PELABELAN TOTAL BUSUR-AJAIB b-BUSUR BERURUTAN PADA GRAF LOBSTER L_n (2;r;t) DAN L_n (2;r,s;t) | Nurjana | JURNAL ILMIAH MATEMATIKA DAN TERAPAN 8287 27176 1 PB
JIMT
Vol. 14 No. 1 Juni 2017 (Hal 1 - 10)
ISSN
: 2450 – 766X
PELABELAN TOTAL BUSUR-AJAIB b-BUSUR BERURUTAN
PADA GRAF LOBSTER �� �; ;
DAN �� �; , ;
Nurjana1, I W. Sudarsana2, dan Resnawati3
1,2,3
Program Studi Matematika Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Tadulako
Jalan Sukarno-Hatta Km. 9 Palu 94118, Indonesia
1jannah_1090@yahoo.com, 2sudarsanaiwayan@yahoo.co.id, 3r35n4w4t1@yahoo.com
ABSTRACT
A bijection
:
∪ � → { , , , … , + } is called an b-edge consecutive edge-magic total labeling (b-edge
consecutive EMT labeling) of � with vertices
{ + , + , + , … , + }, with
and edges
if
is an edge-magic total labeling of � and
� =
. If a connected graph G has b-edge consecutive EMT labeling with
∈ { , , , … , − } then G is a tree. Lobster is one of tree that consists of a single path, where which every
vertex has distance at most t from the vertices in the main path, with t is an integer. Furthermore, an investigation
will be conducted about b-edge consecutive EMT labeling on lobster ��
; and
. The results show that lobster ��
consecutive EMT labelings.
Keywords
; ;
and ��
; , ;
; ;
for �
and ��
; ,
; , ;
for �
; and
; ,
have b-edge
: B-Edge Consecutive Edge-Magic Total Labeling, Lobster Graph.
ABSTRAK
Suatu pemetaan bijektif :
∪ � → { , , , … , + } disebut suatu pelabelan total busur-ajaib b-busur berurutan
(PTBA b-busur berurutan) dari � yang memiliki banyaknya titik
pelabelan total busur-ajaib dari �dan
dan banyaknya sisi
� = { + , + , + , … , + },
mempunyai PTBA b-busur berurutan dengan
jika
adalah suatu
. Jika graf terhubung G
∈ { , , , … , − } maka G adalah suatu graf pohon. Graf lobster
merupakan salah satu graf pohon yang terdiri dari satu lintasan, dimana setiap simpul memiliki jarak paling
banyak t terhadap titik-titik di lintasan utama, dengan t adalah suatu bilangan bulat. Selanjutnya, akan dilakukan
investigasi mengenai PTBA b-busur berurutan pada graf lobster ��
; ,
; ,
; dan
; dan
Kata Kunci
.Hasil yang diperoleh adalah grafl obster ��
memiliki PTBA b-busurberurutan.
; ;
dan graf Lobster ��
; ; dan graf Lobster ��
; , ;
; , ;
untuk �
untuk �
: Graf Lobster, Pelabelan Total Busur Ajaib B-busur Berurutan.
1
I.
PENDAHULUAN
3.1.
Latar Belakang
Teori graf adalah cabang kajian yang mempelajari sifat-sifat graf. Secara umum, suatu
graf � adalah pasangan himpunan
� ,� �
dengan
� yang merupakan himpunan titik
yang tak kosong dan � � yang merupakan himpunan sisi (pasangan elemen) dari
.Salah
satu materi graf yang berkembang dan mendapat perhatian khusus adalah pelabelan graf.
Pelabelan pada suatu graf adalah pemetaan bijektif yang memasangkan unsur-unsur graf
(simpul atau busur) dengan bilangan bulat positif. Jika domain dari pelabelan adalah
himpunan simpul, maka pelabelannya disebut pelabelan simpul ( vertex labeling), sedangkan
jika domain dari pelabelan adalah himpunan busur, maka pelabelannya disebut pelabelan
busur (edge labeling). Jika domain dari pelabelan adalah gabungan himpunan simpul dan
busur, maka pelabelannya disebut pelabelan total ( total labeling). Kini sudah banyak jenis
pelabelan graf yang telah dikembangkan, diantaranya pelabelan gracefull, pelabelan total tak
beraturan, pelabelan ajaib, pelabelan anti ajaib, dan pelabelan total super ajaib. Dalam
pelabelan total super ajaib, dikenal pula pelabelan total simpul ajaib dan pelabelan total busur
ajaib, serta pelabelan berurutan yang merupakan pengembangan dari pelabelan total super
ajaib itu sendiri.
Konsep penelitian mengenai pelabelan total busur ajaib semakin berkembang,
sehingga Sugeng dan Miller [4] mengkaji dan memperkenalkan istilah pelabelan total busurajaib busur berurutan. Suatu pemetaan bijektif
:
∪ � → { , , , … , + } disebut suatu
pelabelan total busur-ajaib b-busur berurutan (PTBA b-busur berurutan) dari � jika
suatu pelabelan total busur-ajaib dari � dan
� = { + , + , + , … , + },
adalah
.
