Persiapan UN 2008 SMK NEGERI 2 WONOGIRI

  1. O PERA SI H I T U N G PA D A

  3. Bent uk A kar BI L A N GA N BERPA N GK A T Sif at oper asi bent uk akar 1. sif at -sif at eksponen/pangkat : a b ± c b = ( a ± c ) b a a p q p+q p p p

  = 1. a x a = a 5. (a x

  b) = a x b ab = a . b b p q p-q

  b

  2. a : a = a 6. a = 1

• p

  1 p q pq

  7. a = 3. (a ) = a Seder hanakan : p a 1. 300 p p _p

  a a

    q p _q

  4. =   8. a = a p

  b

  b  

  Pembahasan: 300

  2. Per samaan eksponen = 100x

  3 f )

  = 100x

  3

• ( x p

  a = a ⇔ f ( x ) = p

  = 10

  3 a = a ⇔ f ( x ) = g ( x ) f ( x ) f ( x )

• f ( x ) g ( x )

  2. Rasionalkan penyebut pec ahan akar

• a = b ⇔ f ( x ) = ber ikut :

  1

  3

  2 C ont oh soal dan Pembahasan: a.

  b.

  c.

  2

• 5

  3

  2

  2

  5 −

  2 p 2 q

  3

  2

  1. Seder hanakan ( ) . ( )

  3

  3 Pembahasan: − q p

  1

  1

  5

  5

  5

  1 Pembahasan:

  a. = . = = =

  5

  5

  5

  2

  5

  5

  5

  25

  p

  2 q

  3

  2

  ( ) . ( )

  3 −

  3

  3

  3 2 −

  3

  q p b. = .

  2

  3

  2

  3

• 2 −

  3

  6

  2

  p

  4 q

  ( ) . ( )

  ⇔

  9 3 ( 2 − 3 ) 6 −

  3

  3 −

  6

  q p = = =

  6

  3

  3 −

  2 3 )(

  2 3 )

  4

  3 − −

• (

  6

  9 2 −

  6 ⇔ ( p q ).( 4 q p )

  2

  2

  2

• 2

  5 6 ( 6 )

  9 + − +

  2 c. = .

  4 p q ⇔

  2 −

  5

  2 2 −

  5

  2

  2

• 2

  5

  11 ⇔ 4 p q

  2 (

  2

  2 5 )

  4

  2

  5

  2 + +

  11 = =

  2

  2 ⇔ 4q

  8

  5 ( 2 2 ) − ( 5 ) −

  2

• 4

  2 5 )

  1

  6 = = (

  4

  2

• 3

  2 5 )

• 2 x

  4 x

  3

  3 2. Seder hanakan: .

  −

  2 x Pembahasan:

  2. SI FA T SI FA T L O GA RI T M A

  3

  6

  4 x −

• 2 x

  2 x

  Rangkuman Sif at -sif at logar it ma:

  3

  6 2 x 4 x a a a a x a

  log xy = log x + log y

• −

  log x. log y = log y ⇔

  2 −

  2 x x _m x n a a a a a n

  6

  2

  3

  2

  log = log x – log y log x = . log x

  2 x x ⇔ 4 x x

• y m

  2

  6

  2 _a a n a

  ⇔ 2 x 4 x log x log x = n. log x = x a

• 3

  5

  8 ⇔ 2x + 4x m p a m a a log x n log x = . log x log x = p n log a

3. N ilai x yang memenuhi per samaan

  _{2 2} log x a

  x x

• a

  1 ₃ log x = log 1 = 0

  2 = 8 adalah ... . log a a a a a

  J ika log x = log y J ika log f (x) = log f (y) Pembahasan :

  maka f (x) = f (y) _{2 2} maka x = y

  x

• x

  1

  3 ³

  2 =

  2 ₂ ( )

  2 x ( )

• x

  1

  1. T ent ukan nilai dar i:

  2

  2

  =

  2

  3

  a. log

  27 x + 1 = 2x

  2

  1

  2 x – 2x + 1 = 0

  b. log

  8

  (x – 1) (x – 1 = 0 x = 1 Pembahasan: _{1 2} Pembahasan

  3

  3

  3

  3

  3

  a. log 27 = log 3 = log 3 = 6

  1 K edua t it ik (1,6) dan (3,8) disubst it usikan ke _{1 2 1 per samaan garis melalui dua t it ik.}

  2

  1 ²

  1

  2

  2 2 −

  3 y − y x − x

  b. log = log = log

  2

  1

  1

  3 =

  8

  2 y − y x − x

  2

  1

  2

  1 −

  3

  2 = . log2 = - 6 y −

  6 x −

  1

  1 ⇔ =

  2 8 −

  6 3 −

  1 y − 6 x −

  1 ⇔ =

2. H it unglah:

  2

  2

  3

  9

  2 log 81 – log 3 – log 2 = y

  6 x

  1 ⇔ − = −

  Pembahasan: ⇔ y = x + 5

  25

  5

  1

  4

• log 125 + log log2

  5 _{2 2} C at at an:

