Komputasi untuk Sains dan Teknik -Dalam Matlab-

  Komputasi untuk Sains dan Teknik -Dalam Matlab- Supriyanto Suparno ( Website: http://supriyanto.fisika.ui.edu ) ( Email: supri@fisika.ui.ac.id atau supri92@gmail.com ) Edisi III Revisi terakhir tgl: 25 Agustus 2008

  Departemen Fisika-FMIPA, Univeristas Indonesia Dipublikasikan pertama kali pada September 2007

  Untuk

Nina Marliyani

Muflih Syamil

dan

  Hasan Azmi Ketekunan adalah jalan yang terpercaya untuk mengantarkan kita menuju kesuksesan (Supriyanto, 2007)

  

Kata Pengantar

Alhamdulillah, buku ini memasuki edisi ke-3. Penomoran edisi ini sebenarnya hanya untuk

  menandakan perubahan isi buku yang semakin kaya metode numerik dibandingkan dengan edisi-edisi sebelumnya. Pengayaan isi buku ini, sejujurnya, berasal dari sejumlah pertanyaan yang sampai ke mailbox saya, entah itu dalam bentuk konsultasi Tugas Akhir mahasiswa S1 sebagaimana yang penulis terima dari mahasiswa UNPAD, UDAYANA, UNESA dan UNSRI serta UI sendiri, ataupun sekedar pertanyaan seputar pekerjaan rumah seperti yang biasa di- tanyakan oleh para mahasiswa dari Univ. Pakuan, Bogor.

  Pertanyaan-pertanyaan itu menjadikan saya sadar bahwa buku edisi ke-II yang berjumlah 187 halaman, ternyata belum bisa memenuhi kebutuhan banyak mahasiswa yang memerlukan teknik pengolahan data secara numerik. Karenanya, insya Allah, pada edisi ke-III ini, saya akan menyajikan sebagian besar yang masih kurang lengkap itu secara bertahap.

  Ibarat pohon yang akan terus tumbuh semakin besar, buku ini pun memiliki tabiat per- tumbuhan sebagaimana pohon itu. Mulai ditulis pada tahun 2005 dengan isi yang seadanya, pokoknya asal tercatat. Kemudian di tahun 2006akhir menjadi catatan perkuliahan Komputasi Fisika. Pengayaan isi terus berlangsung hingga akhir 2007. Lalu di awal tahun 2008 diisi den- gan tambahan materi perkuliahan Analisis Numerik. Itulah yang saya maksud dengan tabiat pertumbuhan dari buku ini. Jika saya ditugaskan untuk mengajar mata kuliah Komputasi Fisika lagi pada awal September 2008, saya bertekad akan menurunkan seluruh isi buku ini kepada mahasiswa yang akan mengambil kuliah tersebut. Jadi materi Komputasi Fisika tahun 2007 dan materi Analisis Numerik 2008, digabung jadi satu kedalam satu semester dengan na- ma mata kuliah Komputasi Fisika. Kepada rekan-rekan mahasiswa yang akan ngambil mata kuliah tersebut, saya sampaikan permohonan maaf jika rencana ini akan membuat anda ku- rang tidur karena bakal semakin lama berada di depan komputer, menyelesaikan tugas dan

  report.

  Secara garis besar, ilmu fisika dapat dipelajari lewat 3 jalan, yaitu pertama, dengan meng- gunakan konsep atau teori fisika yang akhirnya melahirkan fisika teori. Kedua, dengan cara eksperimen yang menghasilkan aliran fisika eksperimental, dan ketiga, fisika bisa dipelajari lewat simulasi fenomena alam yang sangat mengandalkan komputer serta algoritma numerik. Tujuan penyusunan buku ini adalah untuk meletakkan pondasi dasar dari bangunan pema- haman akan metode-metode komputasi yang banyak digunakan untuk mensimulasikan fenom- ena fisika.

  Rujukan utama buku ini bersumber pada buku teks standar yang sangat populer di dunia komputasi, yaitu buku yang ditulis oleh Richard L. Burden dan J. Douglas Faires dengan judul

  

Numerical Analysis edisi ke-7, diterbitkan oleh Penerbit Brooks/Cole, Thomson Learning Aca-

  demic Resource Center. Disamping itu, buku ini dilengkapi oleh sejumlah contoh aplikasi iv Pada edisi ke-3 ini saya mulai mencoba membiasakan diri menulis script dalam lingkungan

  

Python dan Octave. Padahal, dalam edisi ke-2 yang lalu, script numerik disalin ke dalam 2

bahasa pemrograman, yaitu Fortran77 dan Matlab. Namun mayoritas ditulis dalam Matlab.