Jika suatu graf memiliki PTBA b-busur berurutan maka banyak maksimum busur pada �
adalah
−
atau dengan kata lain
b-busur berurutan dengan
− . Jika suatu graf terhubung � mempunyai PTBA
∈ { , , , … , − } maka � adalah suatu graf pohon. Penelitian
mengenai graf pohon terus berkembang, salah satunya diperkenalkan oleh Khan, Pal, dan
Pal [1] yaitu graf lobster. Dalam paper Khan, Pal, dan Pal [1] mengatakan bahwa graf lobster
adalah graf pohon yang terdiri dari satu lintasan (dengan panjang maksimum) dimana setiap
simpul memiliki jarak paling banyak t terhadap lintasan utama, dengan t adalah suatu
bilangan bulat. Dalam graf lobster, jarak yang dimaksud adalah jarak antara simpul lain
dengan simpul terdekat pada lintasan. Kemudian adapula penelitian mengenai PTBA b-busur
berurutan pada suatu graf G, penelitian ini juga telah banyak dilakukan. Sehingga
Rachmawati [2] melakukan penelitian mengenai PTBA b-busur berurutan pada graf Lobster
��
;
dan ��
; ,
dengan = .
2
3.2.
Rumusan Masalah
Bagaimana memperoleh pelabelan total busur-ajaib busur-berurutan (PTBA b-busur
; ;
berurutan) pada graf Lobster ��
3.3.
dan graf Lobster ��
; , ;
untuk
.
Tujuan
Tujuan penelitian ini adalah memperoleh pelabelan total busur-ajaib busur-berurutan
(PTBA b-busur berurutan) pada graf Lobster yaitu graf Lobster ��
; , ;
��
3.4.
untuk
.
; ;
dan graf Lobster
Manfaat Penelitian
Adapun Manfaat yang dapat diberikan pada penelitian ini adalah:
1.
Sebagai tambahan informasi dan wawasan pengetahuan tentang pelabelan total
busur-ajaib busur-berurutan pada graf Lobster
2.
Sebagai bahan kepustakaan yang dijadikan sarana pengembangan wawasan
keilmuwan khususnya di jurusan matematika pada mata kuliah teori graf dan
pelabelan graf.
3.5. Batasan Masalah
Penelitian ini dibatasi pada pelabelan total busur-ajaib busur-berurutan khususnya pada
graf Lobster ��
II.
; ;
,dan graf Lobster ��
untuk
; , ;
untuk
.
METODE PENELITIAN
Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini yaitu
a.
Memulai penelitian.
b.
Melakukan studi literatur dengan mengumpulkan materi dari buku-buku, artikel dan jurnal
yang didapat dari perpustakaan dan perpustakaan online.
c.
Menotasikan simpul pada Graf Lobster ��
; ; dan Graf Lobster ��
; , ;
.
d.
Mendefinisikan fungsi pelabelan simpul.
e.
Menunjukkan label-label simpul merupakan gabungan dari 2 himpunan bilangan berurutan.
f.
Menunjukkan himpunan
positif berurutan.
g.
={
Menunjukkan Graf Lobster ��
; ;
berurutan dengan konstanta ajaib
h.
Menyimpulkan hasil penelitian.
+
|
∈ �} membentuk himpunan bilangan bulat
dan Graf Lobster ��
=
+ +
.
; , ;
merupakan PTBA b-busur
3
III.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Sebelum disajikan hasil penelitian ini, terlebih dahulu diberikan Lemma danTeorema-teorema
penting yang telah ditemukan sebelumnya yang akan digunakan untuk membuktikan hasil baru
dalam penelitian ini. Teorema-teorema tersebut adalah:
Lemma 3.1 Suatu graf � dengan
busur adalah suatu graf busur ajaib b-busur
simpul dan
berurutan jika dan hanya jika terdapat suatu pemetaan bijektif
sedemikian
himpunan
Sugeng, [3]).
sehingga
={
+
|
:
∪ � → { , , ,…, + }
= { , , , … , + } − { + , + , + , … , + },
dan
∈ �} terdiri dari e bilangan bulat positif berurutan. (Silaban &
Teorema 3.1 Setiap graf busur-ajaib b-busur berurutan mempunyai pelabelan simpul busur antiajaib.
Teorema 3.2 Dual dari pelabelan total busur-ajaib b-busur berurutan untuk suatu graf G adalah
−
suatu pelabelan total busur ajaib
-busur berurutan.
Teorema 3.3 Jika suatu graf terhubung G mempunyai pelabelan total busur-ajaib b-busur berurutan
dengan
∈ { , , , … , − } maka G adalah suatu graf pohon.
3.1.
PTBA b-Busur Berurutan pada Graf Lobster �� �; ;
Graf lobster ��
; ;
, adalah graf lobster teratur dengan � menyatakan banyak
simpul pada lintasan, 2 menyatakan banyak simpul berjarak 1 dari setiap simpul lintasan, r
menyatakan banyak daun pada simpul terjauh dari setiap simpul lintasan dan t menyatakan
panjang maksimum (jarak) dari simpul lintasan.
1
u1t1
u1t2
v1t
u1t
...
...
v1t
2
v1t
v13
v1tr
v
v2t2
v12
u12
u1tr
u13
1
2t
v11
C1
u2t1
u2t2
u11
u2t
...
...
v2t
v2tr
v23
u22
v22
u2tr
u23
1
u3t1
u3t2
v3t
v21
v3t2
C2
u21
u3t
...
