Otomatik Kontrol pada mesin bor

Ders # 2

Ot om a t ik Kon t r ol
Laplas Dönüşümü

Prof.Dr.Galip Cansever

Pie r r e - Sim on La pla ce , 1 7 4 9 - 1 8 2 7
Mat em at içi ve Ast ronom dur.
ht t p: / / www - hist ory.m cs.st - andrews.ac.uk/ Biographies/ Laplace.ht m l

LAPLAS D ÖN ÜŞÜM Ü
Zam anla değişen bir f( t ) fonksiyonunun Laplas dönüşüm ü

İle elde edilir ve göst erim i:

La pla s dön ü şü m ü , dife r a n siye l de n k le m le r in ce bir se l
ifa de le r e dön ü şt ü r ü le r e k çözü m le r in in k ola yca e lde
e ldilm e si a m cıyla k u lla nılır .

İspa t : Bu dönüşüm ün lineer olam sı için linner olm a

şart larını sağlam ası gerekir;
1)
2)

Lineer olm anın her iki şart ını da sağladığı için Laplas dönüşüm ü
lineer bir dönüşüm dür.

Ba zı Ön e m li Fon k siyon la r ın La pla s D ön ü şü m le r i
Ör n e k :

İse f( t ) nin Laplas dönüşüm ü nedir?

Ör n e k :

e a t f( t ) nin Laplas dönüşüm ü nedir?

( Bu ifadeye üst el öt elem e de adı verilir.)

Son u ç: Eğer e a t f( t ) nin Laplas dönüşüm ünü bulm ak ist iyorsak
f( t ) ’nin Laplas dönüşüm ünü alıp s yerine s- a yazm ak yet erli olur.

Ör n e k :

e a t nin Laplas dönüşüm ü nedir?

Ör n e k :

e ( a + j b) t nin Laplas dönüşüm ü nedir?

Ör n e k :

Cos( a t ) nin Laplas dönüşüm ü nedir?

Cos( at ) ’nin euler dönüşüm ü:

Benzer şekilde sin ( a t ) ’nin Laplas dönüşüm ü:

a
s2 + a2

s>0

Adi D ife r a n siye l D e n k le m le r in Fon k siyon la r ın
La pla s D ön ü şü m le r i ve Çözü m le r i

Ör n e k :

İfadesinin t ers Laplas dönüşüm ünü
bulunuz.

Bizim örneğim izde s’in yerini s- 2
alm ışt ır. O halde fonksiyonum uz
F( s- 2 ) dir.(
)

Bir fonksiyonu zam an ekseni üzerinde kaydırırsak, o fonksiyonun
öt elenm iş halini elde ederiz.
Fonkisyonların negat if bölgedeki değişim leri bilinm iyor olabilir.

Bu durum da f( t ) fonksiyonunu pozit if zam an ekseni üzerinde c

kadar kaydırdığım ızda f( t ) ’nin negat if zam an ekseni ü ze r in de
c kadar davranışına iht iyacım ız ort aya çıkar.
Bu kısm ı bilm ediğim iz için kaydırılım ış fonksiyonun ilk c birim lik
süresi sıfır olm alıdır.
Dolayısyla bunu oluşt urabilm ek için f( t ) fonksiyonu c kadar
öt elenm iş birim basam ak fonksiyonu ile çarpm am ız gerekir.

Te or e m :
İspa t :

Ör n e k :

İfadesinin t ers Laplas dönüşüm ünü bulunuz.

N OT: 0 – ∞ arasında t anım lanm ış sin t fonksiyonunu ele alalım .
Bu fonksiyonu π/ 2 kadar zam an ekseninde sağa doğru
it elersek, Laplas değeri:

Değildir.

Ör n e k :
İfadesinin Laplas dönüşüm ünü bulunuz.

Sıçr a m a lı Fon k siyon la r ın La pla s D ön ü şü m le r i

Ör n e k :

Ör n e k :

Fonksiyonunu çiziniz.

Ör n e k : t n İfadesinin Laplas dönüşüm ünü bulunuz.

Dikkat edilecek olursa t sonsuza giderken son kesirli ifadenin payı
ve paydası sonsuza git m ekt edir. Bu durum da L’hospit al kuralı
uygulanırsa kesirli ifadenin payı n adım da sıfıra giderken payda
sabit kalm akt adır. Sonuç sıfır olur.

Te r s La pla s D ön ü şü m le r i
şeklinde sem bolize edilir. Kısm i kesirlere

ayırm a yönt em i kullanılır, böylece karm aşık
ifadeler sadeleşt irilerek Laplas dönüşüm ü
bilinen ifadeler haline dönüşt ürülür.

Ör n e k :

ifadesinin t ers Laplas dönüşüm ünü bulunuz.

Terim lerin ayrı ayrı t ers dönüşüm lerini
alacak olursak;

Ör n e k :

ifadesinin t ers Laplas dönüşüm ünü bulunuz.

Eşit liğin her iki t arafı s in büt ün değerleri için eşit ise s= 0 içinde
eşit t ir. Bu durum da;

Ör n e k :

ifadesinin t ers Laplas dönüşüm ünü bulunuz.

Ters Laplas Dönüşüm ü

Hat ırlam a:

Yü k se k M e r t e be de n Tü r e vle r in H e sa pla n m a sı

şeklinde yazılabilir.

sf (0) = 0
f (0) = 0
'

= s F ( s)
2

ise

D a r be ( İm pu ls) Fon k siyon u

Darbe fonksiyonu sist em elerin davranışları hakkında bilgi
edinm ek için kullanılır.
Darbe fonksiyonu, kuvvet in, gerilim in veya benzer fonksiyonların
sist em e çok kısa süre içersinde çok büyük değerler alacak şekilde
uygulanm ası ile oluşt urulur.
I st aka ile bilardo t opuna vurm ak buna örnek olabilir. Bu vuruş
sonrası t opun dinam ik davranışı, ilk değerleri sıfır kabul edilen
bir sist em in darbe yanıt ı şeklinde ele alınabilir.
Fut bolda ise verilen bir pasa veya ort aya şut çekilm esi, vole
vurulm ası sonrası t opun dinam ik davranışı, ilk değerleri sıfır
olm ayan bir sist em in darbe yanıt ı şeklinde ele alınabilir.

τ→0’ giderken, grafik:

Ör n e k :

Pe r iyodik Fon k siyon la r ın La pla s D ön ü şü m le r i

Ör n e k : Aşağıdaki şekildeki fonksiyonun Laplas dönüşüm ünü
bulunuz.

Şekildeki fonksiyonun periyodu 2 dir, T= 2.

Ör n e k :Aşağıdaki fonksiyonun t ers Laplas dönüşüm ünü hesaplayınız

ve

elde edilir.

olduğundan