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Divulgaciones Matem´
aticas Vol. 10 No. 2(2002), pp. 149–159
C´
alculo del n´
umero π mediante
funciones trigonom´
etricas
Calculation of π by mean of trigonometric functions
Di´omedes B´arcenas (barcenas@ciens.ula.ve)
Olga Porras (porras@ciens.ula.ve)
Departamento de Matem´
atica
Facultad de Ciencias, Universidad de los Andes
M´erida 5101, Venezuela
Resumen
Mediante el uso de las funciones trigonom´etricas seno y tangente se da
una demostraci´
on elemental de la existencia del n´
umero π, as´ı como un
c´
alculo aproximado del mismo.
Palabras y frases clave: n´
umero π, funciones trigonom´etricas, seno,
tangente.
Abstract
By mean of the trigonometric functions sinus and tangent an elementary
proof of the existence of number π is given, as well as an approximate
evaluation of it.
Key words and phrases: number π, trigonometric functions, sinus,
tangent.
1
Introducci´
on
En la Escuela Primaria se nos ense˜
no´ que la longitud de la circunferencia de
un c´ırculo es igual a 2πr, donde r es el radio de la circunferencia y π = 3,1416.
Se nos ense˜
no´ tambi´en que el a´rea de un c´ırculo es igual a πr 2 , donde r es el
radio y π = 3,1416.
Armados con esta informaci´
on proced´ıamos al c´
alculo de a´reas de c´ırculos
y longitudes de circunferencias y los pocos afortunados -si hab´ıa alg´
un afortunado en aquel auditorio infantil - capaces de memorizar las f´
ormulas de a´rea y
Recibido 2001/11/29. Aceptado 2002/11/08.
MSC (2000): Primary 97-01; Secondary 33B10.
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Di´
omedes B´
arcenas, Olga Porras
longitud, pod´ıan eventualmente calcular el a´rea de un c´ırculo o la longitud de
su circunferencia una vez conocido el radio sin que nadie - ¿o quiz´
as alguien? se preocupara por el origen y la presencia de ese numerito m´
agico: π = 3,1416.
M´
as tarde, en la Escuela Secundaria, estudiamos en mayor profundidad
los temas de a´rea y longitud. All´ı aprendimos que el per´ımetro o longitud
de un pol´ıgono es igual a la suma de las longitudes de sus lados y que el
a´rea de un pol´ıgono es igual al semiproducto del per´ımetro por la apotema;
preocup´
andonos poco, m´
as bien nada, por el significado de estas f´
ormulas
matem´
aticas.
En esta etapa de nuestra formaci´
on dimos un salto cualitativamente grande
en el estudio del n´
umero π al aprender que este n´
umero fue profundamente
estudiado por Arqu´ımedes mientras investigaba precisamente las nociones de
a´rea y longitud.
Arqu´ımedes, el m´
as famoso de los matem´
aticos de la antig¨
uedad, conoc´ıa
las f´
ormulas de a´rea y longitud para el caso de pol´ıgonos y se propuso conocer
f´
ormulas an´
alogas para el caso de c´ırculos y circunferencias; en la b´
usqueda
de su objetivo, Arqu´ımedes se represent´
o la circunferencia como sucesiones de
pol´ıgonos regulares inscritos y circunscritos en dicha circunferencia.
Para calcular el a´rea de un c´ırculo, Arqu´ımedes construy´
o pol´ıgonos regulares inscritos y circunscritos en la circunferencia del c´ırculo y observ´
o que
a medida que duplicaba el n´
umero de lados de los pol´ıgonos, aumentaba el
a´rea de los pol´ıgonos inscritos, mientras disminu´ıa el a´rea de los pol´ıgonos
circunscritos.
Mediante este procedimiento observ´
o tambi´en que a medida que aumentaba el n´
umero de lados, las a´reas de los pol´ıgonos inscritos y circunscritos se
acercaban a un mismo valor. Este valor com´
un lo defini´
o como a´rea del c´ırculo
la cual es igual a πr2 . Utilizando pol´ıgonos regulares de 96 lados, Arqu´ımedes
logr´
o la siguiente estimaci´
on de π:
3,1416 < π < 3,1442;
la cual no es la primera aproximaci´
on de π ya que en La Biblia se estima π
con un valor de 3 y, de acuerdo con M.Kline [4] y Courant Robbins ([2]), los
egipcios usaron una aproximaci´
on de π igual a 3.16.
Tampoco terminaron con Arqu´ımedes los c´
alculos aproximados del n´
umero
π; pues seg´
un [1], el matem´
atico chino Zu Chong Zhi (420-500 D.C.) calcul´
oπ
con una aproximaci´
on de siete cifras al hacer la estimaci´
on
3,1415926 < π < 3,1415927.