  Saya ingin ganti ke Python, lantaran dengan Python ataupun Octave, saya dan juga maha- siswa saya tidak perlu menginstal Matlab bajakan ke dalam komputer kami masing-masing.

  Buku yang sedang anda baca ini masih jauh dari sempurna. Keterkaitan antar Bab berikut isi-nya masih perlu perbaikan. Kondisi ini berpotensi membuat anda bingung, atau setidaknya menjadi kurang fokus. Oleh karena itu saya menghimbau kepada pembaca untuk menfokuskan diri melalui penjelasan singkat berikut ini:

• Bab 1 berisi pengenalan matrik, operasi matrik, inisialisasi matrik pada Matlab dan For- tran. Saran saya, setiap pembaca yang masih pemula di dunia pemrograman, harus menguasai Bab I terlebih dahulu. Disamping itu penjelasan lebih terperinci tentang bagaimana menentukan indeks i, j dan k dalam proses looping disajikan pada Bab I, un- tuk memberi pondasi yang kokoh bagi berdirinya bangunan pemahaman akan teknik- teknik numerik selanjutnya.
• Untuk mempelajari metode Finite-Difference, dianjurkan mulai dari Bab 1, Bab 2, Bab 4, Bab 7, dan Bab 8.
• Untuk mempelajari dasar-dasar inversi, dianjurkan mulai dari Bab 1, Bab 2, dan Bab 3.

  Akhirnya saya ingin mengucapkan rasa terima kasih yang tak terhingga kepada Dede

  A

  Djuhana yang telah berkenan memberikan format L TEX-nya sehingga tampilan tulisan pada buku ini benar-benar layaknya sebuah buku yang siap dicetak. Tak lupa, saya pun sepatutnya berterima kasih kepada seluruh rekan diskusi yaitu para mahasiswa yang telah mengambil mata kuliah Komputasi Fisika PTA 2006/2007 di Departemen Fisika, FMIPA, Universitas In- donesia. Kepada seluruh mahasiswa dari berbagai universitas di Timur dan di Barat Indonesia juga perlu saya tulis disini sebagai ungkapan terima kasih atas pertanyaan-pertanyaan mereka yang turut memperkaya isi buku ini.

  Walaupun buku ini masih jauh dari sempurna, namun semoga ia dapat menyumbangkan kontribusi yang berarti bagi terciptanya gelombang kebangkitan ilmu pengetahuan pada diri anak bangsa Indonesia yang saat ini sedang terpuruk. Saya wariskan ilmu ini untuk siswa dan mahasiswa Indonesia dimanapun mereka berada. Kalian berhak memanfaatkan buku ini. Saya izinkan kalian untuk meng-copy dan menggunakan buku ini selama itu ditujukan untuk belajar dan bukan untuk tujuan komersial, kecuali kalau saya dapat bagian komisi-nya :) . Bagi yang ingin berdiskusi, memberikan masukan, kritikan dan saran, silakan dikirimkan ke email:

  supri92@gmail.com

  Depok, 8 Juni 2008 Supriyanto Suparno

  

Daftar Isi

Lembar Persembahan i Kata Pengantar iii Daftar Isi iv Daftar Gambar vii Daftar Tabel x

  1 Matrik dan Komputasi 1 1.1 Pengenalan matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  1 1.2 Inisialisasi matrik dalam memori komputer . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  2 1.3 Macam-macam matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  3 1.3.1 Matrik transpose . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  3 1.3.2 Matrik bujursangkar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  3 1.3.3 Matrik simetrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  3 1.3.4 Matrik diagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  4 1.3.5 Matrik identitas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  4 1.3.6 Matrik upper-triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  4 1.3.7 Matrik lower-triangular . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  4 1.3.8 Matrik tridiagonal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  5 1.3.9 Matrik diagonal dominan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  5 1.3.10 Matrik positive-definite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  5 1.3.11 Vektor-baris dan vektor-kolom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  6 1.4 Operasi matematika . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  7 1.4.1 Penjumlahan matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  7 1.4.2 Komputasi penjumlahan matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  8 1.4.3 Perkalian matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  10 1.4.4 Komputasi perkalian matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  12 1.4.5 Perkalian matrik dan vektor-kolom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  14 1.4.6 Komputasi perkalian matrik dan vektor-kolom . . . . . . . . . . . . . . . .

  15 1.5 Penutup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  16 1.6 Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  16

  2 Metode Eliminasi Gauss 17 2.1 Sistem persamaan linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  17 vi 2.3 Matrik dan Eliminasi Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  21 2.4 Algoritma eliminasi Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  82 5.4 Iterasi Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  72 5.2.2 Perhitungan norm-selisih . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  73 5.3 Iterasi Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  73 5.3.1 Script Matlab metode iterasi Jacobi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  76 5.3.2 Optimasi script Matlab untuk menghitung iterasi . . . . . . . . . . . . . .