...
v3t
v3t r
v33
u32
v32
u3tr
u33
vnt1
v31
vnt2
C3
unt1
unt2
u31
unt
...
...
vnt
vnt r
vn3
un2
vn2
vn1
Cn
un3
untr
un1
Gambar 1 : Penotasian simpul pada graf lobster ��
; ;
4
; ;
Banyaknya simpul pada graf lobster ��
= � + � −�−
banyaknya busur adalah
= � + � −� =�
adalah
=�
+
−
− .
+
−
dan
Teorema 3.1.1. Setiap graf Lobster �� ; ; memiliki PTBA b-Busur Berurutan dengan
�−
+ − + +
−
,
� = ganjil, t = ganjil
=
Bukti:
�−
�
{
+
−
+
+
,
−
sebagai berikut :
Label simpul pada t ganjil :
−
(
)=
�+
{
(
(
−
�+
)=
+
+
+
−
�+
+ + −(
−
+ −(
−
−
+
− −(
+ −
−(
+
−
+
+
)
+
)
+ −
+
)+
, ganjil, ganjil,
∈ �, ∈ �
) , ganjil, genap,
∈ �, ∈ �
, genap, ganjil, ∈ �, ∈ �
, genap, genap, ∈ �, ∈ �
−
−
−
−(
+ + −(
+ −(
− −(
− −
)
−
)
− −
−
)+
, ganjil, ganjil, ∈ �, ∈ �
) , ganjil, genap, ∈ �, ∈ �
, genap, ganjil,
∈ �, ∈ �
, genap, genap, ∈ �, ∈ �
.......................................................................................................... (2)
−
)={
�+
)={
−
� �
.......................................................................................................... (1)
{
(
−
�+
+
, �=
masing – masing pada t ganjil dan t genap
; ;
Berikan label simpuldari graf lobster ��
� = ganjil, t = genap
+
�+
={
+
+
−
−
− +
+
−
+ + +
+
, ganjil,
∈ �,
, genap, ∈ �,
∈�
∈�
.......................................................................................................... (3)
−
�+
−
+
−
− +
−
, ganjil,
, genap,
∈ �,
∈ �,
∈�
∈�
.......................................................................................................... (4)
−
+
−
+
−
−(
−
+(
)
−
)+
, ganjil, ∈ �
, genap,
∈�
.......................................................................................................... (5)
5
Label simpul pada t genap :
−
(
{
(
�+
)=
−
−
−
−
+ −
+ −(
+
+
+
+ + −(
−(
− −(
+ −
+
)+
)
+
)
, ganjil, ganjil, ∈ �, ∈ �
) , ganjil, genap, ∈ �, ∈ �
, genap, ganjil, ∈ �, ∈ �
, genap, genap, ∈ �, ∈ �
.......................................................................................................... (6)
−
−
�+
{
(
−
�+
)=
+
�+
+
+
−
+
+ −(
+
−
−
−
− −
)
+ + −(
−(
− −(
− −
−
)+
)
−
, ganjil, ganjil, ∈ �, ∈ �
) , ganjil, genap, ∈ �, ∈ �
, genap, ganjil, ∈ �, ∈ �
, genap, genap, ∈ �, ∈ �
.......................................................................................................... (7)
�+
)={
−
+
−
+
−
−
+
− +
+
, ganjil, ∈ �,
, genap,
∈�
∈ �,
∈�
, ganjil,
∈ �,
.......................................................................................................... (8)
(
)={
�+
−
+
−
+
−
− +
+ + +
−
, genap,
∈ �,
∈�
∈�
.......................................................................................................... (9)
�+
={
−
+
−
+
−
+ +( )
, ganjil, ∈ �
− −( )+
, genap, ∈ �
.......................................................................................................... (10)
Dengan label tersebut diperoleh :
�
={ �
3.2.
+
+
�
−
−
+
−
− +
+ −
,
,
� = ganjil, t = ganjil
� = ganjil, t = genap
, �= � �
PTBA b-Busur Berurutan pada Graf Lobster �� �; , ;
Graf lobster ��
; , ; , adalah graf lobster teratur dengan � menyatakan banyak
simpul pada lintasan, 2 menyatakan banyak simpul berjarak 1 dari setiap simpul lintasan, r
menyatakan banyak daun pada simpul terjauh dari simpul lintasan pada simpul pertama, s
6
menyatakan banyak daun pada simpul terjauh dari simpul lintasan pada simpul kedua dan t
menyatakan panjang maksimum (jarak) dari simpul lintasan.
1
v1t
v1t2
u1t1
u1t2
u1t3
u1t
...
...
v1t
v13
v1tr
v12
u12
u1tr
u13
1
2t
v
v2t2
C1
v11
u2t1
u2t2
u2t3
u11
...
u2t
...
v2t
v2tr
v23
v22
u22
u2tr
u23
1
u3t1
u3t2
u3t3
v3t
C2
v21
v3t2
u21
u3t
...
...
v3t
v3t r
v33
v32
u32
u3tr
u33
1
nt
v
vnt2
C3
v31
unt1
unt2
unt3
u31
unt
...
