Modul Matematika Dimensi Tiga

Rumah Benny terletak di sebelah Timur dari rumah Asri dan jarak antara rumah Benny dan Asri adalah 4 km, sedangkan rumah Claudia terletak 3 km di bagian Utara dari rumah Benny. Rumah Asri, Benny dan Claudia berada dalam sebuah pedesaan.

1. Titik

  Titik tidak memiliki ukuran, biasanya dideskripsikan menggunakan tanda noktah dan penamaannya menggunakan huruf kapital seperti titik A, titik B atau titik

  C seperti gambar 7.1.

2. Garis

  Garis merupakan dibentuk dari kumpulan titik-titik dan merupakan kurva lurus yang tidak memiliki ujung maupun pangkal. Artinya garis dapat diperpanjang kedua arahnya. Namun, garis lurus yang mempunyai pangkal dan ujung, disebut segmen garis dan dilambangkan dengan ̅̅̅̅ yang artinya panjang garis AB terbatas (gambar 7.2). Selain menggunakan segmen garis, nama garis juga dapat ditentukan dengan menyebutkan nama wakil garis tersbut dengan memakai huruf kecil contohnya , ℎ, .

  A

  Gambar 7. 1 Titik Gambar 7. 1 Garis

3. Bidang

  Sebuah bidang datar mempunyai luas tak terbatas. Dalam geometri, sebuah bidang hanya digambar dengan perwakilannya yang disebut wakil bidang. Wakil sebuah bidang mempunyai dua ukuran yaitu panjang dan lebar. Wakil bidang dapat berbentuk persegi panjang, persegi atau jajar genjang.

  Gambar 7. 2 Bidang

  Bidang-bidang di atas disebut bidang atau dapat juga disebut dengan bidang .

  Postulat Garis dan Bidang

  Sebuah bidang dapat dibentuk melalui:

  1. Tiga buah titik yang tidak segaris. Pada gambar 7. 4a titik , dan yang tidak terletak pada garis yang sama membentuk bidang 1 .

  2. Sebuah garis dan sebuah titik di luar garis tersebut. Contohnya sebuah titik

  yang terletak di luar garis dapat membentuk bidang 2 (gambar 7. 4b).

  3. Dua buah garis yang saling berpotongan. Pada gambar 7. 4c Garis dan garis ℎ saling berpotongan dapat membentuk bidang 3 .

  4. Dua garis yang sejajar. Pada gambar 7. 4d garis sejajar dengan garis ℎ mampu membentuk bidang 4 .

  (a)

  (b)

  ℎ

  ℎ

  (c)

  (d)

  Gambar 7. 3 Bidang 1 , 2 , 3 dan 4

  Postulat atau aksioma adalah pernyataan yang kebenarannya diterima tanpa ada pembuktian. Dalam geometri terdapat tiga buah postulat yang penting yang diperkenalkan oleh Euclides ( ±300 SM), seorang ahli matematika dari Alexandria. Berikut ini adalah postulat-postulat Euclides:

  Postulat 1

  Melalui dua buah titik sembarang hanya dapat dibuat sebuah garis lurus.

  Gambar 7. 4 Dua titik membentuk garis

  Postulat 2

  Jika sebuah garis dan sebuah bidang mempunyai dua titik persekutuan, maka garis itu seluruhnya terletak pada bidang.

  Gambar 7. 5 Garis terletak pada bidang

  Postulat 3

  Melalui tiga buah titik sembarang hanya dapa dibuat sebuah bidang.

  Gambar 7. 6 Tiga titik membentuk bidang

1. Kedudukan Titik

a. Kedudukan Titik Terhadap Garis

  Perhatikan gambar 7. 8 misalkan kabel listrik adalah suatu garis dan burung adalah titik, maka posisi burung terhadap kabel listrik merupakan sebuah titik yang terletak pada garis. Sehingga dapat disimpulkan bahwa

  Gambar 7. 8 Burung

  Titik P terdapat pada garis jika titik P dilalui garis

  Jika dimisalkan rel kereta api merupakan suatu garis dan dua orang pada gambar adalah suatu titik maka dapat disimpulkan bahwa dua orang tersebut tidak melalui atau berada dalam rel kereta api. Contoh tersebut merupakan ilustrasi dari suatu titik yang tidak berada pada Gambar 7. 10 Rel kereta api garis. Sehingga dapat disimpulkan bahwa

  Titik P berada di luar garis jika titik P tidak di lalui garis

  Gambar 7. 11 Titik di luar garis

  Contoh

  H G Simak kubus . di samping dengan ̅̅̅̅ sebagai wakil garis ℎ. Sebutkan kedudukan

E F

  titik-titik sudut kubus . terhadap garis ℎ!

  D C Penyelesaian:

  i. Titik-titik sudut kubus yang terletak pada

A B

  garis ℎ adalah titik A dan titik B

  ii. Titik-titik sudut kubus yang berada di luar

  garis ℎ adalah titik-titik C, D, E, F, G dan H.

b. Kedudukan Titik Terhadap Bidang

  Gambar di samping merupakan ilustrasi dari kedudukan titik terhadap bidang dengan bola sebagai titik dan lapangan bola sebagai bidang.

  Sehingga dapat di simpulkan

  Gambar 7. 12 Lapangan bola

  Jika titik A dapat dilalui oleh bidang maka titik A terletak pada bidang (gambar 7. 13a). Jika titik A tidak dapat dilalui bidang maka titik A berada di luar bidang (gambar 7. 13b).

  (a)

  (b)

  Gambar 7. 13 (a) Titik dalam bidang (b) Titik di luar bidang

Contoh

  Pada kubus . , bidang sebagai perwakilan bidang . Tentukan kedudukan titik-titik sudut kubus . terhada bidang !

  Penyelesiaan:

  H G

  i. Titik-titik sudut kubus yang terletak

E F

  pada bidang adalah titik-titik C, D, G dan H.

  ii. Titik-titik sudut kubus yang berada di

  D C

  luar bidang adalah titik-titik A, B, F

A B

  dan E.

  Latihan 7. 1

  1. Diketahui kubus . , rusuk mewakili garis dan mewakili garis . Sebutkan titik-titik sudut

  T

  kubus yang:

  a. Terletak pada garis

  b. Berada di luar garis

  c. Terletak pada garis

  D

  C

  d. Berada di luar garis

  O

  2. Diketahui limas beraturan . seperti gambar di samping. Sebutkan:

  A B A B

  c. Titik-titik sudut limas yang berada di luar bidang-bidang sisi

  d. Titik-titik sudut limas yang berada di luar bidang-bidang alas

  3. Diketahui kubus . , bidang mewakili bidang dan bidang mewakili bidang . Sebutkan titik-titik sudut kubus yang:

  a. terletak pada bidang c. terletak pada bidang

  b. berada di luar bidang d. berada di luar bidang

2. Kedudukan Garis

a. Kedudukan garis terhadap garis lain (kedudukan dua buah garis)

  Terdapat empat kemungkinan kedudukan dua buah garis dalam sebuah bangun ruang yaitu dua buah garis yang saling berpotongan, berimpit, sejajar dan bersilangan.

  1) Berimpit (Coinciding)

  Gambar jam dinding disamping menunjukkan pukul 12.00 dan jarum panjang berimpit dengan jarum pendek sehingga membentuk satu garis. Ini merupakan contoh kedudukan garis yang berhimpit. Dari gambar jam dinding di samping dapat disimpulkan bahwa dua garis dikatakan saling berimpit ketika suatu garis terletak pada garis lain atau sebaliknya dan

  Gambar 7. 14 Jam dinding

  membentuk satu garis lurus.

