OPTIMASI alokasi air daerah EKONOMI
OPTIMASI EKONOMI
Pengambilan keputusan manajerial merupakan proses penentuan solusi terbaik dari
berbagai alternative solusi terhadap suatu masalah tertentu. Manajer menggunakan
alat ekonomi manajerial untuk membantu dalam proses menemukan keputusan
tindakan yang terbaik.
Keputusan optimal (optimal decision) adalah tindakan yang memberikan hasil yang
paling konsisten dengan tujuan pengambil keputusan.
MAKSIMISASI NILAI PERUSAHAAN.
Dalam ekonomi manajerial, tujuan utama manajemen dianggap untuk
memaksimalkan nilai perusahaan. Tujuan ini diekspresikan dalam suatu persamaan
sebagai berikut:
n
VALUE = t
1
n
= t
1
Dimana:
TRt = Total Revenue (total pendapatan) pada periode t
TCt = Total Cost (total biaya) pada periode t
TR = P x Q.
Faktor-faktor berpengaruh terhadap pendapatan (P*Q) adalah Demand dan Supply:
Disain produk
Strategi periklanan
kebijakan harga jual produk
Kondisi ekonomi secara umum; dan
Tingkat persaingan yang terjadi.
Proses keputusan memerlukan 2 langkah:
Hub ekonomi harus diekspresikan dlm bentuk yang tepat agar dapat dianalisis.
Apl berbagai teknik eval berbagai alt untuk memperoleh solusi optimal
METODE EKSPRESI HUBUNGAN EKONOMI.
1. Hubungan Fungsi: Persamaan.
Hubungan antara kuantitas (Q) dan total pendapatan (TR) dapat diekspresikan
sebagai berikut:
TR = f (Q)
TR = P x Q
Misalnya harga produk yang bersifat konstan adalah Rp 1.000,00 per unit, maka
hubungan antara kuantitas yang terjual dengan total pendapatan secara tepat dapat
dinyatakan dalam suatu fungsi sebagai berikut:
TR = 1.000 Q
2. Hubungan Fungsi: Tabel dan Grafik.
Berikut ini disajikan data yang menggambarkan hubungan fungsi dan digambarkan
dalam suatu grafik.
Tabel 2.1 Hubungan antara Total Pendapatan dan Kuantitas
Kuantitas Produk
Total Pendapatan (TR) = 1.000 Q
10
Rp 10.000
20
20.000
30
30.000
40
40.000
50
50.000
60
60.000
70
70.000
80
80.000
90
90.000
100
100.000
120000
100000
80000
60000
40000
20000
0
Total Pendapatan
0
50
100
150
Kuantitas Produk
Gambar 2.1 Hubungan antara Total Pendapatan dan Kuantitas
HUBUNGAN TOTAL PENDAPATAN , AVERAGE DAN MARGINAL
Dalam analisis optimasi, hubungan total, average dan marginal menjadi
sangat penting.
Pendapatan marginal adalah perubahan pada total pendapatan sebagai
akibat dari perubahan satu unit output.
Berikut ini disajikan hubungan antara total, marginal dan average dalam
suatu fungsi keuntungan hipotetis.
Tabel 2 Hubungan Total, Marginal dan Average dalam suatu fungsi
keuntungan hipotetis
Unit Output
Total
Keuntungan
Keuntungan
keuntungan
marginal
Average
0
$0
$0
-
2
1
2
3
4
5
6
7
8
19
52
93
136
175
210
217
208
19
33
41
43
39
35
7
-9
$ 19
26
31
34
35
35
31
26
Pengetahuan mengenai hubungan geometrik antara total, marginal dan
average dapat juga menjadi bukti untuk penggunaan dalam pengambilan
keputusan manajerial. Gambar 2a menyajikan hubungan keuntungan
dengan output. Gamar 2b menunjukkan hubungan antara keuntungan
marginal, keuntungan average dan unit output.
EKeuntungan
Total
$250
D
$200
C
$150
B
$100
Keuntungan
$50
$0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Output
$50
$40
Keuntungan
Average
$30
$20
Marginal
Keuntungan Marginal
$10
Keuntungan Average &
$0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Output
Keuntungan average =
3
Secara geometrik, hubungan ini ditujukkan dengan slop garis dari titik 0
sampai titik tertentu pada kurva keuntungan total.
