MODUL STATISTIKA I – 2012 (INTERNAL)

MODUL STATISTIKA I LEMBAR PENGESAHAN MODUL PRAKTIKUM STATISTIKA I SEMESTER GENAP 2012 FAKULTAS EKONOMI UNIVERSITAS PADJADJARAN

Disusun Oleh:

Tim Asisten Dosen Statistika FE UNPAD

Mengetahui dan Menyetujui, Ketua Program Studi ESP UNPAD

Dr. Mohammad Fahmi, S.E., M.T. NIP. 197312302000121001

KATA PENGANTAR

Bismillahirahmaanirrahiim Assalamu‟alaikum Wr. Wb,

Alhamdulillahirabbil‟alamin. Puji Syukur penyusun ucapkan atas segala Rahmat dan Karunia-Nya yang tidak henti-hentinya diberikan sehingga akhirnya kami dapat menyelesaikan Modul Praktikum Statistika I 2012 ini dengan sebaik- baiknya.

Kami ucapkan terima kasih kepada semua pihak yang telah membantu dalam penyusunan modul ini. Penyusun berharap semoga modul ini dapat bermanfaat dan memberikan kontribusi aktif terhadap dunia akademis.

Akhir kata, tidak ada gading yang tak retak, kesempurnaan hanya milik Allah SWT, penyusun menyadari bahwa penyusunan modul ini masih banyak kekurangan. Oleh karena itu, saran dan kritik yang membangun sangat penyusun nantikan demi perbaikan modul ini ke arah sempurna.

Wassalamu‟alaikum Wr. Wb.

Irsyad Sarah Yusti

Meisa Ditha

Tiara

Yessica

Hamdi

Ardina

Yasyir

DAFTAR ISI

DISTRIBUSI FREKUENSI 1 UKURAN GEJALA PUSAT

29 UKURAN DISPERSI

59 ANGKA INDEKS

94 ANALISIS DERET BERKALA

110 PELUANG

142 DISTRIBUSI PELUANG TEORITIS

163 DISTRIBUSI NORMAL DAN PENDEKATAN DISTRIBUSI BINOMIAL OLEH DISTRIBUSI NORMAL

190 APPENDIX

205

DISTRIBUSI FREKUENSI

Ringkasan Teori

Seringkali data yang telah tertumpuk tersedia dalam jumlah yang sangat besar sehingga kita mengalami kesulitan untuk mengenali ciri – cirinya. Oleh karena itu, data yang jumlahnya besar perlu ditata atau diorganisir dengan cara meringkas data tersebut kedalam bentuk kelompok data sehingga dengan segera dapat diketahui cirinya dan dapat dengan mudah dianalisis sesuai dengan kepentingan kita. Pengelompokan data tersebut dilakukan dengan cara mendistribusikan data dalam kelas atau selang dan menetapkan banyaknya nilai yang termasuk dalam tiap kelas yang disebut frekuensi kelas, Suatu pengelompokan atau penyusunan data menjadi tabulasi data yang memakai kelas – kelas data dan dikaitkan dengan masing – masing frekuensinya disebut distribusi frekuensi atau Sebaran frekuensi

Bagian Distribusi Frekuensi

1. Kelas ( Class ) Pengelompokan individu atau item dari data ( Class ) yang diobservasi kedalam batas – batas nilai tertentu

2. Batas kelas ( Class limit ) Bilangan – bilangan yang membatasi kelas – kelas ( class limit ) tertentu, yang memiliki 2 macam pengertian:

a. Batas Kelas / ujung kelas ( State Class Limit ) yaitu bilangan - bilangan yang tertera didalam suatu distribusi frekeuensi yang membatasi kelas – kelas tertentu yang terdiri dari a. Batas Kelas / ujung kelas ( State Class Limit ) yaitu bilangan - bilangan yang tertera didalam suatu distribusi frekeuensi yang membatasi kelas – kelas tertentu yang terdiri dari

ii. Batas atas kelas/Ujung atas kelas (Upper State Class limit/ UCL)

Bilangan yang paling besar yang membatasi kelas tertentu

b. Batas kelas sebenarnya / Tepi kelas ( Class Boundaries ) yaitu bilangan – bilangan yang membatasi antara tiap dua kelas yang berurutan, yang terdiri dari :

i. Batas bawah kelas sebenarnya/tepi bawah kelas ( Lower Class Boundaries / LCB ) Bilangan yang diperoleh dari rata-rata ujung atas kelas sebelumnya dengan ujung bawah kelas yang bersangkutan

ii. Batas atas kelas sebenarnya/tepi atas kelas ( Upper Class Boundaries / UCB ) Bilangan yang diperoleh dari rata-rata ujung atas kelas yang bersangkutan dengan ujung bawah kelas yang berikutnya

3. Panjang kelas /Lebar kelas / Ukuran Kelas ( Class interval / Class Size )  Ci Bilangan – bilangan yang menunjukkan panjang / lebar / ukuran dari tiap – tiap kelas yang diperoleh dengan cara mengurangkan batas bawah kelas berikutnya dengan batas kelas yang bersangkutan

4. Frekuensi ( Frequency ) f Angka yang menunjukkan banyaknya data individual yang terdapat dalam satu kelas

5. Nilai tengah/ titik tengah/tanda kelas ( Midpoint / Class Mark )  X Bilangan – bilangan yang dapat mewakili kelas – kelas tertentu yang diperoleh dengan jalan atau cara merata – ratakan batas kelas yang bersangkutan.

Nilai tengah =

Contoh soal : Distribusi Frekuensi Nilai Ujian Akhir Semester Mata kuliah Statistika I

Batas kelas

Tepi Kelas

Nilai Tengah

UCB Nilai tengah

Σf

Tahapan untuk menyusun suatu distribusi frekuensi

Secara umum langkah – langkah yang diperlukan untuk membuat tabel distribusi frekuensi adalah sebagai berikut :

1. Menyusun urutan (array) dari data yang di observasi Array : data yang disusun berdasarkan urut - urutan

2. Tentukan nilai maksimum ( terbesar ) dan nilai minimum ( terkecil ) dari data mentah, kemudian hitunglah sebaran / rentang/jangkauan/ Range dengan menggunakan :

Rumus : R = X maksimum -X minimum

3. Menentukan banyaknya kelas ( k ) dengan rumus Sturges

k= 1 + 3,322 Log N atau k = 1 + 3,322 log n

N = banyaknya anggota populasi; n = banyaknya anggota sampel

4. Menentukan panjang/lebar/ukuran dari tiap – tiap kelas dengan rumus

Ci merupakan blangan bulat yang mempunyai nilai kelipatan 3 atau 5 yang

diperoleh dengan cara membulatkan ke atas dari hasil perhitungan

5. Menentukan batas – batas kelas serta memasukkan setiap individu/item dari data yang diobservasi kedalam kelas yang bersangkutan

6. Menyusun suatu distribusi frekuensi secara jelas dan lengkap berdasarkan tabel pada tahap 5

Macam – macam Grafik Distribusi Frekuensi

1. Histogram ( Hystogram )

Suatu bentuk grafik distribusi frekuensi yang merupakan batang – batang yang disusun secara berderet tanpa jarak yang menggambarkan tinggi frekuensi tiap kelas

2. Poligon ( Polygon ) Suatu bentuk Grafik distribusi frekuensi yang merupakan garis patah – patah yang menghubungkan titik tengah histogram tiap kelasnya

3. Ozaiv ( Ogive ) Suatu bentuk Grafik distribusi frekuensi yang merupakan garis patah – patah yang menghubungkan tinggi frekuensi kumulatif dari tiap – tiap kelasnya.

4. Kurva Frekuensi ( Frequency Curve / Smoothing Curve) Suatu bentuk Grafik distribusi frekuensi yang merupakan garis lengkung yang juga merupakan penghalusan dari bentuk poligon sedemikian rupa sehingga luas daerah dibawahnya sama dengan luas daerah dibawah poligon.