  Pada gambar di atas garis k dan l saling berimpit jika setiap titik

  Gambar 7. 15 Garis berimpit

  yang terdapat pada garis

  termuat di dalam garis begitu juga

  sebaliknya. Dalam sajian geometri garis berimpit direpresentasikan sebagai garis yang sama (identik).

  Sejajar (Parallel) Dua buah garis dikatakan sejajar apabila kedua garis tersebut terletak pada satu bidang datar yang tidak akan berpotongan meskipun diperpanjang tanpa batas dan jarak antar kedua garis tersebut selalu sama. Contoh garis sejajar dapat ditemukan pada lintasan rel kereta api.

  selalu tetap dan tidak pernah saling berpotongan antara satu dengan lainnya. Apabila dua buah rel kereta api dianggap sebagai dua buah garis, maka dapat digambarkan seperti:

  Garis dan garis di atas dikatakan sejajar, karena kedua garis

  Gambar 7. 17 Garis sejajar

  terletak pada bidang yang sama dan apabila kedua garis diperpanjang sampai tak berhingga maka kedua garis tidak akan pernah berpotongan. Garis sejajar dinotasikan dengan “ ”.

Hukum dua garis sejajar

  Sebuah titik yang berada di luar sebuah garis, hanya dapat dibuat sebuah garis yang sejajar dengan garis itu. Pada gambar 7. 18, tiik A berada di luar garis . Melalui titik A dan

  A

  Gambar 7. 18 Titik dan garis sejajar

  garis dapat dibuat bidang . Kemudian melalui titik A dibuat sebuah garis yang sejajar dengan garis .

  3) Berpotongan (Intersecting) Garis-garis yang terletak pada bidang datar dikatakan berpotongan

  apabila garis-garis tersebut terletak pada bidang

  Titik Potong

  yang sama dan memiliki sebuah titik persekutuan yang disebut titik potong.

  O

  Garis p, q, dan r saling berpotongan karena

  memiliki titik potong di titik O dan terletak pada

  4) Bersilangan (Skew) Pada gambar di bawah, garis a dan b adalah garis bersilangan karena garis a dan b bukanlah garis yang sejajar dan kedua garis terletak pada sisi atau bidang yang berbeda. Apabila kedua garis diperpanjang, kedua garis tersebut tidak akan pernah berpotongan. Jadi, dua buah garis dikatakan bersilangan jika kedua garis tidak memiliki titik persekutuan, tidak sejajar, dan tidak terletak pada bidang yang sama.

  Gambar 7. 20 Garis bersilangan

  Contoh

  H G Pada Kubus . rusuk mewakili garis ℎ. Tentukanlah kedudukan rusuk-rusuk

  E F

  kubus . terhadap garis ℎ! Penyelesaian:

  a. Rusuk-rusuk kubus yang berpotongan dengan

D C

  garis ℎ adalah , , dan

  A B b. Rusuk-rusuk kubus yang sejajar dengan garis ℎ

  adalah . , dan

  c. Rusuk-rusuk yang berimpit dengan garis ℎ adalah rusuk itu sendiri

  d. Rusuk-rusuk yang bersilangan dengan garis ℎ adalah , , dan .

b. Kedudukan garis terhadap bidang

  Terdapat tiga kemungkinan kedudukan sebuah garis terhadap sebuah bidang dalam bangun ruang.

  1) Garis terletak pada bidang

  Jika sebuah garis terletak pada bidang , maka sekurang-kurangnya terdapat dua titik persekutuan pada garis tersebut yang terletak pada bidang .

  B

  A

  2) Garis sejajar dengan bidang

  Gambar 7. 21 Garis dalam bidang

  Sebuah garis dikatakan sejajar dengan sebuah bidang jika memenuhi salah satu syarat berikut:

  i. Garis tersebut tidak berada pada sebuah bidang, atau

  ii. Garis dan bidang tersebut tidak mempunyai titik persekutuan, atau

  iii. Garis tersebut sejajar dengan garis lain yang terletak pada bidang

  tersebut.

  Pada gambar di samping, garis sejajar dengan bidang karena garis tidak terletak pada bidang , garis tidak mempunyai titik persekutuan dengan bidang serta garis sejajar dengan garis yang terletak pada bidang .

  Gambar 7. 22 Garis sejajar bidang Hukum garis sejajar dengan bidang

  Jika garis sejajar dengan bidang , maka bidang memuat sebuah garis yang sejajar dengan garis .

  3) Garis yang menembus atau memotong bidang Sebuah garis dikataan memotong bidang jika garis tidak terletak pada bidang

  dan tidak sejajar

  dengan bidang . Pada kasus ini, garis

  A

  dan bidang mempunyai

  sebuah titik persekutuan yang disebut titik potong atau titik tembus.

  Gambar 7. 23 Garis menembus bidang

  Contoh

  Diketahui kubus . dengan sebagai perwakilan bidang . Tentukan kedudukan rusuk-rusuk kubus . terhadap bidang . Penyelesaian:

  a. Rusuk-rusuk kubus yang terletak pada bidang adalah rusuk-rusuk , ,

  dan .

  b. Rusuk-rusuk kubus yang sejajar pada bidang adalah rusuk-rusuk , , dan .

  c. Rusuk-rusuk kubus yang menembus pada bidang adalah rusuk-rusuk ,

  , dan .

c. Titik Tembus Garis dan Bidang yang Berpotongan

  Jika sebuah garis memotong sebuah bidang maka ada sebuah titik tembus.

  Titik tembus antara garis dan bidang (garis menembus bidang ) dapat dicari dengan cara:

  Tentukan garis perpotongan bidang dan

  Titik potong garis

  bidang bidang , dengan cara menghubungkan dua

  dengan garis

  yang melalui

  buah titik persekutuan antara bidang dan

  ( , ) adalah titik

  garis .

  bidang Garis potong bidang dan bidang

  tembus yang

  dilambangkan dengan ( , ).

  diminta yaitu titik .

  Gambar 7. 24 Titik tembus garis menembus bidang

  Latihan 7. 2

  1. Diketahui kubus . . Sebutkan kedudukan rusuk-rusuk kubus terhadap rusuk !

  2. Diketahui kubus . . Sebutkan kedudukan diagonal-diagonal sisi kubus terhadap rusuk !

  3. Diketahui kubus . . Sebutkan kedudukan rusuk-rusuk kubus terhadap bidang !

  4. Diketahui kubus . . Sebutkan kedudukan diagonal-diagonal sisi kubus terhadap bidang !

  5. Pada kubus . gambarlah titik tembus antara diagonal ruang dengan:

  a. Bidang diagonal c. Bidang diagonal .

  b. Bidang diagonal

3. Kedudukan Dua Bidang

  Terdapat tiga kemungkinan kedudukan sebuah bidang terhadap bidang lain dalam sebuah bangun ruang, yaitu:

  1) Dua bidang saling berimpit

  Bidang dan bidang dikatakan berimpit jika bidang

  dan bidang memiliki bidang daerah persekutuan dan setiap titik yang terletak pada bidang juga terletak pada bidang dan sebaliknya. Gambar 7. 25

  bidang dan bidang mempunyai bidang daerah

  Gambar 7. 25 Bidang saling berimpit

  persekutuan yaitu bidang .

  2) Dua bidang sejajar Bidang dan bidang dikatakan sejajar jika bidang dan bidang tidak memiliki titik persekutuan. Kasus I: Jika titik dan terletak pada bidang , dan kedua titik tersebut memiliki jarak yang sama ke bidang maka bidang dan adalah dua bidang yang sejajar. Kasus II: Dua bidang dapat disebut sejajar jika dua garis yang saling berpotongan pada bidang

  sejajar dengan dua garis yang saling

  berpotongan pada bidang . Garis dan terletak pada bidang saling berpotongan dan garis , sejajar dengan garis , yang juga saling

  Gambar 7. 26 Dua bidang sejajar

  berpotongan yang terletak di bidang . Sehingga dapat disimpulkan bahwa bidang sejajar dengan bidang .

