REALISASI FUNGSI TRANSFER DALAM BENTUK KANONIK TERKONTROL
Jurnal Matematika UNAND Vol. 3 No. 2 Hal. 5 – 13
ISSN : 2303–2910 c Jurusan Matematika FMIPA UNAND
REALISASI FUNGSI TRANSFER DALAM BENTUK
KANONIK TERKONTROL
NURWENI PUTRI
Program Studi Matematika,
Fakultas Matematika dan Ilmu Pengetahuan Alam, Universitas Andalas,
Kampus UNAND Limau Manis Padang, Indonesia,
Abstrak.cahaya surga95@yahoo.com
− Sistem kontrol merupakan suatu alat untuk mengendalikan dan mengaturkeadaan dari suatu sistem. Dalam teori kontrol, suatu sistem dapat direpresentasikan
dengan beberapa cara yang berbeda. Dalam penelitian ini akan dibahas cara menentukan
representasi ruang keadaan dari fungsi transfer dalam bentuk kanonik terkontrol untuk
sistem SISO dan MIMO. Dalam literatur, permasalahan ini dikenal dengan realisasi.
Masalah ini ekivalen dengan bagaimanakah cara menentukan matriks A, B, C dan D
−1 Bsedemikan sehingga H(s) = C(sI − A) + D, dimana matriks A, B, C dan D tersebut
dalam bentuk kanonik terkontrol.Kata Kunci : Fungsi transfer, realisasi, kanonik terkontrol
1. Pendahuluan Diberikan suatu sistem kontrol
˙x(t) = Ax(t) + Bu(t) y n m p n×m n×m p×m (t) = Cx(t) + Du(t) (1.1) , u , y , D ∈ dimana x(t) ∈ R (t) ∈ R (t) ∈ R , A ∈ R , B ∈ R , C ∈ R p×m
R . Dalam hal ini x menyatakan variabel keadaan, u menyatakan variabel kontrol (input), y menyatakan output dan t menyatakan waktu [5].
Fungsi transfer untuk sistem (1.1) didefinisikan sebagai perbandingan transfor- masi Laplace output terhadap transformasi Laplace input dengan asumsi semua kondisi awal sama dengan nol dan dinotasikan dengan H(s), yaitu
Y (s)
H (s) = (1.2)
U (s) dimana Y (s) adalah transformasi Laplace dari y(t) dan U (s) adalah transformasi Laplace dari u(t).
Dari definisi ini jelas bahwa jika diberikan suatu sistem kontrol linier, maka fungsi transfernya dengan mudah dapat ditentukan. Namun sebaliknya, jika diberikan suatu fungsi transfer H(s), bagaimanakah bentuk dari sistem kontrol liniernya. Dalam literatur, masalah ini dikenal sebagai masalah realisasi. Masalah ini juga ekivalen dengan bagaimanakah bentuk matriks A, B, C dan D dari suatu fungsi transfer H(s) yang diberikan sedemikian sehingga −
1 Nurweni Putri
Pada penelitian ini akan dikaji permasalahan realisasi dari fungsi transfer dalam bentuk kanonik terkontrol, yaitu jika diberikan suatu fungsi transfer, maka bagaimanakah bentuk representasi ruang keadaan yang berkaitan dengan matriks A, B, C dan D dimana matriks-matriks tersebut dalam bentuk kanonik terkontrol.
