Kurikulum Bersepadu Sekolah Menengah MAT (1)
SPESIFIKASI KURIKULUM M AT EM AT I K T I N GK AT AN 5
Bahagian Pembangunan Kurikulum Kementerian Pelajaran Malaysia 2013
Buku Spesifikasi Kurikulum Matematik Tingkatan 5 ini ialah terjemahan yang sah daripada buku Curriculum Specifications Form 5 Mathematics terbitan Curriculum Development Centre, Ministry Of Education Malaysia, Putrajaya.
BAHAGIAN PEMBANGUNAN KURIKULUM Kementerian Pelajaran Malaysia Aras 4-8, Blok E9 Kompleks Kerajaan Parcel E Pusat Pentadbiran Kerajaan Persekutuan 62604 Putrajaya Malaysia Tel: 603-88842000 Faks: 603-88889917 Laman Web: http://www.moe.gov.my
Cetakan Pertama 2013 Karya Terjemahan oleh Bahagian Pembangunan Kurikulum
Curriculum Development Centre, 2006
Hak cipta terpelihara. Tidak dibenarkan mengeluar ulang mana-mana bahagian teks, ilustrasi dan isi kandungan buku ini dalam apa jua bentuk dan dengan apa jua cara, sama ada secara elektronik, fotokopi, mekanik, rakaman, atau cara lain kecuali dengan keizinan bertulis daripada Bahagian Pembangunan Kurikulum.
KANDUNGAN
Muka surat RUKUN NEGARA
iv Falsafah Pendidikan Kebangsaan
v Prakata
vi Pengenalan
vii Asas Nombor
1 Graf Fungsi II
4 Penjelmaan III
8 Matriks
10 Ubahan
18 Kecerunan dan Luas Di Bawah Graf
21 Kebarangkalian II
24 Bearing
27 Bumi Sebagai Sfera
29 Pelan dan Dongakan
RUKUN NEGARA
BAHAWASANYA negara kita Malaysia mendukung cita-cita untuk • mencapai perpaduan yang lebih erat di kalangan seluruh
masyarakatnya; • memelihara satu cara hidup demokratik;
• mencipta masyarakat yang adil bagi kemakmuran
negara yang akan dapat dinikmati bersama secara adil dan saksama;
• menjamin satu cara yang liberal terhadap tradisi
kebudayaannya yang kaya dan berbagai-bagai corak; • membina satu masyarakat progresif yang akan
menggunakan sains dan teknologi moden; MAKA kami, rakyat Malaysia, berikrar akan menumpukan
seluruh tenaga dan usaha kami untuk mencapai cita-cita tersebut berdasarkan prinsip-prinsip yang berikut:
• KEPERCAYAAN KEPADA TUHAN • KESETIAAN KEPADA RAJA DAN NEGARA • KELUHURAN PERLEMBAGAAN • KEDAULATAN UNDANG-UNDANG • KESOPANAN DAN KESUSILAAN
Pendidikan di Malaysia adalah satu usaha
berterusan ke arah
memperkembangkan lagi potensi individu
secara menyeluruh dan bersepadu untuk mewujudkan insan yang seimbang dan harmonis dari segi intelek, rohani, emosi dan jasmani. Usaha ini adalah bagi melahirkan rakyat Malaysia yang berilmu pengetahuan,
berakhlak mulia, bertanggungjawab, berketerampilan dan berkeupayaan mencapai kesejahteraan diri serta memberi
sumbangan terhadap keharmonian dan kemakmuran keluarga, masyarakat dan
negara.
TINGKATAN 5
PRAK AT A
malah dengan murid dari negara lain, dan dalam proses tersebut menjadikan pembelajaran matematik lebih menarik dan menyeronokkan.
Sains dan teknologi memainkan peranan yang kritikal dalam merealisasikan aspirasi Malaysia untuk menjadi sebuah negara maju. Oleh kerana
Bermula tahun 2012, Bahasa Malaysia boleh digunakan sebagai bahasa matematik merupakan antara penyumbang utama dalam perkembangan pengantar dalam pengajaran dan pembelajaran sains dan matematik bagi ilmu pengetahuan sains dan teknologi, maka penyediaan pendidikan murid Tingkatan 4 sehingga kohort ini tamat Tingkatan 5 pada tahun matematik yang berkualiti dari peringkat awal proses pendidikan adalah berikutnya. Penggunaan Bahasa Inggeris dan/atau Bahasa Malaysia dalam sangat penting. Kurikulum sekolah Malaysia menawarkan tiga program pengajaran dan pembelajaran sains dan matematik di peringkat menengah pendidikan matematik, iaitu Matematik untuk sekolah rendah dan atas boleh diteruskan sehingga tahun 2015, iaitu tahun akhir peperiksaan Matematik serta Matematik Tambahan untuk sekolah menengah.
Sijil Pelajaran Malaysia disediakan dalam dwibahasa. Langkah ini bertujuan membantu guru dan murid menyesuaikan diri dengan perubahan dari segi
Kurikulum matematik sekolah Malaysia bertujuan untuk bahasa pengantar yang digunakan dalam pengajaran dan pembelajaran sains memperkembangkan ilmu matematik dan kecekapan serta menyemai sikap
dan matematik.
positif terhadap matematik dalam kalangan murid. Matematik untuk sekolah menengah menyediakan peluang untuk murid memperoleh ilmu dan Kepada semua pihak yang terlibat menghasilkan spesifikasi kurikulum kemahiran matematik dan memperkembangkan kemahiran menyelesai terjemahan ini, Kementerian Pelajaran Malaysia merakamkan setinggi- masalah dan membuat keputusan untuk membolehkan murid menangani
tinggi penghargaan dan ucapan terima kasih.
cabaran kehidupan harian. Seperti subjek lain dalam kurikulum sekolah menengah, Matematik bertujuan menanam nilai murni dan cinta kepada negara dalam membangunkan insan yang menyeluruh yang berupaya untuk menyumbang ke arah keharmonian dan kemakmuran negara dan rakyatnya.
Penggunaan teknologi ditekankan dalam pengajaran dan pembelajaran sains dan matematik. Pengajaran dan pembelajaran Matematik digabungkan (HAJI ALI BIN AB. GHANI AMN ) dengan penggunaan teknologi seperti Teknologi Maklumat dan Komunikasi
Pengarah
(TMK), kalkulator grafik dan perisian dinamik akan memberi lebih ruang Bahagian Pembangunan Kurikulum dan peluang kepada murid untuk meneroka dan mendalami konsep Kementerian Pelajaran Malaysia matematik yang dipelajari. Penggunaan teknologi mengasah daya fikir kritis
dan kreatif murid apabila murid membina, menguji dan membuktikan konjektur. Selain itu, penggunaan TMK menyediakan peluang untuk murid berkomunikasi secara matematik bukan sahaja di persekitaran mereka,
vi
TINGKATAN 5
PEN GEN ALAN
pengetahuan dan kemahiran tersebut, mereka berkemampuan untuk mencari maklumat berkaitan, membuat adaptasi, modifikasi dan inovasi dalam
Masyarakat yang mempunyai pengetahuan tinggi dalam penggunaan merumus alternatif dan penyelesaian apabila berhadapan dengan perubahan matematik untuk menangani cabaran hidup seharian adalah penting dalam dan cabaran masa depan. merealisasikan aspirasi negara untuk menjadi negara industri. Justeru, usaha diambil untuk memastikan masyarakat yang mengasimilasikan matematik Kurikulum Matematik kerap dilihat sebagai terdiri daripada bidang-bidang dalam kehidupan seharian mereka. Murid diasuh dari awal lagi dengan berkaitan membilang, ukuran, geometri, algebra dan penyelesaian masalah kemahiran menyelesaikan masalah dan berkomunikasi secara matematik, yang berasingan atau bersendirian. Untuk mengelakkan daripada perkara ini untuk membolehkan mereka membuat keputusan yang berkesan.
