Kalkulus1 Fungsi Dan Grafik Fungsi

BAB 2. FUNGSI & GRAFIKNYA
2.1 Fungsi
Secara intuitif, kita pandang y sebagai fungsi dari x jika terdapat
aturan dimana nilai y (tunggal) mengkait nilai x.

Contoh: 1. a. y  2 x 2  5

b. y  x 2  9

Definisi:
Suatu fungsi adalah suatu himpunan pasangan terurut (x,y) dimana
himpunan semua nilai x disebut daerah asal (domain ) dan himpunan
semua nilai y = f(x) disebut daerah hasil (ko-domain) dari fungsi
A

B
f
Notasi: f : A → B

x

y = f(x)
Daerah hasil

Daerah asal

Untuk contoh 1.a. mendefinisikan suatu fungsi. Namakan fungsi
itu f. Fungsi f adalah himpunan pasangan terurut (x,y) sehingga x
dan y memenuhi:
2

f  {( x, y ) / 2 x  5}

x

0

1

-1

2

-2

y

5

7

7

13

13

…

10
205

Fungsi f ini memuat pasangan terurut (0,5);(1,7);(-1,7);
(2,13);(-2,13);(10,205)
Dan f memuat tak berhingga banyak pasangan terurut.
1

Catatan:
1. Himpunan A, B є 
2. Fungsi:

y = f(x) ,
x peubah bebas
y peubah tak bebas, bergantung pada x
3. Daerah asal fungsi: Df = A = {x | fungsi f terdefinisi}
4. Daerah hasil fungsi: Wf = {y є B | y = f(x), x є Df }
5. Grafik fungsi: {(x,y) | x є Df , y = f(x)) }
y
y = f(x)
y
Wf

x

x

Df

Soal:

Buatlah sketsa grafik fungsi berikut, kemudian
tentukan daerah asal dan dan daerah hasilnya.
a. y = 2x + 1

b. y = x2 - 1

Ada beberapa penyajian fungsi yaitu
a.
b.
c.
d.

Secara verbal :
Secara numerik :
Secara visual :
Secara aljabar :

dengan uraian kata-kata.
dengan tabel
dengan grafik
dengan aturan/rumusan eksplisit
2

Contoh:
1. Secara verbal
Biaya pengiriman surat tercatat seberat w ons adalah B(w).
Aturan yang digunakan Kantor Pos adalah sebagai berikut.
Biaya pengiriman adalah Rp 1.000,00 untuk berat sampai
satu ons, ditambah Rp 250,00 untuk setiap ons tambahan
sampai 5 ons.
2. Secara numerik
Biaya pengiriman surat tercatat ditunjukkan tabel berikut.

Berat w (ons)

Biaya B(w) (rupiah)

0 < w ≤1

1.000

1< w ≤2

1.250

2 < w ≤3

1.500

3 < w ≤4

1.750

4 < w ≤5

2.000

3. Secara visual
Biaya pengiriman surat tercatat ditunjukkan grafik berikut.
B
R
u
p
i
a
h

2.000
1.500
1.000

w
0

1

2

3
Ons

4

5
3

4. Secara aljabar
Biaya pengiriman surat tercatat dinyatakan oleh fungsi
berikut.
1.000, jika 0  w  1
1.250, jika 1  w  2

B ( w)  1.500, jika 2  w  3

1.750, jika 3  w  4

 2.000, jika 4  w  5

2.2 Jenis-jenis Fungsi
1. Fungsi linear
Bentuk umum: y = f(x) = ax + b, a dan b konstanta
a = kemiringan garis
b = perpotongan garis dengan sumbu-y
Daerah asal dan daerah hasil: Df = ,
 Wf = 
y
Grafik:
y = ax + b
b
x

2. Polinomial
Bentuk umum:
y = P(x) = an xn + an-1 xn-1 + … + a2 x2 + a1 x + a0

dimana: an, an-1, …, a1, a0 = konstanta,
n = derajat polinom ( an 0)
Daerah asal: Df = 

4

Grafik:
Polinom derajat 2:
y

y = P(x) = ax2 + bx + c,
D = b2 - 4ac

y = P(x)

y

y
x

c

x

a < 0, D > 0

c

x

y = P(x)

c

y = P(x)

a < 0, D = 0

y

a < 0, D < 0

y

y

y = P(x)

y = P(x)

c

c
x

y = P(x)

c

x

a > 0, D > 0

x

a > 0, D = 0

a > 0, D < 0

Soal :
Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi berikut.
a. y = x2 + 2x - 1

b. y = -2x2 + 2x - 4

3. Fungsi pangkat
Bentuk umum: y = f(x) = xn ,
Daerah asal: Df = 
Grafik:
y

0

y=x
x

y

0

nє

y

y = x2
x

0

y = x3
x
5

4. Fungsi akar
Bentuk Umum: y  f ( x)  n x ,

n  2,3, 4,...

Daerah asal dan daerah hasil:
Df = [0,∞), Wf = [0, ∞), jika n genap
Df = , Wf = , jika n ganjil
y

Grafik:

y

y x
2

y3 x

x

0

0

x

Soal :
Tentukan daerah asal dan daerah hasil dari fungsi berikut
a. y 

x 1

y  x2  2x  2

b.

