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Convergence faible de la U -statistique
empirique corrig´ee en condition de
m´elange
Michel HAREL

Bouameur RAGBI

R´
esum´
e
Dans ce papier, nous ´etudions la convergence faible au sens de la topologie de Skorohod d’une U -statistique empirique corrig´ee lorsque les variables
al´eatoires sont absolument r´eguli`eres. Nos r´esultats g´en´eralisent celles de
Harel et Puri (1994) et de Ruymgaart et van Zuijlen (1992) pour des variables
i.i.d.. Des applications sont donn´ees dans la section 5.
Abstract
In this paper, the weak convergence of weighted empirical U -statistic with
respect to the Skorohod topology is obtained when the random variables are
absolutely regular. It is a generalization of the results of Puri and Harel (1994)
for dependent random variables and Ruymgaart and van Zuijlen (1992) for
i.i.d. random variables. Applications are given in section 5.

1

Introduction

Soient X1 , X2 ,..., des variables al´eatoires r´eelles d´efinies sur un espace probabilis´e
(Ω, A, P ), de fonction de r´epartition commune F, et soit h une fonction de Rk dans
R Borel mesurable, sym´etrique dans ses k arguments (k ≥ 1). On d´esigne par Jn (k)
l’ensemble de toutes les combinaisons de k ´el´ements distincts dans {1, ..., n} alors
Received by the editors December 1994 — In revised form May 1995
Communicated by M. Hallin
AMS Mathematics Subject Classification : 60F05.
Keywords : Convergence faible, U -statistique empirique corrig´ee, absolue r´egularit´e, topologie de
Skorohod.
Bull. Belg. Math. Soc. 3 (1996), 81–98

82
card Jn (k) =

M. Harel — B. Ragbi
 

n
k

; o`
u card A d´esigne le cardinal de A. On note XI = h(Xi1 , ..., Xik )

pour I = {i1 , ..., ik} ∈ Jn (k) et on d´efinit :
(1.1)

!−1

n
Hn (t) =
k

X

Kn (t − XI ),

t ∈ R,

I∈Jn (k)

avec Kn une suite de fonctions de r´epartition qui converge faiblement vers la fonction
de r´epartition s d´efinie par :
(1.2)

s(x) =



1, si x ≥ 0;
0, sinon,

de plus, nous supposons que :
(1.3)

sup sup |Kn (x)| ≤ M < +∞.
x∈R n∈N

Remarquons que cette condition n’est pas contraignante, il suffit de prendre par
Rx
−1
u {an } est une suite de nombres positifs qui
exemple : Kn (x) = −∞
a−1
n k(tan )dt, o`
converge vers 0 et k est un noyau de Parzen-Rosenblatt (Parzen (1962) et Rosenblatt
(1956)) alors la condition (1.3) est v´erifi´ee :
sup sup |Kn (x)| ≤ sup sup
x∈R n∈N

x∈R n∈N

Z

|k(t)|dt ≤ 1.

k
Y

F (dxj ),

On d´efinit maintenant
(1.4)

H(t) =

Z

s(t − h(x1 , ..., xk))

Rk

t ∈ R.

j=1

Nous supposons que H est continue.
Nous nous int´eressons au comportement asymptotique de la U-statistique empirique Un d´efinie par :

(1.5)

Un (u) =

(

1

n 2 (Hn (H −1 (u)) − u), si 0 < u < 1;
0,
sinon,

lorsqu’elle est corrig´ee par une fonction continue positive r(u).
Les variables al´eatoires consid´er´ees dans la suite sont suppos´ees absolument
r´eguli`eres de taux d’absolue r´egularit´e :
(1.6)

β(m) = O(m−6−ε ),

ε > 0.

Lorsque Kn = s, et dans ce cas
!−1

n
Hn (t) =
k

X

I∈Jn (k)

˜n,
I[XI ≤t] = H

t ∈ R,

Convergence faible de la U-statistique empirique corrig´ee

83

Harel et Puri (1994) ont ´etabli la convergence faible de la U-statistique empirique
corrig´ee pour des variables al´eatoires absolument r´eguli`eres.
˜ n soit dans un sens tout a` fait lisse, il ne prend pas en compte compl`eBien que H
tement le fait que H soit lisse (c’est a` dire l’existence d’une densit´e). En fait si H
est continue, il semble raisonnable de consid´erer des estimateurs continus de H qui
soient mieux adapt´es `a cette situation (exemples 5.2.1-5.2.5). De plus si on veut que
˜ n , il semble naturel d’exiger que la suite
cet estimateur soit aussi performant que H
{Kn } ne soit pas trop loin de s en imposant que Kn converge faiblement vers s.
Rappelons qu’une suite {Xi } est absolument r´eguli`ere si
sup E{
j≥1

sup

|P (A|σ(Xi , 1 ≤ i ≤ j)) − P (A)|} = β(m) ↓ 0,

A∈σ(Xi ;i≥j+m)

o`
u σ(Xi ; 1 ≤ i ≤ j) et σ(Xi , i ≥ j + m) sont les σ-tribus engendr´ees par (X1 , ..., Xj )
et (Xj+m , Xj+m+1 , ...) respectivement.
Elle est dite fortement m´elangeante si

sup{|P (A ∩ B) − P (A)P (B)|; A ∈ σ(Xi , 1 ≤ i ≤ j),
j≥1

B ∈ σ(Xi , i ≥ j + m)} = α(m) ↓ 0.
On a toujours α(m) ≤ β(m), donc si une suite {Xi } est absolument r´eguli`ere, elle
est aussi fortement m´elangeante.
R´ecemment, le comportement asymptotique de la U-statistique empirique corrig´ee `a ´et´e ´etudi´e par Ruymgaart et Van Zuijlen (1992) pour des variables al´eatoires
i.i.d., Harel et Puri (1994) ont ´etendu leurs r´esultats aux variables d´ependantes.
Rappelons que, le comportement asymptotique de la U-statistique est ´etabli pour
des variables absolument r´eguli`eres et stationnaires par Yoshihara (1976) et par
Harel et Puri (1989a,1989b, 1990) pour des variables non stationnaires.
Arcones et Yu (1994) ont ´etabli des conditions suffisantes assurant la convergence faible vers un processus gaussien pour une U-statistique empirique index´ee
par une classe de fonctions v´erifiant certaines conditions d’entropie lorsque les variables al´eatoires sont absolument r´eguli`eres. Leurs conditions sont minimales (corollaire 2.1 et lemme 3.1) mais leurs techniques ne sont pas adapt´ees `a notre situation
puisqu’ils n’ont pas ´etudi´e le processus corrig´e. Pour les mˆemes raisons, il semble
difficilement envisageable de consid´erer une fonction correctrice v´erifiant les conditions (1.5) ou (1.6) d’Einmahl, Ruymgaart et Wellner (1994) dans notre th´eor`eme

2.1.

84

M. Harel — B. Ragbi

2

Convergence faible de la U -statistique empirique
corrig´
ee.

Fonction correctrice Une fonction r : [0, 1] → R+ est appel´ee fonction correctrice si elle satisfait les conditions suivantes :
1. (i) r est continue.
2. (ii) r(0) = 0 et r(1) = 0.
Pour toute fonction born´ee f : [0, 1] → R, et δ > 0, on d´efinit ω(f, δ) =
sup{|f(u) − f(v)|, |u − v| ≤ δ}. On note par D[0, 1] l’espace des fonctions sur [0, 1]
continues a` droite et admettant une limite a` gauche.
Soit α fix´e tel que :
(2.1)

3
δ
1
1
0 < α < {( + δ)/( − δ)} ∧ { 1
}, 0 < δ < .
2
2
2
( 2 − δ)

Nous consid´erons la U-statistique modifi´ee U˜n d´efinie par :
(2.2)

U˜n (u) =



Un (u) si n−1−α ≤ u ≤ 1 − n−1−α
0
sinon.

pour toute fonction correctrice, nous introduisons la U-statistique modifi´ee corrig´ee
˜n · 1 d´efinie par :
U
r
(2.3)

˜n · 1 (u) =
U
r



Un∗ (u)/r(u) si u 6= 0 et u 6= 1
0
sinon

Th´
eor`
eme 2.1. On suppose que la suite {Xi } est absolument r´eguli`ere dont
les taux d’absolue r´egularit´e v´erifient (1.6). Pour toute fonction correctrice r(u)
satisfaisant
(2.4)

1

r(u) ≥ A(u(1 − u)) 2 −δ ,

1
0 0, ∃δ > 0, ∃N0, tel que : ∀n ≥ N0
(2.5)

Pn [f ∈ D[0, 1], ω(f, δ) ≥ ε] ≤ ε,

Convergence faible de la U-statistique empirique corrig´ee

85

o`
u Pn est la loi de probabilit´e de Un .
Proposition 2.2. Si {Xi } satisfait les conditions du th´eor`eme 2.1. Alors, pour
toute fonction correctrice r(u) satisfaisant (2.4), nous avons ∀ε > 0, ∃θ > 0 , ∃N0,
tel que : ∀n ≥ N0
˜n (u) · 1 | ≥ ε] ≤ ε,
P [ sup |U
r(u)
u∈Cθ

(2.6)

o`
u Cθ = {u ∈ [0, 1], u ≤ θ ou u ≥ 1 − θ}.
Proposition 2.3. Soit Yn , n ∈ N∗, un processus a` valeurs dans D[0, 1], on
suppose que Yn converge en loi (au sens de la topologie de Skorohod) vers un processus
gaussien Y `a trajectoires p.s. continues et on suppose que ∀ε > 0, ∃δ > 0, ∃N0, tel
que : ∀n ≥ N0
(2.7)

Qn [f ∈ D[0, 1], ω(f, δ) ≥ ε] ≤ ε,

o`
u Qn est la loi de Yn . Soit r une fonction correctrice tel que Yn · 1r , n ∈ N∗, `a
trajectoires p.s. dans D[0, 1]. De plus nous supposons que ∀ε > 0, ∃θ > 0, ∃N0 , tel
que : ∀n ≥ N0
(2.8)

P [ sup |Yn (u) ·
u∈Cθ

1
| ≥ ε] ≤ ε,
r(u)

Alors Yn · 1r converge faiblement en topologie de Skorohod vers le processus gaussien
Y · r1 `
a trajectoires p.s. continues .

3

D´
emonstration de la proposition 2.1

On d´efinit :
(3.1) µn (t) = EKn (t − h(X1, ..., Xk )) =

Z

Rk

Kn (t − h(x1, ..., xk))

k
Y

F (dxj ),

t∈R

j=1

(3.2)
gn (x1 , ..., xk; u) = Kn (H −1 (u) − h(x1 , ..., xk));

u ∈ [0, 1],

xi ∈ R, i = 1, ..., k

pour tout ℓ, 1 ≤ ℓ ≤ k, on d´efinit :
(3.3)

gn,ℓ (x1 , ..., xℓ; u) =

Z

Rk−ℓ

gn (x1, ..., xℓ, xℓ+1 , ..., xk; u)

k
Y

F (dxj ).

j=ℓ+1

On pose gn,0 (u) = µn (H −1 (u))
et
(3.4)
−[ℓ]

Vn,ℓ (u) = n

Z

X

{i1 ,...,iℓ }∈Jn∗ (ℓ)

gn,ℓ (xi1 , ..., xiℓ ; u)

ℓ
Y

j=1

d[I[Xij ≤xij ] − F (xj )], 1 ≤ ℓ ≤ k,

86

M. Harel — B. Ragbi

o`
u n−[ℓ] = [n(n − 1)(n − 2)...(n − ℓ + 1)]−1 . Jn∗(ℓ) est l’ensemble de tous les sousensembles {i1, ..., iℓ} de ℓ ´el´ements distincts dans {1, 2, ..., n} tel que i1 < i2 < ... <
iℓ .
∀u ∈ [0, 1] on a :
1

Un (u) = Vn (u) + n 2 (µn (H −1 (u)) − u),

(3.5)

o`
u pour tout u ∈ [0, 1], Vn (u) est le processus empirique d´efini par :
1

Vn (u) = n 2 (Hn (H −1 (u)) − µn (H −1 (u))),

(3.6)

or l’hypoth`ese de convergence de Kn vers s implique qu’il existe N0 ∈ N tel que
∀n ≥ N0
1
1
n 2 (µn (H −1 (u)) − u) = O(n− 2 ).
On se ram`ene donc `a l’´etude de la convergence faible du processus empirique Vn .
Notons d’abord que nous pouvons ´ecrire :
1
2

(3.7)

Vn (u) = n {

k
X
k
ℓ=1

ℓ

!

Vn,ℓ (u)};

u ∈ [0, 1]

Lemme 3.1. Si la suite {Xi } est absolument r´eguli`ere avec les taux de m´elange
(1.6), alors pour tout 0 < ε < 1 et pour tout s,t tel que : s ≤ t , nous avons :
1

1

E(n 2 Vˆn,1 (t) − n 2 Vˆn,1 (s))4 ≤ C[(H(t) − H(s))2−2ε + n−1 (H(t) − H(s))1−ε ]

(3.8)

o`
u C est une constante positive et Vˆn,1 (t) = Vn,1 (H(t)).
D´
emonstration du lemme 3.1
Soit s, t ∈ R tel que : s ≤ t
1
1
n 2 (Vˆn,1 (t) − Vˆn,1 (s)) = n− 2

n
X

Yni (s, t)

i=1

avec :
Yni (s, t) = gn,1 (Xi , H(t)) − gn,1 (Xi , H(s)) − (µn (t) − µn (s))),

i = 1, ..., n

pour tout n ≥ 1 et 1 ≤ i ≤ n : 0 ≤ |Yni (s, t)| ≤ 2, donc d’apr`es Doukhan et Portal
(1983), avec q = 2, il existe une constante C1 > 0 tel que :
(3.9)
avec

1

1

E(n 2 Vˆn,1 (t) − n 2 Vˆn,1 (s))4 ≤ C1[||Yn1 (s, t)||2−2ε
+ n−1 ||Yn1 (s, t)||1−ε
ε
ε ],
2

||Yn1 (s, t)||ε = E(Zn (t) − Zn (s)) 1−ε
Zn (t) = gn,1 (X1 ; H(t)) − µn (H(t)).

Convergence faible de la U-statistique empirique corrig´ee

87

2

2

E(Zn (t) − Zn (s)) 1−ε ≤ 2 1−ε E(Zn (t) − Zn (s))2
= E(gn,1 (X1 ; H(t)) − gn,1 (H(s)))2 + (µn (H(t)) − µn (H(s)))2
−2(µn (H(t)) − µn (H(s)))E(gn,1 (X1 ; H(t)) − gn,1 (H(s)))
≤ (µn (H(t)) − µn (H(s)))(1 − (µn (H(t)) − µn (H(s))))
≤ µn (H(t)) − µn (H(s))
2

≤ 2 1−ε sup sup |Kn (y)||H(t) − H(s)| = M(ε)(H(t) − H(s))
y∈[s,t] n∈N∗

o`
u M(ε) = M > 0 est une constante, donc
1
E(n 2 (Vˆn,1 (t) − Vˆn,1 (s))4 ≤ C1 [M 2−2ε (H(t) − H(s))2−2ε + n−1 M 1−ε (H(t) − H(s))1−ε ]
≤ C[(H(t) − H(s))2−2ε + n−1 (H(t) − H(s))1−ε ],

o`
u C est une constante positive.
1
Lemme 3.2. Sous les conditions du th´eor`eme 2.1, le processus n 2 Vn,1 converge
en loi vers un processus gaussien U dans D[0, 1] au sens da la topologie de Skorohod.
De plus nous avons :
∀ε > 0, ∃δ > 0, ∃N0 ∈ N, ∀n ≥ N0 :
(3.10)

Qn [f ∈ D[0, 1]; ω(f, δ) ≥ ε] ≤ ε.
1

Qn est la loi de probabilit´e de n 2 Vn,1 .
D´
emonstration du lemme 3.2.
D’apr`es th´eor`eme 15.1 de Billingsley (1968), on doit montrer que :
1. (i) les lois de dimension finie de Qn convergent vers une loi normale.
2. (ii) Qn est tendue.
La condition (i) est ´equivalente a` : ∀p ∈ N∗ , ∀uℓ ∈ [0, 1] et ∀λℓ ∈ R(1 ≤ ℓ ≤ p) :
1 P
n 2 pℓ=1 λℓ Vn,1 (uℓ ) converge en loi vers une loi normale.
Sans perte de g´en´eralit´e, on suppose que p = 2 et que u1 < u2. Nous avons :
1

E(n 2

p
X

λℓ Vn,1 (uℓ )) = 0

ℓ=1

et
n

1
2

p
X

− 12

λℓ Vn,1 (uℓ ) = n

λ1 (

n
X

gn,1 (Xi ; u1 ) −

i=1

ℓ=1

− 12

+n

λ2 (

n
X
i=1

1

= n− 2

n
X
i=1

Z

gn,1 (Xi ; u2 ) −

gn,1 (x; u1)dF (x))
Z

gn,1 (x; u2)dF (x))

[λ1gn,1 (Xi ; u1) + λ2 gn,1 (Xi ; u2 )

88

M. Harel — B. Ragbi
−

Z

− 12

= n

(λ1 gn,1 (x; u1) + λ2 gn,1 (x; u2))dF (x)]
n
X

Yni ,

i=1

o`
u pour tout n ≥ 1, 1 ≤ i ≤ n
Yni = λ1 gn,1 (Xi ; u1) + λ2 gn,1 (Xi ; u2) −

Z

(λ1 gn,1 (x; u1) + λ2 gn,1 (x; u2))dF (x).

Or |Yni | ≤ M(|λ1 | + |λ2 |) < +∞, de plus, la suite de variables al´eatoires
(Yni , n ≥ 1, 1 ≤ i ≤ n) est non stationnaire fortement m´elangeante avec les taux de
1 P
m´elangeance (1.6), d’apr`es Withers (1975 ) n 2 pℓ=1 λℓ Vn,1 (uℓ ) converge vers une loi
normale N(0, σ 2 ),
o`
u
σ 2 = E(A21 ) + 2

+∞
X

E(A1 Aj ) < +∞,

j=2

et
(

Aj
=λ1 g(Xj ; u1 ) + λ2 g(Xj ; u2) − (λ1 g(x; u1) + λ2 g(; u2 ))F (dx),
R
Q
g(Xj ; u) = Rk−1 s(H −1 (u) − h(x1, ..., xk−1, Xj ; u)) k−1
ℓ=1 dF (xℓ ).
R

j≥1

Montrons maintenant (ii), ∀u, v ∈ [0, 1], d’apr`es le lemme 3.1, nous avons :
(3.11)
1

1

E(n 2 Vn,1 (v) − n 2 Vn,1 (u))4 ≤ C[(v − u)2−2ε + n−1 (v − u)1−ε ],

∀ε ∈]0, 1[, C > 0.

∀n ≥ 1, soit {ui ; i = 0, ..., n} une suite d´efinie par :
u0 = 0 < u1 < u2 < ... < un−1 < un = 1 et ui+1 − ui = n−1 ,
pour tout v ∈ [0, 1], il existe ℓ ∈ {0, 1, ..., n − 1} tel que : v ∈]uℓ , uℓ+1 [.
1
2

− 12

n (Vn,1 (v) − Vn,1 (uℓ )) = n

n Z
X

[

i=1

Rk−1

(Kn (H −1 (v) − h(x1, ..., xk−1, Xi ))

−Kn (H −1 (uℓ ) − h(x1 , ..., xk−1, Xi )))

k−1
Y

dF (xj )

j=1

−(µn (H −1 (v)) − µn (H −1 (uℓ )))]
− 12

≤ n

n Z
X

[

i=1

Rk−1

(Kn (H −1 (uℓ+1 ) − h(x1, ..., xk−1, Xi ))

−Kn (H −1 (uℓ ) − h(x1 , ..., xk−1, Xi )))

k−1
Y

dF (xj )]

j=1

1

−n 2 (µn (H −1 (uℓ+1 )) − µn (H −1 (uℓ )))
1

1

≤ n 2 (Vn,1 (uℓ+1 ) − Vn,1 (uℓ )) + Mn 2 (uℓ+1 − uℓ )
1

1

≤ n 2 (Vn,1 (uℓ+1 ) − Vn,1 (uℓ )) + Mn− 2 .

Convergence faible de la U-statistique empirique corrig´ee

89

de mˆeme, on montre que :
1

1

1

n 2 (Vn,1 (uℓ ) − Vn,1 (v)) ≤ n 2 |Vn,1 (uℓ+1 ) − Vn,1 (uℓ )| + Mn− 2 ,
donc

(3.12)

1

1

1

n 2 |Vn,1 (v) − Vn,1 (uℓ )| ≤ n 2 |Vn,1 (uℓ+1 ) − Vn,1 (uℓ )| + 2Mn− 2

(3.10) s’obtient alors a` partir de (3.11) et (3.12) et Qn est tendue.
Lemme 3.3 .
Sous les conditions du th´eor`eme 2.1, pour tout u ∈ [0, 1], nous avons :
E(Vn,ℓ (u))6 = O(n−5 ),

(3.13)

2 ≤ ℓ ≤ k.

Preuve. Voir Harel et Puri (1994, lemme 3.2).
Lemme 3.4. Sous les conditions du th´eor´eme 2.1, pour tout ε > 0, nous avons :
1

1

P [ sup n 2 Vn,ℓ (u) ≥ ε] = O(n− 2 ),

(3.14)

2≤ℓ≤k

u∈[0,1]

D´
emonstration :
On d´efinit pour tout n ≥ 1, une suite (ui ), i = 0, ..., n par :
u0 = 0 < u1 < ... < un = 1 et ui+1 − ui = n−1 .
Soit ℓ = 2 fix´e. ∀u ∈ [0, 1], il existe ℓ ∈ {0, ..., n − 1} tel que v ∈]uℓ , uℓ+1 [.
On peut ´ecrire
1

1

1

n 2 Vn,2 (v) = n 2 (Vn,2 (v) − Vn,2 (uℓ+1 )) + n 2 Vn,2 (uℓ+1 )
o`
u
(3.15)

1

1

1

1

|n 2 Vn,2 (v)| ≤ |n 2 Vn,2 (v) − n 2 Vn,2 (uℓ+1 )| + |n 2 Vn,2 (uℓ+1 )|,

d’autre part, nous avons par d´efinition
1
2

n (Vn,2 (uℓ+1 ) − Vn,2 (v)) = n

1
2

!−1

n
2

X

[gn,2 (Xi , Xj ; uℓ+1 ) − gn,2 (Xi , Xj ; v)

X

[gn,2 (Xi , Xj ; uℓ+1 ) − gn,2 (Xi , Xj ; uℓ )

1≤i 0, ∃N0, tel que ∀n ≥ N0
(4.2)

1

P [ sup |n 2 V˜n,1 (u)
u∈Cθ

1
| ≥ η] ≤ η.
r(u)

92

M. Harel — B. Ragbi

(n)

Preuve. Pour tout n ≥ 1, on d´efinit une suite {ui
´equidistants tels que :
′
1
1
(n)
(n)
( )1+α ≤ ui+1 − ui ≤ ( )1+α,
n
n

(4.3)

′

′

(n)

(n)

= ui , i = 0, ..., in} de points

i = 1, ..., in,

(n)

0 < α < α , α > α2 , u0 = 0, uin −1 < θ ≤ uin .
Pour tout n ≥ 1, pour tout i, j, 1 ≤ i < j ≤ in , nous avons (d’apr`es l’in´egalit´e
P
P
| e∈E xe |4 ≤ (23 )cardE e∈E x4e ).
1

E(n 2

(4.4)

1 (Vn,1 (uj ) − Vn,1 (ui ))
1 Vn,1 (ui )
Vn,1 (uj )
− n2
)4 ≤ 64{E(n 2
)4
r(uj )
r(ui )
r(uj )
1
1
1
+E((n 2 Vn,1 (ui )(
−
))4 }
r(ui ) r(uj )

≤ C[(uj − ui )2−2η + n−1 (uj − ui )](uj )−2+4δ
1

1

+[(ui)2−2η + n−1 (ui )1−η ][(ui)− 2 +δ − (uj )− 2 +δ ]4
1

≤ 2C{(uj − ui )2−2η (uj )−2+4δ + (ui )2−2η [(ui)− 2 +δ
1

−(uj )− 2 +δ ]4}
(d’apr`es le lemme 3.1 et la condition (4.3))
on pose ui = u et uj = v.
Le membre `a gauche de (4.4) est inf´erieur ou ´egal a`
1

1

C{(v − u)2−2η v −2+4δ + u2−2η [v − 2 +δ − u− 2 +δ ]4}
1
1
1
= C{[(v − u)( 1 −δ )1+γ ]2−2η + [u( 1 −δ − 1 −δ )1+γ ]2−2η }
v2
u2
v2
o`
u (1 + γ)(2 − 2η) = 4.
D’apr`es le th´eor`eme de la moyenne, il existe γ1 (u ≤ γ1 ≤ v) tel que
(v − u)

1
( 1 −δ)(1+γ)
γ1 2

=

Z

v

Z

u

dt
t

u

( 21 −δ)(1+γ)

et il existe γ2 tel que
1−( 12 −δ)γ

γ2

(

1
u

1
−δ
2

−

1

) =
1
−δ

v2

=

v

1
2

t
( 21 −δ)γ

(

∂ 1
)dt
∂t t 12 −δ
dt

t
Z v
1
1
− δ u t( 2 −δ)(1+γ)

Convergence faible de la U-statistique empirique corrig´ee

93

alors le membre a` droite de (4.4) est inf´erieur ou ´egal a`

C{[(v − u)
≤ C{(

Z

1
( 1 −δ)(1+γ)
γ1 2

dt

v

t

]2−2η + [u

1
u

( 21 −δ)γ

1−( 21 −δ)γ

( 21 −δ)(1+γ)

)2−2η + [γ2

(
(

1
u

1
−δ
2

u

1
−δ
2

1

−
−

1
v

1
−δ
2

1
1
−δ
2

)]2−2η }
)]2−2η }

v
∂
1
)2−2η + (
(
)dt)2−2η }
≤ C{(
1
1
1
v t( 2 −δ) ∂t t 2 −δ
u t( 2 −δ)(1+γ)
Z v
Z v
1
dt
dt
2−2η
≤ C{(
)
+(1
)2−2η }.
1
1
(
−δ)(1+γ)
(
−δ(1+γ))
−
δ
u t 2
u
2
t
2
u

Z

dt

v

Z

u

t

δ ∈]0, 21 [, ( 21 − δ)(1 + γ) < 1 si η < 2δ
R
dt
est une mesure diffuse sur ]0, 1[
ν([u, v]) = uv ( 1 −δ)(1+γ)
t

2

1

(4.5)

E(n 2

1 Vn,1 (ui )
Vn,1 (uj )
− n2
)4 ≤ Cν 2−2η ([ui, uj ])
r(uj )
r(ui )

si ui = 0,
1

E(n 2

Vn,1 (uj ) 4
) ≤ (uj )2−2η (uj )−2+4δ ≤ Cν 2−2η ([0, uj ])
r(uj )

d’apr`es l’in´egalit´e de Markov, ∀η > 0
1

P [n 2 |Vn,1 (uj ) − Vn,1 (ui )| ≥ η] ≤ Cη −4ν 2−2η ([ui , uj ]),

0 ≤ i < j ≤ in ,

et d’apr`es le lemme 1 de Balacheff et Dupont (1980), on a
1

(4.6)

P [ sup |n 2 Vn,1 (ui)
1≤i≤in
ui ≤θ

1
| ≥ η] ≤ Cη −4ν 2−2η (C2θ ).
r(ui )

Soit v ∈ [0, 1] tel que v ≥ u1 et soit i tel que ui ≤ v < ui+1 , alors
1

|n 2 Vn,1 (v)

(4.7)

1
1
1
| ≤ |n 2 Vn,1 (v)
|
r(v)
r(ui )
1
1
1
1
≤ |n 2 Vn,1 (ui )
| + n 2 |Vn,1 (ui+1 ) − Vn,1 (ui )|
r(ui )
r(ui )
1
1
+n 2 ((ui+1 − ui )
)
r(ui )
1 r(ui+1 )
1
1
1
≤ 2n 2 |Vn,1 (ui )|
+ n2
|Vn,1 (ui+1 )|
r(ui )
r(ui )
r(ui+1 )
1 (ui+1 − ui )
+n 2
.
r(ui )

94

M. Harel — B. Ragbi
D’apr`es (4.3)

1

(4.8)

n2

(ui+1 − ui )
= 0(n−α ),
r(ui )

de (4.6) et (4.8), on d´eduit
(4.9)

1
1
1
| ≤ 3 sup |n 2 Vn,1 (ui )
| + O(n−α ),
r(v)
1≤i≤in
r(ui )

1

sup |n 2 Vn,1 (v)
v≤θ
(n)
v≥u
1

ui ≤θ

ce qui implique

(4.10)




1

2
P
 sup |n Vn,1 (v)
v≤θ
(n)
v≥u
1




1
−4 2−2η
(C2θ )
| ≥ η
 ≤ Cη ν
r(v)

d’autre part on a
(4.11)





1
| = 0 = 1
P  sup |n V˜n,1 (v)
r(v)
(n)
v≤u
1
2

1

de (4.10) et (4.11) on d´eduit (4.2) pour u ≤ θ et par sym´etrie, on ´etablit (4.2) pour
u ≥ 1 − θ.
Maintenant on consid`ere les processus modifi´es V˜n,ℓ de Vn,ℓ (1 ≤ ℓ ≤ k), d´efinis par
(4.12)

V˜n,ℓ (u) =



Vn,ℓ (u) si n−1−α ≤ u ≤ 1 − n−1−α
0
sinon.

Lemme 4.2. Sous les conditions du th´eor`eme 2.1, ∀η > 0, ∃θ > 0, ∃N0, tel que
∀n ≥ N0
(4.13)

1

P [ sup |n 2 V˜n,ℓ (u)
u∈Cθ

1
| ≥ η] ≤ η,
r(u)

ℓ = 2, ..., k.
(n)

Preuve. On consid`ere de nouveau la suite {ui = ui , i = 0, ..., in} d´efinie en
(4.3) et soit ℓ = 2 fix´e.
D’apr`es le lemme 3.1 et α satisfaisant (2.1), on d´eduit
(4.14)

1

P [ sup |n 2 Vn,2 (uℓ )
1≤ℓ≤in

comme pr´ec´edemment, on obtient

1
| ≥ η] = 0(n−η ),
r(uℓ )

η>0

Convergence faible de la U-statistique empirique corrig´ee

1

95

1

sup |n 2 Vn,2 (v)| ≤ 3n 2 sup |Vn,2 (uℓ )|
1≤ℓ≤in

v≤θ

1

+2n 2

(4.15)

sup

|Vn,1 (uℓ+1 ) − Vn,1 (uℓ )|

1≤ℓ≤in −1
1

+2Mn−δ+α( 2 −δ) ,
d’apr`es (4.3) et (4.15), on d´eduit
1

sup |n 2 V˜n,2 (v)
v≤θ

(4.16)

1
1
1
| ≤ 6n 2 sup |V˜n,2 (uℓ )
|
r(v)
r(uℓ )
1≤ℓ≤in
′ 1
1
1
| + 2Mn−α−δ+α ( 2 −δ) .
+8n 2 sup |V˜n,1 (uℓ )
r(uℓ )
1≤ℓ≤in

(4.13) pour v ≤ θ et ℓ = 2 s’obtient alors a` partir de (4.14), (4.15) et (4.16). Par
sym´etrie, (4.13) est aussi vrai pour v ≥ 1 − θ et ℓ = 2, le cas ℓ ≥ 3 est identique.
D´
emonstration de la proposition 2.3. D’apr`es les th´eor`emes 15.1 et 15.5 de
Billingsley (1968), on doit montrer la convergence des projections finies de Qn , vers
une loi normale et ∀η > 0, ∃δ > 0 et N0 tel que ∀n ≥ N0
1
Qn [f ∈ D[0, 1], ω(f. · , δ) ≥ η] ≤ η.
r

(4.17)

Or il suffit de montrer (4.17), puisque la premi`ere condition est une cons´equence
imm´ediate des hypoth`eses.
1
1
− f(v)
|
r(u)
r(v)
|u−v|≤δ
1
1
≤ sup sup |f(u)
− f(v)
|
r(u)
r(v)
u∈Cθ−δ |u−v|≤δ
1
1
1
+ f(v)(
−
)|
+ sup sup |(f(u) − f(v))
r(u)
r(u) r(v)
u6∈Cθ−δ |u−v|≤δ

1
ω(f · , δ) =
r

sup |f(u)

ω(f, δ) ω(r, δ)
1
+
≤ 2 sup |f(u) (u)| +
sup |f(u)|
r
m
m2 u∈[0,1]
u∈Cθ
o`
u m = minu6∈Cθ−2δ r(u).
D’o`
u la d´emonstration.

96

M. Harel — B. Ragbi

5

Exemples d’applications.
Exemple 5.1 : Processus ARMA
u
On consid´ere le processus {Xn , n ∈ ZZ} o`
Xn+1 = a1Xn + a2Xn εn+1 + a3εn+1 + a4ε2n+1 + a5

(5.1)

o`
u les coefficients a1, ..., a5 sont des nombres r´eels et {εn , n ∈ ZZ} est un bruit blanc
avec une densit´e strictement positive. Alors si a21 + a22E(ε21 ) < 1 et E(ε41) < ∞, le
processus {Xn , n ∈ ZZ} est g´eom´etriquement ergodique, absolument r´egulier avec des
taux de β-m´elange g´eom´etriques et on peut appliquer le th´eor`eme 2.1 a` la statistique
˜n d´efinie en (2.2).
U
Exemple 5.2 :
On suppose que k ≥ 2 et on cherche a` d´eterminer une borne sup´erieure de la
variance de Un∗ (t) pour tout t ∈ R o`
u Un∗ (t) est d´efinie par :
Un∗ (t) = Un (H(t))

(5.2)

et Un est la U-statistique d´efinie en (1.5).
Pour cela on introduit la fonction
ϕt (x) = E[I]−∞,t](h(X1 , ..., Xk )|X1 = x)]
= P (h(x, X2 , ..., Xk ) ≤ t), x ∈ R,

t ∈ R.

Remarquons que 0 ≤ ϕs ≤ ϕt ≤ 1 sur R pour tout s, t ∈ R avec s ≤ t
E(ϕt (Xi )) = H(t).
Soit
D(t) = Eϕ2t (Xi )
par d´efinition

1

Un∗ (t) = n 2 (Hn (t) − H(t)),

t∈R

et d’apr`es (3.6) et (3.7), on peut ´ecrire :
1

Un∗ (t) = Vn (H(t)) + n 2 (µn (t) − H(t))
1
2

= n {

k
X
ℓ=1

1
2

!

1
ℓ
Vn,ℓ (H(t))} + n 2 (µn (t) − H(t))
k

= kn Vn,1 (H(t)) + Rn (t)
o`
u
1
2

Rn (t) = n {

k
X
ℓ=2

!

1
ℓ
Vn,ℓ (H(t))} + n 2 (µn (t) − H(t)).
k

D’apr`es les lemmes 3.3 et 3.4 on a : Rn converge vers 0 en probabilit´e. D’o`
u
1

V ar(Un∗ (t)) ≡ V ar(kn 2 Vn,1 (H(t))) ≤ k 2Eϕ2t (Xi ) = k 2 D(t)
On d´etermine maintenant les expressions de ϕt, D(t) et H(t) dans chacun des cas
particuliers suivants :

Convergence faible de la U-statistique empirique corrig´ee

97

(x1 , x2) ∈ R2 , on a

1. 5.2.1 Si h(x1, x2) = x1 + x2 ,

ϕt(x) = F (t − x)
+∞

D(t) =

Z

H(t) =

Z

−∞

F 2 (t − x)dF (x),

+∞

F (t − x)dF (x),

−∞

t∈R
t∈R

(x1, x2 ) ∈ R2 , on a

2. 5.2.2 Si h(x1, x2) = |x1 − x2|,

ϕt (x) = F (x + t) − F (x − t)
+∞

D(t) =

Z

H(t) =

Z

−∞

{F (x + t) − F (x − t)}2dF (x),

+∞

−∞

{F (x + t) − F (x − t)}dF (x),

3. 5.2.3 Si h(x1, x2) = x1x2 ,

x1 , x2 ∈]0, +∞[, on a
ϕt(x) = F (tx−1)
+∞

D(t) =

Z

H(t) =

Z

4. 5.2.4 Si h(x1, x2) = x1 ∨ x2,

0

F 2(tx−1)dF (x),

+∞

0

F (tx−1)dF (x),

t>0
t>0

(x1, x2) ∈ R2 , on a
ϕt (x) = I]−∞,t](x)F (t)
D(t) = F 3(t)
H(t) = F 2(t)

5. 5.2.5 Si h(x1, x2) = x1 ∧ x2,

(x1, x2) ∈ R2 , on a

ϕt (x) = I]−∞,t](x) + I]t,+∞] (x)F (t)
D(t) = F (t) + F 2(t) − F 3(t)
H(t) = 2F (t) − F 2 (t)

t∈R
t∈R

98

M. Harel — B. Ragbi

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Michel.HAREL@unilim.fr, RAGBI@unilim.fr