terus berlaku dan konsep serta kemahirannya dipelajari secara berasingan dan terpisah dari satu sama lain, matematik dikaitkan dengan kehidupan dan
Matematik penting dalam menyediakan tenaga kerja yang berupaya untuk pengalaman seharian di dalam dan di luar sekolah. Murid berpeluang memenuhi permintaan sebuah negara progresif. Oleh yang demikian, bidang mengaitkan matematik dalam konteks yang berbeza dan melihat kerelevenan ini mengambil peranan sebagai tenaga penggerak kepada pelbagai matematik dalam kehidupan seharian. perkembangan dalam sains dan teknologi. Selari dengan objektif negara
untuk mewujudkan ekonomi berasaskan ilmu pengetahuan, kemahiran Semasa memberi pandangan dan menyelesaikan masalah sama ada secara Kajian dan Pembangunan dalam matematik diasuh dan dikembangkan pada lisan atau penulisan, murid dibimbing untuk menggunakan bahasa dan daftar peringkat sekolah.
matematik yang betul. Murid dilatih untuk memilih maklumat yang dikemukakan dalam bahasa dan bukan bahasa matematik; menterjemah dan
Sebagai bidang pembelajaran, Matematik melatih pemikiran yang logik dan membentang maklumat dalam bentuk jadual, graf, rajah, persamaan atau sistematik dalam menyelesaikan masalah dan membuat keputusan. Disiplin ketaksamaan; dan seterusnya memberi maklumat dengan jelas dan tepat, ini menggalakkan pembelajaran bermakna dan mencabar fikiran, justeru tanpa sebarang penyimpangan daripada maksud asal. menyumbang kepada perkembangan menyeluruh seseorang individu. Ke arah matlamat ini, strategi penyelesaian masalah digunakan secara meluas
Teknologi dalam pendidikan menyokong penguasaan dan pencapaian hasil dalam pengajaran dan pembelajaran matematik. Perkembangan penaakulan
pembelajaran yang dikehendaki. Teknologi yang digunakan dalam matematik dipercayai mempunyai kaitan yang rapat dengan perkembangan pengajaran dan pembelajaran Matematik, contohnya kalkulator, seharusnya intelek dan kebolehan berkomunikasi murid. Oleh itu, kemahiran dianggap sebagai alat untuk memperkayakan proses pengajaran dan penaakulan matematik juga terkandung dalam aktiviti matematik supaya
pembelajaran dan bukan untuk menggantikan guru.
murid dapat mengenal, membina dan menilai konjektur dan pernyataan
matematik. Kepentingan juga diletak pada penghargaan terhadap keindahan matematik. Berasaskan kepada Falsafah Pendidikan Kebangsaan, kurikulum Matematik Mengenalkan murid dengan sejarah hidup ahli matematik terkenal atau menyediakan pengetahuan dan kemahiran matematik kepada murid-murid peristiwa penting, yang mana maklumat mengenai semua ini mudah
yang mempunyai latar belakang dan keupayaan yang pelbagai. Dengan
vii
TINGKATAN 5
diperolehi dari Internet dan sebagainya memberi kesan jangka panjang OBJ EK T I F
dalam memotivasikan murid untuk menghargai matematik. Kurikulum matematik sekolah menengah membolehkan murid:
Nilai intrinsik matematik khususnya berfikir secara sistematik, tepat,
1 Memahami definisi, konsep, hukum, prinsip, dan teorem yang berkaitan dengan
menyeluruh, tekun dan yakin, yang diterapkan secara tidak langsung dan
Nombor, Bentuk dan Perkaitan;
berterusan sepanjang proses pengajaran dan pembelajaran, menyumbang kepada pembentukan peribadi dan penyemaian sikap positif terhadap 2 Memperluaskan penggunaan kemahiran operasi asas tambah, tolak, darab dan matematik. Selain itu, nilai murni juga diperkenalkan dalam konteks
bahagi yang berkaitan dengan Nombor, Bentuk dan Perkaitan;
sepanjang pengajaran dan pembelajaran matematik.
3 Menguasai kemahiran asas matematik iaitu:
Pentaksiran, dalam bentuk ujian dan peperiksaan membantu mengukur
• membuat anggaran dan penghampiran;
pencapaian murid. Penggunaan data pentaksiran yang baik daripada pelbagai sumber juga menyediakan maklumat berguna tentang
• mengukur dan membina;
perkembangan dan kemajuan murid. Petaksiran berterusan setiap hari dalam
• memungut dan mengendali data;
pembelajaran membolehkan kekuatan dan kelemahan murid serta keberkesanan aktiviti pengajaran dikenal pasti. Maklumat yang diperolehi
• mewakilkan dan mentafsir data;
daripada jawapan kepada soalan, hasil kerja kumpulan dan kerja rumah membantu memperbaiki proses pengajaran, dan seterusnya membolehkan
• mengenal perkaitan dan mewakilkannya secara matematik; penyediaan pembelajaran yang berkesan.
• menggunakan algoritma dan perkaitan;
M AT LAM AT
• menyelesaikan masalah; dan
Kurikulum Matematik Sekolah Menengah bertujuan untuk membentuk
• membuat keputusan.
individu yang berpemikiran matematik dan berketerampilan
4 mengaplikasikan pengetahuan matematik dengan berkesan dan Berkomunikasi secara matematik; bertanggungjawab dalam menyelesaikan masalah dan membuat keputusan, 5 Mengaplikasi pengetahuan dan kemahiran matematik dalam menyelesaikan
supaya berupaya menangani cabaran dalam kehidupan harian bersesuaian
masalah dan membuat keputusan;
dengan perkembangan sains dan teknologi.
6 Menghubungkaitkan ilmu matematik dengan bidang ilmu yang lain;
7 Menggunakan teknologi yang bersesuaian untuk membina konsep, menguasai kemahiran, menyelesaikan masalah dan meneroka ilmu matematik;
viii
TINGKATAN 5
8 Membudayakan penggunaan pengetahuan dan kemahiran matematik secara
teknik, strategi dan sumber berkaitan konsep dan kemahiran tertentu. Perlu
berkesan dan bertanggungjawab;
diingatkan terdapat banyak lagi pendekatan yang boleh digunakan di bilik darjah. Guru digalakkan untuk mencari contoh-contoh lain, menentukan
9 Bersikap positif terhadap matematik; dan
strategi pengajaran dan pembelajaran yang paling sesuai untuk murid
10 Menghargai kepentingan dan keindahan matematik.
mereka dan menyediakan bahan pengajaran dan pembelajaran yang sewajarnya. Guru juga harus membuat rujuk silang dengan sumber lain
seperti buku teks dan Internet.
