Modul Matematika Dimensi Tiga

i

Daftar Isi........................................................................................................................ i
Daftar Gambar .............................................................................................................. ii
A. Titik, Garis dan Bidang ......................................................................................... 5
1.

Titik ................................................................................................................... 5

2.

Garis .................................................................................................................. 5

3.

Bidang ............................................................................................................... 5

B. Kedudukan Titik, Garis dan Bidang ..................................................................... 7
1.

Kedudukan Titik................................................................................................ 7

2.

Kedudukan Garis ............................................................................................. 10

3.

Kedudukan Dua Bidang .................................................................................. 15

C. Proyeksi .............................................................................................................. 19
1.

Proyeksi Titik .................................................................................................. 19

2.

Proyeksi Garis ................................................................................................. 19

3.

Proyeksi Dua Bidang ...................................................................................... 21

D. Jarak .................................................................................................................... 23
1.

Titik ................................................................................................................. 23

2.

Garis ................................................................................................................ 29

3.

Bidang ............................................................................................................. 31

E. Sudut ................................................................................................................... 33

F.

1.

Sudut Antar Dua Buah Garis........................................................................... 33

2.

Sudut Antara Garis Dan Bidang...................................................................... 37

3.

Sudut Antara Dua Bidang ............................................................................... 40
Ragam Soal Aplikasi Dimensi Tiga.................................................................. 433

G. Irisan bidang dengan bangun ruang .................................................................. 477
Ringkasan Materi ....................................................................................................... 49
Uji Kompetensi .......................................................................................................... 52
Kunci Jawaban ........................................................................................................... 55
Glosarium .................................................................................................................... iv
Daftar Pustaka ............................................................................................................. vi

ii

Gambar 7. 1 Titik ............................................................................. 5
Gambar 7. 2 Garis ............................................................................ 5
Gambar 7. 3 Bidang ......................................................................... 5
Gambar 7. 4 Bidang α , α , α dan α ............................................. 6

Gambar 7. 5 Dua titik membentuk garis .......................................... 6
Gambar 7. 6 Garis terletak pada bidang ........................................... 7
Gambar 7. 7 Tiga titik membrntuk bidang ....................................... 7
Gambar 7. 8 Burung ......................................................................... 7
Gambar 7. 9 Garis melalui titik ........................................................ 7
Gambar 7. 10 Rel kereta api ............................................................. 8
Gambar 7. 11 Titik di luar garis ....................................................... 8
Gambar 7. 12 Lapangan bola ........................................................... 8
Gambar 7. 13 (a) Titik dalam bidang (b) Titik di luar bidang ......... 9
Gambar 7. 14 Jam dinding ............................................................... 10
Gambar 7. 15 Garis berimpit ............................................................ 10
Gambar 7. 16 Rel kereta api ............................................................. 10
Gambar 7. 17 Garis sejajar ............................................................... 11
Gambar 7. 18 Titik dan garis sejajar ................................................ 11
Gambar 7. 19 Garis berpotongan ..................................................... 11
Gambar 7. 20 Garis bersilangan ....................................................... 12
Gambar 7. 21 Garis dalam bidang .................................................... 13
Gambar 7. 22 Garis sejajar bidang ................................................... 13
Gambar 7. 23 Garis menembus bidang ............................................ 13
Gambar 7. 24 Titik tembus garis menembus bidang ....................... 14
Gambar 7. 25 Bidang saling berimpit .............................................. 15
Gambar 7. 26 Dua bidang saling sejajar .......................................... 16
Gambar 7. 27 Dua bidang berpotongan ........................................... 16
Gambar 7. 28 Tiga bidag berpotongan ............................................. 17
Gambar 7. 29 Proyeksi titik pada garis ............................................ 19
Gambar 7. 30 Ilustrasi proyeksi titik pada bidang ........................... 19
Gambar 7. 31 Proyeksi titik pada bidang ......................................... 19

iii

Gambar 7. 32 Proyeksi garis miring terhadap garis lurus ................ 20
Gambar 7. 33 Proyeksi garis pada bidang ........................................ 20
Gambar 7. 34 Proyeksi garis pada bidang ......................................... 21
Gambar 7. 35 Proyeksi dua bidang .................................................. 21
Gambar 7. 36 Jarak dua titik ............................................................ 24
Gambar 7. 37 Jarak titik ke garis ..................................................... 25
Gambar 7. 38 Jarak titik dan bidang ................................................ 27
Gambar 7. 39 Jarak antar dua garis sejajar ...................................... 29
Gambar 7. 40 Jarak dua garis bersilangan ....................................... 30
Gambar 7. 41 Jarak garis dan bidang ............................................... 31
Gambar 7. 42 Jarak dua bidang sejajar ............................................ 31
Gambar 7. 43 Tiang bendera ............................................................ 33
Gambar 7. 44 Sketsa tiang bendera .................................................. 34
Gambar 7. 45 Sudut dua garis berpotongan ..................................... 34
Gambar 7. 46 Sudut dua garis bersilangan ....................................... 34
Gambar 7. 47 Sketsa proyeksi pohon ............................................... 37
Gambar 7. 48 Sudut garis menembus bidang ................................... 38
Gambar 7. 49 Buku .......................................................................... 40
Gambar 7. 50 Sudut bidang berpotongan ......................................... 41
Gambar 7. 51 Bidang irisan ............................................................. 47

1

Kompetensi Dasar:
Setelah mengikuti pembelajaran ini siswa mampu:
Memiliki motivasi internal, kemampuan bekerja sama, konsisten, sikap disiplin,
rasa percaya diri, dan sikap toleransi dalam perbedaan strategi berpikir dalam
memilih dan menerapkan strategi menyelesaikan masalah.
Mendeskripsikan konsep jarak dan sudut antar titik, garis dan bidang melalui
demonstrasi menggunakan alat peraga atau media lainnya.
Menggunakan berbagai prinsip bangun datar dan ruang serta dalam
menyelesaikan masalah nyata berkaitan dengan jarak dan sudut antara titik,
garis dan bidang.
Pengalaman belajar:
Melalui pembelajaran materi geometri, siswa memperoleh pengalaman belajar dalam:
 Menemukan konsep dan prinsip geometri melalui pemecahan masalah otentik

 Berkolaborasi memecahkan masalah aktual dengan pola interaksi sosial kultur
 Berpikir tingkat tinggi dalam menyelidiki dan mengaplikasikan konsep dan

 prinsip-prinsip bangun datar dan ruang dalam geometri untuk memecahkan
masalah otentik.
Pada bab ini, kita akan membahas ruang tiga dimensi. Topik yang akan dibahas
meliputi cara menggambar objek ruang dimensi tiga atau bangun ruang. Menggambar
bangun ruang membutuhkan imajinasi dan visualisasi yang cukup tinggi. Bab ini akan
menyajikan kemampuan dasar untuk menggambar bangun ruang seperti kubus, balok
dan limas. Pelajaran menggambar pada bab ini akan berbeda dengan pembelajaran
pada kelas kesenian karena tujuan dari pelajaran menggambar pada bab ini adalah
untuk memahami geometri matematis. Kemampuan menggambar ini akan dibutuhkan
terutama bagi mereka yang bercita-cita pada bidang yang membutuhkan teori dan
materi dalam ruang dimensi tiga seperti arsitektur, liberal arts dan teknik sipil. Bagi
orang-orang

yang

tidak

tertarik

dengan

bidang

yang

demikian,

dapat

mempertimbangkan pembahasan dalam bab ini sebagai sebuah latihan simulasi untuk
kemampuan imajinasi dan visualisasi mereka.




