Directory UMM :Journals:Journal_of_mathematics:VMJ:

Владикавказский математический журнал
2011, Том 13, Выпуск 1, С. 3–12
УДК 519.633

ЛОКАЛЬНО-ОДНОМЕРНАЯ СХЕМА
ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ТЕПЛОПРОВОДНОСТИ
С КРАЕВЫМИ УСЛОВИЯМИ ТРЕТЬЕГО РОДА
А. К. Баззаев

Посвящается девяностолетию со дня
рождения Глеба Павловича Акилова
В данной статье рассматриваются локально-одномерные схемы для уравнения теплопроводности
с незнакоопределенным оператором в эллиптической части. Получена априорная оценка для их
решения. Доказаны устойчивость и сходимость решения разностной задачи.
Ключевые слова: локально-одномерная схема, третья краевая задача, уравнение теплопроводности, устойчивость и сходимость разностных схем.

1. Локально-одномерная разностная схема
В цилиндре QT = G × (0, T ], основанием которого является прямоугольный параллелепипед G = {x = (x1 , x2 , . . . , xp ) : 0 < xα < ℓα , α = 1, 2, . . . , p} с границей Γ, рассмотрим
задачу:
∂u
= Lu + f (x, t), (x, t) ∈ QT ,

(1)
∂t
(
∂u
= β−α (x, t) u(x, t) − µ−α (x, t),
xα = 0,
kα (x, t) ∂x
α
(2)
∂u
=
β
(x,
t)
u(x,
t)
−
µ
(x,
t),

x
=
ℓ
,
−kα (x, t) ∂x
+α
+α
α
α
α
u(x, 0) = u0 (x),
где
Lu =

p
X

Lα u,

α=1

(3)



∂
∂u
Lα u =
kα (x, t)
− qα (x, t)u,
∂xα
∂xα

kα (x, t), qα (x, t), f (x, t), β±α (x, t) — заданные функции x и t такие, что
0 < c0 6 kα (x, t) 6 c1 ,
¯ T ),
kα (x, t) ∈ C 3,1 (Q

|qα |, |β±α | 6 c2 ,

¯ T ),
qα (x, t), f (x, t) ∈ C 2,1 (Q

α = 1, 2, . . . , p ,

¯T = G
¯ × [0, T ], G
¯ = G + Γ,
где Q
— класс функций, непрерывных вместе со своими
частными производными порядков m и n по x и по t соответственно. Такие несколько
завышенные условия гладкости потребуются при построении разностной схемы второго
порядка аппроксимации.
C m,n

c 2011 Баззаев А. К.


4

Баззаев А. К.

Задача (1)–(3) рассматривалась в работе [1] в случае, когда q α > q∗ > 0, β±α > 0,
> 0, α = 1, 2, . . . , p. А в работах [2] и [3] рассматривались локально-одномерные
схемы (ЛОС) для нагруженного уравнения теплопроводности и для уравнения диффузии дробного порядка соответственно.
Пространственную сетку выберем равномерной по каждому направлению Ox α с шагом hα = ℓα /Nα , α = 1, 2, . . . , p.
2 +β 2
β−α
+α

o
n
α)
ω
¯ α = x(i
=
i
h
:
i

=
0,
1,
.
.
.
,
N
α α
α
α ,
α

ω
¯h =

n
o
α)
ωα = x(i

=
i
h
:
i
=
1,
.
.
.
,
N
−
1
,
α α
α
α
α
(

hα ,
~α =
hα /2,

p
Y

ω
¯α,

α=1
p
Y

ωh =

ωα ,

α=1

iα = 1, 2, . . . , Nα − 1,
iα = 0, Nα ,

ωα — множество внутренних по отдельному направлению x α узлов, γα — множество граничных по отдельному направлению xα узлов, ω
¯ α — множество всех внутренних и граничных по отдельному направлению xα узлов, ωh — множество всех внутренних узлов,
ω
¯ h — множество всех внутренних и граничных узлов (по всем направлениям вместе).
На отрезке [0, T ] также введем равномерную сетку ω
¯ τ = {tj = jτ, j = 0, 1, . . . , j0 }
с шагом τ = T /j0 . Каждый из отрезков [tj , tj+1 ] разобьем
на p iчастей, введя точки

tj+ αp = tj +

α
p

τ , α = 1, 2, . . . , p − 1, и обозначим ∆α = tj+ α−1 , tj+ αp , α = 1, 2, . . . , p.
p