...
vnt
vnt r
vn3
vn2
un2
Cn
vn1
untr
un3
un1
; , ;
Gambar 2 : Penotasian simpul pada graf lobster ��
; , ;
Banyaknya simpul pada graf lobster ��
−
dan banyaknya busur adalah
=
Bukti:
�−
+ +
�−
−
(
�+
)=
{
−
�+
+ +
+ +
+ +
−
,
−
sebagai berikut :
Label simpul pada t ganjil :
−
+ +
,
+
Berikan label simpul dari graf lobster ��
−
−
−
−(
=�
+ +
−
− .
+ +
+ −(
− −(
)
+
)
+ −
+
� = ganjil, t = ganjil
� = ganjil, t = genap
, �=
� �
masing – masing pada t ganjil dan t genap
; , ;
+ + −(
+ −
=� +� + � −�=�
memiliki PTBA b-Busur Berurutan dengan
+ + + −
+ + −
�
+ +
{
= � +� + � −�−
; , ;
Teorema 3.2 Setiap graf Lobster ��
adalah
)+
, ganjil, ganjil,
∈ �, ∈ �
, genap, ganjil,
∈ �, ∈ �
) , ganjil, genap, ∈ �, ∈ �
, genap, genap,
∈ �, ∈ �
.......................................................................................................... (11)
7
−
(
(
)={
−
+ +
+ +
�+
+ +
{
(
−
�+
)=
+ +
+ + −(
−
+ −(
−
−
− −(
− −
−(
)
−
)
− −
−
)+
, ganjil, ganjil,
∈ �, ∈ �
, genap, ganjil,
∈ �, ∈ �
) , ganjil, genap, ∈ �, ∈ �
, genap, genap, ∈ �, ∈ �
.......................................................................................................... (12)
−
+ +
+ +
�+
)={
+
−
− − − +
+
, ganjil,
∈ �,
, genap, ∈ �,
∈�
∈�
.......................................................................................................... (13)
−
+ +
−
+ +
�+
+ + +
−
−
− +
, ganjil,
∈ �,
, genap, ∈ �,
∈�
∈�
.......................................................................................................... (14)
−
�+
={
−
+ +
+ +
−
−
−(
−
+(
)
−
)+
, ganjil, ∈ �
, genap, ∈ �
.......................................................................................................... (15)
Label simpul pada t genap:
−
(
�+
)=
{
(
)=
)={
−
+ +
−
−
− −(
+ +
+ +
+ −
+ −(
−
+ + −(
−(
+ −
+
)+
)
)
+
, ganjil, ganjil, ∈ �, ∈ �
) , ganjil, genap, ∈ �, ∈ �
, genap, ganjil, ∈ �, ∈ �
, genap, genap, ∈ �, ∈ �
.......................................................................................................... (16)
−
�+
{
(
�+
−
+ +
�+
�+
+ +
−
−
+ +
+ +
+ +
−
+ −(
−
−
− −
)
+ + −(
−(
− −(
− −
−
)+
)
−
, ganjil, ganjil, ∈ �, ∈ �
) , ganjil, genap, ∈ �, ∈ �
, genap, ganjil, ∈ �, ∈ �
, genap, genap, ∈ �, ∈ �
.......................................................................................................... (17)
−
+ +
+ +
−
−
+
− − − +
+
, ganjil, ∈ �,
, genap,
∈ �,
∈�
∈�
.......................................................................................................... (18)
8
−
�+
)={
(
+ +
+ +
−
−
− +
+ + +
−
, ganjil, ∈ �,
, genap,
∈ �,
∈�
∈�
.......................................................................................................... (19)
�+
={
−
+ +
+ +
+ +( )
−
, ganjil, ∈ �
− −( )+
−
, genap, ∈ �
.......................................................................................................... (20)
Dengan label tersebut diperoleh :
={
IV.
Kesimpulan
� + + − + + −
� + + − − − +
� + + −
,
,
,
� = ganjil, t = ganjil
� = ganjil, t = genap
�= � �
Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan dapat disimpulkan bahwa untuk graf lobster
��
; ;
dan ��
; , ;
memiliki PTBA b-busur berurutan. Hasil-hasil yang diperoleh diberikan
dalam tabel dibawah ini:
Tabel 1 : PTBA b-busur berurutan pada graf lobster
b
Graf
Lobster
��
�−
�−
; ;
�−
Lobster
��
; , ;
�−
+
�
+ +
�
k
−
+ +
+
−
+
−
+ +
+ +
−
−
−
+
+ + +
−
−
+
Keterangan
�
+
−
+
−
�
+
−
−
+
�
�
+ +
�
+ +
�
+
−
−
+ +
−
+
+ −
−
− +
−
n ganjil
t ganjil
n ganjil
t genap
n genap
n ganjil
t ganjil
n ganjil
t genap
n genap
9
DAFTAR PUSTAKA
[1]
Khan, N., Pal, A., & Pal, M., 2009, Edge Colouring of Cactus Graphs.
[2]
Rachmawati, Syarifani., Pelabelan Total Busur-Ajaib B-Busur-Berurutan (PTBA B-Busur
[3]
Berurutan) Pada Graf Lobster �� ;
Dan �� ; ,
, 2012, FMIPA UI, Depok.
Silaban, D. R, & Sugeng, K. A., Pelabelan Total Busur Berurutan Busur Ajaib Pada Graf
Terhubung Bukan Graf Pohon, 2010.
[4]
Sugeng, K.A., & Miller, M., 2008, On Consecutive Edge Magic Total Labeling Of Graph,
Journal Of Discrete Algoritms.
