TUGAS URAIAN MATEMATIKA TUGAS URAIAN MATEMATIKA
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Salah satu upaya untuk meningkatkan pemahaman ilmu dan teknologi yaitu melalui
pemahaman berbagai macam ilmu pengetahuan secara interdisiplin. Ilmu matematika besar
sekali manfaatnya di dalam memahami ilmu dan teknologi sekaligus. Dalam memahami ilmu
matematika disebutkan batas usia. Hal ini berarti pemahaman ilmu matematika dapat dimulai
sejak dini.
Matematika sebagai salah satu ilmu pengetahuan merupakan salah satu sarana untuk
meningkatkan kemampuan berpikir setiap orang, oleh karena itu kesadaran untuk mampu
mengetahui dan memahami matematika bagi siswa sangat diharapkan sudah bertumbuh sejak
usia dini. Membentuk pemahaman yang utuh pada anak dalam pelajaran matematika
diperlukan kecintaan terlebih dahulu terhadap matematika.
Salah satu materi yang menjadi dasar matematika sekolah adalah bilangan, pemahaman
yang baik tentang konsep bilangan akan sangat membantu dalam memahami konsep-konsep
yang lain, seperti pada materi KPK dan FPB yang merupakan materi yang diajarkan dari
tingkat SD sampai SMP dan banyak digunakan untuk memahami konsep matematika SMA.
Oleh karena itu, makalah ini akan membahas tentang permasalahan tersebut di atas, yakni
tentang Faktor Persekutuan Terbesar dan Kelipatan Persekutuan Terkecil.
B. Rumusan Masalah
1. Apakah yang dimaksud dengan Faktor Persekutuan Terbesar?
2. Apakah yang dimaksud dengan Kelipatan Persekutuan Terkecil?
3. Bagaimana cara menentukan Faktor Persekutuan Terbesar?
4. Bagaimana cara menentukan Kelipatan Persekutuan Terkecil?
C. Tujuan Masalah
1. Untuk mengetahui apakah yang dimaksud dengan Faktor Persekutuan Terbesar?
2. Untuk mengetahui apakah yang dimaksud dengan Kelipatan Persekutuan Terkecil?
3. Untuk mengetahui bagaimana cara menentukan Faktor Persekutuan Terbesar?
4. Untuk mengetahui bagaimana cara menentukan Kelipatan Persekutuan Terkecil?
1
URAIAN KPK DAN FPB
A. KPK
KPK adalah Kelipatan Persekutuan Terkecil.
Kelipatan adalah penjumlahan oleh bilangan itu sendiri
Contoh Kelipatan :
Soal 1.
Kelipatan 1 = 1, 2, 3, 4, 5, dst
Soal 2.
Kelipatan 2 = 2, 4, 6, 8, 10, dst
Soal 3.
Kelipatan 3 = 3, 6, 9, 12, 15, dst
Soal 4.
Kelipatan 4 = 4, 8, 12, 16, 20, dst
Soal 5.
Kelipatan 5 = 5, 10, 15, 20, 25, dst
Kelipatan Persekutuan adalah bilangan yang sama dari kelipatan yang berbeda
Contoh Kelipatan Persekutuan :
Soal 1.
Kelipatan Persekutuan 4 dan 6 ?
Kelipatan 4 = 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, dst
Kelipatan 6 = 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, dst
Kelipatan Persekutuan 4 dan 6 = 12, 24, 36, dst
Soal 2.
Kelipatan Persekutuan 3 dan 5 ?
Kelipatan 3 = 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, dst
Kelipatan 5 = 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, dst
Kelipatan Persekutuan 3 dan 5 = 15, 30, dst
Soal 3.
Kelipatan Persekutuan 6 dan 9 ?
Kelipatan 6 = 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, dst
Kelipatan 9 = 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, dst
Kelipatan Persekutuan 6 dan 9 = 18, 36, 54, dst
Soal 4.
Kelipatan Persekutuan 3, 4 dan 6 ?
Kelipatan 3 = 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, dst
Kelipatan 4 = 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, dst
Kelipatan 6 = 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, dst
Kelipatan Persekutuan 3, 4 dan 6 = 12, 24, dst
2
Soal 5.
Kelipatan Persekutuan 2, 3 dan 6 ?
Kelipatan 2 = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, dst
Kelipatan 3 = 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, dst
Kelipatan 6 = 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, dst
Kelipatan Persekutuan 2, 3 dan 6 = 6, 12, 18 dst
KPK adalah bilangan Terkecil yang ada pada Kelipatan Persekutuan
Soal 1.
KPK dari 4 dan 6 ?
Kelipatan Peresekutuan = 12, 24, 36, dst
KPK = 12
Soal 2.
KPK dari 3 dan 5 ?
Kelipatan Peresekutuan = 15, 30, dst
KPK = 15
Soal 3.
KPK dari 6 dan 9 ?
Kelipatan Peresekutuan = 18, 36, 54, dst
KPK = 18
Soal 4.
KPK dari 3, 4 dan 6 ?
Kelipatan Peresekutuan = 12, 24, dst
KPK = 12
Soal 5.
KPK dari 2,3 dan 6 ?
Kelipatan Peresekutuan = 6, 12, 18, dst
KPK = 6
Kesimpulan :
Untuk mencari KPK dari suatu bilangan tentukan terlebih dahulu
1.
Kelipatan
2.
Kelipatan Persekutuan
3.
Tentukan Nilai Terkecil
Cara Alternative Mencari KPK
1. Pohon Faktor
a) Langkah 1 : Membuat Pohon Faktor
b) Langkah 2 : Daftar Faktor dengan Pemangkatan
3
c) Langkah 3 : Mengkalikan setiap faktor yang memiliki pangkat tertinggi
Contoh Soal :
KPK dari 15 dan 20 ?
Langkah 1
Langkah 2
Langkah 3
4
KPK dari 120 dan 126 ?