  79 5.3.3 Algoritma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  81 5.3.4 Program dalam Fortran . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  83

  71 5.2 Pengertian Norm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  5.4.1 Script iterasi Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  84 5.4.2 Algoritma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  85 5.4.3 Script iterasi Gauss-Seidel dalam Fortran . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  86 5.5 Iterasi dengan Relaksasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  87 5.5.1 Algoritma Iterasi Relaksasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  89

  6 Interpolasi 91 6.1 Interpolasi Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  72 5.2.1 Script perhitungan norm dalam Matlab . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  5 Metode Iterasi 71 5.1 Kelebihan Vektor-kolom . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  23 2.4.1 Algoritma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  39 3.1.1 Script matlab inversi model garis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  25 2.5 Contoh aplikasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  29 2.5.1 Menghitung arus listrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  29 2.6 Menghitung invers matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  31 2.7 Penutup . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  37

  3 Aplikasi Eliminasi Gauss pada Masalah Inversi

  39 3.1 Inversi Model Garis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  42 3.2 Inversi Model Parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  65

  45 3.2.1 Script matlab inversi model parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  48 3.3 Inversi Model Bidang . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  51 3.4 Contoh aplikasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  53 3.4.1 Menghitung gravitasi di planet X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  53

  4 Metode LU Decomposition 61 4.1 Faktorisasi matrik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  61 4.2 Algoritma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  91 vii

  7 Diferensial Numerik 101

  7.1 Metode Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101

  7.2 Metode Runge Kutta . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107

  7.2.1 Aplikasi: Pengisian muatan pada kapasitor . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

  7.3 Metode Finite Difference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115

  7.3.1 Script Finite-Difference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118

  7.3.2 Aplikasi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 123

  7.4 Persamaan Diferensial Parsial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124

  7.5 PDP eliptik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125

  7.5.1 Contoh pertama . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127

  7.5.2 Script Matlab untuk PDP Elliptik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130

  7.5.3 Contoh kedua . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132

  7.6 PDP parabolik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

  7.6.1 Metode Forward-difference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133

  7.6.2 Contoh ketiga: One dimensional heat equation . . . . . . . . . . . . . . . . . 134

  7.6.3 Metode Backward-difference . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 139

  7.6.4 Metode Crank-Nicolson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

  7.7 PDP Hiperbolik . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

  7.7.1 Contoh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 148

  7.8 Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 149

  8 Integral Numerik 151

  8.1 Metode Trapezoida . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151

  8.2 Metode Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

  8.3 Metode Composite-Simpson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 153

  8.4 Adaptive Quardrature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 155

  8.5 Gaussian Quadrature . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

  8.5.1 Contoh . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156

  8.5.2 Latihan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 157

  9 Mencari Akar 159

  9.1 Metode Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 159

  10 Metode Monte Carlo 161

  10.1 Penyederhanaan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

  11 Inversi 165

  11.1 Inversi Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 165

  11.2 Inversi Non-Linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 168

  Daftar Pustaka 171 Indeks 173 viii

  Daftar Gambar 3.1 Sebaran data observasi antara temperatur dan kedalaman . . . . . . . . . . . . .

  40 3.2 Grafik data pengukuran gerak batu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  54 3.3 Grafik hasil inversi parabola . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  57 6.1 Fungsi f (x) dengan sejumlah titik data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  93 6.2 Pendekatan dengan polinomial cubic spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  93 6.3 Profil suatu object . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  98 6.4 Sampling titik data . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  99 6.5 Hasil interpolasi cubic spline . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  99

  6.6 Hasil interpolasi lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100

  7.1 Kiri: Kurva y(t) dengan pasangan titik absis dan ordinat dimana jarak titik absis sebe-

  

sar h. Pasangan t adalah y(t ), pasangan t adalah y(t ), begitu seterusnya. Kanan:

  1

  1

  2

  2 Garis singgung yang menyinggung kurva y(t) pada t=a, kemudian berdasarkan garis

singgung tersebut, ditentukan pasangan t sebagai w . Perhatikan gambar itu sekali

  

1

  1 ) beda tipis alias tidak sama persis. lagi! w dan y(t . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102

  1

  1

  7.2 Kurva biru adalah solusi exact, dimana lingkaran-lingkaran kecil warna biru pada kurva

  

menunjukkan posisi pasangan absis t dan ordinat y(t) yang dihitung oleh Persamaan

(7.9). Sedangkan titik-titik merah mengacu pada hasil perhitungan metode euler, yaitu

_i nilai w . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106

  7.3 Kurva biru adalah solusi exact, dimana lingkaran-lingkaran kecil warna biru pada kurva

  

menunjukkan posisi pasangan absis t dan ordinat y(t) yang dihitung oleh Persamaan

(7.9). Sedangkan titik-titik merah mengacu pada hasil perhitungan metode Runge Kutta

_i orde 4, yaitu nilai w .