Titik
Garis





Bidang
Jarak





Sudut
Proyeksi

2

3

Bentuk Bumi dapat dianggap sebagai bola, sedangkan kutub Utara dan kutub
Selatan bumi dapat dianggap sebagai ujung-ujung garis tengah dari bola yang disebut
poros. Lingkaran-lingkaran yang melewati kutub Utara dan Selatan disebut garis bujur.
Bidang yang memotong bumi tegak lurus pada poros untuk membentuk lingkaran yang
disebut garis Lintang. Coba bayangkan bumi sebagai sebuah bola karet. Kemudian
potong bola menjadi setengah lingkaran dan regangkan bola untuk membentuk sebuah
lembaran persegi panjang. Lingkaran garis bujur akan menjadi garis vertikal yang
sejajar dan lingkaran garis lintang menjadi garis horizontal yang sama dan sejajar.
Garis-garis ini mempermudah untuk mengetahui posisi dan jarak dari suatu tempat ke
tempat lain. Ini merupakan salah satu aplikasi ilmu ukur ruang (dimensi tiga).

Tahukah Anda?
Ahli Astronomi menggunakan ilmu ukur ruang (dimensi tiga) untuk
menafsirkan ruang angkasa dan menghitung jarak serta kedudukan benda ruang
angkasa. Dengan dimensi tiga, kita dapat mengetahui jarak dari suatu titik ke titik lain
dan juga dapat mengetahui luas permukaan dan volume dari suatu bangun ruang
dengan akurat.

4

Menghitung luas permukaan dan volume bangun ruang sisi datar (kubus, balok,
prisma dan limas)
.

1. Perbandingan panjang rusuk kubus
.

dan panjang rusuk kubus

adalah 3 : 4. Jika jumlah volume kedua kubus =

,

maka hitunglah panjang rusuk masing-masing kubus tersebut.
2. Tentukan luas permukaan dan volume dari limas berikut!
T

D

C
P

O
A



B

3. Rani diminta ibunya untuk mengisi penuh sebuah bak mandi yang berbentuk
balok dengan ukuran panjang, lebar dan tinggi berturut-turut adalah .
dan

,

. Di saat yang bersamaan Rani juga harus pergi ke sebuah tempat untuk

menyelesaikan urusan lainnya dan dia akan kembali lagi setelah 4 jam. Jika
Rani dapat mengisi air sebanyak . liter dalam 5 detik, akankah air meluap

dari bak mandi setelah Rani kembali dari urusannya?

4. Tentukan luas permukaan dan volume dari prisma berikut!

Answer Key
1.
2.

dan
.

dan

.

3. Hampir penuh dan belum meluap
4.

dan

5

Dalam ilmu Geometri, terdapat beberapa istilah atau sebutan yang tidak
memiliki definisi (undefined terms), antara lain titik dan garis.

1. Titik
Titik tidak memiliki ukuran, biasanya dideskripsikan menggunakan tanda
noktah dan penamaannya menggunakan huruf kapital seperti titik A, titik B atau titik
C seperti gambar 7.1.

2. Garis
Garis merupakan dibentuk dari kumpulan titik-titik dan merupakan kurva lurus
yang tidak memiliki ujung maupun pangkal. Artinya garis dapat diperpanjang kedua
arahnya. Namun, garis lurus yang mempunyai pangkal dan ujung, disebut segmen
garis dan dilambangkan dengan ̅̅̅̅ yang artinya panjang garis AB terbatas (gambar

7.2). Selain menggunakan segmen garis, nama garis juga dapat ditentukan dengan

menyebutkan nama wakil garis tersbut dengan memakai huruf kecil contohnya �, ℎ, .

A

Gambar 7. 1 Titik

Gambar 7. 1 Garis

3. Bidang
Sebuah bidang datar mempunyai luas tak terbatas. Dalam geometri, sebuah
bidang hanya digambar dengan perwakilannya yang disebut wakil bidang. Wakil
sebuah bidang mempunyai dua ukuran yaitu panjang dan lebar. Wakil bidang dapat
berbentuk persegi panjang, persegi atau jajar genjang.

Gambar 7. 2 Bidang

Bidang-bidang di atas disebut bidang

atau dapat juga disebut dengan bidang .

Postulat Garis dan Bidang

Sebuah bidang dapat dibentuk melalui:

6

1. Tiga buah titik yang tidak segaris. Pada gambar 7. 4a titik ,
tidak terletak pada garis yang sama membentuk bidang

dan

yang

.

2. Sebuah garis dan sebuah titik di luar garis tersebut. Contohnya sebuah titik
yang terletak di luar garis � dapat membentuk bidang

(gambar 7. 4b).

3. Dua buah garis yang saling berpotongan. Pada gambar 7. 4c Garis � dan garis
ℎ saling berpotongan dapat membentuk bidang

.

4. Dua garis yang sejajar. Pada gambar 7. 4d garis � sejajar dengan garis ℎ
mampu membentuk bidang

.

(a)

(b)







(c)



(d)

Gambar 7. 3 Bidang

,

,

dan



Postulat atau aksioma adalah pernyataan yang kebenarannya diterima tanpa
ada pembuktian. Dalam geometri terdapat tiga buah postulat yang penting yang
diperkenalkan oleh Euclides (±

SM), seorang ahli matematika dari Alexandria.

Berikut ini adalah postulat-postulat Euclides:
Postulat 1

Melalui dua buah titik sembarang hanya dapat dibuat sebuah garis lurus.



Gambar 7. 4 Dua titik membentuk garis

7

Postulat 2

Jika sebuah garis dan sebuah bidang mempunyai dua titik persekutuan,
maka garis itu seluruhnya terletak pada bidang.

Gambar 7. 5 Garis terletak pada bidang

Postulat 3

Melalui tiga buah titik sembarang hanya dapa dibuat sebuah bidang.

Gambar 7. 6 Tiga titik membentuk bidang

1. Kedudukan Titik
a. Kedudukan Titik Terhadap Garis
Perhatikan gambar 7. 8 misalkan kabel listrik
adalah suatu garis dan burung adalah titik, maka
posisi burung terhadap kabel listrik merupakan
sebuah titik yang terletak pada garis. Sehingga
dapat disimpulkan bahwa

Gambar 7. 8 Burung

Titik P terdapat pada garis � jika titik P dilalui garis �

Gambar 7. 9 Garis melalui titik

8

Jika dimisalkan rel kereta api merupakan
suatu garis dan dua orang pada gambar
adalah

suatu

titik

maka

dapat

disimpulkan bahwa dua orang tersebut
tidak melalui atau berada dalam rel kereta
api. Contoh tersebut merupakan ilustrasi
dari suatu titik yang tidak berada pada
garis. Sehingga dapat disimpulkan bahwa

Gambar 7. 10 Rel kereta api

Titik P berada di luar garis � jika titik P tidak di lalui garis �

Gambar 7. 11 Titik di luar garis

Contoh
H
E

G

Simak kubus

.

di samping dengan

̅̅̅̅ sebagai wakil garis ℎ. Sebutkan kedudukan

F

titik-titik sudut kubus

terhadap

Penyelesaian:

C

D

A

garis ℎ!