KPK dari 135, 150 dan 180 ?
2. Tabel
a) Langkah 1 : Membuat
tabel dengan bilangan
pada kolom
b) Langkah 2 : Bagilah
dengan Bilangan Prima
yang sama, letakan pada
baris
c) Langkah 3 : Hasil
pembagian ditulis
dibawah kolom sebaris
dengan pembagi
5
d) Langkah 4 : Bila tidak dapat dibagi maka salin ulang baris yang ada diatasnya
e) Langkah 5 : Lakukan terus sampai kedua bilangan pada kolom menjadi 1
f) Langkah 6 : Kalikan semua bilangan pembagi yang ada dikiri tabel
Contoh Soal :
KPK dari 12 dan 18 ?
Langkah 1
12
18
2
2
12
6
3
18
9
9
Langkah 5
Langkah 2
12
18
2
2
2
3
3
12
6
3
1
1
18
9
9
3
1
Langkah 6
Langkah 3
2
2
12
6
3
18
9
2
2
3
3
12
6
3
1
1
18
9
9
3
1
2x2x3x3=
4 x 9 = 36
KPK 12 dan 18 = 36
Langkah 4
KPK dari 8 dan 12 ?
2
2
2
3
8
4
2
1
1
12
6
3
3
1
2 x 2 x 2 x 3 = 24
KPK dari 20 dan 30 ?
6
2
2
3
5
20
10
5
5
1
30
15
15
5
1
2 x 2 x 3 x 5 = 60
KPK dari 16 dan 18 ?
2
2
2
2
3
3
16
8
4
2
1
1
1
18
9
9
9
9
3
1
2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = 144
B. FPB
FPB adalah Faktor Persekutuan Terbesar
Faktor adalah Bilangan yang habis dibagi oleh bilangan lain
Soal 1. Faktor dari 6 ?
6:1=6
6:2=3
6:3=2
6:6=1
Faktor dari 6 = 1, 2, 3, 6
Soal 2. Faktor dari 8 ?
8:1=8
8:2=4
8:4=2
7
8:8=1
Faktor dari 8 = 1, 2, 4, 8
Soal 3. Faktor dari 12 ?
12 : 1 = 12
12 : 2 = 6
12 : 3 = 4
12 : 4 = 3
12 : 6 = 2
12 : 12 = 1
Faktor dari 12 = 1, 2, 3, 4, 6, 12
Soal 4. Faktor dari 20 ?
20 : 1 = 20
20 : 2 = 10
20 : 4 = 5
20 : 5 = 4
20 : 10 = 2
20 : 20 = 1
Faktor dari 20 = 1, 2, 4, 5, 10, 20
Soal 5. Faktor dari 32 ?
32 : 1 = 32
32 : 2 = 16
32 : 4 = 8
32 : 8 = 4
32 : 16 = 2
32 : 32 = 1
Faktor dari 32 = 1, 2, 4, 8, 16, 32
Faktor Persekutuan adalah bilangan yang sama dari faktor yang berbeda
Soal 1. Faktor Persekutuan dari 12 dan 8 ?
Faktor 12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12
Faktor 8 : 1, 2, 4, 8
8
Faktor persekutuan 12 dan 8 = 1, 2, 4
Soal 2. Faktor Persekutuan dari 6 dan 8 ?
Faktor 6 : 1, 2, 3, 6
Faktor 8 : 1, 2, 4, 8
Faktor persekutuan 6 dan 8 = 1, 2
Soal 3. Faktor Persekutuan dari 12 dan 15 ?
Faktor 12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12
Faktor 15 : 1, 3, 5, 15
Faktor persekutuan 12 dan 15 = 1, 3
Soal 4. Faktor Persekutuan dari 6, 8 dan 12 ?
Faktor 12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12
Faktor 6 : 1, 2, 3, 6
Faktor 8 : 1, 2, 4, 8
Faktor persekutuan 6, 8 dan 12 = 1, 2
Soal 5. Faktor Persekutuan dari 12, 20 dan 32 ?
Faktor 12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12
Faktor 20 : 1, 2, 4, 5, 10, 20
Faktor 32 : 1, 2, 4, 8, 16, 32
Faktor persekutuan 12, 20 dan 32 = 1, 2, 4
FPB adalah bilangan Terbesar yang ada pada Faktor Persekutuan
Soal 1. FPB dari 12 dan 8 ?
Faktor persekutuan 12 dan 8 = 1, 2, 4
FPB = 4
Soal 2. FPB dari 6 dan 8 ?
Faktor persekutuan 6 dan 8 = 1, 2
FPB = 2
Soal 3. FPB Persekutuan dari 12 dan 15 ?
Faktor persekutuan 12 dan 15 = 1, 3
FPB = 3
Soal 4. FPB Persekutuan dari 6, 8 dan 12 ?
Faktor persekutuan 6, 8 dan 12 = 1, 2
9
FPB = 2
Soal 5. FPB Persekutuan dari 12, 20 dan 32 ?
Faktor persekutuan 12, 20 dan 32 = 1, 2, 4
FPB = 4
Kesimpulan :
Untuk mencari FPB dari suatu bilangan tentukan terlebih dahulu
1.
Faktor
2.
Faktor Persekutuan
3.
Tentukan Nilai Terbesar
Cara Alternative Mencari FPB
1. Pohon Faktor
a) Langkah 1 : Membuat Pohon Faktor
b) Langkah 2 : Daftar Faktor dengan Pemangkatan
c) Langkah 3 : Mengkalikan faktor yang sama yang memiliki pangkat terkecil
Contoh Soal
FPB dari 48 dan 60 ?
Langkah 1
Langkah 2
Langkah 3
10
FPB dari 72, 54 dan 36?