ORGAN I SASI K AN DU N GAN
Hasil Pembelajaran mentakrif secara spesifik apa yang murid patut boleh Kandungan kurikulum Matematik sekolah menengah diatur mengikut tiga buat. Ia menetapkan pengetahuan, kemahiran atau proses matematik dan
bidang utama, iaitu: Nombor; Bentuk dan Ruang; dan Perkaitan. Konsep nilai yang patut dipupuk dan dikembangkan pada aras yang sesuai. Objektif matematik berkaitan bidang masing-masing selanjutnya diatur mengikut tingkah laku ini boleh diukur dalam semua aspek. topik. Topik-topik ini diatur mengikut hierarki supaya konsep yang lebih
asas dan ketara diperkenalkan dahulu diikuti dengan konsep yang lebih Dalam lajur Catatan, perhatian ditarik kepada aspek konsep dan kemahiran kompleks dan abstrak.
matematik yang perlu diberi perhatian. Penekanan ini perlu diambil kira bagi memastikan konsep dan kemahiran berkenaan diajar dan dipelajari
Bidang Pembelajaran menggariskan skop pengetahuan, kebolehan dan secara berkesan seperti yang diharapkan. sikap matematik yang akan dibentuk dan dikembangkan dalam diri pelajar
semasa mempelajari subjek tersebut. Semuanya dikembangkan mengikut
PEN EK AN AN DALAM PEN GAJ ARAN DAN
objektif pembelajaran yang sesuai dan dikemukakan dalam empat lajur, seperti berikut:
PEM BELAJ ARAN
Lajur 1 : Objektif Pembelajaran Kurikulum Matematik ini disusun sebegitu rupa supaya dapat memberi
Lajur 2 : Cadangan Aktiviti Pengajaran dan Pembelajaran kelonggaran kepada guru untuk mewujudkan suasana pengajaran dan
Lajur 3 : Hasil Pembelajaran; dan pembelajaran yang menyeronokkan, bermakna, berguna dan mencabar. Pada
Lajur 4 : Catatan. masa yang sama, adalah penting memastikan bahawa murid menunjukkan
kemajuan dalam pemerolehan konsep dan kemahiran matematik. Objektif Pembelajaran mentakrifkan dengan jelas tentang apa yang patut
Dalam menentukan peralihan ke bidang pembelajaran atau topik yang lain, diajar. Ia merangkumi semua aspek program kurikulum Matematik dan
perkara berikut perlu diberi pertimbangan:
dikemukakan dalam urutan perkembangan yang direka untuk menyokong kefahaman murid mengenai konsep dan kemahiran matematik.
• Kemahiran atau konsep yang akan diperolehi dalam bidang pembelajaran tersebut atau dalam topik tertentu;
Cadangan Aktiviti Pengajaran dan Pembelajaran menyenaraikan
beberapa contoh aktiviti pengajaran dan pembelajaran termasuk kaedah,
ix
TINGKATAN 5
• Menentukan hierarki atau perkaitan antara bidang pembelajaran atau
• Mencuba kes lebih mudah;
topik mengikut urutan sewajarnya; dan
• Cuba jaya;
• Menentukan bidang pembelajaran yang asas telah diperolehi
• Melukis gambar rajah;
sepenuhnya sebelum meneruskan ke bidang yang lebih abstrak.
• Mengenal pasti pola;
Proses pengajaran dan pembelajaran menitikberatkan pembinaan konsep dan • Membuat jadual, carta atau senarai secara bersistem;
• Membuat simulasi;
penguasaan kemahiran serta pembentukan nilai yang murni dan positif.
• Menggunakan analogi;
Selain daripada itu, terdapat elemen lain yang perlu diambil kira dan
diserapkan dalam proses pengajaran dan pembelajaran dalam bilik darjah.
• Bekerja ke belakang;
Elemen utama yang merupakan fokus utama dalam pengajaran dan
• Menaakul secara logik; dan
pembelajaran matematik adalah seperti berikut:
• Menggunakan algebra.
1 . Pe nye le sa ia n M a sa la h da la m M a t e m a t ik
2 . K om unik a si da la m M a t e m a t ik
Penyelesaian masalah adalah fokus utama dalam pengajaran dan Komunikasi merupakan satu kaedah yang perlu untuk berkongsi idea dan pembelajaran matematik. Oleh itu, proses pengajaran dan pembelajaran menjelaskan kefahaman Matematik. Melalui komunikasi, idea matematik perlu melibatkan kemahiran menyelesaikan masalah secara komprehensif menjadi objek refleksi, diskusi, pemurnian dan pengubahsuaian. Proses dan merentasi keseluruhan kurikulum. Perkembangan kemahiran pemikiran dan penaakulan secara analitik dan sistematik membantu murid menyelesaikan masalah perlu diberi penekanan sewajarnya supaya murid memperkukuhkan kefahaman dan pengetahuan matematik mereka kepada berupaya menyelesaikan pelbagai masalah dengan berkesan. Kemahiran tahap yang lebih mendalam. Dengan cara komunikasi yang berkesan, murid yang terlibat ialah:
akan lebih cekap dalam aktiviti penyelesaian masalah serta boleh • Memahami dan mentafsirkan masalah;
menerangkan konsep dan kemahiran matematik serta kaedah • penyelesaiannya kepada rakan atau guru mereka.
Merancang strategi penyelesaian; •
Melaksanakan strategi tersebut; dan • Murid yang telah menguasai kemahiran berkomunikasi secara berkesan akan
Menyemak semula penyelesaian. mempunyai perasaan ingin tahu yang lebih tinggi dan secara tidak langsung
Pelbagai strategi dan langkah digunakan untuk menyelesaikan masalah dan akan lebih berkeyakinan. Kemahiran berkomunikasi dalam matematik semua ini harus diperluaskan lagi supaya dapat digunakan dalam bidang termasuk membaca dan memahami masalah, menginterpretasi gambar rajah pembelajaran yang lain. Melalui aktiviti sebegini, murid boleh atau graf, menggunakan laras matematik yang betul dan tepat semasa menggunakan kefahaman konseptual mereka tentang matematik dan berasa menyampaikan secara lisan atau bertulis. Kemahiran ini patut yakin apabila berhadapan dengan situasi baru atau kompleks. Antara strategi diperkembangkan dan meliputi kemahiran mendengar dengan teliti. penyelesaian masalah yang boleh diperkenalkan ialah:
TINGKATAN 5
Komunikasi dalam matematik melalui proses mendengar berlaku apabila bahan. Antara komunikasi secara lisan yang berkesan dan bermakna bagi individu bertindak balas terhadap apa yang didengari dan menggalakkan
pembelajaran matematik adalah seperti berikut:
individu berfikir menggunakan pengetahuan matematik dalam membuat • keputusan. bercerita dan bersoal jawab dengan menggunakan perkataan
sendiri
menyoal dan menjawab soalan
Komunikasi dalam matematik melalui proses membaca berlaku apabila
temu bual berstruktur dan tidak berstruktur
dan konsep. • perbincangan dalam bentuk forum, seminar, perbahasan
individu mengumpul maklumat, menyusun dan menghubungkaitkan idea
sumbangsaran dan sebagainya; dan
• pembentangan dapatan tugasan
Komunikasi dalam matematik melalui proses visualisasi berlaku apabila
individu membuat pemerhatian, menganalisis, mentafsir dan mensintesis
data dan seterusnya membentangkan data tersebut pada papan geometri, 2. Komunikasi secara Bertulis
dalam bentuk gambar dan gambar rajah, serta perwakilannya dalam bentuk jadual dan graf. Suasana komunikasi yang berkesan dapat diwujudkan
Komunikasi secara bertulis merupakan proses penyaluran idea dan dengan mempertimbangkan kaedah berikut:
maklumat tentang matematik yang dipersembahkan secara bertulis. Kerja bertulis biasanya dihasilkan • daripada sumbang saran,
Mengenal pasti konteks yang relevan dengan persekitaran dan perbincangan dan pemikiran yang dilaksanakan melalui tugasan.
pengalaman harian murid; • Penulisan juga boleh menggalakkan murid untuk memikirkan dengan
Mengenal pasti minat murid; • lebih mendalam tentang kandungan matematik dan melihat perhubungan
Mengenal pasti bahan bantu mengajar yang sesuai; • antara konsep-konsep. Memastikan pembelajaran aktif berlaku;
• Merangsang kemahiran metakognitif; Antara komunikasi secara bertulis yang boleh dilaksanakan melalui
• Memupuk sikap positif; dan
tugasan adalah seperti berikut:
• Menyediakan persekitaran pembelajaran yang kondusif.
