1000 Soal Untuk Matematika _Olimpiade_

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      • a c b

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          2 3 × 4 × 2 2003 × 2004 ×

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        • 4 3 3

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            2

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            3

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            2005 1002 ...

            9

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          • = B # $ $ %! ! % ) ( B A

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            4 3001 1 ...

            1003

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            x x

            3

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            3

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            ! m ! n ∈ "$ $ " ! % ! $ ( 100 ,

            1 ) %

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            1

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          • 1

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              3 4 ... k

              =

              1 + + + + + k

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            • 2 f = 3 x ! x $ " $ " f x = fx &

              ( ) ( ) x

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              1 , ! A =

              5 A1 n

              6 A 2

              3 n n

              − −

              4 A

              = − 3 2 " n $ "$ & n

              2

              4

            • AB $ !% ! $ 1 %

              #

              3 = =

              A 111 ... 111 ! B 100 ... 005 & ' , ' /

              2'

              3 4 111 ... 11222 ... 225 ! $ $ !% ! $ &

              ' , ' / 100 100

              2

              2

              2) 4 < C < & 3 100 50

              10

              10

              2 2 3 3 + x x xy

              2, $ # ! !

              60 &

            • x y x y = 19 =
            • 103 53 y y

                4

                3 20 " $ " %" = % $

                53 103 " ! 39 & + 2/

                11

              • x y xy =

                y z yz

                14 = •

              • =

                z x zx

                19 •

                , ,

                22 x y z ! $ $

              • % $ %"
              • 2 + + • x y z = 2 2

                  1 3 3 + + = 3 2 • x y z 4 4 4 x y z $

                  3 x y z &

                • = + +
                • 25 " " $ "$ ( x , y ) %"

                  x y

                  60 = + &

                  19

                  95 4 3 2

                  26 f x = x

                  ( ) ( ) ( ) (

                  12 x

                • 3 −

                  3 + + + + + + 54 x 3 ) − 108 ( x 3 ) 81 $ "$

                  f ( ) x ! $ $ " ! % ! $ f ( 2005 ) & m

                  5 % $ 2 , 52525252 ..... ! $ $ % " $ ! m ! n 3 $

                  n

                  ≠ $ $ ! n m ! n % $ . % % $ ! %

                  ( + m n )

                  1

                  xy 1 yz 1 zx

                  1 5 $ x , y , z %" = , = , =

                  x 2 y 3 z

                  7

                • y + z + x

                  &

                  1

                  1

                  1

                  1

                  1 5' $ ! %

                  1

                  1

                  1 1 ... 1 & − − − − −

                  2

                  3

                  4 5 2004

                  1

                  1

                  1

                  1

                • 5) $ ! % ... &

                  1

                  2

                  2

                  3

                  3 4 2004 2005 × × × ×

                  1

                  1

                  1

                  1

                  5, $ ! % ... &

                  1

                  2

                  2

                  3

                  3

                  4 9999 10000

                  1 ! ) ( + × + a 2 2 ! ) ( a × 3 n n k 3 ! ) ... ( a × n ! ) = 2004 ! a ≠ , ≤ ak + 5/ ( + a ×

                • 1

                  ! k 1 , 2 , 3 ,..., n " a , n % % % " % & = ( ) 43 n 50 3 % " " # 43 !

                  1

                • 3 n

                  25 52 " $ " . n " # % $ $ " . & 2 n

                  5

                  57

                  1

                • 55 = a ! a , b , c , d ! $ $ " . $

                  1

                  17

                • b

                  1

                • c

                  d

                  1

                • ! % a × b × c × d &

                  2 y 2 y

                  3

                  z

                  3 z x 2005 yz 2005

                  zx 2005 xy

                • x

                  56 = = $ ! % 2 2 2

                  6

                  10 8 x y z

                  &

                  1

                  1

                  1

                  1

                  1

                  1

                  1

                  1 − − − + + + ... − !

                • 6 A =

                  2

                  3

                  4

                  5 6 2003 2004

                  1

                  1

                  1

                  1 2 2

                • B = ... $ $ AB & 1003 1004 1005 2004

                  1

                  1

                  1

                  1

                  1

                  6 4 ... < + + + + + 2 &

                  3 1 ! 2 ! 3 ! 4 ! 2005 !

                  1

                  1

                  1

                  1

                  1

                  1 6' $ ! %

                  & 2005 2004 2003 2003 2004 2005 + + + + + + ...