  3 5 −

  1

  2 Gar is g yang ber gr adien m dikat akan

• 5

  1

  1 = log log 5 log 5 + 2 + sejajar dengan g

  2 yang ber gr adien m

  2

  3

  1 = + (-1) + = 0 jika memenuhi m

  1 = m

  2

  2

2 C ont oh:

  3. T ent ukan x pada per samaan logar it ma A pakah gar is y = 5x + 12 sejajar dengan ber ikut :

  2 y = 5x −

  8 log (3x – 1) = 3 Penyelesaian: K ar ena m

  1 = m 2 = 5 maka kedua gar is t er sebut Pembahasan:

  2 sejajar . log (3x – 1) = 3

  2

• 2

  3 Gar is g 1 yang ber gr adien m 1 dikat akan log (3x – 1) = log 2

  ⇔

  2

  2 t egak lur us dengan g 2 yang ber gradien

  ⇔ log (3x – 1) = log 8 m 2 jika memenuhi m 1 . m

  2

  1 = −

  (3x – 1) = 8 ⇔

  C ont oh: ⇔ 3x = 9

  A pakah garis 2y 6x + 12 dan 9y 3x + 8 = = − x = 3

  ⇔ saling t egak lur us? Penyelesaian:

  3. PERSA M A A N GA RI S g 1 : 2y 6x + 12 y 3x + 6 m

  1

  3 = ⇒ = ⇒ =

  1

  8

  1

  g 2 : 9y = − 3x + 8 ⇒ y = − x ⇒ m 2 = −

• Gr adien

  3

  9

  3

  1 

  Per samaan garis biasa juga dit ulis y = mx + c, m 1 . m 2 = 3 . − = − 1 sehingga kedua garis

   

  3   y y

  ∆ y −

  2

  1 dengan m = = t an α at au m = saling t egak lur us.

  ∆ x x − x

  2

  1 4.

  Fungsi K uadr at

  1 ,y 1 ) dan Bent uk umum f ungsi kuadr at adalah ber gr adien m adalah

• Per samaan gar is melalui t it ik P(x

  2 y ax + bx + c dengan

  a, b, c d an a 0.

  = ∈ ℜ ≠ L angkah − langkah menggambar gr af ik y y

  1 m (x x 1 ) − = −

  2 f ungsi kuadr at y ax + bx + c :

  =

  1. M enent ukan pembuat nol f ungsi → y =

• Per samaan gar is melalui dua t it ik 0 at au f (x) = Pembuat nol f ungsi dar i per samaan y − y x − x

  1

  1 =

  2 kuadr at y = ax + bx + c diper oleh jika y − y x − x

  2

  1

  2

  1

  2 ax + bx + c

  0. Sehingga diper oleh =

  2 nilai x yang memenuhi ax + bx + c = 0.

1. T ent ukan per samaan gar is yang melalui

  − b P(3,9) dan ber gr adien 6.

  2. M enent ukan sumbu simet r i x =

  2 a

  3. M enent ukan t it ik punc ak P (x, y) Pembahasan − b D

  T it ik P(3,9) dan gr adien m = 6 disubst it usikan dengan x = dan y = 2 a − 4 a ke per samaan diat as

  2 D engan nilai diskr iminan D = b − 4ac. y − y 1 = m(x − x 1 ) J ika dit injau dar i nilai a dan D maka

  ⇔ y − 9 = 6(x − 3) sket sa gr af ik par abola sebagai ber ikut :

  ⇔ y = 6x − 18 +9

• D engan eliminasi

2 X

  11x =

  1 J adi punc aknya adalah t it ik (3, − 1). Sehingga sket sa gr af iknya adalah 5.

  1

     = −

  = +

  8

  3

  2

  1

  3 y x y x Penyelesaian:

  3x + y = 1 X 2 6x + 2y = 2 2x - 3y = 8 X 3 6x - 9y = 24 _ 11y = - 22 y = - 2 3x + y = 1 X 3 9x + 3y = 3 2x - 3y = 8 X 1 2x - 3y = 8 +

• X
• D engan Subst it usi    = − = +

  8

  11 x = 1 Penyelesaian sist em per samaan di at as adalah x = 1 ; y = - 2 .