FPB =
2. Tabel
a) Langkah 1 : Membuat tabel dengan bilangan pada kolom
b) Langkah 2 : Bagilah dengan Bilangan Prima yang sama, letakan pada baris
c) Langakh 3 : lingkari pembagi bila dapat dibagi oleh semua bilangan
d) Langkah 4 : Hasil pembagian ditulis dibawah kolom sebaris dengan pembagi
e) Langkah 5 : Bila tidak dapat dibagi maka salin ulang baris yang ada diatasnya
f) Langkah 6 : Lakukan terus sampai kedua bilangan pada kolom menjadi 1
g) Langkah 7 : Kalikan semua bilangan yang dilingkari yang ada dikiri tabel
Contoh Soal :
11
FPB dari 12 dan 18 ?
Langkah 1
12
18
Langkah 6
Langkah 4
2
2
12
6
3
18
9
Langkah 2
12
2
2
3
3
12
6
3
1
1
18
9
9
3
1
18
2
Langkah 7
2x3=6
Langkah 5
Langkah 3
12
2
18
2
2
12
6
3
18
9
9
12
FPB 12 dan 18 = 6
FPB dari 8 dan 12 ?
8
12
4
6
2
3
1
3
1
1
20 30
2
10 15
2
5
15
3
5
5
5
1
1
2 x 5 = 10
2
2
2
3
2x2=4
FPB dari 20 dan 30 ?
FPB dari 16 dan 18 ?
2
2
2
2
3
3
2=2
16
8
4
2
1
1
1
18
9
9
9
9
3
1
Kesimpulan :
Kita boleh menggunakan cara yang mana saja, setiap cara memiliki kekurangan dan
kelebihan masing-masing, pilihlah cara yang paling pas dan mudah menurut anda.
CONTOH LATIHAN SOAL
1. Sari dan Mila mengikuti les piano ditempat yang sama. Sari latihan setiap 6 hari
sekali , Mila latihan setiap 4 hari sekali. Jika hari ini mereka les bersama, berapa hari
lagi mereka les bersama kembali?
Penyelesaian:
Diketahui : Sari les 6 hari sekali dan Mila les 4 hari sekali
Ditanya : KPK dari 6 dan 4
Jawab
:6=2X3
4 = 2 X 2 = 22
KPK dari 6 dan 4 = 22 X 3 = 4 X 3 = 12
Jadi mereka les bersama kembali 12 hari kemudian.
2. Terdapat 2 buah lonceng. Lonceng pertama berbunyi setiap 15 menit sekali, lonceng
kedua berbunyi setiap 12 menit sekali. Tiap berapa menit lonceng menyala bersama?
Penyelesaian:
Diketahui : Lonceng pertama berbunyi 15 menit sekali dan Lonceng kedua berbunyi 12 menit
sekali
Ditanya : KPK dari 15 dan 12
Jawab
15 = 3 X 5
12 = 2 X 2 X 3 = 22 X 3
KPK dari 15 dan 12 = 22 X 3 X 5 = 60
Jadi kedua lonceng menyala bersama setiap 60 menit sekali, atau satu jam sekali
3. Bu Santi belanja ke pasar setiap 8 hari sekali, sedangkan Bu Rita belanja setiap 6 hari
sekali. Pada tanggal 7 Juli 2015 mereka berbelanja bersama. Pada tanggal berapa
mereka berbelanja bersama lagi?
Penyelesaian:
Diketahui : Bu Santi ke Pasar setiap 8 hari sekali, Bu Rita setiap 6 hari sekali.
Ditanya : KPK dari 8 dan 6
Jawab
: 8 = 2 X 2 x 2 = 23
6=2X3
KPK dari 8 dan 6 = 23 X 3 = 9 X 3 = 24
Mereka berbelanja setiap 24 hari sekali dan bertemu pada 7 juli 2015.
7 + 24 = 31
Jadi mereka berbelanja bersama lagi pada tanggal 31 juli 2015
Contoh soal cerita materi FPB :
Bu Aminah mempunyai 20 kelengkeng dan 30 anggur, kelengkeng dan anggur akan di
masukkan kedalam plastik dengan jumlah yang sama besar.
a. Berapa plastik yang diperlukan untuk membungkus buah tersebut?
b. Berapa banyak kelengkeng dan anggur pada masing-masing plastik?
Jawab:
Faktorisasi prima dari 20 = 22 x 5
Faktorisasi prima dari 30 = 2 x 3 x 5
FPB dari 20 dan 30 = 2 x 5 = 10 ( kenapa yang dikalikan 2 dan 5, jika belum pahan baca lagi
keatas)
a. Jumlah plastik yang diperlukan adalah 10 plastik
b. Jumlah kelengkeng dalam setiap plastik = 20/10 = 2 jeruk
Jumlah anggur dalam setiap plastik = 30/10 = 3 salak
ULANGAN HARIAN
I.
Berilah tanda silang (x) pada jawaban yang tepat a, b, c, dan d !
