Pertemuan 2 Limit dan Kekontinuan 2.1 Pendahuluan - 2 Limit dan Kekontinuan
Pertemuan 2
Limit dan Kekontinuan
2.1 Pendahuluan
Konsep limit digunakan untuk menggambarkan cara sebuah fungsi dapat berbeda. Beberapa fungsi berubah secara kontinu, perubahan kecil pada hanya menghasilkan perubahan kecil pada
( ). Beberapa fungsi lainnya dapat memiliki nilai yang lompat atau berubah secara drastis. Limit memberikan cara yang tepat untuk membedakan sifat-sifat ini.
2.2 Konsep Limit
2.2.1 Rata-rata tingkat perubahan dan garis secant Diberikan sembarang fungsi
( ), kita dapat menghitung rata-rata tingkat perubahan dari ] dengan membagi perubahan nilai terhadap dalam interval [
( dimana perubahan
) ( ), terhadap panjang interval tersebut terjadi.
Rata-rata tingkat perubahan dari ( ) terhadap dalam interval [ ] adalah
) ) ( ) ( ( ) (
Dalam geometri, tingkat perubahan dari ] adalah kemiringan (slope) dalam [ garis yang melalui titik
( ( )) dan ( ( )). Dalam geometri, sebuah garis yang menghubungkan dua titik sebuah kurva adalah secant dari kurva tersebut. Karenanya, rata- rata tingkat perubahan fungsi ke sama dengan slope dari secant dari .
Gambar 2.1 Secant dari grafik fungsi th ( ) ed, p.75)(Thomas’s Calculus, 11 Contoh 2.1 Rata-rata tingkat pertumbuhan Gambar 2.2 memperlihatkan populasi lalat buah yang berkembangbiak dalam 50 hari.
Jumlah lalat dihitung pada interval waktu tertentu dan diplot terhadap waktu, serta dibentuk menjadi kurva. Tentukan rata-rata tingkat pertumbuhan dari hari 23 hingga hari 45!
Gambar 2.2 Pertumbuhan populasi lalat buah dalam suatu eksperimen terkendali th ed, p.76)(Thomas’s Calculus, 11 Jawaban Terdapat 150 lalat pada hari ke-23 dan 340 lalat pada hari ke-45. Berarti jumlah lalat bertambah dalam hari. Rata-rata tingkat perubahan populasi dari hari ke-23 hingga hari ke-45 adalah lalat / hari.□
2.2.2 Limit dari nilai fungsi Untuk memahami konsep limit, diberikan definisi informal limit sebagai berikut.
Misal (kecuali di mungkin
( ) terdefinisi dalam suatu interval terbuka sekitar pada itu sendiri). Jika , kita
( ) mendekati ke untuk seluruh yang mendekati katakan bahwa fungsi , dan ditulis mendekati limit saat mendekati
( ) adalah yang dibaca “limit dari ( ) saat mendekati . Contoh 2.2 Karakteristik sebuah fungsi mendekati titik tertentu Bagaimana karakteristik dari fungsi
( ) di dekat ?
Jawaban Rumus di atas mendefinisikan nilai untuk seluruh bilangan real , kecuali . Untuk sembarang
, kita dapat menyederhanakan rumus tersebut dengan memfaktorkan pembilangnya dan menghapus faktor yang sama ( )( )
( ) untu Dengan demikian, grafik fungsi adalah garis dengan titik ( ) dihilangkan. Meskipun
( ) tidak terdefinisi, kita dapat membuat nilai ( ) sedekat mungkin dengan dengan memilih sedekat mungkin ke . Kita katakan ( ) mendekati limit saat mendekati
, dan ditulis ( )
Contoh 2.3 Menemukan limit dengan menghitung ( ) a.
b. ( ) c. Contoh 2.4 Fungsi identitas dan fungsi konstan
a. Jika merupakan fungsi identitas ( ) , maka untuk sembarang nilai ( ) b. Jika merupakan fungsi konstan ( ) , maka untuk sembarang nilai ( )
Contoh 2.5 Fungsi yang tidak memiliki limit pada titik tertentu dalam domainnya Tentukan karakteristik fungsi-fungsi berikut saat
:
a. ( ) {
b. ( ) { c.