En el siglo XVI Francisco de Vieta logr´
o un gran avance al expresar π mediante
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C´
alculo del n´
umero π mediante funciones trigonom´etricas
151
la f´
ormula
π=
q
1
2
·
r
1
2
+
1
2
q
1
2
·
2
s
··· ,
1
2
+
1
2
r
1
2
+
1
2
q
1
2
lo cual permiti´
o para la ´epoca un c´
alculo de π con una aproximaci´
on de
10 d´ıgitos; mientras que en 1609, el matem´
atico alem´
an Ludolf van Ceulen
calcul´
o π con una aproximaci´
on de 35 cifras; por tal raz´
on, seg´
un [3], los
alemanes llaman a π n´
umero ludolfiano.
El advenimiento en el siglo XVII del c´
alculo diferencial permiti´
o nuevos
progresos en el c´
alculo de π y adem´
as de la f´
ormula de Vieta aparecieron otras
expresiones de π como series y productos, entre los que se cuentan:
El producto de Wallis
2 2 4
π
= · ·
2
1 3 3
la serie de Leibnitz
1 1
π
=1− + −
4
3 5
y la f´
ormula de Euler
·
4
2n
2n
· ···
·
· x··· ,
5
2n − 1 2n + 1
1 1
1
+ + · · · + (−1)n−1
+ ···
7 9
2n − 1
1
1
1
1
π2
= 1 + 2 + 2 + 2 + ··· + 2 + ··· .
6
2
3
4
n
Mientras todas estas f´
ormulas utilizan matem´
atica sofisticada, en este art´ıculo
proponemos una f´
ormula para el c´
alculo aproximado de π que a nuestro juicio
se puede ense˜
nar en la Escuela Secundaria, ya que s´
olo usamos las funciones
trigonom´etricas con el entendido de que las f´
ormulas aqu´ı propuestas no superan la eficiencia de los dem´
as, pues el expresar π mediante series y productos
infinitos ha permitido, con el invento de ordenadores cada vez m´
as potentes,
el c´
alculo de π hasta con una aproximaci´
on de m´
as de seis mil cuatrocientos
millones de d´ıgitos, un hecho lejos de los objetivos de estas notas.
Aqu´ı tan s´
olo proponemos una manera, a nuestro juicio, sencilla de aproximarnos al n´
umero π, una aproximaci´
on que aunque lenta, puede resultar
bastante u
´til toda vez que seg´
un el astr´
onomo Newcomb (citado en [3]), una
aproximaci´
on de π con 10 decimales permite calcular el radio de la tierra con
aproximaci´
on de una pulgada.
Comenzamos por hacer la observaci´
on de que en lugar de partir del c´
alculo
del a´rea de un c´ırculo mediante funciones poligonales, calcularemos la longitud
de una circunferencia mediante tales aproximaciones.
En nuestra exposici´
on haremos de los siguientes hechos:
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aticas Vol. 10 No. 2 (2001), pp. 149–159
152
Di´
omedes B´
arcenas, Olga Porras
Teorema 1. La longitud ℓ de un pol´ıgono regular de n lados inscrito en una
circunferencia de radio r se puede representar mediante la f´
ormula
ℓ = 2 sen
180◦
n
r.
En consecuencia, el per´ımetro P del pol´ıgono regular
de n lados inscritos en
180◦
r.
una circunferencia de radio r es igual a 2n sen
n
Teorema 2. Si ℓn denota el lado del pol´ıgono regular de n lados inscrito en
una circunferencia, entonces
ℓ2n =
1
ℓn sec
2
90◦
n
.
En consecuencia, el per´ımetro del pol´ıgono regular de n lados inscrito en una
circunferencia, es menor que el per´ımetro del pol´ıgono regular de 2n lados
inscrito en la misma circunferencia.
Teorema 3. Si L y ℓ denotan respectivamente el lado del pol´ıgono regular
de n lados circunscrito e inscrito en una circunferencia, entonces
L = ℓ sec
180◦
n
= 2R tan
180◦
n
.
Respecto al lado L del pol´ıgono regular de n lados circunscrito en una
circunferencia de radio r tenemos lo siguiente:
Teorema 4. El per´ımetro del pol´ıgono regular de n lados inscrito en una circunferencia es menor que el per´ımetro del pol´ıgono regular del mismo n´
umero
de lados circunscrito en la misma circunferencia.
Teorema 5. El per´ımetro del pol´ıgono regular de 2n lados inscrito en una
circunferencia es mayor que el per´ımetro del pol´ıgono de n lados inscrito en
la misma circunferencia.
Teorema 6. En una circunferencia el per´ımetro del pol´ıgono regular de
2n lados circunscrito en una circunferencia es menor que el per´ımetro del
pol´ıgono regular de n lados circunscrito en la misma circunferencia.