Slop adalah perubahan marjinal Y sebagai akibat dari perubahan 1 unti X
Slop = =
Oleh karena Y1 dan X1 terletak pada titik 0, maka keduanya bernilai (0 ,
0), sehingga slopnya menjadi =
Jadi slop OB adalah = 93
Beberapa hal penting berkenaan dengan hubungan total, marginal dan
average sebagai berikut:
a. Slop kurva keuntungan total meningkat dari titil 0 sampai titik C
b. Antara titik C dan E, keuntungan total terus meningkat, karena
keuntungan marginal masih positif, tapi terus menurun.
c. Pada titik E slop kurva keuntungan total adalah 0, dimana keuntungan
marginalnya sama dengan 0 dan keuntungan totalnya menjadi
maksimal
d. Dibawah titik E kurva keuntungan total mempunyai slop negatif yang
menunjukkan keuntungan marginalnya negatif.
ANALISIS MARGINAL UNTUK PENGAMBILAN KEPUTUSAN
Pengambilan keputusan manajerial sering memerlukan cara untuk
menemukan nilai maksimum/minimum dari suatu fungsi. Suatu fungsi
mencapai titik maksimum atau minimum pada saat slopnya atau nilai
marginalnya sama dengan 0.
Misalnya, π = - $10,000 + $ 400 Q - $ 2 Q2
Keuntungan Marginal = 400 – 4 Q
Q
0
25
50
75
100
125
150
175
200
Keuntungan Total
-10000
-1250
5000
8750
10000
8750
5000
-1250
-10000
Keuntungan Marginal
400
300
200
100
0
-100
-200
-300
-400
4
5000
0
-5000 0
-10000
-15000
Keuntungan Marginal
Keuntungan Total
15000
10000
50
100
150
200
250
200
250
Output
600
400
200
0
-200 0
-400
-600
50
100
150
Output
Keuntungan maksimum terjadi pada saat keuntungan marginal sama
dengan 0.
Keuntungan Marginal = 400 – 4 Q
Q = 100
SOAL:
Fungsi permintaan dan biaya
P = 1000 – Q dan TC = 50000 + 100 Q
Tentukan:
a. Q, P dan π pada tingkat output yang memaksimumkan TR jangka
pendek.
b. Q, P dan π pada tingkat output yang memaksimumkan π jangka pendek
a. TR = PQ = 1000Q – Q2
TR Marginal = 1000 – 2Q
Q = 500
P = 1000 -500 = 500
Keuntungan = 1000 (500) – 5002 – 50000 – 100 (500)
= 500.000 – 250.000 -50.000 – 50.000 = 150.000
b. Keuntungan = TR – TC
= 1.000Q – Q2 – 50.000 - 100 Q = 900Q – Q2 – 50.000
Keuntungan Marginal = 900 – 2Q
Q = 450
Keuntungan = 450.000 – 202.500 – 50.000 – 45.000 = 152.500
5
Pembedaan maksimum dengan minimum.
Suatu masalah muncul ketika derivatif digunakan untuk mengetahui nilai
minimum atau maksimum. Derivatif/ turunan pertama dari suatu fungsi
memberikan ukuran apakah fungsi tersebut menaik atau menurun pada
suatu titik. Untuk menjadi maksimum atau minimum, fungsi tersebut
harus menaik atau menurun yakni slop diukur dengan derivatif pertama
sama dengan nol. Pada saat nilai marjinal suatu fungsi sama dengan nol
baik untuk nilai maksimum atau minimum, maka selanjutnya adalah
menentukan titik maksimum atau minimum.
Biaya Per
Periode
B
∏ = a – bQ + cQ2 –
dQ3
QA
QB
Unit output per
periode
A
Pada
gambar
tersebut
A
B
Unit output per
periode
d∏/dQ = –b + 2cQ – 3dQ2
menunjukkan slop kurva keuntungan sama dengan nol untuk titik A dan B.
