1. BARISAN dan DERET - BARISAN DAN DERET.pdf
1. BARISAN dan DERET
Barisan
Kekonvergenan Barisan
Deret
Kekonvergenan Deret
Macam-macam Deret
oleh Marwan
1.1. Barisan
Definisi 1
Barisan (sequence) yang dimaksud adalah barisan bilangan Real, yaitu
suatu daftar terurut bilangan-bilangan real :
a1, a2, a3, ..., an, an+1, ....
disimbolkan {a n }n=1 atau {an}.
∞
Suatu barisan dapat dipandang sebagai suatu fungsi bernilai real
dengan domain bilangan Asli N={1,2,3,...} dengan konstruksi sebagai berikut:
f : N → R
n •→
f(n)=an
Contoh 1
1.
{n+2} : 3,4,5,6, ...
2. {1/n} : 1, ½, 1/3 , ¼, ...
3.
{ (-1)n ⋅3} : -3,3,-3,3,-3, ...
4.
{ ??} : 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... Barisan bilangan prima.
5.
1
n
2 5
(
1 + 5
) − (1 − 5 )
n
n
: 1,1,2,3,5,8,13,.... Barisan ini disebut
barisan bilangan Fibonaci
6. {(1+1/n)n}: 2 , 2,25 , 2,37 , ...
Dari contoh di atas terlihat bahwa tidak semua barisan dapat ditentukan
rumusan an –nya (seperti Barisan bilangan Prima).
Barisan dan Deret
1
1.2. Kekonvergenan Barisan
Definisi 2
Barisan {an} dikatakan konvergen ke suatu bilangan real L, ditulis
{an} → L, jika lim a n = L yaitu :
n→∞
(∀ε>0)(∃n0∈N), ∀n>n0 ⇒ an-L0
sedemikian hingga anM, untuk setiap n=1,2,3,....
Contoh 5
1. {1/n} barisan terbatas, sebab 1/n≤2
n
n
1
1
2. 1 + barisan terbatas, sebab 1 + ≤ 3
n
n
Teorema 2
Setiap barisan naik (atau turun) monoton dan terbatas akan konvergen.
Contoh 6
n
Barisan
konvergen, sebab :
n + 1
Barisan dan Deret
3
- Naik monoton, yaitu :
untuk n=1,2,3,... berlaku a n =
n
n +1
= a n +1 . Hal ini dapat
<
n +1 n + 2
dibuktikan sebagai berikut:
n
n +1
n +1
n
1
<
⇔
−
=
> 0.
n +1 n + 2
n + 2 n + 1 (n + 2)(n + 1)
- Terbatas, yaitu :
untuk n=1,2,3,... berlaku
n
0, maka Sn
(n + 1)(n - 1)
=∑
∑a
n
1
∑ n = ∑b
n
.
1
divergen, maka menurut Tes Banding dapat
n
=
n
∑ (n + 1)(n - 1)
juga divergen.
Teorema 6 (Teorema Tes Kuosien)
Diketahui deret ∑an dan deret ∑bn dengan lim (a n b n ) = L .
n→∞
(a). Jika L≠0 dan L
Barisan
Kekonvergenan Barisan
Deret
Kekonvergenan Deret
Macam-macam Deret
oleh Marwan
1.1. Barisan
Definisi 1
Barisan (sequence) yang dimaksud adalah barisan bilangan Real, yaitu
suatu daftar terurut bilangan-bilangan real :
a1, a2, a3, ..., an, an+1, ....
disimbolkan {a n }n=1 atau {an}.
∞
Suatu barisan dapat dipandang sebagai suatu fungsi bernilai real
dengan domain bilangan Asli N={1,2,3,...} dengan konstruksi sebagai berikut:
f : N → R
n •→
f(n)=an
Contoh 1
1.
{n+2} : 3,4,5,6, ...
2. {1/n} : 1, ½, 1/3 , ¼, ...
3.
{ (-1)n ⋅3} : -3,3,-3,3,-3, ...
4.
{ ??} : 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... Barisan bilangan prima.
5.
1
n
2 5
(
1 + 5
) − (1 − 5 )
n
n
: 1,1,2,3,5,8,13,.... Barisan ini disebut
barisan bilangan Fibonaci
6. {(1+1/n)n}: 2 , 2,25 , 2,37 , ...
Dari contoh di atas terlihat bahwa tidak semua barisan dapat ditentukan
rumusan an –nya (seperti Barisan bilangan Prima).
Barisan dan Deret
1
1.2. Kekonvergenan Barisan
Definisi 2
Barisan {an} dikatakan konvergen ke suatu bilangan real L, ditulis
{an} → L, jika lim a n = L yaitu :
n→∞
(∀ε>0)(∃n0∈N), ∀n>n0 ⇒ an-L0
sedemikian hingga anM, untuk setiap n=1,2,3,....
Contoh 5
1. {1/n} barisan terbatas, sebab 1/n≤2
n
n
1
1
2. 1 + barisan terbatas, sebab 1 + ≤ 3
n
n
Teorema 2
Setiap barisan naik (atau turun) monoton dan terbatas akan konvergen.
Contoh 6
n
Barisan
konvergen, sebab :
n + 1
Barisan dan Deret
3
- Naik monoton, yaitu :
untuk n=1,2,3,... berlaku a n =
n
n +1
= a n +1 . Hal ini dapat
<
n +1 n + 2
dibuktikan sebagai berikut:
n
n +1
n +1
n
1
<
⇔
−
=
> 0.
n +1 n + 2
n + 2 n + 1 (n + 2)(n + 1)
- Terbatas, yaitu :
untuk n=1,2,3,... berlaku
n
0, maka Sn
(n + 1)(n - 1)
=∑
∑a
n
1
∑ n = ∑b
n
.
1
divergen, maka menurut Tes Banding dapat
n
=
n
∑ (n + 1)(n - 1)
juga divergen.
Teorema 6 (Teorema Tes Kuosien)
Diketahui deret ∑an dan deret ∑bn dengan lim (a n b n ) = L .
n→∞
(a). Jika L≠0 dan L