Уравнение (1) перепишем в виде
p
X

Pα u = 0,

Pα u =

α=1

1 ∂u
− Lα u − f α ,
p ∂t

p
X

fα = f.

α=1

Будем последовательно решать задачи [6]
Pα v(α) =

1 ∂v(α)
− Lα v(α) − fα = 0, t ∈ ∆α , α = 1, 2, . . . , p,
p ∂t
( ∂v(α)
kα ∂xα = β−α v(α) − µ−α ,
xα = 0,
−kα

∂v(α)
∂xα

= β+α v(α) − µ+α , xα = ℓα ,

(4)

(5)

полагая при этом
v(1) (x, 0) = u0 (x),




v(α) x, tj+ α−1 = v(α−1) x, tj+ α−1 ,
p

α = 2, 3, . . . , p,

p

(6)

v(1) (x, tj ) = v(p) (x, tj ).

Аппроксимируем
каждое

i уравнение (4) номера α двухслойной неявной схемой на полуинтервале tj+ α−1 , tj+ αp , тогда получим цепочку p одномерных разностных уравнений
p

y

j+ α
p

−y
τ

j+ α−1
p

α

j+ α
p

= Λα y j+ p + ϕα

,

α = 1, 2, . . . , p,

Λα y = (aα yx¯α )xα − dα y,

(7)

5

Локально-одномерная схема для уравнения теплопроводности

где коэффициенты aα — сеточные функции, которые выбираются из условий второго
порядка аппроксимации на равномерной сетке. Можно использовать следующую аппроксимацию коэффициентов kα (x, t) [6]:


aα = kα x1 , . . . , xα−1 , xα − 0.5hα , xα+1 , xp , t¯ , t¯ = tj+1/2 .

К уравнению (7) надо присоединить граничные и начальные условия. Запишем разностный аналог для граничных условий (5):

α
α
a(1α ) y j+ p = β y j+ p − µ ,
xα = 0,
−α 0
−α
xα ,0
(8)
α
α
j+
j+
−a(Nα ) y p = β y p − µ , x = ℓ .
+α Nα
+α
α
α
x
¯α ,Nα
Условия (8) имеют порядок аппроксимации O(h α ). Повысим порядок аппроксимации до
O(h2α ) на решениях уравнения (4) при каком-либо α [7]:
j+ α

j+ α

p
a(1α ) v(α)xp α ,0 = β−α v(α),0
− µ−α + O(hα );

(α)

a(1α ) = k1/2 = k + k ′
1 − v0
v(α)
(α)

hα
a(1α ) v(α)xα ,0

h2
hα
+ k ′′ α + O(h3α );
2
8

hα
+ O(h2α );
2
hα
′
′
= k (α) v(α),0
+ (k (α) v(α)
)′
+ O(h2α );
2
′
′′
≡ v(α)xα ,0 = v(α)
+ v(α)

j+ α

′
′
)′ + O(h2α )
k(α) v(α)
= a(1α ) v(α)xp α ,0 − 0.5hα (k (α) v(α)
!
j+ α
p
α
∂v
j+
1
(α)
= a(1α ) v(α)xp α ,0 − 0.5hα
+ qα v(α) − fα + O(h2α ),
p ∂t
′
где v(α)
=
Итак,

∂v(α)
∂xα ,

j+ α
a(1α ) v(α) pxα ,0

′′ =
v(α)

∂ 2 v(α)
,
∂x2α

− 0.5hα



k′ =

j+ α
v(α)t¯p

∂k (α)
∂xα ,

k ′′ =

+ qα v(α) − fα



∂ 2 k (α)
.
∂x2α
j+ α

p
= β−α v(α),0
− µ−α + O(h2α ) + O(hα τ ).