1. Bilangan kelipatan 3 yang kurang dari 20 adalah ....
a. 3, 6, 9, 12, 15, 18
b. 2, 6, 8, 12, 15, 18
c. 3, 6, 9, 13, 15, 18
d. 3, 6, 9, 12, 16, 18
2. Bilangan kelipatan 3 yang kurang dari 25 adalah ....
a. 3, 6, 8, 12, 15, 18, 21, 24
b. 3, 6, 9, 11, 15, 18, 21, 24
c. 3, 6, 10, 12, 15, 18, 21, 24
d. 3, 6, 9, 12,15, 18,21, 24
3. Bilangan kelipatan 4 yang kurang dari 25 adalah ....
a. 4 = 4, 8, 11, 16, 20, 24
b. 4 = 4, 8, 12, 16, 20, 24
c. 4 = 4, 8, 12, 15, 20, 24
d. 4 = 4, 8, 12, 16, 19, 24
4. Bilangan kelipatan 6 yang kurang dari 31 adalah ....
a. 6 = 6, 12, 18, 24, 30
b. 6 = 6, 12, 17, 24, 30
c. 6 = 6, 11, 18, 24, 30
d. 6 = 6, 12, 18, 23, 30
5. Bilangan kelipatan 2 yang kurang dari 12 adalah ....
a. 2 = 2, 4, 7, 10, 12, 14
b. 2 = 2, 4, 6, 8, 11, 12, 14
c. 2 = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14
d. 2 = 2, 4, 6, 8, 10, 11, 14
6. Faktor dari 12 adalah ....
a. 1, 2, 3, 4, 7, dan 12
b. 1, 2, 3, 4, 6, dan 12
c. 1, 2, 3, 5, 6, dan 12
d. 1, 2, 4, 6, 7, dan 12
7. Faktor dari 8 adalah ....
a. 1, 2, 5, dan 8
b. 1, 3, 4, dan 8
c. 2, 3, 4, dan 8
d. 1, 2, 4, dan 8
8. Faktor dari 10 adalah ....
a. 1, 2, 4, dan 10
b. 1, 2, 5, dan 10
c. 1, 2, 3, dan 10
d. 1, 2, 5, dan 9
9. Faktor dari 6 adalah ....
a. 1, 2, 4, dan 6
b. 1, 2, 5, dan 6
c. 1, 2, 3, dan 6
d. 1, 2, 3, dan 5
10. Faktor dari 15 adalah ....
a. 1, 3, 5, dan 15
b. 1, 2, 4, dan 15
c. 1, 3, 6, dan 15
d. 1, 3, 4, dan 15
II. Isilah titik-titik dibawah ini!
1. Kelipatan persekutuan dari 3 dan 6 yang kurang dari 25 adalah ..., ..., ...., dan ...
2. Kelipatan persekutuan dari 2 dan 4 yang kurang dari 15 adalah ..., ..., ...., dan ...
3. Kelipatan persekutuan dari 4 dan 6 yang kurang dari 25 adalah ..., ..., ...., dan ...
4. Faktor persekutuan dari 12 dan 8 adalah ..., ..., dan ...
5. Faktor persekutuan dari 12 dan 8 yang nilainya terbesar ...
6. Kelipatan persekutuan dari 4 dan 6 yang terkecil adalah ....
7. Kelipatan persekutuan dari 3 dan 6 yang terkecil adalah ....
8. Kelipatan persekutuan dari 2 dan 4 yang terkecil adalah ....
9. Faktor persekutuan dari 10 dan 6 adalah ..., dan ...
10. Faktor persekutuan dari 10 dan 6 yang nilainya terbesar ...
III. selesaikan soal-soal dibawah ini
1. Tini membeli 16 permen dan 20 cokelat. Permen dan coklat tersebut akan dibungkus
dan dibagikan kepada teman-temannya sama banyak.
Berapa bungkus yang dapat dibuat oleh Tini?
Berapakah jumlah permen dan cokelat masing-masing pada tiap bungkus?
2. Ada dua buah lampu berwarna merah dan kuning. Lampu merah menyala setiap 8
detik sekali kemudian padam, lampu kuning menyala setiap 12 detik sekali kemudian
padam. Pada detik keberapakah kedua lampu menyala bersama-sama?
KUNCI JAWABAN
I.
1. A
2. D
3. B
4. A
5. C
6. B
7. D
8. B
9. C
10. A
II.
1. 6, 12, 18, dan 24
2. 4, 8, dan 12
3. 12, dan 24
4. 1, 2, dan 4
5. 4
6. 12
7. 6
8. 4
9. 1 dan 2
10. 2
III. Jawab:
Soal dapat diselesaikan dengan mencari FPB dari 16 dan 20. FPB dari 16 dan 20
adalah 4.
a. Jadi, banyaknya bungkusan yang dapat dibuat oleh Tini adalah 4 buah.
b. Isi setiap bungkusan adalah :
Permen = 16 : 4 = 4
Coklat = 20 : 4 = 5 buah
1. Jawab:
Soal di atas dapat digambarkan dengan garis bilangan.
Lampu merah ___________________________________________
0 detik
8 detik
16 detik
24 detik
Lampu kuning ___________________________________________
0 detik
12 detik
24 detik
Dari garis bilangan di atas, terlihat bahwa kedua lampu akan menyala bersama-sama
pada detik ke-24.
Cara lain adalah dengan menggunakan KPK
KPK dari 8 dan 12 adalah 24
Maka lampu merah dan kuning meyala bersama-sama pada detik ke 24.
KESIMPULAN
Kelipatan Persekutuan Terkecil, yaitu kelipatan dari suatu bilangan tapi yang nilainya
paling kecil. Untuk menentukan kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan a dan b,
yaitu dengan mencari semua kelipatan dari a dan b, kemudian diidentifikasi dan dikumpulkan
semua kelipatan yang sama. Selanjutnya dari kumpulan itu pilihlah yang terkecil. KPK dari
dua bilangan a dan b ditulis dengan notasi KPK (a, b) atau [a,b]. Sedangkan untuk
menentukan FPB dan KPK ada dua cara yakni dengan factor persekutuan dan kelipatan
persekutuan serta dengan faktorisasi prima.
FPB adalah singkatan dari Faktor Persekutuan Terbesar, yaitu faktor-faktor atau angkaangka pembagi yang paling besar dari suatu bilangan. Untuk menentukan factor persekutuan
terbesar dari dua bilangan a dan b, tentukan dulu factor-faktor dari a dan b, kemudian
identifikasi dan kumpulkan factor yang sama, selanjutnya pilih yang terbesar. Factor
persekutuan terbesar dari a dan b ditulis dengan notasi FPB (a,b) atau (a,b).
DAFTAR PUSTAKA
Hong, K.T. dkk,. Primary Mathematics. Federal Publications (s) PTR. Ltd. Singapore.
http://rumus-matematika.com/cara-mencari-kpk-dan-fpb/
A. Latar Belakang
Salah satu upaya untuk meningkatkan pemahaman ilmu dan teknologi yaitu melalui
pemahaman berbagai macam ilmu pengetahuan secara interdisiplin. Ilmu matematika besar
sekali manfaatnya di dalam memahami ilmu dan teknologi sekaligus. Dalam memahami ilmu
matematika disebutkan batas usia. Hal ini berarti pemahaman ilmu matematika dapat dimulai
sejak dini.