  3) Dua bidang yang saling berpotongan Bidang dan bidang dikatakan saling berpotongan jika antara bidang dan bidang

  tidak sejajar dan kedua bidang tersebut memiliki tepat

  sebuah garis persekutuan (garis potong) antara bidang dan bidang yang simbolkan dengan ( , ).

  Gambar 7. 27 Dua bidang berpotongan

  Hukum dua bidang yang saling berpotongan

  Jika bidang dan sejajar dengan bidang dilalui oleh bidang lain

  (bidang ), maka bidang juga dilalui oleh bidang lain tersebut (bidang ).

  4) Perpotongan antara tiga bidang atau lebih

  Jika perpotongan antara dua bidang selalu membentuk sebuah garis, maka perpotongan antara tiga bidang atau lebih dapat membentuk sebuah garis atau sebuah titik. Misalkan bidang , , , saling berpotongan maka terdapat tiga kemungkinan kedudukan garis persekutuan dari bidang-bidang tersebut yaitu berpotongan pada sebuah titik, berpotongan pada sebuah garis dan berpotongan pada tiga buah garis sejajar.

  Gambar 7. 28 Tiga bidang berpotongan

  Gambar 7. 28a menunjukkan bidang , dan saling berpotongan dan memiliki garis persekutuan yaitu garis ( , , ). Pada gambar 7. 28b bidang , , dan saling berpotongan dan memiliki sebuah titik persekutuan yaitu titik . Pada gambar 7. 28c bidang , dan saling berpotongan dan memiliki tiga buah garis perekutuan yang sejajar yaitu ( , ), ( , ) dan ( , ).

  Contoh

  Diketahui kubus . dengan bidang sisi sebagai perwakilan bidang . Tentukan kedudukan bidang-bidang sisi

  H G

  kubus terhadap bidang !

E F

  Penyelesaian:

  a. Bidang sisi kubus yang berimpit dengan bidang

  adalah bidang sisi .

D C

  b. Bidang sisi kubus yang sejajar dengan bidang

  adalah bidang sisi .

  A B A B

  , , dan .

  Latihan 7. 3

  1. Diketahui kubus . . Tentukanlah

  T

  kedudukan bidang-bidang kubus . terhadap bidang ! Kemudian tentukanlah garis persekutuan antara bidang dan bidang

  D

  C

  2. Perhatikan limas di samping. Tentukan kedudukan

  titik T terhadap bidang !

  3. Diketahui balok . dengan panjang =

  5 , lebar = 4 dan tinggi = 3 . A B

  Tunjukan bahwa bidang sejajar dengan bidang !

  4. Pada kubus . dengan titik dan masing-masing terletak pada pertengahan rusuk dan . Tentukan hubungan antara bidang:

  F

  a. dengan

  b. dengan

  c. dengan

D E

  5. Perhatikan prisma di samping. Tentukan:

  a. Bidang-bidang yang sejajar

  b. Perpotongan dari bidang , dan ! C

  6. Perhatikan limas segi lima T. ABCD di bawah ini! Tentukan bidang-bidang yang sejajar dengan bidang

  A B

  T

  D

E C A B

1. Proyeksi Titik

a. Proyeksi titik terhadap garis

  Gambar 7. 29 Proyeksi titik pada garis

  Proyeksi titik terhadap garis adalah titik ′ sehingga garis ′ ⊥ .

b. Proyeksi titik terhadap bidang

  Sebagai gambarannya adalah setiap objek di muka bumi pada saat tengah hari serta matahari tepat membentuk sudut 90° terhadap permukaan bumi akan mempunyai bayangan sebagaimana ilustrasi berikut ini. Pada bidang datar sebagaimana ilustrasi di atas proyeksi adalah bayangan yang terbentuk dari suatu bangun pada bidang datar dengan arah

  Gambar 7. 30 Ilustrasi proyeksi titik pada

  bayangan dengan bidang datar tersebut sebagai bidang

  bidang

  proyeksi terbentuk sudut 90° jika dilukiskan.

  Cara memproyeksikan titik terhadap bidang adalah sebagai berikut:

  Misalkan titik B Tarik garis lurus (garis ) dari

  Garis menembus

  berada di luar

  titik yang tegak lurus degan

  bidang di titik ′.

  bidang α akan

  bidang . Sehingga garis ⊥ .

  ′ adalah proyeksi

  diproyeksikan

  titik terhadap terhadap bidang bidang .

  Gambar 7. 31 Proyeksi titik pada bidang

2. Proyeksi Garis

a. Proyeksi garis terhadap garis lain.

  Langkah-langkah memproyeksikan garis miring terhadap garis lurus garis adalah sebagai berikut:

  Gambar proyeksi garis Gambar proyeksi garis B Proyeksi Garis

  terhadap garis sehingga terhadap garis sehingga ′ terhadap garis

  ′ adalah proyeksi ke

  adalah proyeksi ke garis

  adalah garis ′ ′. garis

  C

  θ

  Gambar 7. 32 Proyeksi garis miring terhadap garis lurus

  Perhatikan gambar 7. 32 Jika garis dengan panjang membentuk sudut dengan garis , maka panjang proyeksi yang adalah garis ′ ′ adalah

b. Proyeksi garis terhadap bidang

  Proyeksi sebuah garis pada sebuah bidang dapat diperoleh dengan memproyeksikan titik-titik garis tersebut ke bidang seperti gambar 7. 33.

  Gambar 7. 33 Proyeksi garis pada bidang

  langkah-langkah memproyeksikan garis pada bidang adalah sebagai berikut:

  Proyeksikan semua

  Semua proyeksi titik-

  Garis ′ ′ adalah

  titik-titik yang terdapat titik akan terletak

  proyeksi dari garis

  dalam garis ke

  pada garis ′′ terhadap bidang .

  bidang .

  Kasus I: Jika garis tegak lurus terhadap bidang , maka proyeksi garis terhadap bidang hanyalah sebuah titik yang terletak pada bidang (gambar 7. 34a).

  Gambar 7. 34 (a) Proyeksi garis tegak lurus pada bidang (b) Proyeksi garis menembus bidang

  Kasus II. Jika sebuah garis menembus bidang (gambar 7. 34b), maka langkah-langkah meproyeksikannya adalah sebagai berikut:

  Proyeksikan titik Proyeksikan titik

  Garis ′ ′ adalah

  terhadap bidang . ′

  terhadap bidang

  proyeksi dari garis

  adalah proyeksi titik yaitu titik itu sendiri

  terhadap bidang .

3. Proyeksi Dua Bidang

  Misalkan segitiga diproyeksikan pada bidang maka langkah-langkah memproyeksikannya adalah:

  Titik ′, ′ dan ′ berturut-turut

  Segitiga ′′′

  masing-masing merupakan proyeksi titik , dan

  merupakan hasil

  titik sudut

  terhadap bidang .

  proyeksi segitiga

  segitiga pada

  terhadap bidang bidang .

  Gambar 7. 35 Proyeksi dua bidang

  Contoh

  H G

  Kubus . memilikipanjang rusuk 5

  E F

  cm. Tentukan panjang proyeksi

  a. Garis ke bidang

  b. Garis ke bidang

  D C

  c. Bidang ke bidang Penyelesaian:

  A B

  a. Proyeksi ke bidang adalah garis , panjang = 5 cm

  b. Proyeksi ke bidang adalah titik , panjang = 0 cm

  c. Proyeksi bidang

  pada bidang adalah garis . Luas dari

  proyeksi =0 2

  1. Gambar segmen garis yang mempunyai panjang 5 cm dan membentuk sudut sebesar 60° dengan garis g. Gambarkan juga proyeksi garis pada garis , kemudian tentukan panjang proyeksinya!