.

i.

Titik-titik sudut kubus yang terletak pada

ii.

garis ℎ adalah titik A dan titik B

B

Titik-titik sudut kubus yang berada di luar
garis ℎ adalah titik-titik C, D, E, F, G dan H.

b.

Kedudukan Titik Terhadap Bidang

Gambar di samping merupakan ilustrasi dari
kedudukan titik terhadap bidang dengan bola sebagai
titik dan lapangan bola sebagai bidang.
Sehingga dapat di simpulkan
Gambar 7. 12 Lapangan bola

9

Jika titik A dapat dilalui oleh bidang
bidang

maka titik A terletak pada

(gambar 7. 13a). Jika titik A tidak dapat dilalui bidang

titik A berada di luar bidang

maka

(gambar 7. 13b).

(a)

(b)

Gambar 7. 13 (a) Titik dalam bidang (b) Titik di luar bidang

Contoh
Pada kubus

.

, bidang

.

Tentukan kedudukan titik-titik sudut kubus
Penyelesiaan:

i.

terhada bidang !
H

Titik-titik sudut kubus yang terletak
pada bidang

.

sebagai perwakilan bidang

E

G
F

adalah titik-titik C, D, G

dan H.
ii.

Titik-titik sudut kubus yang berada di

D

C

luar bidang adalah titik-titik A, B, F
A

dan E.

B

Latihan 7. 1
1. Diketahui kubus
mewakili garis

.

, rusuk

mewakili garis

dan

. Sebutkan titik-titik sudut
T

kubus yang:
a. Terletak pada garis
b. Berada di luar garis
c. Terletak pada garis

D

d. Berada di luar garis
2. Diketahui limas beraturan .

gambar di samping. Sebutkan:

C

O

seperti
A

a. Titik-titik sudut limas yang terletak pada rusuk-rusuk alas

B

10

b. Titik-titik sudut limas yang terletak pada bidang alas
c. Titik-titik sudut limas yang berada di luar bidang-bidang sisi
d. Titik-titik sudut limas yang berada di luar bidang-bidang alas
.

3. Diketahui kubus
bidang

, bidang

mewakili bidang

dan

mewakili bidang . Sebutkan titik-titik sudut kubus yang:

a. terletak pada bidang

c. terletak pada bidang

b. berada di luar bidang

d. berada di luar bidang

2. Kedudukan Garis
a. Kedudukan garis terhadap garis lain (kedudukan dua buah garis)
Terdapat empat kemungkinan kedudukan dua buah garis dalam sebuah
bangun ruang yaitu dua buah garis yang saling berpotongan, berimpit,
sejajar dan bersilangan.
1) Berimpit (Coinciding)
Gambar jam dinding disamping menunjukkan pukul 12.00
dan jarum panjang berimpit dengan jarum pendek sehingga
membentuk satu garis. Ini merupakan contoh kedudukan garis
yang berhimpit. Dari gambar jam dinding di samping dapat
disimpulkan bahwa dua garis dikatakan saling berimpit ketika
suatu garis terletak pada garis lain atau sebaliknya dan
Gambar 7. 14 Jam dinding

membentuk satu garis lurus.

Pada gambar di atas garis k dan l saling berimpit jika setiap titik

Gambar 7. 15 Garis berimpit

yang terdapat pada garis

termuat di dalam garis

begitu juga

sebaliknya . Dalam sajian geometri garis berimpit direpresentasikan

sebagai garis yang sama (identik).
2)

Sejajar (Parallel)
Dua buah garis dikatakan sejajar apabila kedua garis

tersebut terletak pada satu bidang datar yang tidak akan
berpotongan meskipun diperpanjang tanpa batas dan
jarak antar kedua garis tersebut selalu sama. Contoh
garis sejajar dapat ditemukan pada lintasan rel kereta api.
Gambar 7. 16 Rel kereta api

Pada lintasan rel kereta api, jarak antara dua rel akan

11

selalu tetap dan tidak pernah saling berpotongan antara satu dengan
lainnya. Apabila dua buah rel kereta api dianggap sebagai dua buah
garis, maka dapat digambarkan seperti:
Garis

dan garis

di atas dikatakan sejajar, karena kedua garis

Gambar 7. 17 Garis sejajar

terletak pada bidang yang sama dan apabila kedua garis diperpanjang
sampai tak berhingga maka kedua garis tidak akan pernah
berpotongan. Garis sejajar dinotasikan dengan “//”.

Hukum dua garis sejajar

Sebuah titik yang berada di luar sebuah garis, hanya dapat dibuat
sebuah garis yang sejajar dengan garis itu.
Pada gambar 7. 18, tiik A berada di luar garis . Melalui titik A dan
A

Gambar 7. 18 Titik dan garis sejajar

garis dapat dibuat bidang . Kemudian melalui titik A dibuat sebuah
garis

yang sejajar dengan garis .

3) Berpotongan (Intersecting)
Garis-garis yang terletak pada bidang datar dikatakan berpotongan
apabila garis-garis tersebut terletak pada bidang
Titik Potong

yang

sama

dan

memiliki

sebuah

titik

persekutuan yang disebut titik potong.
O

Garis p, q, dan r saling berpotongan karena
memiliki titik potong di titik O dan terletak pada

Gambar 7. 19 Garis berpotongan

bidang yang sama yaitu bidang .

12

4) Bersilangan (Skew)
Pada gambar di bawah, garis a dan b adalah garis bersilangan
karena garis a dan b bukanlah garis yang sejajar dan kedua garis
terletak pada sisi atau bidang yang berbeda. Apabila kedua garis
diperpanjang, kedua garis tersebut tidak akan pernah berpotongan.
Jadi, dua buah garis dikatakan bersilangan jika kedua garis tidak
memiliki titik persekutuan, tidak sejajar, dan tidak terletak pada
bidang yang sama.



Gambar 7. 20 Garis bersilangan

Contoh
H

G

E

.

Pada Kubus

kubus

.

terhadap garis ℎ!

Penyelesaian:

C

A
adalah

B
.

, dan

mewakili

garis ℎ. Tentukanlah kedudukan rusuk-rusuk

F

D

rusuk

a. Rusuk-rusuk kubus yang berpotongan dengan
garis ℎ adalah

,

,

dan

b. Rusuk-rusuk kubus yang sejajar dengan garis ℎ

c. Rusuk-rusuk yang berimpit dengan garis ℎ adalah rusuk
d. Rusuk-rusuk yang bersilangan dengan garis ℎ adalah

itu sendiri
,

,

dan

.

b. Kedudukan garis terhadap bidang
Terdapat tiga kemungkinan kedudukan sebuah garis terhadap sebuah bidang
dalam bangun ruang.
1) Garis terletak pada bidang

13

Jika sebuah garis terletak pada bidang
terdapat dua titik persekutuan

, maka sekurang-kurangnya

pada garis tersebut yang terletak
pada bidang .

B
A

2) Garis sejajar dengan bidang

Gambar 7. 21 Garis dalam bidang

Sebuah garis dikatakan sejajar
dengan sebuah bidang jika memenuhi salah satu syarat berikut:
i.