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

  7.4 Rangkaian RC . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111

  7.5 Kurva pengisian muatan q (charging) terhadap waktu t . . . . . . . . . . . . . . . 115

  7.6 Kurva suatu fungsi f (x) yang dibagi sama besar berjarak h. Evaluasi kurva yang dilakukan Finite-Difference dimulai dari batas bawah X = a hingga batas atas x = b . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116

  7.7 Skema grid lines dan mesh points pada aplikasi metode Finite-Difference . . . . . . 126

  7.8 Susunan grid lines dan mesh points untuk mensimulasikan distribusi temperatur pada lempeng logam sesuai contoh satu . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 128

  

Sebatang logam dengan posisi titik-titik simulasi (mesh-points) distribusi temperatur.

  7.9 Jarak antar titik ditentukan sebesar h = 0, 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 x

  DAFTAR GAMBAR

  7.11 Posisi mesh-points. Arah x menunjukkan posisi titik-titik yang dihitung dengan forward-

  difference, sedangkan arah t menunjukkan perubahan waktu yg makin meningkat . . . . 135

Metode Trapezoida. Gambar sebelah kiri menunjukkan kurva fungsi f (x) dengan batas

  8.1

  

bawah integral adalah a dan batas atas b. Gambar sebelah kanan menunjukan cara

metode Trapesoida menghitung luas area integrasi, dimana luas area adalah sama den-

gan luas trapesium di bawah kurva f (x) dalam batas-batas a dan b . . . . . . . . . . . 152

  8.2 Metode Simpson. Gambar sebelah kiri menunjukkan kurva fungsi f (x) dengan batas

  

bawah integral adalah a dan batas atas b. Gambar sebelah kanan menunjukan cara

metode Simpson menghitung luas area integrasi, dimana area integrasi di bawah kurva

f (x) dibagi 2 dalam batas-batas a dan b

  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152

  8.3 Metode Composite Simpson. Kurva fungsi f (x) dengan batas bawah integral adalah a

  

dan batas atas b. Luas area integrasi dipecah menjadi 8 area kecil dengan lebar masing-

masing adalah h. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154

  9.1 Metode Newton . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160

  10.1 Lingkaran dan bujursangkar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161

  10.2 Dart yang menancap pada bidang lingkaran dan bujursangkar . . . . . . . . . . . 162

  10.3 Dart yang menancap pada bidang 1/4 lingkaran dan bujursangkar . . . . . . . . 163

  Daftar Tabel 3.1 Data temperatur bawah permukaan tanah terhadap kedalaman . . . . . . . . . .

  39 3.2 Data temperatur bawah permukaan tanah terhadap kedalaman . . . . . . . . . .

  45 3.3 Data ketinggian terhadap waktu dari planet X . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  53 5.1 Hasil akhir elemen-elemen vektor x hingga iterasi ke-10 . . . . . . . . . . . . . . .

  79 5.2 Hasil perhitungan norm-selisih (dengan ℓ ) hingga iterasi ke-10 . . . . . . . . . .

  80

  2 5.3 Hasil Iterasi Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  84 5.4 Hasil perhitungan iterasi Gauss-Seidel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

  88 5.5 Hasil perhitungan iterasi Relaksasi dengan ω = 1, 25 . . . . . . . . . . . . . . . . .

  88

  7.1 Solusi yang ditawarkan oleh metode euler w dan solusi exact y(t ) serta selisih

  i i

  antara keduanya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105

  7.2 Solusi yang ditawarkan oleh metode Runge Kutta orde 4 (w i ) dan solusi exact y(t ) serta selisih antara keduanya . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110

  i

  7.3 Perbandingan antara hasil perhitungan numerik lewat metode Runge Kutta dan hasil perhitungan dari solusi exact, yaitu persamaan (7.16) . . . . . . . . . . . . . 114

  

Hasil simulasi distribusi panas bergantung waktu dalam 1-dimensi. Kolom ke-2 adalah

  7.4

  

solusi analitik/exact, kolom ke-3 dan ke-5 adalah solusi numerik forward-difference. Kolom

ke-4 dan ke-6 adalah selisih antara solusi analitik dan numerik . . . . . . . . . . . . . . 139

