut [K] ; & R = 8.314 kPa-m3/kmol-K
Penyelesaian:
Penyelesaian:
Aplikasi Pers. (2.5.10):
ρ [ p(t ), T (t )] = ρ ( p, T ) +
Dimana:
[
∂ρ
[ p(t ) − p ] + ∂ρ T (t ) − T
∂p
∂T
]
∂ρ
∂ ⎡ Mp(t ) ⎤
M
=
=
⎢
⎥
∂p dp ⎣ RT (t ) ⎦ ( p ,T ) RT
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
BAB II Matematika Untuk Analisis Sistem Dinamik
DI NPRO / I I / 57
YDH - DINPRO - 19
2.5. Linearisasi
∂ ⎡ Mp(t ) ⎤
∂ρ
Mp
=−
=
⎥
⎢
∂T dT ⎣ RT (t ) ⎦ ( p ,T )
RT 2
Jadi pendekatan fungsi densitas linear
ρ [ p(t ), T (t )] =
[
Mp M
[ p(t ) − p ] − Mp2 T (t ) − T
+
RT RT
RT
]
Secara numerik:
[
ρ [ p(t ), T (t )] = 1.178 + 0.01163[ p(t ) − p ] − 0.00393 T (t ) − T
]
ρ = [kg/m3], p = [kPa], T = [K]
Dengan satuan:
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 58
2.5. Linearisasi
Linearisasi Persamaan Diferensial
Pertimbangkan PD Order satu dengan satu input berikut:
dy (t )
= g [x(t ), y (t )] + b
dt
… (2.5.11)
dimana: g[x(t),y(t)] adalah fungsi non-linear dengan input x(t), output y(t),
dan b adalah konstanta.
Pada kondisi tunak awal:
Base point:
0 = g (x , y ) + b
… (2.5.12)
x = x(0 ), y = y (0 )
Pers. (2.5.11) – (2.5.12):
dy (t )
= g [x(t ), y (t )] − g (x , y )
dt
Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
… (2.5.13)
DI NPRO / I I / 59
2.5. Linearisasi
Linearisasi fungsi multi-variabel dari pers. (2.5.13):
dy (t ) ∂g
[x(t ) − x ] +
=
dt
∂x ( x , y )
∂g
[y(t ) − y ]
∂y ( x , y )
… (2.5.14)
Term deviasi
∴ Diperoleh PD linear dalam term deviasi:
dY (t )
= a1 X (t ) + a 2Y (t )
dt
… (2.5.15)
dimana: a1 = ∂g ∂x
dan
a 2 = ∂g ∂y ( x , y )
(x , y )
Catatan:
1. Konstanta b di pers. (2.5.11) hilang. Tidak ada suatu konstanta
dalam persamaan yang dinyatakan dalam term deviasi (2.5.15).
2. Pada kondisi awal: Y(0) = y(0) – y(0) = 0
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
BAB II Matematika Untuk Analisis Sistem Dinamik
DI NPRO / I I / 60
YDH - DINPRO - 20
2.5. Linearisasi
Contoh 2.5.4: Linearisasi PD multi variabel
Dari neraca massa RATB, dihasilkan PD non-linear berikut:
dc A (t ) 1
1
= f (t )c Ai (t ) − f (t )c A (t ) − k [T (t )]c A (t )
dt
V
V
k[T(t)] = pers. non-linear yang telah dilinearkan (lihat contoh 2.5.1)
V dianggap konstan, f(t) = laju alir reaktan, cAi = konsetrasi reaktan masuk
reaktor, cA = konsetrasi reaktan keluar reaktor, T(t) = suhu keluar reaktor
Penyelesaian:
Penyelesaian:
dc A (t )
= g [ f (t ), c Ai (t ), T (t ), c A (t )]
dt
=
1
1
f (t )c Ai (t ) − f (t )c A (t ) − k [T (t )]c A (t )
V
V
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 61
2.5. Linearisasi
Aplikasi pers. (2.5.15):
dC A (t )
= a1 F (t ) + a 2 C Ai (t ) + a3Γ(t ) + a 4 C A (t )
dt
dimana: C A (t ) = c A (t ) − c A , F (t ) = f (t ) − f , C Ai (t ) = C Ai (t ) − C Ai
Γ(t ) = T (t ) − T
adalah variabel-variabel deviasi
a1, a2, a3, dan a4 diperoleh dengan turunan parsial fungsi g berikut:
a1 =
∂g c Ai − c A
=
V
∂f
a3 =
E
∂g
cA
= −k T
∂T
RT 2
( )
a2 =
f
∂g
=
∂c Ai V
a4 =
f
∂g
= − −k T
V
∂c A
( )
Dr. Eng. Y. D. Herm awan – Jur. Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
DI NPRO / I I / 62
2.5. Linearisasi
Pindah term CA(t) ke kiri, dan bagi dengan –a4, diperoleh:
τ
dC A (t )
+ C A (t ) = K1 F (t ) + K 2 C Ai (t ) + K 3Γ(t )
dt
dimana:
τ =−
1
V
=
a4
f + Vk T
K2 = −
a2
f
=
a4
f + Vk T
( )
( )
K1 = −
c − cA
a1
= Ai
a4
f + Vk T
( )
a
Vk (T )Ec A
K3 = − 3 = −
a4
RT 2 [ f + Vk (T )]
Dengan Transformasi Laplace, diperoleh:
C A (s ) =
K
K
K1
F (s ) + 2 C Ai (s ) + 3 Γ(s )
τs + 1
τs + 1
τs + 1
Dr . Eng. Y. D. Herm awan – Jur . Teknik Kim ia – FTI - UPNVY
BAB II Matematika Untuk Analisis Sistem Dinamik
DI NPRO / I I / 63
YDH - DINPRO - 21