Matematika sebagai salah satu ilmu pengetahuan merupakan salah satu sarana untuk
meningkatkan kemampuan berpikir setiap orang, oleh karena itu kesadaran untuk mampu
mengetahui dan memahami matematika bagi siswa sangat diharapkan sudah bertumbuh sejak
usia dini. Membentuk pemahaman yang utuh pada anak dalam pelajaran matematika
diperlukan kecintaan terlebih dahulu terhadap matematika.
Salah satu materi yang menjadi dasar matematika sekolah adalah bilangan, pemahaman
yang baik tentang konsep bilangan akan sangat membantu dalam memahami konsep-konsep
yang lain, seperti pada materi KPK dan FPB yang merupakan materi yang diajarkan dari
tingkat SD sampai SMP dan banyak digunakan untuk memahami konsep matematika SMA.
Oleh karena itu, makalah ini akan membahas tentang permasalahan tersebut di atas, yakni
tentang Faktor Persekutuan Terbesar dan Kelipatan Persekutuan Terkecil.
B. Rumusan Masalah
1. Apakah yang dimaksud dengan Faktor Persekutuan Terbesar?
2. Apakah yang dimaksud dengan Kelipatan Persekutuan Terkecil?
3. Bagaimana cara menentukan Faktor Persekutuan Terbesar?
4. Bagaimana cara menentukan Kelipatan Persekutuan Terkecil?
C. Tujuan Masalah
1. Untuk mengetahui apakah yang dimaksud dengan Faktor Persekutuan Terbesar?
2. Untuk mengetahui apakah yang dimaksud dengan Kelipatan Persekutuan Terkecil?
3. Untuk mengetahui bagaimana cara menentukan Faktor Persekutuan Terbesar?
4. Untuk mengetahui bagaimana cara menentukan Kelipatan Persekutuan Terkecil?
1
URAIAN KPK DAN FPB
A. KPK
KPK adalah Kelipatan Persekutuan Terkecil.
Kelipatan adalah penjumlahan oleh bilangan itu sendiri
Contoh Kelipatan :
Soal 1.
Kelipatan 1 = 1, 2, 3, 4, 5, dst
Soal 2.
Kelipatan 2 = 2, 4, 6, 8, 10, dst
Soal 3.
Kelipatan 3 = 3, 6, 9, 12, 15, dst
Soal 4.
Kelipatan 4 = 4, 8, 12, 16, 20, dst
Soal 5.
Kelipatan 5 = 5, 10, 15, 20, 25, dst
Kelipatan Persekutuan adalah bilangan yang sama dari kelipatan yang berbeda
Contoh Kelipatan Persekutuan :
Soal 1.
Kelipatan Persekutuan 4 dan 6 ?
Kelipatan 4 = 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, dst
Kelipatan 6 = 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, dst
Kelipatan Persekutuan 4 dan 6 = 12, 24, 36, dst
Soal 2.
Kelipatan Persekutuan 3 dan 5 ?
Kelipatan 3 = 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, dst
Kelipatan 5 = 5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 40, 45, 50, dst
Kelipatan Persekutuan 3 dan 5 = 15, 30, dst
Soal 3.
Kelipatan Persekutuan 6 dan 9 ?
Kelipatan 6 = 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, dst
Kelipatan 9 = 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, dst
Kelipatan Persekutuan 6 dan 9 = 18, 36, 54, dst
Soal 4.
Kelipatan Persekutuan 3, 4 dan 6 ?
Kelipatan 3 = 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, dst
Kelipatan 4 = 4, 8, 12, 16, 20, 24, 28, 32, 36, 40, dst
Kelipatan 6 = 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, dst
Kelipatan Persekutuan 3, 4 dan 6 = 12, 24, dst
2
Soal 5.
Kelipatan Persekutuan 2, 3 dan 6 ?
Kelipatan 2 = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18, 20, dst
Kelipatan 3 = 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, dst
Kelipatan 6 = 6, 12, 18, 24, 30, 36, 42, 48, 54, 60, dst
Kelipatan Persekutuan 2, 3 dan 6 = 6, 12, 18 dst
KPK adalah bilangan Terkecil yang ada pada Kelipatan Persekutuan
Soal 1.
KPK dari 4 dan 6 ?
Kelipatan Peresekutuan = 12, 24, 36, dst
KPK = 12
Soal 2.
KPK dari 3 dan 5 ?
Kelipatan Peresekutuan = 15, 30, dst
KPK = 15
Soal 3.
KPK dari 6 dan 9 ?
Kelipatan Peresekutuan = 18, 36, 54, dst
KPK = 18
Soal 4.
KPK dari 3, 4 dan 6 ?
Kelipatan Peresekutuan = 12, 24, dst
KPK = 12
Soal 5.
KPK dari 2,3 dan 6 ?
Kelipatan Peresekutuan = 6, 12, 18, dst
KPK = 6
Kesimpulan :
Untuk mencari KPK dari suatu bilangan tentukan terlebih dahulu
1.
Kelipatan
2.
Kelipatan Persekutuan
3.
Tentukan Nilai Terkecil
Cara Alternative Mencari KPK
1. Pohon Faktor
a) Langkah 1 : Membuat Pohon Faktor
b) Langkah 2 : Daftar Faktor dengan Pemangkatan
3
c) Langkah 3 : Mengkalikan setiap faktor yang memiliki pangkat tertinggi
Contoh Soal :
KPK dari 15 dan 20 ?
Langkah 1
Langkah 2
Langkah 3
4
KPK dari 120 dan 126 ?
KPK dari 135, 150 dan 180 ?
