LAPORAN PRAKTIKUM METODE NUMERIK TENTANG
LAPORAN PRAKTIKUM METODE NUMERIK
TENTANG:
METODE GRAFIK, TABULASI, DAN BISEKSI
Disusun oleh :
Nama : Sambodo Wisnu Murt
NIM : M0509062
JURUSAN INFORMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2015
1. Pelaksanaan Praktikum
Hari, Tanggal :
Tempat :
Tema Praktikum : Metode Grafik, Tabulasi, dan Biseksi
2. Dasar Teori
Fungi Non Linear adalah sebuah fungsi yang grafiknya kurve. Pada dasarnya setiap fungsi memiliki akar
persamaan. Untuk mencari nilai akar (x) dari sebuah persamaan fungsi non linear dapat menggunakan
beberapa cara yakni :
a. Metode Grafik
b. Metode Tabulasi
c. Metode Biseksi (Setengah Interval)
A. METODE GRAFIK DAN TABULASI
Persamaan atau fungsi dapat berbentuk sebagai berikut :
a. Persamaan aljabar atau polynomial
b. Persamaan transeden Yaitu persamaan yang mengandung fungsi anatara lain trigonometri, logaritma,
atau eksponen
Contoh :
c. Persamaan campuran
Contoh :
Untuk mencari himpunan penyelesaian dari sebuah persamaan polinomial dengan dejarat dua, dapat
menggunakan persamaan kuadrat : ��^2+ �� + � = 0 yakni dengan mencari akar – akarnya secara
analitis dengan rumus :
Fungsi polinomial dengan derajat lebih dari 2 memiliki akar yang sangat kompleks dan jarang sekali
digunakan. Untuk mencari himpunan penyelesaian pada persamaan polinomial dengan derajat lebih dari
dua dilakukan dengan metode hampiran. Yakni penyelesaian numerik dilakukan dengan hampiran yang
berurutan (metode iterasi), sedemikian sehingga setiap hasil adalaa lebih teliti dari perkiraan
sebelumnya. Dengan melakukan sejumlah prosedur iterasi yang dianggap cukup, akhirnya didapat hasil
perkiraan yang mendekati hasil eksak (hasil yang benar) dengan toleransi kesalahan yang diijinkan.
Metode iterasi mempunyai keuntungan bahwa umumnya tidak sangat terpengaruh oleh merambatnya
error pembulatan.
Lokalisasi Akar
Lokalisasi akar persamaan tak linear diselidiki untuk memperoleh tembakan awal yaitu :
i. Cara Grafik
Metode ini menggunakan teknik pembuatan garis yang memotong sumbu x dan sumbu y. Dimana titik
yang memotong sumbu x atau sumbu y ini merupakan akar dari persamaan non linier atau fungsi non
linier yang dicari. Metode grafik terdiri dari dua cara, yakni : metode grafik tunggal dan metode grafik
ganda. Pada metode grafik tunggal untuk menentukan akar cukup menggunakan satu garis saja,
sedangkan untuk metode grafik ganda menggukan dua buah garis yang saling berpotongan. Setiap garis
yang mewakili sebuah fungsi, dan perpotongan antara garis baik pada sumbu x ataupun sumbu
merupakan akar ( himpunan penyelesaian persamaan non linier yang dicari).
ii. Cara Tabulasi
Nilai – nilai fungsi pada interval yang diminati dihitung dengan membagi interval tersebut mejadi sub
interval – sub interval, dan nilai – nilai tersebut ditulis dalam bentuk tabulasi. Jika pada suatu interval
nilai fungsi berubah tanda, maka pada interval tersebutmemiliki akar (himpunan penyelesaian).
B. METODE BISEKSI
Landasan utama dari metode ini adalah menentukan suatu interval dalam suatu fungsi dimana nilai
fungsi dari ujung – ujungnya (batas bawah dan batas atas) harus berbeda tanda untuk menunjukan
bahwa fungsitersebut memotong sumbu horisontal, kemudian interval tersebut dipecah menjadi dua
bagian yang sama untuk mendekati titik potong dengan sumbu horisontal.