10
Vol. 14 No. 1 Juni 2017 (Hal 1 - 10)
ISSN
: 2450 – 766X
PELABELAN TOTAL BUSUR-AJAIB b-BUSUR BERURUTAN
PADA GRAF LOBSTER �� �; ;
DAN �� �; , ;
Nurjana1, I W. Sudarsana2, dan Resnawati3
1,2,3
Program Studi Matematika Jurusan Matematika
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam Universitas Tadulako
Jalan Sukarno-Hatta Km. 9 Palu 94118, Indonesia
1jannah_1090@yahoo.com, 2sudarsanaiwayan@yahoo.co.id, 3r35n4w4t1@yahoo.com
ABSTRACT
A bijection
:
∪ � → { , , , … , + } is called an b-edge consecutive edge-magic total labeling (b-edge
consecutive EMT labeling) of � with vertices
{ + , + , + , … , + }, with
and edges
if
is an edge-magic total labeling of � and
� =
. If a connected graph G has b-edge consecutive EMT labeling with
∈ { , , , … , − } then G is a tree. Lobster is one of tree that consists of a single path, where which every
vertex has distance at most t from the vertices in the main path, with t is an integer. Furthermore, an investigation
will be conducted about b-edge consecutive EMT labeling on lobster ��
; and
. The results show that lobster ��
consecutive EMT labelings.
Keywords
; ;
and ��
; , ;
; ;
for �
and ��
; ,
; , ;
for �
; and
; ,
have b-edge
: B-Edge Consecutive Edge-Magic Total Labeling, Lobster Graph.
ABSTRAK
Suatu pemetaan bijektif :
∪ � → { , , , … , + } disebut suatu pelabelan total busur-ajaib b-busur berurutan
(PTBA b-busur berurutan) dari � yang memiliki banyaknya titik
pelabelan total busur-ajaib dari �dan
dan banyaknya sisi
� = { + , + , + , … , + },
mempunyai PTBA b-busur berurutan dengan
jika
adalah suatu
. Jika graf terhubung G
∈ { , , , … , − } maka G adalah suatu graf pohon. Graf lobster
merupakan salah satu graf pohon yang terdiri dari satu lintasan, dimana setiap simpul memiliki jarak paling
banyak t terhadap titik-titik di lintasan utama, dengan t adalah suatu bilangan bulat. Selanjutnya, akan dilakukan
investigasi mengenai PTBA b-busur berurutan pada graf lobster ��
; ,
; ,
; dan
; dan
Kata Kunci
.Hasil yang diperoleh adalah grafl obster ��
memiliki PTBA b-busurberurutan.
; ;
dan graf Lobster ��
; ; dan graf Lobster ��
; , ;
; , ;
untuk �
untuk �
: Graf Lobster, Pelabelan Total Busur Ajaib B-busur Berurutan.
1
I.
PENDAHULUAN
3.1.
Latar Belakang
Teori graf adalah cabang kajian yang mempelajari sifat-sifat graf. Secara umum, suatu
graf � adalah pasangan himpunan
� ,� �
dengan
� yang merupakan himpunan titik
yang tak kosong dan � � yang merupakan himpunan sisi (pasangan elemen) dari
.Salah
satu materi graf yang berkembang dan mendapat perhatian khusus adalah pelabelan graf.
Pelabelan pada suatu graf adalah pemetaan bijektif yang memasangkan unsur-unsur graf
(simpul atau busur) dengan bilangan bulat positif. Jika domain dari pelabelan adalah
himpunan simpul, maka pelabelannya disebut pelabelan simpul ( vertex labeling), sedangkan
jika domain dari pelabelan adalah himpunan busur, maka pelabelannya disebut pelabelan
busur (edge labeling). Jika domain dari pelabelan adalah gabungan himpunan simpul dan
busur, maka pelabelannya disebut pelabelan total ( total labeling). Kini sudah banyak jenis
pelabelan graf yang telah dikembangkan, diantaranya pelabelan gracefull, pelabelan total tak
beraturan, pelabelan ajaib, pelabelan anti ajaib, dan pelabelan total super ajaib. Dalam
pelabelan total super ajaib, dikenal pula pelabelan total simpul ajaib dan pelabelan total busur
ajaib, serta pelabelan berurutan yang merupakan pengembangan dari pelabelan total super
ajaib itu sendiri.
Konsep penelitian mengenai pelabelan total busur ajaib semakin berkembang,
sehingga Sugeng dan Miller [4] mengkaji dan memperkenalkan istilah pelabelan total busurajaib busur berurutan. Suatu pemetaan bijektif
:
∪ � → { , , , … , + } disebut suatu
pelabelan total busur-ajaib b-busur berurutan (PTBA b-busur berurutan) dari � jika
suatu pelabelan total busur-ajaib dari � dan
� = { + , + , + , … , + },
adalah
.