2. Tabel
a) Langkah 1 : Membuat
tabel dengan bilangan
pada kolom
b) Langkah 2 : Bagilah
dengan Bilangan Prima
yang sama, letakan pada
baris
c) Langkah 3 : Hasil
pembagian ditulis
dibawah kolom sebaris
dengan pembagi
5
d) Langkah 4 : Bila tidak dapat dibagi maka salin ulang baris yang ada diatasnya
e) Langkah 5 : Lakukan terus sampai kedua bilangan pada kolom menjadi 1
f) Langkah 6 : Kalikan semua bilangan pembagi yang ada dikiri tabel
Contoh Soal :
KPK dari 12 dan 18 ?
Langkah 1
12
18
2
2
12
6
3
18
9
9
Langkah 5
Langkah 2
12
18
2
2
2
3
3
12
6
3
1
1
18
9
9
3
1
Langkah 6
Langkah 3
2
2
12
6
3
18
9
2
2
3
3
12
6
3
1
1
18
9
9
3
1
2x2x3x3=
4 x 9 = 36
KPK 12 dan 18 = 36
Langkah 4
KPK dari 8 dan 12 ?
2
2
2
3
8
4
2
1
1
12
6
3
3
1
2 x 2 x 2 x 3 = 24
KPK dari 20 dan 30 ?
6
2
2
3
5
20
10
5
5
1
30
15
15
5
1
2 x 2 x 3 x 5 = 60
KPK dari 16 dan 18 ?
2
2
2
2
3
3
16
8
4
2
1
1
1
18
9
9
9
9
3
1
2 x 2 x 2 x 2 x 3 x 3 = 144
B. FPB
FPB adalah Faktor Persekutuan Terbesar
Faktor adalah Bilangan yang habis dibagi oleh bilangan lain
Soal 1. Faktor dari 6 ?
6:1=6
6:2=3
6:3=2
6:6=1
Faktor dari 6 = 1, 2, 3, 6
Soal 2. Faktor dari 8 ?
8:1=8
8:2=4
8:4=2
7
8:8=1
Faktor dari 8 = 1, 2, 4, 8
Soal 3. Faktor dari 12 ?
12 : 1 = 12
12 : 2 = 6
12 : 3 = 4
12 : 4 = 3
12 : 6 = 2
12 : 12 = 1
Faktor dari 12 = 1, 2, 3, 4, 6, 12
Soal 4. Faktor dari 20 ?
20 : 1 = 20
20 : 2 = 10
20 : 4 = 5
20 : 5 = 4
20 : 10 = 2
20 : 20 = 1
Faktor dari 20 = 1, 2, 4, 5, 10, 20
Soal 5. Faktor dari 32 ?
32 : 1 = 32
32 : 2 = 16
32 : 4 = 8
32 : 8 = 4
32 : 16 = 2
32 : 32 = 1
Faktor dari 32 = 1, 2, 4, 8, 16, 32
Faktor Persekutuan adalah bilangan yang sama dari faktor yang berbeda
Soal 1. Faktor Persekutuan dari 12 dan 8 ?
Faktor 12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12
Faktor 8 : 1, 2, 4, 8
8
Faktor persekutuan 12 dan 8 = 1, 2, 4
Soal 2. Faktor Persekutuan dari 6 dan 8 ?
Faktor 6 : 1, 2, 3, 6
Faktor 8 : 1, 2, 4, 8
Faktor persekutuan 6 dan 8 = 1, 2
Soal 3. Faktor Persekutuan dari 12 dan 15 ?
Faktor 12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12
Faktor 15 : 1, 3, 5, 15
Faktor persekutuan 12 dan 15 = 1, 3
Soal 4. Faktor Persekutuan dari 6, 8 dan 12 ?
Faktor 12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12
Faktor 6 : 1, 2, 3, 6
Faktor 8 : 1, 2, 4, 8
Faktor persekutuan 6, 8 dan 12 = 1, 2
Soal 5. Faktor Persekutuan dari 12, 20 dan 32 ?
Faktor 12 : 1, 2, 3, 4, 6, 12
Faktor 20 : 1, 2, 4, 5, 10, 20
Faktor 32 : 1, 2, 4, 8, 16, 32
Faktor persekutuan 12, 20 dan 32 = 1, 2, 4
FPB adalah bilangan Terbesar yang ada pada Faktor Persekutuan
Soal 1. FPB dari 12 dan 8 ?
Faktor persekutuan 12 dan 8 = 1, 2, 4
FPB = 4
Soal 2. FPB dari 6 dan 8 ?
Faktor persekutuan 6 dan 8 = 1, 2
FPB = 2
Soal 3. FPB Persekutuan dari 12 dan 15 ?
Faktor persekutuan 12 dan 15 = 1, 3
FPB = 3
Soal 4. FPB Persekutuan dari 6, 8 dan 12 ?
Faktor persekutuan 6, 8 dan 12 = 1, 2
9
FPB = 2
Soal 5. FPB Persekutuan dari 12, 20 dan 32 ?
Faktor persekutuan 12, 20 dan 32 = 1, 2, 4
FPB = 4
Kesimpulan :
Untuk mencari FPB dari suatu bilangan tentukan terlebih dahulu
1.
Faktor
2.
Faktor Persekutuan
3.
Tentukan Nilai Terbesar
Cara Alternative Mencari FPB
1. Pohon Faktor
a) Langkah 1 : Membuat Pohon Faktor
b) Langkah 2 : Daftar Faktor dengan Pemangkatan
c) Langkah 3 : Mengkalikan faktor yang sama yang memiliki pangkat terkecil
Contoh Soal
FPB dari 48 dan 60 ?
Langkah 1
Langkah 2
Langkah 3
10
FPB dari 72, 54 dan 36?