Titik A merupakan jumlah output dengan keuntungan minimal dan titik B
merupakan jumlah output dengan keuntungan maksimal.
Konsep turunan kedua digunakan untuk membedakan antara minimum
dan maksimum sepanjang fungsi. Turunan kedua merupakan derivatif
fungsi asal yang ditentukan dengan cara yang sama seperti turunan
pertama.
Jika persamaan total keuntungan (∏) = a – bQ + cQ 2 – dQ3, maka turunan
pertama menunjukkan fungsi keuntungan marjinal sebagai berikut:
=M∏ = -b + 2cQ – 3dQ2
Turunan kedua dari fungsi keuntungan total merupakan turunan dari
fungsi keuntungan marjinal sebagai berikut:
= = 2c – 6dQ
Contoh hipotetis.
6
Keuntungan Total = ∏ = -3.000 – 2.400 Q + 350 Q2 - 8,333 Q3
Keuntungan marjinal diperoleh dari turunan pertama fungsi keutunngan
total:
=M∏ = -2400 + 700Q – 25Q2
Keuntungan total baik maksimum atau minimum pada titik dimana
turunan pertama sama dengan nol.
=M∏ = -2400 + 700Q – 25Q2 = 0
Untuk menentukan dua titik dapat diselesaikan dengan
X=
X= X=
X1 = = 4 unit,
X2 = = 24 unit
Evaluasi turunan kedua dari fungsi keuntungan total untuk setiap titik
akan menunjukkan minimum atau maksimum.
= = 700 – 50Q
Pada titik X1 = 4 unit, maka = = 700 – 50 (4) = 500
Pada titik X1 = 24 unit, maka = = 700 – 50 (24) = -500
Oleh karena pada titik X1=4 memberikan turunan kedua positif, maka hal
ini menunjukkan keuntungan marjinal meningkat dan keuntungan totalnya
minimum pada titik 4 unit output.
Oleh karena pada titik X2=24 memberikan turunan kedua negatif, maka
hal ini menunjukkan keuntungan marjinal menurun dan keuntungan
totalnya maksimum pada titik 24 unit output.
Q
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
∏ = - 3.000 –
2.400Q + 350Q2 – dTR/dQ= – 2.400 + 700Q –
8,333Q3
25Q2
= 700 – 50Q
-3000
-2400
700
-5058.333
-1725
650
-6466.664
-1100
600
-7274.991
-525
550
-7533.312
0
500
-7291.625
475
450
-6599.928
900
400
-5508.219
1275
350
-4066.496
1600
300
-2324.757
1875
250
-333
2100
200
1858.777
2275
150
4200.576
2400
100
6642.399
2475
50
9134.248
2500
0
11626.125
2475
-50
7
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
14068.032
16409.971
18601.944
20593.953
22336
23778.087
24870.216
25562.389
25804.608
25546.875
24739.192
23331.561
21273.984
18516.463
15009
2400
2275
2100
1875
1600
1275
900
475
0
-525
-1100
-1725
-2400
-3125
-3900
-100
-150
-200
-250
-300
-350
-400
-450
-500
-550
-600
-650
-700
-750
-800
8
Maksimisasi profit terjadi jika MC = MR (kedua slop sama)
Contoh.
TR = 41,5Q – 1,1Q2
TC = 150 +10Q -0,5Q2 + 0,02Q3
∏ = TR – TC
∏ = 41,5Q – 1,1Q2 - 150 -10Q + 0,5Q2 - 0,02Q3
∏ = -150 + 31,5Q - 0,6Q2 - 0,02Q3
Derivatif pertama
= 31,5 - 1,2Q - 0,06Q2
Fungsi tersebut maksimum atau minimum pada profit marjinal saman dengan 0
0 = 31,5 - 1,2Q - 0,06Q2
X=
X1 = -35 unit dan X2 = 15 unit
Derivatif kedua (derivatif fungsi profit marjinal) menjadi
= 1,2 – 0,12 Q
Dengan menggunakan persamaan derivative kedua, maka dapat diketahui titik
maksimum dan minimum
Q1 = -35 = 1,2 – 0,12Q = 5,4 (maksimum)
Q2 = 15 = 1,2 – 0,12Q = -0,6 (minimum)
9
Pengambilan keputusan manajerial merupakan proses penentuan solusi terbaik dari
berbagai alternative solusi terhadap suatu masalah tertentu. Manajer menggunakan
alat ekonomi manajerial untuk membantu dalam proses menemukan keputusan
tindakan yang terbaik.