  7.5 Hasil simulasi distribusi panas bergantung waktu dalam 1-dimensi dengan metode backward-

  difference dimana k = 0, 01 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 143

  7.6 Hasil simulasi distribusi panas bergantung waktu (t) dalam 1-dimensi dengan metode backward-difference dan Crank-Nicolson . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 146

  8.1 Polinomial Legendre untuk n=2,3,4 dan 5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156 xii

  

DAFTAR TABEL

Bab 1 Matrik dan Komputasi

  ✍ Objektif : _⊲ Mengenalkan matrik dan jenis-jenis matrik. _⊲ Mengenalkan operasi penjumlahan dan perkalian matrik. _⊲ Mendeklarasikan elemen-elemen matrik ke dalam memori komputer. _⊲ Membuat script operasi matrik.

1.1 Pengenalan matrik

  dari elemen-elemen yang dinyatakan dengan huruf kecil diikuti angka-angka indeks, misalnya a

  21

  11

  = 3, a

  12

  = 8, a

  13

  = 5, a

  = 6, a

  2×3 A = ^"

  22

  = 4, dan a

  23 = 7.

  Contoh 2: Matrik B

  3×2 B =

^

^

_

  1 3 5 9 ^{ } _

  

A n×m . Huruf n menyatakan jumlah baris, dan huruf m jumlah kolom. Suatu matrik tersusun

  3 8 5 6 4 7 ^# dimana masing-masing elemennya adalah a

  (1.1) Contoh 1: Matrik A

  ij , dimana indeks i menunjukan posisi baris ke-i dan indeks j menentukan posisi kolom ke-j.

  a

  A = (a ij

  ) = ^{   } _{ } a

  11

  a

  12

  . . . a

  1m

  

21 a

22 . . . a 2m ..

  nm ^{     }

  .

  .. .

  .. . a

  n1

  a

  n2

  Notasi suatu matrik berukuran n x m ditulis dengan huruf besar dan dicetak tebal, misalnya

  . . . a

  2 BAB 1. MATRIK DAN KOMPUTASI dimana masing-masing elemennya adalah b

  11 = 1, b 12 = 3, b 21 = 5, b 22 = 9, b 31 = 2, dan

  b

  32 = 4.

1.2 Inisialisasi matrik dalam memori komputer

  4 A(2,1) = 6 _{5 A(2,2) = 4 6 A(2,3) = 7}

  Sedangkan untuk matrik B 3×2 , sesuai Contoh 2 adalah _{1 B(1,1) = 1 2 B(1,2) = 3 3 B(2,1) = 5}

  4 ^{B(2,2) = 9} _{5 B(3,1) = 2 6 B(3,2) = 4}

  Dalam bahasa pemrograman Fortran77, cara mengisi memori komputer dengan elemen-elemen matrik A 2×3 , sesuai dengan Contoh 1 adalah _{1 A(1,1) = 3 2 A(1,2) = 8 3 A(1,3) = 5}

  A 2×3 , sesuai dengan Contoh 1 adalah _{1 clear all 2 clc 3}

  4 A(1,1) = 3; _{5 A(1,2) = 8; 6 A(1,3) = 5; 7 A(2,1) = 6; 8 A(2,2) = 4;}

  9 ^{A(2,3) = 7;} _{10 A}

  Sedangkan untuk matrik B 3×2 , sesuai Contoh 2 adalah _{1 clear all 2 clc 3}

  4 B(1,1) = 1; _{5 6 B(2,1) = 5; 7 B(2,2) = 9; 8 B(3,1) = 2;}

  9 ^{B(3,2) = 4;} _{10 B}

  Ini bukan satu-satunya cara menginisialisasi suatu matrik, disamping itu, ada juga cara lain

  Sementara dalam Matlab, cara mengisi memori komputer dengan elemen-elemen matrik

1.3. MACAM-MACAM MATRIK

  3 _{1 clear all 2 clc}

  3 _{4 A=[ 3 8 5 5 6 4 7 ]; 6 7 B=[ 1 3}

  8 ^{5 9} _{9 2 4 ];}

  atau _{1 clear all}

  2 clc _{3 4 A=[ 3 8 5 ; 6 4 7 ]; 5 B=[ 1 3 ; 5 9 ; 2 4];}

1.3 Macam-macam matrik

  T

  atau A

  t .