  2. Gambarkan limas persegi panjang . :

  a. Tentukan di mana letak proyeksi titik pada bidang ?

  b. Gambarkan proyeksi garis terhadap bidang

  c. Gambarkan proyeksi bidang terhadap bidang . Jika =

  4 , tentukan luas dari proyeksi tersebut.

  Latihan 7.4

  1. Diberikan kotak . . Tentukan:

  a. Proyeksi garis dan terhadap bidang

  b. Proyeksi garis pada bidang

  2. Diketahui kubus . . carilah proyeksi dari:

  a. Garis pada bidang

  b. Garis pada bidang b. Garis pada bidang

  3. Diberikan sebuah kubus . dengan titik terletak di tengah garis

  . Tentukan proyeksi dari:

  a. terhadap bidang alas

  c. AF terhadap bidang

  b. terhadap

  bidang

  4. Pada kubus . dan titik adalah titik tengah dari garis . Gambarkan proyeksi:

  a. Garis dengan bidang alas

  b. Garis terhadap bidang

  5. Diketahui kubus . dengan rusuk 6 cm. Hitung panjang proyeksi garis pada bidang !

  Pada kajian geometri analitis, konsep jarak yang dipelajari adalah jarak antara dua titik menggunakan koordinat titik kartesius sehingga dapat dicari dengan menggunakan rumus

  = √( 2 − 2 1 2 ) +( 2 − 1 )

  Selain jarak antar dua titik, dapat dihitung pula jarak antara sebuah titik dengan sebuah garis jika diketahui persamaan garis tersebut menggunakan rumus

  √ 2 + 2

  Teknis perhitungan jarak dalam geometri ruang lebih banyak menggunakan Teorema Phytagoras dan sifat-sifat bangun ruang. Konsep jarak yang pernah dipelajari pada geometri analitik tersebut selanjutnya diperluas dalam geometri menjadi menghitung jarak antara

  i.

  Dua titik, titik ke garis dan titik ke bidang

  ii.

  Dua garis dan garis ke bidang

  iii.

  Dua bidang.

1. Titik

a. Jarak antara dua titik

  Gambar 7. 36 Jarak dua titik

  Jarak merupakan garis terpendek yang diperoleh dari menggambarkan dua buah titik. Oleh karena itu, jarak antara dua titik (titik dan titik ) adalah panjang dari segmen garis .

  Contoh

  Sebuah kubus . dengan rusuk 6 cm. Jika titik merupakan titik perpotongan antara diagonal sisi , hitunglah panjang antara titik dan titik . Penyelesaian:

  H G

  Perhatikan bahwa ∆ merupakan segitiga siku-siku dengan siku-siku di titik ( ⊥ bidang ).

  Rumah Asri, Benny dan Claudia berada dalam sebuah pedesaan. Rumah Benny terletak di sebelah Timur dari rumah Asri dan jarak antara rumah Benny dan Asri adalah 4 km, sedangkan rumah Claudia terletak 3 km di bagian Utara dari rumah Benny. Tentukan jarak sesungguhnya antara rumah Asri dan Claudia!

b. Jarak antara titik dan garis

  Jika suatu titik dilalui oleh garis atau bidang, apakah titik tersebut memiliki jarak terhadap

  garis dan apakah titik memiliki jarak terhadap bidang?

  Ambil alat ukur sejenis meteran dan gunakan alat ukur tersebut untuk mengukur jarak antara titik penalti terhadap titik yang berada di garis gawang pada lapangan sepak bola yang ada di sekolahmu. Lakukan hal ini berulang-ulang hingga mendapatkan jarak minimum antara titik penalti dengan garis gawang tersebut! Buatlah tabel yang memuat hasil pengukuran tersebut kemudian buatlah kesimpulan dari hasil yang diperoleh!

  Jika sebuah titik terletak di luar garis, maka ada jarak antara titik ke garis tersebut.

  Kasus I: Jika titik dan garis terletak pada bidang dan titik berada di luar garis (gambar 7. 37a), maka jarak antara titik dan garis dapat ditentukan dengan langkah-langkah berikut

  Buatlah bidang yang Pada bidang , buatlah

  Segmen garis

  melalui titik dan

  garis tegak lurus

  merupakan jarak titik

  garis .

  terhadap garis .

  ke garis .

  Gambar 7. 37 Jarak titik ke garis

  Kasus II: Jika titik garis terletak pada bidang namun titik berada di luar bidang

  (gambar7. 37b) maka jarak antara titik dan garis dapat

  ditentukan dengan menggunakan langkah-langkah berikut:

  Buatlah segmen garis

  Gambar garis Segmen garis

  yang tegak lurus

  tegak lurus terhadap

  merupakan jarak antara dengan bidang garis titik dan garis .

  Contoh

  Sebuah kotak . mempunyai ukuran panjang 8 cm, lebar 6 cm dan tinggi 6 cm. Titik merupakan titik perpotongan antara diagonal sisi permukaan atas kotak tersebut yaitu dan . Titik dan berturut-turut adalah titik tengah dari garis dan garis . Tentukan jarak antara:

  a. Titik dan garis

  b. Titik dan garis Penyelesaian:

  a. Titik berada di luar bidang sehingga jarak antara titik dan garis dapat dicari dengan menggunakan langkah-langkah berikut: (i)

  Gambar garis ⊥

  H G

  (ii)

  Gambar garis ⊥

  merupakan jarak antara

  titik dengan garis .

  A = √52 = 2√13 B

  b. Garis

  terletak pada bidang

  . Oleh karena itu, jarak antara

  E F

  titik dan garis adalah garis

c. Jarak antar titik dan bidang

  Jika sebuah titik berada di luar bidang maka ada jarak antara titik ke bidang itu. Jarak titik A ke bidang (titik A berada di luar bidang ) dapat dicari dengan langkah-langkah berikut:

  Buatlah garis Garis menembus bidang pada Segmen garis

  yang melalui

  titik .

  merupakan jarak

  titik A dan tegak

  titik ke bidang

  A

  lurus bidang .

  Q

  Gambar 7. 38 Jarak titik dan bidang

Contoh

  Diberikan sebuah kubus . dengan rusuk 6 cm. Tentukan jarak antara titik dan bidang ! Penyelesaian: Perhatikan gambar kubus . di samping!

  H G

  Titik terletak pada bidang . Bidang dan

  saling berpotongan pada garis . Jika

  E F

  merupakan tinggi dari segitiga , maka ⊥ .

  menembus bidang dan tegak lurus terhadap

  K

  D C

  sehingga merupakan jarak antara titik ke

  . Untuk mencari panjang maka perbesar A B

  gambar ∆.

  ∴ Jarak antara titik tehadap bidang adalah 2√3

  Latihan 7. 5

  1. Diketahui kubus . dengan panjang rusuk 5 cm. Titik pertengahan rusuk . Hitunglah jarak:

  a. Titik ke titik

  c. Titik ke titik

  b. Titik ke titik

  d. Titik ke titik

  2. Diketahui kubus . dengan panjang rusuk 5 cm. Titik pertengahan rusuk . Hitunglah jarak:

  a. Titik

  A ke garis

  c. Titik ke garis

  b. Titik ke garis

  d. Titik ke garis

  3. Diketahui balok . dengan = 10 , = 8 dan =

  6 . Titik adalah titik potong diagonal-diagonal bidang alas dan . Hitunglah jarak:

  a. Titik ke bidang

  c. Titik ke bidang

  b. Titik ke bidang

  d. Titik ke bidang

  4. Bidang alas limas tegak . berbentuk persegi panjang, = 4 , =

  3 , dan = = = = 6,5 . Hitunglah:

  a. Panjang

  b. Jarak titik ke bidang alas .

