SISTEM KONTROL LOOP TERTUTUP
TRANSFORMASI LAPLACE
SISTEM KENDALI KLASIK
Pemodelan Matematika Analisis Diagram Bode, Nyquist, Nichols Step & Impulse Response Gain / Phase Margins Root Locus
Disain Simulasi
SISTEM KONTROL LOOP TERTUTUP
PLANT PEMBANGKIT DAYA UAP
SISTEM KENDALI GENERATOR
KOMPONEN DISAIN SISTEM KENDALI
MODEL MATEMATIKA
Bagaimana membuat model matematika ?
MODEL MATEMATIKA
Rancangan dari sistem kendali membutuhkan rumus model matematika dari sistem.
Mengapa harus dengan model matematika ? Agar kita dapat merancang dan menganalisis sistem kendali.
Misalnya: o Bagaimana hubungan antara input dan output. o Bagaimana memprediksi/menggambarkan perilaku dinamik
Dua metoda untuk mengembangkan model matematika
dari sistem kendali:1. Fungsi Pindah (Transfer Function) dalam domain frekuensi (menggunakan Transformasi Laplace).
2. Persamaan-persamaan Ruang Keadaan (State Space
Equations) dalam domain waktu.RANGKAIAN RLC
Persamaan Diferensial Biasa dapat menggambarkan perilaku dinamik sistem fisik (hubungan input dan output) seperti sistem mekanik menggunakan Hukum Newton dan sistem kelistrikan menggunakan Hukum Kirchoff.
Contoh: Rangkaian RLC, jika V(t) adalah Input; i(t) adalah Output R i(t) L Menggunakan KVL (Kirchoff Voltage Law): v t ( ) v t ( ) v t ( ) v t ( ) V(t) C R L C t di t ( )
1 v t ( ) v t ( ) L i ( ) d
R dt C
Menggunakan persamaan diferensial :
- Apakah dapat menjadi persamaan aljabar sederhana ?
- Apakah mudah menggambarkan hubungan antara Input dan Ouput
Jika jawabannya adalah tidak untuk ketiga pertanyaan di
atas, maka kita membutuhkan transformasi Laplace. Transformasi Laplace memberikan: Representasi dari Input, Ouput dan Sistem sebagai satuan- satuan terpisah.
Hubungan aljabar sederhana antara Input, Output dan
Sistem. Keterbatasan dari Transformasi Laplace : Bekerja dalam domain frekuensi.
Berlaku hanya apabila sistem adalah linier..
TRANSFORMASI LAPLACE
Time Domain Circuit
Time Domain
Circuit s-Domain CircuitL
1 L x(t) y(t)
X(s) Y(s) s j Complex Frequency
2 Types of s-Domain Circuits With and Without Initial Conditions
Laplace Transform Inverse Laplace
Transform
TRANSFORMASI LAPLACE
Transformasi Laplace adalah metoda operasional yang dapat digunakan
untuk menyelesaikan persamaan diferensial linier. Dapat mengubah fungsi umum (fungsi sinusoida, sinusoida teredam,
fungsi eksponensial) menjadi fungsi-fungsi aljabar variabel kompleks.
Operasi diferensiasi dan integrasi dapat diganti dengan operasi aljabar pada bidang kompleks.
Solusi persamaan diferensial dapat diperoleh dengan mengguna-kan tabel transformasi Laplace atau uraian pecahan parsial.
Metoda transformasi Laplace memungkinkan penggunaan grafik untuk
meramalkan kinerja sistem tanpa harus menyelesaikan persamaan diferensial sistem.
Diperoleh secara serentak baik komponen transient maupun komponen
keadaan tunak (steady state).VARIABEL KOMPLEKS
Variabel kompleks: s = + j dengan : adalah komponen nyata j adalah komponen maya Bidang s o j j
1
1 s
1
FUNGSI KOMPLEKS
- jG y dengan : G x
Suatu fungsi kompleks: G(s) = G x
dan G y adalah besaran-besaran nyata Bidang G(s)
O Re Im G y
G x
G q Besar dari besaran kompleks: Sudut :
2
2 y x
G G ) s ( G
y
G tan
1
q
TURUNAN FUNGSI ANALITIK
Turunan fungsi analitik G(s) diberikan oleh:
d G ( s s ) G ( s ) G G ( s ) lim lim
s s
ds s s
Harga turunan tidak tergantung pada pemilihan lintasan s.