(9)

Отбросив величины порядка малости O(h2α ) и O(hα τ ) и заменив v(α) на y, перепишем (9)
в следующем виде:
α

α

α

j+
j+
j+
a(1α ) yxα ,0p − 0.5hα yt¯,0 p = β¯−α y0 p − µ−α − 0.5hα fα,0 ,

или

α

j+ α
yt¯,0 p

=

α

j+
j+
a(1α ) yxα ,0p − β¯−α y0 p

0.5hα

µ−α
+ fα,0 ,
0.5hα
Аналогично при xα = ℓα имеем
α

где µ
¯ +α =

µ+α
0.5hα

=−

xα = 0,

β¯−α = β−α + 0.5hα d(0)
α .

µ
¯−α =

j+ α
yt¯,Nαp

+µ
¯−α ,

α

j+
j+ p
+ β¯+α yNα p
a(Nα ) yx¯α ,N
α

0.5hα

(N )
+ fα,Nα , β¯+α = β+α + 0.5hα dα α .

+µ
¯+α ,

xα = 0,

6

Баззаев А. К.
Итак, получили разностный аналог задачи (4)–(6):

α
j+ α
j+ α


yt¯ p = Λ(α) y j+ p + ϕα p ,
α = 1, 2, . . . , p, xα ∈ ωα ,




j+ α
j+ α
α
p
p
j+
a(1α ) yxα ,0 −β¯−α y0
yt¯,0 p =
+µ
¯−α ,
xα = 0,
0.5hα


α
α

j+
j+
α
p
p

(N )

y j+ p = − a α yx¯α ,Nα +β¯+α yNα + µ
¯+α , xα = ℓα ,
¯
0.5hα
t,Nα
y(x, 0) = u0 (x)

или в краткой записи
(α)

yt¯

α

¯ α y (α) + Φαj+ p ,
=Λ

α = 1, 2, . . . , p, x ∈ ω
¯h,

(10)

y(x, 0) = u0 (x),
где
¯ α y (α)
Λ




(α) = a y (α)

Λ
y
− dα y (α) , xα ∈ ωα ,
α x

¯α
 α
xα


(α)
(α)
a(1α ) yxα ,0 −β¯−α y0
= Λ−
y (α) =
,
xα = 0,
α
0.5hα



(α)
(α)
(N
)

¯
α y

x
¯α ,Nα +β+α yNα
(α) = − a
, xα = ℓ α ,
Λ+
αy
0.5hα

j+ α
p


, xα ∈ ω α ,
ϕ
α

j+ α
p
Φα = µ
¯−α ,
xα = 0,


µ
¯+α ,
xα = ℓ α .

2. Погрешность аппроксимации ЛОС
j+ α

j+ α

j+ α

Характеристикой
точности решения ЛОС является разность z p = y p − u α p ,
j+
j+ α
где u p — решение исходной дифференциальной задачи (1)–(3). Подставляя y p =
α
α
j+
j+
z p + u p в разностные уравнения (7), получим для погрешности уравнение
α

z j+ p − z j+
τ
j+ α

α

α

где ψα p = Λα uj+ p + ϕj+ p −
Обозначая

u

j+ α
p

◦
ψα

и замечая, что

Pp

◦

=


◦
j+ α
ψα + Λα u p

=

α=1 ψα = 0, если

j+ α
ψα p

− Lα u

j+ 21

j+ α−1
p



= Λα z

j+ α
p

j+ α
p

+ ψα

,

.