Macam – macam Distribusi Frekuensi

a) Distribusi Frekuensi Distrikyaitu distribusi frekuensi yang diantara tiap dua kelas yang berurutan terdapat celah 1 unit / satuan

b) Distribusi Frekuensi Kontinu yaitu distribusi frekuensi yang diantara tiap kelas yang berurutannya terdapat celah sebesar 0 atau bilangan yang mendekati 0

c) Distribusi Frekuensi tertutup yaitu distribusi frekuensi yang seluruh batas kelasnya dinyatakan dengan bilangan tertentu

d) Distribusi Frekuensi terbuka yaitu distribusi frekuensi yang tidak seluruh batas kelasnya dinyatakan dengan bilangan tertentu, terdiri atas

a. DF terbuka atas Adalah DF yang batas bawah kelas terakhirnya tidak dinyatakan

dengan bilangan melainkan dengan keterangan “ kurang dari “

b. DF terbuka bawah Adalah DF yang batas atas kelas terakhirnya tidak dinyatakan dengan

bilangan melainkan dengan keterangan “ lebih dari “

c. DF terbuka atas bawah Adalah DF yang batas bawah kelas pertama dan batas atas kelas terakhirnya masing – masing tidak dinyatakan dengan bilangan melainkan dengan keterangan “ kurang dari “ dan “ atau lebih “

e) Distribusi Frekuensi Relatif yaitu distribusi frekuensi yang frekuensinya dinyatakan dengan bilangan – bilangan tertentu yang berbentuk ratio atau persentase yang jumlah seluruh frekuensinya selalu sama dengan 1 atau 100 % e) Distribusi Frekuensi Relatif yaitu distribusi frekuensi yang frekuensinya dinyatakan dengan bilangan – bilangan tertentu yang berbentuk ratio atau persentase yang jumlah seluruh frekuensinya selalu sama dengan 1 atau 100 %

 dalam bentuk ratio

f i relatif = x 100  dalam bentuk persentase

f) Distribusi Frekuensi Kumulatif yaitu distribusi frekuensi yang frekuensinya ditambahkan atau dikurangkan secara bertahap dengan frekuensi tiap kelasnya dari DF asalnya. DF kumulatif terdiri dari :

a. DF Kumulatif positif / DF kumulatif kurang dari/DF kumulatif less than DF kumulatif yang frekuensi kumulatifnya dimulai dengan 0 kemudian ditambahkan secara bertahap dengan frekuensi tiap – tiap kelas dari DF asalnya.

b. DF Kumulatif negatif / DF kumulatif lebih dari/DF kumulatif more than DF kumulatif yang frekuensi kumulatifnya dimulai dengan jumlah seluruh frekuensi dari DF asalnya kemudian dikurangkan secara bertahap dengan frekuensi tiap-tiap kelas dari DF asalnya.

Rumus - Rumus Yang Biasa Dipakai Dalam Distribusi Frekuensi

UCB i = LCB (i+1)

Ci i = UCB (i+1) – LCB i

UCB = Ci i =X (i+1) –X i Untuk DF Yang memiliki Ci sama

UCL i = LCL

i –( Ci-1 ) Untuk DF Diskrit

Ci i = LCL (i+1) – LCL UCL i = LCL i

–( Ci- ) Untuk DF Kontinu

f i kepadatan =

Contoh Soal : Berikut ini diberikan data tinggi badan mahasiswi Fakultas Ekonomi dan Bisnis ,

Universitas Harapan Ayah dan Ibu

a) Susunlah data tersebut ( Array ) ?

b) Buatlah ditribusi frekuensinya ?

c) Berapa jumlah mahasiswa yang memiliki tinggi badan maksimal 140 cm dan yang lebih dari 170 cm ?

d) Buatlah distribusi frekuansi kumulatifnya ?

e) Gambarkan Ogive nya ? Jawab :

a) Array

b) Distribusi Frekuensi R = Xmaks – X min

Distribusi Frekuensi Data Tinggi Badan Mahasiswa Universitas Harapan Ayah Dan Ibu

Tinggi Badan

Jumlah Mahasiswa

Sumber : Contoh Soal Distibusi Frekuensi Modul Pratikum Statistika 1, 2012

c) Jadi, Jumlah mahasiswa yang memiliki tinggi maksimal dari 140 dan yang lebih dari 170 adalah 2+3+5 = 10 orang

d) Distribusi frekuensi kumulatif kurang dari dan lebih dari adalah sebagai berikut :

Tinggi

Frekuensi Kumulatif badan

Jumlah

Mahasiswa Nilai

kurang Nilai

F k lebih

dari dari

SOAL DISTRIBUSI FREKUENSI

1. Berikut ini disediakan distribusi relatif umur dari 65 orang mahasiswa di universitas “ X “

Umur

Frekuensi relatif

a) Susunlah ke dalam distribusi frekuensi biasa ( distribusi frekuensi asalnya ), dan gambarkan histogram dan poligonya ?

b) Buatlah distribusi frekuensi kumulatif kurang dari dan lebih dari , serta gambarkan ogifnya ?

Jawab :

( Pokok – Pokok Materi Statistika 1 – M. Iqbal hasan, hal 61, no 3)

a) Untuk mengembalikan ke dalam distribusi frekuensi asalnya kita gunakan rumus

f rel = x 100 atau f i =

jadi : f 1

Tabel 1. Umur mahasiswa universitas “X”

Umur

X Banyaknya Mahasiswa

Gambar 1a .

b) Distribusi frekuensi kumulatif kurang dari dan lebih dari adalah sebagai berikut :

Umur

Banyaknya Frekuensi Kumulatif Mahasiswa Nilai

f k Nilai

Gambar 1b.Ogif Positif

dan Negatif

Untuk Umur Mahasiswa „X„

2. Here is afrequency distribution of 75 measurements of the diameter pipe construction of abuilding.

Midpoint Amount of Pipes

a) Arrange the origin`s frequency distribution?

b) Draw Histogramsandpolygons curve?

c) What percentage of the measurement pipe at least 40 cm?. And how many pipes measuring more than 50 cm?

Jawab :

( Modul Statistika 1 , 2010 no 4) Mid point = Xn

Ci =X n+1 -X n = 24,5 – 14,5 = 10

X 1 = 14,5 Tepi Atas

= 2X n – Tb

Tepi Bawah = Tb + Ci 2X n – Tb

= Tb + Ci

2(14,5) – Tb = Tb + 10

Untuk Tepi bawah kelas 1

X 2 = 24,5 Tepi Atas

= 2X n – Tb

Tepi Bawah = Tb + Ci 2X n – Tb

= Tb + Ci

2(24,5) – Tb = Tb + 10

Untuk Tepi bawah kelas 2

49 – Tb

= Tb + 10

2Tb

Tb

Ta

X 3 = 34,5 Tepi Atas

= 2X n – Tb

Tepi Bawah = Tb + Ci 2X n – Tb

= Tb + Ci

2(34,5) – Tb = Tb + 10

Untuk Tepi bawah kelas 3

X 4 = 44,5 Tepi Atas

= 2X n – Tb

Tepi Bawah = Tb + Ci 2X n – Tb

= Tb + Ci

2(44,5) – Tb = Tb + 10

Untuk Tepi bawah kelas 4

X 5 = 54,5 Tepi Atas

= 2X n – Tb

Tepi Bawah = Tb + Ci 2X n – Tb

= Tb + Ci

2(54,5) – Tb = Tb + 10

Untuk Tepi bawah kelas 5

109 – Tb

= Tb + 10

2Tb

X 6 = 64,5 Tepi Atas

= 2X n – Tb

Tepi Bawah = Tb + Ci 2X n – Tb

= Tb + Ci

2(64,5) – Tb = Tb + 10

Untuk Tepi bawah kelas6

Distribusi Frekuensi pengukuran Pipa

Pengukuran

Banyak Pipa / f

Sumber : Soal No.2 Modul Pratikum Statistika 1, 2012 Sumber : Soal No.2 Modul Pratikum Statistika 1, 2012

d) Jadi. % jumlah pengukuran yang dilakukan minimal/ paling sedikit 40 cm adalah

x 100 = 62,67 %

Dan , jumlah pengukuran lebih dari 50 Cm adalah =14 + 9 = 23 Pengukuran

3. The following are50 students‟ grades instatistics IIat the University ofPadjadjaranSemesterII1997.

a) How manypeoplewho scoredbetween44-52and80-82?

b) What percentageof peoplewho scoredbetween53-61and89-97?

c) How many peoplewhoscore lessthan44 andlessthan 71?