Garis tersebut tidak berada pada sebuah bidang, atau

ii.

Garis dan bidang tersebut tidak mempunyai titik persekutuan, atau

iii.

Garis tersebut sejajar dengan garis lain yang terletak pada bidang
tersebut.

Pada gambar di samping, garis
bidang
garis
bidang

karena garis

sejajar dengan

tidak terletak pada bidang ,

tidak mempunyai titik persekutuan dengan
serta garis

sejajar dengan garis

yang

terletak pada bidang .
Gambar 7. 22 Garis sejajar bidang

Hukum garis sejajar dengan bidang

Jika garis � sejajar dengan bidang , maka bidang

memuat sebuah garis

yang sejajar dengan garis �.

3) Garis yang menembus atau memotong bidang
Sebuah garis � dikataan memotong
bidang

jika garis � tidak terletak

pada bidang

dan tidak sejajar

dengan bidang

. Pada kasus ini,

garis � dan bidang

sebuah

titik

mempunyai

persekutuan



A

yang

disebut titik potong atau titik tembus.
Gambar 7. 23 Garis menembus bidang

14

Contoh
.

Diketahui kubus

dengan

sebagai perwakilan bidang
.

Tentukan kedudukan rusuk-rusuk kubus
Penyelesaian:

terhadap bidang .

a. Rusuk-rusuk kubus yang terletak pada bidang
dan

.

b. Rusuk-rusuk kubus yang sejajar pada bidang
dan

,

adalah rusuk-rusuk

.

c. Rusuk-rusuk kubus yang menembus pada bidang
,

,

adalah rusuk-rusuk

dan

.
,

,

adalah rusuk-rusuk

.

,

c. Titik Tembus Garis dan Bidang yang Berpotongan
Jika sebuah garis memotong sebuah bidang maka ada sebuah titik tembus.
Titik tembus antara garis � dan bidang

(garis � menembus bidang ) dapat

dicari dengan cara:
Step 1

Step 2

Buatlah

Step 3

Tentukan garis perpotongan bidang

bidang

dan

bidang , dengan cara menghubungkan dua

yang melalui

buah titik persekutuan antara bidang

garis �.

bidang

Garis potong bidang
dilambangkan dengan

dan

dan bidang
,

.


,

P

A

Titik potong garis
� dengan garis
,

adalah titik

tembus yang

diminta yaitu titik
.

B

Gambar 7. 24 Titik tembus garis menembus bidang

Latihan 7. 2
1. Diketahui kubus
terhadap rusuk

!

.

. Sebutkan kedudukan rusuk-rusuk kubus

15

.

2. Diketahui kubus
kubus terhadap rusuk

. Sebutkan kedudukan diagonal-diagonal sisi
!
.

3. Diketahui kubus
terhadap bidang

!
.

4. Diketahui kubus
kubus terhadap bidang
.

5. Pada kubus
dengan:

. Sebutkan kedudukan rusuk-rusuk kubus

. Sebutkan kedudukan diagonal-diagonal sisi
!
gambarlah titik tembus antara diagonal ruang

a. Bidang diagonal

c. Bidang diagonal

.

b. Bidang diagonal

3. Kedudukan Dua Bidang
Terdapat tiga kemungkinan kedudukan sebuah bidang terhadap bidang lain
dalam sebuah bangun ruang, yaitu:
1) Dua bidang saling berimpit
Bidang

dan bidang

dan bidang

dikatakan berimpit jika bidang

memiliki bidang daerah persekutuan

dan setiap titik yang terletak pada bidang

dan sebaliknya . Gambar 7. 25

terletak pada bidang
Gambar 7. 25 Bidang saling berimpit

bidang

juga

dan bidang

mempunyai bidang daerah

persekutuan yaitu bidang

.

2) Dua bidang sejajar
Bidang

dan bidang

dikatakan sejajar jika bidang

dan bidang

tidak

memiliki titik persekutuan.

Kasus I: Jika titik

dan

terletak pada bidang , dan kedua titik tersebut

memiliki jarak yang sama ke bidang

maka bidang

dan

adalah dua

bidang yang sejajar.
Kasus II: Dua bidang dapat disebut sejajar jika dua garis yang saling
berpotongan pada bidang

sejajar dengan dua garis yang saling

berpotongan pada bidang . Garis

dan terletak pada bidang

berpotongan dan garis , sejajar dengan garis

,

saling

yang juga saling

16

Gambar 7. 26 Dua bidang sejajar

berpotongan yang terletak di bidang . Sehingga dapat disimpulkan bahwa

bidang

sejajar dengan bidang .

3) Dua bidang yang saling berpotongan
Bidang

dan bidang

dan bidang

dikatakan saling berpotongan jika antara bidang

tidak sejajar dan kedua bidang tersebut memiliki tepat

sebuah garis persekutuan (garis potong) antara bidang

yang simbolkan dengan ( ,

dan bidang

.

,

,

,

Gambar 7. 27 Dua bidang berpotongan

Hukum dua bidang yang saling berpotongan
Jika bidang
(bidang ), maka bidang

dan

sejajar dengan bidang

dilalui oleh bidang lain

juga dilalui oleh bidang lain tersebut (bidang

4) Perpotongan antara tiga bidang atau lebih

.

17

Jika perpotongan antara dua bidang selalu membentuk sebuah garis, maka
perpotongan antara tiga bidang atau lebih dapat membentuk sebuah garis atau
sebuah titik. Misalkan bidang , , ,

saling berpotongan maka terdapat tiga

kemungkinan kedudukan garis persekutuan dari bidang-bidang tersebut yaitu
berpotongan pada sebuah titik, berpotongan pada sebuah garis dan
berpotongan pada tiga buah garis sejajar .

T

D

C

,

A

, ,

,

,

B

(a)

(b)

(c)

Gambar 7. 28 Tiga bidang berpotongan

Gambar 7. 28a menunjukkan bidang ,

memiliki garis persekutuan yaitu garis
, , dan

dan

, ,

saling berpotongan dan

. Pada gambar 7. 28b bidang

saling berpotongan dan memiliki sebuah titik persekutuan yaitu

titik . Pada gambar 7. 28c bidang ,

dan

saling berpotongan dan memiliki

tiga buah garis perekutuan yang sejajar yaitu

,

,

,

dan

,

.

Contoh
Diketahui kubus
bidang

.

dengan bidang sisi

sebagai perwakilan

. Tentukan kedudukan bidang-bidang sisi

H

G

kubus terhadap bidang !
E

Penyelesaian:

F

a. Bidang sisi kubus yang berimpit dengan bidang
adalah bidang sisi

.

adalah bidang sisi

.

C

D

b. Bidang sisi kubus yang sejajar dengan bidang
A

B

18

c. Bidang sisi kubus yang berpotongan dengan bidang
,

,

dan

.

.

.

adalah bidang sisi

Latihan 7. 3
1. Diketahui

kubus

kedudukan

bidang-bidang

terhadap bidang

Tentukanlah
.

kubus

! Kemudian tentukanlah garis

persekutuan antara bidang

dan bidang

2. Perhatikan limas di samping. Tentukan kedudukan
titik T terhadap bidang
3. Diketahui balok
, lebar

=

4. Pada kubus

.

pertengahan rusuk
a.

dengan

b.

dengan

D

C

!
.