( ) { Jawaban Perhatikan grafik fungsi berikut.
Gambar 2.3 Tidak ada di antara fungsi di atas yang memiliki limit saat th ed, p.79)(Thomas’s Calculus, 11
a. Fungsi tangga ( ) tidak memiliki limit saat karena nilainya melompat saat . Untuk sembarang nilai negatif yang mendekat ke nol, ( ) . Untuk sembarang nilai positif yang mendekat ke nol, ( ) . Tidak ada nilai tunggal yang didekati oleh
( ) saat .
b. ( ) tidak memiliki limit saat karena nilai dari berkembang terlalu besar dalam nilai absolut saat dan tidak ada dalam bilangan real apapun. c. ( ) tidak memiliki limit saat karena nilai fungsinya berosilasi antara dan di dalam setiap interval terbuka yang mengandung . Nilai fungsinya tidak mendekati satu bilangan pun saat
2.3 Hukum-Hukum Limit
5. Aturan pembagian:
Contoh 2.6 Menggunakan hukum limit Tentukan limit dari:
⁄ adalah bilangan real.
⁄ ⁄ dimana
( ( ))
maka
dan adalah bilangan bulat yang tidak memiliki faktor yang sama dan ,
6. Aturan perpangkatan: Jika
( ) ( )
Teorema di bawah menunjukkan cara untuk menghitung limit fungsi-fungsi yang merupakan kombinasi aritmatika dari fungsi yang limitnya telah diketahui.
Teorema 2.1 Hukum Limit
4. Aturan perkalian konstan: a.
( ( ) ( ))
3. Aturan perkalian:
( ( ) ( ))
2. Aturan pengurangan:
( ( ) ( ))
1. Aturan penjumlahan:
dan adalah bilangan-bilangan real, dan ( ) ( )
Jika
( ( ))
( ) b.
( )
Contoh 2.7 Limit fungsi rasional ( )
( ) ( ) ( )
( ) dan ( ) merupakan polinomial dan ( ) , maka ( )
Jika
( ) ( ) Teorema 2.3 Limit fungsi rasional dapat ditemukan dengan substitusi, jika limit penyebutnya tidak nol
, maka
Jika
c. √ Jawaban a.
Teorema 2.2 Limit polinomial dapat ditemukan dengan substitusi
√ √ ( ) √
( )
c. √ √
( ) ( )
( ) b.
( ) ( ) Teorema 2.3 berlaku hanya jika penyebut dari fungsi rasional tidak nol pada titik limit . Jika penyebutnya nol, maka menghapus faktor umum dalam pembilang dan penyebut sehingga penyebut pecahan tidak lagi nol di merupakan salah satu solusinya.
Contoh 2.8 Menghapus faktor umum Hitunglah Jawaban Kita tidak dapat mensubstitusi langsung karena akan membuat penyebutnya menjadi nol. Untuk itu dicari faktor umum untuk pembilang dan penyebut fungsi rasional, sehingga
( )( ) ( )
Dengan menggunakan bentuk pecahan yang lebih sederhana, dapat ditemukan limit fungsi saat dengan substitusi sebagai berikut:
Contoh 2.9 Membuat dan menghapus faktor umum Hitunglah
√ Jawaban Kita tidak dapat mensubstitusikan
, demikian pula pembilang dan penyebutnya tidak memiliki faktor umum. Maka dari itu, kita dapat membuat sendiri faktor umum dengan mengalikan kedua pembilang dan penyebut dengan
√ , sehingga √ √ √
√
( ) )
( )( √ )
( )( √ ( )( )
) ( )( √
√ Oleh karena itu,
√ √
( ) √( )
√ Teorema 2.4 Teorema Sandwich
Misal diberikan
( ) ( ) ( ) untuk seluruh dalam beberapa interval terbuka yang
mengandung
, kecuali mungkin pada itu sendiri. Misal diketahui pula ( ) ( )
maka ( ) .