2. Realisasi dari Fungsi Transfer untuk Sistem SISO Berikut akan diuraikan proses mendapatkan realisasi dari fungsi transfer suatu sis- tem SISO. Diberikan suatu fungsi transfer H(s) sebagai berikut
Y (s)
H , (s) = (2.1)
U (s) dimana n n−
1 Y s s s ,
(s) = b n + b n−
1 + · · · + b 1 + b (2.2)
dan n n−
1 U (s) = s + a s + · · · + a s + a . (2.3) n−
1
1 Perhatikan bahwa n n−
1 Y (s) b n s + b n− s + · · · + b s + b
1
1
= n n−
1 U s s s
(s) + a n− + · · · + a + a
1 n−
1
− − −
1
(b b a )s + · · · + (b b a s ) + (b b a ) n−
1 n n−
1 1 n 1 n
= b + n n n− (2.4)
1
s s s
- a n− + · · · + a + a
1
1 Sehingga (2.4) dapat ditulis menjadi
Y U Y (s) = b n (s) + ˆ (s), (2.5) dimana n−
1
ˆ − − − Y (s) = [(b b a )s + · · · + (b b a )s + (b b a )]Q(s) n−
1 n n−
1 n− 1 n 1 n − −
1
= (b n− b n a n− )s Q (s) + · · · + (b b n a )sQ(s)
1 −
1
1
1
- (b b n a )Q(s). (2.6) dengan
U (s) Q (s) = . (2.7) n n−
1
s s s
- a n− + · · · + a + a
1
1 Dengan demikian dari (2.7) diperoleh n n−
1
U Q s Q sQ Q n n−(s) = s (s) + a n−
1 (s) + · · · + a 1 (s) + a (s)
1
s Q s Q sQ Q (s) = −a n−
1 (s) − · · · − a 1 (s) − a (s) + U (s). (2.8)
Selanjutnya definisikan X (s) = Q(s)
1 X (s) = sQ(s)
2
2 X (s) = s Q (s)
3 ..
. n−
1
- (b −
- (b −
1 ) ˙x n− 1 + · · · + (b
˙x
. (2.13) Misalkan
1
b n a )x
1
1 ) ˙x
b n a
1 −
b n a n−
2
1 −
y = b n u
1 + u, (2.12)
a x
1 −
1 ˙x
a
1 − · · · −
1 ˙x n−
1 = x
˙x
(s). (2.11) Dengan menggunakan Laplace invers, maka dari (2.10) dan (2.11) diperoleh
1 − a − a
. .
B = ..
, (2.15) dan
1
a n−
2 · · · −
a
1
−
. 0 · · ·
2
.. . · · · ..
.. .
1 · · · .. .
A = 1 0 · · ·
= x n (2.14) maka (2.14) dan (2.12) secara bersama-sama dapat ditulis menjadi ˙x(t) = Ax(t) + Bu(t), dimana
1
. ˙x n−
3 ..
= x
˙x n = −a n−
1
(2.16) Nurweni Putri
1
b n a
1 −
1 )sX n− 1 (s) + · · · + (b
b n a n−
1 −
(s) = (b n−
ˆ Y
(s) = X n (s) Dengan demikian (2.6) dan (2.8) menjadi
(s) .. . sX n−
b n a )X
3
(s) = X
2
(s) sX
2
(s) = X
1
maka sX
Realisasi Fungsi Transfer dalam Bentuk Kanonik Terkontrol
1 )sX 1 (s)
1
b n a )X
(s) + U (s). (2.10) Berdasarkan (2.5) dan (2.6) diperoleh
1 )sX 1 (s)
b n a
1 −
1 )sX n−
1 (s) + · · · + (bb n a n−
1 −
U (s) + (b n−
Y (s) = b n
1
(s), (2.9) sX n (s) = −a n−
X
(s) − a
1
sX
1
(s) − · · · − a
1
sX n−
1
- (b n−
- (b −
Dari (2.13) dan (2.14) diperoleh y (t) = Cx(t) + Du(t), dimana − − · · · −
C = b b a b b a b b a , (2.17) n
1 n 1 n− 1 n n−
1
dan D .