  Contoh 3: Operasi transpose terhadap matrik A

  Operasi transpose terhadap suatu matrik akan menukar elemen-elemen dalam satu kolom menjadi elemen-elemen dalam satu baris; demikian pula sebaliknya. Notasi matrik tranpose adalah A

  3 8 5 6 4 7 ^#

  A t

  = ^{ } _ 3 6 8 4 5 7 ^{  }

  1.3.2 Matrik bujursangkar Matrik bujursangkar adalah matrik yang jumlah baris dan jumlah kolomnya sama.

  Contoh 4: Matrik bujursangkar berukuran 3x3 atau sering juga disebut matrik bujursangkar orde 3

  A =

^

^

_

  1 3 8 5 9 7 2 4 6 ^{  }

  1.3.3 Matrik simetrik

  Matrik simetrik adalah matrik bujursangkar yang elemen-elemen matrik A bernilai sama den-

  1.3.1 Matrik transpose

  A = ^"

  4 BAB 1. MATRIK DAN KOMPUTASI Contoh 5: Matrik simetrik _{   }

  2

  1

  2

  _{   } 1 _ −3 7 −3 7 5   −3 6 −2 t −3 6 −2 5  _{   }

  A = A = _{       }

  7

  6

  9

  8

  7

  6

  9

  8

  1

  1 −2 8 10 −2 8 10

  1.3.4 Matrik diagonal

  Matrik diagonal adalah matrik bujursangkar yang seluruh elemen-nya bernilai 0 (nol), kecuali elemen-elemen diagonalnya.

  Contoh 6: Matrik diagonal orde 3 _{   }

  11 A = _{ }

  29

  61

  1.3.5 Matrik identitas

  Matrik identitas adalah matrik bujursangkar yang semua elemen-nya bernilai 0 (nol), kecuali elemen-elemen diagonal yang seluruhnya bernilai 1.

  Contoh 7: Matrik identitas orde 3 _{   } 1 0 0

  I = _{ } 0 1 0 0 0 1

  1.3.6 Matrik upper-triangular

  Matrik upper-tringular adalah matrik bujursangkar yang seluruh elemen dibawah elemen di- agonal bernilai 0 (nol).

  Contoh 8: Matrik upper-triangular _{     0 4 1 5   } 3 6 2 1

  A = _{   } 0 0 8 7 0 0 0 9

  1.3.7 Matrik lower-triangular

  Matrik lower-tringular adalah matrik bujursangkar yang seluruh elemen diatas elemen diago-

1.3. MACAM-MACAM MATRIK

  5 Contoh 9: Matrik lower-triangular _{    }

  12 32  _{ } −2

  A = _{   }

  8 7 11 0

  6

  9 −5 10

  1.3.8 Matrik tridiagonal

  Matrik tridiagonal adalah matrik bujursangkar yang seluruh elemen bukan 0 (nol) berada dis- ekitar elemen diagonal, sementara elemen lainnya bernilai 0 (nol).

  Contoh 10: Matrik tridiagonal _{     }

  3

  6 _{ } 2 −4 1

  A = _{ }

  5 _{ } 8 −7

  3

  9

  1.3.9 Matrik diagonal dominan

  Matrik diagonal dominan adalah matrik bujursangkar yang memenuhi _X n (1.2)

  

ii ij

  |a | > |a |

  

j=1,j6=i

  dimana i=1,2,3,..n. Coba perhatikan matrik-matrik berikut ini _{   } 7 2

  6

  4 _{   } −3

  A = B = _{ 3 5 −1   −2 }

  4

  1 0 5 −6 −3 Pada elemen diagonal a matrik A,

  ii

  |7| > |2|+|0|, lalu |5| > |3|+|−1|, dan |−6| > |5|+|0|. Maka matrik A disebut matrik diagonal dominan. Sekarang perhatikan elemen diagonal matrik B, |6| < |4| + | − 3|, | − 2| < |4| + |0|, dan |1| < | − 3| + |0|. Dengan demikian, matrik B bukan matrik diagonal dominan.

  1.3.10 Matrik positive-definite

  Suatu matrik dikatakan positive-definite bila matrik tersebut simetrik dan memenuhi

  6 BAB 1. MATRIK DAN KOMPUTASI Contoh 11: Diketahui matrik simetrik berikut _{ }

  2 _{ } −1

  A = _{ −1 −1 }

  2

  2 −1 untuk menguji apakah matrik A bersifat positive-definite, maka _{   } 2 x

  1 _{h i} −1 t _{   } x Ax = x x x

  2 x

  1

  2

  3

  2 _{   } −1 −1 2 x

  3 _{ } −1

  2x

  1

  2 _{h i  } − x

  = x x x + 2x

  1

  2

  3 _{ −x − x }

  

1

  2

  3

• 2x

  2

  3

  −x

  2

  2

  2

  = 2x x + 2x x + 2x

  1

  2

  2

  3 1 − 2x 2 − 2x

  3

  2

  2

  2

  2

  2

  2

  = x + (x x + x ) + (x x + x ) + x

  1

  2

  2

  3

  1 1 − 2x

  2 2 − 2x

  3

  3

  2

  2

  2

  2

  = x + (x

  1 2 ) + (x

  2 3 ) + x

  1

  3

  − x − x Dari sini dapat disimpulkan bahwa matrik A bersifat positive-definite, karena memenuhi

  2

  2

  2

  2

  x + (x ) + (x ) + x > 0

  1

  2

  2

  3 1 − x − x 3 kecuali jika x =x =x =0.