  2 − 6(3) + 8 =

  3

  2

  1

  3 y x y x 3x + y = 1

  → y = 1 – 3x

  → 2x – 3y = 8 2x – 3 ( 1 – 3x ) = 8

  2x – 3 + 9x = 8 2x + 9x = 8 + 3 11x = 11 x = 1 x = 1 → y = 1 – 3x y = 1 – 3 . 1 y = 1 – 3 y = - 2

  X

  1

  2 X

  9 − 18 +8 = −

  3 ke f ungsi y diper oleh y =

  3

  Penyelesaian:

  2

  X

  1 =

  2

  X

  X 1 =

  = a < 0, D < 0 a > 0, D > 0 a > 0, D = a > 0, D < 0

  C ont oh: Gambar lah sket sa gr af ik f ungsi y =

  x

  2 −

  6x + 8

  a. M enent ukan pembuat nol f ungsi D engan pemf akt or an diper oleh x

  Definit positif D ef init negat if

  2 − 6x + 8 =

  (x −

  2) (x −

  4) = x = 2 at au x =

  4 b.M enent ukan sumbu simet r i

  3

  2

  6 1 .

  2 ) 6 (

  2 = = − −

  = − = a b x c.M enent ukan t it ik punc ak P (x, y)

  K ar ena x sudah dic ar i maka t inggal menc ar i nilai y dengan subst it usi x =

  X

• D engan M enggunakan det er minan
• 2
• 4
• 2mx - 2x + 3m + 3 = 0mempunyai dua akar r eal yang sama. Penyelesaian: 2x

  1

  3

  1

  3

  8

  2

  1

  3

  − = − = −

  − = = y

  2

  8

  1 8 .

  = +

  J ika    

  PERSA M A A N D A N PERT I D A K - SA M A A N a. Per samaan linier dengan 1 peubah T ent ukan penyelesaian dar i per samaan 2x – 3 = - 3x + 7 Penyelesaian: 2x – 3 = - 3x + 7 2x + 3x = 7 + 3 5x = 10 b. Per samaan linier dengan 2 peubah T ent ukan penyelesaian dar i sist em per samaan

  Gb. 2.10. contoh grafik parabola a < 0, D > 0 a < 0, D

  − 1 •

  3

  1

  X

  Y

  3

  11 2 .

  3 y x y x

  2

  ( ) ( )

  1

  11

  11 2 .

  1 3 .

  3 8 .

  1 3 .

  1

  3

  1

  22

  3

  3

  8

  1

  1

  = − − =

  − − − − = −

  − = x

  2

  11

  = + = + q dy c x p by ax maka d c b a q b p a y dan d c b a d q b p x = =    = −

• – 8x + 12 = 0 Penyelesaian : (x – 2 ) (x – 6 ) = 0 x – 2 = 0 → x
• 2 - 6
• 8<
• 2mx - 2x + 3m +3 = 0 2x
• (2m+2)x +(3m+3) = 0 A gar per samaan kuadr at it u mempunyai dua akar yang sama, maka diskr iminannya har us sama dengan nol.
• – 8x + 12 = 0 x
• – 8x = - 12 ( x – 4 )
• 8m + 4 - 24m - 24 = 0 4m
• 16m - 20 = 0 m

• 4m - 5 = 0 (m - 5) (m +1) 0 m = 5 at au m = - 1.

• bx + c = 0 akar akar nya x 1 d an x
• – 8x + 12 = 0 a = 1 ; b = - 8 ; c = 12 1 .

  2

  ( ) ( )

  2

  1

  2

  1

  3

  1

  2

  3

  2

  3

  1 − 3 x x x x x x x x + + = + v

  2

  1

  1 − 4 x x x x x x + = − v

  2

  1

  2

  1

  2

  2

  1

  2

  2

  1 2 x x x x x x

  1

  − + = + v

  ( ) ( )

  2

  1

  2

  2

  2

  2

  2

  − = − b) . =

  2

  Penyelesaian:

  a) + = a − b =

  7

  1

  7

  12

  a) + b) .

  1

  12 = = a c c)

  2

  = ( + )

  2 - 2 .

  = (-7)

  c)

  2

  2

  2

  1

  1 x x x x x x

  v

  2

  1

  2

  2

  = + Contoh J ika akar -akar per samaan kuadr at x

  1

  1

  2

  2

  1

  x x x x x x x x +

  1

  1 .