=

dengan panjang
=

dan tinggi

Tunjukan bahwa bidang

c.

T

.

sejajar dengan bidang
dengan titik

dan

dan

A

B

!

masing-masing terletak pada

. Tentukan hubungan antara bidang:
F

dengan
E

D

5. Perhatikan prisma di samping. Tentukan:
a. Bidang-bidang yang sejajar
,

b. Perpotongan dari bidang

dan

!

6. Perhatikan limas segi lima T. ABCD di bawah ini!
Tentukan bidang-bidang yang sejajar dengan bidang
!
T

D

E
A

C
B

C

A

B

19

1. Proyeksi Titik
a. Proyeksi titik terhadap garis

Gambar 7. 29 Proyeksi titik pada garis

Proyeksi titik

terhadap garis � adalah titik ′ sehingga garis

′ ⊥ �.

b. Proyeksi titik terhadap bidang

Sebagai gambarannya adalah setiap objek di muka bumi
pada saat tengah hari serta matahari tepat membentuk sudut
° terhadap permukaan bumi akan mempunyai bayangan

sebagaimana ilustrasi berikut ini. Pada bidang datar
sebagaimana ilustrasi di atas proyeksi adalah bayangan yang
terbentuk dari suatu bangun pada bidang datar dengan arah
Gambar 7. 30 Ilustrasi proyeksi titik pada
bidang

bayangan dengan bidang datar tersebut sebagai bidang
proyeksi terbentuk sudut

° jika dilukiskan.

Cara memproyeksikan titik terhadap bidang adalah sebagai berikut:
Step 1

Step 2

Step 3

Misalkan titik B
berada di luar

Tarik garis lurus (garis �) dari

Garis � menembus

bidang α akan

bidang . Sehingga garis � ⊥ .

diproyeksikan

titik

yang tegak lurus degan

terhadap bidang

bidang

di titik ′.

′ adalah proyeksi

titik

terhadap

bidang .

Gambar 7. 31 Proyeksi titik pada bidang

2. Proyeksi Garis
a. Proyeksi garis terhadap garis lain.

20

Langkah-langkah memproyeksikan garis miring
garis adalah sebagai berikut:
Step 1
Gambar proyeksi garis
terhadap garis sehingga
′ adalah proyeksi

ke

terhadap garis lurus

Step 2

Step 3

Gambar proyeksi garis B

Proyeksi Garis

terhadap garis sehingga ′
adalah proyeksi

terhadap

garis

adalah garis ′ ′.

ke garis

garis

θ

C



Gambar 7. 32 Proyeksi garis miring terhadap garis lurus

Perhatikan gambar 7. 32 Jika garis

membentuk sudut �

dengan panjang

dengan garis � , maka panjang proyeksi
�.

yang adalah garis ′ ′ adalah

b. Proyeksi garis terhadap bidang
Proyeksi sebuah garis pada sebuah bidang dapat diperoleh dengan
memproyeksikan titik-titik garis tersebut ke bidang seperti gambar 7. 33.
A

B

A′

B′

Gambar 7. 33 Proyeksi garis pada bidang

langkah-langkah memproyeksikan garis

pada bidang

adalah sebagai

berikut:
Step 1

Step 2

Step 3

Proyeksikan semua

Semua proyeksi titik-

Garis ′ ′ adalah

titik-titik yang terdapat
dalam garis
bidang .

ke

titik

akan terletak

pada garis ′ ′

proyeksi dari garis

terhadap bidang .

21

Kasus I: Jika garis

tegak lurus terhadap bidang , maka proyeksi garis

terhadap bidang

hanyalah sebuah titik yang terletak pada bidang

(gambar 7. 34a).
A

A
�′

B

B

(b)

(a)

Gambar 7. 34 (a) Proyeksi garis tegak lurus pada bidang (b) Proyeksi garis menembus bidang

Kasus II. Jika sebuah garis

menembus bidang

(gambar 7. 34b), maka

langkah-langkah meproyeksikannya adalah sebagai berikut:
Step 1
Proyeksikan titik
terhadap bidang . ′

Step 2

Step 3

Proyeksikan titik

Garis ′ ′ adalah

terhadap bidang
yaitu titik

adalah proyeksi titik

proyeksi dari garis

itu sendiri

terhadap bidang .

3. Proyeksi Dua Bidang
Misalkan segitiga

diproyeksikan pada bidang

maka langkah-langkah

memproyeksikannya adalah:
Step 1

Step 2

Step 3

Proyeksikan

Titik ′, ′ dan ′ berturut-turut

Segitiga ′ ′ ′

merupakan hasil

terhadap bidang .

proyeksi segitiga

masing-masing
titik sudut

merupakan proyeksi titik ,

dan

segitiga pada

terhadap

bidang

bidang

Gambar 7. 35 Proyeksi dua bidang

.

22

Contoh

H
.

Kubus

G

memilikipanjang rusuk
E

cm. Tentukan panjang proyeksi
a. Garis

ke bidang

b. Garis

ke bidang

c. Bidang

F

C

D

ke bidang
A

Penyelesaian:

a. Proyeksi

ke bidang

adalah garis

b. Proyeksi

ke bidang

adalah titik , panjang

c. Proyeksi bidang

B

, panjang

pada bidang

=

=

cm
cm

adalah garis

. Luas dari

=

proyeksi

1. Gambar segmen garis
sudut sebesar

yang mempunyai panjang 5 cm dan membentuk

° dengan garis g. Gambarkan juga proyeksi garis

pada

garis �, kemudian tentukan panjang proyeksinya!

2. Gambarkan limas persegi panjang .

:

a. Tentukan di mana letak proyeksi titik

b. Gambarkan proyeksi garis

pada bidang

?

terhadap bidang

c. Gambarkan proyeksi bidang

terhadap bidang

. Jika

, tentukan luas dari proyeksi tersebut.

Latihan 7.4
1. Diberikan kotak

.

. Tentukan:

a. Proyeksi garis

dan

b. Proyeksi garis

pada bidang

2. Diketahui kubus
a. Garis

.

pada bidang

terhadap bidang

. carilah proyeksi dari:
b. Garis

pada bidang

=

23

c. Garis

pada bidang
.

3. Diberikan sebuah kubus
. Tentukan proyeksi dari:
a.

dengan titik

c. AF terhadap bidang

terhadap bidang alas

b.

terhadap

bidang
.

4. Pada kubus

terletak di tengah garis

dan titik

adalah titik tengah dari garis

Gambarkan proyeksi:
a. Garis

dengan bidang alas

b. Garis

terhadap bidang

5. Diketahui kubus
garis

pada bidang

.

.

dengan rusuk 6 cm. Hitung panjang proyeksi
!

Pada kajian geometri analitis, konsep jarak yang dipelajari adalah jarak antara
dua titik menggunakan koordinat titik kartesius sehingga dapat dicari dengan
menggunakan rumus
=√



+



Selain jarak antar dua titik, dapat dihitung pula jarak antara sebuah titik dengan sebuah
garis jika diketahui persamaan garis tersebut menggunakan rumus

=|



+

+

+

|

Teknis perhitungan jarak dalam geometri ruang lebih banyak menggunakan Teorema
Phytagoras dan sifat-sifat bangun ruang. Konsep jarak yang pernah dipelajari pada
geometri analitik tersebut selanjutnya diperluas dalam geometri menjadi menghitung
jarak antara
i.