Jawab:

( Pokok – Pokok Materi Statistika 1 – M. Iqbal Hasan, hal 55)

a) Tabel: Nilai Statistika II 50 mahasiswa Unpad semester II tahun1997

Nilai

Frekuensi / f

Jadi, Banyaknya mahasiswa yang

3 mendapat nilai antara 44 – 52 adalah 2

2 orang dan antara 80 – 88 adalah 13 orang.

Sumber : Soal no 7 Modul Pratikum Statistika 1

FEB Unpad 2012

Jumlah

b) Tabel: Distribusi frekuensi relatif nilai statistika II mahasiswa Unpad tahun 1997

Nilai

Frekuensi / f Frekuensi

Jadi, mahasiswa yang mendapat nilai antara

Relatif ( % )

53 – 61 adalah 6 % dan yang mendapat

3 6 nilai antara 89 – 97 adalah 18 %

c) Tabel : Distribusi frekuensi kumulatif kurang dari

Nilai

Frekuensi / f Frekuensi Relatif (f kumulatif)

Nilai

F k kurang dari

Sumber : Soal no 3 Modul Pratikum Statistika 1 FEB Unpad 2012 Jadi, banyaknya mahasiswa yang nilainya kurang dari 44 adalah 3 orang, dan

yang kurang dari 71 adalah 15 orang.

4. Distribusi frekuensi kumulatif dari Gaji Bulanan 60 Orang Pekerja Pabrik X adalah sebagai berikut :

Gaji ( Juta Rupiah) Banyak Karyawan Kurang dari 1 Kurang dari 2

Kurang dari 3

Kurang dari 4

Kurang dari 5

Kurang dari 6

Kurang dari 7

Kurang dari 8 Kurang dari 8

b) Buatlah distribusi Frekuensi relatifnya ?

Jawab :

( Modul Statistika 1, 2010 no 8 )

a) Panjang / lebar kelas = C i =2 –1=1 Distribusi Frekuensi Gaji Bulanan Pabrik X

Gaji ( Juta Rupiah) Banyak Karyawan

Sumber : Soal no.4 Modul Pratikum Statistika 1 FEB Unpad

3 f = = 11,67 % f 7 = = = 6,67 %

Distribusi Frekuensi relatif Gaji Karyawan Pabrik X

Gaji ( Juta Rupiah) Banyak Karyawan

Relatif ( f relatif )

5. The databelowisthedata onbirthsper1000 populationin various district ofthe island of Javaforthe period1955 to 1959

a) Arrange

a goodfrequency

distributionforthis data?

b) Make alist ofcumulativefrequencydistributionsof lessthanandmorethan?

Jawab :

(Prof.Dr. Sudjana. Statistika untuk Ekonomi dan Niaga ed. 5. Hal 88 no 10)

a) Carilah banyaknya kelasnya terlebih dahulu k = 1 + 3,322 log n

= 1 + 3,322 log 75 = 7,1878, ambil k = 8

Rentang kelas = R maks –R min = 44,3 – 13 = 31,3

Panjang / lebar kelas =

= 3,9125, ambil 4

Distribusi frekuensi kelahiran per 1000 penduduk di berbagai daerah di jawa 1955 – 1959

Kelahiran

per 1000 penduduk (banyaknya kelompok )

Sumber : Soal no 5 Modul Pratikum Statistika 1 FEB Unpad 2012

b) Distribusi frekuensi kurang dari dan lebih dari

Kelahiran per 1000 penduduk di jawa sellama 1955 - 1959

Frekuensi kumulatif

Nilai

f k Kurang dari

Nilai

f k Lebih dari

Kurang dari 13,0 0 Lebih dari 13,0

Kurang dari 17,0 2 Lebih dari 17,0

Kurang dari 21,0 5 Lebih dari 21,0

Kurang dari 25,0 5 Lebih dari 25,0

Kurang dari 29,0 12 Lebih dari 29,0

Kurang dari 33,0 32 Lebih dari 33,0

Kurang dari 37,0 54 Lebih dari 37,0

Kurang dari 41,0 66 Lebih dari 41,0

Kurang dari 45,0 75 Lebih dari 45,0

Sumber : Soal no 5 Modul Pratikum Statistika 1 FEB Unpad 2012

6. Here isthe

thequizFinancialReportconductedby the FinancialMarketCommunityin 2010against35 people.

resultof

a)Arrangearrayresultsfromthelowestquiz?

b) Arrange a good FrekeunsiDistributionofthe data andcreatepolygons curve?

c) How many peoplewhodo notpass ifthepassat least72?

Jawab :

a) susunan hasil kuis dari terendah sampai yang tertinggi.

b) Range = X maks –X min = 95 – 32 = 63 k = 1 + 3,322 log n

= 1 + 3,322 log 35 = 6,12939, ambil 6

C i = = = 10,5, ambil 11

Distribusi frekuensi Kuis Financial Report

Nilai

Banyak mahasiswa

Sumber : Soal no 6 Modul Pratikum Statistika 1 FEB Unpad 2012

Gambar : Poligon Hasil kuis finacial Report

c) Jumlah orang yang tidak lulus jika nilai lulus minimal 72 = 2+6+2+8 = 18 Orang

7. Berikut ini adalah data mengenai akumulasi nilai dari pertandingan Atletik dalam Kejuaraan Atletik Dunia :

Dari data yang diberikan diatas saudara diminta untuk:

a) Buatlah Array ( susunan data) dari data tersebut ?

b) Buatlah Distribusi Frekuensinya ?

c) Berapa banyak peserta yang akan lolos kejuaraan jika akumulasi nilai minimal adalah 38 ?

d) Berapa banyak peserta kejuaraan yang memiliki akumulasi nilai kurang dari 49 dan lebih dari 54 ?

e) Berapa batas kelas ke 4 ? batas atas kelas ke 5 ? tepi bawah kelas ke 1 ? tepi atas kelas ke 6 ? e) Berapa batas kelas ke 4 ? batas atas kelas ke 5 ? tepi bawah kelas ke 1 ? tepi atas kelas ke 6 ?

g) Gambarkanlah kurva Ogive nya ?