Jika suatu graf memiliki PTBA b-busur berurutan maka banyak maksimum busur pada �
adalah
−
atau dengan kata lain
b-busur berurutan dengan
− . Jika suatu graf terhubung � mempunyai PTBA
∈ { , , , … , − } maka � adalah suatu graf pohon. Penelitian
mengenai graf pohon terus berkembang, salah satunya diperkenalkan oleh Khan, Pal, dan
Pal [1] yaitu graf lobster. Dalam paper Khan, Pal, dan Pal [1] mengatakan bahwa graf lobster
adalah graf pohon yang terdiri dari satu lintasan (dengan panjang maksimum) dimana setiap
simpul memiliki jarak paling banyak t terhadap lintasan utama, dengan t adalah suatu
bilangan bulat. Dalam graf lobster, jarak yang dimaksud adalah jarak antara simpul lain
dengan simpul terdekat pada lintasan. Kemudian adapula penelitian mengenai PTBA b-busur
berurutan pada suatu graf G, penelitian ini juga telah banyak dilakukan. Sehingga
Rachmawati [2] melakukan penelitian mengenai PTBA b-busur berurutan pada graf Lobster
��
;
dan ��
; ,
dengan = .
2
3.2.
Rumusan Masalah
Bagaimana memperoleh pelabelan total busur-ajaib busur-berurutan (PTBA b-busur
; ;
berurutan) pada graf Lobster ��
3.3.
dan graf Lobster ��
; , ;
untuk
.
Tujuan
Tujuan penelitian ini adalah memperoleh pelabelan total busur-ajaib busur-berurutan
(PTBA b-busur berurutan) pada graf Lobster yaitu graf Lobster ��
; , ;
��
3.4.
untuk
.
; ;
dan graf Lobster
Manfaat Penelitian
Adapun Manfaat yang dapat diberikan pada penelitian ini adalah:
1.
Sebagai tambahan informasi dan wawasan pengetahuan tentang pelabelan total
busur-ajaib busur-berurutan pada graf Lobster
2.
Sebagai bahan kepustakaan yang dijadikan sarana pengembangan wawasan
keilmuwan khususnya di jurusan matematika pada mata kuliah teori graf dan
pelabelan graf.
3.5. Batasan Masalah
Penelitian ini dibatasi pada pelabelan total busur-ajaib busur-berurutan khususnya pada
graf Lobster ��
II.
; ;
,dan graf Lobster ��
untuk
; , ;
untuk
.
METODE PENELITIAN
Langkah-langkah yang dilakukan dalam penelitian ini yaitu
a.
Memulai penelitian.
b.
Melakukan studi literatur dengan mengumpulkan materi dari buku-buku, artikel dan jurnal
yang didapat dari perpustakaan dan perpustakaan online.
c.
Menotasikan simpul pada Graf Lobster ��
; ; dan Graf Lobster ��
; , ;
.
d.
Mendefinisikan fungsi pelabelan simpul.
e.
Menunjukkan label-label simpul merupakan gabungan dari 2 himpunan bilangan berurutan.
f.
Menunjukkan himpunan
positif berurutan.
g.
={
Menunjukkan Graf Lobster ��
; ;
berurutan dengan konstanta ajaib
h.
Menyimpulkan hasil penelitian.
+
|
∈ �} membentuk himpunan bilangan bulat
dan Graf Lobster ��
=
+ +
.
; , ;
merupakan PTBA b-busur
3
III.
HASIL DAN PEMBAHASAN
Sebelum disajikan hasil penelitian ini, terlebih dahulu diberikan Lemma danTeorema-teorema
penting yang telah ditemukan sebelumnya yang akan digunakan untuk membuktikan hasil baru
dalam penelitian ini. Teorema-teorema tersebut adalah:
Lemma 3.1 Suatu graf � dengan
busur adalah suatu graf busur ajaib b-busur
simpul dan
berurutan jika dan hanya jika terdapat suatu pemetaan bijektif
sedemikian
himpunan
Sugeng, [3]).
sehingga
={
+
|
:
∪ � → { , , ,…, + }
= { , , , … , + } − { + , + , + , … , + },
dan
∈ �} terdiri dari e bilangan bulat positif berurutan. (Silaban &
Teorema 3.1 Setiap graf busur-ajaib b-busur berurutan mempunyai pelabelan simpul busur antiajaib.
Teorema 3.2 Dual dari pelabelan total busur-ajaib b-busur berurutan untuk suatu graf G adalah
−
suatu pelabelan total busur ajaib
-busur berurutan.
Teorema 3.3 Jika suatu graf terhubung G mempunyai pelabelan total busur-ajaib b-busur berurutan
dengan
∈ { , , , … , − } maka G adalah suatu graf pohon.
3.1.
PTBA b-Busur Berurutan pada Graf Lobster �� �; ;
Graf lobster ��
; ;
, adalah graf lobster teratur dengan � menyatakan banyak
simpul pada lintasan, 2 menyatakan banyak simpul berjarak 1 dari setiap simpul lintasan, r
menyatakan banyak daun pada simpul terjauh dari setiap simpul lintasan dan t menyatakan
panjang maksimum (jarak) dari simpul lintasan.
1
u1t1
u1t2
v1t
u1t
...
...
v1t
2
v1t
v13
v1tr
v
v2t2
v12
u12
u1tr
u13
1
2t
v11
C1
u2t1
u2t2
u11
u2t
...
...
v2t
v2tr
v23
u22
v22
u2tr
u23
1
u3t1
u3t2
v3t
v21
v3t2
C2
u21
u3t
...
...
v3t
v3t r
v33
u32
v32
u3tr
u33
vnt1
v31
vnt2
C3
unt1
unt2
u31
unt
...