• Latihan
• Jurnal • Buku skrap
Komunikasi yang berkesan boleh dikembangkan melalui kaedah berikut:
1. Komunikasi secara Lisan
• Folio
Komunikasi secara lisan merupakan proses interaktif yang melibatkan
• Portfolio
aktiviti-aktiviti psikomotor seperti melihat, mendengar, menyentuh,
• Projek
merasa dan menghidu.
• Ujian bertulis
Komunikasi secara lisan dilaksanakan sebagai hubungan dua hala di antara guru dengan murid, murid dengan murid dan murid dengan
xi
TINGKATAN 5
3. Komunikasi secara Perwakilan
prosedural, dapat mengaitkan topik-topik dalam matematik khususnya dan matematik dengan bidang pembelajaran lain secara amnya.
Perwakilan sebagai proses menganalisis sesuatu masalah matematik dan
menterjemahkan daripada satu mod ke mod yang lain. Perwakilan Kurikulum Matematik umumnya terdiri daripada beberapa bidang
matematik membolehkan murid menghubungkaitkan antara idea pembelajaran seperti aritmetik, geometri, algebra, pengukuran dan
matematik yang tidak formal, intuitif dan abstrak dengan bahasa harian penyelesaian masalah. Tanpa membuat kaitan antara bidang-bidang ini,
murid. Contohnya; 6xy boleh dihuraikan sebagai luas bagi satu kawasan murid perlu belajar dan menghafal terlalu banyak konsep dan kemahiran
berbentuk segi empat tepat dengan panjang sisi-sisinya, 2x dan 3y. Ini secara berasingan. Dengan membuat kaitan, murid dapat melihat matematik dapat menyedarkan murid bahawa sesetengah kaedah perwakilan itu sebagai sesuatu yang lengkap dan bersepadu. Apabila idea matematik ini lebih berkesan dan berguna jika mereka mengetahui penggunaan elemen dikaitkan dengan pengalaman harian di dalam dan di luar bilik darjah, murid perwakilan matematik tersebut. akan lebih menyedari kegunaan dan kepentingan matematik. Selain daripada
itu, murid berpeluang menggunakan matematik secara kontekstual dalam
3 . Pe na a k ula n da la m M a t e m a t ik
bidang ilmu yang lain dan dalam situasi harian mereka.
Penaakulan atau pemikiran logik merupakan asas dalam memahami dan
5 . Pe ngguna a n T e k nologi
menyelesaikan masalah matematik. Perkembangan penaakulan matematik berkait rapat dengan perkembangan intelek dan komunikasi murid. Pengajaran dan pembelajaran matematik seharusnya menggunakan Penekanan pada pemikiran logik dalam semua aktiviti matematik memberi teknologi terkini untuk membantu murid memahami konsep-konsep laluan dan pengalaman kepada murid untuk menerima matematik sebagai matematik secara mendalam, bermakna dan tepat, serta membolehkan murid satu alat yang berkeupayaan tinggi dalam dunia hari ini.
meneroka idea-idea matematik. Penggunaan kalkulator, komputer, perisian pendidikan, laman-laman web dalam Internet dan pakej-pakej pembelajaran
Murid digalakkan untuk membuat anggaran dan tekaan atau telahan yang yang sedia ada boleh memantapkan pendekatan pedagogi dan seterusnya cerdik dalam mencari penyelesaian. Murid pada semua peringkat perlu meningkatkan kefahaman konsep matematik. dilatih untuk menyiasat tekaan atau telahan mereka dengan menggunakan
bahan konkrit, kalkulator, komputer, perwakilan matematik dan sebagainya. Penggunaan sumber pengajaran ini juga dapat membantu murid menerima Penaakulan logik perlu diterapkan dalam pengajaran matematik supaya idea abstrak, menjadi kreatif, berasa yakin dan dapat bekerja secara murid dapat mengenal, membina dan menilai telahan dan hujah matematik.
berasingan atau dalam kumpulan. Kebanyakan sumber ini direka untuk pembelajaran akses kendiri. Melalui pembelajaran akses kendiri, murid akan dapat mengakses pengetahuan atau kemahiran dan maklumat secara
4 . M e m bua t K a it a n da la m M a t e m a t ik
berdikari menurut kemampuan diri. Ini dapat merangsang minat murid dan Dalam kurikulum matematik, peluang untuk membuat kaitan perlu memupuk rasa tanggungjawab terhadap pembelajaran dan kefahaman
diwujudkan supaya murid dapat mengaitkan pengetahuan konseptual dengan matematik mereka.
xii
TINGKATAN 5
Sungguhpun begitu, teknologi tidak menggantikan keperluan murid untuk Penerapan unsur sejarah yang ringkas berkaitan aspek matematik diberi mempelajari dan menguasai kemahiran asas matematik. Murid perlu penekanan sewajarnya dalam kurikulum sebagai usaha untuk mewujudkan berupaya untuk menambah, menolak, mendarab dan membahagi dengan murid yang menghargai dan menghayati keindahan matematik. Unsur berkesan tanpa menggunakan kalkulator atau alat elektronik yang lain. sejarah seperti riwayat hidup dan peristiwa tertentu tentang ahli matematik Justeru, penggunaan teknologi mesti menekankan perolehan konsep dan terkenal atau sejarah ringkas tentang sesuatu konsep dan simbol dapat pengetahuan matematik daripada sekadar melakukan pengiraan.
merangsang lagi minat murid dan memberi kefahaman yang lebih baik terhadap matematik.
PEN DEK AT AN DALAM PEN GAJ ARAN DAN
PEM BELAJ ARAN
Kepelbagaian pendekatan pengajaran dan pembelajaran seperti pengajaran secara langsung, pembelajaran secara penemuan, penyiasatan, penemuan
Tanggapan tentang bagaimana matematik dipelajari mempengaruhi terbimbing atau kaedah lain perlu dilaksanakan. Pendekatan yang dipilih bagaimana konsep matematik diajar. Walau apa tanggapan guru, hakikatnya perlu mempertimbangkan perkara-perkara berikut: konsep matematik adalah abstrak. Oleh itu, penggunaan sumber untuk
• Pembelajaran berpusatkan murid yang menarik
membantu murid membentuk konsep matematik adalah sesuatu yang amat
• Tahap kebolehan dan gaya pembelajaran murid
perlu. Guru perlu menggunakan objek sebenar atau objek konkrit dalam • Penggunaan bahan bantu mengajar yang berkaitan, sesuai dan pengajaran untuk memberikan pengalaman, membantu murid membina
berkesan, dan
idea-idea yang abstrak, merekacipta, membina keyakinan diri, • Penilaian formatif untuk menentukan keberkesanan pengajaran dan menggalakkan sifat berdikari dan memupuk sikap bekerjasama.
pembelajaran
Bahan pengajaran dan pembelajaran yang digunakan perlu mengandungi Pemilihan sesuatu pendekatan yang bersesuaian akan merangsangkan lagi elemen diagnostik kendiri supaya murid dapat mengenal pasti sejauh mana suasana pengajaran dan pembelajaran di dalam mahu pun di luar bilik mereka memahami konsep dan menguasai kemahiran yang dipelajari.
darjah. Antara cadangan pendekatan yang sesuai adalah:
• Pembelajaran koperatif
Bagi membantu murid membentuk sikap positif terhadap matematik dan
• Pembelajaran kontekstual
sahsiah yang baik, nilai-nilai intrinsik matematik seperti kejituan, keyakinan
• Pembelajaran masteri
dan pemikiran sistematik perlu diterapkan dalam proses pengajaran dan
• Konstruktivisme
pembelajaran. Di samping itu, nilai-nilai murni boleh diterapkan dalam
• Inkuiri-penemuan; dan
konteks yang sesuai secara bersahaja tetapi terancang. Misalnya,
pembelajaran secara kumpulan boleh membantu murid menerap kemahiran
• Pembelajaran masa depan.
sosial, memupuk semangat kerjasama dan membina keyakinan diri terhadap matematik. Elemen patriotik juga harus disemai melalui proses pengajaran dan pembelajaran topik tertentu di bilik darjah.
xiii
TINGKATAN 5
PEN I LAI AN
Penilaian atau pentaksiran adalah sebahagian daripada proses pengajaran dan pembelajaran dan dijalankan secara berterusan untuk mengenal pasti kekuatan dan kelemahan murid tentang sesuatu konsep atau kemahiran yang dipelajari. Penilaian perlu dirancang dan disepadukan dengan aktiviti-
aktiviti di dalam bilik darjah.