Penyelesaian : a)

Array ( susunan data) dari data tersebut adalah

b) R = X maks – X min = 55 – 30 = 25 k= 1+3,322 log n = 1+ 3,322 log 45 = 6,491971970 ~ 6 Ci = R/k = 25/6 = 4,166666 ~ 4

Distrubusi Frekuensi Akumulasi Nilai Pada Kejuaraan Atletik

Akumulasi Nilai

Jumlah peserta (f)

( interval kelas )

Jumlah

Sumber : Soal no 7 Modul Pratikum Statistika 1 FEB Unpad 2012

c) Jumlah peserta yang akan lolos seleksi jika akumulasi nilai minimalnya 38 adalah sebanyak = 9 + 7 +8+9+1 = 34 orang

d) banyak peserta kejuaraan yang memiliki akumulasi nilai kurang dari

46 dan lebih dari 54 adalah 27 ( 7 +9+6+5 ) + 1 = 28 orang

e) Berapa batas bawah kelas ke 4 = 42 batas atas kelas ke 5 = 49 tepi bawah kelas ke 1 = 30 – 0,5 = 29,5 tepi atas kelas ke 6 = 53 + 0,5 = 53,5

f) Distribusi Frekuensi Kumulatif Akumulasi Nilai Pada Kejuaraan Atletik

Frekuensi kumulatif

Nilai

f k Lebih dari Kurang dari 30

f k Kurang dari

Nilai

45 Kurang dari 34

0 Lebih dari 30

40 Kurang dari 38

5 Lebih dari 34

34 Kurang dari 42

11 Lebih dari 38

25 Kurang dari 46

20 Lebih dari 42

18 Kurang dari 50

27 Lebih dari 46

10 Kurang dari 54

35 Lebih dari 50

1 Kurang dari 58

44 Lebih dari 54

45 Lebih dari 58 45 Lebih dari 58

8. Berikanlah Komentar dan penjelesan saudara mengenai cara – cara pembentukan kelas – kelas dibawah ini ?

a. Salah, seharusnya kelas – kelas intervalnya adalah

b. Salah, sebab ada bagian dari kelas interval tersebut yang berimpit ( 2,5 – 7,5 ) berisikan sebagian data dari ( 5,0 – 10,5 ) kelas ini juga

berisikan sebagian dari data ( 7,5 – 12,5 )

UKURAN GEJALA PUSAT ( MEASURE OF CENTRAL TENDENCY )

Pengertian

Ukuran Gejala Pusat / Ukuran Nilai Sentral / Rata – rata ( Average ) menunjukkan dimana suatu data memusat atau suatu kumpulan pengamatan memusat (mengelompok).

Pengukuran pusat data penting untuk dilakukan karena suatu kelompok data bila diurutkan maka kecenderungan bahwa data tersebut akan memusat pada bagian tengah. UGP berfungsi sebagai alat untuk membandingkan dua atau lebih kelompok bilangan atau kelompok keterangan yang berbeda.

Dengan demikian. Ukuran Gejala Pusat adalah bilangan atau keterangan yang dapat mewakili deretan bilangan atau deretan keterangan tertentu atau suatu nilai yang mewakili suatu kelompok data yang pada umunya mempunyai kecenderungan terletak di tengah – tengah dan memusat dalam suatu kelompok data yang disusun menurut besar kecilnya nilai data

Macam – Macam Penggolongan UGP Meliputi :

1. Mayor mean, yang terdiri dari ;

a. Rata – Rata hitung ( Arithmatic Mean )

b. Median

c. Modus

2. Minor Mean, Terdiri dari :

a. Rata – Rata Ukur ( Geometric Mean ) a. Rata – Rata Ukur ( Geometric Mean )

1. Mayor Mean

1.a. Rata – Rata Hitung ( Arithmatic Mean )

Adalah bilangan yang diperoleh dari hasil bagi antara jumlah bilangan – bilangan tersebut dengan banyaknya bilangan yang bersangkutan. Pengertian rata – rata hitung dapat dikembangkan menjadi rata – rata tertimbang ( weighted mean )

dan rata – rata dari rata – rata

Sifat – sifat dari Rata – Rata hitung :  Mudah dihitung

 Rata – rata hitung sangat baik digunakan untuk menghitung rata – rata dari

data yang mempunyai sebaran yang relatif kecil ( tidak mempunyai nilai ekstrim ) atau dari data yang berbentuk deret hitung.

 Rata – rata hitung dapat digunakan untuk menghitung rata – rata dari data kualitatif ataupun dari data yang berbentuk distribusi frekuensi terbuka.

Untuk menghitungnya, digunakan rumus – rumus sebagai berikut :

Data Tidak Berkelompok

Data berkelompok

( Groupped Data ) Populasi

( Ungroupped data )

Rata – Rata Hitung ( atau )

Cara Panjang :

Cara Panjang :

Rata – Rata Tertimbang ( Wm )

Cara Pendek

Cara Pendek :

Wm =

Rata – Rata dari Rata – Rata ( M )

Keterangan :

X = Nilai data yang diobservasi N : Banyaknya data pada pupulasi W = Weighted ( timbangan )

n : Banyaknya data pada sampel/ Jml Frekuensi

Xi = Nilai tengah / mid point x o : Nilai tengah pada kelas u = 0 Ui = Skala arbiter pada kelas ke-i

Ci : Interval kelas

1.b. Median ( Me )

Adalah bilangan atau keterangan yang membagi suatu deretan bilangan atau deretan keterangan menajdi dua bagian yang sama sehingga letaknya berada di tengah data ketika data tersebut sudah diurutkan dari kecil sampai terbesar atau sebaliknya.

Sifat – Sifat Median diantaranya :  Median sangat baik digunakan untuk menghitung rata-rata dari data yang

mengandung nilai atau pengertian ekstrim

 Median dapat pula digunakan untuk menghitung rata – rata dari data kualitatif

ataupun dari data yang berbentuk distribusi frekuensi baik yang terbuka maupun yang tertutup.

Rumus – Rumus Median

Data Tidak Berkelompok

Data berkelompok

( Groupped Data ) Populasi

( Ungroupped data )

Letak Me :

Letak Me :

Letak Me :

Letak Me :

Nilai Me :

Nilai Me :

Nilai Me :

Nilai Me :

Data ke ½ ( N + 1)

Data ke ½ ( n + 1)

Tb me + Tb me +

Keterangan : Tb me : Tebi kelas bawah kelas median

F : Frekuensi kumulatif sebelum Kelas media

f me : Frekuensi sebenanrnya kelas median Ci

: Interval Kelas Dari pengertian Median diatas dapat dikembangkan menjadi :

i. Kuartil ( Qi )

Adalah bilangan atau keterangan yang membagi suatu deretan bilangan atau deretan keterangan menjadi empat bagian yang sama Adalah bilangan atau keterangan yang membagi suatu deretan bilangan atau deretan keterangan menjadi empat bagian yang sama

Adalah bilangan atau keterangan yang membagi suatu deretan bilangan atau deretan keterangan menjadi sepuluh bagian yang sama

iii. Persentil ( Pi )

Adalah bilangan atau keterangan yang membagi suatu deretan bilangan atau deretan keterangan menjadi seratus bagian yang sama

Rumus – Rumus Kuartil , Desil dan Persentil

Data Tidak Berkelompok

Data berkelompok

( Groupped Data ) Populasi

( Ungroupped data )

Kuartil ( Q i ) ; i = 1,2,3

Letak Qi :

Letak Qi :

Letak Qi :

Letak Qi :

( N + 1)

( n + 1)

Nilai Qi :

Nilai Qi :

Nilai Qi :

Nilai Qi :

Data ke ( N + 1)

Data ke ( n + 1)

Tb Qi +

Tb Qi +

Desil ( D i ) ; i = 1,2,3,...,9

Letak Di :

Letak Di :

Letak Di :

Letak Di :

( N + 1)

( n + 1)

Nilai Di :

Nilai Di :

Nilai Di :

Nilai Di :

Tb Di + Tb Di +

Data ke ( N + 1)

Data ke ( n + 1)

Persentil ( P i ) ; i = 1,2,3,...,99

Letak Pi :

Letak Pi :

Letak Pi :

Nilai Pi :

Nilai Pi :

Nilai Pi :

Nilai Pi :

Data ke ( N + 1) Data ke

( n + 1)

Tb pi + Tb pi +

1.c. Modus ( Mo )

Adalah bilangan atau keterangan yang paling sering muncul atau terjadi dalam suatu deretan bilangan atau deretan keterangan tertentu.

Sifat – sifat dari Modus :

 Baik digunakan untuk menghitung rata – rata yang menunjukkan keadaan

yang sedang Trendi atau kejadian yang sering muncul.  Dapat digunakan untuk menghitung nilai rata – rata dari data kualitatif

ataupun dari data yang berbentuk distribusi frekuensi terbuka maupun tertutup.