                  − − −

                  1

                  1 e 1 e 1 e 1 e + + + + + + e 1 e

                • 6) a , b , c , d ! $ $ % $ %" 4 b
                  • a 9 c

                  16 d =

                  52 4 • a 9 b 16 c 25 d 150

                • = 9 • a

                  16 b 25 c 36 d 800

                • = 16 a

                  25 b + + + $ 36 c 49 d &

                  1 2004

                • 6, x = $ $ ! % +
                • 3

                    2 4 x 2007 x 2000

                  • 2005 2004 2003

                    − −

                  • 4 x

                    4 x − 2003 x

                    1 6/ a ! ! $ $ % $ %"

                    11

                    b a b =

                  • 2 2 2 2 2

                      ab

                      1

                      1

                    • ! a b a b = 61 a b

                      1 $ ! % &

                      ( ) a b

                      60

                      3 4 " $ $ , $ "$ % % ! % % $ !% & 2004 62 $ " % % ! 3 # ! ! B 2005 &

                      A = ( k × k ) = k 1 =

                      1

                      1

                      1

                      1

                      65 x = 1 ...

                      4 86 < x < 89 &

                      2

                      3 4 2004

                      9 " $ 6 &

                      66 3 4 # " $ $ 6 # $

                      3

                      4

                    • $ "$ % % a , b , c , d
                      • ab ac ad bc bd cd 1 " ! ' & 3 4 " $ "$ %! % ! % 0 ! %

                      abcabc " $ $ " ! 6 &

                      ' α , β , γ ! $ " ! 9" ! ! $ " 3= $ ! % + sin α sin β sin γ cos α cos β cos γ &

                      ( )( ec ec ec ) + + + +

                      ) a , b , c ! $ " " 9" " " " 3= 3

                      4

                      a b c

                    • ≥ + 3 &
                    • − + b c a c ab a bc

                    • , a , b , c $ % $ " . ! a b c =

                      1

                      4

                      1 a 1 b 1 c 8 abc & ( − )( − )( − ) ≥

                    • / x ! y $ % $ %" x x y = 5 !
                    • x y y

                      10 & − = n 1 1 ( 1 + + = + + + + + + + + + + + + + + A 2 ) (

                      1

                      2 4 ) (

                      1

                      2

                      4 8 ) ... (

                      1

                      2

                      4 8 ... 2 )

                      % " $ A & 2 a , b , c , d $ % $ " . 4 + 2

                    • a b

                      ≥ ab

                      2 3

                    • a b c
                      • 3
                      • 4

                        abc

                        ≥

                      • a b c d

                        ≥ abcd

                        4 5 a , b , c $ % $ " . 2 2 2 2 2 2

                        4

                        a b ab b c bc a c ac

                        6 &

                        abc

                      • ≥ 6 " $ " # ! a , b , c , d $ % $

                        = % $

                      • abc bc ca a

                        ab c b

                      • 1
                      • <
                      • bcd bc cd db b c d =

                        9

                      • cda cd da ac c d a =

                        9

                        9

                      • bd = • dab da ab d a b
                      • a a 10 b a

                        a ! b ! $ $ % $ ! $ &amp;

                        2 =

                      • b b 4 n

                        10 a b

                        3

                      • 4 n $ "$ n

                        4 $ % &amp;

                        a c

                        ' a , b , c , d ! $ $ % $ " . ! %$ &lt;

                        4

                        b d

                      • a a c c

                        &amp; &lt; &lt;

                      • b b d d
                      • 3

                          3 4 n $ $ n + ) 2 n " $ $ " ! ) &amp;

                          , $ x , y , z $ % $ %" 2

                        • x + 2 yz = x
                        • 2 y zx y 2
                        • z + 2 xy = z

                          a b c

                          / ! % ) $ % $ " . a , b , c ! %$ = = , $

                          b c a

                        • 2003 a 2004 b 2005 c ! % &amp;

                          3

                          2

                        • a b c
                        • 5

                            3 4 n $ "$ $ ! % nn " ! ) &amp;

                            2 P ! Q % % 9 % % $ % " % ! % ( $ " $

                            ! % " $ %! % ! % , ! ! # $

                            9 ! $ 6 % . ( % % % " % ! % ( PQ )

                            1 5 " $ "$ N " N 1 " ! / ! N 1 "

                            − + ! , &amp; 6 3 % " $ $ " . ( x , y ) 8 8

                            x + y &lt; 10000

                            1 ' 4 " $ "$ % % ! ,'/ ! 5'/ "

                            3 $ !% &amp;

                            10

                            '

                            4

                            11 − 1 " ! &amp;

                            3 '' $ " . x , y , z + ! % %" 2 4 4

                            log log log x y z 2 • 3 9 9

                          • = +
                          • 4 + + log log • y z log x = 16 16

                              2

                              2

                            • z x y =
                            • log log log

                              a a a

                              ') $ " ! % a ! x ! $

                            • =

                              2

                              3

                              5 $ $ % " % $ ( $ " ! x &amp;

                              b c d ! a b c d

                              3

                              4 3 3 3 + + + 3 2 = × × × ≠ 2

                            • ', a

                              9 ( abc abd acd bcd ) &amp; + + + + + + a b c d = ( )

                              % $ !