1 ∂u
Lα u + f α −
p ∂t

Pp

j+ α
p

= Λα u

−u
τ

α−1
p

j+ 1
2

j+ α
p

α=1 fα = f , представим ψα = ψα

+

j+ α
ϕα p

j+ α
p

−

u

−u
τ

α

  j+ α
uj+ p
j+ 21
p
−
+ ϕα −fα

j+ α−1
p

◦

◦

◦

∗

= ψα + ψα . Тогда

+ ψα − ψα
α−1
  1!
◦
∗
− uj+ p
1 ∂u j+ 2
= ψα + ψα ,
−
τ
p ∂t

Локально-одномерная схема для уравнения теплопроводности

  j+ α
  j+ α j+ α−1
∗
α
1
j+ 1
p −u
p
где ψα = Λα uj+ p − Lα uj+ 2 + ϕα p − fα 2 − u
−
τ
Очевидно, что

ψα∗ = O(h2α + τ ),
p
X

ψ=

ψα =

α=1

p
X

α=1

ψα◦ = O(1).

7

1
1 ∂u j+ 2
p ∂t



.



ψα∗ = O |h|2 + τ .

Запишем граничное условие при xα = 0 следующим образом:
(α)

0.5hα yt¯

= a(1α ) yx(α)
− β¯−α y0 + 0.5hα fα,0 + µ−α .
α,0

α

α

(11)

α

Пусть z j+ p = y j+ p − uj+ p , где u — решение исходной задачи (1)–(3). Подставим
α
α
j+ α
y p = z j+ p + uj+ p в (11). Тогда получим
j+ α
p

0.5hα zt¯

j+ α

j+ α
p

p
α)
= a(1
α zxα,0 − β−α z0

j+ α
p

−0.5hα dα,0 u0

j+ α
p

− 0.5hα ut¯

j+ α
p

− 0.5hα dα,0 z0

j+ α
p

− β−α u0

j+ α

p
α)
+ a(1
α uxα,0 + 0.5hα fα,0 + µ−α .

К правой части полученного выражения добавим и вычтем
◦
0.5hα ψ−α

= 0.5hα



 1


∂u
1 ∂u j+ 2
∂
kα
− qα u + fα −
.
∂xα
∂xα
p ∂t 0

Тогда


ψ−α = 0.5hα fα −

j+ α
ut¯ p



j+ α

j+ α
p

p
α)
+ a(1
α uxα,0 − β−α u0

j+ α
p

− 0.5hα dα,0 u0

+ µ−α



 1
◦
∂u
1 ∂u j+ 2
∂
kα
− qα u + fα −
−0.5hα
+ 0.5hα ψ−α
∂xα
∂xα
p ∂t


α
α
j+ α
j+ α
j+
j+ p
p
p
α)
= 0.5hα fα − ut¯ p + a(1
−
0.5h
d
u
+ µ−α
−
β
u
u
x
α
α,0
−α
α,0
α
0
0




j+ 1

◦
2
j+ α
j+ α
∂u
∂
− 0.5hα fα − ut¯ p + 0.5hα qα u0 p + O(hα τ )+0.5hα ψ−α
kα
−0.5hα
∂xα
∂xα

j+ 1

α
◦
2
j+ α
∂u
∂
p
(1α ) j+ p
kα
+ µ−α − 0.5hα
+ 0.5hα ψ−α +O(hα τ )
= aα uxα,0 − β−α u0
∂xα
∂xα

j+ α

 α
j+ α
α
p
j+ p
∂
∂u
∂u j+ p
∂
∂u p
− β−α u0
+ 0.5hα
kα
kα
+ µ−α − 0.5hα
= kα
∂xα
∂xα
∂xα
∂xα
∂xα
"
#
α
j+
◦
j+ α
∂u p
+ 0.5hα ψ−α +O(h2α ) + O(hα τ ) = kα
− β−α u0 p + µ−α
∂xα


xα =0

◦
+ 0.5hα ψ−α +O(hα τ ) +

O(h2α ).

В силу граничных условий (2) выражение, стоящее в квадратных скобках, есть нуль.
◦

∗ , ψ ∗ = O(h2 + τ ) + O(h τ ).
Поэтому ψ−α = 0.5hα ψ−α +ψ−α
α
−α
α
Итак,
◦
j+ α
j+ α
j+ α
p
p
∗
α)
¯
0.5hα zt,0 p = a(1
+ 0.5hα ψ−α +ψ−α
.
α zxα ,0 − β−α z0

8

Баззаев А. К.