Contoh 2.10 Teorema Sandwich Misal diketahui
( ) untu s luruh tentukan ( ), tanpa memedulikan serumit apapun fungsi tersebut! Jawaban Karena
( ( )
) maka berdasarkan Teorema Sandwich diketahui bahwa ( ) .
Teorema 2.5
Jika
( ) ( ) untuk seluruh dalam beberapa interval terbuka yang mengandung ,
kecuali mungkin pada
itu sendiri, dan limit dari fungsi dan keduanya ada saat
mendekati
, maka ( ) ( )
2.4 Definisi Formal Limit
Definisi 2.1 Limit sebuah fungsi
Misal , kecuali mungkin pada itu sendiri.
( ) terdefinisi dalam interval terbuka sekitar
Kita katakan bahwa limit dari adalah
( ) saat mendekati , dan tulis ( )
jika, untuk setiap
, terdapat sedemikian sehingga untuk seluruh , | | | ( ) |
th ed, p.92) (Thomas’s Calculus, 11
Gambar 2.4 Hubungan antara dan dalam definisi limitContoh 2.11 Menggunakan definisi Tunjukkan bahwa
( ) Jawaban Dari definisi limit diketahui
( ) dan . Untuk sembarang nilai , kita harus menemukan suatu sedemikian sehingga jika dan berada dalam jarak dari , yakni saat
| | berlaku bahwa ( ) berada dalam jarak dari , sehingga
| ( ) | Kita dapat menemukan dengan langkah mundur dari ketidaksamaan :
|( ) | | | | |
| | Dengan demikian, kita dapat mengambil . Jika | | maka
|( ) | | | | | ( ⁄ ) yang membuktikan bahwa ( )
Contoh 2.12 Menemukan delta dengan aljabar Untuk limit
√ , temukan yang berlaku untuk . Dengan kata lain, temukan sedemikian sehingga untuk seluruh
| | |√ | Jawaban Terdapat dua langkah untuk memecahkan soal di atas.
1. Selesaikan persamaan |√ | untuk menemukan suatu interval yang memiliki
. dimana ketidaksamaannya berlaku untuk semua
|√ | √
√ ⁄
Ketidaksamaan di atas berlaku untuk seluruh dalam interval terbuka ( ⁄ ), sehingga berlaku pula untuk seluruh dalam interval ini pula.
2. Temukan nilai untuk menempatkan pusat interval di dalam interval ( ⁄ ). Jarak dari 1 ke titik terdekat ujung interval ( ⁄ ) adalah
⁄ atau nilai positif lebih kecil lainnya, maka ketidaksamaan ⁄ . Jika diambil
| | akan menempatkan di antara ⁄ dan secara otomatis untuk memenuhi
|√ | .