FPB =
2. Tabel
a) Langkah 1 : Membuat tabel dengan bilangan pada kolom
b) Langkah 2 : Bagilah dengan Bilangan Prima yang sama, letakan pada baris
c) Langakh 3 : lingkari pembagi bila dapat dibagi oleh semua bilangan
d) Langkah 4 : Hasil pembagian ditulis dibawah kolom sebaris dengan pembagi
e) Langkah 5 : Bila tidak dapat dibagi maka salin ulang baris yang ada diatasnya
f) Langkah 6 : Lakukan terus sampai kedua bilangan pada kolom menjadi 1
g) Langkah 7 : Kalikan semua bilangan yang dilingkari yang ada dikiri tabel
Contoh Soal :
11
FPB dari 12 dan 18 ?
Langkah 1
12
18
Langkah 6
Langkah 4
2
2
12
6
3
18
9
Langkah 2
12
2
2
3
3
12
6
3
1
1
18
9
9
3
1
18
2
Langkah 7
2x3=6
Langkah 5
Langkah 3
12
2
18
2
2
12
6
3
18
9
9
12
FPB 12 dan 18 = 6
FPB dari 8 dan 12 ?
8
12
4
6
2
3
1
3
1
1
20 30
2
10 15
2
5
15
3
5
5
5
1
1
2 x 5 = 10
2
2
2
3
2x2=4
FPB dari 20 dan 30 ?
FPB dari 16 dan 18 ?
2
2
2
2
3
3
2=2
16
8
4
2
1
1
1
18
9
9
9
9
3
1
Kesimpulan :
Kita boleh menggunakan cara yang mana saja, setiap cara memiliki kekurangan dan
kelebihan masing-masing, pilihlah cara yang paling pas dan mudah menurut anda.
CONTOH LATIHAN SOAL
1. Sari dan Mila mengikuti les piano ditempat yang sama. Sari latihan setiap 6 hari
sekali , Mila latihan setiap 4 hari sekali. Jika hari ini mereka les bersama, berapa hari
lagi mereka les bersama kembali?
Penyelesaian:
Diketahui : Sari les 6 hari sekali dan Mila les 4 hari sekali
Ditanya : KPK dari 6 dan 4
Jawab
:6=2X3
4 = 2 X 2 = 22
KPK dari 6 dan 4 = 22 X 3 = 4 X 3 = 12
Jadi mereka les bersama kembali 12 hari kemudian.
2. Terdapat 2 buah lonceng. Lonceng pertama berbunyi setiap 15 menit sekali, lonceng
kedua berbunyi setiap 12 menit sekali. Tiap berapa menit lonceng menyala bersama?
Penyelesaian:
Diketahui : Lonceng pertama berbunyi 15 menit sekali dan Lonceng kedua berbunyi 12 menit
sekali
Ditanya : KPK dari 15 dan 12
Jawab
15 = 3 X 5
12 = 2 X 2 X 3 = 22 X 3
KPK dari 15 dan 12 = 22 X 3 X 5 = 60
Jadi kedua lonceng menyala bersama setiap 60 menit sekali, atau satu jam sekali
3. Bu Santi belanja ke pasar setiap 8 hari sekali, sedangkan Bu Rita belanja setiap 6 hari
sekali. Pada tanggal 7 Juli 2015 mereka berbelanja bersama. Pada tanggal berapa
mereka berbelanja bersama lagi?
Penyelesaian:
Diketahui : Bu Santi ke Pasar setiap 8 hari sekali, Bu Rita setiap 6 hari sekali.
Ditanya : KPK dari 8 dan 6
Jawab
: 8 = 2 X 2 x 2 = 23
6=2X3
KPK dari 8 dan 6 = 23 X 3 = 9 X 3 = 24
Mereka berbelanja setiap 24 hari sekali dan bertemu pada 7 juli 2015.
7 + 24 = 31
Jadi mereka berbelanja bersama lagi pada tanggal 31 juli 2015
Contoh soal cerita materi FPB :
Bu Aminah mempunyai 20 kelengkeng dan 30 anggur, kelengkeng dan anggur akan di
masukkan kedalam plastik dengan jumlah yang sama besar.
a. Berapa plastik yang diperlukan untuk membungkus buah tersebut?
b. Berapa banyak kelengkeng dan anggur pada masing-masing plastik?
Jawab:
Faktorisasi prima dari 20 = 22 x 5
Faktorisasi prima dari 30 = 2 x 3 x 5
FPB dari 20 dan 30 = 2 x 5 = 10 ( kenapa yang dikalikan 2 dan 5, jika belum pahan baca lagi
keatas)
a. Jumlah plastik yang diperlukan adalah 10 plastik
b. Jumlah kelengkeng dalam setiap plastik = 20/10 = 2 jeruk
Jumlah anggur dalam setiap plastik = 30/10 = 3 salak
ULANGAN HARIAN
I.
Berilah tanda silang (x) pada jawaban yang tepat a, b, c, dan d !