...
vnt
vnt r
vn3
un2
vn2
vn1
Cn
un3
untr
un1
Gambar 1 : Penotasian simpul pada graf lobster ��
; ;
4
; ;
Banyaknya simpul pada graf lobster ��
= � + � −�−
banyaknya busur adalah
= � + � −� =�
adalah
=�
+
−
− .
+
−
dan
Teorema 3.1.1. Setiap graf Lobster �� ; ; memiliki PTBA b-Busur Berurutan dengan
�−
+ − + +
−
,
� = ganjil, t = ganjil
=
Bukti:
�−
�
{
+
−
+
+
,
−
sebagai berikut :
Label simpul pada t ganjil :
−
(
)=
�+
{
(
(
−
�+
)=
+
+
+
−
�+
+ + −(
−
+ −(
−
−
+
− −(
+ −
−(
+
−
+
+
)
+
)
+ −
+
)+
, ganjil, ganjil,
∈ �, ∈ �
) , ganjil, genap,
∈ �, ∈ �
, genap, ganjil, ∈ �, ∈ �
, genap, genap, ∈ �, ∈ �
−
−
−
−(
+ + −(
+ −(
− −(
− −
)
−
)
− −
−
)+
, ganjil, ganjil, ∈ �, ∈ �
) , ganjil, genap, ∈ �, ∈ �
, genap, ganjil,
∈ �, ∈ �
, genap, genap, ∈ �, ∈ �
.......................................................................................................... (2)
−
)={
�+
)={
−
� �
.......................................................................................................... (1)
{
(
−
�+
+
, �=
masing – masing pada t ganjil dan t genap
; ;
Berikan label simpuldari graf lobster ��
� = ganjil, t = genap
+
�+
={
+
+
−
−
− +
+
−
+ + +
+
, ganjil,
∈ �,
, genap, ∈ �,
∈�
∈�
.......................................................................................................... (3)
−
�+
−
+
−
− +
−
, ganjil,
, genap,
∈ �,
∈ �,
∈�
∈�
.......................................................................................................... (4)
−
+
−
+
−
−(
−
+(
)
−
)+
, ganjil, ∈ �
, genap,
∈�
.......................................................................................................... (5)
5
Label simpul pada t genap :
−
(
{
(
�+
)=
−
−
−
−
+ −
+ −(
+
+
+
+ + −(
−(
− −(
+ −
+
)+
)
+
)
, ganjil, ganjil, ∈ �, ∈ �
) , ganjil, genap, ∈ �, ∈ �
, genap, ganjil, ∈ �, ∈ �
, genap, genap, ∈ �, ∈ �
.......................................................................................................... (6)
−
−
�+
{
(
−
�+
)=
+
�+
+
+
−
+
+ −(
+
−
−
−
− −
)
+ + −(
−(
− −(
− −
−
)+
)
−
, ganjil, ganjil, ∈ �, ∈ �
) , ganjil, genap, ∈ �, ∈ �
, genap, ganjil, ∈ �, ∈ �
, genap, genap, ∈ �, ∈ �
.......................................................................................................... (7)
�+
)={
−
+
−
+
−
−
+
− +
+
, ganjil, ∈ �,
, genap,
∈�
∈ �,
∈�
, ganjil,
∈ �,
.......................................................................................................... (8)
(
)={
�+
−
+
−
+
−
− +
+ + +
−
, genap,
∈ �,
∈�
∈�
.......................................................................................................... (9)
�+
={
−
+
−
+
−
+ +( )
, ganjil, ∈ �
− −( )+
, genap, ∈ �
.......................................................................................................... (10)
Dengan label tersebut diperoleh :
�
={ �
3.2.
+
+
�
−
−
+
−
− +
+ −
,
,
� = ganjil, t = ganjil
� = ganjil, t = genap
, �= � �
PTBA b-Busur Berurutan pada Graf Lobster �� �; , ;
Graf lobster ��
; , ; , adalah graf lobster teratur dengan � menyatakan banyak
simpul pada lintasan, 2 menyatakan banyak simpul berjarak 1 dari setiap simpul lintasan, r
menyatakan banyak daun pada simpul terjauh dari simpul lintasan pada simpul pertama, s
6
menyatakan banyak daun pada simpul terjauh dari simpul lintasan pada simpul kedua dan t
menyatakan panjang maksimum (jarak) dari simpul lintasan.
1
v1t
v1t2
u1t1
u1t2
u1t3
u1t
...
...
v1t
v13
v1tr
v12
u12
u1tr
u13
1
2t
v
v2t2
C1
v11
u2t1
u2t2
u2t3
u11
...
u2t
...
v2t
v2tr
v23
v22
u22
u2tr
u23
1
u3t1
u3t2
u3t3
v3t
C2
v21
v3t2
u21
u3t
...
...
v3t
v3t r
v33
v32
u32
u3tr
u33
1
nt
v
vnt2
C3
v31
unt1
unt2
unt3
u31
unt
...
...
vnt
vnt r
vn3
vn2
un2
Cn
vn1
untr
un3
un1
; , ;
Gambar 2 : Penotasian simpul pada graf lobster ��
; , ;
Banyaknya simpul pada graf lobster ��
−
dan banyaknya busur adalah
=
Bukti:
�−
+ +
�−
−
(
�+
)=
{
−
�+
+ +
+ +
+ +
−
,
−
sebagai berikut :
Label simpul pada t ganjil :
−
+ +
,
+
Berikan label simpul dari graf lobster ��
−
−
−
−(
=�
+ +
−
− .