  Rumus yang ber sesuaian : v ( )

  2

  4

  2

  12 − ± = x

  8

  64

  48

  2

  12 − − ± − − = x

  2

  8 (

  1 . ) 8 ( 4 )

  2 12 .

  2

  12 − ± − = x

  4

  12 ± = x

  2

  c. Per samaan K uadr at Bent uk umum :

  2 ≠ = + + a dg c bx ax

  1. Penyelesaian Per samaan kuadr at D engan Pemf akt or an C ont oh : T ent ukan akar per samaan kuadr at x

  2

  1 = 2 x – 6 = 0 → x 2 = 6 M elengkapi K uadr at Sempurna x

  2

  2

  2 = - 12 + 4

  2 ( x – 4 )

  2 = 4 x – 4 = ± √

  4 x = 4 ± 2 x 1 = 4 + 2 = 6 x

  2 = 4 – 2 = 2 D engan Rumus

  a ac b b x

  8

• = +
• = x

  6

  2

  2

  2

  2

  D = (-(2m+2))

  2 - 4(2)(3m+3) = 0.

  4m

  2

  2

  2

  3. Rumus J umlah dan H asil K ali A kar akar Per samaan K uadr at J ika PK : ax

  2

  2 maka : a c x x dan a b x x

  = − = +

  2

  1

  2

  C ont oh 4: T ent ukan nilai m agar per samaan kuadr at 2x

  2 - 4(1)(9) = 0 .

  2

  4

  8

  1 =

  2

  2

  4

  8

  2 = −

  = x

• 7x + 12 = 0 adalah dan , maka t ent ukan:
• – 4ac v J ika D &gt; 0 kedua akar nya r eal dan ber beda v J ika D = 0 kedua akar nya r eal dan sama v J ika D &lt; 0 kedua akar nya khayal C ont oh 1: Per samaan kuadr at x
• 2
• 5x - 3 = 0 mempunyai dua akar r iel yang berbeda kar ena D = 5
• – 4.1(-3) = 25 + 12 = 37 &gt; 0 C ont oh 2: Per samaan kuadr at x
• 2
• 2(12) = 25
• 2x + 6 = 0 , t idak mempunyai akar r iel kar ena D =(2)
• 4(1)(6) = C ont oh 3: Per samaan kuadrat mempunyai dua akar r eal yang sama kar ena D = (6)
e) T ent ukan penyelesaiannya sesuai yang dikehendaki pada per t idaksamaan. C ont oh 3: T ent ukan himpunan penyelesaian dar i per t idaksamaan

  2. J enis A kar Per samaan K uadr at J enis akar per samaan kuadr at dit injau dar i nilai D iskr iminan ( D ) = b

  2

  2

  2

  2

  12

  2. Per t idaksamaan K uadr at C ar a menyelesaikan per t idaksamaan kuadr at L angkah-langkah unt uk menyelesaikan per - t idaksamaan kuadr at adalah sebagai ber ikut : a) N yat akan per t idaksamaan kuadr at ke bent uk salah sat u r uas sama dengan nol dan r uas yang lain adalah bent uk kuadr at .

  ( )

  ( ) ( )

  ) 2 ( − 3 = − − x x

  ( ) ( )

  2 − 3 = + x x x

  2

  2

  ( ) ) 2 (

  3 ) 2 (

  3

  2 = − + − + − x x

  6

  2

  1

  2 = − − x x x

  2

  x

  Penyelesaian:

  &lt; − 6 .

  2

  x

  d) T ent ukan t anda dari set iap daer ah pada gar is bilangan.

  b) T ent ukan pembu at nol d ar i bent u k kuadr at it u . c ) L et akkan pembuat nol dalam gar is bilangan.

  1 = − − x x x x

  ( ) ( )

  C ont oh : T ent ukan per samaan kuadr at yang akar akar nya 3 dan – 2 ! Penyelesaian : v

  2 = + + − x x x x x x

  1

  2

  1

  2

  ( )

  1 = − − x x x x v

  2

  ( ) ( )

  4. M embent uk Per samaan K uadr at J ika x 1 dan x 2 akar akar per samaan kuadr at maka per samaan kuadr at nya adalah : v

• – 3x + 2x – 6 = 0 x

• – x – 6 = 0 v

• 5x

  2

  6

  x

  2

• 5x
• 6 &lt; 0 Pembuat nol dari

• 5x

  x

  2

• – x – 6 = 0
• 5x
• 6 &lt; 0 adalah nilai - nilai x sehingga x
• 5x
• 6 = 0 .