5. Fungsi kebalikan
1
y

,
Bentuk umum:
x

x0

Daerah asal dan daerah hasil:
Grafik:

Df =  - {0}, Wf =  - {0}

y
y

0

1
x

x

6

6. Fungsi rasional
Bentuk umum:
Daerah asal:

y

P( x)
Q( x) dimana: P, Q adalah polinom

Df =  - { x | Q(x) = 0}

Contoh:
Tentukan daerah asal dari fungsi rasional berikut
x2
x 1
a. y 
b. y  2
x 1
x 1

7. Fungsi aljabar
Definisi:
Fungsi f disebut fungsi aljabar jika fungsi tersebut dapat
dibuat dengan menggunakan operasi aljabar, yaitu:
penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan
penarikan akar, yang dimulai dengan polinom.
Contoh:
a. f ( x) 

x 1
x 1

b. f ( x) 

x 2
x2  1

 ( x  2) 3 x  1

Catatan:
Fungsi linear, polinom, fungsi pangkat, fungsi akar, fungsi
balikan dan fungsi rasional adalah fungsi aljabar.

7

8. Fungsi trigonometri
8.1 Fungsi sinus
Bentuk umum: y = f(x) = sin x, x dalam radian
Daerah asal dan daerah hasil: Df = , Wf = [-1,1]
y
Grafik:
y = sin x

1

-2π

0

-π

π

2π

x

-1

8.2 Fungsi cosinus
Bentuk umum: y = f(x) = cos x, x dalam radian
 Wf = [-1,1]
Daerah asal dan daerah hasil: Df = ,
Grafik:
y
y = cos x

1

π

-π

-2π

0

2π

x

-1

8.3 Fungsi tangen
sin x
,
cos x
Daerah asal : Df =  - {π/2 + nπ | n є }
Daerah hasil: Wf = 

Bentuk umum: y  f ( x)  tan x 

x dalam radian

8

y

Grafik:

y = tan x
1

-2π

--π

0

π

2π

x

-1

8.4 Fungsi trigonometri lainnya
Bentuk umum:

1
, x dalam radian
cos x
1
b. y  f ( x)  cosec x 
, x dalam radian
sin x
1
, x dalam radian
c. y  f ( x)  cot x 
tan x
a. y  f ( x)  sec x 

8.5 Beberapa sifat fungsi trigonometri
a. -1≤sin x ≤1

b. -1 ≤cos x ≤1

c. sin x = sin (x + 2π)

d. cos x = cos (x + 2 π)

e. tan x = tan (x + π)
9

9. Fungsi eksponensial
Bentuk umum: y = f(x) = ax,

a>0

Daerah asal dan daerah hasil: Df =  , Wf = (0,
Grafik:

y

) 

y

y = ax , a > 1

y = ax , 0 < a < 1

1

1

0

x

1

0

x

1

10. Fungsi logaritma
Bentuk umum : y = f(x) = loga x,

a>0

Daerah asal dan daerah hasil: Df = (0,
Grafik:

), Wf = 

y
y = loga x
1
0

1

x

10

11. Fungsi transenden
Definisi:
Fungsi transenden adalah fungsi yang bukan fungsi aljabar.
Himpunan fungsi transenden mencakup fungsi trigonometri
invers trigonometri, eksponensial dan logaritma.
Contoh:
Golongkan fungsi-fungsi berikut berdasarkan jenisnya.

1. f ( x)  4 x  1

2. f ( x)  tan 2 x
x6
4. f ( x) 
x6

3. f ( x)  10 x
5. f ( x)  log10 x
7. f ( x)  2t 5    t 2

x2
6. f ( x)  x 
x2
log10 x
8. f ( x)  x10 
2 x  x2

12. Fungsi yang terdefinisi secara sepotong-sepotong
(piecewise function)
Definisi:
Fungsi yang terdefinisi secara sepotong-sepotong adalah
fungsi dengan banyak aturan, dimana setiap aturan berlaku
pada bagian tertentu dari daerah asal.
y

Contoh:
x
1. f ( x) | x | 
 x

x0
x0

y = |x|
1
-1 0

x
1
11

x

2. f ( x)   2  x
0


y

0  x 1
1 x  2
x2

y = f(x)
x

0

1

2

3. Definisikan x = bilangan bulat terbesar yang lebih kecil
atau sama dengan x.
y
0  x 1
y = f(x)
0
3
1
1
2
x



2
f(x) = x 
2 x3
1
2
=
3
3 x  4
x
0

1

2

3

4

Catatan:
1. f(x) = |x| , f disebut fungsi nilai mutlak
2. f(x) = x , f disebut fungsi bilangan bulat terbesar

13. Fungsi genap dan fungsi ganjil
Definisi: [Fungsi genap]
Jika fungsi f memenuhi f(-x) = f(x) untuk setiap x di dalam
daerah asalnya, maka f disebut fungsi genap.
y

f(x)

-x

y = f(x)
x

x

Catatan:
Grafik fungsi genap simetri terhadap sumbu-y.