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C´
alculo del n´
umero π mediante funciones trigonom´etricas
2
153
C´
alculo aproximado de π
Es un hecho bien establecido que si Pn y Pn′ denotan los respectivos per´ımetros de los pol´ıgonos inscritos en circunferencias de di´
ametros d y d′ , entonces
Pn′
Pn
= ′ = constante.
d
d
En particular, al definir la longitud de una circunferencia como l´ımite cuando
n tiende a infinito de la longitud de los pol´ıgonos regulares de n lados inscritos
en la circunferencia, si denotamos por C esta longitud entonces dc =constante,
donde d es el di´
ametro de la circunferencia. Esta constante es la que se conoce
como el n´
umero π objeto de este trabajo; y dado que pn < C < Pn , donde
Pn denota el per´ımetro del pol´ıgono regular de n lados circunscrito en la
circunferencia y pn el per´ımetro del pol´ıgono regular de n lados inscrito en la
misma circunferencia tenemos que
pn < 2πr < Pn ;
puesto que
n sen
180◦
n
< π < n tan
180◦
n
,
lo cual permite las siguientes aproximaciones de π:
Para n = 3,
2,598 < π < 5,196;
Para n = 4,
2,828 < π < 4;
Para n = 5,
2,938 < π < 3,632;
Para n = 6,
3 < π < 3,464;
Para n = 10,
3,09 < π < 3,249;
Para n = 20,
3,128 < π < 3,167;
Para n = 60,
3,14 < π < 3,144;
Para n = 90,
3,14 < π < 3,142;
Para n = 360,
3,1415 < π < 3,1416;
Divulgaciones Matem´
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154
Di´
omedes B´
arcenas, Olga Porras
Para n = 720,
3,14158 < π < 3,14161;
Para n = 1800,
3,141591 < π < 3,141958;
Para n = 3600,
3,1415922 < π < 3,1415934;
Para n = 9000,
3,14159259 < π < 3,141592781;
Para n = 18000,
3,141592638 < π < 3,141592685;
y para n = 72000,
3,141592653 < π < 3,141592656.
3
Existencia de π
Definici´
on
180◦
.
n→∞
n
Como toda sucesi´
on mon´
otona y acotada es convergente, la existencia del
l´ımite es consecuencia de la segunda afirmaci´
on del Teorema 2. Esto garantiza
que π est´
a bien definido.
180◦
= π.
Teorema 7. l´ım n tan
n→∞
n
π = l´ım sen
Demostraci´
on.
l´ım n tan
n→∞
180◦
n
=
=
n→∞
l´ım n sen
180◦
n
. sec
π l´ım sec
180◦
n
=π
n→∞
180◦
n
lo cual muestra la validez de la f´
ormula y ´esto a su vez muestra la existencia
de π.
Con el objetivo de comparar el grado de dificultad de nuestra f´
ormula con
las existentes en la bibliograf´ıa, ofrecemos una demostraci´
on de la serie de
Leibnitz la cual, dicho sea de paso, demuestra el valor del l´ımite de la serie
presuponiendo la existencia de π [2].
Sabemos que
Z α
dx
;
arctan α =
2
0 1+x
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C´
alculo del n´
umero π mediante funciones trigonom´etricas
155
por lo tanto,
π
=
4
Z
0
1
dx
;
1 + x2
utilizando la f´
ormula para la suma de los primeros n t´erminos de una progresi´
on geom´etrica de raz´
on r tenemos que
1 − rn
= 1 + r + r2 + · · · + rn−1 ;
1−r
lo cual se puede expresar mediante la f´
ormula
rn
1
= 1 + r + r2 + · · · + rn−1 +
;
1−r
1−r
y al sustituir r por −x2 obtenemos
x2n
1
= 1 − x2 + x4 − x6 + · · · + (−1)n−1 x2n−2 + (−1)n
.
2
1+x
1 + x2
de donde se obtiene que
Z 1
Z 1
Z 1
Z 1
π
=
dx −
x2 dx +
x4 dx −
x6 dx + · · ·
4
0
0
0
0
Z 1
Z 1
x2n
dx
+
(−1)n−1 x2n−2 dx + (−1)n
2
0
0 1+x
Z 1
1 1 1
(−1)n−1
x2n
= 1 − + − + ···+
dx;
+ (−1)n
2
3 5 7
2n − 1
0 1+x
como
se tiene
Z
(−1)n
0
1
2n
x
2n
1 + x2 ≤ x ,
Z 1
1
x2n
dx ≤
x2n dx =
2
1+x
2n + 1
0
y por lo tanto la validez de la f´
ormula de Leibnitz.
4
Ap´
endice
En esta secci´
on demostramos todos los teoremas mencionados en la introducci´
on; omitimos la demostraci´
on del Teorema 1 por ser demasiado conocida y
m´
as evidente que las restantes.
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156
Di´
omedes B´
arcenas, Olga Porras
Demostraci´
on del Teorema 2. Considere la figura 1.