Keputusan optimal (optimal decision) adalah tindakan yang memberikan hasil yang
paling konsisten dengan tujuan pengambil keputusan.
MAKSIMISASI NILAI PERUSAHAAN.
Dalam ekonomi manajerial, tujuan utama manajemen dianggap untuk
memaksimalkan nilai perusahaan. Tujuan ini diekspresikan dalam suatu persamaan
sebagai berikut:
n
VALUE = t
1
n
= t
1
Dimana:
TRt = Total Revenue (total pendapatan) pada periode t
TCt = Total Cost (total biaya) pada periode t
TR = P x Q.
Faktor-faktor berpengaruh terhadap pendapatan (P*Q) adalah Demand dan Supply:
Disain produk
Strategi periklanan
kebijakan harga jual produk
Kondisi ekonomi secara umum; dan
Tingkat persaingan yang terjadi.
Proses keputusan memerlukan 2 langkah:
Hub ekonomi harus diekspresikan dlm bentuk yang tepat agar dapat dianalisis.
Apl berbagai teknik eval berbagai alt untuk memperoleh solusi optimal
METODE EKSPRESI HUBUNGAN EKONOMI.
1. Hubungan Fungsi: Persamaan.
Hubungan antara kuantitas (Q) dan total pendapatan (TR) dapat diekspresikan
sebagai berikut:
TR = f (Q)
TR = P x Q
Misalnya harga produk yang bersifat konstan adalah Rp 1.000,00 per unit, maka
hubungan antara kuantitas yang terjual dengan total pendapatan secara tepat dapat
dinyatakan dalam suatu fungsi sebagai berikut:
TR = 1.000 Q
2. Hubungan Fungsi: Tabel dan Grafik.
Berikut ini disajikan data yang menggambarkan hubungan fungsi dan digambarkan
dalam suatu grafik.
Tabel 2.1 Hubungan antara Total Pendapatan dan Kuantitas
Kuantitas Produk
Total Pendapatan (TR) = 1.000 Q
10
Rp 10.000
20
20.000
30
30.000
40
40.000
50
50.000
60
60.000
70
70.000
80
80.000
90
90.000
100
100.000
120000
100000
80000
60000
40000
20000
0
Total Pendapatan
0
50
100
150
Kuantitas Produk
Gambar 2.1 Hubungan antara Total Pendapatan dan Kuantitas
HUBUNGAN TOTAL PENDAPATAN , AVERAGE DAN MARGINAL
Dalam analisis optimasi, hubungan total, average dan marginal menjadi
sangat penting.
Pendapatan marginal adalah perubahan pada total pendapatan sebagai
akibat dari perubahan satu unit output.
Berikut ini disajikan hubungan antara total, marginal dan average dalam
suatu fungsi keuntungan hipotetis.
Tabel 2 Hubungan Total, Marginal dan Average dalam suatu fungsi
keuntungan hipotetis
Unit Output
Total
Keuntungan
Keuntungan
keuntungan
marginal
Average
0
$0
$0
-
2
1
2
3
4
5
6
7
8
19
52
93
136
175
210
217
208
19
33
41
43
39
35
7
-9
$ 19
26
31
34
35
35
31
26
Pengetahuan mengenai hubungan geometrik antara total, marginal dan
average dapat juga menjadi bukti untuk penggunaan dalam pengambilan
keputusan manajerial. Gambar 2a menyajikan hubungan keuntungan
dengan output. Gamar 2b menunjukkan hubungan antara keuntungan
marginal, keuntungan average dan unit output.
EKeuntungan
Total
$250
D
$200
C
$150
B
$100
Keuntungan
$50
$0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Output
$50
$40
Keuntungan
Average
$30
$20
Marginal
Keuntungan Marginal
$10
Keuntungan Average &
$0
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
Output
Keuntungan average =
3
Secara geometrik, hubungan ini ditujukkan dengan slop garis dari titik 0
sampai titik tertentu pada kurva keuntungan total.