  2

  2

  &lt; −

d. Per t idaksamaan

• 5x
• 6 = 0 ( x
• 2)(x
• 3)

  2

  atau

  x = −

  3 K ar ena daer ah yang dimint a yang lebih kec il nol, maka x yang memenuhi adalah diant ar a –3 dan –2. J adi himpunan penyelesaiannya adalah

• 3 -2
• J ika kedua r uas suat u per t idaksamaan

  { x

  R

• 3 &lt; x &lt; -2 }

  ∈

  /

• J ika kedua r uas suat u per t idaksamaan dikalikan at au dibagi dengan bilangan posit if yang sama dan t idak nol, maka t anda per t idaksamaan t et ap.
• J ika kedua r uas suat u per t idaksamaan

  C ont oh T ent ukan himpunan penyelesaian dar i per t idaksamaan

  − x

  2 5x + 14 0 x

  2

• 5x - 14
• – 5x + 14 ad alah nilai -nilai x sehingga
• 5x - 14 = 0

  ≥ Penyelesaian: Pembuat nol dari x

  2

  x

  2

  ( x

• 7)( x
• 7 2

  − 2)

  = x

  = −

  7 atau x

  =

  2 K ar ena daer ah yang dimint a yang lebih kec il at au sama dengan nol, maka x yang memenuhi adalah lebih kec il at au sama dengan –7 at au lebih besar at au sama dengan 2. J adi himpunan penyelesaiannya adalah { x ∈ R | x

• 8 4x

  − 7 atau x 2 } .

  7 − x

  = x = −

  x ∈ R / x &gt; 5 } .

  −

  3x −

  7 &gt;

  8 3x −

  7

  &gt;

  8

  15 x

  &gt; 5 H impunan penyelesaiannya adalah:

  {

  7 &gt; x

  x

  −

  7 &gt; x + 8 dan t ent ukan himpu nan penyelesaiannya! Penyelesaian: 4x

  −

  Contoh : T ent ukan penyelesaian dar i per t idaksamaan 4x

  dikalikan at au dibagi dengan bilangan negat if yang sama dan t idak nol, maka t anda per t idaksamaan menjadi sebaliknya.

  dit ambah at au dikur angi dengan bilangan yang sama, maka t anda per t idaksamaan t et ap.

  1. Per t idaksamaan linier H al-hal yang per lu diper hat ikan dalam menyelesaikan per t idaksamaanlinier sat u peubah adalah,

  &gt; x

• 8

  − x

• 7
• 7 3x &gt;

• e

  8

       

       

  =

  9

  4

  7

  7

  4

  1

  6

  1

  2 B

  b) M at r iks Segit iga Bawah M at r iks segit iga bawah adalah mat r iks per segi yang ent r i/elemennya memenuhi syar at

     

  &lt; ≥ =

  j i u nt u k j i u nt u k

  2 A

  6

  C ont oh :

     

  8

  4

  3

  6

  1

  2 B

  a) M at r iks Segit iga A t as M at rik s segit iga at as adalah mat r iks per segi yang ent r i/elemennya memenuhi syar at

  &gt; ≤ =

  4

  j i unt uk j i unt uk

  a a ij ij

  C ont oh :

       

     

  =

  7

  8

  a a ij ij

       

  6. M A T RI K S

  4

  j i unt uk j i unt uk j i unt uk

  ij ij

  a

  a

  C ont oh :

     

  =

  2 A

       

       

     

  =

  7

  4

  2 B

  d) M at r iks I d ent it as/M at r iks Sat uan (I ) M at r iks I dent it as adalah mat r iks per segi yang ent ri/ elemennya mat r iks per segi yang ent ri/ elemennya memenuhi syar at :

  &gt; = &lt; =

  c ) M at r iks D iagonal M at r iks diagonal adalah mat riks per segi yang ent r i/elemennya memenuhi syar at

     

       

  =

  7

  8

  2

  4

  9

  2 A      

  =

  2 B

  9

  5

  3

  7

  6

  4

  4

  7

  1

  9

  7

  =

    =

  1

  2

  3

  4 P

  ;  

    − + −

  1

  1. O r do kedua mat r iks it u sama.

  2

  5

  4 x y z

  Q

  J ika P = Q, t ent ukan x,y dan z J awab: x – 1 = 1 z – 5 = 3 x = 2 z = 8 y + 2 = 2 y = 0

  M at rik s dibedakan ber dasar kan ber bagai su su nan ent ri dan bilangan pada ent r inya. Sehingga mat riks dibedakan sebagai ber ikut :

  1. M at riks nol M at r iks nol didef inisikan sebagai mat r iks yang set iap ent ri at au elemennya adalah bilangan nol.

  2. Ent r i/ elemen yang selet ak sama C ont oh:  

  D ar i def inisi di at as, dua buah mat r iks dikat akan sama jika:

     

  → elemen bar is ke 2 kolom per t ama b. K esamaan dua mat r iks D ef inisi. J ika A dan B suat u mat r iks m x n, maka A =B jika dan hanya jika ordo kedua mat r iks t er sebut sama dan ent r i/elemen yang selet ak sama.

  a. Penger t ian M at r iks adalah suat u himpunan bilangan yang disusun dalam Baris dan kolom C ont oh :

     

  =

  5

  4

  1

  3

  2

  1 A

  2

  1 bar is bar is

  → →

  3

  2 1 k k k ↑ ↑ ↑

  M at r iks t er sebut disebut mat r iks A dengan or do 2 x 3 dan dapat dit ulis A 2 x 3

  21 = 1

c. J enis M at r iks

  C ont oh :

  = A

  =

  ,…, a

  1 A

  5. M at r iks Per segi Sebuah mat r iks dengan n bar is dan n kolom dinamakan mat r iks kuadr at ber or de n (squar e mat rix of order n) dan ent ri-ent ri a

  11

  , a

  22

  , a

  33

  nn ber ada pad a diagonal ut ama dari A .

  2. M at r iks sat u/vekt or sat u M at r iks sat u did ef inisikan sebagai mat riks yang set iap ent ri at au elemennya adalah 1.

  C ont oh :

     

  =

  4

  3

  1

  2 A      

     

  4

  3

  =

1 A

  1

  C ont oh :

     

  =

  1

  1

  1

  1

  1

     

  1

  3. M at r iks bar is/vekt or bar is M at r iks bar is did ef inisikan sebagai mat r iks yang ent ri at au elemennya t er susun dalam t epat sat u bar is.

  C ont oh :

  ( )

  2

  4

  4. M at r iks kolom/vekt or lajur M at r iks kolom didef inisikan sebagai mat rik s yang ent ri at au elemennya t er su sun dalam t epat sat u kolom. C ont oh 4

       

3 A 1 =

1 B

  2

  2

  1. A = A . 1 = A 5) (-1) A = A (-1) = -A

  1) (r ± s) A = r A ± sA 2) r (A ± B) = r A ± r B 3) r (sA ) = s(r A ) = (r s) A 4)

  sif at -sif at : 3). Perkalian M at r iks dengan M at r iks D ua mat r iks dapat dikalikan jika jumlah kolom mat riks per t ama sama dengan jumlah bar is mat r iks kedua. H al ini dapat dit uliskan sebagai ber ikut :

  4

  6

  2

  8

     

  =

  2 x x x x

  1

  2

  4

  2

  A

  2

  =

  3

  2

  4

  1 A

  H it ung 2A ? J awab :

  a) 2A = 2

     

  3

  4

  1

  =

     

  3

d. T r anpose M at riks

2 A →

  t

  C ont oh :

  1 A

  M at r iks t r anspose adalah suat u mat r iks yang diper oleh dar i per pindahan bar is pada mat r iks A menjadi kolom pada mat r iks A

  1

  1

  =

     

       

  1

  . J adi dapat dit uliskan bahwa: J ika A = aij maka A

  =

     

  C ont oh :

  1 j i unt uk a ij

  = &lt; = j i unt uk j i unt uk

       &gt;

  t

  t

  2

     

  5

  3

  6

  4

  7

  =

       

  = aji C ont oh :

  3

  4

  5

  6

  7

  =

     

     

e. O per asi pada M at r iks

  5

  5 2 x x x x

  =

  ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

  4

  1

  6

  2

  3

  1

  =

  6

  ( )

  16

  13

  3)

     −

  =

  3

  2

  5

  3

    =

  4

  1 2 x x +

  =

  ( )

  2 2 + = 4

  2)

  ( )

  1 A 2 = ;  

    =

  3

  4

  6

  5 B ;

  H it ung A x B ? J awab:

  A x B =

  ( )

  1

  2  

   

  1 A ;  

  3

  2

  3 D ar i hasil A B dan BA di at as disimpulkan A B BA

  3

  2

  1

  =

     

  −

  3

  6

  sif at -sif at

  1  

  A mxr x Br xn = C mxn 1) A + B = B + A K omut at if 2) (A +B)+C = A + (B+C ) A sosiat if 1). A + (-A ) = (-A ) + A = 0 (M at r iks N ol) 2). A + 0 = 0 + A = A 3). A + (-B) = A - B J ika A , B suat u mat r iks dan r , s skalar , maka