+ +
+ −(
− −(
)
+
)
+ −
+
� = ganjil, t = ganjil
� = ganjil, t = genap
, �=
� �
masing – masing pada t ganjil dan t genap
; , ;
+ + −(
+ −
=� +� + � −�=�
memiliki PTBA b-Busur Berurutan dengan
+ + + −
+ + −
�
+ +
{
= � +� + � −�−
; , ;
Teorema 3.2 Setiap graf Lobster ��
adalah
)+
, ganjil, ganjil,
∈ �, ∈ �
, genap, ganjil,
∈ �, ∈ �
) , ganjil, genap, ∈ �, ∈ �
, genap, genap,
∈ �, ∈ �
.......................................................................................................... (11)
7
−
(
(
)={
−
+ +
+ +
�+
+ +
{
(
−
�+
)=
+ +
+ + −(
−
+ −(
−
−
− −(
− −
−(
)
−
)
− −
−
)+
, ganjil, ganjil,
∈ �, ∈ �
, genap, ganjil,
∈ �, ∈ �
) , ganjil, genap, ∈ �, ∈ �
, genap, genap, ∈ �, ∈ �
.......................................................................................................... (12)
−
+ +
+ +
�+
)={
+
−
− − − +
+
, ganjil,
∈ �,
, genap, ∈ �,
∈�
∈�
.......................................................................................................... (13)
−
+ +
−
+ +
�+
+ + +
−
−
− +
, ganjil,
∈ �,
, genap, ∈ �,
∈�
∈�
.......................................................................................................... (14)
−
�+
={
−
+ +
+ +
−
−
−(
−
+(
)
−
)+
, ganjil, ∈ �
, genap, ∈ �
.......................................................................................................... (15)
Label simpul pada t genap:
−
(
�+
)=
{
(
)=
)={
−
+ +
−
−
− −(
+ +
+ +
+ −
+ −(
−
+ + −(
−(
+ −
+
)+
)
)
+
, ganjil, ganjil, ∈ �, ∈ �
) , ganjil, genap, ∈ �, ∈ �
, genap, ganjil, ∈ �, ∈ �
, genap, genap, ∈ �, ∈ �
.......................................................................................................... (16)
−
�+
{
(
�+
−
+ +
�+
�+
+ +
−
−
+ +
+ +
+ +
−
+ −(
−
−
− −
)
+ + −(
−(
− −(
− −
−
)+
)
−
, ganjil, ganjil, ∈ �, ∈ �
) , ganjil, genap, ∈ �, ∈ �
, genap, ganjil, ∈ �, ∈ �
, genap, genap, ∈ �, ∈ �
.......................................................................................................... (17)
−
+ +
+ +
−
−
+
− − − +
+
, ganjil, ∈ �,
, genap,
∈ �,
∈�
∈�
.......................................................................................................... (18)
8
−
�+
)={
(
+ +
+ +
−
−
− +
+ + +
−
, ganjil, ∈ �,
, genap,
∈ �,
∈�
∈�
.......................................................................................................... (19)
�+
={
−
+ +
+ +
+ +( )
−
, ganjil, ∈ �
− −( )+
−
, genap, ∈ �
.......................................................................................................... (20)
Dengan label tersebut diperoleh :
={
IV.
Kesimpulan
� + + − + + −
� + + − − − +
� + + −
,
,
,
� = ganjil, t = ganjil
� = ganjil, t = genap
�= � �
Berdasarkan penelitian yang telah dilakukan dapat disimpulkan bahwa untuk graf lobster
��
; ;
dan ��
; , ;
memiliki PTBA b-busur berurutan. Hasil-hasil yang diperoleh diberikan
dalam tabel dibawah ini:
Tabel 1 : PTBA b-busur berurutan pada graf lobster
b
Graf
Lobster
��
�−
�−
; ;
�−
Lobster
��
; , ;
�−
+
�
+ +
�
k
−
+ +
+
−
+
−
+ +
+ +
−
−
−
+
+ + +
−
−
+
Keterangan
�
+
−
+
−
�
+
−
−
+
�
�
+ +
�
+ +
�
+
−
−
+ +
−
+
+ −
−
− +
−
n ganjil
t ganjil
n ganjil
t genap
n genap
n ganjil
t ganjil
n ganjil
t genap
n genap
9
DAFTAR PUSTAKA
[1]
Khan, N., Pal, A., & Pal, M., 2009, Edge Colouring of Cactus Graphs.
[2]
Rachmawati, Syarifani., Pelabelan Total Busur-Ajaib B-Busur-Berurutan (PTBA B-Busur
[3]
Berurutan) Pada Graf Lobster �� ;
Dan �� ; ,
, 2012, FMIPA UI, Depok.
Silaban, D. R, & Sugeng, K. A., Pelabelan Total Busur Berurutan Busur Ajaib Pada Graf
Terhubung Bukan Graf Pohon, 2010.
[4]
Sugeng, K.A., & Miller, M., 2008, On Consecutive Edge Magic Total Labeling Of Graph,
Journal Of Discrete Algoritms.
10