Pelbagai kaedah boleh digunakan seperti temubual, soalan terbuka, pemerhatian, dan tugasan berdasarkan kepada objektif sesuatu pengajaran itu. Berdasarkan maklum balas yang diperolehi, guru berpeluang untuk memperbaiki pengajarannya dan dapat membetulkan serta merta salah tanggapan dan kelemahan murid agar kelemahan tersebut tidak terhimpun.
Penilaian kemajuan setiap murid dari satu peringkat ke satu peringkat juga membolehkan guru menganalisis punca kelemahan dan kesukaran dalam
pembelajaran. Dengan itu, membolehkan guru mengambil tindakan susulan
yang berkesan sama ada dengan mengadakan aktiviti seperti pemulihan, pengukuhan atau pengayaan bagi meningkatkan prestasi murid.
xiv
TINGKATAN 5
1. ASAS NOMBOR
OBJEKTI F PEMBELAJARAN
CADANGAN AKTI VI TI P&P
HASI L PEMBELAJARAN
CATATAN
Murid akan diajar untuk:
Murid akan dapat:
Tegaskan cara membaca konsep nombor dalam asas
1.1 Memahami dan menggunakan • Gunakan model-model seperti
(i) Menyatakan sifar, satu, dua, tiga,
nombor dalam asas tertentu. dua, lapan dan lima.
muka jam atau alat pengira yang
…, sebagai nombor dalam asas:
menggunakan asas nombor
a) dua Contoh:
tertentu.
• 101 2 dibaca sebagai “satu
• sifar satu asas dua”.
b) lapan
Blok-blok asas nombor dua, lapan
• 7205 8 dan lima boleh digunakan untuk dibaca sebagai “tujuh dua sifar lima asas
c) lima.
mendemonstrasikan nilai sesuatu
lapan”.
nombor dalam asas-asas nombor
(ii) Menyatakan nilai sesuatu digit bagi • 432 5 dibaca sebagai
yang berkaitan.
suatu nombor dalam asas:
“empat tiga dua asas
Nombor dalam asas dua juga
b) lapan
dikenali sebagai nombor
c) lima.
binari.
(iii) Mencerakinkan sesuatu nombor
Contoh-contoh
dalam asas:
mencerakinkan sesuatu nombor:
b) lapan
digit yang digunakan
c) lima
nilai tempat
mengikut nilai tempat digit-
dalam sistem nombor dengan asas
digitnya. 0 ×8 +5
nombor yang tertentu.
1. ASAS NOMBOR TINGKATAN 5
OBJEKTI F PEMBELAJARAN
CADANGAN AKTI VI TI P&P
HASI L PEMBELAJARAN
CATATAN
Murid akan diajar untuk:
Murid akan dapat:
• Blok-blok asas nombor dua, lapan (iv) Menukar nombor dalam asas:
Laksanakan pembahagian
dan lima boleh juga digunakan di
berulang untuk menukar
a) dua
sini. Contohnya, untuk
nombor asas sepuluh kepada
menukarkan 10 10 kepada nombor
b) lapan
nombor asas yang lain.
asas dua, gunakan konsep
c) lima
Sebagai contoh, menukar
penggunaan minimum blok (2 ),
714 10 kepada nombor dalam
2 jubin (2 1 ), segiempat tepat (2 )
kepada nombor dalam asas sepuluh asas lima:
dan segiempat sama (2 0 ). Dalam
dan begitu juga sebaliknya.
kes ini, bilangan minimum objek
5) 142 - - - 4
yang digunakan ialah satu blok,
5) 28 - - - 2
sifar jubin, satu segiempat tepat
5) 5 - - - 3
dan sifar segiempat sama. Maka,
• Bincangkan kes khas bagi
(v) Menukar nombor dalam suatu asas Hadkan penukaran nombor
menukarkan secara terus nombor
tertentu kepada nombor dalam asas kepada asas dua, lapan dan
asas dua kepada nombor asas
yang lain.
lima sahaja.
lapan dan begitu juga sebaliknya.
Contohnya, tukarkan secara terus nombor asas dua kepada nombor
asas lapan dengan mengumpulkan tiga digit yang berturutan.
1. ASAS NOMBOR TINGKATAN 5
OBJEKTI F PEMBELAJARAN
CADANGAN AKTI VI TI P&P
HASI L PEMBELAJARAN
CATATAN
Murid akan diajar untuk:
Murid akan dapat:
• Laksanakan operasi tambah dan
(vi) Membuat pengiraan melibatkan
tolak secara lazim.
operasi:
Contoh:
a) tambah 1010 2 b) tolak
+ 110 2 bagi dua nombor dalam asas dua.
2. GRAF FUNGSI II TINGKATAN 5
OBJEKTI F PEMBELAJARAN
CADANGAN AKTI VI TI P&P
HASI L PEMBELAJARAN
CATATAN
Murid akan diajar untuk:
Murid akan dapat:
2.1 Memahami dan menggunakan • Teroka graf fungsi dengan
(i) Melukis graf bagi fungsi:
konsep graf fungsi.
menggunakan kalkulator grafik
a) linear:
atau perisian Geometer’s
y = ax + b, apabila a, b ialah
Sketchpad.
pemalar
Bandingkan ciri-ciri graf fungsi
2 dengan beberapa nilai pemalar
b) kuadratik:
y = ax + bx + c, apabila a, b dan
yang berbeza.
c ialah pemalar, a ≠0
Contoh:
c) kubik:
Hadkan fungsi kubik kepada
3 2 y = ax + bx + cx + d, apabila a, bentuk-bentuk yang berikut:
b, c dan d ialah pemalar, a 3
d) salingan:
a • y=x + bx + c 3
y = , apabila a ialah pemalar, x
• y= −x + bx + c
a ≠ 0.
Lengkuk pada graf B adalah lebih lebar daripada lengkuk pada graf
(ii) Mencari daripada graf:
Bagi fungsi tertentu dan
A dan memintas paksi menegak di
a) nilai y, apabila diberikan nilai x
beberapa nilai y,
atas paksi mengufuk.
kemungkinan tiada nilai
b) nilai x, apabila diberikan nilai y. sepadan bagi x.
2. GRAF FUNGSI II TINGKATAN 5
OBJEKTI F PEMBELAJARAN
CADANGAN AKTI VI TI P&P
HASI L PEMBELAJARAN
CATATAN
Murid akan diajar untuk:
Murid akan dapat:
• Sebagai pengukuhan, murid
Bagi graf kubik, hadkan melibatkan diri dalam permainan 3 kepada y = ax dan
(iii) Mengenal pasti:
seperti memadankan graf pada 3 y = ax + b.
a) bentuk graf apabila diberi
fungsinya
kad dengan fungsinya. Apabila
Bagi graf fungsi kuadratik,
murid dapat memadankan kad-kad
b) jenis fungsi apabila diberi graf
hadkan kepada y = ax 2 +b
tersebut, mereka dikehendaki
c) graf apabila diberi fungsi dan
dan fungsi kuadratik yang
membentuk empat kumpulan
begitu juga sebaliknya
boleh difaktorkan kepada
mengikut jenis fungsi. Akhirnya,
(mx + n)(px + q) apabila m,
setiap kumpulan dikehendaki
n, p dan q adalah integer.
menamakan jenis fungsi yang
tertera di atas kad masing-masing.