= b n (2.18)
3. Realisasi dari Fungsi Transfer untuk Sistem MIMO Berikut akan diuraikan proses mendapatkan realisasi fungsi transfer dari suatu sis- tem MIMO yaitu memiliki lebih dari satu input dan output. Diberikan suatu fungsi transfer sebagai berikut N N D D 11 1m (s) (s) · · · · · · · · · · · · 1 (s) m (s)
H (s) = . (3.1) N N D (s) D m (s) p1 1 (s) pm (s) · · · Persamaan (3.1) dapat ditulis ulang −
1 H
(s) = N (s)D (s). (3.2) dimana N
(s) · · · N (s)
· · · · · · · · · 11 1m
N , (s) = (3.3)
N p
1 (s) · · · N pm (s)
dan D
(s) = diag D (s) D (s) · · · D m (s) . (3.4)
1
2 Perhatikan bahwa d j d j j − j j
1 D s s j (s) = s + a + · · · + a + a d j − d j
1
1 S
= s + L j j (s), dimana h i j j j · · · a a a L j = , (3.5) −
1 d j
1
dan s
1 S j (s) = . (3.6) .. d j . −
1
- L
- L
-
L
(s) = diag [s d 1 s d 2 · · · s d m ], (3.8)
(s). (3.7) Tulis ∧
0 L m S
0 0 · · · 0 0 0
2 · · ·
0 L
0 · · · 0
1
0 s d m
2 · · ·
0 s d m + L m S m (s) = s d 1 0 · · · 0 s d 2 · · · 0 · · ·
2 S 2 (s) .. · · ·
s d 2
1 S 1 (s) · · ·
(s) = s d 1
untuk j = 1, 2, · · · , m. Dengan demikian (3.4) menjadi D
Realisasi Fungsi Transfer dalam Bentuk Kanonik Terkontrol
L m ], (3.9) dan S
L = diag [L
1 L
Dari (3.2) diperoleh N
- · · · + b j
1 − a j − a j
s
= ˆ H ij (s) (3.14) dengan realisasi bentuk terkontrol sebagai berikut A j = 1 0 · · ·
1 · · · .. .
.. .
.. . · · · ..
. 0 · · ·
a j
1 −
1
2 · · · −
a j n−
1
, B j = ˙˙.
1 , dan
C j = h b j − b j d a j b j − b j d a j · · · b j d − − b j n a j d − i .
1
s d j −
= diag [S
= 1, · · · , p, j = 1, · · · , m (3.12) dimana N ij (s) adalah elemen dari matriks polinomial N (s) dan D j (s) adalah keli- patan persekutuan terkecil dari semua penyebut pada kolom j. Definisikan
1
(s) S
2
(s) · · · S m (s)], (3.10) maka (3.7) dapat ditulis menjadi
D (s) = ∧(s) + LS(s). (3.11)
(s) = H(s)D(s) N ij (s) = H ij (s)D j (s), i
H (∞) = lim s→∞
1
H (s), (3.13) maka untuk suatu fungsi transfer skalar H ij (s), berlaku
H ij (s) − H ij (∞) = b j d j −
1
s d j −
1
1
s + b j s d j
- a j d j −
- · · · + a j
- a j
- b j d j −
- · · · + b j
- b j
- b j d j −
- · · · + b j
- b j − b j d j
- · · ·
- a j
- a j
- · · · + b j
- b j − a j d j −
- · · · + (b j −
N (s) = CS(s) + H(∞)D(s), dimana C = [C
(s)D(s) = CS(s) N (s) − H(∞)D(s) = CS(s)
ˆ H
H ij (s) adalah elemen dari ˆ H (s), maka berdasarkan (3.15) berlaku
H ij (s)D j (s) = C j S j (s). (3.20) Jika ˆ
= 0, 1, · · · , d j − 1, (3.19) maka berdasarkan (3.6) dan (3.18), persamaan (3.17) dapat ditulis menjadi ˆ
1
· · ·β k , (3.18) dimana β k = b j k − a j k b j d j , k
C j = β β
a j b j d j ). (3.17) Tulis
1
b j d j )s d j −
1
a j d j −
2
· · ·N (s)D −
C m ]. (3.21) Sehingga dari (1.3) dan (3.1) diperoleh
(s) + H(∞) = C(sI − A) −
1 B
(s) = (sI − A) −
1
S (s)D −
D = H(∞), (3.23) dan
1 B
1
1
(s)D −
1 B
= C(sI − A) −
1
1 B
(s) = C(sI − A) −
1 −
1
b j d j s − a j b j d j = (b j d j −
1
Nurweni Putri
Selanjutnya ˆ
H ij (s)D j (s) = [H ij (s) − H ij (∞)]D j (s) = H ij (s)D j (s) − H ij (∞)D j (s) = N ij (s) − H ij (∞)D j (s). (3.15)
Misalkan N ij (s) = b j d j s d j
1
s d j −
1
1
s
, (3.16) maka dari (3.16) diperoleh
ˆ H ij (s)D j (s) = b j d j s d j
1
s d j −
1
s
a j
(s d j + a j d j −
1 − · · · −
b j d j s d j −
1
s
1
1
s d j −
1
) = b j d j −
s
1
1
s d j −
1
1 C
- D [CS(s) + H(∞)D(s)]D −
- D CS
- D. (3.22) Akibatnya diperoleh
Perhatikan bahwa d d j j j − j j
1 B D s s j j (s) = (s + a − + · · · + a + a ) d
j
1
1 .. .