Или

j+ α

zt¯,0 p = Λ−
αz

j+ α
p

◦

∗
ψ−α
.
0.5hα

(12)

◦

∗
ψ+α
.
0.5hα

(13)

+ ψ−α ,

ψ−α = ψ−α +

p
zt¯,Nαp = Λ+
α zNα + ψ+α ,

ψ+α = ψ+α +

Аналогично при xα = ℓα имеем
j+ α

j+ α

3. Априорная оценка
j+ α

где

Умножив уравнение (10) скалярно на y p = y (α) , получим
i
i h
i h
h
(α)
¯ α y (α) , y (α) = Φ(α) , y (α) ,
yt¯ , y (α) − Λ
[u, v] =

X

uvH,

H=

x∈¯
ωh

p
Y

~α ,

[u, v]α =

α=1

Nα
X

(14)

uiα viα ~α .

iα =0

Преобразуем каждое слагаемое тождества (14):
i 1 
h


τ
(α)
2
(α)
y (α)
2
yt¯ , y (α) =
+
yt¯
L2 (¯ω ) ;
L
(¯
ω
)
2
h
h
¯
2
2
t
h
i


¯ α y (α) , y (α) = Λα y (α) , y (α) + Λ− y (α) y (α) ~α + Λ+ y (α) y (α) ~α
Λ
α 0
α
Nα
α
α





(α)
(α) (α)
(α) (α)
α ) (α)
= aα yx¯α
, y (α) − d(i
, y (α) + Λ−
y0 ~α + Λ+
yNα ~α
α y
αy
αy
xα
α
α
i



(α)
(α)
α ) (α)
α)
= − aα , yx2¯α − d(i
, y (α) + aα(Nα ) yx¯α ,Nα yNα − a(1
α y
α yxα,0 y0
α
α


(α) 2
(α)
(α)
(α)
(α)
(1α ) (α) (α)
+aα yxα,0 y0 − β¯−α y0 y0 − aα(Nα ) yx¯α ,Nα yNα − β¯+α yNα







(α) 2
(α) 2
α ) (α)
= − aα , yx2¯α α − d(i
, y (α) − β−α y0
− β+α yNα
α y

(15)

(16)

α

(α)

(α)
−0.5hα d(0)
α y0

− 0.5hα dα(Nα ) yNα
i

h




(α) 2
(α) 2
(α)
α ) (α)
y
y
,
y
−
β
y
= − aα , yx2¯α α − d(i
−
β
.
−α
+α
α
0
Nα
α
i
i
h
h
(α)
(α)
Φ(α) , y (α) = ϕ(α) , y (α) + µ−α y0 + µ+α yNα .
α

α

(17)

Просуммировав (16) и (17) по всем is 6= iα , s = 1, 2, . . . , p, получаем
!
Nα
h
i
X
X
¯ α y (α) , y (α) =
¯ α y (α) y (α) ~α H/~α
Λ
Λ
=−

X 

is 6=iα

aα , yx2¯α

is 6=iα

h

Φ

(α)

,y

(α)

i

=

X h

is 6=iα



iα =0

h

α ) (α)
+ d(i
, y (α)
α y
α

i

α

2

+ β−α y (α) |iα =0


2 
(α)
+β+α y |iα =Nα
H/~α ,
(α)

ϕ

,y

(α)

i

α

+ µ−α y




(α) 

iα =0

+ µ+α y




(α) 

iα =Nα



(18)

H/~α .