                              1 2 ! x

                              1 2 2 &lt; y &lt; − y = + 4 x 4 y

                            • '/ x ! y $

                              3 + + + $ ! % 2 y − 6 x − 2 y 10 &amp; '0 $ %! % ! % ) ! 3 $ " ! ' ! " $

                              ! $ # $ 9 $ &amp; '2 $ 2 $ "$ % ! ! $ ' , a , b , c ! $ $

                            • % " % $ % ( $ ! % a b c &amp;

                              1

                              1

                              1

                              1 '5 " 3= 4 sin A sin B sin C &amp;

                            • $

                              × × ≤

                              2

                              2

                              2

                              8

                              1 '6 " 3= 4 cos A × cos B × cos C ≤ &amp;

                            • $

                              8 ) A , B ! , C ! $ " ! 9" ! ! " 3= 4 +

                              3

                            • sin A sin B sin C ≤ 3 &amp;

                              2

                              ) A , B ! , C ! $ " ! 9" ! ! $ " 3= 4 + 1

                              8 tan B . tan C

                              8 tan C . tan A

                              8

                              3 2 1 2 2 1 1

                            +

                            • 2
                            • 2 1 + 1 2
                            • tan A . tan B
                            • 5

                              3 π 5 π 2003 π

                              1 4 cos cos cos ... cos = + + + &amp;

                            • )'

                              3 2005 2005 2005 2005

                              2 )) " 3= %" ! $ (

                              4

                            • $

                              1

                              1 1 π

                              tan &amp; &gt; +

                            • tan A tan B C

                              2

                              2

                              2

                              2 4 sin A sin B sin C tan A tan B tan C &gt;

                            • ),

                              2 π 3 =

                              3 ! $ 9 " ! " " %" ! $ ( &amp; n

                              1

                              1

                              1

                              1 )/

                              4

                            • cot x

                              cot 2 x ... &amp; 3 + − + = n sin 2 x sin 4 x sin 8 x sin 2 x

                              )0 3 + 4 cos ec 10 cos ec 50 − cos ec 70 = 3 6 &amp; 2 )2 3 = ! $ % %" x px %9 qx r #

                              4 2 2 2 2

                            • =
                            • a b c = p − 2 q &amp;

                              1 )5 θ # cos 3 θ = ! $ %9 % %" 3

                              2 8 xx 6 − 1 = &amp; 2

                              1 2

                              5 2

                              7 )6 4 sec π sec π sec π

                              36 &amp;

                              3 = + +

                              9

                              9

                              9 , 3 = " ! 9" ! ! " 3=

                              4

                              tan A tan B tan C

                              3 3 &amp;

                              , 3 = " ! 9" ! ! " 3=

                              4

                              9

                              1

                              1

                              1

                            • cos ecA cos ecB cos ecC ≥ sec A . sec B . sec C &amp;

                              4

                              2

                              2

                              2

                              ,' 3 = " ! 9" ! ! " 3=

                              4 2

                              1 2

                              1 2

                              1

                            • cot A cot B cot C ≥ 9 &amp;

                              2

                              2

                              2 ,) 4 ! " " $ $ ! $ " "

                              3 ( " $ " %" " " " &amp; 2 2 2

                              ,, ( ! $ " " 9" " " " 3= 4 a b c

                              4

                              3

                              $ " " &amp; 2

                            • θ θ θ
                              • ,/ %" a cos b cos c sin d = ! ( ! $ % $ $ θ %$ ! %A $ θ

                              2 π # ≤ ≤ 4 θ θ θ θ = 1 2 3 + + + 4 2 π k ! k $ $ &amp;

                              ,0 4 a b c b c a c a b abc &amp; 3 ( + − )( + − )( ) + − ≤ ,2 ( ! $ " " 9" " " " 3=

                              4

                              ( + + + + a b c )( ab bc ca ) ≥ 9 abc

                              ,5 n $ "$

                              4 2005 &amp;

                              ( n

                              1 )( n 2 )( n + 3 ) ( ... n 2004 )( n 2005 ) ( &lt; n 1003 ) + + + + + ,6 x $ % $ " . 2003 2001 1999

                              1

                              1

                              1

                            • x x x ... ≥ 2004 &amp; 1999 2001 2003

                              x x x

                              1 ) 1 , = 2 ) =

                            • / % " B (( ' ) / 5 ) ' ! F (

                              1 " " " $ # $ (( •

                              2 ! F ( n + + + F ( 2 ) = F ( n 1 ) F ( n ) n

                              B F ( 100 ) !

                              2 " " • " $ # $ B (( F ( 2004 ) !

                              2

                              / % % /:/ $ '0 ! ! $ ! "

                              %" # 4 ! ' # % % ! %

                              2 &amp;

                              /' . " . ! " " $ # ! C ! $ % ! % f

                              9 x + ! y = z .9 D E7.9 DCE # 4 # f f x = 4 f ( )

                              { }

                              " 9" &amp; /) $ % ! ! % $ !

                              $ " ! " ! % $ ) , , / / 0 2 2 2&amp;