  5. . adalah limas dengan tegak lurus terhadap garis dan panjang

  = = = 5 . Tentukan jarak titik ke bidang !

  6. Panjang setiap rusuk kubus . ialag √3 sedangkan panjang titik pada dan = 1 . Tentuan jarak titik ke bidang !

  7. Pada prisma segi empat beraturan . dengan rusuk 6 cm dan tinggi prisma 8 cm. titik potong diagonal dan adalah

  V

  . Tentukan jarak titik ke !

  W

  8. Perhatikan gambar di samping! Sebuah kubus T

  U

  . dengan panjang rusuk 4 cm. Titik terletak pada pusat kubus tersebut. Hitunglah jarak antara:

  a. Titik dan

  SR

  b. Titik dan garis

  P

  Q

  9. Kubus . memiliki panjang rusuk 8 cm. Titik 9. Kubus . memiliki panjang rusuk 8 cm. Titik

  b. Titik dan garis

  10. Diketahui kubus . dengan rusuk . Titik adalah suatu titik pada perpanjangan garis 1 sehingga = . Jika bidang memotong bidang

  atas sepanjang , maka tentukan panjang !

  11. Pada kubus . dengan rusuk 8 . Tentukan panjang proyeksi garis

  pada bidang !

  12. Diketahui kubus . dengan rusuk 12 . adalah titik tengah rusuk

  . Tentukan jarak antara titik ke garis !

  13. Diketahui kubus . dengan panjang rusuk . Jika merupakan proyeksi titik pada bidang , maka tentukanlah jarak titik ke titik !

  14. Diketahui kubus . dengan panjang rusuk 2 . Jika titik P berada pada perpanjangan garis sehingga = , maka tentukanlah jarak titik ke garis !

  15. Panjang rusuk kubus . adalah 6 cm. Titik dan masing-masing terletak pada rusuk dan . Panjang = 2 dan = 3 . Hitunglah jarak antara:

  a. Titik dan titik

  c. Titik dan bidang

  b. Titik dan garis

2. Garis

a. Jarak antara dua garis sejajar

  Jika dua garis sejajar, garis dan garis ℎ terletak pada bidang yang sama bidang maka garis memotong garis dan ℎ secara tegak lurus dengan titik potong berturut-turut dan ′, maka jarak antara titik dan titik ℎ adalah panjang dari segmen garis ′.

  ′

  Gambar 7. 39 Jarak antar dua garis sejajar Gambar 7. 39 Jarak antar dua garis sejajar

  Kasus I: Pada gambar 7. 40a, garis dan ℎ saling bersilangan maka untuk mencari jarak antara garis dan ℎ adalah sebagai berikut:

  Gambar garis

  Gambar

  Gambar bidang Gambar garis yang

  ′ yang

  bidang yang tegak lurus

  melalui titik dan

  merupakan

  sejajar

  yang memuat dengan bidang dan tegak lurus dengan

  jarak antara

  dengan garis

  garis ′ dan

  memuat garis .

  garis . Asumsikan garis dan ℎ

  dan

  ℎ.

  Bidang memotong garis ini memotong

  memotong ℎ.

  garis ℎ pada titik .

  pada

  Kasus II: Jika garis

  dan ℎ saling bersilangan tegak lurus seperti pada

  gambar 7. 40b maka jarak antara garis dan ℎ dapat dicari dengan langkah-

  Gambar 7. 40 Jarak dua garis bersilangan

  langkah berikut:

  Gambar bidang Asumsikan garis Gambar garis yang melalui

  merupakan

  yang memuat garis ℎ menembus

  dan tegak lurus terhadap jarak antara garis g

  yang tegak lurus

  bidang pada

  garis . Asumsikan garis

  dan ℎ yang saling

  terhadap garis ℎ.

  titik .

  ini memotong garis pada bersilangan tegak

  titik .

  lurus.

c. Jarak antara garis sejajar dan sebuah bidang

  Pada gambar 7. 41 garis berada di luar bidang dan sejajar dengan bidang . Untuk mencari jarak antara garis dengan bidang adalah sebagai berikut:

  Pilih sebuah titik

  Gambar sebuah garis dari titik Segmen garis ′ pada garis tegak lurus terhadap bidang merupakan jarak

  misalnya titik dan menembus bidang di titik

  garis ke bidang

  ′. (Titik ′ adalah proyeksi

  pada bidang ) P

  P′

  Gambar 7. 41 Jarak garis dan bidang

3. Bidang

  Jika bidang sejajar dengan bidang . Maka untuk menentukan jarak antara dua bidang sejajar tersebut adalah sebagai berikut:

  Pilih sebuah

  Dari titik ditarik garis yang

  Segmen garis

  perwakilan titik pada

  tegak lurus terhadap bidang merupakan jarak

  pada bidang dan menembus bidang di titik

  dari bidang ke

  misalnya titik .

  . (Titik adalah proyeksi titik

  bidang .

  pada bidang )

  Gambar 7. 42 Jarak dua bidang sejajar

  Contoh

  Balok . mempunyai panjang 8 cm, lebar 4 cm dan tinggi 6 cm.

  tentukan jarak antara:

H G

  a. Garis dan

  b. dan bidang

  E F

  c. Bidang dan

  d. Garis dan

D C

  Penyelesaian:

  a. dan terletak dalam bidang A B

  . sejajar dengan sehingga jarak antara dan dapat diwakili oleh panjang garis .

  = √6 2 +4 2 = 2√13

  ∴ Jarak antara garis dan adalah 2√13 .

  b. Garis sejajar dengan bidang . Garis sejajar dngan pada bidang . Jarak antara garis dan bidang dapat diwakili dengan jarak =8 . ∴ Jarak antara garis dan bidang adalah 8 .

  c. Bidang sejajar dengan . Segmen garis mewakili jarak antara dua bidang ini dikarenakan ⊥ . ∴ Jarak antara bidang dan adalah 8 .

  d. Garis

  dan saling bersilangan. Garis sejajar dengan dan memotong pada titik . garis dan membentuk sebuah bidang

  . Garis tegak lurus terhadap bidang dan memotong dengan tegak lurus garis sehingga dapat mewakili jarak garis dan . ∴ Jarak antara garis dan adalah 4 .

  Latihan 7. 6

  1. Diketahui balok . dengan panjang = 6 , = 4 dan = 8 . Hitunglah jarak antara:

  a. Garis dan a. Garis dan

  dan bidang

  c. Bidang dan .

  2. Pada kubus . dengan rusuk 8 . Tentukan panjang proyeksi

  pada bidang !

  3. Pada balok . diketahui pajang = 2 = 2 . Jika panjang = , maka hitunglah panjang !

  4. Pada kubus . , diketahui rusuk kubus adalah 8 cm dan titik , titik , titik , serta titik beruturut-turut merupakan titik tengah dari garis

  , , dan . Hitunglah jarak antara garis:

  a. dan

  c. dan bidang

  b. dan

  5. Diketahui kubus . dengan panjang rusuk 6 cm. Hitunglah jarak antara:

  a. Garis dan

  c. Bidang dan .

  b. Garis

  dan bidang

  6. Pada kubus . dengan panjang rusuk 6√3 cm. Hitunglah jarak antara bidang dan !

  Pada bidang dua dimensi, sudut hanya dapat dibentuk oleh dua garis yang tidak sejajar. Dalam ruang dimensi tiga, konsep sudut diperbesar menjadi sudut antar dua garis yang berpotongan, dua garis yang bersilangan, sudut antara garis dengan bidang dan sudut antara dua buah bidang.