  1

  2

  3

1.3.11 Vektor-baris dan vektor-kolom

  Notasi vektor biasanya dinyatakan dengan huruf kecil dan dicetak tebal. Suatu matrik dina- makan vektor-baris berukuran m, bila hanya memiliki satu baris dan m kolom, yang diny- atakan sebagai berikut _{h i h i}

  a = = (1.4)

  a

  11 a 12 . . . a 1m a 1 a 2 . . . a m

  Sedangkan suatu matrik dinamakan vektor-kolom berukuran n, bila hanya memiliki satu kolom dan n baris, yang dinyatakan sebagai berikut _{   } a a _{   }

  11

  1

  a a _{       }

  21

  2 a = = (1.5) _{   } .. .. _{   } . .

  1.4. OPERASI MATEMATIKA

  7

  1.4 Operasi matematika

1.4.1 Penjumlahan matrik

  Operasi penjumlahan pada dua buah matrik hanya bisa dilakukan bila kedua matrik tersebut berukuran sama. Misalnya matrik C

  2×3 _{" #}

  9 5 3

  C =

  7 2 1 dijumlahkan dengan matrik A 2×3 , lalu hasilnya (misalnya) dinamakan matrik D 2×3 _{" # " #}

D = A + C

3 8 5 9 5 3

• D = _{" #}

  6 4 7 7 2 1 3 + 9 8 + 5 5 + 3 = _{" #} 6 + 7 4 + 2 7 + 1 12 13 8 =

  13

  6

  8 Tanpa mempedulikan nilai elemen-elemen masing-masing matrik, operasi penjumlahan antara matrik A dan C , bisa juga dinyatakan dalam indeks masing-masing dari kedua matrik

  2×3 2×3

  tersebut, yaitu _{" # " #} d d d a + c a + c a + c

  11

  12

  13

  11

  11

  12

  12

  13

  13

  = d d d a + c a + c a + c

  21

  22

  23

  21

  21

  22

  22

  23

  23 Dijabarkan satu persatu sebagai berikut

  d = a + c

  11

  11

  11

  d = a + c

  12

  12

  12

  d

  13 = a

13 + c

13 (1.6)

  d = a + c

  21

  21

  21

  d = a + c

  22

  22

  22

  d = a + c

  23

  23

  23 Dari sini dapat diturunkan sebuah rumus umum penjumlahan dua buah matrik

  d = a + c

  ij ij ij (1.7)

1.4.2 Komputasi penjumlahan matrik

  = a

  8 BAB 1. MATRIK DAN KOMPUTASI

  Berdasarkan contoh operasi penjumlahan di atas, indeks j pada persamaan (1.7) lebih cepat berubah dibanding indeks i sebagaimana ditulis pada persamaan (1.6), d

• c

  11

• c
• c

  Dalam matlab, algoritma penjumlahan dua matrik ditulis sebagai berikut: _{1 for i=1:2 2 for j=1:3}

  sedangkan dalam Fortran77 _{1 do i=1,n 2 do j=1,m}

  4 ^end _{5 end}

  Perlu dicatat bahwa ukuran matrik tidak terbatas hanya 2x3. Tentu saja anda bisa men- gubah ukurannya sesuai dengan keperluan atau kebutuhan anda. Jika ukuran matrik diny- atakan secara umum sebagai n x m, dimana n adalah jumlah baris dan m adalah jumlah kolom, maka bentuk pernyataan komputasinya dalam matlab menjadi _{1 for i=1:n 2 for j=1:m 3 D(i,j)=A(i,j)+C(i,j);}

  3 ^{D(i,j)=A(i,j)+C(i,j)} _{4 end do 5 end do} Perhatikan kedua script di atas! Penulisan indeks i harus didahulukan daripada indeks j.

  adalah _{1 do i=1,2 2 do j=1,3}

  2×3

  dan C

  2×3

  Sedangkan dalam Fortran77, operasi penjumlahan antara matrik ditulis sebagai berikut: A

  3 ^{D(i,j)=A(i,j)+C(i,j);} _{4 end 5 end}

  3. Hal ini membawa konsekuensi pada script pemrograman, dimana looping untuk indeks j harus diletakkan di dalam looping indeks i. Pokoknya yang looping-nya paling cepat harus

  diletakkan paling dalam; sebaliknya, looping paling luar adalah looping yang indeksnya paling jarang berubah.