1 = .. d d j j j − j j .
1
s + a s + · · · + a s + a d j −
1
1
s − 1 0 · · ·
1 0 s −1 · · · s
2
s · · · 0 0 s = .. .. .. .. .. ..
. . . . . − d j . −
2
s 0 0 0 · · · j j j j j 1 s d j − · · ·
1
a a a a s + a s − −
1
2 d j d j
2
1
= (sI − A j )S j (s), (3.25) Akibatnya dari (3.24) diperoleh · · ·
A = diag [A A A m ] (3.26)
1
2
dimana 1 0 · · · 1 · · · .. .. .. .. ..
A j = . . . . . − − − · · · − − j j j j j 0 · · ·
1 a a a a a d − d −
1 2 j 2 j
1
dan · · · B B B
= diag [B m ] (3.27)
1
2
dengan B .. . j = .
1 Nurweni Putri
4. Penutup Misalkan H(s) adalah suatu fungsi transfer sedemikan sehingga −
1 H (s) = C(sI − A) B + D. (4.1)
Jika H(s) berbentuk fungsi skalar maka realisasi dari H(s) adalah 1 0 · · · 1 · · · A = .. .. .. .. , (4.2) · · · . . . . − − − · · · − 0 · · ·
1 a a a a
1 2 n−
1
B .. , = (4.3) . − − · · · −
1 C b a b b a b b a = b n
1 n 1 n− 1 n n− 1 , (4.4)
D = b n . (4.5) Jika H(s) berbentuk suatu matriks, maka realisasi dari H(s) adalah · · ·
A A A = diag [A m ], (4.6)
1
2 · · ·
B B B = diag [B m ], (4.7)
1 · · ·
2 C C C
= [C m ], (4.8)
1
2 D H
= H(∞) = lim (s), (4.9) s→∞ dimana masing-masing A j berbentuk seperti (4.2), masing-masing B j berbentuk seperti (4.3), dan masing-masing C j berbentuk seperti (4.4).
5. Ucapan Terima kasih Penulis mengucapkan terima kasih kepada Bapak Dr. Muhafzan, Bapak Dr. Mah- dhivan Syafwan, Ibu Arrival Rince Putri, M.T, M.Si dan Bapak Bukti Ginting, M.Si yang telah memberikan masukan dan saran sehingga paper ini dapat diselesaikan
Realisasi Fungsi Transfer dalam Bentuk Kanonik Terkontrol
Daftar Pustaka [1] Alok, S. 2007. Linear Systems Optimal and Robust Control. CRC Press, Francis. [2] Antsaklis, P. J dan Anthony N, Michel. 2007. A Linear Systems Primer.
Birkhauser, Boston. [3] Hendricks E, Jannerup, O dan Sorensen, P. H. 2008. Linear System Control.
Springer, Heidelberg. [4] Kaczorek, T. 1992. Linear Control System. Galliard, Great Yarmouth. [5] Ogata, K. 2002. Modern Control Engineering. Prentice-Hall, New Jersey.