(19)

9

Локально-одномерная схема для уравнения теплопроводности
Подставляя (15), (18) и (19) в тождество (14), получаем







2
(α)
2
(α)
2
+ τ
yt¯
L2 (¯ω ) + c0
yx¯α

y
h
L2 (¯
ωh )
L2 (¯
ωh ) t¯



i X 
h
(α) (α)
(α) 
(α) 
+
6 ϕ ,y
µ−α y 
+ µ+α y 
H/~α
iα =0

is 6=iα

h

− dα y

(α)

,y

(α)

i

−

X 

is 6=iα




β−α y (α) 

iα =0

2

iα =Nα




+ β+α y (α) 

Оценим слагаемые, стоящие в правой части (20):
2
i 1
h


ϕ(α) , y (α) 6
ϕ(α)
+
2
L2 (¯
ωh )


X 


µ−α y (α) 
+ µ+α y (α) 
iα =0

is 6=iα

iα =Nα

2 

(20)

H/~α .


1

(α)
2
;
y
2
L2 (¯
ωh )

H/~α

(21)

iα =Nα


2

2 
X  µ2−α µ2+α
y (α) |iα =0
y (α) |iα =Nα
+
+
+
H/~α
6
2
2
2
2
is 6=iα



1 X
µ2−α (tj ) + µ2+α (tj ) H/~α
2
is 6=iα







X
1
1
(α)
2
(α)
2
+
+
ε
yx¯α
+
H/~α
y
ℓα
ε
L2 (α)
L2 (α)
is 6=iα







1
1
1 X
(α)
2
(α)
2
2
2
+
µ−α (tj ) + µ+α (tj ) H/~α + ε
yx¯α
;
+
=
y
2
ℓα
ε
L2 (¯
ωh )
L2 (¯
ωh )
6

(22)

is 6=iα

−

X 

is 6=iα


2
h
i


− dα y (α) , y (α) 6 c2
y (α)




β−α y (α) 

iα =0



(α)
2
6 2C2 ε
yx¯α

L2 (¯
ωh )

2

L2 (ωh )




+ β+α y (α) 

+ 2c2



;

iα =Nα

2 

H/~α



1
1

(α)
2
,
+
y
ℓα
ε
L2 (¯
ωh )

где k·kL2 (α) означает, что норма берется по переменной x α при фиксированных значениях
остальных переменных,


(α)
2
y
x¯α

L2 (¯
ωh )

=


X

(α)
2
y
x¯α

is 6=iα

L2 (α)

H/~α ,



(α)
2
y
x¯α

L2 (α)

=

Nα
X

yx2¯α ~α .

iα =1

Подставляя неравенства (21) и (22) в (20), находим





2
1

(α)
2
(α)
2


6
ϕ(α)
+ c0
yx¯α

y
2
L2 (¯
ωh )
L2 (¯
ωh ) t¯
L2 (¯
ωh )






2
1
1
1
1
1
(α)
+
+
+
+
+ c2 + 2c2
y
2
ℓα
ε
ℓα
ε
L2 (¯
ωh )




1 X 2
(α)
2
+
µ−α (tj ) + µ2+α (tj ) H/~α .
+(2c2 + 1)ε
yx¯α
2
L2 (¯
ωh )
is 6=iα

(23)

10

Баззаев А. К.

Положим



c0
1
1
1
, c3 = + c2 +
+
(1 + 2c2 ).
2(1 + 2c2 )
2
ℓα
ε
Тогда неравенство (23) можно переписать в виде





α−1
2
c0


j+ αp
2
(α)
2
−
y j+ p
+ τ
yx¯α

y

2
L2 (¯
ωh )
L2 (¯
ωh )
L2 (¯
ωh )

2
2
X


τ
τ




6
ϕ(α)
µ2−α + µ2+α H/~α .
+
+ c3 τ
y (α)
L2 (¯
ωh )
2
2
L2 (¯
ωh )
ε=

(24)

is 6=iα

Просуммируем (24) сначала по α = 1, 2, . . . , p:
p
p


X
j
2
j+1
2
c0 X

(α)
2
(α)
2


y
+
c
τ
y
6
y
τ
+
y




3
L2 (¯
ωh )
L2 (¯
ωh )
2 α=1 x¯α L2 (¯ωh )
L2 (¯
ωh )
α=1
+

p
p



τ X
τ X X
(α)
2
+
µ2−α + µ2+α H/~α ,
ϕ
2
2
L2 (¯
ωh )
α=1

а затем по

j′

α=1 is 6=iα

от 0 до j:


2
6
y 0
L2 (¯ω

j
p

c0 X X

j ′ + αp
2
+
τ
yx¯α
L2 (¯
ωh )
2 ′
L2 (¯
ωh )

j+1
2
y
h)

+ c3

j
X

j =0

τ

j ′ =0

p
X

α=1

α=1

j
p

1 X X

j ′ + αp
2
τ
+
ϕ

2 ′
L2 (¯
ωh )
L2 (¯
ωh )
α=1


j ′ + αp
2
y


(25)

j =0

j
p


1X X X
+
µ2−α (tj ′ ) + µ2+α (tj ′ ) H/~α .
τ
2 ′
j =0

α=1 is 6=iα

Из (25), пользуясь дискретным аналогом леммы Гронуолла (см. [4, с. 171]) при малых
τ 6 τ0 , находим требуемую оценку

j
p
j
p
′ α

X
X
X
X
0
2
j+1
2
j ′ + αp
2
j + p
2


y
+
y
τ
6
M
ϕ
+
τ
y



x¯α
L2 (¯
ωh )
L2 (¯
ωh )
j ′ =0

L2 (¯
ωh )

α=1

j ′ =0

α=1

L2 (¯
ωh )

(26)


j
p X
X
X


2
2
′
′
µ−α (tj ) + µ+α (tj ) H/~α ,
+
τ
j ′ =0

α=1 is 6=iα

где M зависит от размерности области.

4. Сходимость ЛОС
По аналогии с [5, с. 528] представим решение задачи для погрешности z
(α)

zt¯
где

j+ α
p

¯ α z (α) + Ψα
=Λ



Λα , xα ∈ ωα ,
¯
Λα = Λ−
α , xα = 0,

 +
Λα , xα = ℓα ,
◦

∗

ψα = ψα + ψα ,

◦

j+ α
p

Ψα

ψα = O(1),

,



xα ∈ ω α ,
ψα ,
= ψ−α , xα = 0,


ψ+α , xα = ℓα ,
∗

ψα = O(h2α + τ ),

j+ α
p

:

11

Локально-одномерная схема для уравнения теплопроводности

◦
ψ−α = ψ−α
+
∗
ψ±α

∗
ψ−α
,
0.5hα

O(h2α ) +

=

◦
ψ+α = ψ+α
+

O(hα τ ),

p
X

∗
ψ+α
,
0.5hα

◦
ψ±α
= 0,

α=1
j+ α
p

, где η(α) определяется условиями
в виде суммы z(α) = v(α) + η(α) , z(α) = z
( η −η
(α)
(α−1)
= Ψ◦α , x ∈ ωh + γα , α = 1, 2, . . . , p,
τ
(27)
η(x, 0) = 0,

◦

xα ∈ ω α ,
ψα ,
◦
◦
Ψα = ψ−α , xα = 0,

 ◦
ψ+α , xα = ℓα .


Из (27) следует, что η j+1 = η(p) = η j + τ ψ1 ◦ + ψ2 ◦ + . . . + ψp ◦ = η j = . . . = η 0 = 0.
Функция v(α) определяется условиями
v(α) − v(α−1)
e α, Ψ
e α = Λα η(α) + ψα∗ , xα ∈ ωα ,
= Λα v(α) + Ψ
τ
∗
v(α) − v(α−1)
ψ−α
−
e
e
= Λ−
v
+
Ψ
,
Ψ
=
Λ
η
+
, xα = 0,
−α
−α
(α)
(α)
α
α
τ
0.5hα
∗
v(α) − v(α−1)
ψ+α
+
e
e
= Λ+
v
+
Ψ
,
Ψ
=
Λ
η
+
, xα = ℓ α ,
+α
+α
α (α)
α (α)
τ
0.5hα
v(x, 0) = 0.