  2

  =

  1. A x B B x A

  2. A BC = A (BC ) = (A B)C ……H ukum asosiat if unt uk per kalian

     

  a) Jika

  1). Penjumlahan dan Pengur angan D ua M at r iks D ua mat r iks dapat dijumlahkan / dikur angkan jika ordonya sama, penjumlahan/ pengur angan dilakukan pada elemen yang selet ak. C ont oh :

   −

  2

  2

  2

  1 B

  H it ung : A B dan BA . K emudian bagaimana hasil A B dan BA ? A B =

     −

  3

  2

  1  

   

  3

  1

  3

  =

     

  − −

  4

  11

  2

  1 BA =  

   

  1

  ( ) ( ) ( )

•     −
• −

  6 ) 1 (

  2

  1

  3 =

     

  − − − − − − − −

  ) 1 (

  1

  2

  3

  −

  3

  5 =

     −

  4

  4

  8 Per kalian Skalar dengan M at r iks 2). Per kalian M at r iks dengan Skalar D ef inisi. Jika A adalah su at u mat r iks dan k adalah suat u skalar , maka hasil kali kA adalah

  4

  3

  1

  5

  2 = f . D et er minan M at riks

  − − =

  b) Jika

     

  − − =

  1

  6

  3

  5 A dan

     

  1

  3

  2

  1

  3 B H it ung A - B ? J awab:

  a) A – B =

     

  − −

  1

  6

     

  1 Pengur angan D ua M at r iks

  =

  2

  1

  1

  C ar a per kaliannya adalah dengan mengalikan bar is mat r iks A dan kolom mat r iks ber sama-sama kemudian menambahkan hasil kali yang diper oleh. C ont oh : 1)

  ( )

  1

  2 =

  A ;  

    =

  1 B

     −

  H it ung A x B ? J awab:

  A xB =

  ( )

  1

  2  

   

  2

  1

  2 A dan

  =

  1

  1

  4

  1

  3

  2

  1

     

  1 =

  4

  3

  1

  2

  1

  1

  2

     

  1 B H it ung: A + B J awab: A + B =

  4

  3

  1

•     −

  g. I nver s M at riks D ef inisi. M isalkan A adalah mat r iks per segi. J ika A adalah mat r iks per segi yang dapat

  Fungsi d et er minan dinyat akan oleh det , dan kit a

  dibalik, maka

  def inisikan det (A )

  1

• 1

  A = adj ( A )

  c ont oh beriku t :

  det ( A )  a a a 

  11

  12

13 I nver s M at r iks ber or do 2 x 2

  a a  

  

  11 12 

  A = ; B = a a a

   

  21

  22

  23  a b 

  a a

• 1

  21

  22    

  M isalkan A = maka A =

  a a a

  31

  32

  33   c d

   

  a a

  11

  12  d − b 

  1

  1 M aka : det (A ) = =

  a a − a a

  11

  22

  12

  21 adj ( A ) =

  a a

  21

  22 − c a det ( A ) ad − bc

   

  a a a

  11

  12

13 C ont oh :

  M aka : det (B) = = a a a

  21

  22

  23

  4

  3  

  A = t ent ukan inver s mat r iks A ?

  a a a

  31

  32

  33

  3

  2  

• a a a a a a a a a −

  ( )

  11

  22

  33

  12

  23

  31

  13

  21

32 J awab :

  a a a a a a a a a

  (

  13

  22

  31

  12

  21

  33

  11

  23 32 )

  2

  3 −

  1  

• 1

  A =

  3

  4 −

  8 −

  9 D ET ERM I N A N M A T RI K S BERO RD O 2 X 2  

  2 − 3 −

  2

  3    

  C ont oh :

  = -1 =

  3

  4

  3

  4 T ent ukan det erminan mat rik s-mat r iks ber ikut ini. − −    

  3

  4  

  A =

  1

  2   7.

  PRO GRA M L I N I ER

  J awab :

  3

4 Per soalan pr ogr am linier sec ar a mat emat is har us

  det A = = ( 3 . 2 ) - ( 4 . 1 ) = 6 - 4 = 2

  1

  2

  memenuhi kr it eria sebagai ber ikut :

  1. Var iabel keput usan t idak negat if D ET ERM I N A N M A T RI K S BERO RD O 3X3

  2. A danya f ungsi t ujuan dar i var iabel keput usan dan dapat digambarkan dalam sat u set f ungsi linier

  D et er minan M at r iks melalui car a di at as,

  3. K et er bat asan sumber daya dapat pula diper oleh dengan menjumlahkan hasil kali pada digambarkan dalam sat u set f ungsi linier panah-panah yang mengar ah ke kanan dan mengur angkan hasil kali panah-panah yang

  Gr af ik H impunan Penyelesaian Per t idaksamaan mengar ah ke kiri. L inier

  C ont oh :

  1. L angkah-langkah membuat gr af ik daer ah

  

  3

  1 2 

   

  penyelesaian A = , hit ung det (A ) ?