1. Sudut Antar Dua Buah Garis

  Pada gambar 7. 43 sebuah tiang bendera disambung dan diikat menjadi sebuah tiang. Tiang tersebut berdiri tegak dengan bantuan tali yang diikat pada tongkat dan ditarik dengan kuat ke pasak yang telah ditancapkan ke tanah ke tiga arah. Melalui gambar 7. 43 dapat disketsakan menjadi sudut antar dua garis perhatikan gambar 7. 44.

  Gambar 7. 43 Tiang bendera Gambar 7. 43 Tiang bendera

  adalah dan sudut yang dibentuk oleh dan adalah .

  Gambar 7. 44 Sketsa tiang bendera

  Kasus I: Jika garis berimpit atau sejajar dengan ℎ, maka sudut yang terbentuk sama dengan nol. Kasus II: Apabila garis dan ℎ berada pada bidang yang sama dan memotong pada titik (gambar 7. 45), maka sudut yang terbentuk oleh garis dan ℎ ditulis ∠( , ℎ) adalah ∠ atau ∠ ′ ′.

  ′

  ℎ

  ′

  ℎ

  ′

  (a)

  (b)

  Gambar 7. 45 Sudut dua garis berpotongan

  Cara menentukan sudut antar dua garis berpotongan adalah sebagai berikut:

  Step 1

  Step 2

  Ambil sembarang titik pada garis

  Besar sudut ditetapkan

  dan sembarang titik pada garis

  sebagai ukuran sudut antara

  ℎ. Dengan garis dan ℎ

  garis dan garis ℎ yang

  berpotongan di titik berpotongan

  ′

  ℎ′ ℎ

  Gambar 7. 46 Sudut dua garis bersilangan

  Kasus III: Gambar 7. 46 menunjukkan garis dan garis ℎ bersilangan garis menembus bidang di titik dan garis ℎ terletak pada bidang . Sudut antar garis yang bersilangan dengan garis ℎ dapat ditentukan dengan langkah-langkah berikut:

  Melalui titik , buatlah

  Sudut yang dibentuk oleh

  sembarang titik

  garis ′ sejajar dengan

  garis ′ dan garis ℎ′

  pada bidang

  garis dan garis ℎ′

  merupakan sudut antar garis

  sejajar dengan garis ℎ

  dan garis ℎ yang bersilangan

  Note: lebih praktis memilih titik dari salah satu garis (garis atau garis ℎ)

  Contoh

  1. Pada limas segi empat beraturan . . Tentukan

  T

  sudut antara garis dan garis ! Penyelesaian: Garis

  dan garis merupakan dua garis bersilangan, maka sudut antara garis

  adalah ∠ , sebab garis sejajar dengan garis .

A B

  2. Pada kubus . dengan rusuk tentukan sudut yang terbentuk antara garis

  a. dan H G

  b. dan

E F D C

  A B

  Penyelesaian: Garis dan garis saling berpotongan pada titik .

  E

  Sudut antara garis

  dan adalah ∠ .

  Perhatikan sama kaki ∆ di samping. ∠ = 45°.

  ∴ Garis dan membentuk sudut 45°.

  c. Garis dan saling bersilangan. sejajar dengan garis yang terdapat pada bidang .

  A D

  ∠( , ) = ∠ . Perhatikan ∆ di berikut!

  = tan −1 √2

  4 = 54,74°

  C

  Latihan 7. 7

  1. Diketahui kubus . , tentukan sudut antara garis

  2. Tuliskan rusuk-rusuk pada kubus . yang membentuk sudut 45° terhadap rusuk

  3. Diketahui kubus . dengan panjang rusuk 4 cm. Hitunglah besar sudut yang terbentuk antara:

  a. Garis dan garis

  c. Garis dan garis

  b. Garis dan garis

  4. Diketahui kubus . dengan panjang rusuk 12 cm. Hitunglah tangen sudut yang terbentuk antara garis dan !

  5. Pada kubus . dengan adalah sudut antara diagonal dan rusuk . Tentukan nilai !

  6. Pada kubus . panjang rusuk 8 cm. adalah sudut antara garis dengan garis diagonal ruang . Tentukan nilai dan !

  7. Tentukan besar sudut yang dibentuk antar diagonal bidang pada kubus

  . dengan panjang rusuk !

  G

  8. Sebuah prisma segitiga . dengan

  alas berupa segitiga sama sisi dengan sisi 6 cm dan panjang rusuk tegak 10 cm. Tentukan besar sudut yang dibentuk antara:

  E F

  a. Garis dan

  C

  b. Garis dan

  9. Pada balok . , titik merupaka titik . Jika panjang = 12 , =

  A B

  8 dan = 8 . Tentukan besar sudut antara garis dan !

  10. Balok . dengan panjang rusuk = 8 , = 6 , dan

  = 4 . Tentukan nilai cosinus sudut yang terbentuk antara garis dan !

2. Sudut Antara Garis Dan Bidang

  Matahari (Pukul 12.00)

  Pohon tumbuh miring

  Proyeksi

  Bayangan Pohon

  Gambar 7. 47 Sketsa proyeksi pohon

  Gambar 7. 47 menunjukkan sebuah pohon yang tumbuh miring di sebuah lapangan. Pada pukul 12.00, matahari akan bersinar tepat di atas pohon tersebut sehingga bayangan pohon tersebut merupakan proyeksi ortogonal pada bidang (tegak lurus). Misalkan garis adalah pohon tersebut dan merupakan proyeksi pada bidang, dengan demikian sudut yang dibentuk oleh dengan bidang adalah sudut yang dibentuk dengan proyeksinya pada bidang tersebut yaitu ∠.

  a. Jika sebuah garis terletak pada bidang, maka sudut yang terbentuk adalah sebesar 0°

  b. Jika sebuah garis sejajar dengan sebuah bidang, maka sudut yang terbentuk juga sebesar 0°

  c. Jika sebuah garis memotong atau menembus sebuah bidang maka terdapat sudut yang dibentuk oleh garis dan bidang itu. Langkah- langkah dalam menentukan sudut yang terbentuk oleh garis yang memotong bidang adalah sebagai berikut:

  Melalui titik , buatlah garis ℎ tegak

  Sudut ′

  sembarang

  lurus terhadap bidang . Garis ℎ

  merupakan besar

  titik pada

  menembus bidang di titik ′

  sudut antara garis garis yang berpotongan dengan bidang .

  ′

  ℎ

  Gambar 7. 48 Sudut garis menembus bidang

  Contoh

  1. Kubus . dengan rusuk 6 cm. Hitunglah besar

  a. ∠( , )

  b. ∠( , ), ∠( , ), dan ∠( , ) Penyelesaian:

H G

  a. ∠( , ) = ∠ , yaitu sudut yang dibentuk oleh garis dan garis , sebab

  E F

  merupakan proyeksi

  pada bidang .