  

11

  13 Jelas terlihat, ketika indeks i masih bernilai 1, indeks j sudah berubah dari nilai 1 sampai

  = a

  13

  d

  12

  

12

  = a

  12

  d

  11

  

13

  _{5 4 end do}

1.4. OPERASI MATEMATIKA

  _{end do}

  9 Sekarang, mari kita lengkapi dengan contoh sebagai berikut: diketahui matrik A 2×3 _{" #} 3 8 5

  A =

  6 4 7 dan matrik C

  2×3 _{" #}

  9 5 3

  C =

  7 2 1 _{1 2 clc} Program untuk menjumlahkan kedua matrik tersebut dalam matlab adalah: _{clear all 5 4 A(1,1) = 3;}

  3 _{6 A(1,3) = 5; 7 A(1,2) = 8; A(2,1) = 6; 12 C(1,3) = 3; 11 10 C(1,1) = 9; 9}

  8 A(2,2) = 4; _{C(1,2) = 5; A(2,3) = 7; 13 14 C(2,2) = 2; 16 n=2 15 17 m=3} C(2,1) = 7; _{C(2,3) = 1; 18 20 22 21 19 end} for i=1:n _{end for j=1:m D(i,j)=A(i,j)+C(i,j); 2 1} sedangkan dalam Fortran77 _{A(1,2) = 8 A(1,1) = 3 A(1,3) = 5 5 6 4}

  3 _{A(2,1) = 6 C(1,1) = 9 A(2,3) = 7 A(2,2) = 4 11 C(2,2) = 2 12 10 8 9 C(1,3) = 3} C(1,2) = 5 _{C(2,3) = 1 C(2,1) = 7 15 do i=1,n 14} 13 n=2 _m=3

  _{18 17 D(i,j)=A(i,j)+C(i,j)}

  10 _{end do}

BAB 1. MATRIK DAN KOMPUTASI

  19 end do

1.4.3 Perkalian matrik

  Operasi perkalian dua buah matrik hanya bisa dilakukan bila jumlah kolom matrik pertama sama dengan jumlah baris matrik kedua. Jadi kedua matrik tersebut tidak harus berukuran sama seperti pada penjumlahan dua matrik. Misalnya matrik A dikalikan dengan matrik

  2×3 B 3×2 , lalu hasilnya (misalnya) dinamakan matrik E 2×2

  = A .B _{" #} E 2×2 2×3 3×2 _{ } 1 3 3 8 5 _{ }

  E = 5 9 _{ }

  6 4 7 _{" #} 2 4 3.1 + 8.5 + 5.2 3.3 + 8.9 + 5.4

  = _{" #} 6.1 + 4.5 + 7.2 6.3 + 4.9 + 7.4 53 101 =

  40

  82 Tanpa mempedulikan nilai elemen-elemen masing-masing matrik, operasi perkalian antara matrik A dan B , bisa juga dinyatakan dalam indeks masing-masing dari kedua matrik

  2×3 3×2

  tersebut, yaitu _{" # " #} e e a .b + a .b + a .b a .b + a .b + a .b

  11

  12

  11

  11

  12

  21

  13

  31

  11

  12

  12

  22

  13

  32

  = e e a .b + a .b + a .b a .b + a .b + a .b

  21

  22

  21

  11

  22

  21

  23

  31

  21

  12

  22

  22

  23

  32 Bila dijabarkan, maka elemen-elemen matrik E adalah 2×2

  e = a .b + a .b + a .b (1.9)

  12

  11

  12

  12

  22

  13

  32

  e = a .b + a .b + a .b

  21

  21

  11

  22

  21

  23 31 (1.10)

  e = a .b + a .b + a .b (1.11)

  22

  21

  12

  22

  22

  23

  32 Sejenak, mari kita amati perubahan pasangan angka-angka indeks yang mengiringi elemen e,

• a

  1..

• a 1..
• a

  2..

• a 2..
• a

  2..

• a 2..
• a

  i..

• a i..
• a

  i..

• a i..
• a

  i..

• a i..
• a

  i..

• a i..

• a

  i..

• a i..
• a

  i..

• a i..
• a

  i..

• a i..
• a

  i..

• a i..
• a

  i..

• a i..
• a

  i..

• a i..
• a

  i..

• a i..

  ..j

  .b

  ..j

  .b

  ..j

  .b

  = a i..

  ij

  Dengan demikian kita bisa mencantumkan huruf j sebagai pengganti angka-angka indeks yang polanya sama e

  ..2

  .b