Langkah – langkah dalam perhitungan himpunan penyelesaian dengan metode
biseksi:
1. Tentukan fungsi f(x), batas bawah a , batas atas b, toleransi, dan jumlah iterasi maksimum.
2. Hitung nilai dari f(x) untuk x = a dan x = b
3. Periksa apakah f(a).f(b) > 0; jika ya, keluar dari program karena interval yang diberikan tidak terdapat
akar persamaan.
4. Hitung nilai m = (a+b)/2
5. Jika nilai mutlak f(m) < toleransi, tuliskan m sebagai hasil perhitungan, dan akhiri program; jika tidak ,
lanjutkan ke langkah berikutnya.
6. Jika jumlah iterasi > iterasi maksimum, akhiri program.
7. Jika f(a).f(m) < 0, maka b=m, jika tidak a=m.
8. Kembali ke langkah (2)
3. Algoritma
Metode Grafik Tunggal
Langkah – langkah mencari himpunan penyelesaian dengan metode grafik tunggal:
1) Menginisialisasi nilai x dalam fungsi.
2) Menginisialisasi fungsi f(x) yang dicari himpunan penyelesaiannya.
3) Menentukan interval garis pada sumbu x dan sumbu y kemudian menerapkannnya dalam kode
program pada matlab.
4) Memanggil fungsi plot untuk menampilkan gambar grafik pada matlab dan axis untuk membuat
sebuah garis.
5) Menjalankan kode rogram yang telah dibuat pada matlab sehingga diperoleh himpunan penyelesaian
untuk fungsi f(x) yang dicari berupa perpotongan garis dengan sumbu xatau sumbu y. Himpunan
penyelesaian yang diperoleh merupakan akar fungsi non linier.
Metode Grafik Ganda
Langkah – langkah mencari himpunan penyelesaian dengan metode grafik ganda:
1) Menginisialisasi nilai x dalam fungsi.
2) Menginisialisasi fungsi f(x) dan f(x1) yang dicari himpunan penyelesaiannya.
3) Menentukan interval garis pada sumbu x dan sumbu y kemudian menerapkannnya dalam kode
program pada matlab.
4) Memanggil fungsi plot untuk menampilkan gambar grafik pada matlab dan axis untuk membuat
sebuah garis.
5) Menjalankan kode rogram yang telah dibuat pada matlab sehingga diperoleh himpunan penyelesaian
untuk fungsi f(x) yang dicari berupa perpotongan garis dengan sumbu x atau sumbu y. Himpunan
penyelesaian yang diperoleh merupakan akar fungsi non linier.
Metode Tabulasi
Berikut langkah – langkah mencari himpunan penyelesaikan dengan metode tabulasi:
1) Menginislisiasi fungsi f(x)
2) Membagi nilai fungsi dalam bentuk sub interval – sub interval (berupa loop for) yakni dengan
menginilisialisasikan nilai x terhadap fungsi f(x) yang ada.
3) Melakukan pengecekan jika terdapat perubahan tanda pada setiap perulangan dengan interval x.
4) Melakukan pengecekan untuk setiap hasil perhitungan perkiraan akar (x) pada perhitungan yang
memiliki perubahan tanda. Pada interval dengan perubahan tanda tersebut merupakan interval dari
himpunan penyeesaian fungsi non linier yang dicari.
Metode Biseksi
Berikut langkah – langkah mencari himpunan penyelesaian fungsi non linier dengan metode biseksi:
1) Menetapkan nilai sembarang a dan b sebagai batas bawah dan batas atas interval nilai fungsi yang
dicari. Titik a dan b memberikan harga bagi fungsi f(x) untuk x = a dan x = b.
2) memeriksa apakah f(a).f(b)
TENTANG:
METODE GRAFIK, TABULASI, DAN BISEKSI
Disusun oleh :
Nama : Sambodo Wisnu Murt
NIM : M0509062
JURUSAN INFORMATIKA
FAKULTAS MATEMATIKA DAN ILMU PENGETAHUAN ALAM
UNIVERSITAS SEBELAS MARET
SURAKARTA
2015
1. Pelaksanaan Praktikum
Hari, Tanggal :
Tempat :
Tema Praktikum : Metode Grafik, Tabulasi, dan Biseksi
2. Dasar Teori
Fungi Non Linear adalah sebuah fungsi yang grafiknya kurve. Pada dasarnya setiap fungsi memiliki akar
persamaan. Untuk mencari nilai akar (x) dari sebuah persamaan fungsi non linear dapat menggunakan
beberapa cara yakni :
a. Metode Grafik
b. Metode Tabulasi
c. Metode Biseksi (Setengah Interval)
A. METODE GRAFIK DAN TABULASI
Persamaan atau fungsi dapat berbentuk sebagai berikut :
a. Persamaan aljabar atau polynomial
b. Persamaan transeden Yaitu persamaan yang mengandung fungsi anatara lain trigonometri, logaritma,
atau eksponen
Contoh :
c. Persamaan campuran
Contoh :
Untuk mencari himpunan penyelesaian dari sebuah persamaan polinomial dengan dejarat dua, dapat
menggunakan persamaan kuadrat : ��^2+ �� + � = 0 yakni dengan mencari akar – akarnya secara
analitis dengan rumus :
Fungsi polinomial dengan derajat lebih dari 2 memiliki akar yang sangat kompleks dan jarang sekali
digunakan. Untuk mencari himpunan penyelesaian pada persamaan polinomial dengan derajat lebih dari
dua dilakukan dengan metode hampiran. Yakni penyelesaian numerik dilakukan dengan hampiran yang
berurutan (metode iterasi), sedemikian sehingga setiap hasil adalaa lebih teliti dari perkiraan
sebelumnya. Dengan melakukan sejumlah prosedur iterasi yang dianggap cukup, akhirnya didapat hasil
perkiraan yang mendekati hasil eksak (hasil yang benar) dengan toleransi kesalahan yang diijinkan.
Metode iterasi mempunyai keuntungan bahwa umumnya tidak sangat terpengaruh oleh merambatnya
error pembulatan.
Lokalisasi Akar
Lokalisasi akar persamaan tak linear diselidiki untuk memperoleh tembakan awal yaitu :
i. Cara Grafik
Metode ini menggunakan teknik pembuatan garis yang memotong sumbu x dan sumbu y. Dimana titik
yang memotong sumbu x atau sumbu y ini merupakan akar dari persamaan non linier atau fungsi non
linier yang dicari. Metode grafik terdiri dari dua cara, yakni : metode grafik tunggal dan metode grafik
ganda. Pada metode grafik tunggal untuk menentukan akar cukup menggunakan satu garis saja,
sedangkan untuk metode grafik ganda menggukan dua buah garis yang saling berpotongan. Setiap garis
yang mewakili sebuah fungsi, dan perpotongan antara garis baik pada sumbu x ataupun sumbu
merupakan akar ( himpunan penyelesaian persamaan non linier yang dicari).
ii. Cara Tabulasi
Nilai – nilai fungsi pada interval yang diminati dihitung dengan membagi interval tersebut mejadi sub
interval – sub interval, dan nilai – nilai tersebut ditulis dalam bentuk tabulasi. Jika pada suatu interval
nilai fungsi berubah tanda, maka pada interval tersebutmemiliki akar (himpunan penyelesaian).
B. METODE BISEKSI
Landasan utama dari metode ini adalah menentukan suatu interval dalam suatu fungsi dimana nilai
fungsi dari ujung – ujungnya (batas bawah dan batas atas) harus berbeda tanda untuk menunjukan
bahwa fungsitersebut memotong sumbu horisontal, kemudian interval tersebut dipecah menjadi dua
bagian yang sama untuk mendekati titik potong dengan sumbu horisontal.
Langkah – langkah dalam perhitungan himpunan penyelesaian dengan metode
biseksi:
1. Tentukan fungsi f(x), batas bawah a , batas atas b, toleransi, dan jumlah iterasi maksimum.
2. Hitung nilai dari f(x) untuk x = a dan x = b
3. Periksa apakah f(a).f(b) > 0; jika ya, keluar dari program karena interval yang diberikan tidak terdapat
akar persamaan.
4. Hitung nilai m = (a+b)/2
5. Jika nilai mutlak f(m) < toleransi, tuliskan m sebagai hasil perhitungan, dan akhiri program; jika tidak ,
lanjutkan ke langkah berikutnya.
6. Jika jumlah iterasi > iterasi maksimum, akhiri program.
7. Jika f(a).f(m) < 0, maka b=m, jika tidak a=m.
8. Kembali ke langkah (2)
3. Algoritma
Metode Grafik Tunggal
Langkah – langkah mencari himpunan penyelesaian dengan metode grafik tunggal:
1) Menginisialisasi nilai x dalam fungsi.
2) Menginisialisasi fungsi f(x) yang dicari himpunan penyelesaiannya.
3) Menentukan interval garis pada sumbu x dan sumbu y kemudian menerapkannnya dalam kode
program pada matlab.
4) Memanggil fungsi plot untuk menampilkan gambar grafik pada matlab dan axis untuk membuat
sebuah garis.
5) Menjalankan kode rogram yang telah dibuat pada matlab sehingga diperoleh himpunan penyelesaian
untuk fungsi f(x) yang dicari berupa perpotongan garis dengan sumbu xatau sumbu y. Himpunan
penyelesaian yang diperoleh merupakan akar fungsi non linier.
Metode Grafik Ganda
Langkah – langkah mencari himpunan penyelesaian dengan metode grafik ganda:
1) Menginisialisasi nilai x dalam fungsi.
2) Menginisialisasi fungsi f(x) dan f(x1) yang dicari himpunan penyelesaiannya.
3) Menentukan interval garis pada sumbu x dan sumbu y kemudian menerapkannnya dalam kode
program pada matlab.
4) Memanggil fungsi plot untuk menampilkan gambar grafik pada matlab dan axis untuk membuat
sebuah garis.
5) Menjalankan kode rogram yang telah dibuat pada matlab sehingga diperoleh himpunan penyelesaian
untuk fungsi f(x) yang dicari berupa perpotongan garis dengan sumbu x atau sumbu y. Himpunan
penyelesaian yang diperoleh merupakan akar fungsi non linier.
Metode Tabulasi
Berikut langkah – langkah mencari himpunan penyelesaikan dengan metode tabulasi:
1) Menginislisiasi fungsi f(x)
2) Membagi nilai fungsi dalam bentuk sub interval – sub interval (berupa loop for) yakni dengan
menginilisialisasikan nilai x terhadap fungsi f(x) yang ada.
3) Melakukan pengecekan jika terdapat perubahan tanda pada setiap perulangan dengan interval x.
4) Melakukan pengecekan untuk setiap hasil perhitungan perkiraan akar (x) pada perhitungan yang
memiliki perubahan tanda. Pada interval dengan perubahan tanda tersebut merupakan interval dari
himpunan penyeesaian fungsi non linier yang dicari.
Metode Biseksi
Berikut langkah – langkah mencari himpunan penyelesaian fungsi non linier dengan metode biseksi:
1) Menetapkan nilai sembarang a dan b sebagai batas bawah dan batas atas interval nilai fungsi yang
dicari. Titik a dan b memberikan harga bagi fungsi f(x) untuk x = a dan x = b.
2) memeriksa apakah f(a).f(b)