  ∆ adalah segitiga siku-siku sama kaki

D C

  sehingga ∠ = 45°. ∴ ∠( , ) = 45°

  A B A B

H G

  dibentuk oleh garis dan garis , sebab garis

  adalah proyeksi pada bidang ∆

  E F

  merupakan segitiga siku-siku di dengan = 6√2 , = 6√3 dan = 6 . Dengan

  D C

  mengambil sinus, kosinus dan tangen sudut pada

  ∆ maka diperoleh: A B

  6 1 (iii) 1 tan = = = =

  Latihan 7. 8

  1. Diketahui kubus . dengan rusuk 6 cm. Hitunglah besar ∠( , )!

  2. Diketahui kubus . dengan rusuk 10 cm. Hitunglah:

  a. ∠( , )

  b. cos ∠( , )

  3. Pada kubus . dengan rusuk 2 cm. Tentukan sudut yang terbentuk antara garis dengan bidang dan hitunglah tan ∠( , )!

  4. Pada kubus . dengan rusuk 12 cm. Titik dan berturut-turut terletak di tengah rusuk dan . Hitunglah sin ∠( , )!

  5. Bidang alas dari limas . berbentuk persegi panjang dengan =

  12 , = 5 , dan = = = = 7 . Hitunglah besar sin ∠( , )!

  6. Pada limas tegak beraturan . dengan rusuk alas 4 cm dan rusuk tegaknya

  6 cm. Hitunglah ∠( , )!

  7. Diketahui limas segi empat beraturan . dengan rusuk alas 3 cm dan rusuk tegak 3√2 cm. Hitunglah tan ∠( , )!

  8. Pada limas segi empat beraturan yang semua rusuknya sama panjang. Tentukan besar ∠( , )!

  9. Diketahui kubus . dengan rusuk 4 cm. titik adalah titik perpanjangan sehingga = . Hitunglah tan ∠( , ) !

  10. Balok . dengan panjang = = 3 dan = 5 . Titik terletak pada sehingga : = 1: 2 dan titik terletak pada sehingga

  : = 2: 1. Hitunglah tan ∠( , ) !

  11. adalah persegi panjang pada bidang horizontal dal adalah persegi panjang pada bidang vertikal. Panjang = 3 , = 4 dan = 7 . Jika dan berturut-turut sudut antara dengan bidang dan bidang

  , tentukan;ah tan . tan !

3. Sudut Antara Dua Bidang

  Sebuah buku terbuka seperti gambar 7. 49. Jika sampul depan buku dimisalkan bidang dan sampul belakang buku adalah bidang berpotongan pada tulang buku yang dimisalkan garis dan disketsakan seperti gambar (), maka akan ada sudut yang terbentuk antara sampul depan buku dengan sampul belakang buku. Pada gambar () garis dan garis tegak lurus degan garis . Dengan demikian, sudut yang dibentuk oleh bidang dan bidang adalah sudut yang dibentuk oleh garis dan .

  Sampul depan

  Sampul belakang

  Tulang buku

  Gambar 7. 49 Buku

  Kemungkinan kedudukan antara dua bidang adalah:

  a. Pada dua bidang saling berimpit, sudut yang terbentuk adalah sebesar 0°

  b. Sudut yang terbentuk antara dua bidang yang sejajar sebesar 0°

  c. Jika dua buah bidang saling berpotongan maka terdapat ukuran sudut yang dibentuk oleh kedua bidang tersebut.

  Langkah-langkah dalam menentukan sudut yang terbentuk oleh dua bidang, bidang dan bidang adalah sebagai berikut:

  Step 1

  Step 2

  Step 3

  Ambil sembarang

  Melalui titik , buatlah garis

  Sudut

  titik pada garis

  pada bidang dan garis

  merupakan sudut

  perpotongan (, )

  pada bidang yang

  yang terbentuk

  masing-masing tegak lurus

  antara bidang

  terhadap garis potong (, )

  dan bidang

  Gambar 7. 50 Sudut bidang berpotongan

Contoh

  Kubus . dengan panjang rusuk 4 cm.

  H G

  Tentukan besar ∠( , )! Penyelesaian:

  E F

  Bidang dan saling memotong pada garis

  . Pilih titik yang merupakan titik tegah garis

D C

  sehingga ⊥ (diagonal persegi ), ⊥

  (tinggi atau membagi ∆ menjadi dua bagian A B

  yang sama) ∠( , ) = ∠ =

  tan = 4

  2√2 = √2 = tan −1 √2 = 54,7° ∠( , ) = 54,7°.

  Latihan 7. 9

  1. Kubus . dengan panjang rusuk 10 cm. Hitunglah

  2. Sebuah balok dengan = 6 , = 9 dan = 3 . Hitunglah:

  3. Diketahui titik dan berturut-turut adalah titik tengah rusuk tegak dan

  . Hitunglah sin ∠( , ) !

  4. Pada limas segi empat . , bidang alas berbentuk persegi panjang dengan

  5. Bidang empat beraturan . dengan panjang rusuk-rusuknya 6 cm. Hitunglah cos ∠( , )!

  6. Diketahui limas beraturan . dengan titik adalah titik potong diagonal dan merupakan tinggi limas. Panjang = 8 dan

  = 4√5. Tentukan besar ∠( , )!

  7. Balok . dengan alas berbentuk persegi. Jika = 4 , =

  8 , dan adalah ∠( , ) mka hitunglah sin 2 !

  8. Diketahui kubus . dengan panjang rusuk 12 cm. Hitung sin 2 ∠( , )!

  9. Pada kubus . dengan dan berturut-turut adalah titik tengah

  dan . Hitunglah tan ∠( , )!

  10. Bidang empat (Tetrahedron) . mempunyai alas segitiga siku-siku dengan sisi = . = 5√3 tegak lurus pada alas, jika = 10

  maka tentukan ∠( , )!

  Proyeksi dan jarak titik ke garis, antar dua garis, garis terhadap bidang, antar dua bidang serta sudut antar dua garis, garis dengan bidang dan antar dua bidang dapat dikombinasikan untuk menyelesaikan berbagai soal penerapan dimensi tiga.

  Contoh

  1. Sebuah limas dengan alas persegi dan titik puncak limas adalah . Jika

  luas alas adalah 196 2 dan ∆ = 105

  E

  serta ∆ = 91 , maka volume limas tersebut adalah . . .

  Penyelesaian:

  Misalkan ℎ adalah tinggi limas dan merupakan

D C

  jarak dari ℎ ke garis . Cari tinggi ∆ dengan rumus luas ∆

  ∆ = 2 . . ∆ ( adalah sisi persegi)

  Sedangkan ∆ :

  ∆ → ∆ 2 = 2 × 91 ÷ 14 = 13 Maka dengan teorema Phytagoras diperoleh

  ℎ 2 = 13 2 − (14 − ) 2 … (i)

  ℎ 2 = 15 2 − 2 …(ii)

  Dari persamaan (i) dan (ii) diperoleh

  13 2 − (14 − ) 2 = 15 2 − 2 169 − (196 − 28 + 2 ) = 225 − 2

  −27 + 28 = 225 → = 9

  Maka ℎ = √15 2 − 2 ℎ = √225 − 9 2 = √144 = 12

  sehingga, = 3 × ×ℎ

  ∴ = 1 × 196 × 12 = 784 3

  2. Diketahui sebuah balok

  rusuk-rusuk 6∶ 3∶ 2 . E F

  Panjang diagonal rusuknya

  21 cm. maka volum balok

D C

  tersebut adalah . . . Penyelesaian:

  21 = 7 → = 3 Jadi panjang balok: 6 = 6 × (3) = 18

  lebar balok: 3 = 3 × (3) = 9 tinggi balok: 2 = 2 × (3) = 6,

  sehingga volume balok adalah = × × = 18 × 9 × 6 = 972 3

  Latihan 7. 10

  1. Sebuah tiang listrik setinggi 6 m ditopang oleh tiga buah kawat yang ditancapkan ke tanah. Jika jarak antara tiang dan posisi kawat yang ditancapkan ke tanah adalah 2,5 m dan posisi tiang tegak lurus dengan posisi kawat yang ditancapkan di tanah. Tentukan panjang kawat yang diperlukan!