| | ⁄ |√ | Contoh 2.13 Membuktikan aturan penjumlahan limit Misal diketahui bahwa ( ) dan ( ) , buktikan bahwa
( ( ) ( )) Jawaban Misal diberikan
, akan dicari suatu bilangan positif sedemikian sehingga untuk seluruh | | | ( ) ( ) ( )|
| ( ) ( ) ( )| |( ( ) ) ( ( ) )| | ( ) | |( ( ) )| Untuk
( ) , terdapat suatu bilangan sedemikian sehingga untuk seluruh | | | ( ) |
⁄ Demikian pula, untuk
( ) , terdapat suatu bilangan sedemikian sehingga untuk seluruh | | | ( ) |
⁄ Misal diambil
, sehingga {
}. Jika | | maka | | , sehingga
⁄ . Oleh karenanya, | ( ) | ⁄ , dan | | | ( ) |
| ( ) ( ) ( )| | ( ) | |( ( ) )| ⁄ ⁄ Terbukti bahwa
( ( ) ( ))
2.5 Limit Kiri dan Limit Kanan
Teorema 2.6
Sebuah fungsi
( ) memiliki limit saat mendekati jika dan hanya jika fungsi tersebut
memiliki limit kiri dan limit kanan dan limit satu sisi tersebut sama:
( ) ( ) ( )
th ed, p.102) (Thomas’s Calculus, 11
Gambar 2.5 Limit kanan saat mendekati (a), limit kiri saat mendekati (b)Definisi 2.2 Limit kanan dan limit kiri
Kita katakan bahwa , dan ditulis
( ) memiliki limit kanan pada ( )
jika untuk setiap bilangan
terdapat sedemikian sehingga untuk seluruh | ( ) |
Kita katakan bahwa , dan ditulis
( ) memiliki limit kiri pada ( )
jika untuk setiap bilangan
terdapat sedemikian sehingga untuk seluruh | ( ) |
Contoh 2.14 Menentukan delta dengan menggunakan definisi Buktikan bahwa
√ Jawaban Misal diberikan
. Dari soal diketahui dan , sehingga kita ingin mencari suatu sedemikian sehingga untuk seluruh atau √
Dengan menguadratkan kedua ruas ketidaksamaan terakhir, diperoleh i a Jika dipilih , diperoleh
√ atau |√ |
Menurut definisi 2.2, terbukti bahwa √
Untuk fungsi yang melibatkan , limitnya saat adalah (diukur dalam radian). Perhatikan gambar berikut.
Gambar 2.6 Grafik( ) th ed, p.105) (Thomas’s Calculus, 11
Teorema 2.7 ( )
Definisi 2.3 Fungsi genap dan ganjil
Sebuah fungsi
( ) adalah sebuah
fungsi genap dari
jika ( ) ( )
fungsi ganjil dari
jika ( ) ( )
untuk setiap dalam domain fungsi.
Contoh 2.15 Menggunakan Tunjukkan bahwa Jawaban Ingat bahwa
⁄ ), sehingga (
⁄ ) (
⁄ ( )( )
Definisi 2.4 Limit saat mendekati atau
1. Kita katakan bahwa ( ) memiliki limit saat mendekati tak hingga dan ditulis
( )
jika untuk setiap
, terdapat bilangan sedemikian sehingga untuk seluruh | ( ) |
2. Kita katakan bahwa ( ) memiliki limit saat mendekati minus tak hingga dan ditulis
( )
jika untuk setiap
, terdapat bilangan sedemikian sehingga untuk seluruh | ( ) |
Contoh 2.16 Limit tak hingga Tunjukkan bahwa
Jawaban Misal diberikan
( ( ) ( ))
⁄ adalah bilangan real. (Jika
⁄ ⁄ dimana
( ( ))
6. Aturan perpangkatan: jika dan adalah bilangan bulat tanpa faktor umum, , maka
( ) ( )
5. Aturan pembagian
( ( ))
4. Aturan perkalian konstan
3. Aturan perkalian
. Harus ditemukan suatu bilangan sedemikian sehingga untuk seluruh |
( ( ) ( ))
2. Aturan pengurangan
( ( ) ( ))
1. Aturan penjumlahan
adalah bilangan-bilangan real dan ( ) ( )
Jika
Teorema 2.8 Hukum limit saat
Terbukti bahwa ( )
| | | Implikasi ini berlaku jika atau bilangan positif lebih besar lainnya.