Rumus – Rumus Modus :

Data Tidak Berkelompok

Data berkelompok

( Groupped Data ) Populasi

( Ungroupped data )

Mo = nilai data yang sering muncul

Mo = Tb mo +

Ci mo

Keterangan : Tb mo = Tepi bawah kelas modus d1 = Selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sebelum kelas modus d2 = Selisih frekuensi kelas modus dengan frekuensi kelas sesudah kelas modus

Hubungan Rata – Rata Hitung, Median, dan Modus

Hubungan antara ketiga ukuran nilai pusat, akan memberikan gambaran bentuk kurva data yang bersangkutan. Hubungan antara ketiga ukuran nilai pusat ialah sebagai berikut :

 Jika rata – rata hitung, medain dan modus memiliki nilai yang sama maka

kurvanya berbentuk simetris. Pada kurva simetris sempurna, nilai rata – rata hitung, median dan modus terletak pada suatu titik di tengah – tengah absis dan ketiganya berimpitan.

 Jika nilai rata – rata hitung lebih besar daripada nilai median dan lebih besar dari pada nilai modus maka kurvanya menceng ke kanan

 Jika nilai rata – rata hitung lebih kecil daripada nilai median dan lebih kecil dari pada nilai modus maka kurvanya menceng ke kiri

= Me = Mo Mo Me Me Mo Jika distribusinya tidak terlalu menceng, hubungan rata – rata hitung, median dan

modus secara matematis dituliskan sebagai berikut :

Rata – Rata Hitung – Modus = 3 ( Rata – Rata Hitung – Median ) - Mo = 3 (

2. Minor Mean

2.a. Rata – Rata Ukur ( Geometric Mean / G M )

Adalah bilangan yang diperoleh dari akar pangkat banyaknya bilangan – bilangan tersebut dari hasil kali bilangan – bilangan yang bersangkutan

Sifat – sifat Rata – Rata Ukur ( Geometric Mean / G M ):  Rata – rata ukur sangat baik untuk menghitung rata – rata dari data yang

menunjukkan suatu perkembangan atau perubahan yang dinyatakan dalam bentuk persentase atau rasio

 Rata – rata ukur tidak dapat digunakan untuk menghitung rata – rata dari data

kualitatif ataupun dari data yang berbentuk Distribusi frekuensi terbuka.

Data Tidak Berkelompok ( Ungroupped data )

Data berkelompok ( Groupped Data )

Dari pengertian rata – rata ukur dapat dikembangkan menjadi :

i. Rata – rata tingkat bunga ( Mt )

Populasi dan sampel : Mt = Mo .

ii. Rata – rata tingkat pertambahan jumlah penduduk ( Pt )

Populasi dan sampel : Pt = Po .

2.b. Rata – Rata Harmonis ( Harmonic Mean )

Adalah bialangan yang diperoleh dari hasil bagi antara banyaknya bilangan – bilangan tersebut dengan jumlah kebalikan bilangan – bilangan yang bersangkutan

Sifat – sifat Rata – Rata Harmonis ( Harmonic Mean ) :  Rata – rata harmonis sangat baik untuk menghitung rata – rata dari data per

unit tertentu dengan syarat hasil kali antara banyaknya unit dengan nilai data tersebut konstan.

 Rata-rata harmonis lebih sesuai bila digunakan pada data atau observasi yng

unit pembilanngnya tetap, sedangkan unit penyebutnta berubah-ubah ( bervariasi )

 Rata – rata harmonis tidak dapat digunakan untuk menghitung rata-rata dari data kualitatif ataupun data yang berbentuk distribusi frekuensi terbuka .

Rumus – Rumus Rata – Rata Harmonis :

Data Tidak Berkelompok

Data berkelompok

( Groupped Data ) Populasi

( Ungroupped data )

Contoh Soal :

1. Berikut ini Jumlah pengunjung yang datang ke sebuah Mall dalam 6 hari terakhir di kota Bandung

a) Tentukanlah rata – rata pengunjung mall di kota bandung tersebut ?

b) Tentukanlah Median dan Modusnya ?

Penyelesaian :

Diketahui : n = 6

X 1 = 295, X 2 =1002, X 3 = 941, X 4 = 768, X 5 = 768, X 6 = 1283 Ditanya :a).

b). Urutkan data dari yang terkecil hingga data yang terbesar

295, 768, 768, 941,1002, 1283 Median = Data ke ½ ( n + 1) = ½ ( 6 + 1) = 3,5 berarti Me tertelak diantara data

ke 3 dan ke 4 Sehingga mediannya = (768 + 941 ) / 2 = 854,5 Modus = Data yang sering muncul = 768 Jadi rata – rata, Median dan Modus dari pengunjung yang datang selama 6 hari

terakhir ini adalah sebesar 842, 855, dan 768 pengunjung.

2. Berikut ini adalah distribusi frekuensi banyaknya surat yang harus dikirimkan oleh Fedex ke 50 kota yang berhasil dikumpulkan oleh suatu lembaga di Provinsi „

X „ pada tahun 2009

Distribusi Frekuensi Banyaknya surat yang harus dikirim Fedex ke 50 kota, tahun 2009 Jumlah surat yang harus dikirim

Banyaknya kota

a) Hitunglah rata – rata dengan cara pendek dan cara panjang ?

b) Tentukan Median dan Modus ?

c) Tentukan kuartil 2 ?

d) Tentukan Desil 9 dan Persentil 65 ?

Penyelesaian :

Diketahui : n = 50, Ci = Lcl 2 – Lcl 1 = 30 – 20 = 10

Kelas Frekuensi

Xi

fi.xi

ui fi.ui

Ditanya : a)

c) Q3

b) Me..? , Mo..?

d) D 9 dan P 65

Jawab :

a) Cara Panjang :

Cara Pendek : = 54,5 +

Jadi, baik dengan cara panjang maupun cara pendek menunjukkan bahwa rata – rata surat yang harus dikirm Fedex ke 50 kota di Provinsi „ X „ pada tahun 2009 adalah 53 buah surat.

b) Letak Me = ½ n = ½ 50 = 25  data ke 25 terletak pada kelas 40 – 49

Letak Mo = pada kelas 40 – 49 ( karena memiliki frekuensi terbanyak ) d1 = 12 –8=4 d2 = 12 –6=6

Mo = Tb mo + Ci mo = 39,5 +

Jadi, berdasarakan hitungan diatas, terlihat bahwa surat yang paling banyak diterima kota di Provinsi „ X „ pada tahun 2009 adalah berkisar 44 buah surat dengan median

atau ½ dari kota – kota tersebut menerima surat kurang dari 50 dan sebagian kota lagi menerima lebih dari 50 buah surat

c) Letak Q3 = ¾ n = ¾ 50 = 37,5  data ke 37,5 terletak di kelas 60 – 69

Tb Q3 = =

Q3 = Tb Q3 + = 59,5 +

Jadi, ¾ atau 75 % dari kota – kota di provinsi X pada tahun 2009 menerima surat berkisar sebesar 69 buah surat. Sedangkan sisanya menerima lebih dari 65 surat

d) Letak D9 = i/10 n = 9/10. 50 = 45  data ke 45 terletak dikelas 70 – 79

Tb d9 = =

Tb D9 + = 69,5 +

Jadi, 9/10 kota – kota di Provinsi X pada tahun 2009 menerima surat berkisar kecil dari 77 buah surat ( desil 9 = 77 buah surat ),sedangkan sisanya menerima surat lebih

dari 77 buah surat Letak P65 = i/100.n = 65/100 . 50 = 32,5  data le 32,5 terletak di kelas 60 – 69

Tb p65 = =

Tb P65 +

Jadi, 65/100 dari kota –kota di Provinsi X pada tahun 2009 menerima surat berkisar kecil dari 62 buah surat, sedangkan sisanya menerima surat lebih dari 62 buah surat

SOAL UKURAN GEJALA PUSAT

1. Setelah dilakukannya penelitian terhadap 2 depertemen yang berbeda pada suatu perusahaan independen terkemuka, didapat bahwa rata – rata gaji yang diterima pada 2 depertemen tersebut adalah $ 2.200 perbulan, pada depertemen Planning And Controling Qualityrata – rata gaji yang didapat oleh karyawannya sebesar $ 2.450 perbulannya, sedangkan departemen Financial Strategymenerima gaji sebesar $ 2.100 per bulan. Dengan data tersebut saudara diminta untuk menentukan perbandingan banyaknya karyawan pada 2 depertemen tersebut, dan beri kesimpulan yang jelas ?