Dua titik, titik ke garis dan titik ke bidang

ii.

Dua garis dan garis ke bidang

iii.

Dua bidang.

1. Titik
a. Jarak antara dua titik

24

Gambar 7. 36 Jarak dua titik

Jarak merupakan garis terpendek yang diperoleh dari menggambarkan dua
buah titik. Oleh karena itu, jarak antara dua titik (titik
dari segmen garis

dan titik ) adalah panjang

.

Contoh
Sebuah kubus

.

dengan rusuk 6 cm. Jika titik

perpotongan antara diagonal sisi

, hitunglah panjang antara titik

Penyelesaian:

Perhatikan bahwa ∆

dengan siku-siku di titik

=

=

=

=

+

+

+

merupakan titik
dan titik .

H

G

merupakan segitiga siku-siku
(

⊥ bidang

).

E

F

D



A

C
B

= √ cm

Rumah Asri, Benny dan Claudia berada dalam sebuah pedesaan. Rumah Benny
terletak di sebelah Timur dari rumah Asri dan jarak antara rumah Benny dan Asri
adalah 4 km, sedangkan rumah Claudia terletak 3 km di bagian Utara dari rumah
Benny. Tentukan jarak sesungguhnya antara rumah Asri dan Claudia!

b. Jarak antara titik dan garis

Jika suatu titik dilalui oleh garis atau bidang,
apakah titik tersebut memiliki jarak terhadap
garis dan apakah titik memiliki jarak terhadap
bidang?

25

Ambil alat ukur sejenis meteran dan gunakan alat ukur tersebut
untuk mengukur jarak antara titik penalti terhadap titik yang
berada di garis gawang pada lapangan sepak bola yang ada di
sekolahmu. Lakukan hal ini berulang-ulang hingga mendapatkan
jarak minimum antara titik penalti dengan garis gawang tersebut!
Buatlah tabel yang memuat hasil pengukuran tersebut kemudian
buatlah kesimpulan dari hasil yang diperoleh!
Jika sebuah titik terletak di luar garis, maka ada jarak antara titik ke garis
tersebut.
Kasus I: Jika titik

dan garis � terletak pada bidang

dan titik

luar garis � (gambar 7. 37a), maka jarak antara titik

dan garis � dapat

ditentukan dengan langkah-langkah berikut
Step 1

Step 2

Buatlah bidang
melalui titik

yang
dan

garis �.

Step 3

Pada bidang , buatlah
garis

berada di

tegak lurus

Segmen garis
merupakan jarak titik
ke garis �.

terhadap garis �.

P

R
P
(a)



(b)

Gambar 7. 37 Jarak titik ke garis

Kasus II: Jika titik garis � terletak pada bidang

bidang

namun titik

(gambar7. 37b) maka jarak antara titik


berada di luar

dan garis � dapat

ditentukan dengan menggunakan langkah-langkah berikut:
Step 1
Buatlah segmen garis
yang tegak lurus
dengan bidang

Step 2
Gambar garis
tegak lurus terhadap
garis �

Step 3
Segmen garis
merupakan jarak antara
titik

dan garis �.

26

Contoh
.

Sebuah kotak
tinggi 6 cm. Titik

mempunyai ukuran panjang 8 cm, lebar 6 cm dan

merupakan titik perpotongan antara diagonal sisi permukaan

atas kotak tersebut yaitu
tengah dari garis

dan

dan garis

a. Titik

dan garis

b. Titik

dan garis

. Titik

dan

berturut-turut adalah titik

. Tentukan jarak antara:

Penyelesaian:

a. Titik

berada di luar bidang

sehingga jarak antara titik

dan garis

dapat dicari dengan menggunakan langkah-langkah berikut:
(i)

Gambar garis

(ii)

Gambar garis

(iii)



H



merupakan jarak antara
titik

dengan garis
=

=

=√

b. Garis

+

+

=



=

=

=√

C

Q
A

dan



. Oleh karena itu, jarak antara
.

F

D

= √

dan garis

P

R

.

terletak pada bidang
,

titik

E

G



B

H

G
P

E

F

adalah garis

+

+
=

C

D
=

A



B

c. Jarak antar titik dan bidang
Jika sebuah titik berada di luar bidang maka ada jarak antara titik ke bidang
itu. Jarak titik A ke bidang

(titik A berada di luar bidang ) dapat dicari

dengan langkah-langkah berikut:

27

Step 1

Step 2

Buatlah garis �

Step 3

Garis � menembus bidang

yang melalui

pada

Segmen garis
merupakan jarak

titik .

titik A dan tegak

titik

A

ke bidang

lurus bidang .

.

Q



Gambar 7. 38 Jarak titik dan bidang

Contoh
.

Diberikan sebuah kubus
titik

dan bidang

!

dengan rusuk 6 cm. Tentukan jarak antara

Penyelesaian:

.

Perhatikan gambar kubus
Titik

terletak pada bidang

di samping!
. Bidang

saling berpotongan pada garis
merupakan tinggi dari segitiga
menembus bidang
sehingga

=

E

. Jika


F

.

dan tegak lurus terhadap

merupakan jarak antara titik

D


ke

maka perbesar

A

.
,

=

=√

� �=

� �=

= √

=

=

+

= √
=





∴ Jarak antara titik



√ = √

=

+

= √
=

=√

=



� �

= √

tehadap bidang

G

dan

, maka

. Untuk mencari panjang
gambar ∆

H

adalah √



K
C
B

28

Latihan 7. 5
.

1. Diketahui kubus
rusuk

dengan panjang rusuk 5 cm. Titik

pertengahan

. Hitunglah jarak:

a. Titik

ke titik

c. Titik

ke titik

b. Titik

ke titik

d. Titik

ke titik

.

2. Diketahui kubus
rusuk

dengan panjang rusuk 5 cm. Titik

pertengahan

. Hitunglah jarak:

a. Titik A ke garis
b. Titik

ke garis
.

3. Diketahui balok
. Titik

c. Titik

ke garis

d. Titik

ke garis

=

dengan

,

=

dan

=

,

=

dan

adalah titik potong diagonal-diagonal bidang alas

.

Hitunglah jarak:
a. Titik

ke bidang

c. Titik

ke bidang

b. Titik

ke bidang

d. Titik

ke bidang

4. Bidang alas limas tegak .
, dan

=

a. Panjang
b. Jarak titik
5.

.

=

=

= ,

ke bidang alas

tegak lurus terhadap garis

=

=

. Tentukan jarak titik

dan

=

. Tentuan jarak titik

.

6. Panjang setiap rusuk kubus
pada

. Hitunglah:

.

adalah limas dengan
=

7. Pada prisma segi empat beraturan
prisma 8 cm. titik potong diagonal
. Tentukan jarak titik

8. Perhatikan

gambar

.

ke
di

=

berbentuk persegi panjang,

dan

ke bidang

!

ialag √ sedangkan panjang titik
ke bidang

.

dan

!

dengan rusuk 6 cm dan tinggi
adalah
W

!
samping!

Sebuah

kubus

T

terletak pada pusat kubus tersebut. Hitunglah jarak antara:
dan

b. Titik

dan garis

9. Kubus

.