bilangan genap, diasumsikan bahwa ) Contoh 2.17 Menggunakan teorema 2.8 ( (
( ) ) )
Contoh 2.18 Limit tak hingga fungsi rasional ( ⁄ )
⁄ ) ( ⁄ )
( Definisi 2.5 Horizontal Asymptote
Sebuah garis
merupakan suatu horizontal asymptote dari grafik fungsi ( ) jika
salah satu pernyataan berikut berlaku
( ) ( ) Contoh 2.19 Substitusi variabel baru Tentukan
( ) Jawaban Kita gunakan variabel baru . Diketahui bahwa saat
. Oleh karenanya, (
)
2.6 Limit Tak Hingga dan Vertical Asymptote
Definisi 2.6 Limit tak hingga dan negatif tak hingga
, dan ditulis
1. Kita katakan bahwa ( ) mendekati tak hingga saat mendekati
( )
jika untuk setiap bilangan real positif
terdapat sedemikian sehingga untuk
seluruh
| | ( )
, dan
2. Kita katakan bahwa ( ) mendekati negatif tak hingga saat mendekati ditulis
( )
jika untuk setiap bilangan real negatif
terdapat sedemikian sehingga
untuk seluruh
| | ( )
Contoh 2.20 Definisi limit tak hingga Buktikan bahwa Jawaban Diberikan
, akan dicari sedemikian sehingga | | b rarti
Sekarang, atau ekuivalen dengan | |
√ Dengan demikian, dengan memilih (atau sembarang bilangan positif yang lebih
√
kecil), diperoleh | |
Oleh karenanya, terbukti bahwa Definisi 2.7 Vertical asymptote
Sebuah garis
merupakan suatu vertical asymptote dari grafik fungsi ( ) jika
salah satu pernyataan berikut berlaku
( ) ( ) Contoh 2.21 Mencari asymptote Temukan horizontal dan vertical asymptote dari kurva Jawaban Kita tertarik untuk mengetahui karakteristik fungsi saat dan saat , dimana penyebutnya menjadi nol. Kita dapat menemukan asymptote fungsi tersebut dengan mudah jika fungsi rasional di atas diubah menjadi fungsi polinomial dengan sisa pembagian, yakni dengan membagi
( ) dengan ( ).
Hasilnya
th ed, p.118) (Thomas’s Calculus, 11
Gambar 2.7 Garis dan merupakan asymptote dari kurva Sekarang dapat dilihat bahwa kurva tersebut merupakan grafik yang digeser 1 unit ke atas dan 2 unit ke kiri (gambar 2.7). Vertical asymptote kurva adalah garis dan horizontal asymptote kurva adalah.
2.7 Kekontinuan
Untuk memahami kontinuitas, perhatikan gambar di bawah sebagai contoh berikutnya.
Gambar 2.8 Fungsi di atas kontinu pada[ ] kecuali pada dan th (Thoma ed, p.124) s’s Calculus, 11
Contoh 2.22 Kontinuitas Tentukan titik dari fungsi pada gambar 2.8 yang kontinu dan titik dimana diskontinu! Jawaban Fungsi kontinu di setiap titik dalam domainnya, yakni [ ], kecuali pada dan . Pada titik-titik ini terdapat lompatan dalam grafik fungsi.
Titik-titik dimana kontinu: Pada
( ) ( ) Pada
( ) ( ) Pada
( ) ( ) Titik-titik dimana diskontinu:
Pada ( ) tida ada
Pada ( ) t ta i ( )
Pada ( ) t ta i ( )
Pada titi -titi ini tida b rada dalam domain Definisi 2.8 Kontinuitas pada satu titik
Titik interior: Sebuah fungsi
( ) kontinu dalam suatu titik interior dalam domainnya
jika
( ) ( )
Titik ujung: Sebuah fungsi
( ) kontinu dalam suatu titik ujung kiri atau kontinu
dalam suatu titik ujung kanan
dalam domainnya jika ( ) ( ) ( ) ( )
Contoh 2.23 Fungsi kontinu dalam domainnya Fungsi kontinu pada setiap titik dalam domainnya,
( ) √ [ ], termasuk dimana kontinu kanan, dan dimana kontinu kiri.
Uji Kontinuitas
Sebuah fungsi ( ) kontinu pada jika dan hanya jika memenuhi tiga kondisi berikut.
1. ( ) ( ) 2. ( ) ( ) 3. ( ) ( ) ( )
Contoh 2.24 Fungsi integer terbesar Fungsi ⌊ ⌋ atau int , diperlihatkan dalam gambar di bawah.