(iv) Melakar graf linear, kuadratik,
Bagi graf fungsi kubik, kubik atau salingan daripada fungsi 3 hadkan kepada y = ax dan
yang diberi. 3 y = ax + b.
Gunakan latihan memplot konsep penyelesaian
2.2 Memahami dan menggunakan • Gunakan kalkulator grafik atau
(i) Mencari titik persilangan bagi dua
graf secara lazim jika tiada persamaan dengan kaedah graf.
perisian Geometer’s Sketchpad
graf.
untuk meneroka dan mengaitkan
kalkulator grafik atau
koordinat-x titik persilangan dua
perisian Geometer’s
graf dengan penyelesaian
(ii) Mendapatkan penyelesaian
Sketchpad (GSP).
persamaan yang diberi. Buatkan
persamaan dengan mencari titik
pengitlakan tentang titik
persilangan bagi dua graf.
persilangan dua graf.
(iii) Menyelesaikan masalah yang
Kaitkan dengan kehidupan melibatkan penyelesaian persamaan seharian. dengan kaedah graf.
2. GRAF FUNGSI II TINGKATAN 5
OBJEKTI F PEMBELAJARAN
CADANGAN AKTI VI TI P&P
HASI L PEMBELAJARAN
CATATAN
Murid akan diajar untuk:
Murid akan dapat:
2.3 Memahami dan menggunakan
Untuk Objektif Pembelajaran konsep rantau yang mewakili
(i) Menentukan sama ada suatu titik
ketiga ini, kaitkan situasi ketaksamaan dalam dua
yang diberi memuaskan:
x = a, x ≥ a, x > a, x ≤ a atau pembolehubah.
y = ax + b, atau
x < a.
y > ax + b, atau
y < ax + b.
(ii) Menentukan kedudukan suatu titik yang diberi relatif kepada
persamaan y = ax + b.
• Bincangkan:
(iii) Mengenal pasti rantau yang
Jika satu titik dalam suatu rantau
memuaskan y > ax + b atau
memuaskan y > ax + b atau
y < ax + b.
y < ax + b, maka semua titik
dalam rantau itu memuaskan ketaksamaan yang sama.
2. GRAF FUNGSI II TINGKATAN 5
OBJEKTI F PEMBELAJARAN
CADANGAN AKTI VI TI P&P
HASI L PEMBELAJARAN
CATATAN
Murid akan diajar untuk:
Murid akan dapat:
• Gunakan kalkulator grafik,
(iv) Melorekkan rantau yang mewakili
Tegaskan bahawa:
perisian Geometer’s Sketchpad
ketaksamaan:
• Bagi rantau yang
atau OHP dan transparensi untuk
a) y > ax + b, atau y < ax + b
mewakili y > ax + b atau
meneroka titik-titik relatif kepada
b) y ≥ ax + b, atau y ≤ ax + b
y < ax + b, garis y = ax + b
satu graf bagi membuat
dilukis sebagai garis
pengitlakan tentang rantau yang
putus-putus bagi
memuaskan ketaksamaan yang
menunjukkan bahawa
diberi.
kesemua titik di atas garis y = ax + b tidak berada di
dalam rantau ketaksamaan tersebut.
• Bagi rantau yang
mewakili y ≥ ax + b atau y ≤ ax + b, garis y = ax + b
dilukis sebagai garis penuh bagi menunjukkan bahawa kesemua titik di
atas garis y = ax + b berada di dalam rantau
ketaksamaan tersebut.
(v) Mengenal pasti rantau yang memuaskan dua atau lebih ketaksamaan linear serentak.
3. PENJELMAAN III
TINGKATAN 5
OBJEKTI F PEMBELAJARAN
CADANGAN AKTI VI TI P&P
HASI L PEMBELAJARAN
CATATAN
Murid akan diajar untuk:
Murid akan dapat:
Mulakan dengan satu titik, konsep gabungan dua
3.1 Memahami dan menggunakan • Kaitkan penjelmaan dalam
(i) Menentukan imej suatu objek di
diikuti dengan satu garisan penjelmaan.
kehidupan sebenar seperti corak-
bawah gabungan dua penjelmaan
corak teselasi pada dinding, siling
isometri.
dan satu objek.
atau lantai.
• Teroka gabungan penjelmaan
(ii) Menentukan imej suatu objek di
Hadkan penjelmaan isometri
menggunakan Geometer’s
bawah gabungan:
kepada translasi, pantulan
Sketchpad, kalkulator grafik atau
dan putaran.
OHP dan transparensi.
a) dua pembesaran
• Selidik ciri-ciri objek dan imejnya
b) pembesaran dan penjelmaan
di bawah gabungan penjelmaan.
isometri.
(iii) Melukis imej bagi suatu objek di bawah gabungan dua penjelmaan.
(iv) Menyatakan koordinat-koordinat imej bagi suatu titik di bawah
gabungan dua penjelmaan.
(v) Menentukan sama ada penjelmaan AB setara dengan penjelmaan BA.
TINGKATAN 5
3. PENJELMAAN III
OBJEKTI F PEMBELAJARAN
CADANGAN AKTI VI TI P&P
HASI L PEMBELAJARAN
CATATAN
Murid akan diajar untuk:
Murid akan dapat:
• Laksanakan projek mereka bentuk (vi) Menghuraikan gabungan dua
corak-corak menggunakan
penjelmaan bagi objek dan imej
gabungan penjelmaan yang boleh
yang diberi.
digunakan sebagai hiasan. Projek
ini boleh dibentangkan dalam
kelas dengan murid menghuraikan penjelmaan terlibat.
• Gunakan Geometer’s Sketchpad
(vii) Menghuraikan suatu penjelmaan
Hadkan penjelmaan setara
untuk membuktikan penjelmaan
tunggal yang setara dengan
kepada translasi, pantulan
tunggal yang setara dengan
gabungan dua penjelmaan isometri. dan putaran.
gabungan dua penjelmaan
isometri. (viii) Menyelesaikan masalah yang
melibatkan penjelmaan.
4. MATRIKS
TINGKATAN 5
OBJEKTI F PEMBELAJARAN
CADANGAN AKTI VI TI P&P
HASI L PEMBELAJARAN
CATATAN
Murid akan diajar untuk:
Murid akan dapat:
Tegaskan bahawa matriks konsep matriks.
4.1 Memahami dan menggunakan • Wakilkan data dari kehidupan
(i) Membentuk matriks daripada
sebenar, contohnya harga
maklumat yang diberi.
lazimnya ditulis dalam tanda
makanan dalam menu, dalam
kurung.
bentuk jadual dan seterusnya dalam bentuk matriks.
(ii) Menentukan: Perkenalkan matriks baris dan matriks lajur.
a) bilangan baris
Tegaskan bahawa matriks
b) bilangan lajur
adalah mengikut turutan
m × n dan dibaca sebagai “matriks m dengan n”.
c) peringkat
suatu matriks.
• Gunakan kedudukan murid di
(iii) Mengenal pasti unsur tertentu
Gunakan baris nombor dan
dalam kelas dengan kedudukan
dalam suatu matriks.
lajur untuk menentukan
lajur dan barisnya mengikut
kedudukan sesuatu unsur.
matriks, kemudian kenal pasti kedudukan seorang murid dengan lajur dan baris tertentu yang didudukinya sebagai contoh konkrit.
4.2 Memahami dan menggunakan • Bincangkan mengenai matriks
(i) Mengenal pasti dan menentukan
konsep matriks sama.
sama dari segi:
sama ada dua matriks adalah sama.
peringkat
unsur sepadan. (ii) Menyelesaikan masalah yang
Masukkan pencarian nilai
melibatkan matriks sama.
unsur yang tidak diketahui.
4. MATRIKS TINGKATAN 5
OBJEKTI F PEMBELAJARAN
CADANGAN AKTI VI TI P&P
HASI L PEMBELAJARAN
CATATAN
Murid akan diajar untuk:
Murid akan dapat:
4.3 Melakukan penambahan dan
(i) Menentukan sama ada penambahan
penolakan matriks.
atau penolakan boleh dilaksanakan pada dua matriks yang diberi.
• Kaitkan dengan kehidupan
(ii) Mencari hasil tambah atau
Hadkan kepada matriks yang
sebenar seperti mencatat dan
perbezaan dua matriks.
tidak melebihi 3 baris dan 3
mengemas kini markah bagi
lajur.
pingat yang dikutip dalam sukan tahunan.
(iii) Melakukan penambahan dan
Masukkan pencarian nilai
penolakan bagi beberapa matriks.
unsur yang tidak diketahui.
(iv) Menyelesaikan masalah persamaan matriks yang melibatkan penambahan dan penolakan.
4.4 Melakukan pendaraban suatu
Pendaraban matriks dengan matriks dengan suatu nombor.
• Kaitkan dengan kehidupan
(i) Mendarab suatu matriks dengan
sebenar seperti industri
suatu nombor.
nombor dikenali sebagai
pengeluaran.
pendaraban skalar.
(ii) Mengungkapkan suatu matriks yang diberi dalam bentuk pendaraban suatu matriks lain dengan suatu nombor.
(iii) Melakukan pengiraan matriks yang melibatkan penambahan, penolakan dan pendaraban skalar.
4. MATRIKS TINGKATAN 5
OBJEKTI F PEMBELAJARAN
CADANGAN AKTI VI TI P&P
HASI L PEMBELAJARAN
CATATAN
Murid akan diajar untuk:
Murid akan dapat:
(iv) Menyelesaikan persamaan matriks
Masukkan pencarian nilai
yang melibatkan penambahan,
unsur yang tidak diketahui.
penolakan dan pendaraban skalar.
4.5 Melakukan pendaraban dua
• Kaitkan dengan kehidupan
(i) Menentukan sama ada dua matriks
matriks.
sebenar seperti mencari harga satu
boleh didarab dan menyatakan
hidangan makanan dalam sebuah
peringkat matriks yang terhasil
restoran.
apabila dua matriks boleh didarab.
• Bagi matriks A dan B, bincangkan
hubungan antara AB dan BA.
(ii) Mencari hasil darab dua matriks.
Hadkan kepada matriks yang tidak melebihi 3 baris dan 3
lajur.
(iii) Menyelesaikan persamaan matriks
Hadkan kepada dua unsur
yang melibatkan pendaraban dua
yang tidak diketahui
matriks.
nilainya.
Matriks identiti biasanya konsep matriks identiti.
4.6 Memahami dan menggunakan • Mulakan dengan membincangkan (i) Menentukan sama ada suatu
sifat nombor 1 sebagai identiti
matriks yang diberi adalah matriks diwakili dengan I, dan
bagi pendaraban nombor.
identiti melalui pendaraban matriks dikenali juga sebagai matriks tersebut dengan matriks lain.
• unit.
Bincang:
Matriks identiti adalah matriks
segiempat sama. (ii) Menulis matriks identiti pelbagai
Hanya ada satu matriks
peringkat.
identiti untuk setiap peringkat.
4. MATRIKS TINGKATAN 5
OBJEKTI F PEMBELAJARAN
CADANGAN AKTI VI TI P&P
HASI L PEMBELAJARAN
CATATAN
Murid akan diajar untuk:
Murid akan dapat:
• Bincangkan sifat-sifat
(iii) Melakukan pengiraan yang
Hadkan kepada matriks yang
melibatkan matriks identiti.
tidak melebihi 3 baris dan 3
a) AI = A, lajur.
b) IA = A.
Songsang bagi matriks A konsep matriks songsang.
4.7 Memahami dan menggunakan • Kaitkan dengan sifat songsangan
(i) Menentukan sama ada suatu
terhadap pendaraban bagi nombor.
matriks 2 × 2 adalah matiks
dilambangkan dengan A −1 .
songsang bagi suatu matriks 2 × 2
Contoh:
Tegaskan:
yang lain.
• Jika matriks B adalah
Dalam contoh di atas, 2 −1
matriks songsang bagi
adalah
matriks A, maka matriks
songsangan terhadap pendaraban
A juga adalah matriks
bagi 2 dan begitu juga sebaliknya.
songsang bagi matriks B, AB = BA = I.
• Matriks songsang hanya wujud bagi matriks
segiempat sama, tetapi bukan semua matriks segiempat sama mempunyai matriks songsang.
4. MATRIKS TINGKATAN 5
OBJEKTI F PEMBELAJARAN
CADANGAN AKTI VI TI P&P
HASI L PEMBELAJARAN
CATATAN
Murid akan diajar untuk:
Murid akan dapat:
• Gunakan kaedah penyelesaian
(ii) Mencari matriks songsang bagi
Langkah-langkah untuk
persamaan linear serentak untuk
suatu matriks 2 × 2 menggunakan:
mencari matriks songsang:
menunjukkan tidak semua matriks
a) kaedah penyelesaian persamaan • menyelesaikan persamaan
segiempat sama mempunyai
serentak
serentak
matriks songsang. Contohnya, minta murid mencari matriks
b) rumus.
r s 0 1
songsang bagi
p + 2r = 1, 3p + 4r = 0
q + 2s = 0, 3q + 4s = 1 p q apabila
s matriks songsang.
adalah r
• Jalankan operasi yang mengarah
• menggunakan rumus
kepada penemuan rumus.
a b bagi A =
c d d − b
A −1 = ad − bc ad − bc − c a
ad − bc ad − bc
atau
4. MATRIKS TINGKATAN 5
OBJEKTI F PEMBELAJARAN
CADANGAN AKTI VI TI P&P
HASI L PEMBELAJARAN
CATATAN
Murid akan diajar untuk:
Murid akan dapat:
• Gunakan matriks dan matriks
songsang dalam kaedah
ad − bc − c a
penyelesaian persamaan linear
serentak untuk dikaitkan dengan
apabila ad − bc ≠ 0.
rumus. Ungkapkan setiap matriks
ad
− bc dikenali sebagai penentu matriks A.
songsang sebagai pendaraban
suatu matriks dengan suatu nombor. Bandingkan pendaraban
A −1 tidak wujud jika
skalar dengan matriks asal dan
penentu adalah 0.
bincangkan bagaimana mendapatkan penentu.
Sebelum menggunakan rumus, jalankan operasi-
• Bincangkan syarat kewujudan
operasi yang menjurus
matriks songsang.
kepada penggunaan rumus.
4. MATRIKS TINGKATAN 5
OBJEKTI F PEMBELAJARAN
CADANGAN AKTI VI TI P&P
HASI L PEMBELAJARAN
CATATAN
Murid akan diajar untuk:
Murid akan dapat:
4.8 Menyelesaikan persamaan
(i) Menulis persamaan linear serentak Hadkan kepada dua anu. linear serentak dengan kaedah
• Kaitkan kepada matriks sama
dengan menuliskan persamaan
dalam bentuk matriks.