S
P
memiliki panjang rusuk 8 cm. Titik

merupakan titik tengah

. Hitunglah jarak antara:

V
U

dengan panjang rusuk 4 cm. Titik

a. Titik

panjang



R
Q

29

a. Titik

dan titik

b. Titik

dan garis
.

10. Diketahui kubus
perpanjangan garis
atas

dengan rusuk . Titik

sepanjang

11. Pada kubus
pada bidang

.

, maka tentukan panjang

.

.

14. Diketahui kubus
perpanjangan garis

sehingga

dan

.

=

merupakan

ke titik !

. Jika titik P berada pada

, maka tentukanlah jarak titik

adalah 6 cm. Titik
=

. Panjang

jarak antara:

dan garis

. Jika

, maka tentukanlah jarak titik
dengan panjang rusuk

15. Panjang rusuk kubus

b. Titik

adalah titik tengah rusuk

dengan panjang rusuk

!

terletak pada rusuk

.
!

ke garis

pada bidang

dan titik

!

. Tentukan panjang proyeksi garis

dengan rusuk
.

13. Diketahui kubus

a. Titik

memotong bidang

!

. Tentukan jarak antara titik

garis

. Jika bidang

dengan rusuk

12. Diketahui kubus

proyeksi titik

=

sehingga

adalah suatu titik pada

dan

c. Titik

masing-masing

=

dan

ke

. Hitunglah

dan bidang

2. Garis
a. Jarak antara dua garis sejajar
Jika dua garis sejajar, garis � dan garis ℎ terletak pada bidang yang sama

bidang

maka garis memotong garis � dan ℎ secara tegak lurus dengan titik

potong berturut-turut
dari segmen garis

′.

dan ′, maka jarak antara titik � dan titik ℎ adalah panjang



Gambar 7. 39 Jarak antar dua garis sejajar

30

b. Jarak antara dua garis bersilangan
Kasus I: Pada gambar 7. 40a, garis � dan ℎ saling bersilangan maka untuk

mencari jarak antara garis � dan ℎ adalah sebagai berikut:
Step 1

Step 2

Gambar garis

Gambar

Gambar bidang

Gambar garis yang

bidang

yang tegak lurus

melalui titik

�′ yang

Step 3

sejajar

yang memuat

dengan garis

garis �′ dan

� dan

ℎ.

memotong ℎ.

dengan bidang

Step 4

Bidang

dan

merupakan

tegak lurus dengan

jarak antara

garis �. Asumsikan

garis � dan ℎ

dan

memuat garis �.

memotong

Step 5

garis ini memotong
� pada

garis ℎ pada titik .

Kasus II: Jika garis � dan ℎ saling bersilangan tegak lurus seperti pada

gambar 7. 40b maka jarak antara garis � dan ℎ dapat dicari dengan langkahℎ





P

�′



(a)

Q

(b)

Gambar 7. 40 Jarak dua garis bersilangan

langkah berikut:
Step 1
Gambar bidang
yang memuat garis �
yang tegak lurus

terhadap garis ℎ.

Step 2

Step 3

Asumsikan garis

Gambar garis yang melalui

ℎ menembus

bidang

pada

titik .

dan tegak lurus terhadap
garis �. Asumsikan garis

ini memotong garis � pada
titik .

Step 4
merupakan
jarak antara garis �
dan ℎ yang saling
bersilangan tegak
lurus.

c. Jarak antara garis sejajar dan sebuah bidang
Pada gambar 7. 41 garis � berada di luar bidang

Untuk mencari jarak antara garis � dengan bidang

dan sejajar dengan bidang .
adalah sebagai berikut:

31

Step 1

Step 2

Step 3

Pilih sebuah titik

Gambar sebuah garis dari titik

pada garis �

tegak lurus terhadap bidang

misalnya titik

dan menembus bidang

di titik

′. (Titik ′ adalah proyeksi

Segmen garis



merupakan jarak

garis � ke bidang
.

pada bidang )
P



P′

Gambar 7. 41 Jarak garis dan bidang

3. Bidang
Jika bidang

sejajar dengan bidang . Maka untuk menentukan jarak

antara dua bidang sejajar tersebut adalah sebagai berikut:
Step 1
Pilih sebuah
perwakilan titik pada
pada bidang
misalnya titik .

Step 2
Dari titik

Step 3

ditarik garis yang

tegak lurus terhadap bidang
dan menembus bidang
. (Titik

di titik

adalah proyeksi titik
pada bidang )

Gambar 7. 42 Jarak dua bidang sejajar

Segmen garis
merupakan jarak
dari bidang
bidang .

ke

32

Contoh
.

Balok

mempunyai panjang 8 cm, lebar 4 cm dan tinggi 6 cm.

tentukan jarak antara:
a.

Garis

b.

H

G

dan
E

dan bidang

c.

Bidang

d.

Garis

F

dan
dan

C

D

Penyelesaian:

a.

dan
.

sejajar dengan

b. Garis

dan

=√

+

= √

adalah √

=

adalah



dan

memotong

. garis

adalah

pada titik

dan

sejajar dengan

∴ Jarak antara garis

dan

membentuk sebuah bidang

tegak lurus terhadap bidang
sehingga

mewakili jarak antara

.

saling bersilangan. Garis

tegak lurus garis

dapat diwakili

.

∴ Jarak antara bidang
. Garis

pada

.

. Segmen garis

dua bidang ini dikarenakan

dan

dan bidang

dan bidang

sejajar dengan

d. Garis

sejajar dngan

.

∴ Jarak antara garis

c. Bidang

dapat

.

. Garis

. Jarak antara garis

dengan jarak

dan

.

sejajar dengan bidang

bidang

B

sehingga jarak antara

diwakili oleh panjang garis

∴ Jarak antara garis



A

terletak dalam bidang

dan memotong dengan

dapat mewakili jarak garis

dan

adalah

.

dengan panjang

dan

.

Latihan 7. 6
1. Diketahui balok
dan

=

a. Garis

. Hitunglah jarak antara:
dan

=

,

=

.

33

b. Garis

dan

2. Pada kubus

.

pada bidang

4. Pada kubus

a.
b.

,

, maka hitunglah panjang
.

dan

.

. Tentukan panjang proyeksi

diketahui pajang

titik , titik , serta titik
,

dan

!
.

=

c. Bidang

dengan rusuk

3. Pada balok
panjang

bidang

!

=

=

. Jika

, diketahui rusuk kubus adalah 8 cm dan titik ,
beruturut-turut merupakan titik tengah dari garis

. Hitunglah jarak antara garis:

dan

c.

dan bidang

dan
.

5. Diketahui kubus
antara:
a. Garis

dengan panjang rusuk 6 cm. Hitunglah jarak

c. Bidang

dan

b. Garis

dan

6. Pada kubus

.

antara bidang

dan

dan

.

bidang

dengan panjang rusuk √ cm. Hitunglah jarak
!

Pada bidang dua dimensi, sudut hanya dapat dibentuk oleh dua garis yang tidak
sejajar. Dalam ruang dimensi tiga, konsep sudut diperbesar menjadi sudut antar
dua garis yang berpotongan, dua garis yang bersilangan, sudut antara garis dengan
bidang dan sudut antara dua buah bidang.

1.

Sudut Antar Dua Buah Garis
Pada gambar 7. 43 sebuah tiang bendera disambung dan diikat

menjadi sebuah tiang. Tiang tersebut berdiri tegak dengan bantuan tali
yang diikat pada tongkat dan ditarik dengan kuat ke pasak yang telah
ditancapkan ke tanah ke tiga arah. Melalui gambar 7. 43 dapat
disketsakan menjadi sudut antar dua garis perhatikan gambar 7. 44.
Gambar 7. 43 Tiang bendera

34

adalah tiang bendera dengan

dan

adalah tali pandu. Dari

gambar 7. 44, jelas dapat dilihat bahwa sudut yang di bentuk oleh
adalah

dan sudut yang dibentuk oleh

dan

dan

adalah .

Gambar 7. 44 Sketsa tiang bendera

Kasus I: Jika garis � berimpit atau sejajar dengan ℎ, maka sudut yang

terbentuk sama dengan nol.

Kasus II: Apabila garis � dan ℎ berada pada bidang yang sama dan
memotong pada titik

(gambar 7. 45), maka sudut yang terbentuk oleh

garis � dan ℎ ditulis ∠ �, ℎ adalah ∠













(a)

atau ∠ ′

′.









(b)

Gambar 7. 45 Sudut dua garis berpotongan

Cara menentukan sudut antar dua garis berpotongan adalah sebagai berikut:
Step 1

Step 2

Ambil sembarang titik

pada garis

Besar sudut

� dan sembarang titik

pada garis

sebagai ukuran sudut antara

ℎ. Dengan garis � dan ℎ
berpotongan di titik
�′


ℎ′


Gambar 7. 46 Sudut dua garis bersilangan

ditetapkan

garis � dan garis ℎ yang
berpotongan

35

Kasus III: Gambar 7. 46 menunjukkan garis � dan garis ℎ bersilangan

garis � menembus bidang

di titik

dan garis ℎ terletak pada bidang .

Sudut antar garis � yang bersilangan dengan garis ℎ dapat ditentukan
dengan langkah-langkah berikut:
Step 1

Step 2

Step 3

Ambil

Melalui titik , buatlah

Sudut yang dibentuk oleh

sembarang titik

garis �′ sejajar dengan

garis �′ dan garis ℎ′

pada bidang

garis � dan garis ℎ′

merupakan sudut antar garis
� dan garis ℎ yang

sejajar dengan garis ℎ

bersilangan

dari salah satu garis (garis � atau garis ℎ

Note: lebih praktis memilih titik

Contoh
1. Pada limas segi empat beraturan .
sudut antara garis

dan garis

. Tentukan

T

!

Penyelesaian:

Garis

dan garis

merupakan dua garis

bersilangan, maka sudut antara garis
adalah ∠

, sebab garis

D

dan

sejajar dengan garis

C

.
A

2. Pada kubus
garis
a.

dan

b.

dan

.

B

dengan rusuk tentukan sudut yang terbentuk antara

H
E

G
F

D
A

C
B

36

Penyelesaian:

Garis

dan garis

saling berpotongan pada titik .

Sudut antara garis

adalah ∠

dan

Perhatikan sama kaki ∆

membentuk sudut

c. Garis

saling bersilangan.

∴ Garis

dan

dan

dengan garis
,

.

=

°.

=∠

. Perhatikan ∆

G



C



sejajar
A

.

D

di berikut!

�=



,

°

� = tan− √
�=



°.

yang terdapat pada bidang



E



di samping. ∠

E

=√

Latihan 7. 7
.

1. Diketahui kubus
a.

dan

b.

dan

, tentukan sudut antara garis

terhadap rusuk
.

dan

d.

dan

.

2. Tuliskan rusuk-rusuk pada kubus

3. Diketahui kubus

c.

yang membentuk sudut

°

dengan panjang rusuk 4 cm. Hitunglah besar

sudut yang terbentuk antara:
a. Garis

dan garis

b. Garis

dan garis

c. Garis
.

4. Diketahui kubus

dengan panjang rusuk 12 cm. Hitunglah tangen

sudut yang terbentuk antara garis
.

5. Pada kubus
rusuk

dengan

. Tentukan nilai

6. Pada kubus

.

dan

!

adalah sudut antara diagonal

dan

!
panjang rusuk 8 cm.

dengan garis diagonal ruang

adalah sudut antara garis

. Tentukan nilai �

dan

7. Tentukan besar sudut yang dibentuk antar diagonal bidang
.

dan garis

dengan panjang rusuk !

!
pada kubus

37

8. Sebuah prisma segitiga
alas berupa segitiga sama sisi

.

dengan

G

dengan

sisi 6 cm dan panjang rusuk tegak 10 cm.
Tentukan besar sudut yang dibentuk antara:
a. Garis

dan

b. Garis

dan

titik

, titik

antara garis
10. Balok
=

=
.

merupaka

=

. Jika panjang
dan

F
C

.

9. Pada balok

E

,

=

A

B

. Tentukan besar sudut
dan

!
dengan panjang rusuk

=

,

=

. Tentukan nilai cosinus sudut yang terbentuk antara garis

, dan

dan

!

2. Sudut Antara Garis Dan Bidang
Matahari (Pukul 12.00)
Pohon tumbuh miring
Proyeksi

Bayangan Pohon

Gambar 7. 47 Sketsa proyeksi pohon

Gambar 7. 47 menunjukkan sebuah pohon yang tumbuh miring di sebuah
lapangan. Pada pukul 12.00, matahari akan bersinar tepat di atas pohon tersebut
sehingga bayangan pohon tersebut merupakan proyeksi ortogonal pada bidang
(tegak lurus). Misalkan garis
proyeksi

adalah pohon tersebut dan

merupakan

pada bidang, dengan demikian sudut yang dibentuk oleh

dengan bidang adalah sudut yang dibentuk
bidang tersebut yaitu ∠

dengan proyeksinya pada

.

Kemungkinan kedudukan antara garis dan bidang adalah:

38

a. Jika sebuah garis terletak pada bidang, maka sudut yang terbentuk
adalah sebesar °

b. Jika sebuah garis sejajar dengan sebuah bidang, maka sudut yang
terbentuk juga sebesar °

c. Jika sebuah garis memotong atau menembus sebuah bidang maka
terdapat sudut yang dibentuk oleh garis dan bidang itu. Langkahlangkah dalam menentukan sudut yang terbentuk oleh garis yang
memotong bidang adalah sebagai berikut:
Step 1

Step 2

Ambil

Melalui titik , buatlah garis ℎ tegak

sembarang
titik

Step 3

lurus terhadap bidang . Garis ℎ

pada



garis �

merupakan besar

di titik ′

menembus bidang



Sudut

sudut antara garis
� yang

berpotongan
dengan bidang .




Gambar 7. 48 Sudut garis menembus bidang

Contoh
1. Kubus
a. ∠

� ∠

b.

,

Penyelesaian:

a. ∠

,

.

dengan rusuk 6 cm. Hitunglah besar

,

,

=∠


,

dibentuk oleh garis

yaitu

dan garis

merupakan proyeksi

,

, dan
sudut


E

adalah segitiga siku-siku sama kaki

∴∠

,

=

=

°.
°

Dokumen yang terkait

Dokumen baru

Modul Matematika Dimensi Tiga