Gambar 2.9 Fungsi integer terbesar kontinu pada setiap titik noninteger th ed, p.126)(Thomas’s Calculus, 11 Fungsi di atas diskontinu untuk setiap bilangan bulat karena limitnya tidak ada untuk setiap bilangan bulat
: int int sehingga limit kiri dan limit kanannya tidak sama saat
. Karena int , fungsi integer terbesar kontinu kanan pada tiap integer (tapi tidak kontinu kiri).
Fungsi integer terbesar kontinu pada setiap bilangan real selain bilangan bulat, seperti int int Umumnya, jika bilangan bulat, maka int int
Sebuah fungsi dikatakan kontinu pada suatu interval jika dan hanya jika fungsi tersebut kontinu untuk setiap titik dalam interval.
Teorema 2.9 Sifat-sifat fungsi kontinu
Jika fungsi dan kontinu pada , maka kombinasi berikut juga kontinu pada .
1. Penjumlahan:
2. Pengurangan:
3. Perkalian:
4. Perkalian konstan: , untuk sembarang
5. Pembagian: ⁄ , dimana ( )
⁄ , dengan catatan fungsi tersebut terdefinisi pada interval
6. Perpangkatan:
terbuka yang mengandung
, dimana dan adalah bilangan bulat. Contoh 2.25 Fungsi polinomial dan rasional merupakan fungsi kontinu a. Setiap polinomial kontinu karena ( )
( ) ( ) menurut Teorema 2.2.
b. Jika kontinu
( ) dan ( ) merupakan polinomial, maka fungsi rasional ( ) ( ) ⁄ dimanapun, dengan catatan ( ) , berdasarkan Aturan Pembagian Teorema 2.9.
Teorema 2.10 Komposisi fungsi kontinu
Jika kontinu pada dan kontinu pada ( ), maka komposisi kontinu pada .
Contoh 2.26 Menggunakan teorema 2.9 dan 2.10 Tunjukkan bahwa fungsi-fungsi berikut kontinu di setiap titik dalam domainnya.
a. √
b. | | Jawaban
a. Fungsi akar pangkat dua kontinu pada [ ) karena merupakan fungsi pangkat rasional dari fungsi identitas ( ) . Fungsi yang diberikan merupakan komposisi dari polinomial
( ) dengan fungsi akar ( ) √ . kontinu untuk semua
b. Pembagian √ , dan fungsi tersebut adalah komposisi dari pembagian dengan fungsi kontinu nilai absolut.
Teorema 2.11 Teorema nilai rata-rata untuk fungsi kontinu
Sebuah fungsi
( ) yang kontinu dalam suatu interval tertutup [ ] memiliki semua
nilai diantara adalah sembarang nilai diantara
( ) dan ( ). Dengan kata lain, jika ( ) dan ( ), maka ( ) untuk dalam [ ].
2.8 Tangen dan Turunan
Definisi 2.9 Slope dan garis tangent
Slope dari kurva
( ) pada titik ( ( )) adalah bilangan
( ) ( )
dengan catatan limitnya ada. Garis tangent dari kurva pada adalah garis yang melalui dengan slope ini.
Contoh 2.27 Menggunakan definisi 2.9 a. Temukan slope dari kurva ⁄ pada .
⁄ ?
b. Dimanakah slope tersebut sama dengan Jawaban
⁄ ) adalah
a. Diketahui ( ) ⁄ . Slope pada ( ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
Nilai boleh positif atau negatif, tetapi tidak .
. Nilainya akan jika
b. Slope dari ⁄ pada titik dimana adalah atau Kurva memiliki slope ⁄ pada dua titik ( ⁄ ) dan ( ⁄ ). Rata-rata Perubahan: Turunan pada Satu Titik
Ekspresi
( ) ( )
disebut sebagai difference quotient dari dengan increment
pada . Jika difference
quotient memiliki limit saat
mendekati nol, limit tersebut dikatakan sebagai turunan dari pada . Turunan (derivative) merupakan salah satu dari dua konsep Matematika paling penting dalam Kalkulus, selain integral. Pada pertemuan selanjutnya akan dibahas lebih dalam tentang turunan.