O
r
B
r
A
D
R
Figura 1
DR
180◦
= r − r cos
=
n
◦
180
180◦
= r 1 − cos
= 2r sen2
.
n
2n
Por el teorema de Pit´
agoras tenemos que
AR =
r
r2 sen2
180◦
180◦
+ 4r2 sen4
;
n
2n
por lo tanto, si denotamos por ℓn la longitud del lado del pol´ıgono de n lados,
entonces
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C´
alculo del n´
umero π mediante funciones trigonom´etricas
ℓ2n
ℓn
=
=
v
v
u
u
◦
◦
180◦
u r2 sen2 180 + 4r2 sen4 180
u
u
u 1 sen4
n
2n = u +
2n
u
◦
◦
t
t4
180
180
4r2 sen2
sen2
n
n
v
v
u
u
90◦
90◦
90◦
u
u
4
sen
sen2
sen2
u1
u1
n =u +
n
n
u +
◦
u4
t4
◦ 2
◦
180
t
90
90
sen2
cos
2
sen
n
n
n
=
v
u
90◦
r
r
u
sen2
◦
◦
u1
n = 1 + 1 tan2 90 = 1 tan2 90 + 1
u +
◦
t4
90
4 4
n
2
n
4 cos2
n
=
1
2
r
sec2
1
90◦
90◦
= sec
.
n
2
n
Demostraci´
on del Teorema 3. Considere la figura 2.
O
H
A
A′
B
H′
B′
Figura 2
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158
Di´
omedes B´
arcenas, Olga Porras
Observe que el a
´ngulo OH ′ A′ es recto porque OH ′ es radio de la circunfe′
rencia y H es el punto de tangencia de A′ B ′ . Luego OH ′ es bisectriz porque
el tri´
angulo OA′ B ′ es is´
osceles con OA′ = OB ′ ; luego, como OAB tambi´en es
un tri´
angulo is´
osceles se tiene que AHO es un a
´ngulo recto y en consecuencia los tri´
angulos AOH y A′ OH ′ son semejantes. De la semejanza de estos
tri´
angulos, si denotamos por R el radio de la circunferencia, deducimos que
R
◦
R sec 180
n
=
1
2ℓ
1
2L
180◦
=
n
180◦
180◦
180◦
2R sen
= 2R tan
.
sec
n
n
n
⇒ L = ℓ sec
=
Demostraci´
on del Teorema 4. El lado Ln del pol´ıgono regular circunscrito
en una circunferencia satisface la relaci´
on
180◦
Ln = ℓn sec
.
n
180◦
> 1 se tiene que Ln > ℓn y por lo tanto
Como sec
n
nLn > nℓn
Esto termina la demostraci´
on.
Demostraci´
on del Teorema 5. Es una aplicaci´
on de la desigualdad triangular.
Una demostraci´
on para quienes prefieran el camino trigonom´etrico es la
siguiente:
Si ℓ es la longitud del lado del pol´ıgono regular inscrito en la circunferencia,
entonces, por el teorema 2,
◦
90
1
ℓ2n = ℓn sec
2
n
y por lo tanto
P2n = 2nℓ2n = nℓn sec
90◦
n
> nℓn = Pn .
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alculo del n´
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Demostraci´
on del Teorema 6. Sean Pn y P2n los respectivos per´ımetros
de los pol´ıgonos circunscritos de n y 2n lados y L n el lado del pol´ıgono circunscrito de lado n. Entonces
Pn
=
nLn = 2nR tan
=
2nR
1−
180◦
2n
4nR tan
180◦
n
90◦
n
◦
tan2 90n
2 tan
=
= 2nR tan
> 4R tan
90◦
n
90◦ 90◦
+
n
n
= P2n .
Reconocimiento
La idea de escribir este art´ıculo surgi´
o durante la preparaci´
on del libro de
Trigonometr´ıa para la V Escuela Venezolana para la Ense˜
nanza de la Matem´
atica.
Referencias
[1] Chern, S. S. On the 2002 Congress, Notices of AMS, 48, 8, 2001.
[2] Courant, R., Robbins, H. ? ‘Qu´e es la matem´
atica?, Aguilar, Madrid, 1958.
[3] Kasner, E., Newman, J. M atem´
aticas e Imaginaci´
on, I, Biblioteca Cient´ıfica Salvat, Barcelona, 1987.
[4] M.Kline, M athematics for Liberal Arts, Addison Wesley, Reading, Massachusetts, 1967.
[5] E l Universo de los n´
umeros, Mundo Cient´ıfico, edici´
on especial, 2000.
Divulgaciones Matem´
aticas Vol. 10 No. 2 (2001), pp. 149–159
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C´
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umero π mediante
funciones trigonom´
etricas
Calculation of π by mean of trigonometric functions
Di´omedes B´arcenas (barcenas@ciens.ula.ve)
Olga Porras (porras@ciens.ula.ve)
Departamento de Matem´
atica
Facultad de Ciencias, Universidad de los Andes
M´erida 5101, Venezuela
Resumen
Mediante el uso de las funciones trigonom´etricas seno y tangente se da
una demostraci´
on elemental de la existencia del n´
umero π, as´ı como un
c´
alculo aproximado del mismo.
Palabras y frases clave: n´
umero π, funciones trigonom´etricas, seno,
tangente.
Abstract
By mean of the trigonometric functions sinus and tangent an elementary
proof of the existence of number π is given, as well as an approximate
evaluation of it.
Key words and phrases: number π, trigonometric functions, sinus,
tangent.
1
Introducci´
on
En la Escuela Primaria se nos ense˜
no´ que la longitud de la circunferencia de
un c´ırculo es igual a 2πr, donde r es el radio de la circunferencia y π = 3,1416.
Se nos ense˜
no´ tambi´en que el a´rea de un c´ırculo es igual a πr 2 , donde r es el
radio y π = 3,1416.
Armados con esta informaci´
on proced´ıamos al c´
alculo de a´reas de c´ırculos
y longitudes de circunferencias y los pocos afortunados -si hab´ıa alg´
un afortunado en aquel auditorio infantil - capaces de memorizar las f´
ormulas de a´rea y
Recibido 2001/11/29. Aceptado 2002/11/08.
MSC (2000): Primary 97-01; Secondary 33B10.
150
Di´
omedes B´
arcenas, Olga Porras
longitud, pod´ıan eventualmente calcular el a´rea de un c´ırculo o la longitud de
su circunferencia una vez conocido el radio sin que nadie - ¿o quiz´
as alguien? se preocupara por el origen y la presencia de ese numerito m´
agico: π = 3,1416.
M´
as tarde, en la Escuela Secundaria, estudiamos en mayor profundidad
los temas de a´rea y longitud. All´ı aprendimos que el per´ımetro o longitud
de un pol´ıgono es igual a la suma de las longitudes de sus lados y que el
a´rea de un pol´ıgono es igual al semiproducto del per´ımetro por la apotema;
preocup´
andonos poco, m´
as bien nada, por el significado de estas f´
ormulas
matem´
aticas.
En esta etapa de nuestra formaci´
on dimos un salto cualitativamente grande
en el estudio del n´
umero π al aprender que este n´
umero fue profundamente
estudiado por Arqu´ımedes mientras investigaba precisamente las nociones de
a´rea y longitud.
Arqu´ımedes, el m´
as famoso de los matem´
aticos de la antig¨
uedad, conoc´ıa
las f´
ormulas de a´rea y longitud para el caso de pol´ıgonos y se propuso conocer
f´
ormulas an´
alogas para el caso de c´ırculos y circunferencias; en la b´
usqueda
de su objetivo, Arqu´ımedes se represent´
o la circunferencia como sucesiones de
pol´ıgonos regulares inscritos y circunscritos en dicha circunferencia.
Para calcular el a´rea de un c´ırculo, Arqu´ımedes construy´
o pol´ıgonos regulares inscritos y circunscritos en la circunferencia del c´ırculo y observ´
o que
a medida que duplicaba el n´
umero de lados de los pol´ıgonos, aumentaba el
a´rea de los pol´ıgonos inscritos, mientras disminu´ıa el a´rea de los pol´ıgonos
circunscritos.
Mediante este procedimiento observ´
o tambi´en que a medida que aumentaba el n´
umero de lados, las a´reas de los pol´ıgonos inscritos y circunscritos se
acercaban a un mismo valor. Este valor com´
un lo defini´
o como a´rea del c´ırculo
la cual es igual a πr2 . Utilizando pol´ıgonos regulares de 96 lados, Arqu´ımedes
logr´
o la siguiente estimaci´
on de π:
3,1416 < π < 3,1442;
la cual no es la primera aproximaci´
on de π ya que en La Biblia se estima π
con un valor de 3 y, de acuerdo con M.Kline [4] y Courant Robbins ([2]), los
egipcios usaron una aproximaci´
on de π igual a 3.16.
Tampoco terminaron con Arqu´ımedes los c´
alculos aproximados del n´
umero
π; pues seg´
un [1], el matem´
atico chino Zu Chong Zhi (420-500 D.C.) calcul´
oπ
con una aproximaci´
on de siete cifras al hacer la estimaci´
on
3,1415926 < π < 3,1415927.
En el siglo XVI Francisco de Vieta logr´
o un gran avance al expresar π mediante
Divulgaciones Matem´
aticas Vol. 10 No. 2 (2001), pp. 149–159
C´
alculo del n´
umero π mediante funciones trigonom´etricas
151
la f´
ormula
π=
q
1
2
·
r
1
2
+
1
2
q
1
2
·
2
s
··· ,
1
2
+
1
2
r
1
2
+
1
2
q
1
2
lo cual permiti´
o para la ´epoca un c´
alculo de π con una aproximaci´
on de
10 d´ıgitos; mientras que en 1609, el matem´
atico alem´
an Ludolf van Ceulen
calcul´
o π con una aproximaci´
on de 35 cifras; por tal raz´
on, seg´
un [3], los
alemanes llaman a π n´
umero ludolfiano.
El advenimiento en el siglo XVII del c´
alculo diferencial permiti´
o nuevos
progresos en el c´
alculo de π y adem´
as de la f´
ormula de Vieta aparecieron otras
expresiones de π como series y productos, entre los que se cuentan:
El producto de Wallis
2 2 4
π
= · ·
2
1 3 3
la serie de Leibnitz
1 1
π
=1− + −
4
3 5
y la f´
ormula de Euler
·
4
2n
2n
· ···
·
· x··· ,
5
2n − 1 2n + 1
1 1
1
+ + · · · + (−1)n−1
+ ···
7 9
2n − 1
1
1
1
1
π2
= 1 + 2 + 2 + 2 + ··· + 2 + ··· .
6
2
3
4
n
Mientras todas estas f´
ormulas utilizan matem´
atica sofisticada, en este art´ıculo
proponemos una f´
ormula para el c´
alculo aproximado de π que a nuestro juicio
se puede ense˜
nar en la Escuela Secundaria, ya que s´
olo usamos las funciones
trigonom´etricas con el entendido de que las f´
ormulas aqu´ı propuestas no superan la eficiencia de los dem´
as, pues el expresar π mediante series y productos
infinitos ha permitido, con el invento de ordenadores cada vez m´
as potentes,
el c´
alculo de π hasta con una aproximaci´
on de m´
as de seis mil cuatrocientos
millones de d´ıgitos, un hecho lejos de los objetivos de estas notas.
Aqu´ı tan s´
olo proponemos una manera, a nuestro juicio, sencilla de aproximarnos al n´
umero π, una aproximaci´
on que aunque lenta, puede resultar
bastante u
´til toda vez que seg´
un el astr´
onomo Newcomb (citado en [3]), una
aproximaci´
on de π con 10 decimales permite calcular el radio de la tierra con
aproximaci´
on de una pulgada.
Comenzamos por hacer la observaci´
on de que en lugar de partir del c´
alculo
del a´rea de un c´ırculo mediante funciones poligonales, calcularemos la longitud
de una circunferencia mediante tales aproximaciones.
En nuestra exposici´
on haremos de los siguientes hechos:
Divulgaciones Matem´
aticas Vol. 10 No. 2 (2001), pp. 149–159
152
Di´
omedes B´
arcenas, Olga Porras
Teorema 1. La longitud ℓ de un pol´ıgono regular de n lados inscrito en una
circunferencia de radio r se puede representar mediante la f´
ormula
ℓ = 2 sen
180◦
n
r.
En consecuencia, el per´ımetro P del pol´ıgono regular
de n lados inscritos en
180◦
r.
una circunferencia de radio r es igual a 2n sen
n
Teorema 2. Si ℓn denota el lado del pol´ıgono regular de n lados inscrito en
una circunferencia, entonces
ℓ2n =
1
ℓn sec
2
90◦
n
.
En consecuencia, el per´ımetro del pol´ıgono regular de n lados inscrito en una
circunferencia, es menor que el per´ımetro del pol´ıgono regular de 2n lados
inscrito en la misma circunferencia.
Teorema 3. Si L y ℓ denotan respectivamente el lado del pol´ıgono regular
de n lados circunscrito e inscrito en una circunferencia, entonces
L = ℓ sec
180◦
n
= 2R tan
180◦
n
.
Respecto al lado L del pol´ıgono regular de n lados circunscrito en una
circunferencia de radio r tenemos lo siguiente:
Teorema 4. El per´ımetro del pol´ıgono regular de n lados inscrito en una circunferencia es menor que el per´ımetro del pol´ıgono regular del mismo n´
umero
de lados circunscrito en la misma circunferencia.
Teorema 5. El per´ımetro del pol´ıgono regular de 2n lados inscrito en una
circunferencia es mayor que el per´ımetro del pol´ıgono de n lados inscrito en
la misma circunferencia.
Teorema 6. En una circunferencia el per´ımetro del pol´ıgono regular de
2n lados circunscrito en una circunferencia es menor que el per´ımetro del
pol´ıgono regular de n lados circunscrito en la misma circunferencia.
Divulgaciones Matem´
aticas Vol. 10 No. 2 (2001), pp. 149–159
C´
alculo del n´
umero π mediante funciones trigonom´etricas
2
153
C´
alculo aproximado de π
Es un hecho bien establecido que si Pn y Pn′ denotan los respectivos per´ımetros de los pol´ıgonos inscritos en circunferencias de di´
ametros d y d′ , entonces
Pn′
Pn
= ′ = constante.
d
d
En particular, al definir la longitud de una circunferencia como l´ımite cuando
n tiende a infinito de la longitud de los pol´ıgonos regulares de n lados inscritos
en la circunferencia, si denotamos por C esta longitud entonces dc =constante,
donde d es el di´
ametro de la circunferencia. Esta constante es la que se conoce
como el n´
umero π objeto de este trabajo; y dado que pn < C < Pn , donde
Pn denota el per´ımetro del pol´ıgono regular de n lados circunscrito en la
circunferencia y pn el per´ımetro del pol´ıgono regular de n lados inscrito en la
misma circunferencia tenemos que
pn < 2πr < Pn ;
puesto que
n sen
180◦
n
< π < n tan
180◦
n
,
lo cual permite las siguientes aproximaciones de π:
Para n = 3,
2,598 < π < 5,196;
Para n = 4,
2,828 < π < 4;
Para n = 5,
2,938 < π < 3,632;
Para n = 6,
3 < π < 3,464;
Para n = 10,
3,09 < π < 3,249;
Para n = 20,
3,128 < π < 3,167;
Para n = 60,
3,14 < π < 3,144;
Para n = 90,
3,14 < π < 3,142;
Para n = 360,
3,1415 < π < 3,1416;
Divulgaciones Matem´
aticas Vol. 10 No. 2 (2001), pp. 149–159
154
Di´
omedes B´
arcenas, Olga Porras
Para n = 720,
3,14158 < π < 3,14161;
Para n = 1800,
3,141591 < π < 3,141958;
Para n = 3600,
3,1415922 < π < 3,1415934;
Para n = 9000,
3,14159259 < π < 3,141592781;
Para n = 18000,
3,141592638 < π < 3,141592685;
y para n = 72000,
3,141592653 < π < 3,141592656.
3
Existencia de π
Definici´
on
180◦
.
n→∞
n
Como toda sucesi´
on mon´
otona y acotada es convergente, la existencia del
l´ımite es consecuencia de la segunda afirmaci´
on del Teorema 2. Esto garantiza
que π est´
a bien definido.
180◦
= π.
Teorema 7. l´ım n tan
n→∞
n
π = l´ım sen
Demostraci´
on.
l´ım n tan
n→∞
180◦
n
=
=
n→∞
l´ım n sen
180◦
n
. sec
π l´ım sec
180◦
n
=π
n→∞
180◦
n
lo cual muestra la validez de la f´
ormula y ´esto a su vez muestra la existencia
de π.
Con el objetivo de comparar el grado de dificultad de nuestra f´
ormula con
las existentes en la bibliograf´ıa, ofrecemos una demostraci´
on de la serie de
Leibnitz la cual, dicho sea de paso, demuestra el valor del l´ımite de la serie
presuponiendo la existencia de π [2].
Sabemos que
Z α
dx
;
arctan α =
2
0 1+x
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C´
alculo del n´
umero π mediante funciones trigonom´etricas
155
por lo tanto,
π
=
4
Z
0
1
dx
;
1 + x2
utilizando la f´
ormula para la suma de los primeros n t´erminos de una progresi´
on geom´etrica de raz´
on r tenemos que
1 − rn
= 1 + r + r2 + · · · + rn−1 ;
1−r
lo cual se puede expresar mediante la f´
ormula
rn
1
= 1 + r + r2 + · · · + rn−1 +
;
1−r
1−r
y al sustituir r por −x2 obtenemos
x2n
1
= 1 − x2 + x4 − x6 + · · · + (−1)n−1 x2n−2 + (−1)n
.
2
1+x
1 + x2
de donde se obtiene que
Z 1
Z 1
Z 1
Z 1
π
=
dx −
x2 dx +
x4 dx −
x6 dx + · · ·
4
0
0
0
0
Z 1
Z 1
x2n
dx
+
(−1)n−1 x2n−2 dx + (−1)n
2
0
0 1+x
Z 1
1 1 1
(−1)n−1
x2n
= 1 − + − + ···+
dx;
+ (−1)n
2
3 5 7
2n − 1
0 1+x
como
se tiene
Z
(−1)n
0
1
2n
x
2n
1 + x2 ≤ x ,
Z 1
1
x2n
dx ≤
x2n dx =
2
1+x
2n + 1
0
y por lo tanto la validez de la f´
ormula de Leibnitz.
4
Ap´
endice
En esta secci´
on demostramos todos los teoremas mencionados en la introducci´
on; omitimos la demostraci´
on del Teorema 1 por ser demasiado conocida y
m´
as evidente que las restantes.
Divulgaciones Matem´
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156
Di´
omedes B´
arcenas, Olga Porras
Demostraci´
on del Teorema 2. Considere la figura 1.
O
r
B
r
A
D
R
Figura 1
DR
180◦
= r − r cos
=
n
◦
180
180◦
= r 1 − cos
= 2r sen2
.
n
2n
Por el teorema de Pit´
agoras tenemos que
AR =
r
r2 sen2
180◦
180◦
+ 4r2 sen4
;
n
2n
por lo tanto, si denotamos por ℓn la longitud del lado del pol´ıgono de n lados,
entonces
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C´
alculo del n´
umero π mediante funciones trigonom´etricas
ℓ2n
ℓn
=
=
v
v
u
u
◦
◦
180◦
u r2 sen2 180 + 4r2 sen4 180
u
u
u 1 sen4
n
2n = u +
2n
u
◦
◦
t
t4
180
180
4r2 sen2
sen2
n
n
v
v
u
u
90◦
90◦
90◦
u
u
4
sen
sen2
sen2
u1
u1
n =u +
n
n
u +
◦
u4
t4
◦ 2
◦
180
t
90
90
sen2
cos
2
sen
n
n
n
=
v
u
90◦
r
r
u
sen2
◦
◦
u1
n = 1 + 1 tan2 90 = 1 tan2 90 + 1
u +
◦
t4
90
4 4
n
2
n
4 cos2
n
=
1
2
r
sec2
1
90◦
90◦
= sec
.
n
2
n
Demostraci´
on del Teorema 3. Considere la figura 2.
O
H
A
A′
B
H′
B′
Figura 2
Divulgaciones Matem´
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157
158
Di´
omedes B´
arcenas, Olga Porras
Observe que el a
´ngulo OH ′ A′ es recto porque OH ′ es radio de la circunfe′
rencia y H es el punto de tangencia de A′ B ′ . Luego OH ′ es bisectriz porque
el tri´
angulo OA′ B ′ es is´
osceles con OA′ = OB ′ ; luego, como OAB tambi´en es
un tri´
angulo is´
osceles se tiene que AHO es un a
´ngulo recto y en consecuencia los tri´
angulos AOH y A′ OH ′ son semejantes. De la semejanza de estos
tri´
angulos, si denotamos por R el radio de la circunferencia, deducimos que
R
◦
R sec 180
n
=
1
2ℓ
1
2L
180◦
=
n
180◦
180◦
180◦
2R sen
= 2R tan
.
sec
n
n
n
⇒ L = ℓ sec
=
Demostraci´
on del Teorema 4. El lado Ln del pol´ıgono regular circunscrito
en una circunferencia satisface la relaci´
on
180◦
Ln = ℓn sec
.
n
180◦
> 1 se tiene que Ln > ℓn y por lo tanto
Como sec
n
nLn > nℓn
Esto termina la demostraci´
on.
Demostraci´
on del Teorema 5. Es una aplicaci´
on de la desigualdad triangular.
Una demostraci´
on para quienes prefieran el camino trigonom´etrico es la
siguiente:
Si ℓ es la longitud del lado del pol´ıgono regular inscrito en la circunferencia,
entonces, por el teorema 2,
◦
90
1
ℓ2n = ℓn sec
2
n
y por lo tanto
P2n = 2nℓ2n = nℓn sec
90◦
n
> nℓn = Pn .
Divulgaciones Matem´
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C´
alculo del n´
umero π mediante funciones trigonom´etricas
159
Demostraci´
on del Teorema 6. Sean Pn y P2n los respectivos per´ımetros
de los pol´ıgonos circunscritos de n y 2n lados y L n el lado del pol´ıgono circunscrito de lado n. Entonces
Pn
=
nLn = 2nR tan
=
2nR
1−
180◦
2n
4nR tan
180◦
n
90◦
n
◦
tan2 90n
2 tan
=
= 2nR tan
> 4R tan
90◦
n
90◦ 90◦
+
n
n
= P2n .
Reconocimiento
La idea de escribir este art´ıculo surgi´
o durante la preparaci´
on del libro de
Trigonometr´ıa para la V Escuela Venezolana para la Ense˜
nanza de la Matem´
atica.
Referencias
[1] Chern, S. S. On the 2002 Congress, Notices of AMS, 48, 8, 2001.
[2] Courant, R., Robbins, H. ? ‘Qu´e es la matem´
atica?, Aguilar, Madrid, 1958.
[3] Kasner, E., Newman, J. M atem´
aticas e Imaginaci´
on, I, Biblioteca Cient´ıfica Salvat, Barcelona, 1987.
[4] M.Kline, M athematics for Liberal Arts, Addison Wesley, Reading, Massachusetts, 1967.
[5] E l Universo de los n´
umeros, Mundo Cient´ıfico, edici´
on especial, 2000.
Divulgaciones Matem´
aticas Vol. 10 No. 2 (2001), pp. 149–159