Penyelesaian :

Diket : = $ 2.450 = $ 2.100 = $ 2.200

Ditanya : perbandingan n1 dan n1 Jawab :

2.200 n2 + 2.200 n1 = 2.100 n2 + 2.450 n1 100 n2 = 250 n1

n2 = 2,5 n1

Jadi, perbandingan banyaknya jumlah karyawan departemen Financial S trategy dengan karyawan departemen Planning and Controling Quality adalah

2. Beloware giventhe population ofacountryduring theperiod1951 - 1963, ( inmillions )

Calculatewhat percentage ofthe average increase ofthe country's populationevery year?

Solution :

(Prof. Dr. Sudjana, Statistika untuk Ekonomi dan Niaga ed 5, hal. 149 no 45)

Use formulate

P t =P o ( 1+

Given : P o = 10,16

P t = 39,95

dan t = 12

Asked : x ?

Solution : P t =P o ( 1+

Log 39,95 = log 10,16 + 12 log ( 1 +

Log 39,95 – log 10,16 = 12 log ( 1 +

Jadi, rata – rata kenaikan penduduk negara tersebut selama tahun 1951 – 1963 adalah 12 %

3. Following represent data from salary`s CEO in NY City in billion Dollar USA

Salarys

Amount of

a) Mean, Median and Mode of Salarys of CEO in NY City ?

b) Determine quartil 1, quartil 2, and quartil 3 ?

c) Determine desil 7 and what is means?

Solution:

Given : n = 150

C i =Lcl 2 – Lcl 1 = 20 – 10 = 10

Class

Frequency (f i )

a) Mean. Mode, Median

b) Q1,Q2 dan Q3

c) D7 and what is means ?

Jawab : a) Mean = =

Situation of Median = Me= ½n = 75 = ½ ( 150 + 1) = 75,5

So, mean of salary`s CEO in NY City is $ 47.700.000 with median of that is $ 46.214.285

b) situation of Q 1 = ¼ ( n) = ¼ ( 150) = 37,5

Q i =L q1 + C i  30,5 +

situation of Q 2= 2/4 ( n) = 2/4 ( 150) = 75

Q i =L q1 + C i  40,5 +

situation of Q 3 =3/4 ( n) = ¾ ( 150) = 112,5

Q i =L q1 + C i  60,5 +

So, Calculate result for Q1, Q2 and Q3 Salary of CEO in NY City are $ 33.500.00 , $46.214.285 and $ 64.250.000

c) Situation of D7 = i/10 x n = 7/10 x 150 = 105

D7 = 50,5 +

So, highest salarys from 70% lowest salarys of CEO in NY City are $54.666.666,67

4. Berikut ini disajikan berat badan dari mahasiswa fakultas ekonomi dan bisnis universitas padjadjaran pada tahun 2010

Berat badan ( Kg ) Banyaknya Mahasiswa

b) Dengan menggunakan hubungan rata – rata hitung, median dan modus tentukanlah berapa median nya ?

Penyelesaian : a)

Berat badan Frekuensi Titik tengah ( X )

Jadi rata –rata dari berat badan mahasiswa FEB Unpad pada tahun 2010 adalah 67,18 Kg

Mo = Tb +

Ci

Kelas modus adalah kelas ke – 3 sehingga Tb = 65,5 d1 = 32 – 25 = 7,

d2 = 32 – 15 = 17, dan Ci = 3

Mo = 65,5 +

Jadi, modus dari berat badan mahasiswa FEB Unpad pada tahun 2010 sebesar 66,375 Kg

a) Hubungan rata – rata hitung, median dan modus

Rata – rata hitung – Modus = 3 ( Rata – rata hitung - Median )

Jadi, dengan menggunakan hubungan rata – rata hitung, median dan modus , didapat median dari berat badan mahasiswa FEB Unpad 2010 adalah 66,91Kg

5. Dalam tahun 1949, perusahaan – perusahaan asuransi kecelakaan mobil di amerika serikat telah membayar sebanyak 715,673 permintaan yang besarnya $ 100 atau kurang, rata – ratanya $ 33,91, juga mereka telah membayar sebanyak 157,879 permintaan yang besarnya $ 101 sampai dengan $ 1000 dengan rata – rata $ 216,89 dan sejumlah 1707 permintaan yang besarnya melebihi $ 1000 dengan rata – rata $ 1635,09. Tentukanlah permintaan rata – rata dari keseluruhan ?

Penyelesaian :

(Prof. Dr. Sudjana, Statistika untuk Ekonomi dan Niaga ed. 5, hal. 145 no 21) Sebaiknya disusun dahulu dalam daftar sebagai berikut :

Permintaan

Banyaknya (n i )

Rata – rata (x i )

n i. x i

Kurang dari $ 100

34.242.376,31 Lebih adri $ 1000

Permintaan rata – rata =

Jadi, rata rata permintaan dari keseluruhan Asuransi adalah $ 70,04

6. Seseorang menanamkan modal dengan bunga 7 % dalam tahun pertama. Untungnya disatukan dengan modal asal yang kemudian ditanamkan lagi dengan bunga 9 % pada tahun kedua. Dengan jalan yang sama, pada tahun yang ketiga uang itu ditanamkan dengan bunga 10 %, pada tahun keempat 12 % dan pada tahun kelima 15 %. Berapa bunga rata – rata yang didapat selama periode 5 tahun itu ?

Penyelesaian :

(Prof. Dr. Sudjana, Statistika untuk Ekonomi dan Niaga ed. 5, hal. 147 no 36)

Jadi bunga rata – rata yang didapat selama periode 5 tahun dalam penanaman modal tersebut adalah 10,6 %

7. The followingdataare givenheight20Padjadjaran Universitystudent 148.121,142,143,148,125,132,143,149,134, 145,150,134,145,150,154,154,152,151,150

Make afrequency distributionandthen calculate:

a) The medianandthe modewithgroupeddataformula?

b) Percentile 45 and Deciles3 withthegroupeddata formula?

Penyelesaian :

R = Rmaks – Rmin = 154 – 121 = 33 k= 1+3,322 log n = 1+3,322 log 20 = 5,322 ~ 6

Ci = = = 6,666 ~ 7

Tinggi badan ( Kelas Interval ) Jumlah Mahasiswa ( f )

a) Median Letak median = ½ n = ½ 20 = 10  data ke 10 terletak pada kelas 141 – 147

Me = Tb me + .7 = 147,5

Modus Letak Mo = pada kelas 148 – 154 ( karena memiliki frekuensi terbanyak ) d1 = 10 –5=5 Modus Letak Mo = pada kelas 148 – 154 ( karena memiliki frekuensi terbanyak ) d1 = 10 –5=5

Mo = Tb mo +

Ci mo = 147,5 +

Jadi, 20 data tinggi badan mahasiswa FEB Unpad memiliki median sebesar 147,5 dan modusnya sebesar 154,5

b) Letak D3 = i/10 n = 3/10. 20 = 6  data ke 6 terletak dikelas 141 – 147

Jadi, 3/10 dari 20 data tinggi badan mahasiswa FEB Unpad adalah berkisar kurang dar1 141,9 Cm, sedangkan sisanya memiliki tinggi badan lebih dari 141,9 cm