Persamaan linear serentak matriks.
serentak sebagai matriks sama
ap + bq = h
terlebih dahulu. Contohnya:
cp + dq = k
Tuliskan 2x + 3y = 13
4x −y=5
dalam bentuk matriks adalah
sebagai matriks sama:
a, b, c, d, h dan k ialah
dan kemudian ungkapkan sebagai:
pemalar, manakala p dan q
ialah anu. 13
• Bincangkan mengapa:
(ii) Menentukan matriks
penggunaan matriks songsang
diperlukan. Kaitkan dengan
q k
c d apabila A = .
c d
penyelesaian persamaan linear
jenis ax = b.
dengan menggunakan matriks
songsang. adalah penting untuk menulis
matriks songsang di tempat yang betul di kedua-dua belah persamaan.
4. MATRIKS TINGKATAN 5
OBJEKTI F PEMBELAJARAN
CADANGAN AKTI VI TI P&P
HASI L PEMBELAJARAN
CATATAN
Murid akan diajar untuk:
Murid akan dapat:
(iii) Menyelesaikan persamaan linear
Kaedah matriks
serentak dengan kaedah matriks.
menggunakan matriks songsang untuk
menyelesaikan persamaan linear serentak.
Kaitkan penggunaan matriks (iv) • Menyelesaikan masalah yang
dalam bidang-bidang lain seperti
melibatkan matriks.
perniagaan atau ekonomi, sains dan sebagainya.
• Jalankan projek yang melibatkan
matriks dengan menggunakan
perisian pangkalan data
(spreadsheet softwares).
5. UBAHAN TINGKATAN 5
OBJEKTI F PEMBELAJARAN
CADANGAN AKTI VI TI P&P
HASI L PEMBELAJARAN
CATATAN
Murid akan diajar untuk:
Murid akan dapat:
5.1 Memahami dan menggunakan
y berubah secara langsung konsep ubahan langsung.
(i) Menyatakan perubahan yang
berlaku kepada suatu kuantiti
dengan x jika dan hanya jika
apabila kuantiti yang lain berubah
nilai
adalah pemalar.
dalam situasi harian yang
melibatkan ubahan langsung.
• Bincangkan bentuk graf y
(ii) Menentukan sama ada suatu
Jika y berubah secara
langsung dengan x, terhadap kuantiti yang lain daripada • hubungan ini ditulis sebagai
melawan x apabila y ∝ x.
kuantiti berubah secara langsung
Kaitkan ubahan langsung dengan
maklumat yang diberi.
y ∝ x.
bidang lain seperti sains dan
teknologi. Contohnya, Hukum
Charles dan Gay-Lussac (atau
(iii) Menulis suatu ubahan langsung
Bagi y n ∝x , hadkan n kepada
Hukum Charles), Hukum Hook
dalam bentuk persamaan yang
melibatkan dua pembolehubah.
2, 3 dan .
dan gerakan pendulum ringkas.
(iv) Mencari nilai satu pembolehubah
Jika y ∝ x, maka y = kx
dalam suatu ubahan langsung
apabila k adalah pemalar
apabila maklumat yang mencukupi ubahan. diberi.
Penyelesaian boleh
• Bagi y ∝x , (n = 2, 3, ),
(v) Menyelesaikan masalah yang
dilakukan dengan
2 melibatkan ubahan langsung bagi
menggunakan hubungan:
bincangkan bentuk graf y
kes:
1 • y = kx; atau
melawan x .
∝ x; y ∝ x 2 ; y ∝x ; y ∝ x .
y= x 1 x 2
5. UBAHAN TINGKATAN 5
OBJEKTI F PEMBELAJARAN
CADANGAN AKTI VI TI P&P
HASI L PEMBELAJARAN
CATATAN
Murid akan diajar untuk:
Murid akan dapat:
5.2 Memahami dan menggunakan
y berubah secara songsang konsep ubahan songsang.
(i) Menyatakan perubahan yang
berlaku kepada suatu kuantiti
dengan x jika dan hanya jika
apabila kuantiti yang lain berubah
nilai xy adalah pemalar.
dalam situasi harian yang melibatkan ubahan songsang.
• Bincangkan bentuk graf y
(ii) Menentukan sama ada suatu
Jika y berubah secara
apabila y ∝ .
1 1 kuantiti berubah secara songsang
songsang dengan x,
melawan
terhadap kuantiti yang lain daripada hubungan ini ditulis sebagai maklumat yang diberi.
• Kaitkan dengan bidang lain
seperti sains dan teknologi.
Contohnya, Hukum Boyle.
1 Bagi y ∝ n , hadkan
1 n kepada 2, 3 dan .
(iii) Menulis suatu ubahan songsang
Jika y
, maka y =
dalam bentuk persamaan yang
xx
melibatkan dua pembolehubah.
apabila k adalah pemalar ubahan.
5. UBAHAN TINGKATAN 5
OBJEKTI F PEMBELAJARAN
CADANGAN AKTI VI TI P&P
HASI L PEMBELAJARAN
CATATAN
Murid akan diajar untuk:
Murid akan dapat:
(iv) Mencari nilai satu pembolehubah
dalam suatu ubahan songsang
apabila maklumat yang mencukupi
diberi.
Penyelesaian boleh
(v) Menyelesaikan masalah yang
dilakukan dengan
Bagi kes y ∝ n , (n = 2, 3, ),
melibatkan ubahan songsang bagi
menggunakan hubungan:
2 kes:
bincangkan bentuk graf y
1 1 1 1 • y= ; atau
1 y ∝ ;y ∝ 2 ;y ∝ 3 ;y ∝ 1 .
melawan n .
• x 1 y 1 =x 2 y 2
5.3 Memahami dan menggunakan • Bincangkan ubahan tercantum
(i) Menulis suatu ubahan tercantum
konsep ubahan tercantum.
yang melibatkan ketiga-tiga kes
dengan menggunakan simbol “ ∝”
dalam situasi harian.
bagi kes-kes berikut:
Bagi kes y ∝x z , y ∝ n •
Kaitkan dengan bidang lain
a) dua ubahan langsung
seperti sains dan teknologi.
b) dua ubahan songsang
c) satu ubahan langsung dan satu
dan y
∝ n , hadkan n
Contoh:
ubahan songsang.
kepada 2, 3 dan . R 2
bermaksud arus I berubah (ii) Menulis suatu ubahan tercantum
dalam bentuk persamaan. secara langsung dengan voltan V
dan secara songsang dengan
(iii) Mencari nilai pembolehubah
rintangan R.
tertentu dalam ubahan tercantum apabila maklumat yang mencukupi diberi.
(iv) Menyelesaikan masalah yang melibatkan ubahan tercantum.
6. KECERUNAN DAN LUAS DI BAWAH GRAF TINGKATAN 5
OBJEKTI F PEMBELAJARAN
CADANGAN AKTI VI TI P&P
HASI L PEMBELAJARAN
CATATAN
Murid akan diajar untuk:
Murid akan dapat:
(i) Menyatakan kuantiti yang diwakili Hadkan kepada graf garis konsep kuantiti yang diwakili
6.1 Memahami dan menggunakan • Guna contoh-contoh dalam
lurus sahaja. oleh kecerunan graf.
pelbagai bidang seperti teknologi
oleh kecerunan graf.
dan sains sosial. • Banding dan bezakan antara graf
(ii) Melukis graf jarak-masa apabila
Kecerunan graf mewakili
jarak-masa dan graf laju-masa.
diberi:
kadar perubahan kuantiti pada paksi mencancang
a) jadual nilai jarak-masa
terhadap perubahan kuantiti
b) hubungan antara jarak dengan
pada paksi mengufuk.
masa.
Kadar perubahan mungkin
mempunyai nama yang
khusus seperti ‘laju’ untuk
grak jarak-masa.
(iii) Mencari dan mentafsir kecerunan
Tegaskan:
graf jarak-masa.