(28)
(29)
(30)
(31)

Решение задачи (28)–(31) оценим с помощью оценки (26)
j
p
′ α
X
X
j + p
2
+
τ
vx¯α
L2 (¯
ωh )

j+1
2
v

6M

j
p
X
X

2
e α

Ψ
τ
L2 (¯
ω

j ′ =0

где

α=1
∗

h

α)
e −α = ψα +a(1
Ψ
η(α)
α

∗

j ′ =0

!
j
p X 

X
X
2
2
e (tj ′ ) H/~α ,
e (tj ′ ) + Ψ
+
τ
Ψ
+α
−α
)
j ′ =0




e +α = ψα −a(Nα ) η(α)
Ψ
α

L2 (¯
ωh )

α=1

xα,0




(32)

α=1 iγ 6=iα



2
− β−α η(α),0 − d(0)
α η(α),0 = O hα + τ ,

x
¯α,Nα



− β+α η(α),Nα − dα(Nα ) η(α),Nα = O h2α + τ .

Так как η j = 0, η(α) = O(τ ), kz j k 6 kv j k, то из оценки (32) следует следующая
¯ T решение u(x, t)
Теорема. Пусть задача (1)–(3) имеет единственное непрерывное в Q
∂2f
∂2u
∂4u
∂3u
¯
и существуют непрерывные в QT производные ∂t2 , ∂x2 ∂x2 , ∂x2 ∂t , ∂x2 , 1 6 α, ν 6 p.
α
ν
α
α
Тогда разностная схема (10) сходится со скоростью O(|h| 2 + τ ), так что
j+1
2


y
− uj+1
1 6 M |h|2 + τ , |h|2 = ~21 + ~22 + . . . + ~2p ,
где

j+1
2
j+1
2
y
=
y
L2 (¯
ω
1

h

+
)

j
p
′ α
X
X
j + p
2
τ
yx¯α

j ′ =0

α=1

L2 (¯
ωh )

.

12

Баззаев А. К.
Литература
1. Фрязинов И. В. О разностной аппроксимации граничных условий для третьей краевой задачи //
Журн. вычислит. мат. и мат. физ.—1964.—Т. 4.—С. 1106–1112.
2. Шхануков-Лафишев М. Х. Локально-одномерная схема для нагруженного уравнения теплопроводности с краевыми условиями III рода // Журн. вычислит. мат. и мат. физ.—2009.—Т. 49.—
С. 1223–1231.
3. Лафишева М. М., Шхануков-Лафишев М. Х. Локально-одномерная схема для уравнения диффузии дробного порядка // Журн. вычислит. мат. и мат. физ.—2008.—Т. 48, № 10.—С. 1878–1887.
4. Самарский А. А., Гулин А. В. Устойчивость разностных схем.—М.: Наука, 1973.—416 с.
5. Самарский А. А. Теория разностных схем.—М.: Наука, 1977.—656 с.
6. Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Аддитивные схемы для задач математической физики.—М.:
Наука, 2001.—320 с.
7. Самарский А. А., Вабищевич П. Н. Вычислительная теплопередача.—М.: Едиториал УРСС,
2003.—784 с.

Статья поступила 5 июня 2009 г.
Баззаев Александр Казбекович
Северо-Осетинский государственный университет
им. К. Л. Хетагурова,
ассистент кафедры прикладной математики
РОССИЯ, 362025, Владикавказ, ул. Ватутина, 46
E-mail: alexander.bazzaev@gmail.com

LOCAL ONE-DIMENSIONAL SCHEME FOR THE THIRD
BOUNDARY VALUE PROBLEM FOR THE HEAT EQUATION
Bazzaev A. K.
In this paper we study the third boundary value problem for the heat equation with variable coefficients.
By the method of energy inequalities, we find a priori estimate for difference problem. Stability and
convergence of local one-dimensional schemes for the considered equation are proved.
Key words: local one-dimensional scheme, the third boundary value problem, the heat equation, a priori
estimate, stability, convergence.