Letak P45 = i/100.n = 45/100 . 20 = 9  data le 32,5 terletak di kelas 141 - 147

Jadi, 45/100 dari 20 data tinggi badan mahasiswa FEB unpad berkisar kecil dari 146,1 Cm, sedangkan sisanya lebih dari 146,1Cm

8. Hamdi`s Corporation adalah sebuah perusahaan sukses multinasional yang mempunyai banyak cabang perusahaan di dunia. Hamdi Ahmad Selaku CEO Hamdi`s Corporation suatu hari ingin melakukan investigasi terhadap 8. Hamdi`s Corporation adalah sebuah perusahaan sukses multinasional yang mempunyai banyak cabang perusahaan di dunia. Hamdi Ahmad Selaku CEO Hamdi`s Corporation suatu hari ingin melakukan investigasi terhadap

Perjalanan

Waktu Tempuh ( Xt )

Kecepatan ( Wt )

Jakarta – Hongkong

8000 Km/ jam Hongkong – Paris

5 Jam

7500 Km / jam Paris – Amsterdam

8 Jam

8210 Km / jam Amsterdam – Mesir

2 Jam

7710 Km / jam Mesir – Rusia

4 Jam

9 Jam

8810 Km/ jam

Dari data diatas, berapakah rata – rata kecepatan pesawat jet yang digunakan oleh Hamdi Ahmad dalam melakukan perjalanan tersebut ?

Penyelesaian :

Jadi , rata – rata kecepatan pesawat jet yang digunakan oleh Hamdi Ahmad dalam melakukan perjalanan tersebut adalah 8091,07142 KM/Jam

9. Ardina bermaksud berpergian dari Padang –Padang Panjang – Bukittinggi dengan menempuh jarak 90 Km, ketika Ardina pergi ke Padang Panjang mobil Limousin yang digunakanya menempuh rata – rata kecepatan 52 km/jam ,Ketika dari padang panjang ke Bukittinggi ardina menempuh hanya dengan kecepatan 40 Km. Namun ketika Ardina kembali ke Padang pada sore 9. Ardina bermaksud berpergian dari Padang –Padang Panjang – Bukittinggi dengan menempuh jarak 90 Km, ketika Ardina pergi ke Padang Panjang mobil Limousin yang digunakanya menempuh rata – rata kecepatan 52 km/jam ,Ketika dari padang panjang ke Bukittinggi ardina menempuh hanya dengan kecepatan 40 Km. Namun ketika Ardina kembali ke Padang pada sore

Dit : H M ? Jawab :

H M = = = 51,2676 km/jam

Jadi rata – rata Limousin yang digunakan ardina untuk menempuh Padang – Padang Panjang – Bukittinggi Pulang Pergi adalah 51,26 km/jam

10. Dibawah ini disajikan data mengenai upah mingguan karyawan di perusahaan “ A “ pada tahun 2007 ( dalam ribuan rupiah )

Upah

Banyaknya Karyawan

a) Berapa Besar Upah yang diterima oleh sebagian besar karyawan tersebut ? a) Berapa Besar Upah yang diterima oleh sebagian besar karyawan tersebut ?

c) Jika 20 % dari jumlah karyawan memperoleh upah terendah adalah yang bekerja lebih dari 2 tahun, berapa upah maksimalnya ?

d) Berapa gaji rata – rata yang diterima oleh karyawan ?

e) Gambarkan kurva histogramnya dari distribusi diatas ?

Penyelesaian :

a) Besar Upah yang diterima oleh sebagian besar karyawan tersebut Modus terletak di kelas ke 4  yang berarti tepi bawah kelasnya adalah 149,5 d1 = 14 – 10 = 4 d2 = 14 – 10 = 4 Ci = 10

Mo = Tb mo +

Ci mo = 149,5 +

Jadi besar upah yang diterima sebagian besar karyawan adalah Rp 154.500

b) Jika 20 % dari jumlah karyawan memperoleh upah tertinggi adalah yang bekerja lebih dari 2 tahun, upah minimalnya adalah

Bisa digunakan P 80 atau D 8 disini kita gunakan P 80

LetakP80 :

Nilai P80 : Tb pi +

Jadi. Jika 20 % dari jumlah karyawan memperoleh upah tertinggi adalah yang bekerja lebih dari 2 tahun, upah minimalnya adalah Rp 179.500 Jadi. Jika 20 % dari jumlah karyawan memperoleh upah tertinggi adalah yang bekerja lebih dari 2 tahun, upah minimalnya adalah Rp 179.500

Bisa digunakan P 20 atau D 2 disini kita gunakan P 20

LetakP80 :

60 = 12

Nilai P80 : Tb pi + 

129,5+ = 139,5

Jadi. Jika 20 % dari jumlah karyawan memperoleh upah terendah adalah yang bekerja lebih dari 2 tahun, upah maksimalnyanya adalah Rp 139.500

d) Rata – rata gaji yang diterima karyawan adalah

Xi.fi (Kelas )

Karyawan (fi)

Jadi rata – rata gaji karyawan adalah Rp. 154.833

e) Gambarkan kurva histogramnya dari distribusi diatas ?

UKURAN DISPERSI

Ukuran Dispersi atau ukuran variasi atau ukuran penyimpangan adalah ukuran yang menyatakan seberapa jauh penyimpangan nilai-nilai data dari nilai-nilai pusatnya. (pokok2 materi statistika 1 Ir. M Iqbal Hasan MM) Kegunaan Ukuran Dispersi

 Sebagai pelengkap dari ukuran gejala pusat dalam membandingkan dua atau lebih kelompok bilangan. Pada ukuran gejala pusat, nilai rata-rata seperti mean atau median hanya menitikberatkan pada pusat data, tapi tidak memberikan informasi tentang sebaran nilai pada data tersebut.

 Untuk membandingkan sebaran data dari dua informasi distribusi nilai. (Statistika Teori dan Aplikasi, J. Supranto) Macam-macam Ukuran Dispersi

a. Ukuran Dispersi Absolut Ukuran dispersi absolut adalah ukuran dispersi yang hanya dapat digunakan untuk melihat penyimpangan-penyimpangan nilai yang terdapat pada suatu kumpulan data, bukan untuk beberapa kumpulan data. Ukuran dispersi absolut terdiri dari:

1. Rentang / Sebaran/ Jangkauan/ Range (R): adalah selisih data terbesar (maksimum) dengan data terkecil (minimum). Pada umumnya, semakin kecil rentang untuk sekumpulan data, makin merata tersebarnya data. Bila rentang makin besar maka data tersebut semakin tidak merata. Rumus:

Data Tidak Berkelompok (Ungrouped Data)

Populasi dan sampel menggunakan rumus yang sama, yaitu:

R= -

Data Berkelompok (Grouped Data)

Populasi dan sampel menggunakan rumus yang sama, yaitu:

R= -

Dimana: 

merupakan nilai tengah kelas tertinggi 

merupakan nilai tengah kelas terendah

2. Sebaran/ Rentang Antar Quartil/ Inter Quartile Range (IQR) Adalah suatu bilangan yang diperoleh dari selisih antara kuartil 3 dan kuartil 1.