Karena s = + j , maka s dapat mendekati nol dengan
tak-terhingga lintasan yang berbeda Untuk lintasan s = (lintasan sejajar dengan sumbu nyata)
G j G G j
Jika dua harga turunan ini sama
x y y x
G
G j j
Syarat Cauchy-Riemann
y
x
G G
x
y
G ) lim s ( G ds d
G G j j
G j G G j
y x y x s
G ) lim s ( G ds d
y x y x s
Untuk lintasan s = j (lintasan sejajar sumbu maya), maka
G G Contoh Soal Tinjau G(s) berikut, apa analitik ?
1 G ( s )
1 s
Jawab:
1 G ( j ) G jG
x y
j
1 Di mana
1 G
G x y dan
2
2
2
2 1
1
Dapat dilihat bahwa, kecuali s=-1 (yaitu =-1, =0), G(s) memenuhi syarat Cauchy-Riemann:
2
2
G G
G
1 G
y
2
1
y x
x
2
2
2
2
2
2
1 1
Turunan dG(s)/ds pada s=-1 adalah
G d G Gy Gx
y x
G ( s ) j j
1
ds
1
2 s
1
2
j
1
Perhatikan bahwa turunan fungsi analitik dapat diperoleh hanya
dengan mendiferensiasikan G(s) terhadap s 1
1 d
2
ds s
1
1 s
Titik-titik pada bidang s yang menyebabkan fungsi G(s) analitik disebut titik ordiner, sedangkan titik-titik pada bidang s yang menyebabkan fungsi G(s) tidak analitik disebut titik singuler.
Titik-titik singuler yang menyebabkan fungsi G(s) atau turunan- turunannya mendekati tak terhingga disebut pole KUTUB-KUTUB dan NOL-NOL
roots numerator
- Zeros dari G(s)
roots denominator
- Poles dari G(s)
- Persamaan karakterisk denominator dari G(s)=0 Im Re
K ( s 3 ) G ( s )
2 ( s ) ( s )
1
2 Jawab: Mempunyai pole di s=-1 dan s=-2 Mempunyai sebuah zero di s=-3.
Jika titik-titik di tak terhingga di masukkan:
K lim G ( s ) lim
2 s s
s Fungsi G(s) mempunyai 2 buah zero di tak terhingga.
Jadi G(s) mempunyai jumlah pole dan zero yang sama, yaitu 3 buah pole dan 3 buah zero (satu zero terhingga dan dua zero tak
Pemetaan Konformal Pemetaan Konformal adalah suatu pemetaan yang menjaga ukuran maupun pengertian sudut.
Pemetaan Konformal digunakan dalam membahas diagram tempat kedudukan akar ( root locus ) dan kriteria kestabilan Nyquist.
Hubungan fungsional: z=F(s) dapat diinterpretasikan sebagai pemetaan
titik-titik pada bidang s ke titik-titik pada bidang z / bidang F(s). Untuk setiap titik P pada bidang s terdapat suatu titik P’ pasangannya pada bidang F(s). P’ adalah bayangan dari P.
Untuk membuktikan bahwa pemetaan yang dinyatakan dengan suatu fungsi analitik z=F(s) adalah konformal, tinjau suatu kurva halus s=s( ), yang melalui suatu titik ordiner.
Jika kita tulis z =F(s ), maka: o o
F ( s ) F ( s ) o z z ( s s ) o o
s s
oDengan demikian, F ( s ) F ( s ) o
z z s s o o s s o o s - s adalah sudut antara sumbu nyata positif dan vektor dari s ke o o s. o
Jika s mendekati s sepanjang kurva halus s( adalah
), maka s - s o o sudut q antara sumbu nyata positif dan garis singgung kurva tersebut
1 pada s . o o Dengan cara sama, jika z mendekati z , maka z - z mendekati sudut o o yang merupakan sudut antara sumbu nyata positif dan garis
1 singgung dari F(s) pada z . Dengan demikian diperoleh
1 1 o
- o q = ) F’(s
2 kita dapat melakukan analisis serupa sehingga diperoleh = )
- 2
q
2 F’(s o Oleh karena itu
=
1
1
2
2 atau
- -
q q
2
1
2
1 o Jadi ukuran dan pengertian sudut pada pemetaan tetap dijaga. o Pemetaan yang dinyatakan dengan suatu fungsi analitik z=F(s) adalah konformal di setiap titik yang menyebabkan F(s) reguler dan
- -
=
q q
F’(s) 0. Definisi Transformasi Laplace Transformasi Laplace dari f(t) didefinisikan sebagai
dt e ) t ( f ) s ( F )] t ( f [ L
st dengan: f(t) = fungsi waktu t, dengan f(t)=0 untuk t<0 s = variabel kompleks
st
) dt e t ( f ) s ( F )] t ( f [ L ) 1 dt e t ( )] t ( [ L st
st st
) e dt e t t ( )] t ( f [ L
f(t) ) t t (
t f(t)
) t t ( t
Contoh fungsi Dirac Contoh Transformasi Laplace dari fungsi tangga berikut: f(t) = 0 untuk t < 0
= A untuk t > 0
s A s e
A dt Ae )} t ( f {
st st
L f(t) t
A Jawab:
2 st st st s a dt e s a
s
ate
)] dt ate t ( r [ L
) t untuk at t ( f
f(t) t Transformasi Laplace dari fungsi Ramp Contoh Transformasi Laplace dari fungsi eksponensial berikut: f(t) = 0 untuk t < 0
- at
e
- at
= Ae untuk t > 0 A t
Jawab: at at st ( s a ) t
L { Ae } Ae e dt A e dt
( s a ) t
e A A
( s a ) ( s a )
Contoh Transformasi Laplace dari fungsi sinusoida berikut: f(t) = 0 untuk t < 0
= A sin t untuk t > 0 Jawab: st
{ A sin t } A sin t e dt L
j t
1 j t j t e = cos t + j sin t sin t ( e e ) jwt
e- = cos t - j sin t 2 j
A j t j t st
L { f ( t )} ( e e ) e dt
j
2 A
1 A
1 A
2
2
2
2 j s j j s j s
f(t) F(s) Step function, u(t) e
- at
- at
t e
sin( t ) cos( t ) t n
1/s 1/(s+a) 1/(s+a)
2 / ( s
2
2 )
-
-
/ ( s
2
2 ) n!/s n+1
) e e ( a b
bt at
1 ) b s )( a s (
1 Contoh f(t) F(s)=L[f(t)] n
t
) a s /( s 2 2
b a ) b s )( a s /( s
b a ) a b /( ) e e ( at bt
] a ) b s /[( ) b s ( 2 2 ) at cos( e bt
] a ) b s /[( a 2 2 ) b s )( a s /(
1
1 ) at sin( e bt
/ s
2
2
) a s /( s
2
2
) a s /( a
at
2
2
) a s /( a
1 ) a s /( 1
/ s
2
/ s ! n
) ( 1 n
) at ( ch
) sin(at ) cos(at ) (at sh
1 ) t ( u t
e ) t (
) a b /( ) ae be ( at bt
SIFAT LINIERITAS
2
2 konstanta
1 , c
c
1
1
2
)] t ( f [ L ) s ( F 1 1 )] t ( f [ L ) s ( F 2 2 ) s ( F . c ) s ( F . c
)] t ( f [ L . c )] t ( f [ L . c )] t ( f . c ) t ( f . c [ L
1
2
2
1
1
2
2
1
SIFAT TRANSLASI
a) Jika F(s)=L[f(t)]
) a s ( F )] t ( f e [ L at
) a s ( F dt e ) t ( f dt e ] ) t ( f e [ )] t ( f e [ L ) t a s ( st at at
Contoh 4 s s
)] t
Cos 2 ( [ L
2
5 s 2 s 1 s 4 )
( 1 s
1 s )] t Cos 2 ( e [ L2
2 t
f(t) g(t)
Translasi [time]
b) g(t) = f(t-a) untuk t>a = 0 untuk t<a t
as L [ g ( t )] e F ( s ) a
st s ( u a ) as su
L [ g ( t )] f ( t a ) ] e dt f ( u ) e du e f ( u ) e du
3 !
6 Contoh 3 L [ t ] 4 4 3 s s 2 s
g ( t ) ( t 2 ) , t
2 6 e
L [ g ( t )] 4 s g ( t ) , t
2 Perubahan skala waktu ) a s ( F a
1 )] t . a ( f [ L ) a s ( F a
3 s
2
2
1 )] t Sin 3 ( [ L
3
1
1
1 a du ) e u ( f dt e ] ) t . a ( f )] t . a ( f [ L a su st
3
9 s
2
1 )] t ( Sin [ L
Contoh 1 s
TEOREMA DIFERENSIASI
Transformasi Laplace dari turunan fungsi f(t) diberikan sebagai
) ( ) ( dt e dt t df dt t df st
L Integrasi bagian demi bagian memberikan
) ( ) ( ) ( dt e t f s e t f dt t df st st
L
) t ( f s ) ( f dt ) t ( df
L L
Transformasi Laplace sangat berguna karena mengubah
Turunan Pertama [Derivative first order] ) ( f ) s ( F . s )] t ( f [ L ] dt df [ L )] t ( ' f [ L
) dt t ( f se ) t ( f e dt ) t ( f e )] t ( ' f [ L
st st st
) ( f ) s ( F . s )] t ( ' f [ L
t
) ( f f(t)
) ( f ) s ( sF
Turunan orde tinggi ) ( f ) s ( F . s )] t ( f [ L ] dt df [ L )] t ( ' f [ L
) ( ' f ) ( f . s ) s ( F . s ] ) t ( f [ L )] t ( " f [ L2
) ( 1 n ) 1 ( 2 n
1 n n ) n ( ) ( f ..... ) ( f s ) ( f s ) s ( F s )] t ( f [ L
) ( 1 i n 1 i i n n ) n (
) ( f . s ) s ( F s ] ) t ( f [ L
- Jika discontinuity pada a
)] a ( f ) a ( f [ e ) ( f ) s ( F . s )] t ( ' f [ L as
) a ( f ) a ( f
Contoh Turunan
2
2
)] t ( Sin [ L
) s ( ) ( Cos )] t ( Cos [ L s
1 ) t ( Sin
dt )] t ( Cos [ d
) t ( Sin dt )] t ( Cos [ d
)] t [sin( d
) t ( Cos dt
)] t ( Cos [ L
2
) s ( ) s ( Sin )] t ( Sin [ L s
2 s s
2
2
2
1 ) t ( Cos
dt )] t ( Sin [ d
)] t ( Cos [ L
2 s s
2
2 s )] t ( Sin [ L
Aplikasi Rangkaian RC C R e(t) v(t)
) ( v ) t ( v dt dv
RC ) t ( e
Persamaan rangkaian Transformasi Laplace:
] RCs ( 1 )[ s
V ) s ( V ) s ( RCsV ) s ( E
RCs
1 ) s ( E
) s (
V
INTEGRASI
t s ) s ( F
] du ) u ( f [ L
) s ( F ) ( g )] t ( g [ sL )] t ( g [ L
) t ( f ) t ( g
t
] du ) u ( f ) t ( g
)] t ( f [ L ) s ( F Perkalian dengan faktor t ) dt t ( f e [ ds d ) s ( F ds ) s ( dF
' st
Leibnitz’s rule
)] t ( tf [ L dt ] ) t ( tf [ e ] dt ) t ( f e [ s ds ) s ( dF st st
) s ( F )] t ( tf [ L
'
Rumus umum n n n n ds ) s ( F d
) )] 1 ( t ( f t [ L Pembagian dengan faktor t
t ) t ( f
) t ( g
) t ( tg ) t ( f
) s ( F ds ) s ( dG ds
)] t ( g [ dL )] t ( f [ L
s s
) du u ( F du ) u ( F ) s ( G
) du u ( F ] t ) t ( f
[ L s ) s ( LimG
FUNGSI PERIODIK
t , k f ( t kT ) f ( t ) T 2 T 3 T
st st st L [ f ( t )] F ( s ) e f ( t ) dt e f ( t ) dt e f ( t ) dt ....... T T T T 2 T
st s ( u T ) s ( u
2 T )L [ f ( t )] F ( s ) e f ( t ) dt e f ( u T ) du e f ( u 2 T ) du .......
T T T st sT su 2 sT su L [ f ( t )] F ( s ) e f ( t ) dt e e f ( u ) du e e f ( u ) du .......
T nsT st
L [ f ( t )] F ( s ) e [ e f ( t ) dt ]
n T st f ( t ) e dt
1
nsT
e
sT
L [ f ( t )] F ( s ) sT n 1 e Fungsi periodik Sinus & Cosinus j t e Cos ( t ) jSin ( t )
j t j t st ( j s ) t
L [ e ] L [ Cos ( t )] jL [ Sin ( t )] e e dt e dt
T ( j s ) t e dt
j t
L [ e ] sT
1 e T
T
1
1
1 ( j s ) t ( j s ) t j T sT sT e dt e [ e e 1 ] [ e 1 ]
j s j s j s
1 s j s j j t
2
2
L [ e ] Perilaku Batas Limit : Nilai Inisial ) ( f ) s ( sF )] t ( f [ L
s ] dt ) t ( f e [ Lim st
Exponential order } s }.......{ t {
)] s ( sF lim[ )] t ( f [ Lim
t ) ( f )] t ( f [ Lim
s ) ( f )] s ( sF [ Lim
FUNGSI IMPULSIONAL
RC
s s
( 1 RCs se ) s ( sV
)
V
1 ) s (
1 ( s
) t ( e ) t ( e e ) s ( E
RCs
RC e CR t e
Impulse response CR t e RC e ) t ( v
RC t
V
1 e ) s (
RC e )
FUNGSI TANGGA DENGAN KONDISI AWAL NOL
) t ( u e ) t ( e s e
) s ( E ) RCs 1 ( s e
) s (
V
)
RC
1 ( s e s e
) s (
V
] e
) 1 [ e e e e t ( v CR t CR t
e0
RC
e 63 , ] e ) 1 [ e t ( v cr t
FUNGSI TANGGA DENGAN KONDISI AWAL
] e ) ( v [ RCs ) e s ( sV
) ( v
e
cr t ] e e ) ( v [ e ) t ( v
V ) s ( V )] ( v ) s ( sV [ RC ) s ( E
) ( RCv ] RCs ( 1 )[ s
CR t
Step function dan initial conditions v(0) 0
RCs
) s (
) e ( v s e
1 ( s
RC
)
V
) s (
) RCs 1 ( s e
1 ) ( RCv
V
FUNGSI RAMP
1
1 E ( s ) e ( t ) r ( t ) t 2 V ( s )
2 s s (
1 RCs )
1 RC RC V ( s ) 2
1 s s
( s )
v ( t )
RC
t CR t CR v ( t ) t RC RCe
RC 2 1 ( RC ) s
t
sV ( s ) RC
dv CR
s ( RCs 1 )
1 e dt
ANALISIS HARMONIK
1 ( a ae
1 B a
1 A
) s s s a a s
) s (
2
V 2 2 2 2 2 2
RC
1 a
a a C a
) t sin( e ) t ( e
2
V
2 s ) e s ( E
)
2
2 )( s a s ( ae
) s (
) s C Bs a s
2
A ( ae ) s (
V 2 2
2
2
2
2 ae 1 a s
V ( s ) ( )
2 2 2 2 2 2 a s a s s
t
ae
1 CR
v ( t ) [ e sin( t ) cos( t )]
2
2
a RC
1 Cos ( ) tg ( ) RC
2 1 ( RC ) t
CR
v ( t ) e Cos ( )[sin( t ) sin( ) e ]
Forced Transient
TRANSFORMASI LAPLACE INVERSE
Diketahui: F(s)=L[f(t)] Bagaiman mencari f(t) dari F(s) ?
)] s ( F [ L ) t ( f
1
a) Method Analitik
). ds s ( F e . i .
2
1 ) t ( f )] s ( F [ L . i . i st
1
Pada kontour Bromwich
b) Metoda Tabel at
) e t ( f
1 ) s ( F
c) Ekspansi fraksi dengan akar-akar berbeda
n B ( s ) a a a
p t
1 2 n i F ( s ) ... a e i
A ( s ) s p s p s p
1 2 n i
1 n p t p t p t p t 1 2 n i f ( t ) a e a e ...... a e a e
1
2 n i
i1 Harga a (residu pada pole s=-p ) dapat diperoleh dengan: k k
B ( s ) a a a 1 k n a ( s p ) ( s p ) ... ( s p ) ... ( s p ) k k k k k
A ( s ) s p s p s p k n 1 s p
k s p k
Semua suku uraian menjadi nol, kecuali a . Jadi residu ak diperoleh: k
B ( s ) a ( s p ) k k
A ( s )
s p k- pt
1
2
1
2
3
1
1
1
s
2
Contoh Soal Carilah transformasi Laplace balik dari
) s )( s ( s ) s ( F
2
1
3
Jawab: Transformasi Laplace balik dari:
e a p s a L
3
1
) s ( a ) s ( a
) s )( s ( s ) s ( F
2
1
2
1
) s ( ) s )( s ( s a
s 3 a ( s
2 )
1
2
( s )( s )
1
2
s
2
2
1
1 1
1
L F ( s ) L L
1
2 ( s ) ( s )
1 t 2 t
L F ( s ) 2 e e untuk t
Contoh Soal ) )( 3 s
3 2 t t t
e e e
) t ( f6
3
4
7
2
1 ) s ( F
)( 2 s ( 1 s
4 s
6
3 ) ( 1 s
4
7 ) ( 2 s
2
) ( 3 s
2
2 ) s ( F