12

Definisi: [Fungsi ganjil]
Jika fungsi f memenuhi f(-x) = -f(x) untuk setiap x di dalam
daerah asalnya, maka f disebut fungsi ganjil.
y
y = f(x)

f(x)
-x
x

x

-f(x)

Catatan: Grafik fungsi ganjil simetri terhadap titik asal.
Soal:
Periksa apakah fungsi berikut adalah fungsi genap atau fungsi
ganjil atau bukan kedua-duanya.
a. f(x) = 1 - x4
c. f(x) = x2 + cos x

b. f(x) = x + sin x
d. f(x) = 2x - x2

14. Fungsi naik dan fungsi turun
Definisi: 1. Fungsi f disebut naik pada selang I jika

y

f(x1) < f(x2) untuk setiap x1 < x2 di I.
2. Fungsi f disebut turun pada selang I jika
f(x1) > f(x2) untuk setiap x1 < x2 di I.
y
y = f(x)

f(x2)

f(x1)

f(x1)

y = f(x)

f(x2)
x1

x2

Fungsi f naik

x

x1

x2

Fungsi f turun

x

13

Soal:
Periksa apakah fungsi f berikut adalah fungsi naik atau fungsi
turun pada selang I.
I = [0,  )
I = [  , 2]

a. f(x) = x2
b. f(x) = sin x

15. Fungsi Baru dari Fungsi Lama
Dari fungsi dasar dapat dibentuk fungsi baru dengan cara:
1. Transformasi fungsi: pergeseran, peregangan dan pencerminan
2. Operasi aljabar fungsi: penambahan, pengurangan, perkalian
dan pembagian
3. Komposisi fungsi

Transformasi fungsi
a. Pergeseran (translasi)
Misalkan c > 0, diperoleh 4 macam grafik:
1. y = f(x) + c, geser y = f(x) sejauh c satuan ke atas
y = f(x) + c

y

y = f(x+c)

y = f(x)

y = f(x-c)

c

c

c
c

y = f(x) - c

x

14

2. y = f(x) - c, geser grafik y = f(x) sejauh c satuan ke bawah
3. y = f(x - c) , geser y = f(x) sejauh c satuan ke kanan
4. y = f(x + c) , geser y = f(x) sejauh c satuan ke kiri
b. Peregangan (dilatasi)
Misalkan c > 1. Untuk memperoleh grafik:
1. y = cf(x), regangkan grafik y = f(x) secara tegak dengan
faktor c.
2. y = (1/c)f(x), mampatkan grafik y = f(x) secara tegak
dengan faktor c.
3. y = f(cx), mampatkan grafik y = f(x) secara mendatar
dengan faktor c.
4. y = f(x/c), regangkan grafik y = f(x) secara medatar
dengan faktor c.
y

y
y = 2 cos x

2

2

y = cos x
1

y = ½ cos x
0

π

2π

y = cos x

1

y = cos 2x

x

0

-1

-1

-2

-2

π

x

2π

y = cos ½ x

15

c. Pencerminan
Untuk memperoleh grafik:
1. y = -f(x), cerminkan grafik y = f(x) terhadap sumbu-x
2. y = f(-x), cerminkan grafik y = f(x) terhadap sumbu-y
y

y
y = f(x)

y = f(x)

y = f(-x)
f(x)

f(x)

x

x

-x

x

x

y = -f(x)
-f(x)

Contoh:
Gambarkan grafik fungsi berikut dengan menggunakan
sifat transformasi fungsi.
1. f(x)= |x-1|
3. f(x)= sin 2x

2. f(x) = x2+2x+1
4. f(x) = 1 - cos x

16

OPERASI FUNGSI ALJABAR
Definisi: [Aljabar fungsi]
Misalkan f dan g adalah fungsi dengan daerah asal Df dan
Dg. Fungsi f+g, f-g, fg dan f/g didefinisikan sebagai berikut
1. (f + g)(x) = f(x) + g(x)

Df+g = Df

2. (f - g)(x) = f(x) - g(x)

Df-g = Df

Dg.

3. (fg)(x) = f(x) g(x)

Dfg = Df

Dg.

4. (f/g)(x) = f(x)/g(x)

Df/g = {Df

Dg.

Dg.} – {x | g(x)= 0}

Contoh:
Tentukan f+g, f-g, fg dan f/g beserta daerah asalnya, jika
1. f ( x)  x 2

g ( x)  x

2. f ( x )  1  x

g ( x)  1  x

Komposisi fungsi
Definisi: [Komposisi fungsi]
Misalkan f dan g adalah fungsi dengan daerah asal Df dan
Dg. Fungsi komposisi f o g didefinisikan sebagai berikut:
(f o g)(x) = f(g(x))
di mana Df o g = {x є Dg | g(x) є Df }
17

Dg
a
x

g

Wg Df

f

Wf

g(a)
g(x)

f(g(x))

f°g

Soal :
Tentukan f o g, g o f dan f o f beserta daerah asalnya, jika

1. f ( x)  x 2
1
2. f ( x) 
x

g ( x)  x
g ( x)  x  1

18