  2. Diketahui kubus . dengan titik , , dan masing-masing terletak

  1 pada pepanjangan 1 , , dan . Jika = , = , DAN =

  1 . Tentukan perbandingan volume kubus yang dibagi oleh bidang yang

  3. Dalam kubus . , titik adalah titik tengah sisi dan adalah titik tengah diagonal ruang . Tentukan perbandingan antara volume limas dan volume kubus . !

  4. Diketahui prisma tegak segitiga . . jika = 5 , = 5√3 dan

  = 8 . Tentukan volume prisma!

  5. Diketahui kubus . dengan panjang rusuk 4. Jika titik dan masing-masing adalah titik tengah dari garis

  dn , tentukanlah luas

  segitiga !

  6. Sebuah piramida tegak . mempunyai alas berbentuk persegi

  dengan luas 100 2 dan panjang rusuk tegaknya 13 cm. jika adalah sudut

  antara bidang dan . Tentukan nilai sin 2 !

  7. Diketahui kubus . . Titik , , dan berturut-turut adalah titik tengah , , dan . Tentukan perbandingan luas ∆ dengan proyeksi ∆ ke bidang !

  8. Tentukan volume prisma . (dalam bentuk variabel ) yang beralaskan segitiga sama kaki dengan tinggi limas adalah 4 cm!

  9. Pada kubus . dengan rusuk dan titik merupakan titik tengah bidang . Tentukan luas segitiga !

  10. Kubus . panjng sisinya 1 dm. Titik adalah titik tengah dengan = . Titik adalah proyeksi titik pada garis dan titik adalah proyeksi pada bidang . Hitunglah luas ∆ !

  Perhatikan berbagai objek yang kamu temui di sekelilingmu. Pilihlah minimal tiga objek dan rancanglah masalah yang pemecahannya menerapkan sifat dan rumus jarak titik ke garis atau jarak titik ke bidang kemudian buatlah laporan dan sajikan di depan kelas!

  Menentukan Luas Bidang Irisan

  I. Tujuan: menentukan dan menghitung luas daerah irisan bangun ruang pada diagram Cartesius.

  II. Alat dan bahan:

  6. Alat tulis

  III. Langkah Kerja:

  1. Siapkan alat dan bahan yang akan digunakan.

  2. Buatlah beberapa bangun kubus, balok, limas segitiga dan limas segi empat dari karton.

  3. Buatlah tiga titik sembarang pada bangun dengan spidol di mana tidak semua titiknya terletak pada satu bidang.

  4. Guntinglah bangun tersebut menurut bidang irisan yang melewati ketiga titik tersebut. Bidang irisan tersebut merupakan bidang datar. Sebelum digunting, lukislah bidang irisan tersebut terlebih dahulu pada sisi-sisi bangun. Jika kesulitan dalam melukis bidang irisan, cobalah untuk membuat sketsanya di kertas terlebih dahulu.

  5. Cetaklah bidang irisan tersebut pada selembar kertas. Jika semua sisi irisan menempel pada kertas maka Anda telah membuat irisan yang benar.

  6. Lakukan langkah 2-5 untuk limas segi lima, limas segi enam, prisma segitiga, prisma segi lima, prisma segi enam ataupun bangun lainnya.

  IV. Pertanyaan Bentuk bidang irisan seperti apa saja yang diperoleh dari masing-masing bangun ruang? Hitunglah luas bidang-bidang irisan yang telah diperoleh dari bangun- bangun ruang tersebut!

  V. Kesimpulan Buatlah kesimpulan dari kegiatan ini!

  Sebuah bangun ruang jika diiris sebuah bidang maka hasilnya berupa sebuah

  (a)

  (b)

  Gambar 7. 51 Bidang irisan

  bidang datar. Gambar 7. 51a menunjukkan bahwa suatu kubus diiris vertikal oleh bidang α hasuil irisannya berbentuk bidang dan gambar 7. 51b menunjukkan bahwa limas segitiga yang diiris oleh bidang

  hasil irisannya berupa bidang

  berbentuk segitiga .

  Langkah-langkah dalam menggambar bidang hasil irisan adalah sebagai

  Gambar sumbu afinitas

  Dengan menggunakan

  Berdasarkan garis-

  yaitu garis potong antara

  bantuan sumbu afinitas,

  garis potong tersebut

  bidang irisan dengan salah

  gambarlah garis-garis

  tentukan bidang

  satu bidang pada bangun potong bidang irisan dengan

  irisnya.

  yang diiris

  bangun yang diiris

Contoh

  Diketahui suatu kubus ABCD.EFGH. Titik P terletak pada rusuk EF sedemikian rupa sehingga EP:PF = 1:3. Titik Q terletak pada garis BC sehingga BQ:BC = 1:3, dan titik R terletak pada garis CG sehingga GR:RC = 1:3. Gambarlah bidang irisan kubus tersebut dengan bidang yang melalui titik P, Q, dan R! Penyelesaian:

  Langkah 1: Gambarkan sumbu afinitasnya dengan menarik garis yang menghubungkan titik R dan Q sampai memotong perpanjangan FG di titik W dan perpanjangan BF di titik U. Garis WU merupakan sumbu afinitasnya. Langkah 2: Tarik garis dari U ke P, sehingga memotong garis AB di titik S. Tarik pula garis dari W ke P sehingga memotong garis HG, di titik T. Langkah 3: Hubungkan TR dan QS dengan sebuah garis sehingga terbentuk bidang irisan PSQRT.

  Latihan 7. 11

  1. Diketahui kubus . dengan rusuk . Gambarlah irisan bidang yang melalui diagonal dan titik tengah rusuk dan tentukan luas bidang di dakam kubus tersebut!

  2. Kubus . dengan rusuk cm. Titik , dan adalah titik-titik tengah dari , dan . Tentukan bentuk bangun datar bidang ?

  3. Diketahui kubus . . Titik adalah titik tengah rusuk . Tentukan bentuk irisan bidang yang melalui titik , dan dengan kubus!

  4. Balok . memiliki titik , dan yang berturut-turut terletak pada

  1 1 rusuk 2 , dan . Diketahui = , = dan = .

  Tentukanlah bentuk irisan bidang yang melalui titik , dan pada balok

  5. Diketahui limas segi-empat beraturan . dengan = 6 dan tinggi limas 8 cm. Titik terletak pada perpanjangan sehingga = , titik terletak pada perpanjangan sehingga = dan merupakan titik tengah . Tentukanlah bentuk irisan bidang antara limas dengan bidang yang melalui titik , dan !

  Titik, Garis dan Bidang

   Titik dideskripsikan dengan menggunakan tanda noktah.  Garis lurus merupakan kumpulan dari titik-titik dan merupakan kurva lurus

  yang tidak memiliki ujung maupun pangkal.  Sebuah bidang datar mempunyai luas daerah tak terbatas.  Kedudukan titik terhadap garis:

  1. Titik terletak pada garis jika titik dilalui oleh garis .

  2. Titik berada di luar garis jika titik tidak dilalui oleh garis .  Kedudukan titik terhadap bidang:

  1. Sebuah titik terletak pada bidang , jika bidang memuat titik .

  2. Sebuah titik terletak di luar bidang , jika bidang tidak memuat titik .  Kedudukan dua buah garis:

  1. Berimpit, jika setiap titik pada garis juga terletak pada garis ℎ.

  2. Berpotongan, jika terdapat dua buah garis yang memiliki sebuah titik persekutuan yang sama.

  3. Sejajar, jika terdapat dua buah garis yang tidak memiliki titik persekutuan.

Dokumen baru

Modul Matematika Dimensi Tiga