  1

  1

  1

   

  a. T u lislah bent uk per t idaksamaan menjadi

   

  2

  3

  1 per samaan

   

  b. A mbil t it ik uji di luar gar is; J awab :

  1) J ika salah: ar sir daer ahnya (yang memuat t it ik

  3

  1

  2

  3

  1 t er sebut ) C ar a 1 :

  1

  1

  1

  1

  1 2) J ika benar : ar sir daer ah lawannya (yang t idak

  2

  3

  1

  2

  3 memuat t it ik t er sebut ) C ont oh: T ent ukan daerah penyelesaian dar i: sehingga det (A ) = [ (3x1x1) +(1x1x2) + (2x1x3)] –

  ; ; [ (2x1x2) + (3x1x3) + (1x1x1)]

  3 x 4 y ≤

  12

  5 x

  2 y ≤

  10 ;

  = (3 + 2 + 6) – (4 + 9 + 1) x ≥ y ≥ = 11 – 14 = -3

  J awab : T eor ema. misalkan A adalah suat u mat r iks n x n.

  1. Bent uk per samaan: (a) J ika A ’ adalah mat r iks yang dihasilkan bila

  3x + 4y ≤ 12 → 3x + 4y = 12 bar is t unggal A dikalikan konst ant a k, maka 5x + 2y 10 5x + 2y = 10 det (A ) = k det (A ).

  ≤ →

  x x = 0 sumbu y

  ≥ → →

  (b) J ika A ’ adalah mat r iks yang dihasilkan bila y ≥ → y = 0 → sumbu x dua bar is A diper t ukar kan, maka det (A ) = - det (A ).

  3x + 4y = 12 5x + 2y = 10

  (c ) J ika A ’ adalah mat r iks yang dihasilkan bila kelipat an sat u bar is A dit ambahkan pad a x 4 0 x 2 0 bar is yang lain, maka det (A ’) = det (A ). 0 3 3 y

  5

  2. Pengujian: ambil (1,1) i. 3x + 4y

  2. M enent ukan daer ah penyelesaian 20x + 10y = 400

  x 0 40 y 30 0 x 0 20 y 40 0

  X

  5

  3

  C

  ∈

  3x + 4y = 120 x = 0; y = 0; x,y

  2x + y = 40 30x + 40y = 1200

2 Y

  0 benar

  H ar ga T r uk 20 30 500.000 C olt 10 40 400.000 J umlah 400 1200 F

  ≥

  120 salah

  →

  ar sir daer ah sendir i iii. x ≥ 1 ≥ 0 benar → ar sir daer ah lawan iv. y

  ≥

  1

  ≥

  0 benar

  →

  ar sir daer ah lawan

  3. M enent ukan t it ik dan nilai opt imum M enc ar i t it ik pot ong 2x + y = 40 ⇔ 8x + 4y = 160 2(8) + y = 40 y = 24 t it ik-t it ik pemer iksaan (0,40), (8,24), (40,0) T it ik opt imalnya (8,24), maka pedagang t er sebut har us menyewa 8 t r uk dan 24 c olt dengan biaya minimal Rp 13.600.000,00

  K er amik Besar

  K er amik K ec il

  oby

  120

  (0,40) (8,24) (40,0) F(x,y)=5x+4y 160 136 200 D alam r at usan r ibu

  ≤

  10 5(1) + 2(1) = 7

  ≤

  4 daerah penyelesaian

  − = = = +

  8 x 40 5x 3x 120 4y

  40

  30

  40

  20 Y

  X

  12 3(1) + 4(1) = 7 ≤ 12 benar → ar sir d aer ah lawan ii. 5x + 2y

  7

  ≥

  →

  0; x,y

  ar sir daer ah lawan iv. y

  ≥

  1 ≥ 0 benar → ar sir d aer ah lawan D engan menget ahui c ar a membuat mod el M at emat ika maka masalah Pr ogr am L inier dapat diselesaikan. A dapun langkah-langkah yang per lu diperhat ikan dalam menyelesaikan masalah Pr ogr am L inier adalah: