bab 4 ruang vektor

RUANG VEKTOR

16/01/18 00:04

Aljabar Linear

1

RUANG VEKTOR
Sub Pokok Bahasan
– Ruang Vektor Umum
– Subruang
– Basis dan Dimensi
– Basis Subruang
     Beberapa Aplikasi Ruang Vektor
 Beberapa metode optimasi 
 Sistem Kontrol
 Operation Research 
 dan lain­lain
16/01/18 00:04

Aljabar Linear

2

Ruang Vektor Umum
Misalkan  u , v , w  V   dan k, l    Riil
V  dinamakan ruang vektor jika terpenuhi aksioma :
1. V  tertutup terhadap operasi penjumlahan
 Untuk setiap u , v  V   maka u  v  V
2. u  v  v  u
3. u   v  w   u  v   w
0 V
u V
4. Terdapat             sehingga untuk setiap           
berlaku u  0 0  u u

 u 
u V
5. Untuk setiap             terdapat           sehingga 
u    u    u   u 0

16/01/18 00:04

Aljabar Linear

3

6. V  tertutup thd operasi perkalian dengan skalar.
 Untuk setiap u  V

dan k  Riil  maka ku  V

7. k  u    v  ku  kv
8.

 k   l  u  ku  lu

9. k  l u   l  k u   kl  u
10. 1. u u

16/01/18 00:04

  

Aljabar Linear

4

Contoh :
1. Himpunan vektor Euclides dengan operasi standar 
(operasi penjumlahan dan operasi perkalian dengan 
skalar). 
Notasi : Rn (Ruang Euclides orde n)
2. Himpunan  matriks  berukuran  m x n  
dengan  operasi  standar (penjumlahan matriks 
dan perkalian matriks dengan skalar), 
Notasi : Mmxn (Ruang Matriks mxn)
3. Himpunan polinom pangkat n dengan operasi standar.
Notasi : Pn (Ruang Polinom orde n)

16/01/18 00:04

Aljabar Linear

5

Ruang Euclides orde n
Operasi­Operasi pada ruang vektor Euclides:
• Penjumlahan
u  v  u1  v1 , u 2  v 2 , ..., u n  v n 
  
• Perkalian dengan skalar Riil sebarang (k)

ku  ku1 , ku 2 ,..., ku n 
• Perkalian Titik (Euclidean inner product)
u  v u1 v1  u 2 v 2  ...  u n v n
• Panjang vektor didefinisikan oleh :
u  u  u 

1

2

2

2

 u1  u 2  ...  u n

2

• Jarak antara dua vektor  didefinisikan oleh :  
d u , v   u  v
16/01/18 00:04

  u1  v1    u 2  v 2   ...   u n  v n 
2

Aljabar Linear

2

2

6

Contoh :
Diketahui  u 1, 1, 2, 3  dan v  2, 2, 1, 1
Tentukan panjang vektor dan jarak antara  kedua 
vektor tersebut
Jawab:
Panjang vektor :
1
2
2
2
2
u  u  u  2  1  1  2  3  15
v  2 2  2 2  12  12  10

Jarak kedua vektor

d  u , v   u  v  1  2 2  1  2 2   2  1 2   3  1 2
   1    1  12  2 2
2

2

 7
16/01/18 00:04

Aljabar Linear

7

Misalkan W merupakan subhimpunan dari sebuah   
ruang vektor V 
W dinamakan subruang (subspace) V 
jika W  juga merupakan ruang vektor 
yang tertutup terhadap operasi penjumlahan dan 
perkalian dengan skalar.
Syarat W disebut subruang dari V adalah :

1. W   { }
2. W    V
3. Jika   u , v W maka   u  v  W

u W
k uW
4. Jika            dan k  Riil maka

16/01/18 00:04

Aljabar Linear

8

Contoh :
Tunjukan bahwa  himpunan W yang berisi semua 
matriks orde 2x2  dimana setiap unsur diagonalnya  
adalah nol merupakan  subruang dari ruang vektor 
matriks 2x2
Jawab :

 0 0
  W maka W  
1. O 
 0 0
2. Jelas bahwa  W  M2x2



3. Ambil sembarang matriks  A, B  W
Tulis 

 0
A 
 a2

16/01/18 00:05

a1 
0


B   
     dan
0
 b2
Aljabar Linear

b1 

0
9

   Perhatikan bahwa :
 0 a1   0 b1 
  

A  B 
 a2 0   b2 0 
a1  b1 
 0



0 
 a2  b2

 Ini menunjukan bahwa  A  B  W
4. Ambil sembarang matriks  A  W   dan k  Riil
maka
 0 ka1 
  W
kA 
 ka2 0 
Ini menunjukan bahwa kA W
 

Jadi,   W merupakan Subruang dari M2x2.
16/01/18 00:05

Aljabar Linear

10

Ambil sembarang matriks  A, B  W
Pilih a ≠ b :

Contoh :
Periksa  apakah  himpunan  D  yang  berisi  semua 
 matriks  orde  2x2  yang determinannya nol 
merupakan  subruang dari ruang vektor M2x2
Jawab : 
 a b  , jelas bahwa  det (A)  = 0

A 
 0 0

 0 0  ,  jelas bahwa  det (A)  = 0   

B 
b a
16/01/18 00:05

Aljabar Linear

11

Perhatikan bahwa :

AB

a b

= 
b a

Karena a ≠ b
Maka det (A + B )  = a2 – b2 ≠ 0
Jadi   D  bukan merupakan  subruang  
karena tidak tertutup terhadap operasi penjumlahan

16/01/18 00:05

Aljabar Linear

12

Sebuah vektor  u
dinamakan kombinasi linear dari vektor – vektor  
v1, v2 ,  … , vn
jika vektor – vektor tersebut 
dapat dinyatakan dalam 
bentuk :

u k1v1  k 2v2  ...  k n vn
dimana k1, k2, …, kn  adalah skalar  Riil.

16/01/18 00:05

Aljabar Linear

13

Contoh
Misal 

u = (2, 4, 0), dan v  = (1,  –1, 3)

adalah vektor­vektor di R3.
Apakah vektor berikut merupakan kombinasi linear 
dari vektor – vektor di atas 
a.

a = (4, 2, 6)

b. b  = (1, 5, 6)
c.   c  = (0, 0, 0)

16/01/18 00:05

Aljabar Linear

14

Jaw
ab : a. 

k1u  k 2 v a

Tulis  akan diperiksa apakah ada k1, k2, 
sehingga kesamaan  tersebut 
dipenuhi.
 2 
 1 
 4 






k1  4   k 2  - 1    2 
 0 
 3 
 6 







Ini  dapat 
menjadi:
 2 1 


4
1


 0 3 



16/01/18 00:05

ditulis 

 k1 
 4 





2




 k 
 6 


 2

Aljabar Linear

15

dengan OBE, diperoleh:

 1 12 2   1 12

 
 1 -3 -6  ~ 0 1
 0 3 6   0 0

 

2

2
0 

Dengan demikian, 
a merupakan kombinasi linear dari vektor u  dan v
 
atau

  
a u  2v

16/01/18 00:05

Aljabar Linear

16

b. 
 
Tulis  : 
k1u  k 2 v b
 2 


k1  4   k 2
 0 



1 
 1 
 


1

5
 


 3
 6 
 



ini dapat ditulis menjadi:
 2 1 
 1 

  k1  

  5 
 4 - 1  
 0 3   k2   6 





16/01/18 00:05

Aljabar Linear

17

dengan OBE dapat kita peroleh :
2 1

 4 -1
 0 3


1   1 12
 
5  ~ 0 -3
6   0 3

0  1
 
3 ~ 0
6   0

1

2

1
0

1



2
3 
2

Baris terakhir pada matriks ini menunjukkan bahwa
SPL tersebut adalah tidak konsisten
(tidak mempunyaisolusi).   
    Jadi, tidak ada nilai k1 dan  k2 yang memenuhi
 b tidak dapat dinyatakan sebagai kombinasi linear
dari u dan v 

16/01/18 00:05

Aljabar Linear

18

c.Dengan memilih k1 = 0 dan  k2 = 0, 
maka dapat ditulis


 
k1 u  k 2 v  c

artinya vektor nol merupakan kombinasi linear 
dari vektor apapun. 

16/01/18 00:05

Aljabar Linear

19

Definisi membangun dan bebas linear
Himpunan vektor

S  v1 , v 2 , ... , v n 
dikatakan membangun suatu ruang vektor V    
jika setiap vektor pada V  selalu dapat 
dinyatakan 
sebagai kombinasi linear  dari vektor – vektor 
Contoh :
di S.
Tentukan 
apakah 
v1  = (1, 1, 2),
v2  = (1, 0, 1), dan
=  (2, 
v3
1, 3)
16/01/18 00:05

membangun     
V???
Aljabar Linear

20

Jawab :
Ambil sembarang vektor di R2
misalkan  
.

Tulis :  
.

 u1 
 
u  u 2 
u 
 3

u k1v1  k 2 v 2  k 3 v3

Sehingga dapat ditulis dalam 
bentuk :
1 1 2  k1 
 u1 
1 0 1  k    u 
 2

  2
u 
 2 1 3  k3 
 3

16/01/18 00:05

Aljabar Linear

21

Syarat agar dapat dikatakan kombinasi linear  
SPL tersebut harus mempunyai solusi (konsisten) 
Dengan 
OBE 
diperoleh :

1

0

0


1
-1
0

2
-1
0

u1


u2 u1 
u3 u1 u2 

Agar SPL itu konsisten  haruslah  u3 – u2 – u1 = 0 
Ini kontradiksi dengan pengambilan  vektor sembarang 
(unsur – unsurnya bebas, tak bersyarat) 
Dengan demikian vektor – vektor tersebut
 tidak membangun R3 
16/01/18 00:05

Aljabar Linear

22

Misalkan  S  u1 , u 2 ,..., u n 
adalah himpunan vektor diruang 
vektor V
S dikatakan bebas linear (linearly 
independent)
JIKA SPL homogen :

k1u1  k 2u2  ...  k nun 0
hanya mempunyai satu solusi (tunggal), 
yakni
k1 0, k 2 0,..., k n 0
Jika solusinya tidak tunggal
maka S kita namakan himpunan tak bebas linear
(Bergantung linear / linearly dependent) 
16/01/18 00:05

Aljabar Linear

23

Contoh :
Diketahui  u   1, 3, 2 dan a 1, 1,  1
Apakah saling bebas linear di  R3
Jaw
ab :
T
ulis 

 
a
tau

k 1 u  k 2 a 0

 -1 1

1
 3
 2 1


16/01/18 00:05


 0
  k1   
     0 
  k2   0

 

Aljabar Linear

24

dengan OBE dapat diperoleh :
 -1 1 0 
1



1 0  ~ 0
 3
 2 1 0
0




 1 0

4 0 ~
1 0 

 1 0 0


 0 1 0
 0 0 0



dengan demikian diperoleh  solusi tunggal 
yaitu : 
 k1 = 0, dan k2 = 0. 
Ini berarti  ū dan ā adalah saling bebas linear.

16/01/18 00:05

Aljabar Linear

25

Contoh  :
Misalkan   

,  1
 
a  3 
 2
 

 2 
 1
 
 
b  1  c   6 
  1
  4
 
 

,
Apakah ketiga vektor diatas saling bebas linear 
3
 RJaw
ab : Tulis 
 :  
0 k1 a  k 2 b  k 3 c
 
atau  

2 
 1 1


 3 1  6
 2  1  4



16/01/18 00:05

 k1 
 0
 
 
 k 2 =  0
 k3
 0
 
 

Aljabar Linear

26

dengan OBE 
diperoleh :

1
 1  1  2



0  ~ 0
0 4
0 1
0
0 



 1  2

1
0 
0
0 

Ini menunjukan bahwa 
k1, k2, k3 mrp solusi tak hingga banyak  
adi

J
adalah vektor­vektor yang bergantung 
a, b , c
linear.

16/01/18 00:05

Aljabar Linear

27

Basis dan Dimensi
Jika V adalah sembarang ruang vektor 
dan S = { ū1, ū2, … , ūn } merupakan 
himpunan berhingga dari vektor – vektor di V,
maka  S  dinamakan basis bagi V 
Jika kedua syarat berikut dipenuhi :
•  S membangun V
•  S bebas linear
Dimensi  adalah  banyaknya  vektor  pemecahan  pada 
basis untuk V.
16/01/18 00:05

Aljabar Linear

28

Contoh :
Tunjukan bahwa himpunan matriks berikut :

M 


3 6 
3  6  ,



 8   1 0 
 0  1  0
  1 0  ,   12  4 ,   1 2 

 
 
 

merupakan basis bagi matriks berukuran 2 x 2 
Jawab :
Tulis kombinasi linear :

3 6 
 0  1
k1 
 k2 
 k3


3  6 
 1 0 
atau
3k1  k 4


 3k1  k 2  12k 3  k 4
16/01/18 00:05

 0  8
  12  4  k4



 1 0  a b 
  1 2   c d 

 


6k1  k 2  8k 3   a b 
 

 6k1  4k 3  2 k 4   c d 

Aljabar Linear

29

dengan menyamakan setiap unsur 
pada kedua matriks, diperoleh SPL :
0
0
1   k1   a 
 3
 6  1  8 0  k  b

  2   
 3  1  12  1  k3   c 

    
 6 0  4 2   k4   d 

Determinan matriks koefisiennya (MK) = 48 
•  det(MK)  0    SPL memiliki solusi 
untuk setiap a,b,c,d
   Jadi, M membangun M2 x 2  
•  Ketika a = 0, b = 0, c = 0, d = 0, 
    det(MK)  0 SPL homogen punya solusi tunggal. 
   Jadi, M bebas linear.  
16/01/18 00:05

Aljabar Linear

30

Karena M bebas linear dan membangun M2 x 2 
maka M merupakan basis bagi M2 x 2.  
Ingat…
Basis untuk setiap ruang vektor adalah tidak tunggal. 
Contoh :
Untuk  ruang vektor dari M2 x 2, himpunan matriks  :




1 0 0 1 0 0 0 0 
 0 1  ,  0 0  ,  1 0 ,  0 1  

 
 
 
 

juga merupakan basisnya.

16/01/18 00:05

Aljabar Linear

31

:

Misalkan matriks 
 1  2 1 1 


A  1
2
3 1 
 1

2
2

1



Vektor baris

Vektor kolom
dengan melakukan OBE 
diperoleh :

1

0

0


2
0
0

0
1
0

-1

0

0

Perhatikan kolom­kolom pada matriks hasil OBE 

16/01/18 00:05

Aljabar Linear

32

matriks A mempunyai basis ruang kolom  yaitu :
   1   1 
    
  1 ,  3  
 1   2  
basis ruang baris diperoleh dengan cara, 
    

Mentransposkan terlebih dahulu matriks 
A,  
lakukan OBE pada At,  sehingga 
diperoleh :

 1




 0



 0

 0


16/01/18 00:05

0
1
0
0

-1
2
1
2
0
0
















Aljabar Linear

33

Kolom­kolom pada matriks hasil OBE yang memiliki 
satu utama berseseuaian dengan matriks asal  (A).  
Ini berarti, 
matriks A tersebut mempunyai basis ruang baris :
  1  1  
    
   2  2  
  ,   
  1  3  
  1    1 



Dimensi basis ruang baris = ruang kolom
dinamakan  rank. 
Jadi rank dari matriks A adalah 2.
16/01/18 00:05

Aljabar Linear

34

Contoh  :
Diberikan SPL homogen :
2p + q – 2r – 2s  = 0
p –  q + 2r – s     = 0
–p  + 2q – 4r + s = 0 
3p  –  3s            = 0
Tentukan basis ruang solusi dari SPL 
diatas
Jawab :
SPL dapat ditulis dalam bentuk :







16/01/18 00:05

2

1

 2  2 0

1 1 2 1 0
1 2  4 1 0

3 0
0  3 0 

Aljabar Linear

35

dengan melakukan OBE  diperoleh :
1

0
0

0


0 0  1 0

1  2 0 0
0 0
0 0

0 0
0 0 

Solusi SPL homogen tersebut 
adalah :
 p   1  0
     
 q   0  2
 r    0  a   1 b
     
 s   1  0
     
dimana a, b merupakan parameter.  

16/01/18 00:05

Aljabar Linear

36

Jadi, basis ruang solusi dari SPL diatas 
adalah :








 1
 
 0
 0 ,
 
 1
 

 0 
 
 2 
1 
 
 0 
 

Dimensi dari basis ruang solusi dinamakan nulitas. 
Dengan demikian, nulitas dari SPL diatas adalah 2.

16/01/18 00:05

Aljabar Linear

37

Latihan Bab 5
6 3
1.Nyatakanlah matriks 

0 8

sebagai kombinasi linear dari matriks berikut :
 1 2  0
  1 3 , 

 2

1
 4  2
, dan 


0

2
4



2.  Periksa, apakah himpunan berikut bebas linear !
a.{6 – x2 , 6 + x + 4x2 }
b.{1 + 3x + 3x2,  x + 4x2,  5 + 6x + 3x2,  7 + 2x – x2}
3. Periksa, apakah himpunan  A = {6 – x2 , 6 + x + 4x2 } 
membangun polinom orde 2 !

16/01/18 00:05

Aljabar Linear

38

4. Periksa, apakah himpunan berikut merupakan 
    basis bagi polinom orde 2 (P2)
a.{4 + 6x + x2, – 1 + 4x + 2x2, 5 + 2x  –  x2}
b.{– 4 +  x + 3x2,  6 + 5x + 2x2, 8 + 4x +  x2}
5.  Misalkan  
J  a  bx  cx 2 a 2 b 2  c 2 


merupakan 
himpunan  bagian 
dari  ruang 

vektor 
Polinom orde dua.
Periksa  apakah  J merupakan subruang 
  dari  ruang  vektor  Polinom  orde 
dua 
Jika ya, tentukan basisnya 

16/01/18 00:05

Aljabar Linear

39

6.  Diberikan SPL homogen :
p  +  2q + 3 r  = 0
p  +   2q –  3 r = 0
p  +   2q + 3 r = 0, 
 Tentukan  basis ruang solusi (buktikan) 
 dan tentukan dimensinya.
7.  Tentukan rank dari matriks :
 1  2  1 1 
1

2
3

1


 1
2
2  1

16/01/18 00:05

Aljabar Linear

40