Rumus: Populasi dan sampel menggunakan rumus yang sama, yaitu:

IQR = -

Rumus tersebut digunakan untuk data tidak berkelompok dan data berkelompok

3. Simpangan Kuartil/ Kuartil Deviasi/ Quartile Deviation (QD) Adalah suatu bilangan yang merupakan setengah bagian dari sebaran antar kuartil. Rumus: Populasi dan sampel menggunakan rumus yang sama, yaitu:

QD =

atau QD =

Rumus tersebut digunakan untuk data tidak berkelompok dan data berkelompok

4. Simpangan Rata-rata/ Average Deviation (AD) Adalah nilai rata-rata hitung dari harga mutlak penyimpangan nilai suatu variabel terhadap rata-rata hitungnya. Rumus:

Data Tidak Berkelompok (Ungrouped Data)

Populasi: AD =

Sampel: AD =

Data Berkelompok (Grouped Data)

Populasi: AD =

Sampel: AD =

5. Simpangan Baku/ Standar Deviasi/ Standard Deviation (σ atau s) Adalah suatu bilangan yang merupakan rata-rata penyimpangan nilai suatu variabel terhadap rata-rata hitungnya. Rumus:

Data Tidak Berkelompok (Ungrouped Data)

 Populasi: Metode biasa (cara panjang)

Metode angka kasar (cara pendek)

 Sampel besar (n>30): Metode biasa (cara panjang)

Metode angka kasar (cara pendek) x

s= s=

 Sampel kecil (n≤30): Metode biasa (cara panjang)

Metode angka kasar (cara pendek) x

s= s=

Data Berkelompok (Grouped Data)

 Populasi: Metode biasa (cara panjang)

Cara pendek: Metode angka kasar

Metode Coding

 Sampel besar (n>30) Metode biasa (cara panjang)

s=

Cara pendek: Metode angka kasar

Metode Coding

 Sampel kecil (n≤30): Metode biasa (cara panjang)

s=

Cara pendek: Metode angka kasar

Metode Coding Metode Coding

c : panjang kelas

d = X-M

X = nilai tengah M = rata-rata hitung sementara

6. Variasi/ Variance (V) Adalah suatu bilangan yang merupakan bentuk kuadrat dari simpangan bakunya. Rumus:

Rumus tersebut digunakan untuk data tidak berkelompok dan data berkelompok

b. Ukuran Dispersi Relatif Adalah ukuran dispersi yang dapat digunakan untuk membandingkan dispersi atau variasi dari beberapa kumpulan data. Dispersi Relatif dirumuskan:

Dispersi relatif =

Ukuran dispersi relatif terdiri dari:

1. Koefisien variasi / Coefficient of Variation (CV) Adalah suatu bilangan yang biasanya dinyatakan dalam persen yang merupakan hasil bagi atau perbandingan antara simpangan baku terhadap rata-rata hitungnya. Semakin kecil nilai koefisien variasinya maka data semakin homogen.

Populasi:

CV = x 100%

Sampel:

CV = x 100%

Rumus tersebut digunakan untuk data tidak berkelompok dan data berkelompok

2. Koefisien Variasi Kuartil/ Coefficient of Quartile Variation (CVQ) Adalah suatu bilangan yang biasanya dinyatakan dalam persen yang merupakan hasil bagi atau perbandingan antara simpangan kuartil terhadap mediannya atau antara selisih kuartil 3 dan kuartil 1 terhadap jumlah kuartil 3 dan kuartil 1. Populasi dan sampel menggunakan rumus yang sama, yaitu:

CVQ =

x 100% atau CVQ =

x 100%

Rumus tersebut digunakan untuk data tidak berkelompok dan data berkelompok

3. Angka Baku/ Standard Score (Z) Adalah suatu bilangan yang merupakan hasil bagi atau perbandingan antara selisih nilai tertentu suatu variabel dan rata-rata hitung terhadap simpangan bakunya. (Teori dan Aplikasi Statistika dan Probabilitas, Dr. Boediono, Dr, Ir Wayan Koster)

Rumus tersebut digunakan untuk data tidak berkelompok dan data berkelompok

UKURAN KEMENCENGAN (Skewness) Sk =

Ukuran kemencengan adalah suatu ukuran yang menunjukan tingkat ketidaksimetrisan atau kejauhan simetris dari sebuah distribusi. Sebuah distribusi yang tidak simetris akan memiliki rata-rata, median, dan modus yang tidak sama besarnya, sehingga distribusi akan terkonsentrasi pada salah satu sisi dan bentuk Ukuran kemencengan adalah suatu ukuran yang menunjukan tingkat ketidaksimetrisan atau kejauhan simetris dari sebuah distribusi. Sebuah distribusi yang tidak simetris akan memiliki rata-rata, median, dan modus yang tidak sama besarnya, sehingga distribusi akan terkonsentrasi pada salah satu sisi dan bentuk

a. Kurva distribusi normal

Mo=Me= x

b. Kurva distribusi menceng ke kanan

Mo Me x

c. Kurva distribusi menceng ke kiri

x Me Mo

Metode yang digunakan untuk mengukur ukuran kemencengan (Skewness)

1. PEARSON (nilai selisih rata-rata dibagi simpangan baku) Rumus:

x x Sampel:

2. BOWLEY (berdasarkan pada hubungan kuartil-kuartil dari sebuah distribusi) Rumus:

atau Sk =

Sk =

3. MOMEN (didasarkan pada perbandingan momen-momen ke-3 dengan pangkat tiga simpangan baku) Rumus:

Data tunggal/ tidak berkelompok

Sk = =

Populasi :

x Sampel : Sk =

Data Berkelompok

Populasi: Sk =

atau

Sk = =

Sk = x = atau

Sampel:

. Kemencengan kurva menurut Pearson ialah:

Sk = =

1. Sk = 0  kurva memiliki bentuk simetris

2. Sk > 0  kurva menceng ke kanan atau menceng positif

3. Sk < 0  kurva menceng ke kiri atau menceng negatif Batas-batas nilai ukuran kemencengan beserta artinya:

1. 0,0 ≤ (Sk = < 0,1  bentuk kurva distribusinya bisa dianggap normal

2. 0,1 ≤ (Sk = < 0,3  bentuk kurva distribusinya menceng. Bila bernilai negatif menceng ke kiri, bila bernilai positif menceng ke kanan

3. (Sk = ≥ 0,3  bentuk kurva distribusinya sangat menceng Bila bernilai negatif sangat menceng ke kiri, bila bernilai positif sangat menceng ke kanan

UKURAN KERUNCINGAN (Kurtosis) Kt =

Keruncingan distribusi data atau kurtosis adalah derajat atau ukuran tinggi rendahnya puncak suatu distribusi data terhadap distribusi normalnya data. Berdasarkan keruncingannya kurva distribusi dapat dibedakan atas 3 macam, yaitu:

1. Leptokurtik (puncak relatif tinggi/ runcing)

2. Mesokurtik (puncak tidak tinggi dan tidak mendatar atau bisa disebut normal)

3. Platikurtik ( puncak hampir mendatar/ tumpul)

Leptokurtik

Mesokurtik

Platikurtik

Batas-batas ukuran keruncingan:

1. > 3 kurva distribusinya runcing (leptokurtik)

2. = 3 kurva distribusinya normal (mesokurtik)

3. < 3 kurva distribusinya tumpul (platikurtik) Rumus- Rumus yang digunakan:

Data tunggal/ tidak berkelompok

Populasi :

x Sampel : =

Data Berkelompok

Populasi: =

atau

x Sampel: =

atau

Contoh Soal:

Berikut ini adalah sampel nilai dari mid test statistika I dari sekelompok mahasiswa di sebuah Universitas:

30, 35, 42, 50, 58, 66, 74, 82, 90, 98 Tentukanlah:

a. Semua ukuran dispersi absolutnya

b. Semua ukuran dispersi relatifnya, kecuali angka baku

c. Ukuran kemencengan dan ukuran keruncingannya beserta artinya

a. Ukuran dispersi absolut:  R=

R = 98-30 = 68

 IQR = - = 84-40,25 = 43,75

 s=

 V= =

x 100% =

x 100% = 37,52522115%

 CVQ = x 100% =

x 100% = 35,28225806%

c. Ukuran kemencengan: Rumus Pearson:

x Sk =

Ternyata 0,0 <0,063956984< 0,1 0,0 < (Sk = < 0,1  bentuk kurva distribusinya bisa dianggap normal

Gambar:

Ukuran keruncingan:

= 1,391912716 Ternyata 1,391912716 < 3 < 3 maka kurva distribusinya berbentuk tumpul (platikurtik) Gambar: