Implementasi Algoritma Solin Dalam Menentukan Minimum Spanning Tree Pada Pembuatan Jalur Pipa Air Di Universitas Sumatera Utara
BAB 2
LANDASAN TEORI
2.1. Graf
Menurut Foulds (1992) graf G adalah pasangan terurut (�,) dimana V adalah
himpunan simpul yang berhingga dan tidak kosong. Dan E adalah himpunan sisi yang
merupakan pasangan yang tidak terurut dari simpul �, dimana �, ∈�. Elemen V
dinamakan simpul (node) dan elemen E dinamakan sisi (edge), dinotasikan sebagai (i,
j), yaitu sisi yang menghubungkan simpul i dengan simpul j, dengan �, ∈�.
Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E), ditulis dengan notasi G = (V,
E). Dalam hal ini, V merupakan himpunan tidak kosong dari simpul-simpul (vertices
atau node) digambarkan dalam titiktitik, dan E adalah himpunan sisi-sisi (edges atau
arcs) digambarkan dalam garis-garis yang menghubungkan sepasang simpul (Munir,
2009). Dapat dikatakan graf adalah kumpulan dari simpul-simpul yang dihubungkan
oleh sisi-sisi. Graf dapat digambarkan pada gambar 2.1.
Gambar 2.1 Graf G
Pada gambar graf G diatas, graf terdiri darihimpunan V dan E yaitu:
V = (A, B, C) ……….……….. (1)
E =
(e1, e2, e3, e4); bisa
ditulis {(A,B),(B,C),(B,C),(A,C)}
….... (2)
Universitas Sumatera Utara
8
2.2. Jenis-jenis Graf
Graf dapat dikelompokkan menjadi beberapa jenis bergantung pada sudut pandang
pengelompokkannya. Pengelompokkan graf dapat dipandang berdasarkan ada
tidaknya sisi ganda atau sisi kalang, berdasarkan jumlah simpul atau berdasarkan
orientasi arah pada sisi (Munir R, 2007).
Berdasarkan ada tidaknya gelang atau busur ganda pada suatu graf maka secara umum
graf dapat dikelompokkan menjadi dua jenis:
1.
Graf sederhana (simple graph) yaitu graf yang tidak mengandung gelang maupun
sisi-ganda dinamakan graf sederhana. Pada graf sederhana, sisi adalah pasangan
tak-terurut (unordered pairs). Jadi menuliskan sisi (u,v) sama saja dengan (v,u).
Kita dapat juga mendefinisikan graf sederhana G=(V,E) terdiri dari himpunan
tidak kosong simpul-simpul dan E adalah himpunan pasangan tak-terurut yang
berbeda disebut sisi (Munir R, 2007).
2.
Graf tak-sederhana (unsimple graph) yaitu graf yang mengandung sisi ganda atau
gelang dinamakan graf tak-sederhana (unsimple graph). Ada dua macam graf taksederhana, yaitu graf ganda (multigraph) dan graf semu (pseudograph).
a.
Graf ganda (multigraph) adalah graf yang mengandung sisi ganda. Sisi ganda
yang menghubungkan sepasang simpul bias lebih dari dua buah. Sisi ganda
dapat diasosiasikan sebagai pasangan tak terurut yang sama (Munir R, 2007).
b.
Graf semu (pseudograph) adalah graf yang mengandung gelang (loop). Graf
semu lebih umum daripada graf ganda karena sisi pada graf semu dapat
terhubung ke dirinya sendiri (Munir R, 2007).
Sisi pada graf dapat mempunyai orientasi arah. Menurut orientasi arah pada sisinya,
graf dibagi menjadi dua jenis, yaitu:
1.
Graf tidak berarah (undirected graph) adalah graf yang sisinya tidak mempunyai
orientasi arah, pada graf ini, urutan pasangan simpul yang dihubungkan oleh sisi
tidak diperhatikan (Munir R, 2007).
2.
Graf berarah (directed graph) adalah graf yang setiap sisinya diberikan orientasi
arah, Graf berarah sering dipakai untuk menggambarkan aliran proses, peta lintas
suatu kota, dan sebagainya (Munir R, 2007).
Universitas Sumatera Utara
9
Graf juga ada yang mempunyai bobot atau nilai. Berdasarkan bobotnya, graf dibagi
menjadi dua jenis, yaitu:
1.
Graf tidak berbobot (unweighted graph) adalah graf yang tidak mempunyai bobot
atau nilai.
2.
Graf berbobot (weighted graph) apabila sebuah busur mempunyai sebuah nilai
yang menyatakan hubungan antara dua buah simpul, maka busur tersebut
dikatakan mempunyai bobot, dan graf disebut graf berbobot atau weighted graph.
Bobot sebuah busur dapat menyatakan panjang sebuah jalan antara dua buah titik,
atau jumlah rata-rata kendaraan perhari yang melalui sebuah jalan (Sjukani M,
2012). Contoh graf berbobot diperlihatkan pada Gambar 2.2.
Gambar 2.2Graf Berbobot (Weighted Graph)
2.3. Pohon (Tree)
Pohon adalah graf tidak berarah yang berhubungan tanpa terhubung dengan sirkuit
sederhana, karena pohon tidak dapat memiliki rangkaian sederhana, pohon tidak dapat
berisi beberapa tepi atau loop. Maka setiap pohon pasti sebuah graf sederhana (Rosen
K.H, 2012). Konsep dalam teori graf terdiri dari beragam jenis, konsep pohon (tree)
merupakan konsep yang paling populer karena konsep ini mampu mendukung
pemecahan masalah dalam berbagai terapan graf. Dalam kehidupan sehari-hari, orang
telah lama menggunakan pohon untuk menggambarkan hirarkhi. Misalnya, pohon
silsilah keluarga, struktur organisasi dan lain sebagainya. Gambar dari pohon (tree)
dapat dilihat pada Gambar 2.3 berikut:
Universitas Sumatera Utara
10
Gambar 2.3Gambar a merupakan pohon, dan gambar b bukan pohon
Gambar a disebut pohon karena merupakan graf yang tak berarah (directed graph) dan
tidak mengandung sirkuit, sedangkan gambar b bukan pohon karena graf tersebut
tidak terhubung.
2.4. Pohon Rentang Minimum (Minimum Spanning Tree)
Apabila G adalah graf berbobot, makabobot pohon merentang T dari G
didefinisikansebagai jumlah bobot semua sisi di T. Pohonmerentang yang berbeda
mempunyai bobot yang berbeda pula. Diantara semua pohon merentang dalam graf G,
pohon merentang yang berbobot minimum dinamakan pohon merentang minimum.
Pohon merentang minimum ini mempunyai terapan yang luasdalam masalah riil
(Munir, 2009).
Minimum spanning treedari sebuah graf berbobot tree yang mencapai semua node dari
graf tersebut dimana jumlah dari semua bobot/linkmenjadi minimal. (Lidia, 2007)
Misalkan terdapat graf yang sangat kompleks, dimana ada beberapa alternatifuntuk
melakukan kunjungan-kunjungan (visiting) dari satu simpul ke simpul simpul yang
lainnya, tentu dapat segera dicari tahu alternatif yang terbaik untuk melakukannya.
Dalam hal ini, alternatif yang cukup baik adalah dengan mencari jarak yang terdekat
antar simpul itu. Contoh: Misalkan akan dibangun jaringan distribusi listrik primer
yang menghubungkan sejumlah titik tiang di suatu daerah, dalam rancangannya
digambarkan pada gambar 2.4.
Universitas Sumatera Utara
11
Gambar 2.4Contoh graf berbobot rancanganjaringan distribusi listrik primer
dan pohon merentang minimum yang terbentuk
2.5. Algoritma Solin
Algoritma Solin ditemukan oleh Sollin pada tahun 1960. Algoritma Solin merupakan
pohon perentang minimum dengan cara melakukan penghapusan sisi-sisi yang tidak
menyebabkan graf menjadi tidak terhubung atau membentuk sirkuit. Penghapusan
tersebut dimulai dari sisi yang memiliki bobot terbesar hingga terkecil. (Wright,
1985:404).
Langkah-langkah mencari pohon perentang minimum dengan Algoritma Solin
sebagai berikut:
1. Urutkan ruas (edges) dari Graf G menurut bobotnya, dari besar ke kecil.
2. Lakukan penghapusan ruas berdasarkan urutan yang sudah dilakukan, dengan
ketentuan bahwa penghapusan ruas tersebut tidak menyebabkan graf menjadi
tidak terhubung atau membentuk sirkuit.
Contoh Soal :
Gunakan algoritma Solin untuk menentukan minimum spanning tree dari graf
berbobot G berikut.
Gambar 2.5 Graf berbobot G
Universitas Sumatera Utara
12
Penyelesaian :
1. Urutkan ruas – ruas dari graf berbobot G dengan bobot terbesar sampai bobot
yang terkecil, diperoleh
AF BC AC BE CE BF AE DF BD
9
8
7
7
6
5
4
4
3
2. Lakukan penghapusan ruas berdasarkan urutan yang sudah dilakukan, dengan
ketentuan bahwa penghapusan ruas tersebut tidak menyebabkan graf menjadi
tidak terhubung atau membentuk sirkuit.
•
Hapus ruas AF, karena tidak memutus graf G, diperoleh :
Gambar 2.6 Penghapusan ruas AF pada graf berbobot G
•
Hapus ruas BC (boleh) karena tidak memutus graf G, diperoleh :
Gambar 2.7Penghapusan ruas BC pada graf berbobot G
•
Hapus ruas AC (boleh) karena tidak memutus graf G, diperoleh :
Universitas Sumatera Utara
13
Gambar 2.8Penghapusan ruas AC pada graf berbobot G
•
Hapus ruas BE (tidak boleh) karena memutus graf G
•
Hapus ruas CE (tidak boleh) karena memutus graf G
•
Hapus ruas BF (boleh) karena tidak memutus graf G dan diperoleh :
Gambar 2.9 Penghapusan ruas BF pada graf berbobot G
•
Berikutnya ruas AE, DF, dan BD tidak dapat dihapus karena memutus
graf G. Jadi minimum spanning tree dari graf berbobot G adalah sebagai
berikut :
Universitas Sumatera Utara
14
Gambar 2.10Hasil minimum spanning tree pada graf berbobot G
•
Jadi jumlah bobot minimal spanning treedari graf G adalah
6 + 4 + 7 + 3 + 4 = 24
2.6. Euclidean Distance
Metode pengukuran jarak pada graf Universitas Sumatera Utara menggunakan metode
Euclidean Distance. Menurut Putra (2010), bahwa untuk perhitungan jarak antara dua
titik satu dengan lainnya menggunakan Euclidean Distance (Jarak Euclidean). Metode
ini bisa diterapkan untuk menghitung jarak antara dua titik bangunan. Pengukuran
jarak antara dua titik bangunan menggunakan Euclidean Distance, rumus
matematisnya sebagai berikut :
Gambar 2.11Rumus Euclidean Distance
dimana :
d = distance (jarak)
�1 = titik koordinat p pada poros x
�2 = titik koordinat q pada poros x
�1 = titik koordinat p pada poros y
�2 = titik koordinat q pada poros y
Sehingga dari Formula diatas kita dapat implementasi menjadi :
Universitas Sumatera Utara
15
Gambar 2.12Rumus Jarak Euclidean Menggunakan Koordinat
Hasil perhitungan (Jarak) diatas masih dalam satuan decimal degree (sesuai dengan
format longlat yang dipakai) sehingga untuk menyesuaikannya perlu dikalikan dengan
111.319 km (1 derajat bumi = 111.319 km).
Universitas Sumatera Utara
LANDASAN TEORI
2.1. Graf
Menurut Foulds (1992) graf G adalah pasangan terurut (�,) dimana V adalah
himpunan simpul yang berhingga dan tidak kosong. Dan E adalah himpunan sisi yang
merupakan pasangan yang tidak terurut dari simpul �, dimana �, ∈�. Elemen V
dinamakan simpul (node) dan elemen E dinamakan sisi (edge), dinotasikan sebagai (i,
j), yaitu sisi yang menghubungkan simpul i dengan simpul j, dengan �, ∈�.
Graf G didefinisikan sebagai pasangan himpunan (V, E), ditulis dengan notasi G = (V,
E). Dalam hal ini, V merupakan himpunan tidak kosong dari simpul-simpul (vertices
atau node) digambarkan dalam titiktitik, dan E adalah himpunan sisi-sisi (edges atau
arcs) digambarkan dalam garis-garis yang menghubungkan sepasang simpul (Munir,
2009). Dapat dikatakan graf adalah kumpulan dari simpul-simpul yang dihubungkan
oleh sisi-sisi. Graf dapat digambarkan pada gambar 2.1.
Gambar 2.1 Graf G
Pada gambar graf G diatas, graf terdiri darihimpunan V dan E yaitu:
V = (A, B, C) ……….……….. (1)
E =
(e1, e2, e3, e4); bisa
ditulis {(A,B),(B,C),(B,C),(A,C)}
….... (2)
Universitas Sumatera Utara
8
2.2. Jenis-jenis Graf
Graf dapat dikelompokkan menjadi beberapa jenis bergantung pada sudut pandang
pengelompokkannya. Pengelompokkan graf dapat dipandang berdasarkan ada
tidaknya sisi ganda atau sisi kalang, berdasarkan jumlah simpul atau berdasarkan
orientasi arah pada sisi (Munir R, 2007).
Berdasarkan ada tidaknya gelang atau busur ganda pada suatu graf maka secara umum
graf dapat dikelompokkan menjadi dua jenis:
1.
Graf sederhana (simple graph) yaitu graf yang tidak mengandung gelang maupun
sisi-ganda dinamakan graf sederhana. Pada graf sederhana, sisi adalah pasangan
tak-terurut (unordered pairs). Jadi menuliskan sisi (u,v) sama saja dengan (v,u).
Kita dapat juga mendefinisikan graf sederhana G=(V,E) terdiri dari himpunan
tidak kosong simpul-simpul dan E adalah himpunan pasangan tak-terurut yang
berbeda disebut sisi (Munir R, 2007).
2.
Graf tak-sederhana (unsimple graph) yaitu graf yang mengandung sisi ganda atau
gelang dinamakan graf tak-sederhana (unsimple graph). Ada dua macam graf taksederhana, yaitu graf ganda (multigraph) dan graf semu (pseudograph).
a.
Graf ganda (multigraph) adalah graf yang mengandung sisi ganda. Sisi ganda
yang menghubungkan sepasang simpul bias lebih dari dua buah. Sisi ganda
dapat diasosiasikan sebagai pasangan tak terurut yang sama (Munir R, 2007).
b.
Graf semu (pseudograph) adalah graf yang mengandung gelang (loop). Graf
semu lebih umum daripada graf ganda karena sisi pada graf semu dapat
terhubung ke dirinya sendiri (Munir R, 2007).
Sisi pada graf dapat mempunyai orientasi arah. Menurut orientasi arah pada sisinya,
graf dibagi menjadi dua jenis, yaitu:
1.
Graf tidak berarah (undirected graph) adalah graf yang sisinya tidak mempunyai
orientasi arah, pada graf ini, urutan pasangan simpul yang dihubungkan oleh sisi
tidak diperhatikan (Munir R, 2007).
2.
Graf berarah (directed graph) adalah graf yang setiap sisinya diberikan orientasi
arah, Graf berarah sering dipakai untuk menggambarkan aliran proses, peta lintas
suatu kota, dan sebagainya (Munir R, 2007).
Universitas Sumatera Utara
9
Graf juga ada yang mempunyai bobot atau nilai. Berdasarkan bobotnya, graf dibagi
menjadi dua jenis, yaitu:
1.
Graf tidak berbobot (unweighted graph) adalah graf yang tidak mempunyai bobot
atau nilai.
2.
Graf berbobot (weighted graph) apabila sebuah busur mempunyai sebuah nilai
yang menyatakan hubungan antara dua buah simpul, maka busur tersebut
dikatakan mempunyai bobot, dan graf disebut graf berbobot atau weighted graph.
Bobot sebuah busur dapat menyatakan panjang sebuah jalan antara dua buah titik,
atau jumlah rata-rata kendaraan perhari yang melalui sebuah jalan (Sjukani M,
2012). Contoh graf berbobot diperlihatkan pada Gambar 2.2.
Gambar 2.2Graf Berbobot (Weighted Graph)
2.3. Pohon (Tree)
Pohon adalah graf tidak berarah yang berhubungan tanpa terhubung dengan sirkuit
sederhana, karena pohon tidak dapat memiliki rangkaian sederhana, pohon tidak dapat
berisi beberapa tepi atau loop. Maka setiap pohon pasti sebuah graf sederhana (Rosen
K.H, 2012). Konsep dalam teori graf terdiri dari beragam jenis, konsep pohon (tree)
merupakan konsep yang paling populer karena konsep ini mampu mendukung
pemecahan masalah dalam berbagai terapan graf. Dalam kehidupan sehari-hari, orang
telah lama menggunakan pohon untuk menggambarkan hirarkhi. Misalnya, pohon
silsilah keluarga, struktur organisasi dan lain sebagainya. Gambar dari pohon (tree)
dapat dilihat pada Gambar 2.3 berikut:
Universitas Sumatera Utara
10
Gambar 2.3Gambar a merupakan pohon, dan gambar b bukan pohon
Gambar a disebut pohon karena merupakan graf yang tak berarah (directed graph) dan
tidak mengandung sirkuit, sedangkan gambar b bukan pohon karena graf tersebut
tidak terhubung.
2.4. Pohon Rentang Minimum (Minimum Spanning Tree)
Apabila G adalah graf berbobot, makabobot pohon merentang T dari G
didefinisikansebagai jumlah bobot semua sisi di T. Pohonmerentang yang berbeda
mempunyai bobot yang berbeda pula. Diantara semua pohon merentang dalam graf G,
pohon merentang yang berbobot minimum dinamakan pohon merentang minimum.
Pohon merentang minimum ini mempunyai terapan yang luasdalam masalah riil
(Munir, 2009).
Minimum spanning treedari sebuah graf berbobot tree yang mencapai semua node dari
graf tersebut dimana jumlah dari semua bobot/linkmenjadi minimal. (Lidia, 2007)
Misalkan terdapat graf yang sangat kompleks, dimana ada beberapa alternatifuntuk
melakukan kunjungan-kunjungan (visiting) dari satu simpul ke simpul simpul yang
lainnya, tentu dapat segera dicari tahu alternatif yang terbaik untuk melakukannya.
Dalam hal ini, alternatif yang cukup baik adalah dengan mencari jarak yang terdekat
antar simpul itu. Contoh: Misalkan akan dibangun jaringan distribusi listrik primer
yang menghubungkan sejumlah titik tiang di suatu daerah, dalam rancangannya
digambarkan pada gambar 2.4.
Universitas Sumatera Utara
11
Gambar 2.4Contoh graf berbobot rancanganjaringan distribusi listrik primer
dan pohon merentang minimum yang terbentuk
2.5. Algoritma Solin
Algoritma Solin ditemukan oleh Sollin pada tahun 1960. Algoritma Solin merupakan
pohon perentang minimum dengan cara melakukan penghapusan sisi-sisi yang tidak
menyebabkan graf menjadi tidak terhubung atau membentuk sirkuit. Penghapusan
tersebut dimulai dari sisi yang memiliki bobot terbesar hingga terkecil. (Wright,
1985:404).
Langkah-langkah mencari pohon perentang minimum dengan Algoritma Solin
sebagai berikut:
1. Urutkan ruas (edges) dari Graf G menurut bobotnya, dari besar ke kecil.
2. Lakukan penghapusan ruas berdasarkan urutan yang sudah dilakukan, dengan
ketentuan bahwa penghapusan ruas tersebut tidak menyebabkan graf menjadi
tidak terhubung atau membentuk sirkuit.
Contoh Soal :
Gunakan algoritma Solin untuk menentukan minimum spanning tree dari graf
berbobot G berikut.
Gambar 2.5 Graf berbobot G
Universitas Sumatera Utara
12
Penyelesaian :
1. Urutkan ruas – ruas dari graf berbobot G dengan bobot terbesar sampai bobot
yang terkecil, diperoleh
AF BC AC BE CE BF AE DF BD
9
8
7
7
6
5
4
4
3
2. Lakukan penghapusan ruas berdasarkan urutan yang sudah dilakukan, dengan
ketentuan bahwa penghapusan ruas tersebut tidak menyebabkan graf menjadi
tidak terhubung atau membentuk sirkuit.
•
Hapus ruas AF, karena tidak memutus graf G, diperoleh :
Gambar 2.6 Penghapusan ruas AF pada graf berbobot G
•
Hapus ruas BC (boleh) karena tidak memutus graf G, diperoleh :
Gambar 2.7Penghapusan ruas BC pada graf berbobot G
•
Hapus ruas AC (boleh) karena tidak memutus graf G, diperoleh :
Universitas Sumatera Utara
13
Gambar 2.8Penghapusan ruas AC pada graf berbobot G
•
Hapus ruas BE (tidak boleh) karena memutus graf G
•
Hapus ruas CE (tidak boleh) karena memutus graf G
•
Hapus ruas BF (boleh) karena tidak memutus graf G dan diperoleh :
Gambar 2.9 Penghapusan ruas BF pada graf berbobot G
•
Berikutnya ruas AE, DF, dan BD tidak dapat dihapus karena memutus
graf G. Jadi minimum spanning tree dari graf berbobot G adalah sebagai
berikut :
Universitas Sumatera Utara
14
Gambar 2.10Hasil minimum spanning tree pada graf berbobot G
•
Jadi jumlah bobot minimal spanning treedari graf G adalah
6 + 4 + 7 + 3 + 4 = 24
2.6. Euclidean Distance
Metode pengukuran jarak pada graf Universitas Sumatera Utara menggunakan metode
Euclidean Distance. Menurut Putra (2010), bahwa untuk perhitungan jarak antara dua
titik satu dengan lainnya menggunakan Euclidean Distance (Jarak Euclidean). Metode
ini bisa diterapkan untuk menghitung jarak antara dua titik bangunan. Pengukuran
jarak antara dua titik bangunan menggunakan Euclidean Distance, rumus
matematisnya sebagai berikut :
Gambar 2.11Rumus Euclidean Distance
dimana :
d = distance (jarak)
�1 = titik koordinat p pada poros x
�2 = titik koordinat q pada poros x
�1 = titik koordinat p pada poros y
�2 = titik koordinat q pada poros y
Sehingga dari Formula diatas kita dapat implementasi menjadi :
Universitas Sumatera Utara
15
Gambar 2.12Rumus Jarak Euclidean Menggunakan Koordinat
Hasil perhitungan (Jarak) diatas masih dalam satuan decimal degree (sesuai dengan
format longlat yang dipakai) sehingga untuk menyesuaikannya perlu dikalikan dengan
111.319 km (1 derajat bumi = 111.319 km).
Universitas Sumatera Utara