Slop adalah perubahan marjinal Y sebagai akibat dari perubahan 1 unti X
Slop = =
Oleh karena Y1 dan X1 terletak pada titik 0, maka keduanya bernilai (0 ,
0), sehingga slopnya menjadi =
Jadi slop OB adalah = 93
Beberapa hal penting berkenaan dengan hubungan total, marginal dan
average sebagai berikut:
a. Slop kurva keuntungan total meningkat dari titil 0 sampai titik C
b. Antara titik C dan E, keuntungan total terus meningkat, karena
keuntungan marginal masih positif, tapi terus menurun.
c. Pada titik E slop kurva keuntungan total adalah 0, dimana keuntungan
marginalnya sama dengan 0 dan keuntungan totalnya menjadi
maksimal
d. Dibawah titik E kurva keuntungan total mempunyai slop negatif yang
menunjukkan keuntungan marginalnya negatif.
ANALISIS MARGINAL UNTUK PENGAMBILAN KEPUTUSAN
Pengambilan keputusan manajerial sering memerlukan cara untuk
menemukan nilai maksimum/minimum dari suatu fungsi. Suatu fungsi
mencapai titik maksimum atau minimum pada saat slopnya atau nilai
marginalnya sama dengan 0.
Misalnya, π = - $10,000 + $ 400 Q - $ 2 Q2
Keuntungan Marginal = 400 – 4 Q
Q
0
25
50
75
100
125
150
175
200
Keuntungan Total
-10000
-1250
5000
8750
10000
8750
5000
-1250
-10000
Keuntungan Marginal
400
300
200
100
0
-100
-200
-300
-400
4
5000
0
-5000 0
-10000
-15000
Keuntungan Marginal
Keuntungan Total
15000
10000
50
100
150
200
250
200
250
Output
600
400
200
0
-200 0
-400
-600
50
100
150
Output
Keuntungan maksimum terjadi pada saat keuntungan marginal sama
dengan 0.
Keuntungan Marginal = 400 – 4 Q
Q = 100
SOAL:
Fungsi permintaan dan biaya
P = 1000 – Q dan TC = 50000 + 100 Q
Tentukan:
a. Q, P dan π pada tingkat output yang memaksimumkan TR jangka
pendek.
b. Q, P dan π pada tingkat output yang memaksimumkan π jangka pendek
a. TR = PQ = 1000Q – Q2
TR Marginal = 1000 – 2Q
Q = 500
P = 1000 -500 = 500
Keuntungan = 1000 (500) – 5002 – 50000 – 100 (500)
= 500.000 – 250.000 -50.000 – 50.000 = 150.000
b. Keuntungan = TR – TC
= 1.000Q – Q2 – 50.000 - 100 Q = 900Q – Q2 – 50.000
Keuntungan Marginal = 900 – 2Q
Q = 450
Keuntungan = 450.000 – 202.500 – 50.000 – 45.000 = 152.500
5
Pembedaan maksimum dengan minimum.
Suatu masalah muncul ketika derivatif digunakan untuk mengetahui nilai
minimum atau maksimum. Derivatif/ turunan pertama dari suatu fungsi
memberikan ukuran apakah fungsi tersebut menaik atau menurun pada
suatu titik. Untuk menjadi maksimum atau minimum, fungsi tersebut
harus menaik atau menurun yakni slop diukur dengan derivatif pertama
sama dengan nol. Pada saat nilai marjinal suatu fungsi sama dengan nol
baik untuk nilai maksimum atau minimum, maka selanjutnya adalah
menentukan titik maksimum atau minimum.
Biaya Per
Periode
B
∏ = a – bQ + cQ2 –
dQ3
QA
QB
Unit output per
periode
A
Pada
gambar
tersebut
A
B
Unit output per
periode
d∏/dQ = –b + 2cQ – 3dQ2
menunjukkan slop kurva keuntungan sama dengan nol untuk titik A dan B.
Titik A merupakan jumlah output dengan keuntungan minimal dan titik B
merupakan jumlah output dengan keuntungan maksimal.