1. Bilangan kelipatan 3 yang kurang dari 20 adalah ....
a. 3, 6, 9, 12, 15, 18
b. 2, 6, 8, 12, 15, 18
c. 3, 6, 9, 13, 15, 18
d. 3, 6, 9, 12, 16, 18
2. Bilangan kelipatan 3 yang kurang dari 25 adalah ....
a. 3, 6, 8, 12, 15, 18, 21, 24
b. 3, 6, 9, 11, 15, 18, 21, 24
c. 3, 6, 10, 12, 15, 18, 21, 24
d. 3, 6, 9, 12,15, 18,21, 24
3. Bilangan kelipatan 4 yang kurang dari 25 adalah ....
a. 4 = 4, 8, 11, 16, 20, 24
b. 4 = 4, 8, 12, 16, 20, 24
c. 4 = 4, 8, 12, 15, 20, 24
d. 4 = 4, 8, 12, 16, 19, 24
4. Bilangan kelipatan 6 yang kurang dari 31 adalah ....
a. 6 = 6, 12, 18, 24, 30
b. 6 = 6, 12, 17, 24, 30
c. 6 = 6, 11, 18, 24, 30
d. 6 = 6, 12, 18, 23, 30
5. Bilangan kelipatan 2 yang kurang dari 12 adalah ....
a. 2 = 2, 4, 7, 10, 12, 14
b. 2 = 2, 4, 6, 8, 11, 12, 14
c. 2 = 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14
d. 2 = 2, 4, 6, 8, 10, 11, 14
6. Faktor dari 12 adalah ....
a. 1, 2, 3, 4, 7, dan 12
b. 1, 2, 3, 4, 6, dan 12
c. 1, 2, 3, 5, 6, dan 12
d. 1, 2, 4, 6, 7, dan 12
7. Faktor dari 8 adalah ....
a. 1, 2, 5, dan 8
b. 1, 3, 4, dan 8
c. 2, 3, 4, dan 8
d. 1, 2, 4, dan 8
8. Faktor dari 10 adalah ....
a. 1, 2, 4, dan 10
b. 1, 2, 5, dan 10
c. 1, 2, 3, dan 10
d. 1, 2, 5, dan 9
9. Faktor dari 6 adalah ....
a. 1, 2, 4, dan 6
b. 1, 2, 5, dan 6
c. 1, 2, 3, dan 6
d. 1, 2, 3, dan 5
10. Faktor dari 15 adalah ....
a. 1, 3, 5, dan 15
b. 1, 2, 4, dan 15
c. 1, 3, 6, dan 15
d. 1, 3, 4, dan 15
II. Isilah titik-titik dibawah ini!
1. Kelipatan persekutuan dari 3 dan 6 yang kurang dari 25 adalah ..., ..., ...., dan ...
2. Kelipatan persekutuan dari 2 dan 4 yang kurang dari 15 adalah ..., ..., ...., dan ...
3. Kelipatan persekutuan dari 4 dan 6 yang kurang dari 25 adalah ..., ..., ...., dan ...
4. Faktor persekutuan dari 12 dan 8 adalah ..., ..., dan ...
5. Faktor persekutuan dari 12 dan 8 yang nilainya terbesar ...
6. Kelipatan persekutuan dari 4 dan 6 yang terkecil adalah ....
7. Kelipatan persekutuan dari 3 dan 6 yang terkecil adalah ....
8. Kelipatan persekutuan dari 2 dan 4 yang terkecil adalah ....
9. Faktor persekutuan dari 10 dan 6 adalah ..., dan ...
10. Faktor persekutuan dari 10 dan 6 yang nilainya terbesar ...
III. selesaikan soal-soal dibawah ini
1. Tini membeli 16 permen dan 20 cokelat. Permen dan coklat tersebut akan dibungkus
dan dibagikan kepada teman-temannya sama banyak.
Berapa bungkus yang dapat dibuat oleh Tini?
Berapakah jumlah permen dan cokelat masing-masing pada tiap bungkus?
2. Ada dua buah lampu berwarna merah dan kuning. Lampu merah menyala setiap 8
detik sekali kemudian padam, lampu kuning menyala setiap 12 detik sekali kemudian
padam. Pada detik keberapakah kedua lampu menyala bersama-sama?
KUNCI JAWABAN
I.
1. A
2. D
3. B
4. A
5. C
6. B
7. D
8. B
9. C
10. A
II.
1. 6, 12, 18, dan 24
2. 4, 8, dan 12
3. 12, dan 24
4. 1, 2, dan 4
5. 4
6. 12
7. 6
8. 4
9. 1 dan 2
10. 2
III. Jawab:
Soal dapat diselesaikan dengan mencari FPB dari 16 dan 20. FPB dari 16 dan 20
adalah 4.
a. Jadi, banyaknya bungkusan yang dapat dibuat oleh Tini adalah 4 buah.
b. Isi setiap bungkusan adalah :
Permen = 16 : 4 = 4
Coklat = 20 : 4 = 5 buah
1. Jawab:
Soal di atas dapat digambarkan dengan garis bilangan.
Lampu merah ___________________________________________
0 detik
8 detik
16 detik
24 detik
Lampu kuning ___________________________________________
0 detik
12 detik
24 detik
Dari garis bilangan di atas, terlihat bahwa kedua lampu akan menyala bersama-sama
pada detik ke-24.
Cara lain adalah dengan menggunakan KPK
KPK dari 8 dan 12 adalah 24
Maka lampu merah dan kuning meyala bersama-sama pada detik ke 24.
KESIMPULAN
Kelipatan Persekutuan Terkecil, yaitu kelipatan dari suatu bilangan tapi yang nilainya
paling kecil. Untuk menentukan kelipatan persekutuan terkecil dari dua bilangan a dan b,
yaitu dengan mencari semua kelipatan dari a dan b, kemudian diidentifikasi dan dikumpulkan
semua kelipatan yang sama. Selanjutnya dari kumpulan itu pilihlah yang terkecil. KPK dari
dua bilangan a dan b ditulis dengan notasi KPK (a, b) atau [a,b]. Sedangkan untuk
menentukan FPB dan KPK ada dua cara yakni dengan factor persekutuan dan kelipatan
persekutuan serta dengan faktorisasi prima.
FPB adalah singkatan dari Faktor Persekutuan Terbesar, yaitu faktor-faktor atau angkaangka pembagi yang paling besar dari suatu bilangan. Untuk menentukan factor persekutuan
terbesar dari dua bilangan a dan b, tentukan dulu factor-faktor dari a dan b, kemudian
identifikasi dan kumpulkan factor yang sama, selanjutnya pilih yang terbesar. Factor
persekutuan terbesar dari a dan b ditulis dengan notasi FPB (a,b) atau (a,b).
DAFTAR PUSTAKA
Hong, K.T. dkk,. Primary Mathematics. Federal Publications (s) PTR. Ltd. Singapore.
http://rumus-matematika.com/cara-mencari-kpk-dan-fpb/