Konsep turunan kedua digunakan untuk membedakan antara minimum
dan maksimum sepanjang fungsi. Turunan kedua merupakan derivatif
fungsi asal yang ditentukan dengan cara yang sama seperti turunan
pertama.
Jika persamaan total keuntungan (∏) = a – bQ + cQ 2 – dQ3, maka turunan
pertama menunjukkan fungsi keuntungan marjinal sebagai berikut:
=M∏ = -b + 2cQ – 3dQ2
Turunan kedua dari fungsi keuntungan total merupakan turunan dari
fungsi keuntungan marjinal sebagai berikut:
= = 2c – 6dQ
Contoh hipotetis.
6
Keuntungan Total = ∏ = -3.000 – 2.400 Q + 350 Q2 - 8,333 Q3
Keuntungan marjinal diperoleh dari turunan pertama fungsi keutunngan
total:
=M∏ = -2400 + 700Q – 25Q2
Keuntungan total baik maksimum atau minimum pada titik dimana
turunan pertama sama dengan nol.
=M∏ = -2400 + 700Q – 25Q2 = 0
Untuk menentukan dua titik dapat diselesaikan dengan
X=
X= X=
X1 = = 4 unit,
X2 = = 24 unit
Evaluasi turunan kedua dari fungsi keuntungan total untuk setiap titik
akan menunjukkan minimum atau maksimum.
= = 700 – 50Q
Pada titik X1 = 4 unit, maka = = 700 – 50 (4) = 500
Pada titik X1 = 24 unit, maka = = 700 – 50 (24) = -500
Oleh karena pada titik X1=4 memberikan turunan kedua positif, maka hal
ini menunjukkan keuntungan marjinal meningkat dan keuntungan totalnya
minimum pada titik 4 unit output.
Oleh karena pada titik X2=24 memberikan turunan kedua negatif, maka
hal ini menunjukkan keuntungan marjinal menurun dan keuntungan
totalnya maksimum pada titik 24 unit output.
Q
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
∏ = - 3.000 –
2.400Q + 350Q2 – dTR/dQ= – 2.400 + 700Q –
8,333Q3
25Q2
= 700 – 50Q
-3000
-2400
700
-5058.333
-1725
650
-6466.664
-1100
600
-7274.991
-525
550
-7533.312
0
500
-7291.625
475
450
-6599.928
900
400
-5508.219
1275
350
-4066.496
1600
300
-2324.757
1875
250
-333
2100
200
1858.777
2275
150
4200.576
2400
100
6642.399
2475
50
9134.248
2500
0
11626.125
2475
-50
7
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
14068.032
16409.971
18601.944
20593.953
22336
23778.087
24870.216
25562.389
25804.608
25546.875
24739.192
23331.561
21273.984
18516.463
15009
2400
2275
2100
1875
1600
1275
900
475
0
-525
-1100
-1725
-2400
-3125
-3900
-100
-150
-200
-250
-300
-350
-400
-450
-500
-550
-600
-650
-700
-750
-800
8
Maksimisasi profit terjadi jika MC = MR (kedua slop sama)
Contoh.
TR = 41,5Q – 1,1Q2
TC = 150 +10Q -0,5Q2 + 0,02Q3
∏ = TR – TC
∏ = 41,5Q – 1,1Q2 - 150 -10Q + 0,5Q2 - 0,02Q3
∏ = -150 + 31,5Q - 0,6Q2 - 0,02Q3
Derivatif pertama
= 31,5 - 1,2Q - 0,06Q2
Fungsi tersebut maksimum atau minimum pada profit marjinal saman dengan 0
0 = 31,5 - 1,2Q - 0,06Q2
X=
X1 = -35 unit dan X2 = 15 unit
Derivatif kedua (derivatif fungsi profit marjinal) menjadi
= 1,2 – 0,12 Q
Dengan menggunakan persamaan derivative kedua, maka dapat diketahui titik
maksimum dan minimum
Q1 = -35 = 1,2 – 0,12Q = 5,4 (maksimum)
Q2 = 15 = 1,2 – 0,12Q = -0,6 (minimum)
9